专题4 第1讲 演练

(建议用时：25分钟)一、单项选择题1．(2019·南京二模)如图所示的电路中，当滑动变阻器R2的滑动触头P向下滑动时，下列说法正确的是()A．电压表的读数减小B．R1消耗的功率增大C．电源的输出功率增大D．电容器C所带电荷量增多解析：选D.根据电路图可知，R1、R2串联后接在电源两端，电容器C并联在R2两端，电压表V测路端电压．当滑动触头P向下滑动时，R2连入电路的电阻变大，则外电路总电阻R变大，由I＝ER＋r知电流I减小，由U＝E－Ir知路端电压增大，则电压表示数变大，电源的输出功率P出＝UI无法判断．由P R1＝I2R1知，R1消耗的功率变小．由U R2＝E－(R1＋r)I知电容器两端电压变大，则电容器所带电荷量增多．综上所述，A、B、C错误，D正确．2．一含有理想变压器的电路如图所示，图中电阻R1、R2和R3的阻值分别为3 Ω、1 Ω和4 Ω，A为理想交流电流表，U为正弦交流电压源，输出电压的有效值恒定．当开关S断开时，电流表的示数为I；当S闭合时，电流表的示数为4I.该变压器原、副线圈匝数比值为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B.设理想变压器原、副线圈匝数比值为k，根据题述，当开关S断开时，电流表示数为I，则由闭合电路欧姆定律得，U＝IR1＋U1.由变压公式U1/U2＝k及功率关系U1I＝U2I2，可得I2/I＝k，即副线圈输出电流为I2＝kI，U2＝I2(R2＋R3)＝kI(R2＋R3)．当开关S闭合时，电流表示数为4I，则有U＝4IR1＋U′1.由变压器公式U′1/U′2＝k及功率关系U′1·4I＝U′2I′2，可得I′2/(4I)＝k，即副线圈输出电流为I′2＝4kI，U′2＝I′2R2＝4kIR2；联立解得k＝3，选项B 正确．3．(2017·高考北京卷)如图所示，理想变压器的原线圈接在u＝2202sin 100πt(V)的交流电源上，副线圈接有R＝55 Ω的负载电阻，原、副线圈匝数之比为2∶1，电流表、电压表均为理想电表．下列说法正确的是()A．原线圈的输入功率为220 2 WB．电流表的读数为1 AC．电压表的读数为110 2 VD ．副线圈输出交流电的周期为50 s解析：选B.由交流电压的表达式可知，原线圈两端所加的电压最大值为220 2 V ，故有效值为U 1＝220 V ，由U 1U 2＝n 1n 2，故副线圈电压的有效值为U 2＝110 V ，故输出功率P 2＝U 22R ＝220W ，再由输入功率等于输出功率知，P 1＝P 2＝220 W ，A 项错误；根据欧姆定律知，I 2＝U 2R ＝2A ，I 1I 2＝n 2n 1，得I 1＝1 A ，故电流表读数为1 A ，所以B 项正确；电压表的读数为有效值，即U 2＝110 V ，C 项错误；由交流电压的表达式可知，ω＝100π(rad/s)，又T ＝2πω，解得T ＝0.02 s ，所以D 项错误．4．一自耦变压器如图所示，环形铁芯上只绕有一个线圈，将其接在a 、b 间作为原线圈．通过滑动触头取该线圈的一部分，接在c 、d 间作为副线圈．在a 、b 间输入电压为U 1的交变电流时，c 、d 间的输出电压为U 2.在将滑动触头从M 点顺时针旋转到N 点的过程中( )A ．U 2>U 1，U 2降低B ．U 2>U 1，U 2升高C ．U 2<U 1，U 2降低D ．U 2<U 1，U 2升高解析：选C.由变压器的变压公式U 1U 2＝n 1n 2可知，由于原线圈匝数n 1大于副线圈匝数n 2，因此有U 1>U 2，当滑动触头从M 点顺时针旋转到N 点的过程中，n 2减小，因此U 2降低，C 项正确．5．(2019·连云港质检)如图所示，电源电动势为E ，内阻为r .电路中的R 2、R 3分别为总阻值一定的滑动变阻器，R 0为定值电阻，R 1为光敏电阻(其阻值随光照强度增大而减小)．当开关S 闭合时，电容器中一带电微粒恰好处于静止状态，则下列说法中正确的是( )A ．只逐渐增大R 1的光照强度，电阻R 0消耗的电功率变大，R 3中有向上的电流B ．只将R 3的滑片P 2向上移动时，电源消耗的功率变大，R 3中有向上的电流C ．只将R 2的滑片P 1向下移动时，电压表示数变大，带电微粒向下运动D ．若断开开关S ，电容器所带电荷量变大，带电微粒向上运动解析：选A.只逐渐增大R 1的光照强度，R 1的阻值减小，电流变大，R 0消耗的电功率变大，电容器的电压增大，电容器充电，R 3中有向上的电流，A 选项正确；由于R 3与电容器相连，而电容器隔直流，所以只调节R 3的阻值对电路中的电流和电压没有影响，电源消耗的功率不变，R 3中没有向上的电流，B 选项错误；只将R 2的滑片P 1向下移动时，电路中的电流不变，因此电容器两端的电压U 2增大，带电微粒受到的电场力F ＝qE ＝q U 2d 变大，微粒将向上运动，C 选项错误；若断开开关S ，电容器将通过R 3、R 2放电，电容器所带电荷量减少，带电微粒向下运动，D 选项错误．6．如图所示，接在家庭电路上的理想降压变压器给小灯泡L 供电，如果将原、副线圈减少相同匝数，其他条件不变，则( )A ．小灯泡变亮B ．小灯泡变暗C ．原、副线圈两端电压的比值不变D ．通过原、副线圈电流的比值不变 解析：选B.由U 1U 2＝n 1n 2得U 2＝n 2n 1U 1①由U 1U ′2＝n 1－Δnn 2－Δn 得U ′2＝n 2－Δn n 1－Δn U 1② 由②①得：U ′2U 2＝（n 2－Δn ）n 1（n 1－Δn ）n 2＝n 2n 1－Δnn 1n 2n 1－Δnn 2，因为n 2＜n 1，所以U ′2U 2＜1，即U ′2＜U 2，故小灯泡变暗，B 正确，A 错误；由以上分析过程可以看出，C 错误；由I 1I 2＝n 2n 1和I ′1I ′2＝n 2－Δnn 1－Δn 可见，D 错误．7．(2019·镇江模拟)如图所示，接在理想变压器回路中的四个规格相同的灯泡都正常发光，那么，理想变压器的匝数比n 1∶n 2∶n 3为( )A ．1∶1∶1B ．3∶2∶1C ．6∶2∶1D ．2∶2∶1解析：选B.灯泡正常发光，可得U A ＝U B ＝U C ＝U D ，所以U 2＝2U 3，由理想变压器的电压关系得n 2n 3＝U 2U 3＝21，可得n 2＝2n 3.灯泡都正常发光，则功率相等，即P A ＝P B ＝P C ＝P D .由P ＝I 2R 得I A ＝I B ＝I C ＝I D ，即I 1＝I 2＝I 3.由理想变压器的功率关系得U 1I 1＝U 2I 2＋U 3I 3，即n 1I 1＝n 2I 2＋n 3I 3，可得n 1＝n 2＋n 3＝2n 3＋n 3＝3n 3.所以n 1∶n 2∶n 3＝3∶2∶1.8．如图1所示，M 为一电动机，当滑动变阻器的触头从一端滑到另一端的过程中，两电压表的读数随电流表读数的变化情况如图2所示，已知电流表读数在0.2 A 以下时，电动机没有发生转动，不考虑电表对电路的影响，以下判断不正确的是( )A ．电路中的电源电动势为3.9 VB ．电动机的电阻为4 ΩC ．此电路中，电动机的最大输出功率为0.9 WD ．变阻器的最大阻值为32 Ω解析：选C.由电路图1知，电压表V 2测量路端电压，电流增大时，内电压增大，路端电压减小，所以最上面的图线表示V 2的电压与电流的关系，此图线的斜率大小等于电源的内阻，为r ＝3.6－3.00.2 Ω＝3 Ω；当电流I ＝0.1 A 时，U ＝3.6 V ，则电源的电动势E ＝U ＋Ir ＝3.6 V ＋0.1×3 V ＝3.9 V ，故A 正确；由图可知，电动机的电阻r M ＝0.8－0.40.1 Ω＝4 Ω，故B 正确；当I ＝0.3 A 时，U ＝3.0 V ，电动机的输入功率最大，最大输入功率为P ＝UI ＝3×0.3 W ＝0.9 W ，电动机的热功率为P r M ＝I 2r M ＝0.32×4 W ＝0.36 W ，则最大的输出功率为P 出＝0.9 W －0.36 W ＝0.54 W ，故C 错误；当I ＝0.1 A 时，电路中电流最小，变阻器的电阻为最大值，所以R ＝EI －r －r M ＝⎝⎛⎭⎫3.90.1－3－4 Ω＝32 Ω，故D 正确． 9．(2019·宿迁段考)在如图所示的电路中，已知电阻R 1的阻值小于滑动变阻器R 的最大阻值．闭合开关S ，在滑动变阻器的滑片P 由左端向右端滑动的过程中，四个电表V 1、V 2、A 1、A 2的示数及变化量分别用U 1、U 2、I 1、I 2、ΔU 1、ΔU 2、ΔI 1、ΔI 2表示，下列说法中正确的是( )A ．U 1先变大后变小，I 1不变B ．U 1先变小后变大，I 1变小 C.ΔU 1ΔI 2的绝对值先变大后变小，ΔU 2ΔI 2的绝对值不变 D ．U 2先变小后变大，I 2先变小后变大解析：选D.滑片P 由滑动变阻器的左端向右端滑动的过程中，滑动变阻器R 的左半部分与R 1串联然后与R 的右半部分并联，并联电阻先变大后变小，所以电路总电阻先变大后变小，根据闭合电路欧姆定律，I 2先变小后变大，U 1先变大后变小，由极限法可得当滑片P 滑到滑动变阻器右端时，电流表A 1把R 1所在支路短路，此时I 1最大，所以I 1一直增大，A 、B 错误；对于C 项，ΔU 1ΔI 2的绝对值等于电源的内阻，保持不变；ΔU 2ΔI 2的绝对值等于R 2，保持不变，C 错误；电阻R 2不变，电压表V 2的示数U 2＝I 2R 2，U 2先变小后变大，D 正确．10．如图所示为远距离输电的原理图，升压变压器的变压比为m ，降压变压器的变压比为n ，输电线的电阻为R ，升压变压器和降压变压器均为理想变压器，发电机输出的电压恒为U ，若由于用户的负载变化，使电压表V 2的示数减小了ΔU ，则下列判断正确的是( )A ．电流表A 2的示数增大了ΔURB ．电流表A 1的示数增大了n ΔURC ．电压表V 1的示数减小了ΔUD ．输电线损失的功率增加了⎝⎛⎭⎫n ΔU R 2R解析：选B.电压表V 2的示数减小了ΔU ，根据变压器的变压比可知降压变压器输入电压减小了ΔU 3＝n ΔU ，由于升压变压器输入电压不变，因此输电线上的电压增大了n ΔU ，因此电流表A 1的示数增大了n ΔU R ，B 正确；根据变流比，电流表A 2的示数增大了n 2ΔU R ，A 错误；由于发电机的输出电压不变，因此升压变压器的输出电压不变，电压表V 1的示数不变，C 错误；设原来输电线上的电流为I ，则输电线损失的功率增加了⎝⎛⎭⎫I ＋n ΔU R 2R －I 2R ，不等于⎝⎛⎭⎫n ΔU R 2R ，D 错误．二、多项选择题11．(2019·南通联考)如图所示，理想变压器的原线圈连接一只理想交流电流表，副线圈匝数可以通过滑动触头Q 来调节，在副线圈两端连接了定值电阻R 0和滑动变阻器R ，P 为滑动变阻器的滑动触头．在原线圈上加一电压为U 的正弦交流电，则( )A ．保持Q 的位置不动，将P 向上滑动时，电流表读数变大B ．保持Q 的位置不动，将P 向上滑动时，电流表读数变小C ．保持P 的位置不动，将Q 向上滑动时，电流表读数变大D ．保持P 的位置不动，将Q 向上滑动时，电流表读数变小解析：选BC.保持Q 的位置不动，则U 2不变，将P 向上滑动时，R 接入电路的电阻变大，根据I 2＝U 2R 0＋R 知，I 2变小，由I 1I 2＝n 2n 1得I 1也变小，即电流表读数变小，选项A 错误，选项B正确；保持P 的位置不动，将Q 向上滑动时，U 2变大，则根据P 2＝U 22R 0＋R 知副线圈输出功率变大，由P 1＝P 2知，变压器原线圈输入功率P 1变大，而P 1＝I 1U ，输入电压U 一定，I 1变大，即电流表读数变大，选项C 正确，选项D 错误．12．(2019·扬州中学联考)理想变压器原线圈a 匝数n 1＝200匝，副线圈b 匝数n 2＝100匝，线圈a 接在u ＝442sin 314t (V)交流电源上，“12 V 6 W ”的灯泡恰好正常发光，电阻R 2＝16 Ω，电压表V 为理想电表，下列推断正确的是( )A ．交变电流的频率为100 HzB ．副线圈磁通量的最大变化率为25Wb/s C ．电压表V 的示数为22 V D ．R 1消耗的功率是1 W解析：选BD.由表达式知交变电流的频率为f ＝3142π Hz ＝50 Hz ，A 错误；灯泡正常发光，故副线圈中电流为I ＝PU ＝0.5 A ，故电压表示数为U 2＝12 V ＋IR 2＝20 V ，故根据E m ＝N ΔΦΔt 知穿过铁芯的磁通量的最大变化率为E m N ＝25 Wb/s ，故B 正确；根据电流与匝数成反比，原线圈电流为0.25 A ，由题意可知：原线圈电压有效值为44 V ，根据电压与匝数成正比得U 1＝40 V ，R 1消耗的功率是P ＝(44－40)×0.25 W ＝1 W ，故C 错误，D 正确．13．(2019·宿迁高三联考)在如图甲所示的电路中，电源电动势为3.0 V ，内阻不计，L 1、L 2为相同规格的小灯泡，这种小灯泡的伏安特性曲线如图乙所示，R 为定值电阻，阻值为7.5 Ω.当开关S 闭合后( )A ．L 1的电阻为112ΩB ．L 1消耗的电功率为7.5 WC ．L 2的电阻为7.5 ΩD ．L 2消耗的电功率为0.3 W解析：选CD.S 闭合后，L 1两端的电压为3.0 V ，由乙图可知，I 1＝0.25 A ，故P 1＝0.75 W ，R 1＝12 Ω，A 、B 均错；L 2与R 及电源串联，把R 和电源等效成电动势为3 V ，内阻为7.5 Ω的新电源，在图乙中作出新电源的I －U 图线，如图，两图线的交点表示出了此时L 2两端的电压与通过的电流的大小，由图知U 2＝1.5 V ，I 2＝0.2 A ，所以R 2＝U 2I 2＝1.50.2 Ω＝7.5 Ω，P 2＝U 2I 2＝1.5×0.2 W ＝0.3 W ，C 、D 正确．14．(2019·南京模拟)如图所示电路中，电源电动势为E 、内阻为r ，电阻R 2、R 3为定值电阻，R 1为滑动变阻器，A 、B 为电容器的两个极板．当滑动变阻器R 1的触头处于某位置时，A 、B 两板间的带电油滴静止不动．则下列说法中正确的是( )A ．仅把R 1的触头向右滑动时，电流表读数减小，油滴向下运动B ．仅把R 1的触头向右滑动时，电流表读数减小，油滴向上运动C ．仅把两极板A 、B 间距离增大，油滴向下运动，电流表读数不变D ．仅把两极板A 、B 间正对面积减小，油滴向下运动，电流表读数不变解析：选BC.从图中可知电容器两板间的电压等于路端电压，电流表测量干路电流，若仅把R 1的触头向右滑动时，R 1连入电路的电阻增大，则电路总电阻增大，根据闭合电路欧姆定律可得路端电压增大，干路电流减小，所以电流表示数减小，电容器两端的电压增大，根据公式E ＝Ud 可得两极板间的电场强度增大，所以油滴受到的电场力增大，故向上运动，A 错误，B 正确；仅把两极板A 、B 间距离增大，因为两极板间的电压不变，根据公式E ＝Ud 可得电容器两极板间的电场强度减小，油滴受到的电场力减小，向下运动，电流表的示数不变，C 正确；仅把两极板A 、B 间正对面积减小，由于两极板间的电压不变，距离不变，所以两极板间的电场强度不变，故油滴仍处于静止状态，电流表示数不变，D 错误．15．如图所示为某兴趣小组设计的一种发电装置，在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为49π，磁场均沿半径方向；矩形线圈abcd (d 点未在图中标出)的匝数为N ，其边长ab ＝cd ＝l ，bc ＝ad ＝2l ；线圈的总电阻为r ，外接电阻为R ；线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc 边和ad 边同时进、出磁场．在磁场中，bc 边和cd 边所经过处的磁感应强度大小均为B 、方向始终与两边的运动方向垂直．则( )A ．bc 边和ad 边在磁场中运动时，线圈的感应电动势的大小为NBl 2ωB ．bc 边和ad 边在磁场中运动时，bc 边所受安培力的大小为4N 2B 2l 3ωR ＋rC ．通过R 的电流有效值为2NBl 2ωR ＋rD ．通过R 的电流有效值为4NBl 2ω3（R ＋r ）解析：选BD.bc 、ad 边的运动速度v ＝l2ω，电动势E m ＝2·NB ·2l ·v ＝2NBl 2ω，A 错误；根据欧姆定律得，电流I m ＝E m R ＋r ，bc 边所受安培力为F ＝N ·B ·I m ·2l ＝4N 2B 2l 3ωR ＋r ，B 正确；因为两磁场的圆心角为49π，故一个周期内，通电时间t ＝49T ，由有效值定义知：I 2m (R ＋r )49T ＝I 2(R ＋r )T ，解得I ＝4NBl 2ω3（R ＋r ），C 错误，D 正确．。

第1讲概率与统计(小题)热点一随机抽样1．随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的．2．系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同．3．分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．例1(1)(2019·汉中联考)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n等于()A．12 B．16 C．20 D．24(2)(2019·上饶联考)某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．跟踪演练1(1)(2019·漳州质检)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为()A ．522B ．324C ．535D ．578(2)(2019·合肥质检)某工厂生产的A ，B ，C 三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A ，B ，C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有10件，则n 的值为( ) A ．15 B ．25 C ．50 D ．60 热点二 用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．4．对于其他的统计图表，要注意结合问题背景分析其所表达的意思，进而解决所给问题． 例2 (1)(2019·厦门质检)下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是( )A ．2018年3月的销售任务是400台B ．2018年月销售任务的平均值不超过600台C ．2018年第一季度总销售量为830台D ．2018年月销售量最大的是6月份(2)(2019·临沂质检)已知8位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是( )A ．众数为7B ．极差为19C．中位数为64.5 D．平均数为64跟踪演练2(1)已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是()A．乙班的理科综合成绩强于甲班B．甲班的文科综合成绩强于乙班C．两班的英语平均分分差最大D．两班的语文平均分分差最小(2)(2019·黄冈模拟)学校为了了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读霸”，则下列命题正确的是()A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸B．该校只有50名学生不喜欢阅读C．该校只有50名学生喜欢阅读D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸热点三变量间的相关关系、统计案例高考中解决变量间的相关关系问题时需注意：(1)回归直线一定过样本点的中心(x，y)．(2)随机变量K2的观测值k越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．例3(1)(2019·皖江联考)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x (℃) 18 13 10 －1 用电量y (度)24343864由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^＝－2，预测当温度为－5 ℃时，用电量的度数约为( )A ．64B ．66C ．68D ．70(2)某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 总计201030附表：P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K 2的观测值k ＝10，则下列选项正确的是( ) A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响跟踪演练3 (1)(2019·长春质检)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，上图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y ^＝1.16x －30.75，以下结论中不正确的为( )A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米(2)(2019·泸州模拟)随着国家二胎政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二胎生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线城市一线城市 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计5842100附表：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算得，K 2的观测值k ＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616，参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”真题体验1．(2019·全国Ⅰ，文，6)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2．(2018·全国Ⅰ，文，3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．(2018·全国Ⅲ，文，14)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．押题预测1．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势 2．给出如下列联表患心脏病 患其他病 总 计 高血压 20 10 30 非高血压 30 50 80 总 计5060110P (K 2≥10.828)≈0.001，P (K 2≥6.635)≈0.010，参照公式k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”B ．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关” 3．某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：使用年数x (单位：年) 2 3 4 5 6 维修总费用y (单位：万元)1.54.55.56.57.5根据上表可得线性回归方程为y ^＝1.4x ＋a ^.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年．A 组 专题通关1．(2019·河北省五个一名校联盟联考)经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1∶3∶6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n 等于( ) A ．30 B ．40 C ．60D ．802．某校李老师本学期负责高一甲、乙两个班的数学课，两个班都是50个学生，如图反映的是两个班的本学期5次数学测试中的班级平均分对比情况，根据图中信息，下列结论不正确的是( )A ．甲班的数学平均成绩高于乙班B ．乙班的数学成绩没有甲班稳定C ．下次测试乙班的数学平均分高于甲班D ．在第1次测试中，甲、乙两个班总平均分为783．(2019·全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2 400名学生中抽取30人进行调查．现将2 400名学生随机地从1～2 400编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2 321～2 400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是( ) A ．416 B ．432 C ．448 D ．4645．(2019·郑州质检)若1,2,3,4，m (m ∈R )这五个数的平均数等于其中位数，则m 等于( ) A ．0或5 B ．0或52 C ．5或52 D ．0或5或526．(2019·长春质检)下列命题：①在线性回归模型中，相关指数R 2表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，R 2越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在线性回归方程y ^＝－0.5x ＋2中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均减少0.5个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．(2019·衡水质检)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )A ．得分在[40,60)之间的共有40人B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C ．估计得分的众数为55D ．这100名参赛者得分的中位数为658．(2019·济宁模拟)如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．(2019·广东天河区普通高中测试)为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度(单位：cm)，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是( )A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐10．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好该项运动，得出2×2列联表，由计算可得K 2≈8.806.P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”11．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组数据如下表所示，则下列说法中错误的是( )x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ，y 之间呈现负相关关系 B ．可以预测当x ＝20时，y ^＝－3.7 C ．m ＝4D ．由表格数据知，该回归直线必过点(9,4)12．(2019·江淮质检)为了了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数13．(2019·河南省九师联盟质检)为了了解世界各国的早餐饮食习惯，现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m 的样本进行分析．若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人，且所抽取的样本中，中国人比美国人多10人，则样本容量m ＝________.14．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．15．(2019·成都模拟)节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号1 2 3 4 5 年生产利润y (单位：千万元)0.70.811.11.4预测第8年该国企的生产利润约为________千万元．参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2；a ^＝y －b ^x ，∑i ＝15(x i －x )(y i－y )＝1.7， i ＝15(x i －x )2＝10.根据该折线图，下列结论正确的是________(填序号)． ①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加； ③各年的月接待游客量髙峰期大致在7,8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．B 组 能力提高17.(2019·葫芦岛模拟)近日，据媒体报道称，“杂交水稻之父”袁隆平及其团队培育的超级杂交稻品种“湘两优900(超优千号)”再创亩产世界纪录，经第三方专家测产，该品种的水稻在实验田内亩产1 203.36公斤．中国工程院院士袁隆平在1973年率领科研团队开启了杂交水稻王国的大门，在数年的时间内就解决了十多亿人的吃饭问题，有力回答了世界“谁来养活中国”的疑问.2012年，在袁隆平的实验田内种植了A ，B 两个品种的水稻，为了筛选出更优的品种，在A ，B 两个品种的实验田中分别抽取7块实验田，如图所示的茎叶图记录了这14块实验田的亩产量(单位：10 kg)，通过茎叶图比较两个品种的平均数及方差，并从中挑选一个品种进行以后的推广，有如下结论：①A 品种水稻的平均产量高于B 品种水稻，推广A 品种水稻；②B 品种水稻的平均产量高于A 品种水稻，推广B 品种水稻；③A 品种水稻的产量比B 品种水稻更稳定，推广A 品种水稻；④B 品种水稻的产量比A 品种水稻更稳定，推广B 品种水稻；其中正确结论的编号为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④18．(2019·南昌模拟)已知具有线性相关的五个样本点A 1(0,0)，A 2(2,2)，A 3(3,2)，A 4(4,2)，A 5(6,4)，用最小二乘法得到回归直线l 1：y ^＝b ^x ＋a ^，过点A 1，A 2的直线l 2：y ＝mx ＋n ，那么下列说法中，正确的有________．(填序号) ①m >b ^，a ^>n ； ②直线l 1过点A 3；③∑i ＝15(y i －b ^x i －a ^)2≥∑i ＝15 (y i －mx i －n )2； ④∑i ＝15|y i －b ^x i －a ^|≥∑i ＝15|y i －mx i －n |.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2= ∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ^＝y －b ^x。

第1讲空间几何体专题强化训练1.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A．4 B．8C．12 D．16解析：选D.如图，以AA1为底面矩形一边的四边形有AA1C1C、AA1B1B、AA1D1D、AA1E1E这4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D.2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为( )解析：选C.过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C ．323cm 3D ．403cm 3解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．4．(2019·某某模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于( )A ．34B ．41C ．5 2D ．215解析：选C.由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，其中SC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，所以最长的棱长为SB ＝5 2.5．(2019·某某十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．15π2B ．8π C.17π2D ．9π解析：选B.依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接恰好形成一个底面半径为1，母线长为5＋3＝8的圆柱，因此题中的几何体的体积为π×12×8＝8π，选B.6.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为123，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为( )A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π解析：选C.设圆柱的底面半径为R ，则三棱柱的底面边长为3R ，由34(3R )2·2R ＝123，得R ＝2，S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝16π.故选C.7．(2019·某某市第一次模拟)某几何体的三视图如图所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．54C ．64D ．60解析：选D.根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.8．在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析：选B.由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.9．(2019·某某八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22 D.32解析：选C.依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－（a2a）2＝22，选C. 10.已知圆柱OO 1的底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．现将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ≤π)后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为f (θ)，则y ＝f (θ)的图象大致为( )解析：选A.将圆柱的侧面沿轴截面ABCD 展平，则曲线Γ是展开图形(即矩形)的对角线，根据题意，将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ≤π)后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为f (θ)，则f (θ)应当是一次函数的一段，故选A.11．(2019·某某省重点中学高三12月期末热身联考)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________；表面积是________．解析：根据三视图可得，该几何体是长方体中的四棱锥C ­BB 1D 1D ，由三视图可得：AB ＝2，BC ＝2，BB 1＝4，VC ­BB 1D 1D ＝23×12×2×2×4＝163，S C ­BB 1D 1D ＝12×2×2＋22×4＋12×2×4＋12×2×4＋12×22×18＝16＋8 2.答案：16316＋8 212.(2019·某某市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________ cm 3，表面积为________cm 2.解析：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉14后得到的几何体．所以该几何体的体积＝34×12×43×π×13＝π2cm 3.表面积＝34×12×4π×12＋12×π×12＋34×π×12＝11π4 cm 2.答案：π211π413．(2019·某某省“五校联盟”质量检测)已知球O 的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于________．解析：设球的半径为R ，则4πR 2＝25π，所以R ＝52，所以球的直径为2R ＝5，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的表面积S ＝2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝50.答案：5014．(2019·某某省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是____________．解析：分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ­ABCD ，CD ＝y2，AB＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，所以BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y2＝32≥2xy ，则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37.答案：3715．(2019·某某市高考数学二模)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与B 1D 1所成角的余弦值等于________，若正方体棱长为1，则四面体B ­EB 1D 1的体积为________．解析：取CC 1中点F ，连接D 1F ，B 1F ，则BE 綊D 1F ， 所以∠B 1D 1F 为异面直线BE 与B 1D 1所成的角．设正方体棱长为1，则B 1D 1＝2，B 1F ＝D 1F ＝1＋14＝52.所以cos ∠B 1D 1F ＝12B 1D 1D 1F ＝2252＝105. V B ­EB 1D 1＝V D 1­BB 1E ＝13S △BB 1E ·A 1D 1＝13×12×1×1×1＝16.答案：1051616．已知棱长均为a 的正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为216的球面上，则a 的值为________．解析：设O 是球心，D 是等边三角形A 1B 1C 1的中心，则OA 1＝216，因为正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，所以A 1D ＝32a ×23＝33a ，OD ＝a 2，故A 1D 2＋OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2162，得712a 2＝2136，即a 2＝1，得a ＝1. 答案：117．(2019·瑞安四校联考)已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值为________．解析：如图，设球心为O ，三棱柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，底面正三角形的边长为a ，则AO 1＝23×32a ＝33a .由已知得O 1O 2⊥底面， 在Rt △OAO 1中，由勾股定理得OO 1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝3·3－a 23，所以V 三棱柱＝34a 2×2×3·3－a 23＝3a 4－a62，令f (a )＝3a 4－a 6(0＜a ＜2)， 则f ′(a )＝12a 3－6a 5＝－6a 3(a 2－2)，令f ′(a )＝0，解得a ＝ 2.因为当a ∈(0，2)时，f ′(a )＞0；当a ∈(2，2)时，f ′(a )＜0，所以函数f (a )在(0，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减． 所以f (a )在a ＝2处取得极大值．因为函数f (a )在区间(0，2)上有唯一的极值点，所以a ＝2也是最大值点．所以(V 三棱柱)max＝3×4－82＝1. 答案：118.如图，四棱锥P ­ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD , ∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ­ABCD 的体积．解：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD .(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ， 则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3. 所以四棱锥P ­ABCD 的体积V ＝13×2×（2＋4）2×23＝4 3.19.如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D .现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′­PBCD 的体积最大时，求PA 的长；(2)若P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 解：(1)设PA ＝x ，则PA ′＝x ， 所以V A ′­PBCD ＝13PA ′·S 底面PBCD ＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 22.令f (x )＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 22＝2x 3－x36(0<x <2)，则f ′(x )＝23－x22.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫0，233233 ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2 f ′(x )0 f (x )单调递增极大值单调递减由上表易知，当PA ＝x ＝233时，V A ′­PBCD 取最大值．(2)证明：取A ′B 的中点F ，连接EF ，FP . 由已知，得EF 綊12BC 綊PD .所以四边形EFPD 是平行四边形， 所以ED ∥FP .因为△A ′PB 为等腰直角三角形， 所以A ′B ⊥PF .所以A ′B ⊥DE .。

第一讲散文常识、高效读文及选择题突破突破一掌握散文的基本常识散文，是专指与诗歌、小说、戏剧并列的一种文学体裁，指不讲究韵律的散体文章，包括杂文、随笔、游记等，是一种篇幅较小、笔调灵活、形式多样的文学形式。

一、散文特点1．形散神不散。

这是散文的基本特点。

可以说散文的这一基本特征决定了读懂散文的难度要远高于读懂小说。

作者借助想象与联想，由此及彼，由浅入深，由实而虚地依次写来，可以融情于景、寄情于事、寓情于物、托物言志，表达作者的真情实感，实现物我的统一，展现出更深远的思想，使读者领会更深的道理。

3．语言优美凝练，富于文采。

二、散文分类1．叙事散文。

以写人记事为主的散文。

这类散文对人和事的叙述和描绘较为具体、突出，同时表现作者的认识和感受，也带有浓厚的抒情成分，字里行间充满饱满的感情。

根据该类散文内容的侧重点不同，又可将它区分为记事散文和写人散文。

例如：鲁迅的《从百草园到三味书屋》就是以记事为主的散文。

2．抒情散文。

这类散文也有对具体事物的记叙和描绘，但通常没有贯穿全篇的情节，其突出的特点是强烈的抒情性。

它或直抒胸臆，或触景生情，洋溢着浓烈的诗情画意，即使描写的是自然风物，也赋予了深刻的社会内容和思想感情。

3．写景散文。

以描绘景物为主的散文。

这类文章多是在描绘景物的同时抒发感情，或借景抒情，或寓情于景。

生动的景物描绘，不但可以交代背景，渲染气氛，而且可以烘托人物的思想感情，更好地表现主题。

4．哲理散文。

善于抓住哲理闪光的瞬间，形诸笔墨，写就内涵丰厚、耐人寻味的美文。

时常涵咏这类美文，自然能在潜移默化中受到启迪和熏陶，洗礼和升华，这种内化作用无疑是巨大的。

三、阅读方法散文阅读，重点是把握其“形”与“神”的关系。

散文阅读应注意以下几点：1．读散文要识得文眼。

凡是构思精巧、富有意境或写得含蓄的诗文，往往都有“眼”的安置。

鉴赏散文时，要全力找出能揭示全篇旨趣和有画龙点睛妙用的“文眼”，以便领会作者为文的缘由与目的。

专题四 概率与统计第1讲 概率、随机变量及其分布列(限时45分钟，满分96分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，则图形Ω面积的估计值为A.13B.12C.14D.16解析 设图形Ω 的面积为S ，∵由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，∴S 1＝3 33510 000≈13，∴S ≈13.故选A. 答案 A2．(2019·潍坊模拟)四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失．若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是A.115B.110C.13D.1130解析 A ，B 只能有一个可能为1，题目求最大，令B 为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为13.故选C.答案 C3．(2019·浙江衢州五校联考)随机变量的分布列如下：若E (X )＝13，则D (X )的值是A.19B.29C.49D.59解析 由题设可得a ＋b ＝23，b －a ＝13⇒a ＝16，b ＝12，所以由数学期望的计算公式可得 E (X 2)＝0×13＋1×23＝23，(E (X ))2＝19，所以由随机变量的方差公式可得 D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝59.故选D.答案 D4．(2019·河北省级示范校联合体联考)袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100 231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A.18B.14C.16D.524解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021，130，031，故所求概率为P ＝324＝18.故选A.答案 A5．(2019·郑州一模)魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是A.25B.35C.12D.13解析 首先结合f (－x )＋f (x )与0的关系，判断该六个函数的奇偶性，结合题意可知1，4，6为奇函数，3，5为偶函数，2为非奇非偶函数，从6张卡片抽取2张，有C 26＝15种，而任取2张卡片得到的新函数为奇函数，说明该两个函数为一奇一偶函数，故有3×2＝6种，结合古典概型计算公式，相除得25.故选A.答案 A6．(2019·辽阳期末)一批排球中正品有m 个，次品有n 个，m ＋n ＝10(m ≥n )，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X 表示抽到的次品个数．若D (X )＝21，从这批排球中随机抽取两个，则至少有一个正品的概率p ＝A.4445B.1415C.79D.1315解析 依题意可得X ～B ⎝⎛⎭⎫10，n10， 则DX ＝10×n10×⎝⎛⎭⎫1－n 10＝21， 又m ≥n ，则n ≤5，从而n ＝3， 则p ＝1－C 23C 210＝1415.故选B.答案 B7．(2019·济南期末)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为A.π6B ．1－π6C.π4D ．1－π4解析 由题意，题目符合几何概型，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，面积为12×BC ×AC ＝3，阴影部分的面积为：三角形面积－12圆面积＝3－π2，所以点落在阴影部分的概率为3－π23＝1－π6.故选B.答案 B8．(2019·贵州重点中学联考)有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)．三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示．现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A.2π－334π－23 B.23π3－3C.32π－23D.2π－332π－23解析 设圆半径为R ，如图，易得△ABC 的面积为12·32R 2＝34R 2，阴影部分面积为3·60πR 2360－3·34R 2＝2π－334R 2，勒洛三角形的面积为2π－334R 2＋34R 2＝π－32R 2，若从勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为P ＝阴影部分面积勒洛三角形面积＝2π－334R 2π－32R 2＝2π－332π－23.故选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．一个盒子装有3个红球和2个蓝球(小球除颜色外其他均相同)，从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为ξ，则ξ的方差是________．解析 由题意知ξ～B (n ，p )，其中n ＝50，p ＝C 23C 12C 35＝610＝35，∴D (ξ)＝50×35×25＝12.答案 1210．(2019·淮南二模)关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对(x ，y )，其中0<x <1，0<y <1，经统计数字x 、y 与1可以构成钝角三角形三边的实数对(x ，y )为28个，由此估计π的近似值是________(用分数表示)．解析 实数对(x ，y )落在区域⎩⎨⎧0<x <10<y <1的频率为0.28，又设A 表示“实数对(x ，y )满足⎩⎨⎧0<x <10<y <1且能与1构成钝角三角形”，则A 中对应的基本事件如图阴影部分所示：其面积为π4－12，故P (A )＝π4－12≈0.28，所以π≈7825.答案782511．(2019·长春外国语学校月考)已知直线l 过点(－1，0)，l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝3相交于A 、B 两点，则弦长|AB |≥2的概率为________．解析 显然直线l 的斜率存在， 设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入(x －1)2＋y 2＝3中得， (k 2＋1)x 2＋2(k 2－1)x ＋k 2－2＝0， ∵l 与⊙C 相交于A 、B 两点， ∴Δ＝4(k 2－1)2－4(k 2＋1)(k 2－2)>0， ∴k 2<3，∴－3<k <3，又当弦长|AB |≥2时，∵圆半径r ＝3， ∴圆心到直线的距离d ≤2，即|2k |1＋k2≤2， ∴k 2≤1，∴－1≤k ≤1.由几何概型知，事件M ：“直线l 与圆C 相交弦长|AB |≥2”的概率 P (M )＝1－（－1）3－（－3）＝33.答案3312．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72， 即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)13．(2019·湖南三湘名校二联)某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当k ≥85时，产品为一等品；当75≤k <85时，产品为二等品；当70≤k <75时，产品为三等品．现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果．(以下均视频率为概率)甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：(1)若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率； (2)若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，k ≥855t 2，75≤k <85t 2，70≤k <75，其中0<t <15，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由．解析 (1)由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以至少抽到2件三等品的概率P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫1102×910＋⎝⎛⎭⎫1103＝7250.(2)甲生产线生产的产品的利润分布列为所以E (y 甲)＝0.6t ＋2t 2,乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 E (y 乙)＝0.5t ＋2.1t 2, 因为0<t <15，所以E (y 乙)－E (y 甲)＝0.1t 2－0.1t ＝0.1t (t －1)<0，所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．14．(2019·佛山禅城区二调)研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2 000株，株长均介于185 mm ～235 mm ，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图(1)求样本平均株长x －和样本方差s 2(同一组数据用该区间的中点值代替)；(2)假设幼苗的株长X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2，试估计2 000株幼苗的株长位于区间(201，219)的株数；(3)在第(2)问的条件下，选取株长在区间(201，219)内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为34，开花后结穗的概率为23，设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的数学期望．附：83≈9；若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683； P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954；P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997解析 (1)x －＝190×0.02＋200×0.315＋210×0.35＋220×0.275＋230×0.04＝210， s 2＝202×0.02＋102×0.315＋102×0.275＋202×0.04＝83.(2)由(1)知， μ＝x －＝210，σ＝83≈9， ∴P (201<X <219)＝P (210－9<X <210＋9)＝0.683， 2 000×0.683＝1 366∴2 000株幼苗的株长位于区间(201，219)的株数大约是1 366.(3)由题意，进入育种试验阶段的幼苗数1 366，每株幼苗最终结穗的概率P ＝12，则ξ－B ⎝⎛⎭⎫1 366，12， 所以E (ξ)＝1 366×12＝683.15．(2019·河北示范高中联合体联考)某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3 200件的员工被评为“生产能手”．由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2 600件以内的，计件单价为1元；超出(0，200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200，400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资(实得计件工资＝定额计件工资＋超定额计件工资)不少于3 100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望．附：K 2＝（ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解析 (1)因为K 2的观测值k ＝100×（48×8－42×2）250×50×90×10＝4>3.841，所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关． (2)当员工每月完成合格产品的件数为3 000件时， 得计件工资为2 600×1＋200×1.2＋200×1.3 ＝3 100元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p 1＝25，女员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p 2＝12，设2名女员工中实得计件工资不少于3 100元的人数为X ，1名男员工中实得计件工资在3 100元以及以上的人数为Y ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫1，25， Z 的所有可能取值为0，1，2，3，P (Z ＝0)＝P (X ＝0，Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－25＝320， P (Z ＝1)＝P (X ＝1，Y ＝0)＋P (X ＝0，Y ＝1) ＝C 12·12·⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－25＋⎝⎛⎭⎫1－12225＝25， P (Z ＝2)＝P (X ＝2，Y ＝0)＋P (X ＝1，Y ＝1) ＝C 22⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫1－25＋C 1212⎝⎛⎭⎫1－1225＝720， P (Z ＝3)＝P (X ＝2，Y ＝1)＝⎝⎛⎭⎫122×25＝110， 所以Z 的分布列为故E (Z )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.。

专题4.1几何初步、相交线与平行线、命题知识点演练考点1：直线、线段、射线相关知识例1．（1）．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄外国语学校校考期中）下列图形和相应语言描述错误的是（）A．过一点O可以作无数条直线B．点P在直线AB外C．延长线段BA，使AC=2ABD．延长线段AB至点C，使得BC=AB（2）（2023秋·安徽芜湖·七年级统考期末）下列说法正确的是（）A．射线OP和射线PO是同一条射线B．两点之间直线最短C．将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子，其原理是“两点确定一条直线”D．线段AB就是A、B两点间的距离（3）（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）下列生活实例中，数学原理解释错误．．的是（）A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（4）（2023秋·湖南长沙·七年级湖南师大附中校考期末）2022年12月26日上午10时06分，渝厦高铁常德至益阳段开通运营。

某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德—常德汉寿—益阳南—宁乡西—长沙南，59分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。

每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（）张车票.A．10B．15C．20D．30例2．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，已知平面内有四个点A,B,C,D．根据下列语句按要求画图．(1)作线段AB；(2)作射线AD，并在线段AD的延长线上用圆规截取DE=AB；(3)作直线BC，与射线AD交于点F．观察图形发现，线段AF+BF>AB，得出这个结论的依据是：______．（温馨提醒：截取用圆规，并保留痕迹；画完图后要一一下结论．）例3．（2023秋·广东珠海·七年级统考期末）在一条水平直线上，自左向右依次有四个点A，B，C，D，AD= 16cm，BC=7cm，CD=2AB，线段AB以每秒2cm的速度水平向右运动，当点A到达点D时，线段AB停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t=0秒时，AB=___________cm，CD=___________cm；(2)当线段AB与线段CD重叠部分为2cm时，求t的值；(3)当t=5.5秒时，线段AB上是否存在点P，使得PD=11PC？若存在，求出此时PC的长，若不存在，请说明理由．知识点训练1．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）针对所给图形，下列说法正确的是（）A ．点O 在射线AB 上B ．点A 在线段OB 上C ．射线OB 和射线AB 是同一条射线D ．点B 是直线AB 的一个端点2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）下列说法中正确的是（ ）A ．若AP =PB ，则点P 是线段AB 的中点B ．射线AB 和射线BA 表示不同射线C ．连接两点的线段叫做两点间的距离D ．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形3．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）以下关于图的表述，不正确的是（ ）A ．点A 在直线BD 外B ．点D 在直线AB 上C ．射线AC 是直线AB 的一部分D ．直线AC 和直线BD 相交于点B4．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）A ．点P 在直线AB 外B ．点C 在直线AB 外 C ．点M 不经过直线ABD ．点B 经过直线AC5．（2021秋·福建厦门·七年级厦门市第五中学校考期末）根据语句“点C 不在直线AB 上，直线AB 与射线BC 交于点B ．”画出的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）往返于A 、B 两地的客车，中途停靠3个站，每两个站间的票价均不相同，需准备（）种车票．A．10B．20C．6D．127．（2023秋·天津南开·七年级南开翔宇学校校考期末）如图所示，点A、B、C在直线l上，则下列说法正确的是（）A．图中有2条线段B．图中有6条射线C．点C在直线AB的延长线上D．A、B两点之间的距离是线段AB8．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列说法：①连接两点之间线段的长度叫两点之间的距离；②∠A 的补角与∠A的余角的差一定等于直角；③从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线；④平面内三条互不重合的直线的公共点个数有0个、1个、2个或3个．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋·河南周口·七年级校考期末）平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上9条直线任两条相交，交点最多有a个，最少有b个，则a+b=（）A．36B．37C．38D．3910．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）两条不重合的直线最多有一个交点，三条不重合的直线最多有______个交点，100条不重合的直线最多有______个交点．11．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）(1)作射线AC；(2)作直线BD与射线AC相交于点O；(3)分别连接AB、AD；(4)我们容易判断出线段AB+AD与BD的大小关系是___________，理由是___________．(5)若∠BAC的补角是其余角的4倍，则∠BAC=___________12．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图，已知平面上有四个点A，B，C，D．(1)连接AB，并画出AB的中点P；(2)作射线AD；(3)作直线BC与射线AD交于点E．13．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D，按下列要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）并解答．(1)画射线AD，直线CD，连接AB；(2)在线段AD的延长线上作DE=AB；(3)在直线CD上确定一点P，使得BP+EP的值最小，并说明作图依据．14．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形ABCD的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图：(1)连接BD，作射线AC；(2)过点B画AD的垂线，垂足为E；(3)在线段BD上作一点F，使△DCF的面积为3．15．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）已知线段AB与点C的位置如图．(1)按下列要求画出图形：作射线CB，直线AC；延长AB至点E，使得AE=3AB；(2)在（1）所画图形中，若AB=2cm，点M是AE的中点，求BM的长．16．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为线段CD的中点，且AD=14厘米，BD=3厘米．(1)图中共有几条线段；(2)求AC的长．17．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A，B，C是平面上三个点，按要求画出图形，并回答问题．(1)作直线BC，射线AB，线段AC；(2)请用适当的语句表述点A与直线BC的关系：______；(3)从点A到点C的所有线中，线段AC最短，其理论依据是______；(4)若点D是平面内异于点A、B、C的点，过其中任意两点画直线，一共可以画______条．18．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，已知B，C在线段AD上，AB=CD，AD=20cm，BC=12cm．(1)图1中共有___________条线段；(2)①比较线段的长短：AC___________BD（填：“>”、“=”或“<”）；②如图2，若M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．(3)点E在直线AB上，且EA=6cm，请直接写出BE的长．19．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）A、B、C、D四个车站的位置如图所示，A、B两站之间的距离AB=a−b，a−2b−1．若A、C两站之间的距离AC= B、C两站之间的距离BC=2a−b，B、D两站之间的距离BD=7290km，求C、D两站之间的距离．20．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）按要求完成作图及作答：(1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系：；(2)如图1，画射线PM；(3)如图1，画直线QM；(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增个不同的区域．21．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）请按要求完成下列问题；(1)在图1中作线段BC；(2)在图1中作射线DA；(3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小；(4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线l1和l2相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线l3，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线l4，与直线l1、l2和l3相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点．考点2：与角有关的知识例4（1）（2023秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，下列表示角的方法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．∠AOC=∠AOB+∠BOC D．∠AOC也可用∠O来表示（2）（2023秋·重庆綦江·七年级统考期末）时钟显示为4:00时，时针与分针所夹的角是（）A．90°B．105°C．120°D．135°（3）（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）已知∠α=25°，那么∠α的补角等于（）A．65°B．75°C．145°D．155°（4）（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（）A．100°B．10°C．1°D．不能确定，视放大镜的距离而定例5.（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图为半圆形计时器，指针OM绕点O从OB开始逆时针匀速向OA 旋转，速度为10°每秒，指针ON绕点O从OA开始先顺时针匀速向OB旋转，到达OB后立即按原速度逆时针匀速向OA旋转，速度为20°每秒，两指针同时从起始位置出发，当OM到达OA时，两指针都停止旋转．设旋转时间为t秒(1)当t=3时，∠AON=______度；(2)∠BOM=______度（用含t的代数式表示）；(3)当t=______时，OM与ON首次重合；(4)求∠MON的度数（用含t的代数式表示，并写出相对应的t的取值范围）；知识点训练1．（2023秋·云南曲靖·七年级统考期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（）A．B．C ．D ．2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）已知α，β都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算16(α+β)的结果依次是26°，50°，72°，90°，其中有一名同学计算正确．这名同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）若∠A 为锐角，∠B 为直角，∠C 为钝角，则16(∠A +∠B +∠C)的值可．能．是（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°4．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）下列关于角的说法，正确的是（ ）A ．一个周角等于360°B ．锐角和钝角一定互补C ．一个角的补角一定大于这个角D ．两个锐角的和一定为钝角5．（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2023秋·河北保定·七年级校联考期末）下列四个图形中，能同时用∠α，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一个角的是（ ）A ． B．C．D．7．（2022秋·天津·七年级校考期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCC．∠AOC也可用∠O来表示D．∠β+∠AOB=∠AOC8．（2022秋·河北·七年级校联考期末）下列说法中正确的是（）A．在所有连接两点的线中，直线最短B．∠AOB与∠BAO表示的是同一个角C．同角（或等角）的余角相等D．若AB=BC，则点B是线段AC的中点9．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，则∠AOC的度数为（）．A．50°B．110°C．50°或110°D．无法确定10．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转；同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（）A．整个运动过程中，不存在∠AOB=90°的情况B．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒C．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOAD．当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t一定为40秒11．（2023秋·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：______．（结果形如6点2311分）12．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）在钟表上，当时钟显示为10:40时，时针与分针所夹锐角的大小是______．13．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）上午8点30分，钟面上时针与分针的夹角是______．14．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）计算：32°45′48″+21°25′14″=____________；27°14′24″=____________°；当时钟指向时间为15：30时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度．15．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）若∠α=38∘24′，则∠α的余角的度数为______°．16．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）一个角的余角比它的补角的14大15°，则这个角的度数是______°． 17．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）如图，OB 为∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线．(1)如果∠AOB =40°，∠DOE =30°，那么∠BOD 为多少度？(2)如果∠AOE =140°，∠COD =30°，那么∠AOB 为多少度？(3)过点O 作射线OF ，使得∠AOF 与∠BOD 互余，若∠AOE =4∠AOF ，求∠EOF 的度数．18．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC =50°，OD 平分∠AOC ，∠DOE =90°．(1)请你数一数，图中有多少个小于平角的角；(2)求出∠BOD 的度数；(3)请通过计算说明OE 是否平分∠BOC ．19．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知∠AOB=90°，∠AOC为锐角，ON平分∠AOC，射线OM 在∠AOB内部．(1)图中共有多少个小于平角的角？(2)若∠AOC=50°，∠MON=45°，求∠AOM的度数．(3)若∠AOC=x°，∠MON=45°，请通过计算判断∠BOM与∠BOC的关系．20．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．(1)图中与∠COE互补的角是______；（把符合条件的角都写出来）∠EOF，求∠AOD的度数．(2)若∠AOD=1521．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC:∠BOC= 1:2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON=90°．(1)如图1，求∠CON的度数；(2)将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；考点3：平行线与相交线例6.（1）（2023秋·湖北荆门·七年级统考期末）下列说法中，正确的个数有（）（1）若a∥b，b∥d，则a∥d；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）垂直于同一直线的两直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图，不能判定AD∥BC的条件是（）A．∠B+∠BAD=180°B．∠1=∠2C．∠D=∠5D．∠3=∠4（3）（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°．当∠MAC为______度时，AM与CB平行．例7.（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）【教材回顾】如下是华师版七年级下册教材第167页，关于同旁内角的定义．图中∠4和∠5处于直线l的同一侧，直线a、b的中间．具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．知识点训练1．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a,c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④2．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图所示，图中同旁内角的数量共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对3．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，直线a、b被直线c所截，∠1的同位角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．以上都不是4．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1和∠3是同旁内角B．∠2和∠3是内错角C．∠2和∠4是同位角D．∠3和∠5是对顶角5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是()A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b,b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a⊥c6．（2023春·七年级课时练习）同一平面内的四条直线a，b，c，d满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）A．a⊥c B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c7．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3=∠4B．∠D+∠ACD=180°C．∠D=∠DCE D．∠1=∠28．（2023春·全国·七年级专题练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该过程中∠ABC+∠BCD始终等于（）A．360°B．180°C．250°D．270°9．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线c∥d的是（）A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠1=∠4D．∠4+∠5=180°10．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．14°B．15°C．20°D．22.5°11．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）欣欣在观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=93°，∠DCE=121°，则∠E的度数是（）A．23°B．26°C．28°D．32°12．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC，若∠BOF=20°，则∠EOF 的度数为_________．13．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°．(1)写出∠DOE的所有余角________．(2)若∠AOF=70°，求∠COE的度数．14．（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD:∠BOD=2:1．(1)求∠BOE的度数；(2)求∠AOF的补角的度数．15．（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，DM∥BC，∠1=∠2．(1)求证：BD∥EF；(2)求证：∠AMD=∠AGF．16．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知AB∥DE，∠BAC=90°．(1)求证：AC⊥DE；(2)若∠C+∠D=90°，求证：AD∥BC．17．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）补全证明过程：（括号内填写理由）如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试说明BD//CE．证明：∵∠1=∠2（已知），∴∥()．∴∠D=()．又∠D=∠3，∴=()．∴BD//CE()考点4：命题有关知识例8.（1）（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）下列命题为假命题．．．的是（）A．任何一个数都有平方根B．一个数的立方根等于本身的数有−1、0和1C．有一组直角边相等的两个等腰直角三角形一定全等D．斜边对应相等的两个等腰直角三角形一定全等（2）．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先应该假设（）A．∠B≥90°B．∠B>90°C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°（3）．（2023秋·福建泉州·八年级校联考期末）对于命题“若a>0，则a>√a”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（）A．a=1B．a=2C．a=4D．a=16例9.（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，请你从下面三个条件：①CE∥AB，②∠A=∠B，③CE平分∠ACD中，选择两个作为题设，另一个作为结论，组成真命题．(1)请问可以组成哪几个真命题，请按“☆☆⇒☆”的形式一一书写出来；(2)请从（1）的真命题中，选择一个加以说明，并写出推理过程．知识点训练1．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）下列命题：①经过一点有且只有一条直线；②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；③有两边及其一角对应相等的两个三角形全等；④等腰三角形底边上的高线和中线重合．其中是真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两边长是4和9，则其周长为17或22C．三条边长之比是1:2:√5的三角形是直角三角形D．有一个内角与其相邻的外角的比为1:2的等腰三角形是等边三角形3．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（）A．互为逆命题B．互逆定理C．公理D．假命题4．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）用反证法证明“在△ABC中，∠A、∠B对边a，b，若∠A>∠B，则a>b．”第一步应假设（）A．a<b B．a=b C．a≤b D．a>b5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（）A．a，b都小于0B．a，b不都小于0C．a，b都不小于0D．a，b都大于06．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）对于命题“若a+b<0，则a<0，b<0”，下列能说明该命题是假命题的反例是（）A．a=2，b=3B．a=−2，b=3C．a=2，b=−3D．a=−2，7．（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设________；11．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）能说明命题：“若两个角α，β互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是_________．8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）探究活动（1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（）A．①B．②C．③（2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（）A．① ②B．① ③C．① ④D．② ③E．② ④F．③ ④（3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等．① 已知：如图，在四边形ABCD与四边形A′B′C′D′中，AB=A′B′，BC=B′C′，CD=C′D′，DA=D′A′，∠ABC=∠A′B′C′．求证：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是全等四边形．② 请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第① 题的题设与结论：③ 请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明）9．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如右图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD=BC：②CF=DE；③BE∥AF．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）并证明．。