2020年浙江省杭州市临安区八年级(上)期中数学试卷

杭州市2020年八年级上学期期中数学试题（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 若点M的坐标为(-2，-3)，则点M关于y轴的对称点M´的坐标为（）A．(2，3)B．(-2，3)C．(2，-3)D．(-2，-3)2 . 如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；^，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A5为顶点的底角的度数为（）A．5°B．10°C．170°D．175°3 . 在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4 . 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．5 . 如图，已知AB∥CD，能得到∠1=∠2的依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行6 . 下列各组线段能组成一个三角形的是A．4cm，6cm，11cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，1cm D．2cm，3cm，6cm7 . 如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（）A．∠1﹣∠A＝2∠2B．∠2+∠1＝2∠A C．∠1﹣∠2＝2∠A D．2∠2+2∠A＝∠18 . 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°9 . 如图，中，，当沿折痕翻折时，点恰好落在的中点上.若，则的长是（）A．6B．8C．9D．1010 . 如图，点E、F在线段AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，可添加的条件是（）A．B．C．D．二、填空题11 . 边数为2017的多边形的外角和为_____．12 . 如图，将一块30°角的直角三角板ACB（∠B＝30°）绕直角顶点C逆时针旋转到△A′CB′的位置，此时点A′刚好在AB上，若AC＝3，则点B与点B'的距离为_____．13 . 如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A′落在边AB上，连接A′C，如果△A′BC恰好是以AC为腰的等腰三角形，则AE的长是___．14 . 如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是_____．15 . 如图，，是外一点，平分，若，则的大小是______．16 . 等腰三角形的一个内角为80°，则它的底角为_______．17 . △ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________．三、解答题18 . 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C坐标分别为(﹣3，2)，(﹣4，﹣3)，(﹣1，﹣1)．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（A、B、C的对称点分别为A1、B1、C1）（2）写出△A1B1C1各顶点A1、B1、C1的坐标．A1 、B1 、C1（3）直接写出△ABC的面积＝．19 . 如图，，，点在边上，.（1）求证：；（2）若，则的度数.20 . 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE=BC，AF⊥DE于点F，求证：DF=EA．21 . 如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．22 . 在平面直角坐标系中，点B为第一象限内一点，点A为x轴正半轴上一点，分别连接OB，AB，△AOB为等边三角形，点B的横坐标为4．（1）如图1，求线段OA的长；（2）如图2，点M在线段OA上（点M不与点O、点A重合），点N在线段BA的延长线上，连接MB，MN，BM＝MN，设OM的长为t，BN的长为d，求d与t的关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点D为第四象限内一点，分别连接OD，MD，ND，△MND为等边三角形，线段MA的垂直平分线交OD的延长线于点E，交MA于点H，连接AE，交ND于点F，连接MF，若MF＝AM+AN，求点E的横坐标．23 . 用直尺和圆规作图（不写做法，只保留作图痕迹）：（1）在线段AB上找一点P，使点P到BC，AC所在直线的距离相等；（2）在线段AC上找一点Q，使点Q到点B，C的距离相等．24 . 如图，点为的平分线上一点，于，，求证：.25 . 如图，已知等腰三角形，两腰的垂直平分线，分别交的延长线于点，连接，（1）猜想和的大小关系，并证明．（2）求证：．。

浙江省杭州市临安区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是()A. 2，3，5B. 2，4，7C. 3，4，8D. 3，3，42.到△ABC三边距离相等的点是()A. △ABC的三条中线的交点B. △ABC三边的垂直平分线的交点C. △ABC三条角平分线的交点D. △ABC三条高所在直线的交点3.如图，AD⊥BC，CE⊥BC，CH⊥AB，BG⊥AC，则在△ABC中，BC边上的高是()A. 线段CHB. 线段CEC. 线段BGD. 线段AD4.不等式2x+3>3x+2的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.5.等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是()A. 15cmB. 20cmC. 25cmD. 20cm或25cm6.对于命题“若m<n，则m2<n2”，下列m，n的值，能说明这个命题是假命题的是()A. m=1，n=2B. m=0，n=2C. m=−1，n=2D. m=−2，n=27.若a>b，则()A. a+c>b−cB. a|m|>b|m|C. a−1≥bD. a1+n2>b1+n28.a，b两数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是()A. ab>0B. a>b>1C. a+b<0D.a−b<09.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，给出下列结论： ①AD=DC=DB; ②∠A=∠1，∠B=∠2; ③CD=BD=CB; ④∠CDB=2∠1.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于P，连接CD，分别交BE，AE于Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为()A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.3x与9的差是非负数，用不等式表示为______ ．12.“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题：13.在Rt△ABC中，锐角A为45°，则锐角B为______ ．14.直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是______．15.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6√2，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为______．16.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于E，若∠C=80°，∠B=40°，则∠DAE的度数为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.若x<y，试比较下列各式的大小，并说明理由．(1)3x−1与3y−1.(2)−23x+6与−23y+6．18.如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：(1)画一个△ABC，使AC=2√2，BC=√2，AB=√10；(2)取AB的中点E，则点E到AC的距离为______．19.在△ABC中，AB=AC(1)利用直尺和圆规完成如下操作，作∠BAC的平分线和AB的垂直平分线，交点为P(不写作法，保留作图瘕迹)(2)连结PB，若∠ABC=65°，求∠ABP的度数．20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE.求证：BD=CD．21.如图，在△ABC中，M是BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上，BD=CE，MD=ME。

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，是轴对称图形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 15或184.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A. SSSB. ASAC. SSAD. HL5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A. a−1<b−1B. a3>b3C. −a<−bD. ac<bc6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 87.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（）A. P为∠A、∠B两角平分线的交点B. P为AC、AB两边上的高的交点C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A. ①②④B. ①②③C. ②③D. ①③9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 510.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A. 23B. 10C. 22D. 6二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.不等式组x＞−1x＜m有3个整数解，则m的取值范围是______ ．15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解不等式1−7x−18＞3x−24，并把它的解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？21.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．22. 阅读下列材料：解答“已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法：解：∵x -y =2，x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞-1，又y ＜0，∴-1＜y ＜0．…①同理得：1＜x ＜2．…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2．请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组 x +2y =5a −82x−y =−1的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a -b =1，求a +b 的取值范围；（3）已知a -b =m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示）23. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求△ABP 的周长．（2）问t 满足什么条件时，△BCP 为直角三角形？（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，若P 、Q 两点同时出发，当P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ把△ABC 的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．故选B．判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题；D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C．根据命题的定义作答．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于仸何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．3.【答案】B【解析】解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选B．由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．5.【答案】A【解析】解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；D、c的值不确定，故D选项是错误的．故选A．根据不等式的性质分析判断．主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.【答案】B【解析】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“仸何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C【解析】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．8.【答案】B【解析】解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AEF中，，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．故正确的结论为①②③．故选B．根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．9.【答案】A【解析】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．10.【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．11.【答案】80°或50°【解析】解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故填50°或80°等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．12.【答案】相等的角是对顶角【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】2＜m≤3【解析】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3．首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.【答案】9【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16.【答案】2【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），去括号得，8-7x+1＞6x-4，移项得，-7x-6x＞-4-8-1，合并同类项得，-13x＞-13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【解析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°-37°=16°．【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D 点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．19.【答案】①证明：在△ABE 和△CBD 中，AB =CB∠ABC =∠CBD =90°BE =BD，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；②解：∵在△ABC 中，AB =CB ，∠ABC =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，由①得：△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB =∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB =∠ACB +∠CAE =30°+45°=75°，则∠BDC =75°．【解析】①利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得： 50x +20y =88060x +30y =1080，解得 y =4x =16．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m -4）件，由题意得：16m +4(2m −4)≤296m +2m−4≥32，解得：12≤m ≤13，∵m 是整数，∴m =12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m =12，2m -4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，∴∠CBQ=∠ABP，在△ABP和△CBQ中，AB=CB∠ABP=∠CBQ，BP=BQ∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ；（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，PB=PQ=4，PA=QC=3，∵PQ2+CQ2=PC2，∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP ≌△CBQ 是解题的关键．22.【答案】解：（1）解方程组 x +2y =5a −82x−y =−1得：y =2a −3x =a−2， ∴ 2a −3≥0a−2≥0，解得：a ≥2； （2）由2a -b =1，a ≥2，可得：1+b 2≥2，解得：b ≥3，∴a +b ≥5；（3）由a -b =m ，a ≥2，可得m +b ≥2，∴b ≥2-m ，∴2-m ≤b ≤1，同理可得：2≤a ≤1+m ，∴6-m ≤2a +b ≤3+2m ，∴最大值为3+2m ．【解析】（1）先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据x 、y 的取值范围得到关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求a+b 的取值范围；（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求2a+b 的取值范围，即可得到最大值．本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．23.【答案】解：（1）∵∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ， ∴AC =4cm ，动点P 从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则CP =2cm ，∵∠C =90°，∴PB = 22+32= 13cm ，∴△ABP 的周长为：AP +PB +AB =2+5+ 13=7+ 13（cm ）；（2）∵AC =4，动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，∴0＜t ≤4，当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，∵12×AB ×CP =12×AC ×BC ，∴1 2×5×CP=12×3×4，解得：CP=125cm，∴AP= AC2−CP2=165cm，∴AC+AP=365cm，∵速度为每秒1cm，∴t=365，综上所述：当0＜t≤4或t=365，△BCP为直角三角形；（3）当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t-3=3，∴t=2；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t-4+2t-8=6，∴t=6，∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【解析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P 点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．。

八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，是轴对称图形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 15或184.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A.SSSB. ASAC. SSAD. HL5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A. a−1<b−1B. a3>b3C. −a<−bD. ac<bc6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 87.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（）A. P为∠A、∠B两角平分线的交点B. P为AC、AB两边上的高的交点C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A. ①②④B. ①②③C. ②③D. ①③9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC 于点E，则PD+PE的长是（）A.4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 510.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A.2√3B. √10C. 2√2D. √6二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.不等式组{x＞−1x＜m有3个整数解，则m的取值范围是______ ．15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解不等式1−7x−18＞3x−24，并把它的解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20.某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．（1）A 、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？21.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BP =BQ ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并说明理由． （2）若PA =3，PB =4，PC =5，连结PQ ，判断△PQC 的形状并说明理由．22.阅读下列材料：解答“已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法： 解：∵x -y =2，x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞-1， 又y ＜0，∴-1＜y ＜0．…① 同理得：1＜x ＜2．…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2． 请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组{x +2y =5a −82x−y=−1的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a -b =1，求a +b 的取值范围；（3）已知a -b =m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示）23.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．故选B．判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题；D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C．根据命题的定义作答．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．3.【答案】B【解析】解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选B．由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．5.【答案】A【解析】解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；D、c的值不确定，故D选项是错误的．故选A．根据不等式的性质分析判断．主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.【答案】B【解析】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C【解析】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．8.【答案】B【解析】解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AEF中，，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．故正确的结论为①②③．故选B．根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．9.【答案】A【解析】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．10.【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．11.【答案】80°或50°【解析】解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故填50°或80°等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．12.【答案】相等的角是对顶角【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】2＜m≤3【解析】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3．首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.【答案】9【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16.【答案】√2【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），去括号得，8-7x+1＞6x-4，移项得，-7x-6x＞-4-8-1，合并同类项得，-13x＞-13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【解析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°-37°=16°．【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D 点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．19.【答案】①证明：在△ABE 和△CBD 中，{AB =CB ∠ABC =∠CBD =90°BE =BD，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；②解：∵在△ABC 中，AB =CB ，∠ABC =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，由①得：△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB =∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB =∠ACB +∠CAE =30°+45°=75°，则∠BDC =75°．【解析】①利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得： {50x +20y =88060x+30y=1080，解得{y =4x=16．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m -4）件，由题意得： {16m +4(2m −4)≤296m+2m−4≥32，解得：12≤m ≤13，∵m 是整数，∴m =12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m =12，2m -4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，∴∠CBQ=∠ABP，在△ABP和△CBQ中，{AB=CB∠ABP=∠CBQ BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ；（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，PB=PQ=4，PA=QC=3，∵PQ2+CQ2=PC2，∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP ≌△CBQ 是解题的关键． 22.【答案】解：（1）解方程组{x +2y =5a −82x−y=−1得：{y =2a −3x=a−2，∴{2a −3≥0a−2≥0，解得：a ≥2；（2）由2a -b =1，a ≥2，可得：1+b 2≥2，解得：b ≥3，∴a +b ≥5；（3）由a -b =m ，a ≥2，可得m +b ≥2，∴b ≥2-m ，∴2-m ≤b ≤1，同理可得：2≤a ≤1+m ，∴6-m ≤2a +b ≤3+2m ，∴最大值为3+2m ．【解析】（1）先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据x 、y 的取值范围得到关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求a+b 的取值范围；（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求2a+b 的取值范围，即可得到最大值．本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．23.【答案】解：（1）∵∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ， ∴AC =4cm ，动点P 从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则CP =2cm ，∵∠C =90°，∴PB =√22+32=√13cm ，∴△ABP 的周长为：AP +PB +AB =2+5+√13=7+√13（cm ）；（2）∵AC =4，动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，∴0＜t ≤4，当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，∵12×AB ×CP =12×AC ×BC ，∴12×5×CP =12×3×4， 解得：CP =125cm ，∴AP =√AC 2−CP 2=165cm ，∴AC +AP =365cm ，∵速度为每秒1cm ，∴t =365，综上所述：当0＜t ≤4或t =365，△BCP 为直角三角形；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则PC =t ，BQ =2t -3，∵直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分，∴t +2t -3=3，∴t =2；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AC =t -4，AQ =2t -8，∵直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分，∴t -4+2t -8=6，∴t =6，∴当t =2或6秒时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分．【解析】 （1）首先利用勾股定理计算出AC 长，根据题意可得CP=2cm ，再利用勾股定理计算出PB 的长，进而可得△ABP 的周长；（2）当P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，首先计算出CP 的长，然后再利用勾股定理计算出AP 长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则PC=t ，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．。

2019-2020学年浙江省杭州市八年级上期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，112．（3分）平面直角坐标系内，点A（﹣2，1）位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（3分）在代数式中，x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C． D．4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED的度数为（）A．140°B．80° C．100° D．70°5．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙6．（3分）下列关于不等式的解的命题中，属于假命题的是（）A．不等式x＜2有唯一的正整数解B．﹣2是不等式2x﹣1＜0的一个解C．不等式﹣3x＞9的解集是x＞﹣3D．不等式x＜的整数解有无数个7．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2=a2﹣c2 B．∠C=∠A﹣∠BC．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a：b：c=12：13：58．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′，设点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，则x，y满足的条件为（）A．x=3，﹣4≤y≤﹣1 B．x=2，﹣4≤y≤﹣1 C．﹣4≤x≤﹣1，y=3 D．﹣4≤x≤﹣1，y=29．（3分）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为（）A．k B．k+1 C．k2 D．（k+1）210．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作B C的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②AB=CE；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（4分）直角三角形的斜边为5，则斜边上的中线长等于．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．13．（4分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①；②；③；④．14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积．15．（4分）某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对道题，成绩才能在80分以上．16．（4分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）解不等式：≤+1，并把解表示在数轴上．18．（8分）已知：如图，在△ABC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，（1）求∠AEC的度数；（2）想一想，还有其它的求法吗？写出你的思考．19．（8分）在平面直角坐标系中，已知点P（1﹣2m，）关于y轴的对称点Q在第四象限，且m为整数．（1）求整数m的值；（2）求△OPQ的面积．20．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并证明你的结论．21．（10分）如图甲，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，设BD=m，CE=n（1）求DE的长（用含m，n的代数式表示）；（2）如图乙，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a（0°＜a＜180°），设BD=m，CE=n．问DE的长如何表示？并请证明你的结论．22．（12分）如图，是一个运算流程．（1）分别计算：当x=150时，输出值为，当x=27时，输出值为；（2）若需要经过两次运算，才能运算出y，求x的取值范围；（3）请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．23．（12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm，直线CM⊥BC，动点D 从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）当t为多少时，△ABD的面积为6cm2？（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（可在备用图中画出具体图形）2019-2020八年级上期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【解答】解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；故选C．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．2．（3分）平面直角坐标系内，点A（﹣2，1）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点A横纵坐标的符号，可判断点A所在象限．【解答】解：∵点A的横坐标﹣2是负数，纵坐标1是正数，∴点A在第二象限．故选B．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．解决本题的关键就是记住个象限内点的坐标的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．（3分）在代数式中，x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式被开方数为非负数可得x﹣1≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1，在数轴上表示为：，故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED的度数为（）A．140°B．80° C．100°D．70°【分析】由等腰三角形的性质可知∠C=40°，可求得∠A，又由平行可知∠BED=∠A，可求得答案．【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，∴∠C=40°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=100°，故选C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．5．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙【分析】根据全等三角形的判定ASA，SAS，AAS，SSS，看图形中含有的条件是否与定理相符合即可．【解答】解：甲、边a、c夹角不是50°，∴甲错误；乙、两角为58°、50°，夹边是a，符合ASA，∴乙正确；丙、两角是50°、72°，72°角对的边是a，符合AAS，∴丙正确．故选B．【点评】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行判断是解此题的关键．6．（3分）下列关于不等式的解的命题中，属于假命题的是（）A．不等式x＜2有唯一的正整数解B．﹣2是不等式2x﹣1＜0的一个解C．不等式﹣3x＞9的解集是x＞﹣3D．不等式x＜的整数解有无数个【分析】利用不等式的解的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、不等式x＜2有唯一的正整数解1，故正确，不符合题意；B、﹣2是不等式2x﹣1＜0的一个解，正确，为真命题，不符合题意；C、不等式﹣3x＞9的解集是x＜﹣3，正确，符合题意；D、不等式x＜的整数解有无数个，正确，不符合题意，故选C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的解及解集的定义，难度不大．7．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2=a2﹣c2B．∠C=∠A﹣∠BC．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a：b：c=12：13：5【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可．【解答】解：A、由b2=a2﹣c2得a2=c2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；C、由∠A：∠B：∠C=3：4：5，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，没有90°角，故不是直角三角形；D、由a：b：c=12：13：5得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．故选C．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定方法，灵活的应用勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解决问题的关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′，设点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，则x，y满足的条件为（）A．x=3，﹣4≤y≤﹣1 B．x=2，﹣4≤y≤﹣1 C．﹣4≤x≤﹣1，y=3 D．﹣4≤x≤﹣1，y=2 【分析】先根据向下平移，横坐标不变，纵坐标相减；向右平移，横坐标相加，纵坐标不变求出A′与B′的坐标，再根据点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，即可得到x，y满足的条件．【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），∴将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′，得A′（2，﹣1），B′（2，﹣4），∵点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，∴x=2，﹣4≤y≤﹣1．故选B．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．9．（3分）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为（）A．k B．k+1 C．k2D．（k+1）2【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积之和等于2；依此类推，经过k次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（k+1）倍，进而得问题答案．【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1；正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积，=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，所有正方形的面积之和为3=（2+1）×1，…推而广之，“生长”了k次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（k+1）×1=k+1．故选B．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．10．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作B C的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②AB=CE；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由条件可知∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，可得到∠E=∠ADC，再结合条件可证明△ADC≌△CEB；②由①可知CE=AD，显然AB＞AD，故AB≠CE；③BE=CD=BD，结合条件可证明△BEF≌△BDF，则有∠E=∠BDF=∠ADC，可得结论；④由③可得EF=DF，而DF＞FG，故F不可能为EG中点．【解答】解：∵∠BCA=90°，CG⊥AD，∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，∴∠E=∠ADC，∵BE⊥BC，∴∠EBC=∠ACD，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS），∴①正确；∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，在△ABD中，AB＞AD，∴AB≠CE，∴②不正确；∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，∴BE=CD=BD，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠DBF=∠EBF=45°，在△BEF和△BDF中∴△BEF≌△BDF（SAS），∴∠E=∠BDF，又∠E=∠ADC，∴∠ADC=∠BDF，∴③正确；∵△BEF≌△BDF，∴EF=DF，在R△DFG中，DF＞FG，∴EF＞FG，∴F不是EG的中点，∴④不正确；综上可知正确的有①③共两个，故选B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（4分）直角三角形的斜边为5，则斜边上的中线长等于 2.5 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵直角三角形的斜边为5，∴斜边上的中线长=×5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是15 ．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，故答案为：15．【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．13．（4分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①DB=DE ；②BD⊥AC ；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD ．【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD，∠ADB=∠CDB=90°，且∠ABD=∠CBD=30°，∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC，即DB=DE，所以△ABD≌△CBD（HL），△DCE∽△BDE，也就有DE2=BE•CE．【解答】解：①DB=DE；②BD⊥AC；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD；⑤△DCE∽△BDE；⑥∠CDE=30°；⑦BD平分∠ABC；⑧DE2=BE•CE．【点评】此题考查等边三角形的性质，三线合一等知识点．14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积90cm2．【分析】根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出BE=DE，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，AD∥BC，∠A=90°，∴∠EDB=∠CBD．∵△CBD与△C′BD关于BD对称，∴△CBD≌△C′BD，∴∠EBD=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．设DE为x，则AE=24﹣x，BE=x，由勾股定理，得122+（24﹣x）2=x2，解得：x=15，∴DE=15cm，∴S△BDE==90cm2．故答案为90．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．15．（4分）某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对17 道题，成绩才能在80分以上．【分析】利用答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分，表示出所得分数以及所扣分数，进而得出答案．【解答】解：设这个同学答对x道题，故5x﹣2（20﹣1﹣x）＞80，解得：x＞16，故这个同学至少要答对17道题，成绩才能在80分以上．故答案为：17．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确不等关系是解题关键．16．（4分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是4.8 ．【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故答案为：4.8．【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）解不等式：≤+1，并把解表示在数轴上．【分析】根据不等式的解法求解不等式，然后把解表示在数轴上．【解答】解：去分母得：3+3x≤2﹣x+6，移项得：4x≤5，系数化为1得：x≤，在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．18．（8分）已知：如图，在△ABC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，（1）求∠AEC的度数；（2）想一想，还有其它的求法吗？写出你的思考．【分析】本题可用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”解题也可用“三角形的内角和是180度”解题．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∠B=60°，∠BAC=80°，∴∠BAD=30°，∠DAC=50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠EAC=25°，∴∠BAE=55°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=115°；（2）也可利用三角形内角和求解．如：∵∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=40°，∴∠AEC=180﹣∠C﹣∠EAC=180﹣25﹣40=115°．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．19．（8分）在平面直角坐标系中，已知点P（1﹣2m，）关于y轴的对称点Q在第四象限，且m为整数．（1）求整数m的值；（2）求△OPQ的面积．【分析】（1）首先根据关于y轴对称点的坐标特点可得点Q坐标为（﹣1+2m，），再根据第四象限内点的坐标特点可得，再解不等式可得m的取值范围，进而得到m的值；（2）由m的值可得Q、P点坐标，进而得到QP的长，再利用三角形的面积公式计算出面积即可．【解答】解：（1）点点P（1﹣2m，）关于y轴的对称点Q坐标为（﹣1+2m，），∵Q在第四象限，∴，解得m＜；∵m为整数，∴m=1；（2）∵m=1，∴P（﹣1，﹣），Q（1，﹣；∴PQ=2，∴S△OPQ=2×=．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，以及一元一次不等式组的解法，关键是正确确定m的值．20．（10分）（2015秋•南江县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ADF是等腰直角三角形．理由：∵AB=AC，AD是高，∴∠BAD=∠CAD又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠FAD=×180°=90°，∴AF∥BC，∴∠CDF=∠AFD．又∵∠AFD=∠ADF，∴∠CDF=∠ADF．∴AD=AF．∴△ADF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．21．（10分）如图甲，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，设BD=m，CE=n（1）求DE的长（用含m，n的代数式表示）；（2）如图乙，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a（0°＜a＜180°），设BD=m，CE=n．问DE的长如何表示？并请证明你的结论．【分析】（1）由条件可证明△ADB≌△CEA，可得到AE=BD，AD=CE，从而可表示出DE；（2）方法同（1）证明△ADB≌△CEA，可得到AE=BD，AD=CE，从而可表示出DE．【解答】解：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE=m+n；（2）DE=m+n，证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE=m+n．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．22．（12分）如图，是一个运算流程．（1）分别计算：当x=150时，输出值为449 ，当x=27时，输出值为716 ；（2）若需要经过两次运算，才能运算出y，求x的取值范围；（3）请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．【分析】（1）分别把x=150与x=27代入进行计算即可；（2）根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可；（3）根据题意列举出x的值即可．【解答】解：（1）∵当x=150时，3×150﹣1=449＞365，∴输出值为449；∵当x=27时，3×27﹣1=80＜365，∴80×3﹣1=239＜365，239×3﹣1=716＞365，∴输出值为716．故答案为：449，716；（2）∵需要经过两次运算，才能运算出y，∴，解得41≤x＜122．（3）取x≤的任意值，理由：∵当x≤时，3x﹣1≤，∴无论运算多少次都不能输出．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得出关于x的不等式是解答此题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm，直线CM⊥BC，动点D 从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）当t为多少时，△ABD的面积为6cm2？（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（可在备用图中画出具体图形）【分析】（1）运用勾股定理直接求出；（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴2AB2=BC2，∴AB==3cm；（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=BC=3cm，∵S△ABD=6cm2，∴AF×BD=12，∴BD=4cm．若D在B点右侧，则CD=2cm，t=1s；若D在B点左侧，则CD=10cm，t=5s．（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．理由如下：（说理过程简要说明即可）①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．∵CE=t，BD=6﹣2t∴t=6﹣2t∴t=2（1分）证明：∵AB=AC，∠B=∠ACE=45°，BD=CE，∴△ABD≌△ACE．（1分）②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．∵CE=t，BD=2t﹣6∴t=2t﹣6∴t=6（1分）证明：∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=135°，BD=CE∴△ABD≌△ACE．（1分）【点评】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质及面积，综合性强，题目难度适中．21。

2020-2021学年浙江省杭州市八年级（上）期中数学模拟卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．（3分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2. （3分）如果a＞b，那么下列四个不等式中不正确的是（）A．a﹣3＞b﹣3B．﹣3a＜﹣3b C．﹣3a＞﹣3b D．＞3.（3分）已知等腰三角形的一个内角为80˚，则这个等腰三角形的底角为（）A．20˚B．80˚C．50˚或80˚D．50˚或100˚4.（3分）下列说法中，正确的是（）A．所有的命题都有逆命题B．所有的定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题5.（3分）a、b、c为△ABC三边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A．∠C＝∠A﹣∠B B．a：b：c＝1：：2C．∠A：∠B：∠C＝5：4：3D．a＝c，b＝c6.（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去．A．第1块B．第2块C．第4块D．都不可以7.（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8. （3分）观察图形，判断（a+b）与2的大小（）A．（a+b）＞2B．（a+b）＜2C．（a+b）≤2D．（a+b）≥29．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝3cm，CD＝4cm，∠C＝90°．若∠ABD ＝90°，则AD为（）A．13cm B．6cm C．12cm D．6cm10.（3分）如图，BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的平分线，若∠CEB＝46°，则∠BAE的度数是（）A．44˚B．45˚C．46˚D．47˚二、填空题（共6题；每小题3分；共18分）11．命题“如果a＞0，那么a2＞0”的逆命题为．12.直角三角形两边长分别为6cm和8cm，则此直角三角形斜边上的中线长为13.如图，在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，∠ABC＝80°，则∠ADC等于°．14.若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是___________.15.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为__________.16.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于_________.三、解答题（共8题；共66分）17．（6分）（1）若x＞y，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由；（2）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，求a的取值范围．18.（6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AE，∠B＝∠E，∠1＝∠2．求证：BC＝ED．19.（6分）如图，我们知道有两组边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，请你在下面的格点图中画出满足条件A1B1＝AB，B1C1＝BC，∠A1＝∠A的△A1B1C1，但△A1B1C1和△ABC不全等．20.（6分）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦10米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长26米，云梯底部距地面AE＝1.5米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？21.（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝12，求BC长．22.（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．23.（10分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？24.（8分）已知△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECF＝90°，E为AB边上一点．（1）试判断AE与BF的大小关系，并说明理由；（2）试说明AE2，BE2，EF2三者之间的关系．25（12分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．。

本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A.3cmB.4cmC.7cmD.11cm2.已知点P(x,|x|)，则点P一定（）A.在第一象限B.在第一或第四象限C.在x轴上方D.不在x轴下方3.已知△ABC（AC>BC），用尺规作图的方法在AB上确定一点P，使PA+PC=AB，则符合要求的作图痕迹是（）4.下列命题是假命题的是（）A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角的角平分线互相平行．B.在实数−7.5，√15，3√−27，−π，(√2)2中，有3个有理数，2个无理数．C.在平面直角坐标系中，点P(2a−1,a+7)在x轴上，则点P的坐标为(−7,0)．D.不等式组⎧{⎨{⎩5x−1>3(x+1)12x−1⩽7−32x的所有整数解的和为7．5.如图，已知一次函数y=3x+b与一次函数y=ax−3交于点P(−2,−5)，根据图像可得不等式3x+b<ax−3的解为（）A.x<−2B.x>−2C.x<−3D.x>−36.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(0,b)，如果将线段AB绕点B顺时针旋转90∘至CB，那么点C的坐标是（）A.(−b,b+a)B.(−b,b−a)C.(−a,b−a)D.(b,b−a)7.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC边的中点，已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A.2√13B.5√3C.10D.2√158.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20−x，根据题意得：（）A.10x−5(20−x)⩾120B.10x−5(20−x)⩽120C.10x−5(20−x)>120D.10x−5(20−x)<1209.为增强身体素质，小明每天早上坚持沿着住地附近的矩形公园ABCD练习跑步，爸爸站在的某一个固定点处负责进行计时指导．假设小明在矩形公园ABCD的边上沿着A⟶B⟶C⟶D⟶A 的方向跑步一周，小明跑步的路程为x米，小明与爸爸之间的距离为y米．y与x之间的函数关系如图所示，则爸爸所在的位置可能为（）A.D点B.M点C.O点D.N点10.已知△ABC≅△A′B′C，∠A=40°，∠CBA=60°，A′C交边AB于P（点P不与A、B重合）．BO、CO分别平分∠CBA、∠BCP，若m°<∠BOC<n°，则n−m的值为（）A.20B.40C.60D.100本大题共6小题，每小题3分，共18分。

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（）A. 14B. 15C. 16D. 14或162.若x＞y，则下列式子中错误的是（）A. B. C. D.3.如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（）A.B.C.D.4.如图，CE∥BF，CE=BF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（）A.B.C.D.5.如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A. B. C. 或 D. 或7.如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（）A. B. C. D.8.如图1是长方形纸带，∠DEF=10°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是多少（）A. B. C. D.9.△ABC的两条高AD，BE交于点H，若BH=AC，则∠ABC=（）A. B. C. 或 D. 或10.在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB，②△DEF始终为等腰直角三角形，③S四边形CEDF=AB2，④AE2+CE2=2DF2．其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②③C. ①④D. ②③二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.若a≤0，则2a ______ a（填＜，≤，＞，≥）．12.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．13.如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若OD=8，OP=10，则PE的长为______．14.直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为______ ．15.如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在另一块三角板的边上，且∠BAC=40°，∠E=60°，∠F=45°，则∠ABE+∠EMF+∠FCA=______ 度．16.有一块直角三角形绿地，量得两直角边长为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长6m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为______ m2．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b求：（1）求a的取值范围；（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）18.解不等式6x-1＞9x-4，并把解集在数轴上表示出来．19.如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．20.如图，在△ABC中：（1）用直尺和圆规，在AB上找一点D，使点D到B、C两点的距离相等（不写作法．保留作图痕迹）（2）连接CD，已知CD=AC，∠B=25°，求∠ACB的度数．21.在边长为3cm和4cm的长方形中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出3种满足上述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积．22.如图，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高线AD和中线AE，交BC于点D，E，规定λA=，当点D与点E重合时，规定λA=0，另外对λB，λC作类似的规定．（1）如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，求λA，λC；（2）判断下列三个命题的真假（真命题打“√”，假命题打“×”）：①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形；______②若△ABC中λA=1，则△ABC为直角三角形；______③若△ABC中λA＞1，则△ABC为钝角三角形．______ ．（2）如图3，在每个小正方形边长都为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（即每个小正方形的顶点）上，且λA=2，面积也为2．23.已知，等腰Rt△ABC，∠BAC=Rt∠，在直角边AB的左侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连结BE，CE，其中CE交直线AP于点F．（1）依题意，在图1中补全示意图；当∠PAB=18°时，求∠ACF的度数；（2）当0°＜∠PAB＜45°时，利用图1，求证：∠PAB+∠ACE=45°；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长=6+6+4=16；②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长=4+4+6=14．故选D．根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为4时，解答出即可．本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．2.【答案】B【解析】解：A、根据不等式的性质1，不等式两边同时减去3，故命题正确；B、不满足不等式的性质，故命题错误；C、根据不等式性质3，两边同时乘以-3，不等号的方向改变，则命题正确；D、根据不等式的性质2，不等式两边同时除以3，故命题正确．故选B．根据不等式的性质即可判断．本题考查了不等式的基本性质：如果不符合其中的条件，那么运用此性质得出的结论是不对的．不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．3.【答案】B【解析】解：如图所示：根据题意得：∠1=∠2=∠3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=20°，∴∠3=90°-20°=70°，∴∠1=70°；故选：B．由平行线的性质和对顶角相等得出∠1=∠2=∠3，由角平分线的定义求出∠AOC=∠AOB=20°，由直角三角形的性质求出∠3=70°，即可得出∠1的度数．本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠1=∠3是解决问题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵AB=CD，∴AC=DB，∴△EAC≌△FDB（SAS）；∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∴△EAC≌△FDB（AAS）；∵∠E=∠F，∴△EAC≌△FDB（AAS）；当AE=DF时，不能使△EAC≌△FDB．故选：D．根据三角形全等的判定定理进行判断即可．本题考查的是全等三角形的判定，掌握三角形全等是判定定理是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：如图所示，△ABC中，AB=AC．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-50°-50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：C．先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵∠BAC=60°，∠C=80°，∴∠B=40°．又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠BAC=30°，∴∠ADE=70°，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=20°．故选：A．首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．8.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=10°．由翻折的性质可知：图2中，∠EFC=180°-∠BFE=170°，∠BFC=∠EFC-∠BFE=160°，∴图3中，∠CFE=∠BFC-∠BFE=150°．故选：B．由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=10°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．9.【答案】D【解析】解：分为两种情况：①如图1，∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDH=90°，∠BEC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠HBD=90°，∴∠CAD=∠HBD，在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴BD=AD，∵∠ADB=90°，∴∠ABC=∠BAD=45°，②如图2，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠HDB=∠AEH=90°，∴∠H+∠HAE=∠C+∠HAE=90°，∴∠H=∠C，∵在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°；故选：D．根据题意画出两个图形，证△HBD≌△CAD，推出AD=DB，推出∠DAB=∠DBA，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABD，即可求出答案．本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．10.【答案】A【解析】解：如图所示，连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，∴AD=CD=BD=AB，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，∴∠ADE=CDF．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．∵AC=BC，∴AC-AE=BC-CF，∴CE=BF ．∵AC=AE+CE ，∴AC=AE+BF ．∵AC 2+BC 2=AB 2，AC=BC ，∴AC=AB ，∴AE+BF=AB ，故①正确； ∵DE=DF ，∠GDH=90°， ∴△DEF 始终为等腰直角三角形，故②正确；∵S 四边形CEDF =S △EDC +S △EDF ，∴S 四边形CEDF =S △EDC +S △ADE =S △ABC ，又∵S △ABC =AC 2=（AB ）2=AB 2，∴S 四边形CEDF =S △ABC =×AB 2=AB 2，故③正确；∵CE 2+CF 2=EF 2，DE 2+DF 2=EF 2，∴CE 2+AE 2=EF 2=DE 2+DF 2，又∵DE=DF ，∴AE 2+CE 2=2DF 2，故④正确；∴正确的有①②③④．故选A ．连接CD 根据等腰直角三角形的性质，就可以得出△ADE ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得出AE=CF ，进而得出CE=BF ，就有AE+BF=AC ，再由勾股定理就可以求出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理以及三角形的面积公式的运用，根据ASA 证明△ADE ≌△CDF 是解决问题的关键．11.【答案】≤【解析】解：2＞1，两边都乘以a ，不等号的方向改变，2a ＜a ，故答案为：≤．根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．12.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等【解析】解：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．13.【答案】6【解析】解：∵PD⊥OA，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，由勾股定理得：PD===6，∵射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PE=PD=6，故答案为：6．根据勾股定理求出PD，根据角平分线性质得出PE=PD，即可得出答案．本题考查了勾股定理和角平分线性质，能灵活运用角平分线性质进行推理是解此题的关键．14.【答案】40°【解析】解：设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x-60°，根据两个锐角之和为90°可得，x+2x-60°=90°，解的x=50°，较小角为90°-50°=40°，故答案为40°．设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x-60°，根据两个锐角之和为90度即可求出答案．本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中两个锐角之和为90°，此题基础题．15.【答案】65【解析】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G，∵∠BDC=∠A+∠ABE，∠EGF=∠BDC+∠ACF=∠A+∠ABE+∠ACF，∴∠ABE+∠EMF+∠FCA+∠A=∠BEM+∠CFM=105°，∴∠ABE+∠EMF+∠FCA=105°-∠A=65°，故答案为：65．延长BE交AC于D，延长CF交BD于G，根据外角的性质得到∠EGF=∠BDC+∠ACF=∠A+∠ABE+∠ACF，根据四边形的内角和和邻补角的定义得到∠ABE+∠EMF+∠FCA+∠A=∠BEM+∠CFM=105°，于是得到结论．本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．16.【答案】32或40【解析】解：∵两直角边长为6m，8m，∴由勾股定理得到：AB==10cm．①如图1：当AC=CD=8m时；∵AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：×8×8=32（m2）；②如图2，延长AC到D使AD等于5m，此时AB=AD=10m，此时等腰三角形绿地的面积：×10×8=40（m2）；综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为32m2或40m2．故答案是：32或40．由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AC=CD，②AD=AB，2种情况进行讨论．此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．17.【答案】解：（1）∵a+2b=3，∴2b=3-a，∵b是非负实数，∴b≥0，∴2b≥0，∴3-a≥0，解得a≤3．（2）∵a+2b=3，c=3a+2b，∴c-3=（3a+2b）-（a+2b）=2a，∴c=2a+3，∵a是非负实数，∴a≥0，∴0≤a≤3，∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，即3≤c≤9【解析】（1）根据a+2b=3，可得2b=3-a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b=3，c=3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a是非负实数，求出c的取值范围即可．此题主要考查了不等式的性质和应用，以及不等式的解法，要熟练掌握．18.【答案】解：移项得，6x-9x＞-4+1，合并同类项得，-3x＞-3，系数化为1，得：x＜1，表示在数轴上如下：【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．19.【答案】解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．【解析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）根据AB∥CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF即可．此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20.【答案】解：（1）如图所示：故点D为所求（2）由（1）得DC=DB，∴∠BCD=∠B=25°，∴∠ACD=∠B+∠BCD=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-25°=105°．【解析】（1）作BC的垂直平分线交于AB于一点，则交点为所求；（2）由垂直平分线的性质再结合已知条件即可求出∠ACB的度数．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BCD=∠B=25°是解题关键．21.【答案】解：如图1，作BC边的中垂线，交AD于P，∴PB=PC，即△PBC为等腰三角形，S△PBC=BC×h=BC•AB=×4×3=6；如图2，作AB边的中垂线，交CD于E，∴EA=EB，即△EAB为等腰三角形，S△EBC=AB×h=AB•BC=×4×3=6；如图3，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F，∴BA=BF，即△ABF为等腰三角形，S△ABF=×AB×BF=×3×3=4.5．【解析】分别作BC、AB的中垂线，由中垂线的性质可得等腰三角形，或以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F，也可得等腰三角形，最后根据三角形的面积公式可得答案．本题主要考查中垂线的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握中垂线的性质是解题的关键．22.【答案】×；√；√【解析】解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥DC，∴λA==1，过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，∵∠ACB=90°，∴AF=CF，∴∠ACF=∠CAF=30°，∴∠CFE=60°，∴λC===cos60°=；（2）①在第（1）题中，λC=，而△ABC是直角三角形，故命题错误；②λA=1时，过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定重合，故三角新一定是直角三角形，故命题正确；③λA＞1时，过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定在边的延长线上，则三角形一定是钝角三角形，故命题正确．故答案为：①×，②√，③√．（3）如图：（1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案；（2）根据真假命题的定义即可得出答案；（3）根据题目要求即可画出图象．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线、高的性质以及特殊角的三角函数值，同时考查了画图，真假命题的判断，比较复杂，难度较大．23.【答案】（1）解：如图1所示：∵由轴对称的性质得：AE=AC，BM=EM，AM⊥BE，∠AME=∠BMA=90°，∴∠EAP=∠PAB=18°，∴∠EAC=90°+2×16°=126°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∴AE=AC，∴∠ACF=∠AEC=（180°-126°）=27°；（2）证明：由（1）得：∠EAP=∠PAB，∠AEC=∠ACE，∵∠AEC+∠ACE+∠EAC=180°，∴∠AEC+∠ACE+2∠PAB=90°，即2∠ACE+2∠PAB=90°，∴∠PAB+∠ACE=45°；（3）解：EF2+CF2=2AB2，理由如下：如图2所示：作CG⊥AP于G，则∠AGC=∠BMA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠GAC=∠MBA，在△ACG和△BAM中，，∴△ACG≌△BAM（AAS），∴CG=AM，∵AB=AC=AE，∴点A是△BCE的外接圆圆心，∴∠BEC=∠BAC=45°，∴∠CFG=∠EFM=45°，∴△EFM和△CFG是等腰直角三角形，∴EF2=2EM2，CF2=2CG2，∵AB2=AM2+BM2，∴EF2+CF2=2AB2．【解析】（1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出∠EAP=∠PAB=18°，得出∠EAC=126°，证出AE=AC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果；（2）由（1）得：∠EAP=∠PAB，∠AEC=∠ACE，由三角形内角和定理即可得出结论；（3）作CG⊥AP于G，由AAS证明△ACG≌△BAM，得出CG=AM，证出点A是△BCE的外接圆圆心，由圆周角定理得出∠BEC=∠BAC=45°，得出△EFM和△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结论．本题是三角形综合题目，考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、圆周角定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．。

2020-2021学年浙江省杭州市八年级上册期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是()A. 清华大学B. 北京大学C. 中国人民大学D. 浙江大学2.下列的三条线段能组成三角形的是()A. 1，2，3B. 2，2，4C. 3，4，5D. 3，4，83.下列哪个数不是不等式x+2≥−1的解()A. 3B. 0C. −5D. −34.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是()A. 三个角的比为1：2：3B. 三条边满足关系a2=b2−c2C. 三条边的比为1：2：3D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A5.若a+b=−2,且a≥2b，则()A. ba 有最小值12B. ba有最大值1 C. ab有最大值2 D. ab有最小值−986.要说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，能举的一个反例是()A. a=3，b=2B. a=4，b=−1C. a=1，b=0D. a=1，b=−27.小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于()A. 150°B. 180°C. 210°D. 270°8.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是()A. 顶角、一腰分别相等B. 底边、一腰分别相等C. 两腰分别相等D. 一底角、底边分别相等9.如图所示，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E的度数为()．A. 25°B. 27°C. 30°D. 45°10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD//AB，则∠BCD=()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知点A、B、P在数轴上，点B表示的数为6，AB=8，AP=5，那么点P表示的数是________．12.如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=______度．13.“直角三角形只有两个锐角”的逆命题是，该逆命题是一个命题(填“真”或“假”)．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=14cm，且CD：AD=2：5，则点D到AB的距离为______ cm．15.已知不等式组{x<1x>n有解，则n的取值范围是______ ．16.如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE.若CD=1，CE=3，则BC=______．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）17.解不等式组：{3x+1≤43−12x<4，并将解集表示在数轴上．18.已知，AD是△ABC的内角平线，交BC于D点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连结EF，(1)请根据上述几何语言，画出完整的图形，作∠BAC的角平分线AD要求尺规作图，(保留作图痕迹，不写作法)；(2)判断AD是否为EF的垂直平分线，并说明理由．19.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：AD=DE+DF；(2)点G 在AB 上，若∠DGF =∠DFG ，求证：G 是AB 的中点．20. 若关于x ，y 的二元一次方程组{x +3y =6−m 3x +y =−3m +2的解满足x +y >−12．求出满足条件的所有正整数m 的值．21. 如图所示，四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：EF ⊥AC ．22.学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买4台学习机多200元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8100元．(1)求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？(2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过166600元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.5倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒．(1)则AC=______cm；(2)当BP平分∠ABC，求此时点P的运动时间t的值；(3)点P运动过程中，△BCP能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；B、是轴对称图形，本选项正确；C、不是轴对称图形，本选项错误；D、不是轴对称图形，本选项错误．故选B．2.【答案】C【解析】解：A、∵1+2=3，∴以1，2，3为边长不能组成三角形，故本选项错误；B、∵2+2=4，∴以2，2，4为边长不能组成三角形，故本选项错误；C、∵3+4>5，∴以3，4，5为边长能组成三角形，故本选项正确；D、∵3+4<8，∴以3，4，8为边长不能组成三角形，故本选项错误．故选：C．根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算，可选出答案．此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．【解答】解：∵x+2≥−1，∴x≥−3，选项中只有−5<−3，故x=−5不是不等式的解故选C．4.【答案】C【解析】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，故正确；B、三条边满足关系a2=b2−c2，故正确；C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故错误；D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故正确．故选C．根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．5.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的性质进行解答即可．【解答】解：∵a+b=−2，∴a=−b−2，b=−2−a，又∵a≥2b，∴−b−2≥2b，a≥−4−2a，移项，得−3b≥2，3a≥−4，解得，b≤−23<0，a≥−43；由a≥2b，得ab≤2(不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变)；A.当a>0时，ba <0，即ba的最小值不是12，故本选项错误；B.当−43≤a<0时，ba≥12，ba有最小值是12，无最大值，故本选项错误；C.ab有最大值2，故本选项正确；D.ab无最小值，故本选项错误．故选C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．【解答】解：A、a=3，b=2时．满足a>b，则a2>b2，不能作为反例，错误；B、a=4，b=−1时．满足a>b，则a2>b2，不能作为反例，错误；C、a=1，b=0时．满足a>b，则a2>b2，不能作为反例，错误；D、a=1，b=−2时，a>b，但a2<b2，能作为反例，正确；故选：D．7.【答案】C【解析】解：如图：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°−∠C=30°+90°+180°−90°=210°，故选：C．根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可．此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．8.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定，等腰三角形的性质．A中两边及夹角相等，可判断全等，B中三边相等，也全等，C中角不确定，不能判断其是否全等，D中角边固定，亦全等．【解答】解：A.顶角与一腰，对应相等，另一腰也相等，两边加一角，可证全等；B.底边一腰对应相等，即三边对应相等，也可以判断其全等；C.两腰相等，但角的关系不确定，故不能确定其是否全等；D.底边，底角固定，可证明其全等．故选C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质.先根据中垂线的性质得出AB=BC，再由等腰三角形的三线合一得出∠ABD=∠CBD=1∠ABC=27°，再证△ABD≌△CED得∠E=∠ABD即可解答．2【解答】解：∵AD=CD，BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =12×54∘=27∘,在△ABD 和△CED 中，{AD =DC∠ADB =∠CDE BD =DE ,∴△ABD≌△CED(SAS)， ∴∠E =∠ABD =27∘．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°， ∴∠ACB =70°， ∵CD//AB ，∴∠ACD =180°−∠A =140°， ∴∠BCD =∠ACD −∠ACB =70°． 故选：D ．根据等腰三角形的性质可求∠ACB ，再根据平行线的性质可求∠BCD ． 考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是求出∠ACB 和∠ACD ．11.【答案】3或−7或9或19【解析】 【试题解析】 【分析】本题主要考查考数轴，在数轴上表示两点之间的距离往往借助绝对值，要想求点P 所表示的数，关键确定点A 所表示的数.不妨设A 点表示的数为x ，点P 所表示的数为y ，根据题意列等式． 【解答】解：设A 点表示的数为x ，点P 所表示的数为y ，则 ∵点B 表示的数为6，AB =8， ∴|x −6|=8，解得x =−2或x =14；当A 点所表示的数为−2时，则|y +2|=5，解得y =3或y =−7； 当A 点所表示的数为14时，则|y −14|=5，解得y =19或y =9； ∴点P 表示的数为19或9或3或−7． 故答案为：19或9或3或−7．12.【答案】52【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=α，2∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°−α，2在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，=180°，∴2α+102°−α2解得：α=52°．故答案为：52．13.【答案】只有两个锐角的三角形是直角三角形；假．【解析】【分析】本题考查写逆命题的能力以及判断真假命题的能力，本题可用反例证明是假命题．逆命题就是原来的命题的题设和结论互换，写出“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题【解答】解：“直角三角形只有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“只有两个锐角的三角形是直角三角形”假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但不是直角三角形．故是假命题．故答案为：只有两个锐角的三角形是直角三角形；假．14.【答案】4【解析】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C =90°，BD 平分∠ABC ，∴DE =CD ，∵AC =14cm ，CD ：AD =2：5，∴CD =22+5×14=4cm ，∴DE =4cm ，即点D 到AB 的距离为4cm ．故答案为：4．过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE =CD ，再根据比例求出CD 即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 15.【答案】n <1【解析】解：不等式组{x <1x >n有解，则n 的取值范围是n <1， 故答案为：n <1．根据不等式解集是小于大的大于小的，可得答案．本题考查了不等式的解集，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．16.【答案】4【解析】解：在CB 上取一点G 使得CG =CD ，连接DG ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∴△CDG 是等边三角形，∴CD =DG =CG ，∵∠BDG +∠EDG =60°，∠EDC +∠EDG =60°，∴∠BDG=∠EDC，在△BDG和△EDC中，{BD=DE∠BDG=∠EDC DG=DC，∴△BDG≌△EDC(SAS)，∴BG=CE，∴BC=BG+CG=CE+CD=4，故答案为：4．在CB上取一点G使得CG=CD，即可判定△CDG是等边三角形，可得CD=DG=CG，易证∠BDG=∠EDC，即可证明△BDG≌△EDC，可得BG=CE，即可解题．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质和等边三角形的判定和性质，本题中求证△BDG≌△EDC是解题的关键．17.【答案】解：解不等式3x+1≤4，得：x≤1，解不等式3−12x<4，得：x>−2，所以不等式组的解集为−2<x≤1，将解集表示在数轴上如下：【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．18.【答案】解：(1)如图，AD、DE、DF为所作；(2)AD为EF的垂直平分线．理由如下：∵△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴点D在EF的垂直平分线上，在Rt△AED与Rt△AFD中{DA=DADE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE=AF；∴点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF．【解析】(1)利用基本作图作角平分线AD，再作DE⊥AB，DF⊥AC；(2)利用角平分线的性质得DE=DF，则点D在EF的垂直平分线上，再证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF；则点A在EF的垂直平分线上，于是可判断AD垂直平分EF．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的判定．19.【答案】解：(1)∵CE⊥AD，BE⊥CE，∴∠ADC=∠ADF=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠CAD，在△BCE和△CAD中{∠BEC=∠CDA ∠BCE=∠CAD BC=AC，∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴BE=CD，CE=AD．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，∵∠CAD+∠ACD=∠FAD+∠AFC=90°，∴∠ACD=∠AFC，∴AC=AF，∴CD=DF，∴AD=CE=CD+DE=DE+DF．(2)连接CG．∵∠DGF=∠DFG，∴CD=DF=DG，∴∠DCG=∠DGC，∴∠CGF=∠DGF+∠DGC=∠DCG+∠DFG，∵∠CGF+∠DCG+∠DFG=180°，∴∠CGF=180°÷2=90°，∴CG⊥AB，又∵AC=BC，∴AG=BG.即G是AB的中点．【解析】(1)由△BCE≌△CAD(AAS)，可得BE=CD，CE=AD.由AD平分∠BAC，推出∠CAD=∠FAD，由∠CAD+∠ACD=∠FAD+∠AFC=90°，推出∠ACD=∠AFC，推出AC=AF，推出CD=DF，可得AD=CE=CD+DE=DE+DF；(2)只要证明CG⊥AB即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：{x+3y=6−m①3x+y=−3m+2②,①+②得：x+y=2−m，代入不等式得：2−m>−12，解得：m<52，则正整数m的值为1，2．【解析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，即可确定出正整数解．此题考查了一元一次不等式的整数解，二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】证明：连接AE，CE．∵∠BAD =∠BCD =90°，E 是BD 的中点，∴AE =12BD ，CE =12BD ，∴AE =CE ，又∵F 是AC 的中点，∴EF ⊥AC ．【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．连接AE ，CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE =12BD ，CE =12BD ，那么AE =CE ，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明EF ⊥AC ． 22.【答案】解：(1)设购买1台平板电脑和1台学习机各需x 元，y 元，根据题意得： {x −4y =2002x +3y =8100， 解得：{x =3000y =700， 答：购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元和700元；(2)设购买平板电脑x 台，学习机(100−x)台，根据题意得：{100−x ≤1.5x 3000x +700(100−x)≤166600， 解得：40≤x ≤42，∵x 只能取正整数，∴x =40，41，42，当x =40时，y =60；x =41时，y =59；x =42时，y =58；方案1：购买平板电脑40台，学习机60台，费用为120000+42000=162000(元)； 方案2：购买平板电脑41台，学习机59台，费用为123000+41300=164300(元)； 方案3：购买平板电脑42台，学习机58台，费用为126000+40600=166600(元)， 则方案1最省钱．【解析】(1)设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到结果；(2)设购买平板电脑x台，学习机(100−x)台，根据“购买的总费用不超过166600元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.5倍”列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案．此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题中的等量关系，列出方程组和不等式组是解本题的关键．23.【答案】解：(1)4；(2)如图1，作PE⊥AB于E，在△BPE和△BPC中，{∠PBE=∠PBC ∠BEP=∠BCP BP=BP，∴△BPE≌△BPC(AAS)∴BE=BC=3，PE=PC，∴AE=5−BE=2，AP=4−PC，在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即(4−PC)2=22+PC2，解得，PC=32，当BP平分∠ABC时，点P的运动时间t=32÷2=34秒；(3)如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则2t=3，解得t =32(s)；如图3，当BP =BC =3时，△BCP 为等腰三角形，∴AP =AB −BP =2，∴t =(4+2)÷2=3(s)；如图4，若点P 在AB 上，CP =CB =3，作CD ⊥AB 于D ，则根据面积法求得CD =125， 在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BD =95，∴PB =2BD =185 ∴CA +AP =4+5−185=5.4，此时t =5.4÷2=2.7(s)；如图5，当PC =PB 时，△BCP 为等腰三角形，作PD ⊥BC 于D ，则BD =CD ， ∴PD 为△ABC 的中位线，∴AP =BP =12AB =52，∴t =(4+52)÷2=134(s)；综上所述，t为32s或2710s或3s或134s时，△BCP为等腰三角形．【解析】解答：(1)由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=4(cm)，故答案为：4；(2)见答案；(3)见答案．【分析】(1)根据勾股定理计算；(2)作PE⊥AB于E，证明△BPE≌△BPC，根据全等三角形的性质和勾股定理计算；(3)分CP=CB，点P在CA上，点P在AB上，BP=BC，PC=PB三种情况，根据等腰三角形的概念，勾股定理计算．本题考查的是勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的概念，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。

2019-2020学年浙江省杭州市临安区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列长度的三条线段（单位：)cm能组成三角形的是()A．1，2，1B．4，5，9C．6，8，13D．2，2，42．（3分）到三角形三边的距离相等的点P应是三角形的三条()的交点．A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线3．（3分）如图AD BC⊥于点D，那么图中以AD为高的三角形有()个A．3B．4C．5D．6x的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式1A．B．C．D．5．（3分）若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为( )A．4cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm6．（3分）对于命题“若0==”，以下所列的关于a，b的值，能说明这是a b⨯=，则0a b一个假命题的是()A．1b=D．3a ba=，0== a=，3b=B．1a=，0b=C．07．（3分）若30x-<，则()A．240->x x-<B．240x+<C．27x>D．1830 8．（3分）m、n两数在数轴上的位置如图所示，设A m n=-，=-+，C m n=+，B m nD m n =--，则下列各式正确的是( )A ．B D AC >>> B ．A B CD >>> C ．C B A D >>> D ．D C B A >>>9．（3分）如图，点E 是Rt ABC ∆、Rt ABD ∆的斜边AB 的中点，AC BC =，20DBA ∠=︒，则DCE ∠的度数是( )A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒10．（3分）如图，已知等边三角形ABC ∆边长为a ，等腰三角形BDC ∆中120BDC ∠=︒，60MDN ∠=︒，角的两边分别交AB ，AC 于点M ，N ，连结MN ，则AMN ∆的周长为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）“x 的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 ．12．（4分）已知命题“全等三角形的面积相等．”写出它的逆命题 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假” )．13．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60A B ∠-∠=︒，那么A ∠= ︒．14．（4分）直角三角形两边长分别为6cm 和8cm ，则此直角三角形斜边上的中线长为 ．15．（4分）如图，在锐角ABC ∆中，10AB =，45BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM MN +的最小值是 ．16．（4分）如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，EG AD ⊥，分别交AB 、AD 、AC 、BC 的延长线于E 、H 、F 、G ，已知下列四个式子：（1）11(23)2∠=∠+∠；（2）12(32)∠=∠-∠；（3）14(32)2∠=∠-∠；（4）1412∠=∠． 其中有两个式子是正确的，它们是 和 ．三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）（1）若x y >，比较35x -+与35y -+的大小，并说明理由；（2）若x y <，且(3)(3)a x a y ->-，求a 的取值范围．18．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1．（1）以图中点A 为一个顶点画ABC ∆，使5AB =，5AC =，20BC =，且点B 、点C 都在小正方形的顶点上；（2）判断所画的ABC ∆的形状，并给出证明．19．（8分）如图，ABC ∆中，AB AC =，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D ；②作边AB 的垂直平分线EF ，EF 与AM 相交于点P ；③连接PB ，PC ．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是；（2）若70ABC∠=︒，求BPC∠的度数．20．（10分）如图，已知ABC∆中，AB AC=，6BC=，AM平分BAC∠，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且12CE BC=．（1）求ME的长；（2）求证：DMC∆是等腰三角形．21．（10分）如图，过点B，D分别向线段AE作垂线段BQ和DF，点Q和F是垂足，连结AB，DE，BD，BD交AE于点C，且AB DE=，AF EQ=．（1）求证：ABQ EDF∆≅∆；（2）求证：C是BD的中点．22．（12分）如图，ABC∆中，90C∠=︒，8AC cm=，6BC cm=，若动点P从点C开始，按C A B C→→→的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把ABC∆的周长分成相等的两部分．（2）当t为何值时，CP把ABC∆的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；（3）当t为何值时，BCP∆为等腰三角形？23．（12分）如图，已知等边ABC∆的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把ABC∆沿直线1折叠，点B的对应点是点B'．（1）如图1，当4PB=时，若点B'恰好在AC边上，则AB'的长度为；（2）如图2，当5PB=时，若直线1//AC，则BB'的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，ACB∆'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当6∆'面积的最大值．PB=时，在直线1变化过程中，求ACB参考答案一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．（3分）下列长度的三条线段（单位：)cm能组成三角形的是()A．1，2，1B．4，5，9C．6，8，13D．2，2，4解：根据三角形的三边关系，知+=，不能够组成三角形，故本选项错误；A、112B、459+=，不能够组成三角形，故本选项错误；+>，能够组成三角形，故本选项正确；C、6813+=，不能够组成三角形，故本选项错误．D、224故选：C．2．（3分）到三角形三边的距离相等的点P应是三角形的三条()的交点．A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线解：在同一平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形的三条角平分线的交点，故选：A．3．（3分）如图AD BC⊥于点D，那么图中以AD为高的三角形有()个A．3B．4C．5D．6解：AD BC⊥于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．x的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式1A．B．C．D．解：1x，1∴处是实心原点，且折线向右．故选：D．5．（3分）若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为( )A．4cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm解：①4cm是底边时，腰长为1(164)62⨯-=，能组成三角形，②4cm是腰长时，底边为16248-⨯=，448+=，∴不能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm．故选：A．6．（3分）对于命题“若0a b⨯=，则0a b==”，以下所列的关于a，b的值，能说明这是一个假命题的是()A．1a=，3b=B．1a=，0b=C．0a=，0b=D．3a b==解：当1a=，3b=时，0a b⨯≠，故A选项不符合题意；当1a=，0b=时，0a b⨯=，但0a b==不成立，故B选项符合题意；当0a=，0b=时，0a b⨯=，但0a b==成立，故C选项不符合题意；当3a b==时，0a b⨯≠，故D选项不符合题意；故选：B．7．（3分）若30x-<，则()A．240x-<B．240x+<C．27x>D．1830x->解：30x-<，3x∴<，A 、由240x -<得2x <，故错误；B 、由240x +<得2x <-，故错误；C 、由27x >得， 3.5x >，故错误；D 、由1830x ->得，6x <，故正确；故选：D ．8．（3分）m 、n 两数在数轴上的位置如图所示，设A m n =+，B m n =-+，C m n =-，D m n =--，则下列各式正确的是( )A ．B D AC >>> B ．A B CD >>> C ．C B A D >>> D ．D C B A >>> 解：由数轴可知2101m a -<<-<<<，m n m n m n m n ∴-+>-->+>-，即B D A C >>>，故选：A ．9．（3分）如图，点E 是Rt ABC ∆、Rt ABD ∆的斜边AB 的中点，AC BC =，20DBA ∠=︒，则DCE ∠的度数是( )A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒ 解：点E 是Rt ABD ∆的斜边AB 的中点，12ED EB AB ∴==， 20EDB DBA ∴∠=∠=︒，40DEA EDB DBA ∴∠=∠+∠=︒，点E 是Rt ABC ∆的斜边AB 的中点，AC BC =，12EC AB ∴=，CE AB ⊥， 130DEC ∴∠=︒，ED EC =，25DCE ∴∠=︒，故选：A ．10．（3分）如图，已知等边三角形ABC∠=︒，BDC∆边长为a，等腰三角形BDC∆中120∠=︒，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连结MN，则AMN∆的周长为( MDN60)A．a B．2a C．3a D．4a解：BDC∠=︒，BDC∆是等腰三角形，且120BCD DBC∴∠=∠=︒，30∆是边长为a的等边三角形，ABC∴∠=∠=∠=︒，ABC BAC BCA60DBA DCA∴∠=∠=︒，90延长AB至F，使BF CN=，连接DF，在Rt BDF∆和Rt CND=，DB DC=，∆中，BF CN∴∆≅∆，Rt BDF Rt CDN(HL)=，BDF CDN∴∠=∠，DF DN∠=︒，MDN60BDM CDN∴∠+∠=︒，60FDM MDN∠=︒=∠，DM为公共边，∴∠+∠=︒，60BDM BDF60∴∆≅∆，DMN DMF SAS()∴=MN MF++=+++=+=，AM AN MN AM MB BF AN AB AC a AMN∴∆的周长是：2故选：B．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）“x 的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 230x - ．解：由题意得：230x -．故答案为：230x -．12．（4分）已知命题“全等三角形的面积相等．”写出它的逆命题 面积相等的三角形是全等三角形 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假” )．解：命题“全等三角形的面积相等．”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，故答案为：面积相等的三角形是全等三角形；假．13．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60A B ∠-∠=︒，那么A ∠= 75 ︒．解：90C ∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，60A B ∠-∠=︒，2150A ∴∠=︒，75A ∴∠=︒．故答案为：75．14．（4分）直角三角形两边长分别为6cm 和8cm ，则此直角三角形斜边上的中线长为 5cm 或4cm ．解：①当6cm 和8cm 均为直角边时，斜边10cm =，则斜边上的中线5cm =；②当6cm 为直角边，8cm 为斜边时，则斜边上的中线4cm =．故答案为：5cm 或4cm ．15．（4分）如图，在锐角ABC ∆中，10AB =，45BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM MN +的最小值是 5 ．解：如图，作BH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，则BM MN +为所求的最小值．AD 是BAC ∠的平分线，M H MN ∴'=，BH ∴是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）， 10AB =，45BAC ∠=︒，sin 455BH AB ∴=︒=．BM MN +的最小值是5BM MN BM MH BH +=+==．故答案为：5．16．（4分）如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，EG AD ⊥，分别交AB 、AD 、AC 、BC 的延长线于E 、H 、F 、G ，已知下列四个式子：（1）11(23)2∠=∠+∠；（2）12(32)∠=∠-∠；（3）14(32)2∠=∠-∠；（4）1412∠=∠． 其中有两个式子是正确的，它们是 （1） 和 ．解：AD 平分BAC ∠，EG AD ⊥，12BAD BAC ∴∠=∠，90AHE ∠=︒， 1190902BAD BAC ∴∠=︒-∠=︒-∠， 而18023BAC ∠=︒-∠-∠，11190(18023)(23)22∴∠=︒-︒-∠-∠=∠+∠； 又124∠=∠+∠，11412(23)2(32)22∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠-∠； 故答案为：（1），（3）．三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）（1）若x y >，比较35x -+与35y -+的大小，并说明理由；（2）若x y <，且(3)(3)a x a y ->-，求a 的取值范围．解：（1）x y >，∴不等式两边同时乘以3-得：（不等式的基本性质3) 33x y -<-，∴不等式两边同时加上5得：5353x y -<-；（2）x y <，且(3)(3)a x a y ->-，30a ∴-<，解得3a <．即a 的取值范围是3a <．18．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1．（1）以图中点A 为一个顶点画ABC ∆，使5AB =，5AC =，20BC =，且点B 、点C 都在小正方形的顶点上；（2）判断所画的ABC ∆的形状，并给出证明．【解答】解：（1）如图所示：ABC ∆即为所求作的图形．（2）ABC ∆是直角三角形．理由如下：2222+=+=，AC BC(5)(20)2522AB==525222∴+=AC BC AB∴∆为直角三角形．ABC19．（8分）如图，ABC=，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：∆中，AB AC①作BAC∠的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是PA PB PC==；（2）若70∠的度数．∠=︒，求BPCABC解：（1）如图，PA PB PC==，理由是：∠，AB AC=，AM平分BAC∴是BC的垂直平分线，AD∴=，PB PCEP是AB的垂直平分线，PA PB∴=，∴==；PA PB PC故答案为：PA PB PC==；（2）AB AC=，∴∠=∠=︒，ABC ACB70∴∠=︒-⨯︒=︒，BAC18027040AM平分BAC∠，20BAD CAD ∴∠=∠=︒，PA PB PC ==，20ABP BAP ACP ∴∠=∠=∠=︒，20402080BPC ABP BAC ACP ∴∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒．20．（10分）如图，已知ABC ∆中，AB AC =，6BC =，AM 平分BAC ∠，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且12CE BC =． （1）求ME 的长；（2）求证：DMC ∆是等腰三角形．【解答】（1）解：AB AC =，AM 平分BAC ∠， 132BM CM BC CE ∴====， 336ME MC CE ∴=+=+=；（2）证明：AB AC =，AM 平分BAC ∠，AM BC ∴⊥，D 为AC 中点，DM DC ∴=，DMC ∴∆是等腰三角形．21．（10分）如图，过点B ，D 分别向线段AE 作垂线段BQ 和DF ，点Q 和F 是垂足，连结AB ，DE ，BD ，BD 交AE 于点C ，且AB DE =，AF EQ =．（1）求证：ABQ EDF ∆≅∆；（2）求证：C 是BD 的中点．【解答】证明：（1）AF EQ =，AQ EF ∴=，在Rt ABQ ∆和Rt EDF ∆中，AB DE AQ EF =⎧⎨=⎩()ABQ EDF HL ∴∆≅∆；（2）ABQ EDF ∆≅∆，BQ DF ∴=，且90BQC DFC ∠=∠=︒，BCA DCE ∠=∠， ()BCQ DCF AAS ∴∆≅∆BC DC ∴=，∴点C 是BD 中点．22．（12分）如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，6BC cm =，若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，CP 把ABC ∆的周长分成相等的两部分．（2）当t 为何值时，CP 把ABC ∆的面积分成相等的两部分，并求出此时CP 的长；（3）当t 为何值时，BCP ∆为等腰三角形？解：（1）ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，6BC cm =， 10AB cm ∴=，ABC ∴∆的周长861024cm =++=，∴当CP 把ABC ∆的周长分成相等的两部分时，点P 在AB 上，此时12CA AP BP BC cm +=+=，1226t ∴=÷=（秒)；（2）当点P 在AB 中点时，CP 把ABC ∆的面积分成相等的两部分，此时8513()CA AP cm +=+=，132 6.5t ∴=÷=（秒)， 1110522CP AB cm ∴==⨯=； （3）BCP ∆为等腰三角形时，分三种情况：①如果CP CB =，那么点P 在AC 上，6CP cm =，此时623t =÷=（秒)； 如果CP CB =，那么点P 在AB 上，6CP cm =，此时 5.4t =（秒) （点P 还可以在AB 上，此时，作AB 边上的高CD ，利用等面积法求得 4.8CD =，再利用勾股定理求得 3.6DP =，所以7.2BP =， 2.8AP =，所以(8 2.8)2 5.4t =+÷=（秒)) ②如果BC BP =，那么点P 在AB 上，6BP cm =，810612()CA AP cm +=+-=，此时1226t =÷=（秒)；③如果PB PC =，那么点P 在BC 的垂直平分线与AB 的交点处，即在AB 的中点，此时8513()CA AP cm +=+=，132 6.5t =÷=（秒)；综上可知，当3t =秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP ∆为等腰三角形．23．（12分）如图，已知等边ABC ∆的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线1是经过点P 的一条直线，把ABC ∆沿直线1折叠，点B 的对应点是点B '．（1）如图1，当4PB =时，若点B '恰好在AC 边上，则AB '的长度为 4或0 ；（2）如图2，当5PB =时，若直线1//AC ，则BB '的长度为 ；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC ，ACB ∆'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当6PB =时，在直线1变化过程中，求ACB ∆'面积的最大值．解：（1）如图1中，∆是等边三角形，ABC===，AB BC AC60∴∠=︒，8APB=，4∴'===，PB PB PA4∠=︒，A60∴∆'是等边三角形，APBAB AP∴'==．4当直线l经过C时，点B'与A重合，此时0AB'=故答案为4或0．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB'交PE于O．PE AC，//∴∠=∠=︒，60∠=∠=︒，BEP CBPE A60∴∆是等边三角形，PEBPB=，5∴，B'关于PE对称，B∴'⊥，2BB PE'=BB OB53sin 602OB PB ∴=︒=， 53BB ∴'=． 故答案为53．（3）如图3中，结论：面积不变．B ，B '关于直线l 对称， BB ∴'⊥直线l ，直线l AC ⊥，//AC BB ∴'，138816322ACB ACB S S ∆'∆∴==⨯⨯⨯=．（4）如图4中，当B P AC '⊥时，ACB ∆'的面积最大，设直线PB '交AC 于E ， 在Rt APE ∆中，2PA =，60PAE ∠=︒， sin 603PE PA ∴=︒= 63B E ∴'=，()186343242ACB S ∆'∴=⨯⨯+=+的最大值． 解法二：如图5中，过点P 作PH 垂直于AC ，由题意可得：B ’在以P 为圆心半径长为6的圆上运动， 当PH 的延长线交圆P 于点B '时面积最大， 此时63BH =+，(18633242ACB S ∆'=⨯⨯+=的最大值．。