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第12讲：抛物线的简单几何性质基本知识点1 抛物线的简单几何性质以抛物线22(0)y px p=>①为例探究其性质．(1)范围：因为p>0, 由方程①可知，对于抛物线①上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴右侧，开口方向与x轴正向相同；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：以－y代换y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由定义可知，e=1．对于抛物线其他三种标准形式也可得到上述类似性质，现将这四种抛物线标准方程的几何性质总结如下表：例 1.已知A ，B 是抛物线22(0)x px p =>上两点，O 为原点．若||||OA OB =,①AOB的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x p =B ．3x p =C ．32x p =D ．52x p =2． 焦半径公式与焦点弦问题 （1）．焦半径公式设抛物线上一点P 的坐标为(x 0，y 0)，焦点为F ．① 抛物线2002(0),||||22p py px p PF x x =>=+=+. ② 抛物线2002(0),||||22p py px p PF x x =->=-=-+.③ 抛物线2002(0),||||22p px py p PF y y =>=+=+.④抛物线2002(0),||||22p px py p PF y y =->=-=-+例2. 已知点A ，B 为抛物线214y x =上的动点，且||(AB a a =为常数，且a ≥4)，求AB 的中点P 到x 轴的最小距离．(2)．焦点弦问题如图，AB 是抛物线y 2=2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，过点A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为点111,,,A M B根据抛物线的定义，有11||||,||||,AF AA BF BB == 故11||||||||||AB AF BF AA BB =+=+. 又因为MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以111||||||2||AB AA BB MM =+=，从而有下列结论： (1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切． (2)0||2()2pAB x =+(焦点弦长与中点关系)．以上结论是抛物线特有的性质，要注意灵活运用．你能发现其他性质吗？例3. 过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果221224y y +=，那么||AB = .3． 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点)；下面对抛物线22(0)y px p =>与直线的位置关系进行讨论： (1)直线的斜率k 不存在．设直线方程为x a =.若0a >，直线与抛物线有两个交点；若0a =，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若0a <，直线与抛物线没有交点． (2)直线的斜率k 存在．设直线:l y kx b =+，抛物线22(0)y px p => ，直线与抛物线的交点的个数等于方程组22y kx by px=+⎧⎨=⎩的解的个数. 也等于方程2222()0k x kb p x b +-+=(或2220ky py bp -+=)的解的个数．① 若k≠0，则当∆>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当∆=0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当∆＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．② 若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．例4 过抛物线24y x =的焦点F ，且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，求FM ． 综合应用应用点一 由抛物线的几何性质求标准方程例5. (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线的方程．(2)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．应用点二 直线与抛物线的位置关系的判断例6. 设直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C 相切?相交?相离?应用点三 弦长问题例7.（1） 设直线y =2x +b 与抛物线24y x =交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为b 的值．（2）. 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A (11,x y )，B (22,x y )两点，请判断： ①12,x x 是否为定值?②11FA FB+是否为定值?应用点四 弦中点问题例8．已知抛物线22y x =，过点(2,1)Q 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，（1）弦AB 恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程． (2)试求弦AB 的中点的轨迹方程． 应用点五 抛物线有关的最值 例9. 已知抛物线22.y x =(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离||PA ；(2)设点A 的坐标为(a ，0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出()d f a =的函数表达式．课后练习1．若抛物线24(0)y px p =->的焦点为F ，准线为l ，则P 表示 ( )A．点F到y轴的距离B．点F到准线l的距离C．点F的横坐标D．点F到抛物线上一点的距离2．过点(2，4)作直线与抛物线28y x=只有一个公共点，这样的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知直线(y kx k k=-为实数)及抛物线22(0)y px p=>，则A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点4．过抛物线24y x=的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30︒的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则①OAB的面积为( )A B C. 6332D. 946．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(,2)M m-到焦点的距离为4，则m=( )A．4 B．－2 C．4或－4 D．2或－27．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 ．8．抛物线的顶点在原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为 ． 9．抛物线22(0)xpy p => 的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于A ，B 两点．若①ABF 为等边三角形，则P = ．10．已知点A (－2，3)在抛物线C 2:2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 ．11．如图，已知抛物线211:4C y x =，圆222:(1)1C x y +-=，过点(,0)(0)P t t >作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求①P AB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．12．如图，已知λ>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．。
