大学物理第23章_电势

PdL0dxxxydEd习题12

12-3．如习题12-3图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。

[解] 建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元xLqqdd，它在P点产生的电电场强度度为

xxdLLqxdLqEd41d41d2020

则整个带电直导线在P点产生的电电场强度度为

dLdqxxdLLqEL002041d41

故iEdLdq04

12-4．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，试求圆心处点O的场强。

[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量lRQqdd

dq在O点的电场强度20204d4ddRlRQRqE

从对称性分析，y方向的电场强度相互抵消，只存在x方向的电场强度

lRQEEdsin4sindd302x ddRl

d4sind202xRQE

2020202xx2d4sindRQRQEEE 方向沿x轴正方向

12-5. 如习题12-5图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位长度上的带电量为，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。

[解] d对应的无限长直线单位长带的电量为ddq

它在轴线O产生的电场强度的大小为

RRqE0202d2dd

因对称性ydE成对抵消REE02x2dcoscosdd dRREE022002x2dcos2d

12-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心点O处的场强。

[解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值lrqd2d。

第13章 振动

13-1 如图13-23所示，质量为m

的密度计，放在密度为

的液体中。

已知密度计圆管的直径为d

。试证明：推动密度计后，证明它在竖直方

向的振动为简谐振动，并计算其振动周期。

解：平衡位置： 当F

浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度

为a：mggSa

可知浸入水中为a处为平衡位置。

以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么

位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力

()FgaxSgaSgSxkx



22

dtxd

mgSx

mF

a

令

mdg

mgS

42

2





可得到： 02

22

x

dtxd



可见它是一个简谐振动。

周期为：

gm

dT



4

/2

13-2 证明图13-24所示系统的振动为简谐振动。

其频率为：

mkkkk

)(21

2121





证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满

足：KxxKxK

2211和xxx

21 可得：

21111

KKK

所以：

2121

KKKK

K



代入频率计算式，可得：

mkkkk

mk

)(21

21

2121





13-3 如图13-25所示，有一截面积为S 的空心管柱，配有

质量为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。在活塞处

于平衡状态时，柱内气体的压强为p，气柱高为h。若使活

塞有一微小位移，活塞将上下振动，证明它在竖直方向的振

动为简谐振动，并计算其振动频率。设气体温度不变。

图13-24 习题13-2图

图13-25 习题13-3图 解：在静平衡时：pSmgSp

0

当活塞下降 x (任意位置)时：

22

10

dtxd

mmgSpSp

由上两式得到：

22

1

dtxd

mSppS

过程是等温的

11VppV

即：SxhpphS)(

1

得出：p

hx

hxp

xhph

p)1(

11

1





)(hx

所以

22

)1(

dtxd

大学物理电磁学公式总结

➢ 第一章（静止电荷的电场）

1. 电荷的基本性质：两种电荷，量子性，电荷守恒，相对论不变性。

2. 库仑定律：两个静止的点电荷之间的作用力

F =kq1q2r2𝐞𝐫=q1q24πε0r2𝐞𝐫

3. 电力叠加原理：F=ΣFi

4. 电场强度：E=𝐅q0, q0为静止电荷

5. 场强叠加原理：E=ΣEi

用叠加法求电荷系的静电场：

E=∑qi4πε0ri2𝐞𝐫𝐢i (离散型)

E=∫dq4πε0r2𝐞𝐫𝐪 (连续型)

6. 电通量：Φe=∫𝐄•𝐝𝐒𝐬

7. 高斯定律：∮𝐄•𝐝𝐒s=1ε0Σqint

8. 典型静电场：

1) 均匀带电球面：E=0 （球面内）

E=q4πε0r2𝐞𝐫（球面外）

2) 均匀带电球体：E=q4πε0R3𝐫 =ρ𝟑ε0 𝐫（球体内）

E=q4πε0r2𝐞𝐫 （球体外）

3) 均匀带电无限长直线：

E=λ2πε0r，方向垂直于带电直线

4) 均匀带电无限大平面：

E=σ𝟐ε0，方向垂直于带电平面

9. 电偶极子在电场中受到的力矩：

M=p×E

➢ 第三章（电势）

1. 静电场是保守场：

∮𝐄•𝐝𝐫L=0

2. 电势差：φ1 –φ2=∫𝐄•𝐝𝐫(p2)(p1)

电势：φp=∫𝐄•𝐝𝐫(p0)(p) （P0是电势零点）

电势叠加原理：φ=Σφi

3. 点电荷的电势：φ=q4πε0r

电荷连续分布的带电体的电势：

φ=∫dq4πε0r

4. 电场强度E与电势φ的关系的微分形式：

E=-gradφ=-▽φ=-(∂φ∂xi+∂φ∂yj+∂φ∂zk)

电场线处处与等势面垂直，并指向电势降低的方向；电场线密处等势面间距小。

5. 电荷在外电场中的电势能：W=qφ

移动电荷时电场力做的功：

A12=q(φ1 –φ2)=W1-W2

电偶极子在外电场中的电势能：W=-p•E

大学物理实验报告,静电场,无限长同轴

圆柱面之间的电势分布关系

静电场的模拟实验报告

实验二 静电场的描绘 【目的与任务】

1、理解用模拟法描绘静电场的原理和方法； 2、学会用模拟法

描绘静电场的等势线和电场线； 3、定性说明同轴圆柱面和带电直导线电流场的特点及其应用。

【仪器与设备】 静电场描绘仪（西安教学仪器厂生产），万用电表，坐标纸等。

仪器简介： 1、交流电源

交流电源输出电压在0～10V之间连续可调，最大输出电流l A。实验时将输出电压调节到实验要求之值。

2、静电场描绘仪 图1 静电场描绘仪

静电场描绘仪如图1所示，支架采用双层式结构，下层放置水

盘和电极，上层安放坐标纸。P是测量探针，用于在水中测量各点的电势，P′是与P联动的记录探针，可将P在水中测得的各电

势点通过按下指针P′在坐标纸上打出印迹，同步地记录在坐标纸上。由于P、P′是固定在同一探针架上的，所以两者绘出的图

形完全相同。 3、模拟电极

可提供两点电荷(平行输电线)，同轴柱面(同轴电缆)，聚焦电极

三种模拟电极。

【原理与方法】 1、直接测量静电场的困难

带电体在周围空间产生的静电场，可用电场强度E或电势U的空间分布来描述。一般情况下，可从已知的电荷分布，用静电场

方程求出其对应的电场分布，但对较复杂的电荷分布，如电子管、

示波管、电子显微镜、加速器等电极系统，数学处理上十分困难，因而总是希望用实验方法直接测量。但是，直接测量静电场往往

很困难。因为，首先静电场中无电流，不能使用磁电式仪表，而只能使用较复杂的静电仪表和相应的测量方法；其次，探测装置

必须是导体或电介质，一旦放入静电场中，将会产生感应电荷或

极化电荷，使原电场发生改变，影响测量结果的准确性。若用相似的电流场来模拟静电场，则可从电流场得到对应的静电场的具

体分布。 2、用稳恒电流场模拟静电场的可行性

如果两种物理现象在一定条件下满足同一形式的数学规律，则

可将对其中某一种物理现象的研究来代替对另一种物理现象的研究，这种研究方法称为模拟法。模拟法本质上就是利用几何形状