2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

四川省高中2020届毕业班第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）≥0}，则A∩B=()1.已知集合A={1,2，3}，B={x|x−3x−2A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2，3}【答案】C≥0}={x|x≥3或x<2}，【解析】解：∵A={1,2，3}，B={x|x−3x−2∴A∩B={1,2，3}∩{x|x≥3或x<2}={1，3}．故选：C．求解分式不等式化简集合B，再利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，考查分式不等式的解法，是基础题．2.i为虚数单位，若复数(m+mi)(m+i)是纯虚数，则实数m=()A. −1B. 0C. 1D. 0或1【答案】C【解析】解：∵复数(m+mi)(m+i)=(m2−m)+(m2+m)i是纯虚数，m2−m=0，即m=1．∴{m2+m≠0故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知λ∈R，向量a⃗=(λ−1,1)，b⃗=(λ,−2)，则“a⃗⊥b⃗”是“λ=2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若“a⃗⊥b⃗”，则a⃗⋅b⃗=0，即(λ−1)λ−2×1=0，即λ2−λ−2=0，得λ=2或λ=−1，即“a⃗⊥b⃗”是“λ=2”的必要不充分条件，故选：B．根据向量垂直的等价条件求出λ的值，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量垂直的等价求出λ的值是解决本题的关键．4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作a i(i=1,2，3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩a i，(1≤k≤60)k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的ki为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=4sinC，则△ABC的外接圆面积为()A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π【答案】C【解析】解：设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB+bcosA=4sinC，∴由余弦定理可得：a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c=4sinC，∴2R=csinC=4，解得：R=2，∴△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π．故选：C．设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理化简已知可得c=4sinC，利用正弦定理可求2R=csinC=4，解得R=2，即可得解△ABC的外接圆面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.在(1+1x)(2x+1)3展开式中的常数项为()A. 1B. 2C. 3D. 7【答案】D【解析】解：∵(1+1x )(2x+1)3=(1+1x)(8x3+12x2+6x+1)，∴(1+1x)(2x+1)3展开式中的常数项为1+6=7．故选：D．展开(2x+1)3，即可得到乘积为常数的项，作和得答案．本题考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．7.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π12个单位长度后关于y轴对称，则函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值为()A. −√3B. −1C. 1D. √3【答案】A【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π12个单位长度后图象所对应解析式为：g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+π6+φ)，由g(x)关于y轴对称，则π6+φ=kπ+π2，φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，即f(x)=2sin(2x+π3)，当x∈[0,π2]时，所以2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=f(4π3)=−√3，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+π6+φ)，由g(x)关于y轴对称，则π6+φ=kπ+π2，φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，由三角函数在区间上的最值得：当x∈[0,π2]时，所以2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=f(4π3)=−√3，得解本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且∠ABF =π6，则双曲线的离心率e 的值是( ) A. 1+√32B. 1+√3C. 2D. 2√32【答案】B【解析】解：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AF ⊥BF ， 在Rt △ABF 中，|OF|=c ， ∴|AB|=2c ，在直角三角形ABF 中，∠ABF =π6，可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ， 取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，∴e =ca =2√3−1=√3+1．故选：B ．运用锐角三角函数的定义可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得√3c −c =2a ，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9. 节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号 1 2 3 4 5年生产利润y(单位：千万元)0.70.8 1 1.1 1.4预测第8年该国企的生产利润约为( )千万元 (参考公式及数据：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i2n i=1−nx −2；a ̂=y −−b ̂x −，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=1.7，∑x i25i=1−nx −2=10A. 1.88B. 2.21C. 1.85D. 2.34【答案】C【解析】解：由表格数据可得，x −=1+2+3+4+55=3，y −=0.7+0.8+1+1.1+1.45=1．又∑(5i=1x i −x −)2=10，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=1.7，∴b̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=1.710=0.17，a ̂=y −−b ̂⋅x −=1−0.17×3=0.49，∴国企的生产利润y 与年份x 得回归方程为y ̂=0.17x +0.49， 取x =8，可得y ̂=0.17×8+0.49=1.85． 故选：C ．由已知数据求得b^与a ^的值，可得线性回归方程，取x =8即可求得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 10.已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为10的圆(如图)，这个几何体内接一个圆锥，圆锥的体积为27π，则该圆锥的侧面积为( )A. 9√10πB. 12√11πC. 10√17πD. 40√3π3【答案】A【解析】解：如图是几何体的轴截面图形，设圆锥的底面半径为r，由题意可得：13×π×r2×(√25−r2+5)=27π，解得r=3，所以该圆锥的侧面积：12×6π×√32+92=9π√10．故选：A．利用球的内接圆锥的体积，求出圆锥的底面半径与高，然后求解该圆锥的侧面积．本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.已知A(3,0)，若点P是抛物线y2=8x上任意一点，点Q是圆(x−2)2+y2=1上任意一点，则|PA|2|PQ|的最小值为()A. 3B. 4√3−4C. 2√2D. 4【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为l：x=−2，焦点F(2,0)，过P作PB⊥l，垂足为B，由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，圆(x−2)2+y2=1的圆心为F(2,0)，半径r=1，可得|PQ|的最大值为|PF|+r =|PF|+1， 由|PA|2|PQ|≥|PA|2|PF|+1，可令|PF|+1=t ，(t >1)，可得|PF|=t −1=|PB|=x P +2， 即x P =t −3，y P 2=8(t −3)， 可得|PA|2|PF|+1=(t−3−3)2+8(t−3)t=t +12t−4≥2√t ⋅12t−4=4√3−4，当且仅当t =2√3时，上式取得等号， 可得|PA|2|PQ|的最小值为4√3−4， 故选：B ．求得抛物线的焦点和准线方程，过P 作PB ⊥l ，垂足为B ，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点雨圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及定义法的运用，考查圆的性质，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 12.设函数f(x)满足，且在(0,+∞)上单调递增，则f(1e )的范围是(e 为自然对数的底数)( ) A. [−1,+∞) B. [1e ,+∞)C. (−∞,1e]D. (−∞,−1]【答案】B【解析】解：令g(x)=f′(x)， 由，故f′(x)=f′(x)−lnx +x[g′(x)−1x ]， 故g′(x)=lnx+1x，g′(x)<0在(0,1e )恒成立，g(x)=f′(x)在(0,1e)递减，g′(x)>0在(1e,+∞)恒成立，g(x)=f′(x)在(1e,+∞)递增，故f′(x)min=f′(1e)，∵f(x)在(0,+∞)递增，故f′(x)=f(x)x+lnx≥0在(0,+∞)恒成立，故在f(1e)1e+ln1e≥0，f(1e)≥1e，故选：B．令g(x)=f′(x)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f′(x)min=f′(1e)，得到f′(x)=f(x) x +lnx≥0在(0,+∞)恒成立，求出f(1e)的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sinα=45，α∈(π2,π)，则sin(α+π6)的值为______．【答案】4√3−310【解析】解：∵sinα=45，α∈(π2,π)，∴cosα=−35，则sin(α+π6)=sinαcosπ6+cosαsinπ6=45×√32−35×12=4√3−310，故答案为：4√3−310利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．14.若函数f(x)=√a−a x(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a711+log1a 1411=______．【答案】−1【解析】解：因为f(1)=0，所以f(x)是[0,1]上的递减函数，所以f(0)=1，即√a−1=1，解得a=2，所以原式=log2711+log121411=log2(711×1114)=−1，故答案为：−1．因为f(1)=0，所以f(x)是[0,1]上的递减函数，根据f(0)=1解得a=2，再代入原式可得．本题考查了函数的值域，属中档题．15.若正实数x，y满足x+y=1，则4x+1+1y的最小值为______．【答案】92【解析】解：∵x>0，y>0，x+y=1∴x+1+y=2，4 x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)≥12(5+2√4)=92，(当接仅当x=13，y=23时取“=”)故选：D．将x+y=1变成x+1+y=2，将原式4x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．16.在体积为3√3的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，AB=2，AC=3，则线段BC的长度为______．【答案】√19或√7【解析】解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，四棱柱ABCD−A1B1C1D1体积为3√3，∴底面ABCD的面积为3√3.平行四边形ABCD边AB上的高为3√32设BC=m，∠DAB=θ∴ADsinθ=3√32，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos(π−θ)．∴{msinθ=3√3 25−m2=4mcosθ⇒m=√7或m=√17．故答案为：√19或√7．可得底面ABCD的面积为3√3.平行四边形ABCD边AB上的高为3√32.设BC=m，∠DAB=θ，可得ADsinθ=3√32，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos(π−θ).⇒m=√7或m=√17．本题考查了空间几何体体积的计算，及解三角形的知识，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5=172，a2a4=4．(1)求数列{a n}的通项公式(2)若b n=na n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：(1)由{a n}是递增等比数列，a1+a5=172，a2a4=4=a32=4∴a1+a1q4=172，(a1q2)2=4；解得：a1=12，q=2；∴数列{a n}的通项公式：a n=2n−2；(2)由b n=na n(n∈N∗)，∴b n=n⋅2n−2；∴S1=12；那么S n=1×2−1+2×20+3×21+⋯…+n⋅2n−2，①则2S n=1×20+2×21+3×22+⋯…+(n−1)2n−2+n⋅2n−1，②−1−2−⋯−2n−2+n⋅2n−1；将②−①得：S n=−12−2n−1+n⋅2n−1．即：S n=−(2−1+20+2+22+2n−2)+n⋅2n−1=12，a2a4=4.即可求解数列{a n}的通【解析】(1)根据{a n}是递增等比数列，a1+a5=172项公式(2)由b n=na n(n∈N∗)，可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和S n．本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；(2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？(3)在(2)的条件下，再从[240,260)，[260,280)，[280,300)这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240,260)组，求随机变量ξ的分布列与期望和方差．【答案】解：(1)由频率和为1，列方程(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+ 0.005+0.0025)×20=1，得x=0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5；年平均销售量的众数是220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，∴年平均销售量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a−220)=0.5，解得a=224，即中位数为224；(2)年平均销售量在[220,240)的农贸市场有0.0125×20×100=25(家)，同理可求年平均销售量[240,260)，[260,280)，[280,300]的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为1125+15+10+5=15，∴从年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3(家)，从年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2(家)，从年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1(家)；即年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3、2、1家；(3)由(2)知，从[240,260)，[260,280)，[280,300)的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家；所以ξ的可能取值分别为0，1，2，3； 则P(ξ=0)=C 30⋅C 33C 63=120，P(ξ=1)=C 31⋅C 32C 63=920，P(ξ=2)=C 32⋅C 31C 63=920，P(ξ=3)=C 33⋅C 30C 63=120，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P120920920120数学期望为E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32，方差为D(ξ)=(0−32)2×120+(1−32)2×920+(2−32)2×920+(3−32)2×120=920． 【解析】(1)由频率和为1列方程求出x 的值，再计算众数、中位数；(2)求出年平均销售量在[220,240)、[240,260)、[260,280)和[280,300]的农贸市场有多少家，再利用分层抽样法计算应各抽取的家数；(3)由(2)知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望和方差． 本题考查了频率分布直方图，众数、中位数，分层抽样，概率，分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题． 19.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 是长方形，A 1B 1⊥BC ，AA11=AB ，AB 1∩A 1B =E ，AC 1∩A 1C =F ，连接EF ．(1)证明：平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1； (2)若BC =3，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，求二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值．【答案】(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1，A 1B 1⊥BC ， ∴A 1B 1⊥B 1C 1．又∵在长方形BCC 1B 1中，B 1C 1⊥BB 1，A 1B 1∩BB 1=B 1， ∴B 1C 1⊥平面AA 1B 1B .∵四边形AA 1B 1B 与四边形AA 1C 1C 均是平行四边形， 且AB 1∩A 1B =E ，AC 1∩A 1C =F ，连接EF ， ∴EF//BC ．又BC//B 1C 1，∴EF//B 1C 1，又B 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，∴EF ⊥平面AA 1B 1B . 又AB 1，A 1B 均在平面AA 1B 1B 内， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥A 1B .又平面A 1BC ∩平面AB 1C 1=EF ，AB 1⊂平面AB 1C 1，A 1B ⊂平面A 1BC ．∴由二面角的平面角的定义知，∠AEA 1 是平面A 1BC 与平面AB 1C 1 所成二面角的平面角． 又在平行四边形A 1ABB 1中，AA 1=A 1B 1，∴平行四边形A 1ABB 1为菱形， 由菱形的性质可得，A 1B ⊥AB 1，∴∠AEA 1=π2， ∴平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1；(2)解：由(1)及题设可知，四边形AA 1B 1B 是菱形，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，∴在△A 1AB 中，由余弦定理可得AB =AB 1=AA 1=4．又由(1)知，EB ，EA ，EF 两两互相垂直，以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∴E(0,0，0)，A(2,0，0)，A 1(0,−2√3,0)，C(0,2√3,3)，B 1(−2,0，0)．AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2√3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4√3,3)．设平面AA 1C 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面A 1B 1C 的一个法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+√3y 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2√3y 1+3z 1=0，取y 1=−√3，得m ⃗⃗⃗ =(3,−√3,4)；由{n ⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 2+2√3y 2=0n ⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3y 2+3z 2=0，取y 2=√3，得n ⃗ =(3,√3,−4)．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2√7×2√7=−514．设二面角C 1−A 1C −B 1的大小为θ， 则sinθ=√1−cos 2<m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=3√1914． ∴二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值为3√1914．【解析】(1)由三棱柱的结构特征可知BC//B 1C 1，又A 1B 1⊥BC ，可得A 1B 1⊥B 1C 1，在长方形BCC 1B 1中，证明B 1C 1⊥平面AA 1B 1B .由四边形AA 1B 1B 与四边形AA 1C 1C 均是平行四边形，可得EF//BC ，进一步得到EF//B 1C 1，则EF ⊥平面AA 1B 1B ，证明∠AEA 1 是平面A 1BC 与平面AB 1C 1 所成二面角的平面角.由菱形的性质可得A 1B ⊥AB 1，即∠AEA 1=π2，从而得到平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1；(2)由(1)及题设可知，四边形AA 1B 1B 是菱形，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，求得AB =AB 1=AA 1=4.以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.分别求出平面AA 1C 与平面A 1B 1C 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值．本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 20.已知，椭圆C 过点A(32,52)，两个焦点为(0,2)，(0,−2)，E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率为k 1，直线l 与椭圆C 相切于点A ，斜率为k 2．(1)求椭圆C 的方程； (2)求k 1+k 2的值．【答案】解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为y 2a +x 2b =1(a >b >0)，且c =2，2a =√(32)2+(52+2)2+√(32)2+(52−2)2=3√102+√102=2√10，即有a =√10，b =√a 2−c 2=√6， 则椭圆的方程为y 210+x 26=1；(2)设直线AE ：y =k(x −32)+52，代入椭圆方程可得(5+3k 2)x 2+3k(5−3k)x +3(52−3k 2)2−30=0，可得x E +32=3k(3k−5)5+3k 2，即有x E =9k 2−30k−156k +10，y E =k(x E −32)+52，由直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，可将k 换为−k ， 可得x F =9k 2+30k−156k 2+10，y F =−k(x F −32)+52，则直线EF 的斜率为k 1=y F −yEx F−x E=−k(x F +x E )+3kx F −x E =1，设直线l 的方程为y =k 2(x −32)+52，代入椭圆方程可得：(5+3k 22)x 2+3k 2(5−3k 2)x +3(52−3k 22)2−30=0，由直线l 与椭圆C 相切，可得△=9k 22(5−3k 2)2−4(5+3k 22)⋅[3(52−3k 22)2−30]=0，化简可得k 22+2k 2+1=0，解得k 2=−1， 则k 1+k 2=0．【解析】(1)可设椭圆C 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由题意可得c =2，由椭圆的定义计算可得a ，进而得到b ，即可得到所求椭圆方程；(2)设直线AE ：y =k(x −32)+52，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E 的坐标，由题意可将k 换为−k ，可得F 的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF 的斜率，设出直线l 的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的相切的条件：判别式为0，可得直线l 的斜率，进而得到所求斜率之和．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线的斜率之和，注意联立直线方程和椭圆方程，运用判别式和韦达定理，考查化简整理的运算能力和推理能力，是一道综合题．21.已知f(x)=xlnx．(1)求f(x)的极值；(2)若f(x)−ax x=0有两个不同解，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，令f′(x)>0，解得：x>1e，令f′(x)<0，解得：0<x<1e，故f(x)在(0,1e )递减，在(1e,+∞)递增，故x=1e 时，f(x)极小值=f(1e)=−1e；(2)记t=xlnx，t≥−1e，则e t=e xlnx=(e lnx)x=x x，故f(x)−ax x=0，即t−ae t=0，a=te t，令g(t)=te t ，g′(t)=1−te，令g′(t)>0，解得：0<t<1，令g′(t)<0，解得：t>1，故g(t)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，故g(t)max=g(1)=1e，由t=xlnx，t≥−1e ，a=g(t)=te t的图象和性质有：①0<a<1e，y=a和g(t)有两个不同交点(t1,a)，(t2,a)，且0<t1<1<t2，t1=xlnx，t2=xlnx各有一解，即f(x)−ax x=0有2个不同解，②−e1−e e<a<0，y=a和g(t)=te仅有1个交点(t3,a)，且−1e<t3<0，t3=xlnx有2个不同的解，即f(x)−ax x=0有两个不同解，③a 取其它值时，f(x)−ax x =0最多1个解， 综上，a 的范围是(−e1−e e,0)∪(0,1e).【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)记t =xlnx ，得到t −ae t=0，a =te t ，令g(t)=te t ，求出g(t)的最大值，通过讨论a 的范围，确定解的个数，从而确定a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.在平面直角坐标系xOy 中曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2(其中t 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√22．(1)把曲线C 1的方程化为普通方程，C 2的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，AB 的中点为P ，过点P 作曲线C 2的垂线交曲线C 1于E ，F 两点，求|EF||PE|⋅|PF|．【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2(其中t 为参数)， 转换为直角坐标方程为：y 2=2x ． 曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√22．转换为直角坐标方程为：x −y −1=0． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且中点P(x 0,y 0)， 联立方程为：{y 2=2xx −y −1=0，整理得：x 2−4x +1=0 所以：x 1+x 2=4，x 1x 2=1， 由于：x 0=x 1+x 22=2，y 0=1．所以线段AB 的中垂线参数方程为{x =2−√22ty =1+√22t(t 为参数)，代入y 2=2x ，得到：t 2+4√2t −6=0， 故：t 1+t 2=−4√2，t 1⋅t 2=−6，所以：EF =|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√14，|PE||PF|=|t 1⋅t 2|=6故：|EF||PE|⋅|PF|=2√146=√143． 【解析】(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果． (2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.已知函数h(x)=|x −m|，g(x)=|x +n|，其中m >0，n >0．(1)若函数h(x)的图象关于直线x =1对称，且f(x)=h(x)+|2x −3|，求不等式f(x)>2的解集．(2)若函数φ(x)=h(x)+g(x)的最小值为2，求1m +1n 的最小值及其相应的m 和n 的值．【答案】解：(1)函数h(x)的图象关于直线x =1对称，∴m =1， ∴f(x)=h(x)+|2x −3|=|x −1|+|2x −3|，①当x ≤1时，(x)=3−2x +1−x =4−3x >2，解得x <23，②当1<x <32时，f(x)=3−2x +x −1=2−x >2，此时不等式无解，②当x≥32时，f(x)=2x−3+x−1=3x−4>2，解得x>2，综上所述不等式f(x)>2的解集为(−∞,23)∪(2,+∞)．(2)∵φ(x)=h(x)+g(x)=|x−m|+|x+n|≥|x−m−(x+n)|=|m+n|=m+n，又φ(x)=h(x)+g(x)的最小值为2，∴m+n=2，∴1m +1n=12(1m+1n)(m+n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2√mn⋅nm)=2，当且仅当m=n=1时取等号，故1m +1n的最小值为2，其相应的m=n=1．【解析】(1)先求出m=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(2)根据绝对值三角形不等式即可求出m+n=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．第21页，共21页。

2020届四川省眉山市高三高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，且()()1x i i y --=，则实数,x y 分别为（ ） A ．1,2x y =-=- B ．1,1x y =-=C ．1,1x y ==D ．1,2x y ==答案：A化简()()1x i i y --=得()()1+1x x i y --=，进而得1{(1)0x yx -=-+=，解方程求得,x y 即可. 解：解：因为()()1x i i y --=，所以()()1+1x x i y --=，所以1{(1)0x y x -=-+=解得：12x y =-⎧⎨=-⎩. 故选：A. 点评：本题主要考查复数的乘法运算、复数相等，考查学生的计算能力，属于基础题.2．设全集U =R ，集合{}2lg(1)M x y x ==-,{}02N x x =<<,则()R C M N ⋂=A ．{}21x x -≤≤B ．{}01x x <≤ C ．{}11x x -≤≤ D ．{}1x x <答案：B由集合2{lg(1)}{|1M x y x x x ==-=<-或1},{02}x N x x >=<<，先求解R C M ，再由集合N 能够求出答案.解：因为全集U =R ,集合2{lg(1)}{|1M x y x x x ==-=<-或1},{02}x N x x >=<<， 所以{|11}R C M x x =-≤≤，所以(){|01}R N C M x x ⋂=<≤，故选B. 点评：本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合M 和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性.今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化､国际化､便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模､提质量､转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A．这五年，2015年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2019年进口增速最快答案：C根据统计图中的数据，利用统计知识逐一判断即可.解：对A项，由图可知，这五年，2015年出口额最少，故A正确；对B项，由图可知，2015年的出口额小于进口额，但2016年到2019年每年的出口额都大于进口额，总体来看，这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；对C项，由图可知，2015年至2016年出口增速上升，故C错误；对D项，由图可知，2015年至2019年期间，2019年进口增速最快，故D正确；故选：C点评：本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于中档题.4．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（）A．15B．25C．35D．45答案：C把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数55120n A==，其中宫、羽不相邻的基本事件有323472m A A==，由此可求出所求概率.解：解：中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数55120n A ==， 其中宫、羽不相邻的基本事件有323472m A A ==，则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为7231205m p n ===， 故选：C 点评：此题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等知识，考查运算求解能力，属于基础题.5．下列结论中错误的是（ ）A ．若角α的终边过点()30),4(P k k k ≠，则4sin 5α B ．若α是第二象限角，则2α为第一或第三象限角 C ．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度 D ．若02πα<<，则sin tan αα<答案：A根据三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，即可得答案； 解：对A ，1,(3,4)k p =---，则4sin 5α=-，故A 错误； 对B ，22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴,422k k k Z παπππ+<<+∈，∴2α为第一或第三象限角，故B 正确； 对C ，64||12l r α-===，故C 正确； 对D ，sin 0,sin tan sin cos 12cos πααααααα<<<⇔<⇔<，故D 正确； 故选：A. 点评：本题考查三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，考查对概念的理解，属于基础题.6．函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断. 解：因为f （﹣x ）()()()()144114222------==-==xxxxxxsin x sinx sinx f （x ）， 所以f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项A ，C ，又f （2）()2214215sin 224-==-sin ，因为22ππ<<，所以sin 20>，所以f （2）＜0，排除选项D.故选：B. 点评：本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 7．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 答案：C由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 解：因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 点评：本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.8．已知函数()3sin cos f x x x =+ (x ∈R )，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图象，则以下关于函数()y g x =的结论正确的是（ ） A ．若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是2π的整数倍 B ．函数()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的对称中心 D ．3x π=是函数()g x 图象的对称轴答案：D根据辅助角公式化简()f x 解析式，再根据三角函数平移变化可得函数()g x 的解析式：由正弦函数的周期性和零点定义可判断A ，由正弦函数单调递增区间可判断B ，由正弦函数的对称中心及对称轴可判断C 、D. 解：函数()3sin cos f x x x =+，由辅助角公式化简可得()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到()y g x =， 则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对于A ，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是2π的倍数，所以A 错误； 对于B ，由正弦函数的图象与性质可知，函数()y g x =的单调递增区间为,,k k k x Z πππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦-262222，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，而,44,63ππππ⎡⎤-⊄⎡⎤-⎢⎥⎣⎢⎥⎣⎦⎦，所以函数()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不为单调递增，故B 错误；对于C ，由正弦函数的图象与性质可知，函数()y g x =的对称中心为2,6x k k π-=π∈Z ，解得,212k x k Z ππ=+∈，当k πππ+=23412时，解得43k =，不合题意，所以C 错误；对于D ，由正弦函数的图象与性质可知，函数()y g x =的对称轴满足2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,23k x k Z ππ=+∈，当0k =时，3x π=，故D 正确.综上所述，正确的为D ， 故选：D. 点评：本题考查了辅助角公式化简三角函数式，三角函数图象平移变换求解析式，正弦函数图象与性质的应用，属于基础题.9．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，P 是1AA 中点，过点1D 作平面α满足⊥CP 平面α，则平面α与正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为（ ）A ．4562+B ．122C ．828+D ．85答案：A作出平面α为平面11MNB D ，再根据正方体的棱长为4，即可得答案； 解：取AD 的中点M ，AB 的中点N ，连结PD ，1111,,,M N B M D B D N 则11,,D M PD D M CD PO CD D ⊥⊥⋂=1D M ⊥平面PCD ，∴CP ⊥1D M ，又MN ⊥面11ACC A ，∴PC ⊥MN∴PC ⊥面11MNB D ，即平面α为面11MNB D ，11422,42,25AB MN BD B N D M =∴====，∴截面的周长为4562+，故选：A. 点评：本题考查空间中平面的作法、线面垂直判定定理与性质定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.10．如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A ．3B ．12C ．6D ．5答案：D取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得||,||AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．解：如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥， ∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而||cos ,||AO AD AO AD <>= ，故222||4||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；同理可得222||2||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选D ．点评：本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．11．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则 （ ）A ．2(2)(3)(log )af f f a <<B ．2(3)(log )(2)af f a f <<C ．2(log )(3)(2)af a f f << D ．2(log )(2)(3)af a f f <<答案：C解：试题分析：根据题意，由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，可知函数关于x=2对称，同时根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''>那么说明了当(2)()0x f x '->，当x>2时，递增，当x<2时单调递减，则可知函数的单调性，同时结合24a <<，21log 2,1624<<>>aa 那么可知2(log )(3)(2)a f a f f <<，故选C.【考点】函数的单调性点评：解决的关键是对于函数的单调性的判定以及周期性的运用，属于基础题． 12．点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的直线交抛物线C 于AB 两点（点A 在第一象限），过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段，垂足分别为M 、N ，若4,3MF NF ==，则直线AB 的斜率为（ ）A ．1B ．724C ．2D ．247答案：D令()()1122,,,A x y B x y ，根据抛物线焦点弦的性质可得221212,4p x x y y p ==-，可得MF NF ⊥，由勾股定理可得5MN =，再根据等面积法求出p ，即可求出抛物线的焦点坐标与A 点坐标，最后利用斜率公式计算可得； 解：解：如图令()()1122,,,A x y B x y ，易知：22121212,,,,,422p p p x x y y p M y N y ⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1212212222MF NF y y y yk k p p p p p ∴⋅=⋅==-----． MF NF ∴⊥因为4,3MF NF ==5MN ∴=125y y ∴-=11345222p∴⨯⨯=⨯⨯ 125p ∴=所以抛物线方程为2245y x =，焦点坐标6,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭22112165y ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 1165y ∴=，1165y =-（舍去），所以3216,155A ⎛⎫⎪⎝⎭162453267155AFk ∴==- 故选：D 点评：本题考查直线与抛物线的综合应用，焦点弦的性质的应用，属于中档题.二、填空题13．若函数ln 2lg ,(0)(),(0)2x x x f x x e x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则110f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 答案：1-先计算1110f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算(1)f -，即可得答案； 解：11lg 11010f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴1ln ln 2211(1)122f e e ---=-=--=-，∴1110f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：1-. 点评：本题考查根据分段函数求函数值，考查运算求解能力，属于基础题. 14．按如图所示的程序框图运算,若输入x =20,则输出的k =______.答案：3 解：根据题意可知，起始量为k =0,第一次得到：k =1,x =39; 第二次：k =2,x =77;第三次：k =3,x =153,此时不符合条件， 则终止循环得到的k 的值为3. 故答案为:3.【考点】本试题考查了框图的知识． 点评：解决该试题的关键是利用已知中的条件结构和循环结构，解决变量的求值问题，注意循环结构的终止条件，也就是最后一步何时停止，这一点是易错点，属于基础题．15．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=︒，则该椭圆的离心率是 .51- 解：90,90,BAO BFO BAO BFO ∠+∠=︒∴∠=︒-∠sin cos ,c BAO BFO a∴∠=∠=22242,310b c a e e +=∴-+=()()2235510,1,,0,1,22e e e e --∈∴=∈∴=16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，120A =︒，若b c λ+有最大值，则λ的取值范围是______. 答案：1,22⎛⎫⎪⎝⎭利用正弦定理求得,b c ，结合辅助角公式以及三角函数的最值，求得λ的取值范围. 解：由于120A =，所以060B <<.由正弦定理得1sin sin sin sin1203bc a B c A ====，所以,b Bc C==，所以b cλ+()60B C B B==+- 1cos sin22B B B ⎛⎫=+-⎪⎪⎭cos B B =+.当210λ-=时，cos b c B λ+=没有最大值.所以12λ≠.则b c λ+()sin B ϕ=+.其中tan 21ϕλ=-，要使b c λ+有最大值，则Bϕ+可以等于90，由于060B <<，所以3090ϕ<<，所以tan ϕ>，即>，解得122λ<<.所以λ的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭点评：本小题主要考查正弦定理解三角形，考查辅助角公式，属于难题.三、解答题17．一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示： 学生 1A2A3A4A5A数学（x 分） 89 91 93 95 97 物理（y 分） 8789899293（1）求出这些数据的回归直线方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X 的值． 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-⋅ 答案：（1）ˆ0.7520y x =+；（2）答案见解析.（1）利用最小二乘法公式，先求出0.75b =，再利用回归直线经过样本点中心，即可得答案；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2．利用古典概率模型求出随机变量的分布列，进而求得期望. 解：解：（1）8991939597935x ++++==，8789899293905y ++++==， ()52222221(4)(2)02440i i x x =-=-+-+++=∑()()51(4)(3)(2)(1)0(1)224330iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑，300.7540b ==，69.7bx =，20.2a y bx =-=． 故这些数据的回归方程是：ˆ0.7520yx =+． （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2．22241(0)6C P X C ===；1122242(1)3C C P X C ===；22241(2)6C P X C ===．故X 的分布列为：121()0121636E X ∴=⨯+⨯+⨯=．点评：本题考查最小二乘法求回归直线方程、离散型随机变量的分布列及期望，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意概率模型的选择. 18．如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，AB EF ，矩形ABCD 所在的平面与圆O 所以的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==. （1）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（2）当AD 的长为何值时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60？答案：（1）见解析（2）当AD 的长为64时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角大小为60.【试题分析】（1）先运用面面垂直的性质定理证明线线垂直，再运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，最后运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的坐标形式的有关运算及数量积公式分析求解：解：（1）平面ABCD ⊥平面,ABEF CB AB ⊥， 平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF . ∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∴AF ⊥平面CBF . ∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF .（2）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、AD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ， 则()1,0,C t -，又()()131,0,0,1,0,0,2A B F ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭， ∴()132,0,0,,22CD FD t ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCF 的法向量为()1,,n x y z =，则110,0n CD n FD ⋅=⋅=，即20,{0,2x y tz =-+=令z =0,2x y t ==.∴(10,2n t =.由（1）可知AF ⊥平面CFB ，取平面CFB的一个法向量为212n AF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭∴1212cos60n n n n ⋅=，即12=t =因此，当AD 的长为4时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角大小为60. 点睛：立体几何是高中数学中的传统而典型的内容之一，也高考重点考查的考点和热点。

2020年高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．87．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1+2i，得．故选：B．3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，然后解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故选：C．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．解：法一：根据已知，有．法二：由得，两边平方得，所以，即．故选：A．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解：二项式（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3；故二项式展开式的常数项为，解得a＝1．故选：A．7．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】由已知可得点P在圆C上，且圆心C在直线l上，求得PC＝2．画出图形，利用勾股定理求得半弦长，则直线l'被圆C截得的弦长可求．解：由题意知，点P在圆C上，且圆心C在直线l上，∴PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关【分析】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，可得SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理可得R．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+＝R2，解得R ＝2．故球面面积为4πR2＝16π．故选：C．9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可得每位学生选择三个锻炼项目有种，则总的选择方式有种，其中甲、乙的选择方式有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为或．解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，其中甲、乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．故选：B．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】画出图形，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），通过，推出直线OB的斜率的表达式，利用基本不等式求解即可．解：如图，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），依题意，四边形OABC为矩形，则，即x1x2+y1y2＝0，所以，即x1x2＝﹣16，从而，直线OB的斜率＝，．当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解真假，得到目标函数的最小值即可．解：不等式组表示的可行域是以（2，0），A（1，1），（3，1）为顶点的三角形及其内部，如图：当目标函数z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数在y轴是的的截距取得最小值，此时z取得最小值，z取得最小值3．故答案为：3．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用直线与平面的位置关系结合图形、逐个判断，即可得出答案．解：设平面α∩β＝a，①存在b⊂平面β，且b∥a，所以a∥平面α，故正确，②存在c⊂平面β，且c⊥a，所以c⊥平面α，故正确，③若l与两平面的交线相交，则平面β内不存在直线与直线l平行，则③错误；④由以上图可知存在平面β内一定存在直线与直线l异面．故④正确，故答案：①②④．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：由已知，不妨设b＝2a，由，，解得a＝1，则b＝2，据余弦定理有，所以．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是e．【分析】由不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，且x＞0，可化为．设，求导可得f'（x）＝，令f'（x）＝0可得x＝e2，可得在（0，e2）和（e2，+∞）函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的最大值．结合图象可得f（x）在的图象的下面恒成立，则的图象与函数f（x）的图象相切时，ab取到最大值，进而求出ab的最大值．解：由a≠0，x＞0，原不等式可化为恒成立，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减．所以，f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值；且x＞e时，f（x）＞0．结合图象可知，的图象恒在f（x）的图象的上方，显然a＜0不符题意；当a＞0时，ab为直线的横截距，其最大值为f（x）的横截距，再令f（x）＝0，可得x＝e，所以ab取得最大值为e．此时a＝e2，，直线与f（x）在点（e，0）处相切，ab的最大值为e．故答案为：e．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．【分析】（1）对于数列{a n}：当n＝1时，由题设条件求出a1，再由当n≥2时，由S n ＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，进而说明数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，从而求得a n；对于数列{b n}：先设出等差数列{b n}的公差d，再由题设条件求出d，即可求得b n．（2）先由（1）求得c n，再求出T10即可．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2；当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．设等差数列{b n}的公差为d，则b3﹣b1＝16﹣20＝4＝2d，解得d＝﹣2，所以数列{b n}的通项公式b n＝22﹣2n．综合以上知：a n＝2n，b n＝22﹣2n；（2）由（1）知：c n＝a n*b n＝＝，所以T10＝a1+a2+a3+b4+b5+b6+…+b10＝＝．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）法一：在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得，由此证明四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG，进而得证；法二：在线段BC上取靠近点B的四等分点H，可得HF∥PB，由此证明HF∥平面PBE，再证明四边形DEBH为平行四边形，可得DH∥平面PBE，综合可得平面DFH∥平面PBE，再利用面面平行的性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBE及平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式直接求解即可．解：（1）法一：依题意得BE＝2，BC＝4，．…………………………（1分）如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，因为，所以．所以．……………………………………所以四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG．…………………………又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，．………………………………所以DF∥平面PBE．………………………………法二：如图，在线段BC上取靠近点B的四等分点H，连接FH，DH，因为，所以HF∥PB．又HF⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以HF∥平面PBE．……………………………………依题意得BE＝2，BC＝4，，而，所以．所以四边形DEBH为平行四边形．所以DH∥EB．又DH⊄平面PBE，EB⊂平面PBE，所以DH∥平面PBE．………………………………而DH⊂平面DFH，FH⊂平面DFH，DH∩FH＝H，所以平面DFH∥平面PBE．因为DF⊂平面DFH，所以DF∥平面PBE．………………………………（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又因为平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，所以EC⊥平面PBE．……………………………………以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），，，B（2，0，0），由，得．…………………………………………则，．设平面PCD的法向量为，则，令y＝1，则，故可取．………………………………又EC⊥平面PBE，可取平面PBE的一个法向量为，．…………………………则＝．所以，平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．………………………………20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．【分析】（1）利用，求解轨迹方程即可．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，通过直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．转化求解即可．解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（﹣1）＝ea﹣1由已知列式求得a值，求出导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，关键导函数在本题区间段内的符号，可得原函数的单调性；（2）当a＞0时，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．结合f（﹣1）＞0，f （﹣2）＜0，可得f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，利用导数研究其单调性可知f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，利用导数求其极小值，根据极小值大于0，可得f（x）最多只有一个零点，不符合题意．当a＜0时，利用导数证明f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f （﹣x），再求导数证明f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，即x1+x2＞0．解：（1）由题，则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，此时，由f'（x）＝0，得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数；证明：（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，∴f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f （x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得x＝0，由x≤0，得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0，得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，∴当a＜0时，f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），∴，由于x＞0时，e x﹣e﹣x＞0，又a＜0，则F'（x）＝ax（e x﹣e﹣x）＜0恒成立，∴F（x）为（0，+∞）的减函数，则F（x）＜F（0）＝f（0）﹣f（0）＝0，即f（x）＜f（﹣x），故有f（x2）＜f（﹣x2）．又x1，x2是f（x）的两个零点，则f（x1）＝f（x2），∴f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，∴x1+x2＞0，且a的取值范围是（﹣∞，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。

眉山市高中2017级第二次诊断性考试理科综合能力测试本试卷共12页，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1. 本次考试为“云考试”，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2. 考生在试题作答、答题卷上传等方面按学校具体要求执行，规范作答.3. 考试结束后，在规定时间内上传本次考试的答题卷给学校指定的教师.可能用到的相对原子质量：H－1 Li－7 C－12 O－16 Mg－24Al－27 S－32 Cl－35.5 Fe－56 Cu－64一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列发生在高等植物细胞内的化学反应，只能在细胞器中进行的是A. CO2的生成B. 肽链的形成C. RNA的合成D. 葡萄糖的分解2. 下列有关细胞中部分化合物的叙述，错误的是A. 高等动物细胞主要的遗传物质是DNAB. 纤维素是构成植物细胞壁的主要成分C. 磷脂是构成细胞中生物膜的重要成分D. 蛋白质是人体生命活动的主要承担者3. 下列关于细胞有丝分裂过程中染色体和DNA数量变化的叙述，错误的是A. 染色体复制完成后核DNA数量是之前的两倍B. DNA的复制和数量加倍都发生在细胞分裂间期C. 着丝点分裂将导致染色体和DNA数量成倍增加D. 处于分裂中期和分裂末期的细胞染色体数量不同4. 某研究小组从某湖泊中选取了四种不同的生物，并对其消化道内食物组成进行了分析，结果如下表所示。

下列说法正确的是生物种类鱼甲河虾鱼乙水蚤消化道内食物组成鱼乙、河虾水蚤、小球藻水蚤、河虾小球藻A. 小球藻、水蚤在生态系统中属于生产者B. 表中生物形成的食物网共有4条食物链C. 鱼乙在该湖泊生态系统中的营养级最高D. 河虾与水蚤二者间的关系是捕食和竞争5. 人体细胞内染色体上某个基因遗传信息传递的过程如下图。

下列叙述正确的是A. 过程a在不同时间段进行时会选择不同的模板链B. 过程b 可能剪切掉了 RNA1中的部分脱氧核昔酸C. 过程c 中转运氨基酸的工具不能与终止密码配对D. 基因表达时a 过程和c 过程进行的场所是相同的6. 玉米的高秆(D)对矮秆(d)为显性，抗病(R)对易感病(r)为显性，控制这两对性状的基因分别位于两对同源染色体上。

四川省眉山市高中第二次诊断性考试数学试题卷 (理科) .4数学试题卷（理科）共4页。

满分150分。

考试时间1。

注意事项：1．答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

5．考试结束后,将答题卡交回。

参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A ,B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=C knP k (1−P )n −k一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合A ={x |y =log 2(2x −1)},B ={y |y =(12)x},则A ∩B =DA .(0,12]B .[12,1]C . [0,12]D .(12,1] 2. i 虚数单位,则i 3(1+i )i −1=BA . −1B .1C .iD . −i3. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2−9n ,若5<a k <8,则a k 的值是B A .8 B .6 C .14 D .16解析:由S n =n 2−9n 得a n =2n −10,∴由5<2k −10<8得k=8⇒a k =64．椭圆x 2m 2 + y 2m 2−1 =1(m >1)上一点P 到左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P 到右准线的距离为CA .1B .3C .2D .4解析:由两个焦半径得2a=4,⇒a=2,c=1,e=12,12x P +2=3⇒x P =2⇒d=a2c−x P =4−2=25. 7个人排成一排准备照一张合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有CA .480种B .7C .960种D .1解析:A 44A 22A 52=960.6. 已知sin(π6−α)=13,则cos(2π3+2α)=AA . −79 B . −45 C . −78D . 34解析: cos(π3+α)=cos[π2−(π6−α)]=sin(π6−α)=13,∴cos(2π3+2α)=2cos 2(π3+α)−1=−79.7. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的正切值是BAB C D OA 1B 1C 1D 1第7题解图A .23 B . 22 C . 23 D . 638. 在锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,∆ABC 的面积是3,则AB →·AC →=DA .2或3B .2或−2C .3D .29. 已知p : 关于x 的不等式|x -2|+|x +2|>m 的解集是R ; q : 关于x 的不等式x 2+mx +4>0的解集是R . 则p 成立是q 成立的BA .充分不必要条件B . 必要不充分条件C .充要条件D . 即不充分也不必要条件解析:p ⇔m<4,q ⇔m 2−16<0⇔−4<m<4.10. 已知点P 为双曲线x 2a 2 −y 2b 2=1(a >0,b >0)右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,I 为∆F 1PF 2的内心,若S ∆PF 1F 2=2S ∆IPF 2+(λ+1)S∆IF 1F 2成立,则λ的值为AA . a a 2+b 2B . a 2+b 22aC . a 2−b 22aD . a a 2−b2解析:设∆F 1PF 2内切圆半径为r,则12(|PF 1|+|PF 2|+2c)r=|PF 2|·r+(1+λ)cr ⇒λc=12(|PF 1|−|PF 2|)=a.11. 已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫lim n →∞1−x n1+x n ·x (x ≥0),下面正确表述的是AA . lim x →1f (x )不存在,在x =1处不连续,在x =12处连续 B . 在x =1处连续C . lim x →1f (x )存在,在x =1处连续,在x =12处不连续 D . 在x =12处不连续解析:∵f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x <1)0 (x =1)−x (x >1),∴lim x →1f (x )不存在,在x =1处不连续,在x =12处连续.12. 设f (x )是连续的偶函数,当x >0时f (x )是单调函数,则满足f (x )-f (x +3x +4)=0的所有x 之和是D A . −5 B .3 C .8 D .－8解析:由题意得|x|=|x +3x +4|⇔|x 2+4x|=|x+3|⇔ x 2+3x −3=0或x 2+5x+3=0,由韦达理得.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡相应位置上.13. 若(x 2+1x2)n的展开式中,只有第四项的系数最大,那么这个展开式中的常数项的值是 .(用数字作答)解析:∵只有第四项的系数最大,∴n=6⇒T r+1=C 6r x 12−4r ,令12−4r=0得,r=3⇒T 4=C 63=4. 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x −y +1≤02x −y −2≤0,t =x 2+y 2,则t 的最小值是 5 ; 15. 在半径为R 的球内有一内接正三棱锥,其底面上的三个顶点恰好都在同一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点返回,则经过的最短路程是7πR3.16. 已知函数f (x )=(13)x−log 2x ,正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列,且满足f (a )f (b )f (c )<0,若A OBCS第15题解图实数d 是方程f (x )=0的一个解,那么下面四个判断：①d <a , ②d <b ③d <c ④d >c其中可能判断正确的是 ①②③ .(写出所有可能正确判断的序号)三、解答题: 本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本题满分12分)已知m →=(cos x ,sin x ),n →=(cos x ,23cos x −sin x ),f (x )=m →·n →+|m →|,x ∈(5π12,π].(Ⅰ)求f (x )的最大值；(Ⅱ)记∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若f (B )=−1,a =c =2,求AB →·BC →. 解：(Ⅰ)∵m →=(cos x ,sin x ),n →=(cos x ,23cos x −sin x )∴f (x )=m →·n →+|m →|=cos 2x +sin x (23cos x −sin x )+1=cos 2x −sin 2x +23sin x cos x +1=cos2x +3sin2x +1 =2sin(2x +π6)+1. ……4分∵x ∈(5π12,π],∴π<2x +π6≤136π⇒−1≤sin(2x +π6)≤12,∴f (x )max =f (π)=2. ……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (B )=2sin(2x +π6)+1=−1, ∴sin(2B +π6)=−1,而π<2B +π6≤136π, ∴2B +π6=3π2⇒B =2π3. ……9分又a =c =2, ∴AB →·BC →=ac cos(π−B )=2⨯2cos π3=2. ……12分18．(本题满分12分)眉山市某中学有三位同学利用周末到东坡湖公园游玩,由于时间有限,三人商定在已圈定的10个娱乐项目中各自随机的选择一项体验（选择每个项目的可能性相同）(Ⅰ)求三人中恰好有两人选择同一项目体验的概率；(Ⅱ)若10个项目中包括了滑旱冰、激流勇进、划船项目,求三名同学选择这三个项目的人员个数ξ的分布列与数学期望.解：(Ⅰ)记“三人中恰有两人选择同一项目体验”为事件A ,依题意每人选择每个项目的概率均为110……2分 则P (A )= C 110C 32⨯(110)2⨯(910)1=27100……5分(Ⅱ)依题意ξ=0,1,2,3,而每个人选中滑旱冰、激流勇进、划船项目的概率为310,选中其它项目的概率710,将三个同学选择项目看作是三次独立重复试验, ……6分则P (ξ=0)=(710)3=3431000, P (ξ=1)=C 31⨯310⨯(710)2=4411000,P (ξ=2)=C 32⨯(310)2⨯710=1891000, P (ξ=3)=C 33⨯(310)3=271000……10分∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P343100044110001891000271000∴E ξ=0⨯3431000+1⨯4411000+2⨯1891000+3⨯271000=0.9. ……12分19．(本题满分12分)如图,多面体ABCDE 中,四边形ABED 是直角梯形,∠BAD =90︒,DE //AB ,平面BAED ⊥平面ACD ,∆ACD 是边长为2a 的正三角形,DE =2AB =2a ,F 是CD 的中点(Ⅰ)求证：AF ⊥平面CDE ；(Ⅱ)求面ACD 与面BCE 所成二面角的大小.法一（几何法）(Ⅰ)证明：∵∠BAD =90︒,DE //AB , ∴DE ⊥AD又平面BAED ⊥平面ACD ,平面BAED ∩平面ACD =AD , ∴DE ⊥面ACD , ∴DE ⊥AF ……3分 ∵∆ACD 是正三角形,F 是CD 的中点, ∴AF ⊥CD∴AF ⊥平面CDE ； …….6分(Ⅱ)解：延长DA ,EB 相交于点G ,连结CG ,易知平面ACD ∩平面BCE =GC由DE //AB ,DE =2AB =2a 知GA GD =AB DE =12∴DA DG =12∵F 是CD 的中点, ∴DF DC =12∴DA DG =DFDC⇒AF //CG 由(Ⅰ)AF ⊥平面CDE , ∴GC ⊥平面CDE ∴GC ⊥CD ,GC ⊥CE∴∠DCE 为面ACD 与面BCE 所成二面角的平面角 ……9分 在∆CDE 中,∠CDE =90︒,DE =CD =2a , ∴∠DCE =45︒ 即面ACD 与面BCE 所成二面角为45︒ ……12分 法二（向量法）(Ⅰ)建系后用数量积为零证明AF ⊥CD ,DE ⊥AF ,过程省. ……6分 (Ⅱ)以F 为坐标原点,建立空间直角坐标系F −xyz 如图所示, 则F (0,0,0),A (0,0,3),D (a ,0,0),C (−a ,0,0),E (a ,2a ,0),B (0,a ,3a设面BCE 的一个法向量n →=(x ,y ,z ),而CB →=(a ,a ,3a ),CE →=(2a ,2a ,0)由⎩⎪⎨⎪⎧n →·CB →=ax +ay +3az =0n →·CE →=2ax +2ay =0,令y =1则x =−1,z =0 ∴n →=(−1,1,0) ……9分易知平面ACD 的一个法向量为m →=(0,1,0). 设面ACD 与面BCE 所成二面角为θ,则m →·n →cos θ=|cos<m →,n →>|=|m →·n →||m →|·|n →|=11⨯2=22∴θ=45︒. ……12分A BC DEFABC DEFGH本题满分12分) 设椭圆M :y 2a 2 + x 2b 2 =1(a >b >0)的离心率为74,点A (0,a ),B (−b ,0),原点O 到直线AB 的距离为125,P 是椭圆的右顶点,直线l : x =my −n 与椭圆M 相交于C ,D两点,且PC →⊥PD →.(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)求证：直线l 的横截距n 为定值.解：(Ⅰ)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=716, 得a =43b ……2分由点A (0,a ),B (−b ,0)知直线AB 的方程为x −b +ya =1,即l AB :4x −3y +4b =0又原点O 到直线AB 的距离|0+0+4b |42+(−3)2=4b 5=125, ∴b =3, ……4分 ∴b 2=9,a 2=16从而椭圆M 的方程为：y 216 + x 29 =1. ……5分(Ⅱ)易知P (3,0),设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),将x =my +n 代入y 216+x 29=1化简整理得(16m 2+9)y 2+32mny +16n 2−144=0则y 1+y 2=−32mn 16m 2+9,y 1y 2=16n 2−14416m 2+9…….8分 而PC →·PD →=0⇒(x 1−3,y 1)·(x 2−3,y 2)=0即(x 1−3)·(x 2−3)+y 1y 2=0 又x 1=my 1+n , x 2=my 2+n ∴(my 1+n −3)·(my 2+n −3)+y 1y 2=0,整理得(m 2+1)y 1y 2+m (n −3)(y 1+y 2)+(n −3)2=0 ……10分 即(m 2+1)⨯16n 2−14416m 2+9+m (n −3)⨯−32mn 16m 2+9+(n −3)2=0 易知n ≠3,∴16(m 2+1)(n +3)−32m 2n +(16m 2+9)(n −3)=0 展开得25n +21=0⇒n =−2125∴直线l 的横截距n 为定值 ……12分21．(本题满分12分) 对于数列{a n },规定{∆a n }为数列{a n }的一阶差分数列,其中∆a n =a n +1−a n (n ∈N *)；一般地,规定{∆k a n }为数列{a n }的k 阶差分数列,其中∆k a n =∆k −1a n +1−∆k −1a n ,且k ∈N *,k ≥2.(Ⅰ)已知数列{a n }的通项公式a n =52n 2−132n (n ∈N *),试证明{∆a n }是等差数列；(Ⅱ)若数列{a n }的首项a 1=1,且满足∆2a n −∆a n +1+a n =−2n(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记b n =⎩⎪⎨⎪⎧a 1 (n =1)2n −1∆a n(n ≥2,n ∈N *),求证：b 1+b 22+…+b n n <1712解：(Ⅰ)根据题意: ∆a n =a n +1−a n =52(n +1)2−132(n +1)−52n 2+132n =5n −4 ……2分∴∆a n +1−∆a n =6∴数列{∆a n }是首项为1,公差为5的等差数列. ……3分(Ⅱ)由∆2a n −∆a n +1+a n =−2n , ∴∆a n +1−∆a n −∆a n +1+a n =−2n ,⇒∆a n −a n =2n. ……5分 而∆a n =a n +1−a n , ∴a n +1−2a n =2n, ∴a n +12n +1−a n 2n =12, ……6分∴数列{a n 2n }构成以12为首项, 12为公差的等差数列,即a n 2n =n2⇒ a n =n ·2n −1. ……7分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知a n =n ·2n −1,∴b n =⎩⎪⎨⎪⎧a 1 (n =1)2n −1∆a n (n ≥2,n ∈N *)=⎩⎪⎨⎪⎧1 (n =1)2n −1a n +1−a n (n ≥2,n ∈N *)=⎩⎪⎨⎪⎧1 (n =1)1n +2(n ≥2,n ∈N *) ……9分∴当n ≥2,n ∈N *时b n n =1n (n +2)=12(1n −1n +2),∴b 1+b 22+…+b n n =1+12[(12−14)+(13−15)+(14−16)+…+(1n −1−1n +1)+(1n −1n +2)]=1+12(12+13−1n +1−1n +2)<1+12(12+13)=1712. 当n =1时, b 1=1<1712, 显然成立∴b 1+b 22+…+b n n <1712. ……12分22．(本题满分14分)已知函数f (x )=(x −a 2)e x +e −x −ax (x ∈R ,e=2.71828…是自然对数的底数), f '(0)=a .(Ⅰ)求f '(ln2)； (Ⅱ)证明：f (x )在(−∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数；(Ⅲ)记h (x )=f '(x )−f (x ),求证：h (1)+h (2)+…+h (n )<(n +5)·3n2(e −1)+1(n ∈N *).(Ⅰ)解：∵f (x )=(x −a 2)e x +e −x −ax ⇒f '(x )=e x +(x −a 2)e x −e −x−a∴f '(0)= e 0+(x −a 2)e 0−e −0−a =−a 2−a =−a ⇒a 2=0⇒a =0,故f '(x )=e x +x e x −e −x………2分 ∴f '(ln2)= e ln2+ln2·e ln2−e−ln2=2+2ln2−12=32+ln4 ……4分(Ⅱ)由(Ⅰ) f (x )=x e x+e −x, f '(x )=(1+x )e x−e −x,当x ≤−1时,f '(x )<0；当x >−1时,f ''(x )= (2+x )e x +e −x>0,f '(x )在(−1,+∞)上递增,而f '(0)=0, 则当−1<x <0时,f '(x )<0；当x >0时,f '(x )>0. 综上,f (x )在(−∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数； ……8分(Ⅲ) h (x )=f '(x )−f (x )= (1+x )e x −e −x − x e x −e −x =e x −2e −xh (1)+h (2)+…+h (n )=(e −2e −1)+(e 2−2e −2)+(e 3−2e −3)+…+(e n −2e −n)=(e+e 2+…+e n )−2(e −1+e −2+…+e −n)=e (1−e n )1−e −2⨯e −1(1−e −n )1−e −1=e −e n +1+2−2e−n1−e=e n +1+2e −n −e −2e −1<e n +1+2e −n e −1<e n +1+2e −1e −1=e n +1e −1+12e (e −1)<e n +1e −1+1.而(n +5)·3n 2(e −1)+1≥6·e n 2(e −1)+1=3·e n e −1+1>e n +1e −1+1.所以, h (1)+h (2)+…+h (n )<(n +5)·3n2(e −1)+1(n N *). ……14分。

2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题. 2．已知i 为虚数单位，复数9321iz i i-=++，则z =（ ）A ．2+B ．2C ．5D ．25【答案】C【解析】对z 进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到z 【详解】 对复数z 进行化简()()93193223412i i iz i i i i ---=+=+=-+所以5z == 【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.3．已知平面向量,a b r r 的夹角为π3，且1a =r ，2b =r ，则2a b +r r 与b r 的夹角是（ ）A ．5π6 B ．2π3 C ．π3 D ．π6【答案】D【解析】先计算2a b +=r r ()26a b b +⋅=r r r，根据夹角公式得到答案.【详解】设2a b +r r与b r 的夹角是θ，由题设有22π244cos 233a ba ab b +=+⋅+=r r r r r r()22π222cos 63a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=r r r r r r r r r所以()23cos 2322a b b a b b θ+⋅===⨯+⋅r r r r r r ，所以π6θ=． 故选：D 【点睛】本小题考查平面向量的基本运算，向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力，应用意识, 本小题也可利用向量的几何意义求解．4．空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～5051～100101～150 151～200 201～300 300以上 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【答案】C【解析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果. 【详解】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 故选C ． 【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.5．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 A ．60- B ．15- C ．15 D ．60【答案】D【解析】写出二项式展开通项，整理后令x 的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项. 【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令630r -=，得到2r =所以622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()226260C -=，故选D 项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题. 6．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212211,2,111n n n a a S S S ++==++=+，则n S =（ ） A ．()12n n +B ．12n -C ．21n -D ．121n -+【答案】C【解析】对已知()()()221111n n n S S S ++++=+，进行化简，令1n n b S =+，可得221n n n b b b ++⋅=，即{}n b 为等比数列，利用121,2a a ==可计算出n b 的首项和公比，从而可求得n b 的通项，得到n S 的通项. 【详解】()()()221111n n n S S S ++++=+Q ，令1n n b S =+221n n n b b b ++∴⋅=，可得{}n b 为等比数列，设其公比为q1112212112,114b S a b S a a =+=+==+=++= 212b q b ∴==，111222n n n n b b q --∴=⋅=⨯= 121n n n S b =-=-，故选C 项.【点睛】本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题. 7．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R ，则“x 1+x 2＝0”是“f （x 1）+f （x 2）＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】 函数是奇函数, 若，则， 则，即成立,即充分性成立， 若，满足是奇函数，当时 满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，所以A选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8．已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，，且，则( )A．3 B．C．0 D．【答案】D【解析】根据条件求出A，ω和φ的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可．【详解】由条件知函数的周期满足T＝2×（）＝2×2π＝4π，即4π，则ω，由五点对应法得ω+φ＝0，即φ＝0，得φ，则f（x）＝A sin（x），则f（0）═A sin（）A，得A＝3，即f（x）＝3sin（x），在（）内的对称轴为x，若∈（），，且，则关于x对称，则＝2，则f （）＝3sin （）＝3sin 3sin ，故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．9．若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）【答案】D【解析】圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12y y ，令其小于0，可得答案. 【详解】圆与直线联立()2211x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120mym m y m m +-+++=Q 图像有两个交点∴方程有两个不同的实数根，即>0∆()()()22224142180m m m m m m ∆=+-++=->得0m <.Q 圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.2122201m my y m+∴=<+，解得20m -<<， 故选D 项. 【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题. 10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为()()2,2,1,2,2,1A B -，()()0,2,1,0,0,1C D ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π【答案】B【解析】在空间坐标系里画出,,,A B C D 四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积. 【详解】如图，在空间坐标系里画出,,,A B C D 四个点，可得BA AC ⊥,DC ⊥面ABC , 因此可以把四面体D ABC -补成一个长方体，其外接球的半径2222223R ++==所以，外接球的表面积为2412R ππ=，故选B 项.【点睛】本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ （O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是（ ）A ．01（，）B ．01]（，C ．[]01， D ．02]（， 【答案】A【解析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠，得到直线l 的方程，再设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝，与抛物线方程联立，由判别式为0，得到2m t =，最后由点到直线的距离，即可得出结果. 【详解】抛物线24y x =上的准线方程是1x =-设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠．则直线l 的方程为210x ty t -++=．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝．代入抛物线方程可得2440y ty m -+=，由216160t m -=n ＝，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t +=﹣．． ∴则P 到l的距离的最小值()01d =，．故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.12．已知函数()()ln 122f x x a x a =+-+-．若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是（ ） A ．(]1ln3,0- B ．(]1ln3,2ln 2-C ．(]1ln3,1ln 2--D ．[]0,1ln 2-【答案】C【解析】变换得到不等式2ln 2ax a x x ->--，设()ln 2g x x x =--，()2h x ax a =-，判断()g x 的单调性和()h x 恒过点()2,0，画出函数图像，解得答案.【详解】由()0f x >得2ln 2ax a x x ->--，设()ln 2g x x x =--，()2h x ax a =- 由()11g x x'=-，可知()g x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，()h x 恒过点()2,0．画出()g x 与()h x 函数图象，如图所示：不等式()0f x >的解集中含有三个整数，则()()()()()()11,33,44,h g h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩即1,1ln 3,222ln 2,a a a ->-⎧⎪>-⎨⎪≤-⎩ 解得1ln31ln 2a -<≤-． 故选：C【点睛】本小题考查函数与导数等基本知识．考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．二、填空题13．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为__________． 【答案】120【解析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项. 【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S .根据题意可知，91471260,390S a a a =++=， 法一：()199********,1402a a S a a +===∴= 147443390,130a a a a a ++==∴=， 5410d a a ∴=-=， 34120a a d ∴=-=.法二：91471260390S a a a =⎧⎨++=⎩，11119891260236390a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩ 解得110010a d =⎧⎨=⎩所以312120a a d =+=【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.14．根据下列算法语句，当输入x ，y ∈R 时，输出s 的最大值为_____．【答案】2【解析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目，然后用线性规划的方法解决问题.【详解】由算法语句可知0023y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，求xy +的最大值，并与0比较画出可行域如图，AOB V 为可行域，所求目标函数z x y =+，整理得y x z =-+，为斜率为-1的一簇平行线，在A 点时得到最大值.解方程组023x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，∴A 点坐标()1,1，所以x y +的最大值为2.故答案为2.15．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．【答案】[]1,3⎤⎡⋃⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】对()f x 分类，找到()2f x ≤的解集，再求()22f x -≤的解集 【详解】0x ≥时，()23f x x x =-，∴①当03x ≤≤时，()23f x x x =-+，解()2f x ≤，即232x x -+≤得1x ≤或2x ≥，01x ∴≤≤或23x ≤≤②当3x >时，()23f x x x =-解()2f x ≤即232x x -≤得x ≤≤332x ∴<≤∴当0x ≥时，()2f x ≤解集为01x ≤≤或322x +≤≤Q ()f x 是R 上的偶函数，∴由对称性可知∴当0x <时，()2f x ≤解集为322x +-≤≤-或10x -≤<()2f x ∴≤解集为322x +-≤≤-或11x -≤≤或322x ≤≤()22f x ∴-≤时，22x ≤-≤-或121x -≤-≤或22x ≤-≤0x ≤≤或13x ≤≤或4x ≤≤【点睛】本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.16．设m ，n 为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线m 1和n 1，给出下列4个命题：①m 1∥n 1⇒m ∥n ；②m ∥n ⇒m 1与n 1平行或重合；③m 1⊥n 1⇒m ⊥n ；④m ⊥n ⇒m 1⊥n 1．其中所有假命题的序号是_____．【答案】①②③④【解析】根据空间中直线与直线的位置关系可逐项判断，得出结果. 【详解】①两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故①错误， ②若m n P ，则1m 与1n 平行或重合或是两个点，故②错误．③因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线所成的角可以是锐角，故③错误．④两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个点等其他情况，故④错误．故假命题是①②③④， 故答案为①②③④ 【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟记线线位置关系即可，属于常考题型.三、解答题17．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，且1cos 3C =. ()1求b a的值；()2若11c =，求ABC △的面积.【答案】（1）109b a =；（2）S = 【解析】【详解】()1因为sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，所以2sin sin sin ,B A C =+由正弦定理得2,b a c =+即2.c b a =- 又因为1cos ,3C =根据余弦定理有： ()222222231cos 2,2223a b b a a b cb C ababa +--+-===-=所以10.9b a = ()2因为111,cos ,3c C ==根据余弦定理有：2212?121,3a b ab +-=由()1知109b a =，所以221001012?•121,8193a a a a +-= 解得281a =. 由1cos 3C =得sin C =， 所以ABC V的面积2155sin sin 81299S ab C a C ===⨯= 【点睛】本题考查等差数列的简单性质，正弦定理、余弦定理、面积公式的考查，难度不大，属于简单题.18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A B ，实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数．（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A B ，两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．附：下面的临界值表仅供参考．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d +++＝．）【答案】（1）0.040a ＝，中位数82.5；（2）见解析；（3）有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关【解析】（1）根据频率之和为1，可得()0.0050.0100.0250.020101a ++++⨯＝，即可求出a ；设y 为评分的中位数，根据题中数据可得()0.4800.040.5y +-⨯＝，进而可求出结果；（2）先由题意确定优质花苗数的可能取值，求出对应概率，即可得到分布列与期望； （3）由题中数据计算出2K ，对照临界值表，即可得出结论. 【详解】（1）因为()0.0050.0100.0250.020101a ++++⨯＝，解得0.040a ＝， 设y 为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知8090y ＜＜，所以()0.4800.040.5y +-⨯＝，则82.5y ＝；（2）由（1）知，树高为优秀的概率为：0.40.20.6＝+，记优质花苗数为ξ， 由题意知ξ的所有可能取值为0123，，，，()()330C 0.40.064P ξ=⨯＝＝，()()2131C 0.40.60.288P ＝＝ξ=⨯⨯， ()()2232C 0.60.40.432P ξ=⨯⨯=＝，()()2333C 0.60.216P ξ=⨯=＝， 所以ξ的分布列为：所以数学期望()E ξ30.6 1.8⨯为＝＝； （3）填写列联表如下，计算()221002010403016.667 2.70660405050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞，所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图、二项分布以及独立性检验等问题，熟记由频率分布直方图求中位数的方法、二项分布的分布列和期望，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.19．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF V V 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）63【解析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果. 【详解】（1）PB P 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则1124BN BO BD ==， 在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB n 中，有14BN BD =，14PM PD =， MN PB P ∴．PB ⊄Q 平面MEF ，MN ⊂平面MEF ，故PB P 平面MEF ；（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt ADE n 与Rt CDF n ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ⋂＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ，则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．可知PM PN ⊥，则在Rt MND n 中，12PM PN ＝，=22PM PN 3MN =+在MND n 中，332MD DN =＝，222623MN DN MD cos MND MN DN +-∠==⋅．∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为6．【点睛】本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)2,0F，过点F 且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.()1求椭圆C 的方程；()2过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）[)2,.+∞ 【解析】（1）根据焦点和通径列出,,a b c 关系，求出椭圆方程.（2）直曲联立，得到1212,x x x x +⋅，再将12k k +用12,x x 表示，得到λ与t 的关系，由t 的范围，得到λ的范围. 【详解】()1由题意得2222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y +=()2设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直曲联立构造等量关系.对计算能力要求较高，有一定的难度，属于中档题.21．已知函数f （x ）＝e x 12-（x ﹣a ）2+4． （1）若f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求a 的取值范围； （2）若x≥0，不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）[)1,-+∞；（2）ln 4⎡-⎣【解析】（1）对()f x 在(),-∞+∞上单调递增，转化为()0f x '≥恒成立，参变分离，求出a 的范围；（2）通过求导得到()f x 的最值，而()f x '的正负需要进行分类，通过分类讨论，()1,0a f x '≥-≥恒成立，()()min 00f x f =≥，得到a 的范围，1a <-时，可得到()()0min f x f x =，虽然0x 解不出来，但可以通过()00f x '=进行代换，得到0x 范围，再得到a 的范围.最后两部分取并集，得到最终a 的范围. 【详解】()1由题()x f x e x a '=-+，由()0f x '≥，得x a e x ≥-+.令()xg x e x =-+，则()1xg x e =-+'，令()0g x '=，得0x =.若0x <，()0g x '>；若0x >，则()0g x '<.则当0x <时，()g x 单调递增；当0x >时，()g x 单调递减.所以当0x =时，()g x 取得极大值，也即为最大值，即为()()max 01g x g ==-. 所以0a ≥，即a 的取值范围是.[)1,-+∞()2由()()2142x f x e x a =--+，得()x f x e x a '=-+，令()xh x e x a =-+，则()10xh x e ='-≥.所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，且()01h a =+. ①当1a ≥-时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增.由于()0f x ≥恒成立，则有()210502f a =-≥.即a ≤≤所以1a -≤≤满足条件.②当1a <-时，则存在()00,x ∈+∞，使得()00h x =，当00x x <<时，()0h x <，则()()0,f x f x '<单调递减；当0x x >时，则()0h x >，()()0,f x f x '>单调递增. 所以()()()0200min 1402xf x f x e x a ==--+≥， 又0x 满足()0000xh x e x a =-+=，即00xx a e -=所以0021402xx e e -+≥，则002280x x e e --≤ 即()()00420x xe e -+≤，得00ln4x <≤又00xa x e =-.令()x u x x e '=-，则()1xu x e '=-，可知，当0ln4x <≤时，()0u x '<，则()u x 单调递减. 所以()ln44xu x x e =-≥-，此时ln441a -≤<-满足条件.综上所述，a 的取值范围是ln4⎡-⎣.【点睛】利用导数求函数的单调区间、极值，参变分离、等量代换的方法，分类讨论的思想，对思维要求较高，难度较大，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ＝． （1）求M 的直角坐标方程；（2）将圆M 平移使其圆心为102N ，⎛⎫- ⎪⎝⎭，设P 是圆N 上的动点，点A 与N 关于原点O 对称，线段PA 的垂直平分线与PN 相交于点Q ，求Q 的轨迹的参数方程．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） 【解析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得出结果；（2）先由题意得到A 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，以及圆N 的半径2r ＝，根据题意得到1r NP NQ PQ QN QA NA ++＝＝＝＞＝，进而可得出结果.【详解】（1）将方程4cos ρθ＝两端同乘以ρ，得：24cos ρρθ＝，故224x y x +=,所以可得M 的直角坐标方程为：()2224x y -+=，（2）依题意A 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且圆的半径2r ＝． Q Q 在线段PA 的垂直平分线上，PQ AQ ∴＝，1r NP NQ PQ QN QA NA ＝＝＝＞＝∴++，根据椭圆的定义，Q 的轨迹为，以N A ，为焦点，以2为长轴长的椭圆．即112a c =＝，，2b ∴=， Q ∴的参数方程为：2x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）【点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化、以及曲线的参数方程，熟记极坐标与直角坐标的互化公式、以及曲线的参数方程即可，属于常考题型.23．设a ＞0，b ＞0，且a+b ＝ab ．（1）若不等式|x|+|x ﹣2|≤a+b 恒成立，求实数x 的取值范围．（2）是否存在实数a ，b ，使得4a+b ＝8？并说明理由．【答案】（1）[]1,3-；（2）见解析【解析】（1）先求+a b 的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x 的取值范围.（2）求出4a b +的最小值，然后进行判断【详解】()1由a b ab +=，得111,a b += ()11112?2?4a b a b ab a b a b⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时""=成立. 不等式2x x a b +-≤+即为24x x +-≤.当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<；当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤；当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤；综上，实数x 的取值范围是[]1,3-. ()2由于0,0a b >>.则()114445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭ 45?9b a a b≥+=.当且仅当4,,b a a b a b ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3,32a b ==时，4a b +取得最小值9. 所以不存在实数,a b ，使得48a b +=成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.。

四川省眉山市高中2020届高三理综下学期第二次诊断性考试试题本试卷共12页，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1. 本次考试为“云考试”，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2. 考生在试题作答、答题卷上传等方面按学校具体要求执行，规范作答.3. 考试结束后，在规定时间内上传本次考试的答题卷给学校指定的教师.可能用到的相对原子质量：H－1 Li－7 C－12 O－16 Mg－24 Al－27 S－32 Cl－35.5 Fe－56 Cu－64一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列发生在高等植物细胞内的化学反应，只能在细胞器中进行的是A. CO2的生成B. 肽链的形成C. RNA的合成D. 葡萄糖的分解2. 下列有关细胞中部分化合物的叙述，错误的是A. 高等动物细胞主要的遗传物质是DNAB. 纤维素是构成植物细胞壁的主要成分C. 磷脂是构成细胞中生物膜的重要成分D. 蛋白质是人体生命活动的主要承担者3. 下列关于细胞有丝分裂过程中染色体和DNA数量变化的叙述，错误的是A. 染色体复制完成后核DNA数量是之前的两倍B. DNA的复制和数量加倍都发生在细胞分裂间期C. 着丝点分裂将导致染色体和DNA数量成倍增加D. 处于分裂中期和分裂末期的细胞染色体数量不同4. 某研究小组从某湖泊中选取了四种不同的生物，并对其消化道内食物组成进行了分析，结果如下表所示。

下列说法正确的是生物种类鱼甲河虾鱼乙水蚤消化道内食物组成鱼乙、河虾水蚤、小球藻水蚤、河虾小球藻A. 小球藻、水蚤在生态系统中属于生产者B. 表中生物形成的食物网共有4条食物链C. 鱼乙在该湖泊生态系统中的营养级最高D. 河虾与水蚤二者间的关系是捕食和竞争5. 人体细胞内染色体上某个基因遗传信息传递的过程如下图。

下列叙述正确的是A. 过程a在不同时间段进行时会选择不同的模板链B. 过程b 可能剪切掉了 RNA1中的部分脱氧核昔酸C. 过程c 中转运氨基酸的工具不能与终止密码配对D. 基因表达时a 过程和c 过程进行的场所是相同的6. 玉米的高秆(D)对矮秆(d)为显性，抗病(R)对易感病(r)为显性，控制这两对性状的基因分别位于两对同源染色体上。