高二数学选修2-1《空间向量的运算》

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

111222,,,,,axyzbxyz

121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则

二、共线向量定理

,0,=.abbabab充要对于使

三、共面向量定理

,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使

,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令

1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.

六、空间向量基本定理

,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为

11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

1异面直线的夹角，

coscos,ABCDABCDABCD则

2,线与面的夹角

sincosanan则

第三章 空间向量与立体几何

3.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其加减运算

§3.1.2空间向量的数乘运算

1. 下列命题中不正确的命题个数是( )

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+ CD+DA=0；

②对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面；

③若a、b共线，则a与b所在直线平行。

A.1 B.2 C.3 D.4

2.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG =xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为( )

A.（41，41，41）

B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32）

3．在平行六面体ABCD－EFGH中，AGxACyAFzAH，________.xyz则

4.已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________.

5.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC成定比2，N分PD成定比1，求满足MNxAByADzAP的实数x、y、z的值.

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA重点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为( )

A.1010 B. 15 C.31010 D. 35

2．如图，设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0ABAC，

_ C _ D _ A_ P _ N

_ B_ M 0ACAD，0ABAD，则△BCD的形状是( )

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精心校对 高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读

山东 尹承利

一、空间向量及其运算

1.空间向量及其加减与数乘运算

（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.

零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.

（2）空间向量的加减与数乘运算

①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；

②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如ABBCCDAD，ABBCCDDA0等．

2．共线向量的充要条件

（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()0，，abbab的充要条件是存在实数，使ab．

（2）空间直线的向量表过式：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta． ①

在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB． ②

①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．

（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点PAB，，共线()PBtPAOPOAtABtR．

3．共面向量的充要条件

（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

注：空间任意两个向量总是共面的．

（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，ab不共线，那么向量p与向量ab，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，xy，使pxayb．

（3）空间平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对xy，，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC． ③

③式称为平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向高中数学-打印版

3.1.1 空间向量及其运算

【使用说明及学法指导】

1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；

2．小组合作，动手实践。

【学习目标】

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题

【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

一、自主学习

1.预习教材P84～ P86, 解决下列问题

复习1：平面向量基本概念：

具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）；

叫零向量，记着 ；

叫单位向量.

叫相反向量， a的相反向量记着

.

叫相等向量. 向量的表示方法有 ，

，和

共三种方法.

复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有

法则 和

法则.

2. 实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝ .

(2)当λ＞0时，λa与b ；

当λ＜0时，λa与b ；

当λ＝0时，λa＝ .

3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

2.导学提纲

1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.