2020年安徽省芜湖市高二(下)期中数学试卷(理科)

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期中数学试卷（理科）

题号 一

二 三 总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 若x，y∈R，则“x2＞y2”是“x＞y”的（ ）

A. 充分不必要条件 B.

必要不充分条件

C.

充分条件 D.

既不充分也不必要条件

2. 下列有关命题的说法错误的是（ ）

A.

若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题

B. “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件

C. “sinx=”的必要不充分条件是“x=”

D. 若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题￢p：∀x∈R，x2＜0

3. 若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（ ）

A. 9

B. 6 C. 3 D. 2

4. 抛物线y=-的准线方程是（ ）

A. B. C.

D.

5.

焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是( )．

A. B. C. D.

6. 已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

7. 若，，4，4)，且，，共面，则 )

A. 1 B. -1 C. 1或2 D.

8. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )．

A.

B.

C.

D.

第2页，共13页 9. 双曲线与直(m∈R)的公共点的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或1或2

10. 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若,则的值为

A. 2 B. C. 1 D.

11. F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

12. 已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（ ）

A. B. 3 C. 6 D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若p是真命题，则实数a的取值范围为______

14. 过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为______．

15. 已知点P在抛物线y2=8x上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（5，2），则PA+PF的最小值是______．

16. 已知M，N为椭圆+y2=1上的两个动点且OM⊥ON（O为坐标原点），则三角形△OMN的面积的最小值为______．

三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）

17. 已知双曲线C：与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的方程；

（2）以P(1，2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

18. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3.

（1）求抛物线的方程；

（2）过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

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19. 如图，在四棱锥S-ABCD中，已如AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，AD=AB=2DC=2，SC=，E为AD的中点．

（Ⅰ）若F为SB的中点，求证：CF∥平面SAD ;

（Ⅱ）平面SAD与平面SBC所成锐二面角的大小 ;

（Ⅲ）求点E到平面SBC的距离．

20. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆与y轴的交点，△PF1F2的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l：kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且P（0，1），当直线PA，PB的斜率之和为2时，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，则说明理由．

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了充分条件、必要条件的判定，属于基础题．

由x2＞y2，解得|x|＞|y|，即可判断出结论．

【解答】

解：由x2＞y2，解得|x|＞|y|，

因此“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件．

故选D．

2.【答案】C

【解析】解：若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，故A正确；

“x=1”时，“x≥1”成立，“x≥1”时，“x=1”不一定成立，

故“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件，故B正确；

“sinx=”时，“x=”不一定成立，“x=”时，“sinx=”成立，

故“sinx=”的充分不必要条件是“x=”，故C错误；

若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题￢p：∀x∈R，x2＜0，故D正确；

故选：C．

根据复合命题真假判断的真值表，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B，C，根据特称命题的否定，可判断D．

本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题，充要条件，特称命题的否定，难度不大，属于基础题．

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

利用椭圆的离心率，列出方程求解即可．

【解答】

解：焦点在x轴上的椭圆，

可得c=，

由离心率为，

可得：，

解得a=3．

故选C．

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力,属于基础题. 第5页，共13页 化简抛物线方程，直接求解即可．

【解答】

解：抛物线y=-的标准方程为x2=-8y，

可得p=4，

抛物线y=-的准线方程是y=2．

故选C．

5.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查学生掌握双曲线的性质，会利用待定系数法求双曲线的标准方程，是一道中档题．

由虚轴长是12求出虚半轴b，根据双曲线的性质c2=a2+b2以及离心率，求出a2，写出双曲线的标准方程．

【解答】

解：根据题意设双曲线的标准方程为,

可知2b=12，解得b=6①,

又因为离心率e==② ,

根据双曲线的性质可得a2=c2-b2 ③ ,

由①②③得，a2=64 ,

所以双曲线的标准方程为： ,

故选D.

6.【答案】B

【解析】解：直线过定点，

由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．

△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，

故选：B．

直线过定点，由椭圆定义可得AN +AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出结果．

本题考查椭圆的定义，直线经过定点问题，直线和圆锥曲线的关系，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中档题．

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了空间向量的基本定理，属于基础题．

向量，，共面，存在实数m，n使得=，即可得出．

【解答】

解：向量，，共面，又与不共线，

∴存在实数m，n使得=， 第6页，共13页 ∴，解得λ=1．

故选A．

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查异面直线AC与BD所成角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线AC与BD所成角是关键，属于中档题．

分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EFBD，EGAC，则∠FEG为异面直线AC与BD所成角．

【解答】

解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，

连接EF,EG,FO,FG,GO,

则EFBD，EGAC，OFAB，

∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．

因为AB⊥平面BCD，BC，BD，OG在平面BCD内，

则AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥OG，

则FO⊥OG，

设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，

∴为等边三角形，即∠FEG=60°，

∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，

故选A．

9.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．

由双曲线解析式确定出渐近线方程，分类讨论m=0与m≠0，确定出双曲线与直线公共点个数即可．

【解答】

解：由双曲线-=1，得到a=3，b=2，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x，

当m=0时，直线y=-x与双曲线没有公共点；

当m≠0时，直线y=-x+m与双曲线渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，

综上，双曲线-=1与直y=-x+m（m∈R）的公共点的个数为0或1，