函数的基本概念

函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。

2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。

对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。

（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。

3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。

（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。

二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。

2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。

（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。

周期函数的图像具有周期性。

（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。

三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。

函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。

它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。

一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。

其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。

例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。

对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。

二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。

函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。

2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。

换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。

3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。

换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。

4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。

换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。

三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。

例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。

函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。

本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。

一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。

函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。

函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。

定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。

在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。

2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。

即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。

这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。

3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。

如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。

反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。

4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。

如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。

而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。

5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。

如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。

三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。

在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。

在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。

函数的基本概念和性质函数在数学里是一种非常重要的数学对象，被广泛应用于各个领域。

它具有一些基本的概念和性质，下面将介绍它们。

一、函数的基本概念函数是一种对应关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的唯一元素上。

一般来说，设A和B是两个非空集合，如果对于A中的每个元素a都有唯一确定的元素b与之对应，那么我们就说存在一个从A到B的函数。

通常用f表示这个函数，可以写作f：A→B。

其中，A称为函数的定义域，B称为函数的值域。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是定义函数的两个重要方面。

函数的定义域指的是所有输入的可能值，而值域则是所有可能的输出值。

2. 单射、满射和双射：函数的性质可以根据其映射关系来分类。

如果一个函数每个不同的输入值都有不同的输出值，那么它是一个单射函数，也被称为一一对应函数。

如果一个函数的值域与其值域相等，即每个值域中的元素都有对应的定义域元素，那么它是一个满射函数。

而如果一个函数既是单射又是满射，那么它被称为双射函数，也叫做一一映射函数。

3. 复合函数：复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入而得到的函数。

假设有两个函数f：A→B和g：B→C，那么它们的复合函数是指另一个函数h：A→C，其中 h(x) = g(f(x))。

4. 反函数：有些函数存在反函数，反函数是指与原函数的映射关系相反的另一个函数。

如果一个函数f：A→B存在反函数，那么它的反函数可以表示为f^(-1)：B→A。

5. 奇偶函数：如果一个函数f(-x) = f(x)对于任意x成立，那么它被称为偶函数。

如果一个函数f(-x) = -f(x)对于任意x成立，那么它被称为奇函数。

有些函数既不是奇函数也不是偶函数，这类函数被称为既非奇也非偶的函数。

6. 周期函数：如果一个函数f(x + T) = f(x)对于任意x成立，其中T是一个常数，那么函数f是一个周期函数，周期为T。

7. 上下界和最值：函数的上下界是指函数在定义域上能够取到的最大值和最小值。

函数基本概念与性质函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍函数的基本概念与性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。

一、函数的基本概念在数学中，我们把一种关系描述为函数，当且仅当每个自变量（输入值）对应唯一的因变量（输出值）。

函数可以用各种符号表示，例如"f(x)"、“y=f(x)”或者"y = f(x)"。

1. 自变量和因变量：函数的自变量表示输入值，通常用x表示；函数的因变量表示输出值，通常用y表示。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。

3. 关系图像：函数的关系图像是将自变量和因变量用平面直角坐标系表示出来的图形。

二、函数的性质函数有一些基本的性质，包括可确定性、唯一性、单调性、有界性等。

1. 可确定性：给定自变量的值，函数能够唯一确定因变量的值。

2. 唯一性：每个自变量对应唯一的因变量，同一个因变量不会有多个自变量对应。

3. 单调性：函数在定义域上可能是递增的（函数值随自变量的增大而增大）、递减的（函数值随自变量的增大而减小）或者保持不变。

4. 有界性：函数可能在定义域上有上界或下界，也可能同时存在上界和下界，或者没有有界性。

三、函数的应用函数在数学中有着非常广泛的应用，同时也在其他学科和实际问题中起到重要的作用。

1. 函数在代数学中可以用来表示各种数学关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

2. 函数在微积分中用来描述变化率和导数，帮助我们求解曲线的斜率和极值等问题。

3. 函数在统计学中用来表示随机变量的分布、概率密度函数、累积分布函数等。

4. 函数在物理学中用来描述各种物理量之间的关系，如速度和时间的关系、位移和时间的关系等。

总结：函数是数学中重要的概念之一，具有可确定性、唯一性、单调性和有界性等性质。

函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，包括代数学、微积分、统计学和物理学等领域。

§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法．2．映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 5．函数定义域的求法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )(4)f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2， －1≤x ≤1，x ＋1，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2， －1≤x ≤1，－x ＋1，x >1或x <－1.( √ )(5)函数是特殊的映射．( √ )(6)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )1．(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x >0，解得x >1或x <0.所以函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为 (－∞，0)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值组成的集合为________．答案 {3,0}解析 当a >0时，由log 3a ＝1，解得a ＝3>0，符合题意，当a ≤0时，由(13)a ＝1，解得a ＝0，符合题意，综上所述，a ＝0或a ＝3. 4．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图像不是一条直线； 对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 (2)下列四个图像中，是函数图像的是( )A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④答案 (1)A (2)B解析 (1)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)， f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.(2)由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图像，①③④是函数图像． 题型二 求函数的解析式例2 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)(2013·安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，则f (x )＝________.答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－x (x ＋1)2 (3)2x －1x(x ≠0) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)把题目中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x，联立方程⎩⎨⎧2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①2f (1x )＋f (x )＝3x，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x (x ≠0)．即f (x )＝2x －1x (x ≠0)．题型三 求函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)(2013·大纲全国)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)答案 (1)B (2)B解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为(－1，－12)．思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________________________________________________________________________． 答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型四 分段函数例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2B ．1C. 2D ．－ 2答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2； 当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.思维升华 (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (19))＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝12的解集为________．答案 (1)14 (2){－1，22，2}解析 (1)f (f (19))＝f (log 319)＝f (－2)＝2－2＝14.(2)当x ≤0时，解2x ＝12得x ＝－1；当x >0时，解|log 2x |＝12得x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2.分段函数意义理解不清致误典例：已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案 －34温馨提醒 (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解．失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1， 解得x >2或0<x <12.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.139答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( )A ．－2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 答案 D解析 f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 6．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(填序号)①P ＝Z ，Q ＝N ＋，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对集合P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．答案 ②解析 由于在①中，集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而知只有②正确．7．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________. 答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，f (x －2)，x >2，则f (log 27)＝________. 答案 74解析 f (log 27)＝f (log 27－2)＝f (log 274)＝27log 42＝74. 9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . 10．某人开汽车沿一条直线以60km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图像．解 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ， 0≤t ≤52，150， 52<t ≤72，150－50，(t －72) 72<t ≤132. 图像如右图所示． B 组 专项能力提升 (时间：15分钟) 11．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.12．(微课)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3} 答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]；当a ≤x <0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)， 所以[－12a ，－1)⊆[－8,1]，－8≤－12a <－1， 即－3≤a <0.13．已知f (x )＋2f (－x )＝3x －2，则f (x )＝______.答案 －3x －23解析 由f (x )＋2f (－x )＝3x －2，①可得f (－x )＋2f (x )＝－3x －2，②①－②×2得，－3f (x )＝3x －2－2(－3x －2)＝9x ＋2，∴f (x )＝－3x －23. 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是____________________． 答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图像，得⎩⎨⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， ∴y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2， 得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

函数的基本概念及其应用函数是数学中常见的一个概念，其应用广泛，涉及多个学科领域。

本文将介绍函数的基本概念和应用。

一、函数的定义函数是一种映射关系，描述了一个变量集合中每个元素与另一个集合中唯一元素之间的对应关系。

通俗来说，函数就是一种从一个集合到另一个集合的规则或方法。

二、函数的符号表示一般地，用小写字母表示自变量，用对应的大写字母表示函数，即y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 是函数，表示自变量 x 经过函数 f 后得到的因变量 y。

三、函数的图像表示函数的图像是平面直角坐标系上的曲线或线段，描述了函数在自变量变化过程中因变量的取值变化规律。

函数图像的性质和特征能够帮助我们更好地理解和应用函数。

四、函数的种类函数的种类有很多，常见的包括：1、常函数：对于任意自变量 x，函数值都相同，即 f(x) = c，其中 c 为常数。

2、一次函数：函数的形式为 f(x) = kx + b，其中 k、b 为常数，是线性函数的一种。

3、二次函数：函数的形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 都是常数，是一个二次曲线函数。

4、指数函数：函数的形式为 f(x) = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数，是一种以常数为底数的指数函数。

5、对数函数：函数的形式为 f(x) = loga x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数，是一种以常数为底数的对数函数。

五、函数的应用函数的应用广泛，涉及多个学科领域。

以下是一些典型的应用场景：1、物理学中，速度、加速度等都是自变量和因变量之间的函数关系。

2、经济学中，供给与需求、成本与收益、投资回报等都是函数关系。

3、计算机科学中，算法可以看做输入和输出之间的函数关系。

4、金融学中，复利计算、合理定价等都需要函数概念。

5、生物学中，进化规律、遗传规律等都可以用函数来描述。

六、总结本文介绍了函数的基本概念和应用。

函数数学知识点归纳函数是数学中一个重要的概念，它描述了不同数值之间的关系。

函数的概念在数学中有广泛的应用，包括代数、几何、微积分等领域。

以下是一些函数的基本概念和常见知识点的归纳：1.函数的定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

通常用f(x)表示函数，表示将输入x映射到输出f(x)。

函数可以用公式、图像或者表格表示。

2.定义域和值域：函数的定义域是所有可能的输入值的集合，也叫做自变量的取值范围。

值域是函数所有可能的输出值的集合，也叫做因变量的取值范围。

3.基本初等函数：常见的基本初等函数包括线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

这些函数在数学中有广泛的应用和研究。

4.函数的图像：函数的图像是在坐标平面上表示函数的点集合。

对于实数函数，通常用笛卡尔坐标系来表示函数的图像。

函数的图像可以通过画出一些特定的点或者使用连续曲线来表示函数的形状。

5.奇函数和偶函数：奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数，图像关于原点对称。

偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数，图像关于y轴对称。

奇函数和偶函数在对称性、性质以及求值时有不同的特点。

6.函数的性质：函数可以有不同的性质，包括单调性、周期性、奇偶性、连续性等。

单调函数是指在定义域上递增或递减的函数；周期函数是指存在一个正数T，对任意x，有f(x+T)=f(x)的函数。

7.函数的运算：函数之间可以进行一系列的运算，包括加法、减法、乘法、除法、复合等。

函数的加法是指将两个函数的输出相加，函数的减法是指将两个函数的输出相减，函数的乘法是指将两个函数的输出相乘，函数的除法是指将一个函数的输出除以另一个函数的输出。

8.反函数：如果一个函数f的定义域和值域对调，且对于定义域上的任意元素x和值域上的元素y，满足f(x)=y和f^(-1)(y)=x，那么f^(-1)是f的反函数。

反函数可以通过交换自变量和因变量得到。

9.复合函数：复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。

所有关于函数的知识点总结在数学中，函数通常是指自变量和因变量之间的一种对应关系。

直观上，我们可以将函数理解为一个机器，它接收一个输入，经过某种变换，产生一个输出。

这样的一个变换关系通常可以用一个数学表达式来表示。

函数的定义多种多样，主要有显式定义、隐式定义、参数形式定义、递推式定义等。

在这些定义下，函数可以是分段函数、多元函数、实函数、分数函数、三角函数以及反三角函数等等。

一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是最基本的数学概念之一。

函数是一个特殊的映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的唯一元素。

在数学上，一般来说，我们记函数为f，它表示从集合A到集合B的一个映射。

函数的定义可以表述为：设A和B为非空集合。

若集合A中的每一个元素a通过某种确定的方法f，都有一个确定的元素b与之对应，那么就说f是从A到B的一个函数，记作f：A→B。

其中，a叫做自变量，b叫做因变量。

我们通常用f(a)来表示b。

这里有一点需要注意，函数的定义域和值域的选择对函数的性质有重要影响，而且通常情况下，函数的定义域和值域并不是任意确定的，而是根据实际应用需要选择的。

由于函数的百变性，在数学上我们还有不少关于这部分的内容需要学习。

1.2 函数的图像函数的图像是研究函数的一个重要工具。

通常来说，我们先确定函数的定义域，然后确定自变量取值的范围，并根据函数的定义，计算出对应的因变量的值。

最终，我们可以得到一系列有序对(x,y)，根据这些点我们可以绘制出这个函数的图像。

通常来说，我们绘制的图像是平面直角坐标系中的二维图像，但是有时候我们为了更好的表示函数的性质，会用到三维图形或者等高线图等。

利用函数的图像，我们可以直观的了解函数的性质和规律。

1.3 常见函数函数的定义是非常广泛的，数学中有非常多的函数概念。

其中常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。

这些函数都有各自的定义域、值域和图像。

另外，我们还有一些常见的特殊函数，比如阶乘函数、取整函数、绝对值函数等。

基本的函数概念
函数是数学中的一个基本概念，它描述了一个量如何随着另一个量的变化而变化。

在数学中，函数通常用符号f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数的基本概念包括：
1.定义域：函数的定义域是指所有允许作为自变量的实数集合。

在数学中，通常用字母D表示定义域。

2.值域：函数的值域是指所有可能的函数值的集合。

在数学中，通常用字母R表示值域。

3.函数表达式：函数表达式是指一个函数的数学表达式，它描述了自变量和因变量之间的关系。

函数表达式通常由一个公式或等式组成。

4.函数图像：函数图像是指函数在坐标系中的图像。

函数图像可以用来直观地理解函数的性质和变化规律。

5.函数的奇偶性：如果对于定义域内任意的x，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于定义域内任意的x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

6.函数的单调性：如果对于定义域内任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在定义域内单调递增；如果对于定义域内任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在定义域内单调递减。

7.函数的极值：如果对于函数f(x)的定义域内的某个区间，存在一个数c，使得对于该区间内的任意x，都有f(c)≥f(x)，则称c是函数f(x)的极大值；如果对于函数f(x)的定义域内的某个区间，存在一个数d，使得对于该区间内的任意x，都有f(d)≤f(x)，则称d是函数f(x)的极小值。

函数是数学中非常重要的概念，它不仅在初等数学中有广泛的应用，而且在高等数学、物理学、工程学等领域中也有着重要的应用。

函数的基本概念函数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域的数学问题求解和实际生活中的应用。

在数学中，函数是指两个集合之间的一种特殊关系，它把一个集合的每一个元素都唯一地对应到另一个集合的元素上。

1、函数的定义函数可以简单地理解为一种对应关系，形式上可以表示为：f: A→B，其中A和B是两个集合，称为定义域和值域。

对于A中的每一个元素a，函数f把它映射到B中的一个唯一元素上，我们用f(a)表示这个映射后的结果。

例如，我们可以定义一个简单的函数f: ℝ→ℝ，它把实数集合映射到实数集合上，其中f(x) = x^2。

对于任意实数x，函数f会把它映射到x的平方上。

2、函数的特性函数具有一些重要的特性，例如：（1）定义域和值域：函数的定义域是指所有可以输入的元素组成的集合，值域是指函数的输出结果组成的集合。

在定义函数时，需要明确指定定义域和值域。

（2）单射性：单射性是指不同的输入元素对应不同的输出元素。

即对于函数f中的不同元素a和b，如果f(a) = f(b)，则a = b。

（3）满射性：满射性是指每一个值域中的元素都有对应的定义域中的元素，即对于任意b∈B，都存在a∈A，使得f(a) = b。

（4）一一对应：一一对应是指函数同时具有单射性和满射性。

即对于函数f中的不同元素a和b，如果f(a) = f(b)，则a = b，并且对于任意b∈B，都存在唯一的a∈A，使得f(a) = b。

3、函数的图像函数的图像是函数的可视化表示方式，它可以帮助我们更直观地理解函数。

函数的图像通常是在笛卡尔坐标系中绘制的，横坐标表示定义域的元素，纵坐标表示对应的函数值。

以函数f(x) = x^2为例，我们可以将其图像绘制为一个抛物线。

当x 取负值时，函数值也是正数，所以抛物线在原点的左侧也有对应的点。

4、函数的表示方法除了使用公式的形式表示函数外，函数还可以使用其他方式进行表示。

常见的函数表示方法有：（1）函数表格：函数表格是一种简洁明了的表示方式，可以把函数的输入和输出结果都列在表格中。

函数的基本概念函数是数学和科学研究中的重要概念，它是数学的基础，也是统计学的基础。

它是定义某种关系的一种表示方法。

它的定义，有以下几种：1）一种函数是一种特殊的表达式，它把其中的一些变量映射到另外一个变量的值上。

2）函数本质上是把一些参数值映射到一个输出值上，也可以称为映射。

3）函数描述了一系列输入和输出之间的关系，也称为映射关系。

函数有很多种类，主要包括线性函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、微分函数，还有很多自定义函数。

线性函数是最常见的函数形式，它规定了输入变量x对输出变量y的关系，其格式为y=ax+b，其中a和b是确定的实数常量。

假设y=3x+2，当x=1时，y的值就确定为5，这就是线性函数的定义。

指数函数描述了关于某一个量的指数增长。

它的格式为y=a^x，其中a是定值，x是变量。

比如a=2时，当x=3时，y的值就是8，即2^3=8。

对数函数包括常用的对数函数和反对数函数，它们是指数函数的反函数。

对数函数的定义为y=loga（x），反对数函数定义为y=aloga （x），其中a是定值，x是变量。

比如a=2时，当x=8时，y的值就是3，即log_2（8）=3。

幂函数一般用来表示某种物理过程的模型。

它的格式为y=x^n，其中n是定值，x是变量。

比如n=3时，当x=2时，y的值就是8，即2^3=8。

三角函数是描述特定几何图形表面或轮廓的函数。

它们主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数和反正切函数。

正弦函数的定义为y=sinx，余弦函数定义为y=cosx，正切函数定义为y=tanx，反正切函数定义为y=cotx，其中x是变量。

微分函数是一种函数，它可以用来求一个位置或时间的变化量。

它的定义为y=dx/dt，其中x是变量，t是时间变量，d/dt表示对x 在时间t的变化速度的衡量。

此外，还有很多其他的函数，比如椭圆函数、抛物线函数、双曲线函数、介质函数等等。

这些函数的共同特点是，它们都可以把输入变量映射到输出变量，表达了特定的物理过程或关系，或记录了某一段时间中特定变量的行为变化。

函数的基本概念在数学中，函数是一种重要的概念，广泛应用于各个领域。

函数描述了一个变量与另一个变量之间的关系，是数学建模和问题求解的基础。

本文将介绍函数的基本概念以及与之相关的重要概念和性质。

一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

常用的记法是“f：X→Y”，表示函数f将集合X的元素映射到集合Y的元素上。

二、函数的符号表示函数可以用各种符号来表示，其中最常见的是用公式表示。

例如，f(x)=x^2表示一个函数f，它将输入x映射为x的平方。

此外，还有图表、图像、表格等方式来表示函数。

三、函数的定义域和值域函数的定义域是所有输入变量的取值范围，也就是函数能接受的输入集合。

而函数的值域是所有可能的输出变量的取值范围，也就是函数能够得到的输出集合。

四、函数的性质1. 一对一性：如果函数的每个元素都有唯一的映射元素，那么这个函数是一对一的。

2. 多对一性：如果函数的不同元素有相同的映射元素，那么这个函数是多对一的。

3. 空间性：如果函数的每个元素都有映射元素，那么这个函数是空间的。

4. 单调性：函数在其定义域上是递增或递减的。

5. 周期性：函数具有某个周期性质。

五、函数的常见类型1. 线性函数：f(x)=ax+b，是一条直线的图像，其中a是斜率，b是截距。

2. 幂函数：f(x)=x^a，其中a是实数。

3. 指数函数：f(x)=a^x，其中a是正实数且不等于1。

4. 对数函数：f(x)=loga(x)，其中a是正实数且不等于1。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

六、函数的运算函数之间可以进行四则运算和复合运算。

四则运算即加减乘除，复合运算即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

1. 加法：(f+g)(x)=f(x)+g(x)2. 减法：(f-g)(x)=f(x)-g(x)3. 乘法：(f*g)(x)=f(x)*g(x)4. 除法：(f/g)(x)=f(x)/g(x)5. 复合：(f◦g)(x)=f(g(x))七、函数的应用函数在各个领域中具有广泛的应用，例如：1. 数学分析：函数在微积分中扮演重要角色，用于描述曲线的性质和变化率。

函数的基本概念与分类总结函数是数学中一个重要的概念，它在数学、科学以及计算机科学等领域中被广泛应用。

本文将对函数的基本概念及其分类进行总结。

1. 函数的基本概念函数指的是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。

常用的表示函数的方式有数学公式、图表和文字描述等。

函数通常用字母f(x) 或者 g(x) 表示，其中 f 和 g 是函数的名称，而 x 则表示自变量。

函数的输出值又称为函数值或者因变量。

2. 函数的分类根据函数的定义域和值域的不同，函数可以分为以下几类：线性函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

2.1 线性函数线性函数是最简单和常见的函数之一。

它的定义可以表示为 f(x) = a * x + b，其中 a 和 b 是常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率 a 表示线的倾斜程度，截距 b 表示线与 y 轴的交点位置。

2.2 二次函数二次函数也是常见的函数类型，它的定义可以表示为 f(x) = a * x^2 + b * x + c，其中 a、b 和 c 是常数。

二次函数的图像是一条抛物线，开口的方向由 a 决定。

2.3 幂函数幂函数是一种以 x 为底数的函数，定义为 f(x) = x^a，其中 a 是常数。

幂函数的图像具有特定的形状，当 a 大于 1 时，图像逐渐增加；当 a等于 1 时，图像为一条直线；当 a 在 0 和 1 之间时，图像逐渐减小。

2.4 指数函数指数函数是以一个常数为底数的幂函数，定义为 f(x) = a^x，其中 a是常数。

指数函数的图像是一条曲线，可以是上升曲线或下降曲线，具体取决于底数 a 的值。

2.5 对数函数对数函数是指数函数的逆运算，定义为 f(x) = log_a(x)，其中 a 是常数。

对数函数的图像是一条曲线，与指数函数图像关于直线 y = x 对称。

2.6 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

数学函数的基本概念数学函数是数学中非常重要的概念，在各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍数学函数的基本概念，包括函数的定义、性质以及常见类型的函数。

1. 函数的定义函数是数学中一个非常重要的概念，广义地说，函数是一个关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合。

狭义地说，函数是一种特殊的关系，它满足每个自变量（输入）对应唯一的因变量（输出），即每个输入值都对应一个唯一的输出值。

数学函数通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数可以用各种方式表示，例如公式、图表或者文字描述。

函数的定义域是所有自变量可能的取值范围，值域是所有因变量可能的取值范围。

2. 函数的性质函数具有一些重要的性质，包括奇偶性、单调性和周期性等。

2.1 奇偶性一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任何实数x，f(-x) = -f(x)。

奇函数的图像关于原点对称。

反之，一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任何实数x，f(-x) = f(x)。

偶函数的图像关于y轴对称。

2.2 单调性一个函数被称为单调增加的，当且仅当对于任何实数x1和x2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。

反之，一个函数被称为单调减少的，当且仅当对于任何实数x1和x2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2)。

2.3 周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，使得对于所有实数x，f(x+T) = f(x)。

周期函数的图像在一定范围内重复。

3. 常见类型的函数数学函数有许多不同的类型，每种类型的函数都有其独特的特点和应用。

3.1 线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。

3.2 平方函数平方函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不等于0。

平方函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。

高等数学：函数及其应用高等教学第三章第三节函数引言在高等数学中，函数是描述两个变量之间关系的一个重要工具。

通过函数，我们可以将一个变量的变化规律映射到另一个变量上，从而解决各种实际问题。

本节将介绍函数的基本概念、定义域和值域、表示方法、性质、分类、应用以及运算等方面的知识。

一、函数的基本概念函数是两个或多个变量之间的数学关系，其中一个变量（自变量）的变化会引发另一个变量（因变量）的相应变化。

这种关系通常具有一一对应的性质，即每一个自变量值都对应一个唯一的因变量值。

函数的定义通常采用以下形式：y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数关系。

二、函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量x的取值范围，而值域是指因变量y的取值范围。

函数的定义域和值域是函数关系存在的必要条件。

在定义域内，自变量可以取任意值，但因变量的取值则受到函数关系的限制。

三、函数的表示方法函数的表示方法有多种，常用的有解析法、表格法和图象法。

解析法是通过数学表达式来表示函数关系；表格法则是通过表格的形式列出函数值；图象法则是以图形的方式直观地表示函数关系。

四、函数的性质函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性、对称性和极限等。

这些性质在分析函数的性质和图像以及解决实际问题中有着重要的应用。

五、函数的分类根据不同的分类标准，函数可以分为多种类型。

例如，按照自变量和因变量的个数可以分为一元函数和多元函数；按照函数的定义域可以分为实数函数、复数函数和离散函数等；按照函数的取值可以分为常数函数、幂函数、三角函数等。

六、函数的应用函数在各个领域都有着广泛的应用。

例如，在物理学中，函数可以用来描述物理量之间的关系；在经济学中，函数可以用来分析市场供需关系；在工程学中，函数可以用来描述各种系统的动态特性等。

七、函数的运算函数的运算包括复合运算、反函数运算、导数运算和积分运算等。

这些运算在分析函数的性质和图像以及解决实际问题中有着重要的应用。

函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。

表示为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数），当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。

可表示为y=kx。

变量：变化的量（不可取不同值）常量：不会变的量（固定）自变量k和X的一次函数y有如下关系：1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意常数）当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。

如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。

函数性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x 的一次函数补充回答：1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

函数的基本概念和像的认识函数是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍函数的基本概念以及像的认识，帮助读者更好地理解和应用函数。

一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

通常情况下，我们用字母表示函数，比如f。

函数可以用多种方式表示，如算式、图表、图像等。

函数通常由三个要素构成：定义域、值域和对应关系。

定义域是指函数的输入值可以取的范围，值域是指函数的输出值可以取的范围，对应关系则是指输入值和输出值之间的对应关系。

二、像的认识在函数中，像是指输入值在函数中的映射结果。

一个输入值通过函数的作用，得到一个相应的输出值。

这个输出值就是该输入值的像。

像具有以下几个特点：1. 像是函数中的一个元素，它来源于输入值。

2. 函数中的不同输入值可以得到不同的像。

3. 一个输入值只能对应一个像，不存在多对一的情况；而一个像可以对应多个输入值，存在一对多的情况。

像的存在对于函数的定义和应用具有重要意义。

通过研究像的特性，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进行函数的运算和应用。

三、函数图像的认识函数图像是函数的一种可视化表示方式。

通过绘制函数的图像，可以更直观地观察函数的性质和规律。

函数图像的绘制需要确定函数的定义域和值域，并根据相应的对应关系绘制出函数的曲线。

一些常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

函数图像可以通过多种方式进行表示，比如直角坐标系、极坐标系、三维坐标系等。

不同的表示方式可以适应不同类型的函数，便于更好地观察和研究函数的性质。

四、函数的应用函数在数学中有广泛的应用，也在各个领域中被广泛使用。

在数学中，函数可以用于解决各类问题，如方程的求解、曲线的研究、数列的推导等。

函数可以帮助我们分析和理解数学问题，提供解决问题的方法和思路。

在物理学中，函数被用来描述物体的运动规律、物理量的变化等。

通过函数的分析和运算，可以揭示物理学中的一些基本规律和关系。