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《概率论与随机过程》复习

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第一章 概率论的基本概念 一、事件的关系事件的并：A B 表示“,A B 中至少有一个发生”。

事件的交：AB 表示“,A B 同时发生”。

1. 设A , B , C 为随机事件，则事件“A , B , C 至少有一个发生” 可表示为_______。

2．设A,B,C 为随机事件，则A ，C 至少有一个发生而B 不发生的事件表示为_______。

互不相容：,A B 互不相容⇔AB =O/ 二、概率的性质一般加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+- 当,A B 互不相容时，()()()P A B P A P B =+1． 设2.0)(,1.0)(,3.0)(===AB P B P A P ,求()P A B 。

2． 已知()0.4, ()0.2, ()0.1P A P B P A B === ，求()P AB 。

3． 两人同时独立地射击同一目标，他们能单独射中的概率分别为12,23，求能将目标射中的概率。

三、概率的计算条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =乘法公式：()()(|)P AB P A P B A =当,A B 相互独立时，()()()P AB P A P B = 当,A B 互不相容时，()0P AB =全概率公式：1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+（其中12,A A 为样本空间的一个划分）1. 若()0.1P B =，()0.02P AB =，求在B 发生的条件下，A 发生的概率。

2．设袋中有4个红球，5个白球，若从中任取3个球，求取到两个红球一个白球的概率。

3．有甲、乙两个口袋，甲袋中装有2个白球和3个黑球，乙袋中装有3个白球和4个黑球.现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求从乙袋中取出的球为黑球的概率。

第二章 随机变量及其分布一、分布函数 (){}F x P X x =≤ 1. 设离散型随机变量X 的分布律如下，求（1）分布函数()F x ；（2）求{}32P X -<≤。

二、概率密度()d =1f x x +∞-∞⎰，()()d x F x f t t -∞=⎰X 3 14 1214 P 2 1-1．设随机变量X 的概率密度为,01,()0,Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他求（1）常数A ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）11{}42P X ≤≤。

2．设随机变量X 的概率密度为23,01,()0,x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他求（1）X 的分布函数()F x ；（2）11{}32P X ≤≤。

三、六个重要分布三个离散型：①X 服从参数p 的(01)-分布，X 的取值为0和1X 的分布律：② 二项分布：~(, )X b n p X 的取值为0,1,2,,nX 的分布律：{}k k n kn P X k C p q -==， 0,1,2,,k n = (1)q p =- ③ 泊松分布：X 服从参数为λ的泊松分布，~()X πλ X 的取值为0,1,2,X 的分布律：{}!kP X k e k λλ-==， 0,1,2,k =1．设随机变量2~(5,)3X b ，求{2}P X =。

2．设随机变量X 服从参数3λ=的泊松分布，求{0},P X ={1}P X =。

三个连续型：① 均匀分布：~(,)X U a b ，X 的概率密度1,,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他② 指数分布：随机变量X 服从参数为λ的指数分布，X 的概率密度,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩③ 正态分布：2~(,)X N μσ，X 的概率密度22()2()x f x μσ--=▲ ~(0,1)X N ，X 的概率密度22()x x ϕ-=，其分布函数为()x Φ。

▲ ()1()x x Φ-=-Φ ▲ 若2~(,)X N μσ，则~(0,1)X N μσ-。

X 0 11p - p P1．以下函数哪些可作为随机变量的概率密度：121,0()20,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，121()2x f x e -=，24()x f x -=，28()x f x -=，22()x f x -=2. 设)1,0(~N X ，求{||2}P X ≤。

（其中(2)0.9772Φ=）3. 设~(3,4)X N -，则以下服从)1,0(N 的随机变量为 ( ); (A) 34X - (B) 34X + (C) 32X + (D) 32X -第三章 多维随机变量及其分布一、二维离散型随机变量的分布律、边缘分布 1. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为求关于X 和Y 的边缘分布律；二、两随机变量独立的等价条件 离散型：X 和Y 相互独立⇔ij i j p p p ⋅⋅=⋅ 1. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为若X 与Y 相互独立，则α=，β=。

连续型：X 和Y 相互独立⇔(,)()()X Y f x y f x f y = 其中(,)f x y 是(,)X Y 的联合概率密度， (),()X Y f x f y 分别是关于X 和Y 的边缘概率密度二维均匀分布：(,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他其中G 是平面上的有界区域，区域G 的面积为A 。

1．设随机变量X 和Y 相互独立，且~(,)X U a b ，~(,)Y U a b ，求(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y 。

2．设随机变量X 和Y 相互独立，且~(1,4)X U ，~(1,4)Y U ，则(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y 在区域{(,)|14,14}x y x y ≤≤≤≤的函数值为 。

3．设随机变量~(1,1),~(0,1)X U Y N -，且X 与Y 相互独立，求),(Y X 的联合概率密度(,)f x y 。

Y X 0 0 1 121 16121 41YX 1- 010.03 2 1 βα 0.18 0.090.07第四章 随机变量的数字特征 一、数学期望()E X ，方差()D X22()()[()]D X E X E X =-离散型：1．设离散型随机变量X 的分布律为求()E X ()D X 。

连续型：连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，则()()d E X x f x x+∞-∞=⋅⎰，22()()d E X x f x x +∞-∞=⋅⎰；22()()[()]D X E X E X =-1．设随机变量X 的概率密度为23,01,()0,x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他，求()E X ，2()E X ，()D X 。

二、数学期望和方差的性质数学期望的性质：（1）若C 为常数，则()E C C = （2）若C 为常数，则()()E CX CE X = （3）()()()E X Y E X E Y +=+（4）若X 和Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =方差的性质：（1）若C 为常数，则()0D C =（2）若C 为常数，则2()()D CX C D X =（3）若X 和Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+三、六个重要分布的数字特征① 设X 服从参数p 的(01)-分布，则()E X p =，()(1)D X p p =- ② 若随机变量~(, )X b n p ，则()E X np =，()(1)D X np p =- ③ 若随机变量~()X πλ，则()E X λ=，()D X λ=④ 若随机变量~(,)X U a b ，则()2a b E X +=，2()()12b a D X -=⑤ 若X 服从参数为λ的指数分布，则1()E X λ=，21()D X λ=⑥ 若随机变量2~(,)X N μσ，则()E X μ=，2()D X σ=1．设)5.0,4(~b X ，求X 的均值和方差分别为（ ） （A ）()2,()1E X D X == （B ）()4,()0.5E X D X == （C ）()4,()2E X D X == （D ）()1,()2E X D X == 2．若随机变量~(3, 0.6)X b ，则()E X =，()D X =。

X 3310610110P 213. 设随机变量X 服从参数为2λ=的泊松分布，则下列结论正确的是（ ）（A ）11(),()22E X D X == （B ）11(),()24E X D X ==（C ）()2,()4E X D X == （D ）()2,()2E X D X ==4. 设X 服从参数12λ=的指数分布，则()E X =，()D X =。

5．设随机变量X ，Y 相互独立，且1~(8,)4X b ，~(1)Y π，求()E XY 。

6．设~(0,4)X U ，~(3)Y π，, 则(2)E X Y +=（ ） （A ）10 （B ）6 （C ）7 （D ） 8 7．设~(8,0.5)X b ，则(3)D X = 8．设X的概率密度为24()x f x -=,则()E X =，()D X =。

四、协方差、相关系数的计算与性质协方差计算公式：Cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =- 协方差的性质：（1）若,a b 为常数，则Cov(,)Cov(,)aX bY ab X Y = （2）1212Cov(,)Cov(,)Cov(,)X X Y X Y X Y +=+ X 与Y的相关系数：XY ρ1. 设随机变量X 和Y 的协方差Cov(,)1X Y =-，则Cov(2,5)X Y -=2. 设随机变量X 和Y 的协方差1Cov(,)4X Y =-，则Cov(12,)3YX -=3．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为 求(1)X 的分布函数)(x F ；（2）)(X E ，)(Y E ， ),(Cov Y X .第五章 随机过程的概念及其统计特性随机过程的数字特征：（1）均值函数：()[()]X t E X t μ= （2）均方值函数：22()[()]X t E X t ψ=（3）方差函数：22(){[()()]}X X t E X t t σμ=-（4）自相关函数：1212(,)[()()]X R t t E X t X t =（5）自协方差函数：121122(,){[()()][()()]}X X X C t t E X t t X t t μμ=-- 数字特征之间关系： （1）2()(,)X X t R t t ψ=Y X 1- 12118 1919 2 0 16 29 13（2）121212(,)(,)()()X X X X C t t R t t t t μμ=-（3）22()(,)(,)()X X X X t C t t R t t t σμ==-1．设随机过程()X t Xt b =+（b 为常数），(,)t ∈-∞+∞，~(1,4)X N ，求均值函数()X t μ，方差函数2()X t σ，自相关函数12(,)X R t t 。

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北邮概率论与随机过程笔记

北邮概率论与随机过程笔记

北邮概率论与随机过程笔记北邮概率论与随机过程笔记第一章绪论1.1 概率论的起源与发展1.2 概率的基本概念1.3 概率论的应用领域1.4 随机过程的起源与发展1.5 随机过程的基本概念1.6 随机过程的应用领域第二章概率论的基本概念2.1 随机试验与随机事件2.2 频率与概率2.3 古典概型2.4 贝叶斯概型2.5 随机变量2.6 随机变量的函数及其分布2.7 条件概率与条件分布2.8 独立性第三章随机变量及其分布3.1 离散型随机变量及其分布3.2 连续型随机变量及其分布3.3 随机变量的数学期望3.4 随机变量的方差与标准差3.5 随机变量的矩与生成函数3.6 概率母函数与特征函数3.7 大数定律与中心极限定理第四章多维随机变量及其分布4.1 多维随机变量及其分布函数4.2 联合分布函数与边缘分布函数4.3 多维离散型随机变量的分布4.4 多维连续型随机变量的密度4.5 条件分布与独立性4.6 随机变量的矩与协方差矩阵4.7 多维随机变量的生成函数与特征函数第五章数理统计基本概念5.1 数理统计的概念与作用5.2 参数估计与假设检验5.3 点估计与区间估计5.4 最大似然估计5.5 矩估计5.6 假设检验5.7 重要的假设检验第六章随机过程基本概念6.1 随机过程的概念与分类6.2 随机过程的样本函数与轨道6.3 随机过程的数学描述6.4 平稳性与各态平衡性6.5 随机过程的独立增量性与平稳增量性第七章随机过程的数学描述7.1 随机过程的数学描述7.2 随机过程的分布函数、密度函数与生成函数7.3 平稳随机过程的均值序列与相关函数7.4 广义平稳随机过程7.5 随机过程的协方差函数与自相关函数7.6 平稳随机过程的功率谱第八章马尔可夫链8.1 马尔可夫链的概念8.2 马尔可夫链的数学描述8.3 长期行为与不可约性8.4 平稳分布与转移概率矩阵8.5 极限分布与转移概率8.6 马尔可夫链的细致平衡方程第九章扩散过程9.1 扩散过程的概念与分类9.2 布朗运动与维纳过程9.3 平稳扩散过程与布朗桥9.4 非平稳扩散过程9.5 随机微分方程及其应用第十章随机过程的数值计算10.1 随机过程的模拟方法10.2 马尔可夫链模拟10.3 扩散过程的数值模拟第十一章随机过程的应用11.1 队列论与排队模型11.2 信道容量与信息论11.3 金融工程与随机过程11.4 生物与生态系统中的随机过程11.5 电力系统中的随机过程第十二章最优控制问题12.1 动态规划问题与最优控制12.2 马尔可夫控制问题12.3 黑塞矩阵与二次型控制问题第十三章随机过程的其他扩展13.1 小波分析与随机过程13.2 分数阶随机过程13.3 非高斯与非马尔可夫随机过程总结：北邮的概率论与随机过程课程涵盖了概率论和随机过程的基础知识和应用，对于理解随机现象和建立数学模型具有重要的意义。

概率论与随机过程----第二讲

概率论与随机过程----第二讲

若BnλA，n=1,2,…，且Bn，有：

B
n 1
n
λA
（由BnλA ，则A Bnλ() ，且A Bn
n 1 2017/2/27
A B
n

λA）
北京邮电大学电子工程学院 8
第一节 集合代数和σ -代数
2. λA是包含的λ-系
（λA ，只要证明对任意的B B λA 由B λ ()，Aλ ()
第一节 集合代数和σ -代数
简单回顾上一讲的内容： 1. 集代数、σ -代数、单调类、 ()、μ()的定义 2. 它们之间的关系
σ -代数（可列可加） 集代数（有限可加）
σ -代数 单调类 集代数+单调类 σ -代数 μ()、 () 是存在且唯一的 是集代数，μ() = ()
Ω=Aλ() ）
若B,C λA且B C，有B\C λA
（ 由B,C λA， 有B,Cλ() ，且对任意 取定的Aλ()，有A B,A Cλ() ； 然而A B A C ，必有(A C)\ (A B) λ() 即(A C)\ (A B) =A (C\B) λ()，即C\B λA
第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.10 设，是由Ω的一些子集组成的非空集合类， 且
1. 若为λ -系, 是π -系，则：σ () 2. 若为单调类, 是集代数，则： σ ()
证明1：由于 ，是包含的λ -系
则也包含所生成的最小λ -系λ ()，即λ () 而是π -系，由定理1.1.9：λ ()= σ ()
1. Ω ； 2. 若 A,B ，A-B ；
而A-B=A-(AB) ABA 因此： A-B
概率统计和随机过程复习要点

概率统计和随机过程复习要点

概率统计和随机过程复习要点全书11章，都是考试内容，要全面复习。

题型填空题占40%左右，计算题60%左右。

主要内容1.事件与概率，掌握事件的表示方法以及古典概型的计算；熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式的应用（会考大题）；熟练掌握条件概率公式的计算方法以及两个独立事件乘积概率等于概率乘积。

2随机变量及其分布了解随机变量；会求离散型随机变量的分布律、连续性随机变量的密度函数，分布函数；掌握六种常用的随机变量及其分布，离散的：两点分布、二项分布、泊松分布分布律，连续的：均匀分布，指数分布、正态分布的密度函数（一定要会写出）。

已知X的密度函数f(x)，Y=G(X),会求Y的密度函数3.多维随机变量及其分布重点是二维随机变量边缘分布以及概率的求法；独立性判定（一般会考大题）相互独立的随机变量密度函数满足f(x,y)=f X(x)f Y(y)，会判定两个随机变量是否独立。

两个随机变量函数的分布：两个随机变量和、最大值的分布密度，注意到正态分布的和、差一定是正态分布。

主要是求出它的均值与方差就可以了。

4.随机变量的数字特征数学期望定义与求法，方差，协方差以及相关系数，会判断两个随机变量是否是相关的。

掌握6种重要的随机变量的均值与方差。

5 极限定理理解切比雪夫不等式的含义，会用切比雪夫不等式估计一个事件的概率6 抽样及抽样分布理解样本、抽样、样本值等概念会求离散型随机抽样的联合分布律、连续型随机抽样的联合分密度函数掌握统计量的定义，掌握样本均值、样本方差。

掌握几种常用的抽样分布，χ2分布的数学期望与方差，χ2分布的、T分布、F分布的分位点的含义及其关系。

F分布的性质F~F(n1,n2),则1/F~F(n2,n1),,T~T(n)则T2~F(1,n).掌握正态总体样本均值、样本方差的分布，掌握定理6.1—6.4（条件，结论）7 参数估计会求一个总体分布中未知参数的矩估计与最大似然估计（估计量与估计值）（会考大题）理解估计量的评选标准，会判断一个统计量是否为未知参数的无偏估计量，掌握正态总体的均值与方差的区间估计（填空题）8假设检验假设检验的一般步骤（6个步骤）（一般会考大题）（1）原假设H0，备择假设H1，（2）检验统计量及其服从的分布；（3）拒绝域（4）计算统计量的值；并与拒绝域的临界点值比较；（5）作出判断，接受或者拒绝原假设；（6）说明意义。

概率论与随机过程考点总结

概率论与随机过程考点总结

概率论与随机过程考点总结Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。

独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(母函数：∑∞===0)()(k kk kz p z E z g !)0()(k g p k k = )1()('g X E =2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX =二项分布 kn k k nq p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX ６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N XT n a a a a ),,,(21 =，T n x x x x ),,,(21 =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。