数学实验 Mathematic实验十 微分方程
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天水师范学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称 微分方程
所属课程名称 数学实验
实 验 类 型 微积分实验
实 验 日 期 2011.11.23
班 级
学 号
姓 名
成 绩
1 一、实验概述：
【实验目的】
1.掌握用Mathematica求微分方程及方程组解的方法；
2.学习求微分方程近似解的欧拉折线法.
【实验原理】
1.求解微分方程的命令DSolve.
对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组，可用Dsolve命令来求其通解或特解.例
DSolve[y''[x]+y'[x]-2*y[x]＝＝0，y[x]，x]
如果要求初值问题，输入
DSolve[{y''[x]+4y'[x]+3y[x]0，y[0]0，y'[0]10}，y[x]，x]
2.求微分方程数值解的命令NDSolve.
对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题，可以用NDsolve命令
NDSolve[{y'[x] y[x]^2+x^3，y[0] 0.5}，y[x]，{x，0，1.5}]
【实验环境】
Mathematic 4
二、实验内容：
【实验方案】
1.欧拉折线法;
2.用DSolve命令解微分方程;
3.用NDSolve命令求微分方程的近似解. 2 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1.欧拉折线法.
例10.1 用欧拉折线法解初值问题.
Clear[x，y，dx，f]；
x[0]=0；
dx=0.1；
y[0]=1；
x[n_]:=x[n]=x[n-1]+dx；
y[n_]:=y[n]=y[n-1]+(1+y[n-1])*dx；
euler=Table[{x[n]，y[n]}，{n，0，10}]；
zhx=TableForm[euler，TableHeadings{None，{"x"，"y(Euler)"}}]
Clear[g1，g2，y1，g3]；
g1=Graphics[Line[euler]]；
g2=ListPlot[euler]；
y1[x_]=2Exp[x]-1；
g3=Plot[y1[x]，{x，0，1}]；
Show[g1，g2，g3，AxesTrue]
Table[y1[x[n]]-y[n]，{n，1，10}]
2.用DSolve命令解微分方程.
例10.2 求微分方程22xxexyy的通解.
Clear[x，y]； 3 DSolve[y'[x]+2x*y[x]x*Exp[-x^2]，y[x]，x]
例l0.3 求微分方程0xxyye在初始条件(1)2ye下的特解.
Clear[x，y]；
DSolve[{x*y'[x]+y[x]-Exp[x]0，y[1]2E}，y[x]，x]
例10.4 求微分方程xeyyyx2cos52的通解.
Clear[x，y]；
DSolve[y''[x]-2y'[x]+5y[x]＝＝Exp[x]*Cos[2x]，y[x]，x]//Simplify
例10.5 (*example10.5*).
Clear[x，y，t]；
DSolve[{x'[t]+x[t]+2y[t]＝＝Exp[t]，y'[t]-x[t]-y[t]＝＝0，x[0]＝＝1，y[0]＝＝0}，{x[t]，y[t]}，t]//Simplify
3.用NDSolve命令求微分方程的近似解.
例10.6 求初值问题：(1)(1)0,(1.2)1xyyxyyy在区间[1.2,4]上的近似解并作图.
f1=NDSolve[{(1+x*y[x])*y[x]+(1-x*y[x])*y'[x]＝＝0，y[1.2]＝＝1}，y，{x，1.2，4}]
Plot[Evaluate[y[x]/.f1]，{x，1.2，4}]
y[1.6]/.f1
例10.7 求范德波尔方程2(1)0,(0)0,(0)0.5yyyyyy在区间[0，20]上的近似解.
Clear[x，y]； 4 NDSolve[{y''[x]+(y[x]^2-1)*y'[x]+y[x]＝＝0，y[0]＝＝0，y'[0]＝＝-0.5}，y，{x，0，20}]；
Plot[Evaluate[y[x]/.%]，{x，0，20}]
【实验结论】（结果）
1.用Mathematica求微分方程及方程组解的方法；
2.学习求微分方程近似解的欧拉折线法．
【实验小结】（收获体会）
掌握用Mathematica求微分方程及方程组解的方法，学习求微分方程近似解的欧拉折线法．
三、指导教师评语及成绩：
评 语 评语等级
优 良 中 及格 不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成 绩：
指导教师签名：
批阅日期： 5 附录1：源 程 序
实验十 微分方程
第一题
(1)
Clear[x,y];
DSolve[y''[x]+6*y'[x]+13*y[x]0,y[x],x]
yx3xC2Cos2x3xC1Sin2x
(2)
Clear[x,y];
DSolve[D[y[x],{x,4}]+2*y''[x]+y[x]0,y[x],x]//Simplify
yxC2xC4CosxC1xC3Sinx
(3)
Clear[x,y];
DSolve[D[y[x],{x,4}]-2*y'''[x]+y''0,y[x],x]
yxC1xC2x2C32xC4x3y12
(4)
Clear[x,y];
DSolve[y''[x]-2*y'[x]+5*y[x]Exp[x]*Sin[2*x],y[x],x]
yxxC2Cos2xxC1Sin2x18xCos2x2Sin2x12xCos2xx218Sin4x 6 (5)
Clear[x,y];
DSolve[y''[x]-6*y'[x]+9*y[x](x+1)*Exp[3*x],y[x],x]
yx163x3x2x36C16xC2
第二题
(1)
Clear[x,y];
DSolve[{y''[x]+4y'[x]+29y[x]0,y[0]0,y'[0]15},y[x],x]
yx32xSin5x
(2)
Clear[x,y];
DSolve[{y''[x]-y[x]4*x*Exp[x],y[0]0,y'[0]1},y[x],x]
yx12x222x22xx22xx2
(3)
Clear[x,y];
DSolve[{y''[x]+y[x]+Sin[2x]0,y[Pi]1,y'[Pi]1},y[x],x] 7 yx133CosxSinxSin2x
第三题
Clear[x,y];
DSolve[{(x^2-1)y'[x]+2*x*y[x]-Cos[x]0,y[0]1},y[x],x]
yx1Sinx1x2
Clear[x,y];
g1=NDSolve[{(x^2-1)*y'[x]+2*x*y[x]-Cos[x]0,y[0]1},y,{x,0,1}]
yInterpolatingFunction0.,1.,
Plot[Evaluate[y[x]/.g1],{x,0,1}]
0.20.40.60.812468
Graphics 8 第四题
Clear[x,y,t];
DSolve[{x'[t]+5*x[t]+y[t]Exp[x],y'[t]-x[t]-3*y[t]Exp[2*x]},{x[t],y[t]},t]//Simplify
xt1210115t45t15tx15t15t2x7215t15415C115C2715415C115C2,yt1210115t15t15tx75t15t2x715C115415C27215t15C115415C2
第五题
Clear[x,y,t];
DSolve[{x'[t]+3*x[t]-y[t]0,y'[t]-8*x[t]+y[t]0,x[0]==1,y[0]4},{x[t],y[t]},t]
xtt,yt4t
第六题
Clear[x,y];
DSolve[x^2*y''[x]+x*y'[x]-4*y[x]x^3,y[x],x]
yxx35C1x2x2C2
第七题
Clear[x,y];
NDSolve[{y''[x]+x*y'[x]+y[x]0,y[1]0,y'[2]5},y,{x,0,4}]
yInterpolatingFunction0.,4.,
Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,4}] 9 12341020304050
Graphics
附录2：实验报告填写说明
1.实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2.实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3.实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4.实验环境：实验用的软、硬件环境。
5.实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，应注明其创新点、特色。
6.实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7.实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8.实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9.指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
