第02练 平行线的性质与判定
知识点1
平行公理及推论
1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.
2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
知识点2 平行线的判定
1. 平行线的判定方法：
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.
2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.
知识点3 平行线的性质
平行线的性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5. 性质3
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.
知识点4 平行线的判定与性质的综合运用
两直线平行同位角相等.
两直线平行内错角相等.
同旁内角互补两直线平行.
“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.
知识点5 命题、定理、证明
7.2 探索平行线的性质 知识点
知识点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
PS：只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.
例：如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝35°，则∠ADE的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到∠ADB和∠EDB的度数，然后即可得到∠ADE的度数．
【解答】解：由折叠的性质可得，
∠CDB＝∠EDB，
∵AD∥BC，∠CBD＝35°，
∴∠CBD＝∠ADB＝35°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDB＝55°，
∴∠EDB＝55°，
∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
知识点二、平行线的判定与性质的区别
条件 结论 作用
判定 同位角相等 两直线平行
由角的数量关系确定直线的位置关系 内错角相等 两直线平行
同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等
由直线位置关系得到角的数量关系 两直线平行 内错角相等
两直线平行 同旁内角互补
从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.
例：下列说法中：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同旁内角互补，两直线平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据平行公理，平行线的判定，点到直线的距离的定义判定即可．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
②同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；
初中数学平行线与角的性质知识点总结
在初中数学中，平行线与角的性质是数学学习的重要内容之一。了解平行线与角的性质，可以帮助我们解决与角度和线段相关的问题。本文将对初中数学中平行线与角的性质知识点进行总结。
1. 平行线的定义与性质
平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。平行线具有以下性质：
1.1 平行线上的任意两条线段互相平行。
1.2 平行线与同一条直线相交时，所成的对应内角、对应外角和同位角相等。
1.3 直线与其它平行线所构成的内（外）角互补。
2. 垂线与平行线的关系
垂线是指与另一条线段(或线面)垂直交叉的线段(或线面)。垂线与平行线有以下关系：
2.1 平行线中的任意一条直线与另一平行线上的垂线互相垂直。
2.2 平行线上的任一直线与垂线互相垂直，那么它们的方向相同。
3. 角的性质
角是由两条线段或者两条射线所构成的图形。初中数学中常见的角包括锐角、直角、钝角和平角。 3.1 锐角：大于0度小于90度的角被称为锐角。
3.2 直角：等于90度的角被称为直角。
3.3 钝角：大于90度小于180度的角被称为钝角。
3.4 平角：等于180度的角被称为平角。
4. 平行线切割等分线段的性质
当一条直线与两条平行线相交时，它将平行线切割成不同长度的线段。这些线段具有以下性质：
4.1 线段的比例性质：在平行线上，被一条截线分割的两个线段，它们的长度之比等于它们的截线分割的线段长度之比。
4.2 面积的比例性质：在平行线上，被一条截线分割的两个平行四边形，它们的面积之比等于它们的截线分割的线段长度之比。
5. 平行线切割相似三角形的性质
当一条直线与两条平行线相交时，它将两个或多个相似三角形分割出来。这些相似三角形具有以下性质：
5.1 相似三角形的角度相等：在平行线上，被一条截线分割的两个相似三角形中，对应顶角相等。
5.2 相似三角形的边长比例：在平行线上，被一条截线分割的两个相似三角形中，对应边长之比等于它们的截线分割的线段长度之比。 通过对平行线与角的性质进行了解和掌握，我们可以灵活运用这些知识解决与角度和线段有关的问题。同时，这些性质也是学习几何证明的基础，对提高数学分析和解决实际问题都有很大的帮助。
初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄
初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄
在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何。
平行线的性质
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。
额外补充的是，在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线，因为理论上是没有绝对的平行的!
初中数学知识点总结：平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成
对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
