六章平稳时间序列

平稳时间序列预测法概述平稳时间序列预测法是一种常用的时间序列分析方法，用于对平稳时间序列数据进行预测和建模。

这种方法基于时间序列的统计特性和历史模式，通过对过去时间点的观察和分析，来推断未来的趋势和模式。

平稳时间序列是指在统计意义下具有相同的均值、方差和自协方差的时间序列。

平稳时间序列的特点是其统计特性不会随时间而变化，即没有趋势、季节性和周期性。

由于平稳时间序列没有这些变化，因此通过对其进行建模和预测会更容易和准确。

平稳时间序列预测法通常分为两种主要方法：直观法和数学统计法。

直观法是一种基于观察和直觉的预测方法。

它主要是通过对时间序列的图形和趋势进行分析和观察，来预测未来的值。

直观法的优点是简单易懂，适用于简单的时间序列预测问题。

然而，直观法的缺点是主观性较强，可能受到个人经验和认知的影响。

数学统计法是一种基于数学模型和统计方法的预测方法。

它通过对时间序列数据进行分析和建模，来预测未来的趋势和模式。

常用的数学统计方法包括平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。

平均法是最简单的数学统计方法之一，它通过计算时间序列的平均值来预测未来的值。

指数平滑法是一种以指数加权平均值为基础的预测方法，适用于序列有较强的趋势性时。

ARMA 模型是一种常用的时间序列模型，它对序列的自相关性和移动平均性进行建模，用于预测未来的值。

SARIMA模型是对ARMA模型进行扩展，考虑了序列的季节性变化，适用于有季节性趋势的时间序列。

平稳时间序列预测法的主要目的是为了预测未来的值，以便辅助决策和规划。

它在经济学、金融学、管理学等领域都有广泛的应用，例如股票预测、销售预测、经济增长预测等。

需要注意的是，平稳时间序列预测法仅适用于平稳时间序列。

对于非平稳时间序列，需要先进行平稳性检验和转换，然后再进行预测建模。

此外，时间序列预测还需要考虑模型的选择和参数的确定，以及模型的评估和验证等问题。

平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。

该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。

以下是平稳时间序列模型的建立概述。

第一步是数据的预处理。

在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。

去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。

去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。

第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。

这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。

通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。

第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。

常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。

选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。

第四步是模型参数的估计与诊断。

对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。

这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。

估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。

常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。

第五步是模型预测与评估。

通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。

预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。

若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。

总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。

通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。

平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。

平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。

平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。

平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。

ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。

SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。

ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。

SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。

第六章平稳时间序列预测第一节平稳时间序列预测概念第二节最小均方误预测第三节条件期望预测第四节适时修正预测第五节指数平滑预测与ARMA模型第一节平稳时间序列预测的概念). (ˆ,,,)0(}{,,,}{ ,1l x ltlxtxxxtxttlttttt为预测值记的预测向前期步长为为原点的以这种预测称为进行预测以后的观察值对时刻用序列以前的观察值为及在时刻且零均值平稳序列设当前时刻为> +-第二节最小均方误预测(正交投影预测)一、最小均方误差预测概念二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导一、最小均方误差预测概念.)2(min )](ˆ[)](ˆ[:,)1(:)(ˆ)(ˆ:,)0(,,,,)(ˆ221值的函数预测值是过去时间序列即预测误差的方差最小足如下两条件准则步最小均方误预测要满所谓其预测误差记为进行的预测对的条件下为已知设=-=-=>+++-l x x E l e E l l x x l el x x x l x t l t t t l t t l t t t t （若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）二、平稳ARMA 模型最小均方误预测的推导∑∑∞=-++--++-++--+++--∞=--++++=++++++=+=+++=====011110111111002211001:1:)()()(:)()(:j jt j l t l l t l t t l t l t l l t l t l t t t t j j t j t t t tt a G a G a G a G a G a G a G a G a G x l t G a G a G a G a G a B G a B B x a B x B ARMA代入上式得将下标其中如下此模型写成其传递形式模型如下设有平稳θφθφ由于预测只能建立在到t 时刻为止的可用信息的基础上，因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值表示成能够估计的项a t ，a t-1，……，的加权和的形式：)(ˆl xt+++==-+-+∞=-+∑2*21*1*0*)(ˆt l t l t l j j t j l t a G a G a G a G l x .""*达到最小的意义下确定可以在预测误差的方差系数权式中jl G +由上得以t 为原点，向前l 步的预测误差为：∑∞=-+++--+++-++++=-=0*11110)()(ˆ)(j jt jl j l t l l t l t t l t t a GG a G a G a G l xx l e 由于at 是白噪声，故有：⎩⎨⎧=≠=+002j j o a Ea ajt t σ∑∑∞=++-=+-+==-02*212222)())(())(ˆ(::j j l jl al j jat t lt G GGl e E l x x E σσ预测误差的方差为所以.,:*上式达到最小值时当很容易看出j l jl G G++=因此可得x t+l 的最小均方误预测为：+++=-+-+2211)(ˆt l t l t l t a G a G a G l x预测误差为：1110)(ˆ)(+--++++++=-=t l l t l t t l t t a G G a G l xx l e 误差方差为：∑-=++++=12222222)1())((l GG G G l e E σσ由上推导可知，（1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和预测的时间原点无关。

作业一：时间时间序列模型主要包括自回归模型（Auto Regressive Model ）简称AR 模型，移动平均模型（Moving Average Model ）简称MA 模型，自回归移动平均模型（Auto Regressive Moving Average Model ）简称ARMA 模型。

下面的t X 为零均值（即中心化处理的）平稳序列。

（1）一般自回归模型AR(n ) 假设时间序列t X 仅与n t t t X X X ---,,,21 有线性关系，而在n t t t X X X ---,,,21 已知条件下，t X 与),2,1( ++=-n n j X j t 无关，ta 是一个独立于n t t t X X X ---,,,21 的白噪声序列，),0(~2a t N a σ。

t n t n t t t a X X X X ++++=---ϕϕϕ 2211上式还可以表示为n t n t t t t X X X X a -------=ϕϕϕ 2211特点，)(AR n 系统的响应t X 具有n 阶动态性。

)(AR n 模型通过把t X 中的依赖于n t t t X X X ---,,,21 的部分消除掉之后，使得具有n 阶动态性的序列t X 转化为独立的序列t a 。

因此，拟合)(AR n 模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。

)(AR n 系统的特征是系统在t 时刻的响应t X 仅与其以前时刻的响应n t t t X X X ---,,,21 有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关。

（2）移动平均模型)(MA m如果一个系统在t 时刻的响应t X ，与其以前时刻 ,2,1--t t 的响应 ,,21--t t X X 无关，而与其以前时刻m t t t ---,,2,1 进入系统的扰动m t t t a a a ---,,,21 存在着一定的相关关系，那么，这一类系统为)(MA m 系统。

第六章 平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。

Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。

传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。

随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。

就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。

因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。

第一节 基本概念一、随机过程在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。

对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。

对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。

例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。

还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。

例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量。

若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，｛t ξ｝就是一个随机过程。

线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是统计学中一个重要的研究领域，在经济学、金融学、统计学等领域中具有广泛的应用。

本文将从概念、特征、建模和预测四个方面展开，详细介绍线性平稳时间序列分析的基本内容。

一、概念时间序列是按照时间顺序排列的一组数据观测值的集合，线性平稳时间序列是指其均值、方差和自相关函数在时间上保持不变。

线性平稳时间序列可以用公式表示为：Yt = μ + εt其中，Yt是时间t的观测值，μ是时间序列的均值，εt是时间t的随机波动项。

二、特征线性平稳时间序列具有以下几个重要特征：1. 均值不变性：时间序列的均值在时间上保持不变，即E(Yt) = μ。

2. 方差不变性：时间序列的方差在时间上保持不变，即Var(Yt) = σ^2。

3. 自相关性：时间序列中观测值之间存在相关性，即时间序列的自相关函数具有一定的模式。

4. 白噪声：时间序列中的随机波动项εt是一个均值为零、方差为常数的随机变量。

三、建模线性平稳时间序列的建模是对时间序列数据进行拟合，以寻找其内在的规律和趋势。

常用的线性平稳时间序列模型主要有AR（自回归模型）、MA（移动平均模型）和ARMA（自回归移动平均模型）等。

1. AR模型：自回归模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻之间存在相关性的假设。

AR模型的阶数p表示过去p个时刻的观测值对当前观测值的影响。

2. MA模型：移动平均模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻的随机波动项之间存在相关性的假设。

MA模型的阶数q表示过去q个时刻的随机波动项对当前观测值的影响。

3. ARMA模型：自回归移动平均模型是结合了AR模型和MA 模型的特点，既考虑了时间序列观测值的自相关性，又考虑了时间序列随机波动项的相关性。

四、预测线性平稳时间序列的预测是利用已有的时间序列数据预测未来的观测值。

常用的线性平稳时间序列预测模型主要有AR、MA和ARMA等。

1. AR模型：通过对过去p个时刻的观测值进行线性组合，预测当前观测值。

平稳时间序列分析平稳时间序列分析是一种常用的时间序列分析方法，它旨在研究时间序列在均值和方差上的稳定性，并将其用于预测未来的数据走势。

本文将详细介绍平稳时间序列分析的基本概念、建模方法和预测技术。

首先，让我们来了解什么是时间序列。

时间序列是按照一定的时间间隔收集到的一系列数据点的有序集合，它可以是连续的或离散的。

时间序列分析的目的是通过对过去的数据进行统计分析，揭示出时间序列中的内在规律和趋势，并预测未来的数据走势。

平稳时间序列是指在统计意义上具有稳定性的时间序列，即其均值和方差保持恒定不变。

平稳时间序列具有以下特点：1）均值是常数，不随时间变化；2）方差是常数，不随时间变化；3）协方差只与时间间隔有关，与具体的时间点无关。

为了实现平稳时间序列分析，我们需要进行以下几个步骤：1. 数据准备：收集所需的时间序列数据，并将其整理成适合分析的格式。

通常，我们会绘制时间序列图以直观地查看数据的趋势和模式。

2. 时间序列分解：时间序列通常包含趋势、季节性和随机成分。

我们需要对时间序列进行分解，将其分解为这些组成部分。

常用的分解方法有经典的加性模型和乘性模型。

3. 平稳性检验：对于时间序列分析，我们需要确保数据是平稳的。

平稳性检验的目的是判断时间序列的均值和方差是否是稳定的。

常用的平稳性检验方法有ADF检验、KPSS检验等。

4. 模型建立：如果时间序列被证实是平稳的，我们可以根据数据的模式和趋势选择适当的模型。

常用的模型包括自回归滑动平均模型（ARMA模型）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA模型）等。

5. 模型识别与估计：在模型建立的基础上，我们需要对模型进行识别和估计。

模型识别的目的是选择最适合数据的模型阶数，常用的方法有自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析。

模型的估计通常使用最大似然估计方法。

6. 模型检验：建立模型后，我们需要对模型进行检验，验证其拟合程度和预测准确度。

常用的模型检验方法有残差分析、DW检验、Ljung-Box检验等。

平稳时间序列建模步骤
1. 数据预处理：对时间序列数据进行去趋势、去季节性处理，使其变成平稳的时间序列。

2. 模型选择：根据平稳时间序列的性质，选择适合的ARIMA
模型或其他时间序列建模方法，例如ETS模型、VAR模型等。

3. 参数估计：对选定的模型进行参数估计，根据样本数据计算出模型的参数值。

4. 模型检验：对已经拟合好的模型进行检验，判断其是否符合时间序列的特征和假设，可以使用残差分析、模型拟合程度检验等方法。

5. 模型预测：使用已经拟合好的模型进行时间序列的预测，得出未来一段时间内的数据变化趋势，并对预测结果进行评估和优化。

6. 模型应用：将平稳时间序列建模方法应用到实际问题中，例如金融市场预测、经济增长预测、气象预测等领域。

第六章 平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。

Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。

传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。

随着时间序列分析理论和方法的发展,美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象,米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。

就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。

因此，本章从基本的平稳时间序列讲起.第一节 基本概念一、随机过程在概率论和数理统计中,随机变量是分析随机现象的有力工具.对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等.对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了,而需要用若干个随机变量来加以刻画。

例如平面上的随机点,某企业一天的工作情况(产量、次品率、耗电量、出勤人数等)都需要用多个随机变量来刻画。

还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。

例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量.若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，{t ξ｝就是一个随机过程。