2020年高中数学必修二《直线与圆的位置关系》

新编人教版精品教学资料

高中数学必修2直线与圆的位置关系（典例）

已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0

1．位置关系的判定：

判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程

(1)△>0相交；

(2)△=0相切；

(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d

(1)d

(2)d=r相切；

(3)d>r相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点 ，

∵点P在圆O内，

∴直线L与圆O相交。

法二：圆心O到直线L的距离为

当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，

∴14m2+4m+17>0

∴m∈R

所以直线L与直线O相交。

法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0

∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)

当m≠1时，△>0，直线与圆相交；

当m=1时，直线L： ，此时直线L与圆O相交 综上得直线L与圆O恒相交。

[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。

例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值

法一：设P(cosα，sinα)为圆上一点，则点P到直线的距离为

=

∴当

时，dmin=4.

法二：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直于点M， 此时，l与圆有两个交点A、B，

∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，

∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的

2.2.3直线与圆的位置关系

一、教学目标

1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

2、过程与方法：设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当rd时，直线l与圆C相离；（2）当rd时，直线l与圆C相切；（3）当rd时，直线l与圆C相交；

3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．

二、教学重点、难点

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．

三、教学方法：学导式

四、教学过程

问 题 设计意图 师生活动

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课． 师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．

生：看图，并说出自己的看法．

2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？

得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类． 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想．

问 题 设计意图 师生活动

生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．

3．在初中，我们怎样判断直使学生回忆师：引导学生回忆初中判断直

线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 初中的数学知识，培养抽象概括能力． 线与圆的位置关系的思想过程．

生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．

4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？ 抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法． 师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．

高一数学 导学案”

课题 2.3 直线与圆的位置关系 时间：元月6日 班级 姓名

【学习目标】运用坐标法进行直线与圆的位置关系的代数化处理，让学生明确用坐标法解决几何

问题的明确规则和方式，使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻

地体会坐标法思想。

【重点难点】用解析法判断直线与圆的位置关系

【知识链接】回忆判断直线与圆的位置关系，填写下面的表格

直线与圆的位置关系的分类 公共点个数 与的关系 图形

【本节问题】本节来学习如何用坐标方法来判断直线与圆的位置关系

【学法指导】

【学习过程】

（一）例题分析

问题1已知直线 l :

3x+4y-5=0 与圆x2+y2=1 ,试判断直线与圆的位置关系

学法：自学81页

（1）几何法：（与的关系法）

步骤总结①

② ③

（2）代数法：（方程法）

步骤总结① ② ③

④

（二）方法应用（1）判断位置关系

例5 判断下列直线与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系

（1）x-y-2=0 （2）x+2y-1=0

法（1）几何法（与的关系法）

法（2）代数法（方程法△法）

反思步骤 ， ， ，

（2）已知位置关系求待定值

例6 已知直线l:mx-y+2=0与圆x2+y2=1相切，求实数m的值

思路探究：要求m的值，将其看做未知数列方程。关键找等量关系。可从已知相切

得性质-------等量关系=

（三）自主探究 课本83页练习1，2

1 / 21

直线与圆的位置关系

知识集结

知识元

不含有参数的直线与圆位置关系

知识讲解

1．直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法

直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：

（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．

圆心到直线的距离d＝

①相交：d＜r

②相切：d＝r

③相离：d＞r

（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断． 2 / 21

由消元，得到一元二次方程的判别式△

①相交：△＞0

②相切：△＝0

③相离：△＜0．

例题精讲

不含有参数的直线与圆位置关系

例1.

已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是

．

【答案】

5﹣

【解析】

题干解析:设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．

例2.

点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为 ．

【答案】

【解析】 3 / 21

题干解析:圆心（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==．再由d﹣r=﹣1，知最小距离为1．故答案为：．

例3.

经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（ ）

A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0

C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0

【答案】A

【解析】

题干解析:

圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，