线代期中(A类)试卷及答案 (2)

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1

一．计算题（共50分）

1．（6分）设200111313A,计算（1）TAA，（2）TAA.

2. （6分）计算行列式1000100005432xxxx.

3. （6分）计算行列式122222222222322222122222nn.

《线性代数》课程期中考试卷

学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿

主考教师：试卷类型：（A卷）

2 4. （6分）设1231212011311042025kA，3RA,求k.

.

5. （6分）设123,,,,都是4维列向量，矩阵123,,,5,A矩

阵123,,,2B，求2AB.

6. （10分）设A,B,C,D均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，A是可逆矩阵. 如果分块矩阵

110,,0EABEABPQRCAECDE，

（1）计算PQR,（2）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是1DCAB是可逆的.

3 7（10分）已知矩阵11101123351Aa与矩阵11101023151Baa等价，确定常数a的取值范围.

二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnDn.

4

三.（15分）设A,B,C为4阶矩阵，满足1132TABCAB，其中

0100101100101101,0001111010000111BC，

求A.

5 四. （20分）设1012,2,211a，若,TTAB，求解方程22AxBx.

6

五.(5分) 设 12,,,nA是n阶矩阵，满足TAAE且1A，又12,,,Tnccc满足1Tn，证明121,,,,nB可逆，并求B.

7

二．计算题（共50分）

1．（6分）设200111313A,计算（1）TAA，（2）TAA.

解（1）TAA=4264228210，（2）TAA=14484228210。

2. （6分）计算行列式1000100005432xxxx.

解1000100005432xxxx=1010154532432xxxxxxxx

=4322345xxxx.

7. （6分）计算行列式122222222222322222122222nn.

解 1222212222222221000022322101002221210030222210002nnnn

32222201000002001122!0003000002nnn 8 12!2nnn

8. （6分）设1231212011311042025kA，3RA,求k.

解 12311231123121205600113011301130011511040333000122025044300015rrkkAk

12311231011301130011500115000120001000150000rrkk，

如果3RA，则1k，此时

12310113000100000000rA.

9. （6分）设123,,,,都是4维列向量，矩阵123,,,5,A矩

阵123,,,2B，求2AB.

解 12312312322,3,3,3,3,3,32,3,3,3AB

33331231233,,,23,,,3523227

10. （10分）设A,B,C,D均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，A是可逆矩阵. 如果分块矩阵

110,,0EABEABPQRCAECDE，

（1）计算PQR,（2）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是1DCAB是可逆的. 9 解（1）1100EABEABPQRCAECDE

1110000ABAEABDCABDCABE.

（2）显然1PR，故

1100AQPQRADCABDCAB，

因为矩阵A是可逆矩阵，故0A，因此0Q的充分必要条件为10DCAB，即矩阵Q可逆的充分必要条件是1DCAB是可逆的.

7（10分）已知矩阵11101123351Aa与矩阵11101023151Baa等价，确定常数a的取值范围.

解 11111101101123001351000rAaa, 11111101001023001151000rBaa.

因为矩阵A与矩阵B等价，故矩阵它们的秩相同，因此()()3RARB. 因此常数a满足的条件是1a.

二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnDn.

证明用归纳法证明.当n=1时，结论显然成立，假设结论对n-1阶行列式成立，即1cos1nDn.对n阶行列式按最后一行展开可得

10 111cos112cos12cos1112cos112cos11nnnnnDD

122cosnnDD，

将12cos1,cos2nnDnDn代入上关系式整理可得

122cos2coscos1cos2nnnDDDnn

coscos2cos2cosnnnn，

根据归纳法原理可知结论成立.

三.（15分）设A,B,C为4阶矩阵，满足1132TABCAB，其中

0100101100101101,0001111010000111BC，

求A.

解由01000010100011000B可知矩阵B是可逆矩阵. 由已知有1132TABCAB，故

1113232TABEBCBC.

由

01001000100000010010010001001000,00010010001001001000000100010010BE行

可知

11 10001100001000010B，

因此

1222332223223222232TABC.

四. （20分）设1012,2,211a，若,TTAB，求解方程22AxBx.

解因为

102120,2,10421021TA，

000021,2,12421121TB，

又206330126063TTTA，所以方程组22AxBx，即

123063101262063xxxa.

把代入Axb可得ac. 化增广矩阵,Ab为阶梯形

06312251225144102063106312101012610001rraaa

当1a时, ,3,()2RAbRA,方程组无解；