数学：24.1圆(第4课时)课件(人教新课标九年级上)

圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 与圆心角 小有什么关系? 小有什么关系? A C
●
A C
●
A C B
●
O
O
O
B B
注意： 注意：圆心与圆周角的 位置关系. 位置关系
1.首先考虑一种特殊情况： 1.首先考虑一种特殊情况： 首先考虑一种特殊情况 圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时, (O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 与圆心角 的大小关系 A ∵∠AOC是△ABO的外角， ∵∠AOC是 ABO的外角， 的外角 ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. B ●O
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分 别为(2x+100)° (5x-30)° _； 别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ 20°； (2x+100) x=_ 20° _
小结
同圆或等圆中 同弧或等弧所对的 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 一半． 的一半． C2
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角） 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角） 顶点在圆上
探究：有关圆周角的度数 探究：
1． 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ ． 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ ９０°的圆周角所对的弦是否是直径？ ２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O 线段AB是 AB 的直径， 上任意一点（ 那么， 上任意一点（除点A、B）,那么， 所对的圆周角. ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看， 会是怎么样的角？ 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？ 为什么呢？ 为什么呢？
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 同圆或等圆中 相等的 所对的圆心角相等. 圆心角相等 圆周角有什么关系 在同圆或等圆中 相等的 所对的圆周角有什么关系？ A 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ A A C C C
●
O
●
O B
●
O
B B 为了解决这个问题, 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系. 角和圆心角之间有的关系.
圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？ 如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样 的特征？（顶点在圆心， ？（顶点在圆心 的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心 ），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角 今天我们要学习圆中的另一种特殊的角， 角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的 名称叫做圆周角 圆周角。 名称叫做圆周角。
D
2.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 求证 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） ．（提示 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆 ） 1 已知： 边上的中线， 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， CO= AB 为 边上的中线 且 2 C 求证： 为直角三角形. 求证： △ABC 为直角三角形
C1 C3
半圆（或直径） 半圆（或直径） 所对的圆周角 直角; 圆周角是 所对的圆周角是直角; 90° 90°的圆周角所 对的弦 直径． 对的弦是直径．
O
·
B
A B O
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A B O
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（ ） 究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的 解就叫做圆周角，而图（ ）、（ ）、（5） ）、（4）、（ 解就叫做圆周角，而图（2）、（ ）、（ ）中的角 都不是圆周角。 都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一 个角是不是圆周角。 个角是不是圆周角。
C
B = A 2 − A 2 = 1 2 −62 =8 C B C 0
平分∠ ∵CD平分∠ACB， 平分 ，
∴ A D=∠ C . ∠C B D
∴AD=BD.
A
O
B
又在Rt△ 又在 △ABD中，AD2+BD2=AB2， 中 2 2 ∴A = B = D D A = B ×1 =5 2(cm 0 ) 2 2
1 ∠AOD,∠CBD 2
D ●O
C
=
1 ∠COD, 2
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角等于它所对的圆心角的一半
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O) 圆周角(∠ABC)的外部时, (O)在 (∠ABC)的外部时 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 与圆心角∠ 的大小关系会怎样? ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 过点B作直径BD.由1可得: 过点B作直径BD.由 可得: BD. ∠ABD =
C
1 即 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角等于它所对的圆心角的一半
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O) 圆周角(∠ABC)的内部时, (O)在 (∠ABC)的内部时 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 与圆心角∠ 的大小关系会怎样? ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A 过点B作直径BD.由 可得: 过点B作直径BD.由1可得: BD. ∠ABD =
C1 C3
半圆（或直径） 半圆（或直径） 所对的圆周角 直角; 圆周角是 所对的圆周角是直角; 90° 90°的圆周角所 对的弦 直径． 对的弦是直径．
O
·
B
如图， 直径AB为 例1 如图，⊙O直径 为10cm，弦AC为6cm， 直径 ， 为 ， 的平分线交⊙ 于 ， 的长． ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 的平分线交 的长 解：∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 是直径， 是直径 ° 在Rt△ABC中， △ 中
证明： 证明： 以AB为直径作⊙O， 为直径作⊙ ， 为直径作 1 ∵AO=BO， CO= 2AB, ， ∴AO=BO=CO.
A · O B
∴点C在⊙O上. 在 上
为直径, 又∵AB为直径 为直径 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2
为直角三角形. ∴ △ABC 为直角三角形
1.AB、AC为 1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 的两条弦，延长CA到 CA AD=AB，如果∠ADB=35° AD=AB，如果∠ADB=35° ， 求∠BOC的度数。 BOC的度数。 的度数
证明： 证明：
所以△ 因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 都是等腰三角形， △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 180° 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ 90° 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此， 上何处（ 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°， ），∠ 总等于90 90°
=140° ∠BOC =140°
BC=2DE， BOC=84° 2、如图，在⊙O中，⌒ ⌒ ， ∠BOC=84°， 如图， BC=2DE 求∠A的度数。 的度数。
∠A=21° ∠A=21°
如图，在直径为AB的半圆中， 为圆心， AB的半圆中 3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点， COD=50° 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______； CAD=______； 50° 50°
结论： 结论： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 90° 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° 直角）。反过来也是成立的， 90° ）。反过来也是成立的 （直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角 所对的弦是圆的直径。 所对的弦是圆的直径。
类比圆心角探知圆周角 类比圆心角探知圆周角 探知
1 ∠AOD,∠CBD 2
A C
=
1 ∠COD, 2
●ห้องสมุดไป่ตู้
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
O
B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆周角定理 圆周角定理
同圆或等圆中 同弧或等弧所对的 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 一半． 的一半． C2