常微分方程课件2.1

此外还有解
x 0 或 x 0 之一中有意义
.
, 应补上 .
y 0 , 这个解未包含在通解中
例3 求微分方程
dy
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第二章
p(x) y
dx
的通解 , 其中 p ( x ) 是 x 的连续函数
解: 将变量分离后得
.
dy y
p ( x ) dx
两边积分得: ln y 由对数的定义有
f ( a 2 x b2 y )
令 u a 2 x b 2 y , 则方程化为
du dx a 2 b2 dy dx
a 2 b2 f (u )
这就是变量分离方程
3
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a1 b1
a2 b2
第二章
0 且 c1与 c 2 不同时为零的情形

1 u
1 u
将变量分离后得
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(1 u ) du 1 u
2
第二章

dX X
两边积分得:
arctan u
1 2
ln( 1 u ) ln X c
2
变量还原并整理后得原方程的通解为
arctan y2 x 1 ln ( x 1) ( y 2 ) c .
,得
dy y
2
cos xdx
两边积分得:

1 y
sin x c ,
因而通解为:
y
1 sin x c
,
其中 c 为任意常数
.
此外 y 0 也是方程的解
, 且不能在通解中取适当
的 c 得到 .
再求初值问题的通解, 以 y ( 0 ) 1代入通解 , 得 c 1 1 1 . 所以所求的特解为: y sin x 1 1 sin x
du 2 u
du dx
2 u
将变量分离后得
dx x
两边积分得:
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du 第二章
u ln( x ) c
2

dx x
2 u
即
u (ln( x ) c ) ,
ln( x ) c 0 , c 为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
y , 再将常数记为
c, 得
第二章
y
y 10
10 1 ce
x
,
c 0.
y 0 和 y 10 ,
) 0 , 求出方程的所有解为
故方程的所有解为:
y
10 1 ce
x
, c 为任常数 , 和 y 0 .
y 10 y x c1
ln
例2 求微分方程 x
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为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.
2
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a1 b1
设
a2 b2
a1 a2
第二章
0的情形
b1 b2 k , 则方程可改写成
dy dx

a 1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c 2

k ( a 2 x b 2 y ) c1 a 2 x b2 y c 2
2
du
2 dx x
2
ln u ln x c
1 xy ln x y c.
变量还原得通解为
三、应用举例
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第二章
例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例， 且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的 半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求 雪球的体积随时间变化的关系。
此外,诸如
dy dx
f ( ax by c ) u ax by c
yf ( xy ) dx xg ( xy ) dy 0 u xy
x
2
dy
f ( xy )
dx dy y y xf ( 2 ) u 2 dx x x
u xy
以及
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dy dx
3
y

2
第二章
的通解.
3 2
解:
分离变量后得
y
dy
1 x
dx
两边积分得: 2 y 整理后得通解为:
c1

1 2
ln x c1
2
y
4 (ln x c 1 )
3 2 1

4 (ln cx )
2
,
其中 c e ,由于函数 y
x 在 x 0 无意义 ,
故此解只在
,
这里 a 1 , b1 , c1 , a 2 , b 2 , c 2 为常数 .
的方程可经过变量变换化为变量分离方程. 分三种情况讨论
1 c1 c 2 0的情形
dy dx a 1 x b1 y a 2 x b2 y
a 1 b1 a 2 b2 y x g( y) y x x
这里 f ( x ), ( y ) 分别是 x , y 的连续函数 .
一、变量分离方程的求解
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dy dx
第二章 f ( x) ( y )
(2.1)
1
0
分离变量, 当 ( y ) 0时 , 将 ( 2 . 1)写成 dy f ( x ) dx , 这样变量就“分离”开了. ( y)
解:
设在时刻 t 雪球的体积为 v ( t ), 表面积为 s ( t ), 则
x
2
y
2
1
2

分离变量: 两边积分:
dy y
2
1
x dx

dy y
2
1


x dx C
2
arctan y
1 3
x C
3
)的解 注: 若存在 y 0 , 使 ( y 0 ) 0 , 则 y y 0 也是 ( 2 . 1第二章 , 可能 它不包含在方程
河 北 例1 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
先看例子：
dy dx
x
2
y
y
2
1

dy dx
ye
x y
ye e
x
dy
定义1 形如
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F ( x, y )
第二章
dx
dy dx
f ( x ) ( y )
( 2 . 1)
方程,称为变量分离方程.
dy dx y x 1 ( y x )
2
这是齐次方程,
x du dx
令u 1 u
2
y x
代入方程得
将变量分离后得
du 1 u
2

dx x
第二章 du
1 u
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2
dx x
两边积分得: ln u 1 u 2 ln x ln c 整理后得 变量还原得
X x 2 作变换 , 方程化为 Y y Y dY a 1 X b1Y g( ) X dX a 2 X b 2Y
0
3 再经变换 u
0
Y X
, 将以上方程化为变量分
离方程
4 求解 5 变量还原
0
0
例7
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求微分方程
dy dx
p ( x ) dx c
1
y e
p ( x ) dx c1
y e
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第二章x ) dx c p( 1

即
y e e
c1
p ( x ) dx
ce
p ( x ) dx
.
c 0,
此外 y 0 也是方程的解 即知 y 0 也包括在上式中
, 若在上式中充许 ,
故方程的通解为
y ce
p ( x ) dx
,
c 为任常数 .
例4
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求初值问题
dy 2 y cos x 的特解 . dx y (0 ) 1
第二章
解:
先求方程
dy dx
y cos x 的通解 ，
2
当 y 0时 , 将变量分离
第二章
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第二章
二、可化为变量分离方程类型
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a 1 x b1 y c 1 形如 f a xb yc dx 2 2 2 dy
的方程 , .
其中 a 1 , b1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 为任意常数
2 2
的通解.
解:
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令 u xy , 则 du xdy ydx
第二章
代入方程并整理得
u (1 u ) dx (1 u )( xdu udx ) 0
即
2 u dx x (1 u ) du 0
2
分离变量后得 两边积分得
u 1 u 1 u
x [ln( x ) c ] 2 , ln( x ) c 0 y , 0, ln( x ) c 0