不等式3-6

专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ． 【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2； （2）abb a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+baa b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。

高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>. 如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若； ⑤ba ab b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><. 其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac 的取值范围是______ 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t a a 和的大小; （2）设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小; （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小.3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针.如（1）下列命题中正确的是( )A 、1y x x =+的最小值是2 B、2y =的最小值是2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2- （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______ 4.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m+<+（糖水的浓度问题）.如如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论.). 常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--=<<=（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b >>，求证：x y x a y b>++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++；(6)若*n N ∈(1)n +<n ；(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||||||a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：2221111223n ++++<. 6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集.如（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥.（2）不等式(0x -≥的解集是____（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.如（1）解不等式25123x x x -<--- （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x b ax 的解集为_____ 8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|+-≥-x x （答：x R ∈）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞）（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______. 9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”.注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是__________ （2）解不等式2()1ax x a R ax >∈- 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02>+-bax x 的解集为__________ 10.含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（4）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____ （5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§直线和圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0.如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=； （3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =.如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线.（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式.如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =.6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：（1）平行⇔12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）； （2）相交⇔12210A B A B -≠；（3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.提醒：（1） 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.如（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合;（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（3）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____（4）设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____（5）已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____（6）直线l 过点（１，０），且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是________7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_______（2）已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是__________（3）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是_________（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射.如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（5）已知ΔABC 顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0，∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程;（6）直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（7）已知A x ∈轴，:B l y x ∈=，C （2，1），ABC 周长的最小值为______提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.8、简单的线性规划（文）（1） 二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y kx b >+或y kx b <+的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l ，有等号时用实线表示包含直线l ；③设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，若11Ax By C ++与22Ax By C ++同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧.如已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是_（2）线性规划问题中的有关概念：①满足关于,x y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件.②关于变量,x y 的解析式叫目标函数，关于变量,x y 一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解（,x y ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.如（1）线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件{||1||1x y ≤≤下，取最小值的最优解是___（2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（4）如果实数y x ,满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨--≤⎪⎩，则|42|-+=y x z 的最大值_________（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范.9、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --，220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++= 表示圆的充要条件是什么？ （0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤.⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（3）已知(1P -是圆{cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是____（5）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____ （6）若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________10、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1） 点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2） 点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3） 点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=. 如点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______ 11、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-= ()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：（1） 代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如（1）圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+，)k z ∈的位置关系为____ （2）若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____（3）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=，则( )A ．//m l ，且l 与圆相交B ．l m ⊥，且l 与圆相交C ．//m l ，且l 与圆相离D ．l m ⊥，且l 与圆相离（6）已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.12、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12O O ，，半径分别为12,r r ，则（1）当1212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1212|O O r r |=+时，两圆外切；（3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；（4）当1212|O O |r r |=|-时，两圆内切；（5）当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含.如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为13、圆的切线与弦长：(1)切线①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y 所引圆的切线；如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为__________（2） 弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d ，弦长一半12a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+； ②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程..14.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!。

几个常用的不等式1．柯西（Cauchy ）不等式(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2≤�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2� �aa ii bb ii ∈RR ，ii =1，2，⋯，nn �等号当且仅当 aa 1=aa 2=⋯=aa nn =0 或 bb ii =kkbb ii 时成立（kk 为常数，ii =1，2，⋯，nn ）现将它的证明介绍如下：证明：构造二次函数ff(xx)=(aa 1xx +bb 1)2+(aa 2xx +bb 2)2+⋯+(aa nn xx +bb nn )2=�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2�xx 2+2(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )xx +�bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�∵ aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2≥0 又 ∵ ff(xx)≥0 恒成立∴ ∆=4(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2−4�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�≤0即 (aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2≤�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�当且仅当aa ii xx +bb ii =0 � ii =1，2，⋯，nn � 即 aa1bb 1=aa2bb 2=⋯=aann bb nn时等号成立。

2．平均不等式设 aa ii ∈RR + � ii =1，2，⋯，nn � ，调和平均值 ：HH nn = nn1aa 1+ 1aa 2+ 1aa 3+ ⋯ + 1aann，几何平均值：GG nn =√aa 1∙aa 2∙aa 3∙⋯∙aa nn nn算术平均值：AA nn=aa 1+aa 2+aa 3+⋯+aa nnnn，方幂平均值 ：QQ nn =�aa 12+aa 22+aa 32+⋯+⋯aa nn2nn则 HH nn ≤GG nn ≤AA nn ≤QQ nn ，等号成立当且仅当：aa 1=aa 2=aa 3=⋯=aa nn注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！3．排序不等式若两组实数 aa 1≤aa 2≤aa 3≤⋯≤aa nn 且 bb 1≤bb 2≤bb 3≤⋯≤bb nn ，则对于bb 1，bb 2，bb 3，⋯，bb nn 的任意排列bb ii 1，bb ii 2，bb ii 3，⋯，bb ii nn ，有：aa 1bb nn +aa 2bb nn−1+aa 3bb nn−2+⋯+aa nn bb 1≤aa 1bb ii 1+aa 2bb ii 2+aa 3bb ii 3+⋯+aa nn bb ii nn ≤aa 1bb 1+aa 2bb 2+aa 3bb 3+⋯+aa nn bb nn4．琴生不等式首先来了解凸函数的定义：一般地，设 ff(xx) 是定义在�aa ，bb �内的函数，如果对于定义域内的任意两数xx 1，xx 2 都有ff �xx 1+xx 22�≤ff(xx 1)+ff (xx 2)2，则称ff(xx) 是�aa ，bb �内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如 yy =xx 2 ，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。

50个解不等式方程及答案以下为50个解不等式方程及其答案：1. 2x + 3 > 7；解：x > 22. -5x < 15；解：x < -33. 9x – 7 > 20；解：x > 34. 4x + 5 < 13；解：x < 25. 3x – 8 > 1；解：x > 36. 5x + 2 > 22；解：x > 47. 10x – 3 < 47；解：x < 58. x/4 + 7 < 10；解：x < 129. 2x + 1 > 11；解：x > 510. -3x + 5 > 2x – 7；解：x > -411. -2x + 3 < x + 4；解：x > -112. 5x/2 < 25；解：x < 1013. 3x + 4 < 7x；解：x > 4/314. 4x – 6 > 20；解：x > 6.515. 7x – 10 < x + 11；解：x < 21/616. 4x – 8 > 0；解：x > 217. x/3 – 1 > 2；解：x > 918. 2x + 3 > 11；解：x > 419. -5x + 3 < 7；解：x > -4/520. 9x – 2 > 16；解：x > 221. 7x + 4 < 3x + 22；解：x > 322. 3x/2 < 18；解：x < 1223. 4x + 5 > 17；解：x > 324. 8x – 3 > 13；解：x > 225. x + 2 > 6；解：x > 426. -9x + 2 > -4x + 13；解：x < 11/527. 2x + 5 < 8；解：x < 1.528. x/5 – 7 > -5；解：x > 2029. 5x – 3 < 22；解：x < 530. 4x – 5 > 11；解：x > 431. 2x + 8 < 7x；解：x > 8/532. 3x – 4 > 12；解：x > 16/333. 6x + 5 > 5x + 7；解：x > 234. 7x – 3 < 2x + 15；解：x > 18/535. 4x + 3 > x + 8；解：x > 136. 5x – 2 < 3x + 8；解：x > 537. 2x – 5 < -1；解：x > 238. 5x + 2 > 17；解：x > 339. 3x/4 – 1 < 2；解：x > 14/340. 2x + 7 > 17；解：x > 541. -3x + 2 > -2x + 5；解：x > 3/142. 4x – 6 < 6；解：x < 343. 9x – 7 < 2x + 17；解：x < 344. -2x < -8；解：x > 445. x/6 + 7 > 5；解：x > 1846. 3x + 4 < 2x + 8；解：x < 447. 2x – 1 > x + 2；解：x > 348. 5x/4 < 25；解：x < 2049. -5x + 4 > 7x + 5；解：x < -9/650. 4x + 6 < 5x/3；解：x > -18注意：以上所有答案均根据简单的不等式问题解决，但仅供参考。

不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：〔1〕a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< 〔反对称性〕 〔2〕c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, 〔传递性〕 〔3〕c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ 〔移项法那么〕 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, 〔同向不等式相加〕 〔4〕bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进展条件的放宽和加强。

3、常用的根本不等式和重要的不等式〔1〕0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a 〔2〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则 〔3〕+∈R b a ,，那么ab b a 2≥+〔4〕222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由〔1〕如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=〔2〕如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：假设a>b,b>c, 那么a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否那么易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。

基本不等式八个公式基本不等式是初中数学中的重要概念，它是解决不等式问题的基础。

基本不等式有八个公式，分别是：1. 两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。

即：(a+b)²≥a²+b²这个公式可以用来证明勾股定理。

2. 两个正数的积的平方大于等于它们的平方积。

即：(ab)²≥a²b²这个公式可以用来证明算术平均数和几何平均数之间的关系。

3. 两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

即：(a+b)/2≥√(ab)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。

4. 两个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。

即：(a+b)/2≥2ab/(a+b)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。

5. 三个正数的和的平方大于等于它们的平方和的三倍。

即：(a+b+c)²≥3(a²+b²+c²)这个公式可以用来证明均值不等式。

6. 三个正数的积大于等于它们的平方和的三分之一次方。

即：abc≥(a²+b²+c²)/3这个公式可以用来证明几何平均数大于等于算术平均数。

7. 任意多个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

即：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。

8. 任意多个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。

即：(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。

以上就是基本不等式的八个公式，它们在解决不等式问题时非常有用。

我们可以根据不同的问题选择不同的公式来解决，从而更加高效地解决问题。

高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│§06. 不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：<-⇔ab=⇔⇔>>-=-a<;0b;.babababa（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a⇔>（对称性）bba<（2）c⇒>>,（传递性）a>bcba（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bcac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小；○1如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.○2 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x ax a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,bababaRba+≤±≤-∈则、若4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，222(22a b a bab++≤≤（当a = b时，222(22a b a bab++==）),,,(332222时取等cbaRcbacbacba==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式：22122221)...(1...nnaaanaaa+++≥+++注：例如：22222()()()ac bd a b c d+≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1nn n n n n n n n n-==-≥++--1)n==≥（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa====+++++++≤++++∈∈332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f xf f++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩（3）无理不等式：转化为有理不等式求解()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域1 ⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ○2○3（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；○1○2应用化归思想等价转化○3⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x +=+≥与同号，故取等。

柯西不等式是一个重要的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论和其他领域。

它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出，是数学分析中的一项重要成果。

柯西不等式在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在概率论和统计学中的应用，能够帮助人们更好地理解和解决实际问题。

一、柯西不等式的基本原理1. 柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它描述了内积空间中向量的长度和夹角之间的关系。

具体来说，对于内积空间中的任意两个向量a和b，柯西不等式可以表达为：|⟨a, b⟨| ≤ ||a|| ||b||2. 其中，⟨a, b⟨表示向量a和b的内积（或称点积），||a||和||b||分别表示向量a和b的长度。

柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会大于它们长度的乘积。

二、柯西不等式的六个基本公式3. 柯西不等式有许多不同的形式和推广，但最基本的形式是针对实数向量空间的柯西不等式。

具体来说，对于实数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)4. 在复数向量空间中，柯西不等式的形式稍有不同。

对于复数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1* + a2b2* + ... + anbn*| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + ... + |an|^2) √(|b1|^2 + |b2|^2 + ... + |bn|^2)5. 在积分的应用中，柯西不等式的形式也有所不同。

对于连续函数f和g，柯西不等式可以表达为：|∫(f*g)dx| ≤ √(∫f^2 dx) √(∫g^2 dx)6. 这些是柯西不等式的基本形式，它们描述了向量的长度和夹角之间的关系，以及函数的积分之间的关系。

不等式及其性质基础知识1．不等关系与不等式(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换.__不等号__思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a<b”与“a＝b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a<b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．2．比较两个实数大小的方法(1)画数轴比较法.(2)3．性质1a>b⇒a＋c>b＋c性质2__a>b，c>0⇒ac>bc__性质3__a>b，c<0⇒ac<bc__性质4a>b，b>c⇒a>c性质5a>b⇔b<a4．不等式性质的推论推论1__a＋b>c⇒a>c－b__推论2a>b，c>d⇒a＋c>b＋d推论3__a>b>0，c>d>0⇒ac>bd__推论4__a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n>1)__推论5a>b>0⇒a>b思考3：利用不等式性质应注意哪些问题？基础自测1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(B)A．a2>－a3>－a B．－a>a2>－a3C．－a3>－a>a2D．a2>－a>－a3解析：∵－1<a<0，∴1＋a>0,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3.故选B．2．给出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab.其中恒成立的个数是(D)A．0B．1C．2D．3解析：①对，a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0；②对，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；③对，a2＋b2－ab＝(a－b2)2＋34b2≥0.3．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等关系正确的是__(1)(4)__(填序号)．(1)a＋1>b－3；(2)ac>bc；(3)a2>b2；(4)a－b>0.4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是__a>－b>b>－a__.5．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为__m3>m2－m＋1__.解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.类型作差法比较大小┃┃典例剖析__■典例1比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．思路探究：在比较两个代数式的大小时，可采用作差法，再通过因式分解或者配方法判断差的符号，当不能直接得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定．解析：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a ＋b)．∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.归纳提升：比较两个代数式大小的步骤： (1)作差：对要比较大小的两个代数式作差． (2)变形：对差进行变形．(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． (4)作出结论．这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→判断符号→作出结论． ┃┃对点训练__■ 1．已知x ，y ∈R ，P ＝2x 2－xy ＋1，Q ＝2x －y 24，试比较P ，Q 的大小． 解析：因为P －Q ＝2x 2－xy ＋1－(2x －y 24)＝x 2－xy ＋y 24＋x 2－2x ＋1＝(x －y 2)2＋(x －1)2≥0，所以P ≥Q .类型 利用不等式的性质求范围 ┃┃典例剖析__■典例2 (1)已知－6<a <8,2<b <3，则2a ＋b 的取值范围是__(－10,19)__，a －b 的取值范围是__(－9,6)__.(2)已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．思路探究：(1)求a －b 的取值范围时，应先求出－b 的范围，再利用不等式的性质求解．(2)用f (1)和f (2)表示出a ，c .解析：(1)∵－6<a <8，∴－12<2a <16， ∴－10<2a ＋b <19， ∵2<b <3，∴－3<－b <－2， ∴－9<a －b <6.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f (1)，4a －c ＝f (2)得⎩⎨⎧a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝－43f (1)＋13f (2).则f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)．∵－1≤f (2)≤5，∴－83≤83f (2)≤403.∵－4≤f (1)≤－1，∴53≤－53f (1)≤203.∴－83＋53≤83f (2)－53f (1)≤403＋203，即－1≤f (3)≤20.归纳提升：利用不等式的性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答． (2)将所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件． (3)结合不等式的传递性进行求解． ┃┃对点训练__■2．在本例2(1)条件下，求ab 和ab 的取值范围．解析：①因为－6<a <8,2<b <3， 所以当0≤a <8时，0≤ab <24， 当－6<a <0时，0<－a <6， 所以0<－ab <18，所以－18<ab <0， 综上可知－18<ab <24.②因为－6<a <8,2<b <3，所以13<1b <12.当0≤a <8时，0≤ab <4；当－6<a <0时，0<－a <6， 故0<－a b <3，所以－3<ab <0，综上可知，－3<ab <4.类型 不等式的证明 ┃┃典例剖析__■1．利用不等式性质证明不等式典例3 已知a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >eb －d.思路探究：要证明e a －c >e b －d ，由于e <0，所以只需证明1a －c <1b －d .如果a －c 与b －d 同号，那么只需证明a －c >b －d ，从已知条件可以得到这个不等式，因此本题可证． 解析：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )>0， 即a －c >b －d >0，∴0<1a －c <1b －d .又∵e <0，∴e a －c >eb －d .2．利用比较法证明不等式典例4 设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.思路探究：要证明3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，即证3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)≥0即可． 解析：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0， 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.归纳提升：1.简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．2．对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． ┃┃对点训练__■3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d . 解析：由题设知ab >cd >0，则ab >cd . 又a ＋b ＝c ＋d .则(a ＋b )2－(c ＋d )2＝(a ＋b ＋2ab )－(c ＋d ＋2cd )＝2(ab －cd )>0， 即(a ＋b )2>(c ＋d )2，而a ＋b >0，c ＋d >0，故a ＋b >c ＋d . 易混易错警示 忽略不等式性质成立的条件致错 ┃┃典例剖析__■ 典例5 给出下列命题：①若a <b ，c <0，则c a <cb ；②若ac －3>bc －3，则a >b ； ③若a >b 且k ∈N ＋，则a k >b k ； ④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b .其中正确命题的序号是__④__.错因探究：在使用不等式的性质时，要考虑全面，否则会得出错误的结果，如①中易因没有考虑ab <0的情况，直接由a <b 推出1a >1b ，从而判断①正确；③中易忽视a 与b 的符号，默认a ，b 同为正，即推出a k >b k ，造成错误．解析：①当ab <0时，1a >1b 不成立，故①不正确；②当c <0时，c 3<0，不等式ac －3>bc －3的两边同时乘以c 3，得a <b ，故②不正确；③当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，命题不成立，故③不正确；④a >b >0⇒－a <－b <0⇒0<c －a <c －b ，同乘以1(c －a )(c －b )，得0<1c －b <1c －a，又a >b >0，∴a c －a >a c －b >b c －b，故④正确． 误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”．还应特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”等情况． 学科核心素养 用不等式(组)表示不等关系 ┃┃典例剖析__■构造不等式模型时，先要分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，再根据题目中的不等关系，即可列出不等式．注意不等式与不等关系的对应，要不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的范围．典例6 糖水在日常生活中经常见到，下列关于糖水浓度的问题，能提炼一个怎样的不等式呢？(1)向一杯糖水里加点糖(假设糖全部溶解)，加糖后更甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡． 思路探究：糖水变浓、变淡与浓度有关，所提炼的不等式即为浓度的大小比较．解析：(1)设糖水为b 克，含糖a (b >a )克，则糖水的浓度为ab ，加入m 克糖后糖水的浓度为a ＋mb ＋m.提炼出的不等式：若b >a >0，m >0，则a b <a ＋mb ＋m .(2)设淡糖水为b 1克，含糖a 1(b 1>a 1)克，则糖水的浓度为a 1b 1；浓糖水为b 2克，含糖a 2(b 2>a 2)克，则糖水的浓度为a 2b 2.故混合后的糖水浓度为a 1＋a 2b 1＋b 2.提炼出的不等式：若b 1>a 1>0，b 2>a 2>0，且a 1b 1<a 2b 2，则a 1b 1<a 1＋a 2b 1＋b 2<a 2b 2. 归纳提升：用不等式表示不等关系的步骤：(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．课堂检测·固双基1．下列说法正确的是( C )A ．某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x >y ”C ．某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ”D ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ”解析：对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 不正确；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为y ≤a ，故D 错误． 2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( B ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >b dD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立． 3．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__－1__. 解析：由x 2>1得x >1或x <－1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件， 则{x |x <a }{x |x >1或x <－1}， 则a ≤－1，故a 的最大值为－1.4．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是__m ≥n __. 解析：m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.5．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .解析：a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，∴x a >y b ，∴a x <by ，故a x ＋1<by＋1， 即0<x ＋a x <y ＋b y ，∴x x ＋a >y y ＋b.A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( A ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD ．P ≤Q解析：P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2a －2b －2c ＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0.∵a ，b ，c 不全相等，∴P －Q >0，∴P >Q .2．若不等式a >b 与1a >1b 同时成立，则必有( C )A ．a >b >0B ．0>1a >1bC ．a >0>bD ．1a >1b>0解析：若a >b >0，则1a <1b ，同理0>a >b 时，1a <1b ，所以只有当a >0>b 时，满足1a >1b .3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( C ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 4．若－1<α<β<1，则下列不等式恒成立的是( A ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1，－2<α－β<2， 又∵α<β，∴α－β<0，－2<α－β<0.5．已知a >b >c ，则1a －b ＋1b －c ＋1c －a 的值( A )A ．为正数B ．为非正数C ．为非负数D ．不确定解析：因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0，a －c >b －c >0，所以1a －b >0，1b －c >0，1a －c <1b －c ，所以1a －b ＋1b －c －1a －c >0，所以1a －b ＋1b －c ＋1c －a 的值为正数．二、填空题(每小题5分，共15分)6．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为__x 1＋x 2≤12__.解析：∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.7．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b 成立的是__①②④__(填序号)．解析：1a <1b ⇔b －a ab<0，所以①②④能使它成立．8．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为__8(x ＋19)>2_200__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__8xx －12>9__. 解析：(1)原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200.(2)若每天行驶(x －12)km.则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8xx －12>9.三、解答题(共20分)9．(10分)(1)已知a <b <0，求证：b a <ab ；(2)已知a >b ，1a <1b，求证：ab >0.解析：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0.∴(b ＋a )(b －a )ab <0.故b a <a b .(2)∵1a <1b ，∴1a －1b<0，即b －a ab<0，而a >b ，∴b －a <0，∴ab >0. 10．(10分)已知a >b >0，c <d <0，比较b a －c 与ab －d 的大小．解析：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴1b －d >1a －c >0，又a >b >0，∴a b －d >b a －c. B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( A ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，所以c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2，因为1＋a 2－a ＝(a －12)2＋34>0，所以1＋a 2>a ，所以b ＝1＋a 2>a ，所以c ≥b >a .2．已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是( A )A ．[1,7]B ．[－5,13]C ．[－5,7]D ．[1,13]解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β)＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α，β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，v ＝2.由题意得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.故选A ． 二、多选题(每小题5分，共10分) 3．已知1a <1b <0，给出下列四个结论：①a <b ；②a ＋b <ab ；③|a |>|b |；④ab <b 2. 其中正确结论的序号是( BD )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①因为1a <1b<0，所以b <a <0，错误；②因为b <a <0，所以a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，正确；③因为b <a <0，所以|a |>|b |不成立；④ab －b 2＝b (a －b )，因为b <a <0，所以a －b >0，即ab －b 2＝b (a －b )<0，所以ab <b 2成立．所以正确的是②④.4．已知a 、b 、c 、d 均为实数，则下列命题中正确的是( BCD )A ．若ab <0，bc －ad >0，则c a －d b>0 B ．若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0 C ．若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0 D ．若1a <1b <0，则1a ＋b <1ab解析：A 中，∵ab <0，∴1ab <0，又∵bc －ad >0，∴1ab ·(bc －ad )<0，即c a －d b<0，故A 不正确；B 中，∵ab >0，c a －d b >0，∴ab (c a －d b )>0，即bc －ad >0，故B 正确；C 中，∵c a －d b >0，∴bc －ad ab>0，又∵bc －ad >0，∴ab >0，故C 正确；D 中，由1a <1b <0，可知b <a <0，∴a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b<1ab成立，故D 正确．故选BCD ． 三、填空题(每小题5分，共10分)5．若a >b >c ，则1a －b ＋1b －c __>__3a －c(填“>”“＝”或“<”)． 解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴1a －b ＋1b －c －3a －c＝(a －b ＋b －c )(a －c )－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )＋(b －c )]2－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )－(b －c )]2＋(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )>0， ∴1a －b ＋1b －c >3a －c.6．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按从小到大的顺序排列起来是__a <c <d <b __.解析：由a －d ＝c －b ，a ＋d <b ＋c 相加得a <c ，又b －d ＝c －a >0，得b >d ，又d >c ，故a <c <d <b .四、解答题(共10分)7．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，试比较A 、B 、C 、D 的大小关系．解析：∵－12<a <0，∴取a ＝－14， 则A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .证明如下：C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a ＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a， ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a＝a (a 2－a －1)1－a ＝a [(a －12)2－54]1－a， ∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .。

不等式适用年级七年级所需时间（说明：课内共用2课时，课外用1课时）主题单元学习概述本主题单元中首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式及其解集的概念，然后类比等式性质，通过观察、对比、归纳得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式。

不等式的性质是解不等式的重要依据，因此本单元的重点是不等式的性质。

解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样明确的目标，再加上对于不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然的产生，教学中可以类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1．了解不等式的意义，理解什么是不等式，能依题意准确迅速地列学习活动设计活动1问题1：你能猜想下列不等式的解集吗？x+3＞6 2x＜4 2x+3＞7问题2：你还记得等式有哪些性质吗？活动2教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：1、天平被调整到什么状态？2、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？4、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？（通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

）活动31、用“＞”或“＜”填空．（1）－1 < 3 －1＋2 3＋2 －1－3 3－3(2) 5 >3 5＋a 3+a 5－a 3－a(3) 6 > 2 6×5 2×5 6×（－5）2×（－5）(4) －2 < 3（－2）×6 3×6 （－2）×（－6）3×（一6）（5）－4 ＞－6 （－4）÷2（－6）÷2 （－4）十（－2）（－6）十（－2）2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流．3、让学生充分发表“发现”，师生共同归纳。

不等式选讲[基础训练A 组]一、选择题1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x-+2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271xy++的最小值是（ ）A ．B ．1+C ．6D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（ ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B > 4．若,,x y a R +∈，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．2B C ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ ）A ．2BC ．4D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-二、填空题1．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。

2．若0,0,0a b m n >>>>，则b a , a b , m a m b ++, nb n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________。

4．设1010101111112212221A =++++++- ，则A 与1的大小关系是_____________。

5．函数212()3(0)f x x x x=+>的最小值为_____________。

三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7340x x +--+>3．求证：221a b ab a b +≥++-4．证明：1)1...<++<不等式选讲 [基础训练A 组]一、选择题1．D20,20,222x x x x -->>∴+≥ 2．D3331117x y ++≥== 3．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B < 4．B,)22x y x y +≥+，≥，而y x a y x +≤+，1a ≥恒成立，得12a a ≤≥即5．A 46462y x x x x =-+-≥-+-=6．D 259925927253,2534,1253x x x x x x x x ⎧-<-<-<-<<⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-≥-≤-≥≤-≥⎩⎩⎪⎩或或，得(2,1][4,7)-二、填空题1．31()3()a b b b a b -++≥=-2．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ 由糖水浓度不等式知1b b ma a m+<<+， 且1b b n a a n +<<+，得1a a n b b n +>>+，即1a n ab n b+<<+ 32x yx y +≤+≤=4．1A < 101010101110101010211111111122122212222A =++++<++++=++-个5．92212331212()3922x x f x x x x =+=++=三、解答题1．证明：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++2222()2()a b c a b c ≥++-++22223()()1a b c a b c ∴++≥++= 22213a b c ∴++≥另法一：22222221()33a b c a b c a b c ++++-=++-2222221(222222)31[()()()]03a b c ab bc ac a b b c a c =++---=-+-+-≥22213a b c ∴++≥另法二：2222222(111)()()1a b c a b c ++++≥++=即2223()1a b c ++≥，22213a b c ∴++≥2．解：原不等式化为73410x x +--+>当43x >时，原不等式为7(34)10x x +-->得5x <，即453x <<； 当473x -≤≤时，原不等式为7(34)10x x ++->得12x >-1423x -<≤； 当7x <-时，原不等式为7(34)10x x +-->得6x >，与7x <-矛盾；所以解为152x -<<3．证明：22()(1)a b ab a b +-++-2222222222211(222222)21[(2)(21)(21)]21[()(1)(1)]02a b ab a b a b ab a b a ab b a a b b a b a b =+---+=+---+=-++-++-+=-+-+-≥221a b ab a b ∴+≥++- 4．证明：<<∴<<1)1...∴<++<不等式选讲 [综合训练B 组]一、选择题1．C 24a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c ---+--+---+=+=++≥------114a b b c a c ∴+≥---，而ca n cb b a -≥-+-11恒成立，得4n ≤2．C 2(1)1111222222(1)x x y x x x --=+=+≤-=----3．B =>>P R >；又>R Q >，所以P R Q >>4．B 222,()()a ab b a b a b a b ab ++=++-+=，而2()04a b ab +<<所以22()0()()4a b a b a b +<+-+<，得413a b <+<5．D ()()()(1)(1)(1)a b c a b c a b c b c a c a b M a b c abc+++++++++=---=8abc≥=6．A ,a b≠>>>>二、填空题1．3- 13333y x x =--≤-=-max 3y =-2．> 设36log 4,log 7a b ==，则34,67a b==，得7346423abbb⋅=⋅=⋅⋅即4237b a b-⋅=，显然1,22b b >>，则423107b a b a b a b -⋅=>⇒->⇒> 3． 214a 2222222(123)()(23)x yzx y z a ++++≥++=即222214()x y z a ++≥，222214a x y z ∴++≥4．3 1()4M a b c a b d a c d b c d ≥+++++++++++ 3()34a b c d =+++=，即min 3M =5．12 l g l gl g222l g ()1l g l g l g 1x y z x y zx y z⋅⋅≥⇒++≥ 而2222lg lg lg (lg lg lg )2(lg lg lg lg lg lg )x y z x y z x y y z z x ++=++-++2[lg()]2(lg lg lg lg lg lg )12(lg lg lg lg lg lg )1xyz x y y z z x x y y z z x =-++=-++≥即lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++≤，而lg ,lg ,lg x y z 均不小于0 得lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++=，此时lg lg 0x y ==，或lg lg 0y z ==，或lg lg 0z x ==， 得1,10x y z ===，或1,10y z x ===，或1,10x z y ===12x y z ++=三、解答题1．解：34(3)(4)1x x x x -+-≥---= min (34)1x x ∴-+-=当1a ≤时，34x x a -+-<解集显然为φ， 所以1a >2．证明：2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++2222()39a b c a b c ++++∴≥3a b c++≥3．证明：12112(11)1...12(1)n n n n nn n n n n n C C C C C C n -=+=+++≥+++=+22(1)nn ∴≥+（本题也可以用数学归纳法）4．证明：2222()()1,2a b a b a b c ab c c +-++=-==- ,a b ∴是方程22(1)0x c x c c --+-=的两个不等实根， 则22(1)4()0c c c =---> ，得113c -<< 而2()()()0c a c b c a b c ab --=-++> 即22(1)0c c c c c --+->，得20,3c c <>或 所以103c -<<，即413a b <+<不等式选讲[综合训练B 组]一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．62． 若(,1)x ∈-∞，则函数22222x x y x -+=-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-3．设P =Q =R =,,P Q R 的大小顺序是（ ） A ．P Q R >> B ．P R Q >> C ．Q P R >> D ．Q R P >>4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（ ）A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥6．若,a b R +∈，且,a b M≠=N =M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x=--的最大值是__________。

不等式的变化规则一、引言不等式是数学中常见的一种表示关系的方式，它描述了数值之间的大小关系。

在解不等式的过程中，我们需要根据不等式的变化规则进行推导和变形，以找到不等式的解集。

本文将介绍不等式的常见变化规则，并通过实例进行说明。

二、加减变换规则1. 加法变换规则：对于不等式a < b，如果两边同时加上一个相同的数c，那么不等式的大小关系不变，即a + c < b + c。

例如，对于不等式2x < 6，我们可以在两边同时加上3，得到2x + 3 < 6 + 3，即2x + 3 < 9。

2. 减法变换规则：对于不等式a < b，如果两边同时减去一个相同的数c，那么不等式的大小关系不变，即a - c < b - c。

例如，对于不等式3x + 2 < 8，我们可以在两边同时减去2，得到3x < 6。

三、乘除变换规则1. 乘法变换规则：对于不等式a < b，如果两边同时乘以一个正数c，那么不等式的大小关系不变，即ac < bc。

例如，对于不等式2x < 8，我们可以在两边同时乘以3，得到6x < 24。

2. 除法变换规则：对于不等式a < b，如果两边同时除以一个正数c，且c > 0，那么不等式的大小关系不变，即a/c < b/c。

例如，对于不等式4x > 12，我们可以在两边同时除以4，得到x > 3。

四、绝对值不等式的变换规则绝对值不等式是包含绝对值符号的不等式。

在解绝对值不等式时，我们需要根据绝对值的性质进行变换。

1. 绝对值的非负性：对于任意实数a，|a| ≥ 0。

即绝对值的值不小于零。

2. 绝对值的定义：对于任意实数a，|a| = a，当a ≥ 0；|a| = -a，当a < 0。

3. 绝对值的逆性：对于任意实数a，|a| > 0当且仅当a ≠ 0。

4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数a和b，|a + b| ≤ |a| + |b|。

2．2《不等式的性质》说课稿一、教材分析1、教材所处的地位和作用：不等式基本性质是八年级下册第二章第二节内容。

不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。

它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习有着重要的实际意义。

本节课是建立在学生已认识了不等关系基础上来学习的，也是为进一步学习解不等式及应用不等关系解决实际问题的重要依据，因此本节课内容在不等关系这一章占有重要位置。

本节课的教学指导思想是从学生实际认知水平及知识结构出发，让学生自主获取知识。

二、教学目标（1）知识与技能1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

2、掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。

2）过程与方法：1. 经历探索不等式基本性质的过程，体验数学学习探究的方法2.通过观察、类比、猜想、验证、归纳总结等数学学习活动过程，发展合理的推理和初步论证能力（3）情感态度与价值观：1.学生在探索过程中感受成功、建立自信，增进学习数学的兴趣。

2.体验在研究过程中创造的快乐，并学会与人交流合作养成良好的人格品质3、重点、难点及关键重点：不等式基本性质的探索及应用难点：不等式的基本性质三的探索及其应用三、教法学情分析：1、学生在学习一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，积累了一定的经验，本节课主要采用类比等式的方法进行不等式的探究教学，这样不仅有利于学生掌握不等式的基本性质，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握知识，发展学生的辩证思维。

2、始终坚持学生为主体，教师为主导的教学方法，通过教师的启发，设问，引导学生自主探索、合作交流，师生充分互动，这样才能将学生推到学习的前沿，才能充分发挥学生的学习主体性和主观能动性。