2023-2024学年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
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第1页（共16页） 2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷
一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题
意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）
1．经过𝐴(0，
√3)、B（﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ）
A．𝜋
6 B．𝜋
3 C．2𝜋
3 D．5𝜋
6
2．抛物线x2
＝2ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
3．已知P（x，y）是椭圆𝑥2
144+𝑦2
25=1上的点，则x+y的值可能是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
4．若点（2，1）在圆x2
+y2
﹣x+y+a＝0的外部，则a的取值范围是（ ）
A．(12，
+∞) B．(−∞，12)
C．(−4，12) D．(−∞，
−4)∪(12，
+∞)
5．已知F
1，F
2是椭圆𝑥2
25+𝑦2
9=1的两个焦点，过F
1的直线交椭圆于M，N两点，则△MNF
2的周长为
（ ）
A．10 B．16 C．20 D．26
6．已知抛物线C：y2
＝16x，直线l：x＝4与C交于A、B两点，M是射线BA上异于A、B的动点，圆C
1
与圆C
2分别是△OMA和△OMB的外接圆（O为坐标原点），则圆C
1与圆C
2面积的比值（ ）
A．小于1 B．大于1
C．等于1 D．与M点的位置有关
7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合
造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线𝑦2
𝑎
2−𝑥2
𝑏
2=1（a＞0，b＞0）下
支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
第2页（共16页） A．𝑦2
12−𝑥2
4=1 B．3𝑦2
4−𝑥2
4=1
C．𝑥2
4−𝑦2
4=1 D．𝑦2
16−𝑥2
4=1
8．已知点M（2，4），若过点N（4，0）的直线l交圆于C：（x﹣6）2
+y2
＝9于A，B两点，则|𝑀𝐴→
+𝑀𝐵→
|
的最大值为（ ）
A．12 B．8
√2 C．10 D．6
√2
二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置
中.）
9．已知直线l：（a2
+a+1）x﹣y+1＝0，其中a∈R，则（ ）
A．直线l过定点（0，1）
B．当a＝﹣1时，直线l与直线x+y＝0垂直
C．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
D．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√
2
2
10．已知椭圆𝐸：𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2=1(𝑎＞
𝑏＞
0)的两个焦点分别为F
1，F
2，与y轴正半轴交于点B，下列选项中给
出的条件，能够求出椭圆E标准方程的选项是（ ）
A．a＝2，c＝1
B．已知椭圆E的离心率为1
2，短轴长为2
C．△BF
1F
2是等边三角形，且椭圆E的离心率为1
2
D．设椭圆E的焦距为4，点B在圆（x﹣c）2
+y2
＝9上
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已
知抛物线y2
＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l
1从点M（3，1）射入，经过抛物线上的点P（x
1，
y
1）反射后，再经抛物线上另一点Q（x
2，y
2）反射后，沿直线l
2射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．𝑘
𝑃𝑄=−3
4 B．x
1x
2＝1
C．|𝑃𝑄|=25
4 D．l
1与l
2之间的距离为4
12．已知双曲线C：x2
−𝑦23=1的左、右焦点分别为F
1，F
2，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直
线l与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N，则（ ）
A．𝑃𝐹
12
−𝑃𝐹
22
的最小值为8 第3页（共16页） B．PF
1•PF
2﹣OP2
为定值
C．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为﹣2
D．若直线l经过F
2，且与双曲线C交于另一点Q，则PQ的最小值为6
三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）
13．双曲线M：𝑥2
𝑎
2−𝑦2
𝑏
2=1（a＞0，b＞0）的离心率为
√
3，则其渐近线方程为 ．
14．在抛物线y2
＝﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐
标是 ．
15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭
圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆𝑥2
𝑎
2+𝑦2
𝑏
2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过F作直
线l交椭圆于A、B两点，若弦AB中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 ．
16．已知圆C
1和圆C
2均与x轴及直线y＝kx（k＞0）相切，两圆交于P，Q两点，其中P点坐标为（3，
2），已知两圆半径的乘积为13
4，则实数k的值为 ．
四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案
填到答题卡的指定位置中.）
17．（10分）已知方程𝑥2
4+𝑦2
𝑚=1（m∈R且m≠0）．
（1）若方程表示焦点在y上的椭圆，且离心率为1
2，求m的值；
（2）若方程表示等轴双曲线，求m的值及双曲线的焦点坐标．
18．（12分）已知直线l经过直线l
1：3x+4y﹣11＝0，l
2：2x+3y﹣8＝0的交点M．
（1）若直线l经过点P（3，1），求直线l的方程；
（2）若直线l与直线3x+2y+5＝0垂直，求直线l的方程．
19．（12分）已知圆C经过A（1，4），B（5，0）两点，且在x轴上的截距之和为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）圆M与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M相切的直线方程．
20．（12分）已知双曲线：𝑥2
5−𝑚−𝑦2
𝑚−1=1(1＜
𝑚＜
5)的一个焦点与抛物线C：y2
＝2px（p＞0）的焦点重
合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：x＝ty+8交抛物线C于A、B两点，O为原点，求证：以AB为直径的圆经过原点O．
21．（12分）已知直线𝑙：
𝑦=𝑘𝑥+
√2(𝑘∈𝑅)，与双曲线𝐶：𝑥2
3−𝑦2
=1的左支交于A，B两点． 第4页（共16页） （1）求实数k的取值范围；
（2）若△OAB的面积为6
√
2
5（O为坐标原点），求此时直线l的斜率k的值．
22．（12分）已知椭圆𝐶：𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2=1(𝑎＞
𝑏＞
0)过点(2，
√
2)，且离心率为√2
2．
（1）求椭圆C方程；
（2）点A，B分别为椭圆C的上下顶点，过点P（0，4）且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点
M，N，探究直线BM，AN的交点是否在一条定直线l
0上，若存在，求出该直线l
0的方程；若不存在，
请说明理由．
第5页（共16页） 2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题
意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）
1．经过𝐴(0，
√3)、B（﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ）
A．𝜋
6 B．𝜋
3 C．2𝜋
3 D．5𝜋
6
解：设直线AB的倾斜角为α，则0≤α＜π，
故k=𝑡𝑎𝑛𝛼=√3−0
0−(−1)=
√
3，
故𝛼=𝜋
3．
故选：B．
2．抛物线x2
＝2ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
解：由题意可得−𝑎
2=2，则a＝﹣4．
故选：B．
3．已知P（x，y）是椭圆𝑥2
144+𝑦2
25=1上的点，则x+y的值可能是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
解：由椭圆𝑥2
144+𝑦2
25=1，可设x＝12cosθ，y＝5sinθ，其中θ∈[0，2π]，
则x+y＝12cosθ+5sinθ＝13sin（θ+φ），其中𝑡𝑎𝑛𝜑=12
5，
因为﹣1≤sin（θ+φ）≤1，所以﹣13≤x+y≤13，
即x+y的取值范围为[﹣13，13]，结合选项，可得A符合题意．
故选：A．
4．若点（2，1）在圆x2
+y2
﹣x+y+a＝0的外部，则a的取值范围是（ ）
A．(12，
+∞) B．(−∞，12)
C．(−4，1
2) D．(−∞，
−4)∪(1
2，
+∞)
解：依题意，方程x2
+y2
﹣x+y+a＝0可以表示圆，则（﹣1）2
+12
﹣4a＞0，得𝑎＜1
2；
由点（2，1）在圆x2
+y2
﹣x+y+a＝0的外部可知：22
+12
﹣2+1+a＞0，得a＞﹣4．
故−4＜
𝑎＜1
2．
