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注电考试最新版教材-第32讲 数学：概率与数理统计(四)

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概率论与数理统计课件1-4

概率论与数理统计课件1-4
9 6 3 3 (答案 : p 1 9 9 106 ) 1 3
(答案 : p 3 63 )
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
解 设 x, y 分别为 甲、乙两人到 达的时刻, 则有
y 2
1 : 45



1 : 30
1 : 15
1 x 2,
1 y 2.
1
o
1 1 : 15 1 : 30 1 : 45 2

x
2 见车就乘 阴影部分面积 4 (1 4) 1 p 2 . 的概率为 ( 2 1) 4 正方形面积
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
250 2000 . 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 2000 83 由于 83 84, 得 P ( AB ) . 24 2000
放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 设 A {摸得 2 只球都是白球}, 6 基本事件总数为 , 2 4 A 所包含基本事件的个数为 , 2 4 6 2 故 P ( A) . 2 2 5
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球}

概率论与数理统计教程华东师大课件

概率论与数理统计教程华东师大课件

概率论与数理统计教程华东师大课件目录一、课程概述 (2)1. 课程简介 (3)2. 教学目标 (4)3. 课程设置 (4)二、概率论基础 (5)1. 随机事件与概率 (7)1.1 随机事件 (8)1.2 概率概念 (9)2. 随机变量与分布 (10)2.1 随机变量 (11)2.2 概率分布 (12)3. 数字特征与期望 (13)3.1 数学期望 (14)3.2 方差与标准差 (15)三、数理统计基础 (16)1. 统计量与抽样分布 (17)1.1 统计量概念 (18)1.2 抽样分布概述 (20)2. 参数估计与假设检验 (21)2.1 参数估计方法 (21)2.2 假设检验原理与应用 (23)3. 方差分析与回归分析 (24)3.1 单因素方差分析 (25)3.2 回归分析概述与应用实例 (26)四、概率论与数理统计应用实例解析 (27)1. 实际问题中概率模型构建方法论述 (28)2. 典型案例分析与解题思路分享 (30)一、课程概述概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学基础课程，它对于培养我们的科学素养、提高分析和解决问题的能力具有重要意义。

本教程主要面向华东师范大学的本科生，旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本原理和方法，培养学生运用概率论与数理统计解决实际问题的能力。

本教程共分为五部分：概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律及中心极限定理、统计推断。

在教学过程中，我们将结合典型的例子和实际问题，引导学生理解和掌握概率论与数理统计的基本知识。

第一部分概率论基础主要包括概率的基本概念、条件概率、独立性、贝叶斯公式等内容；第二部分随机变量及其分布主要介绍离散型随机变量及其分布律、连续性随机变量及其概率密度函数、期望与方差等内容；第三部分多维随机变量及其分布主要讲解多元正态分布、多元伯努利分布等内容；第四部分大数定律及中心极限定理主要讲述大数定律的基本思想、中心极限定理的应用等内容；第五部分统计推断主要涉及假设检验、置信区间、回归分析等内容。

概率论与数理统计条件概率PPT课件

概率论与数理统计条件概率PPT课件
（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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结束
§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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结束
二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)

概率论与数理统计3.4

概率论与数理统计3.4

i 0 k

e
1 2
k! i k i i!(k i)!12 k! i 0
k 1 2
k
(1 2 ) e k!
k 0,1,2,
二维连续r.v.函数的分布 问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数，
g(x,y)为已知的二元函数，
求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.
则
f ZV ( z, v) f XY [h( z, v), s( z, v)] | J |
证 FZV ( z, v) P(Z z,V v)

XY g ( x , y ) z r ( x , y )v
P( g ( X , Y ) z , r ( X , Y ) v)
f
2
1
FZ ( z ) 1
f Z ( z) 0
0, z 0 或 z 2 f Z ( z ) z, 0 z 1 2 z, 1 z 2
1
2
x
当z<0或z>2, f Z (z) = 0 当 0 ≤ z < 1,
z
3 x, 0 x 1, x z 2 x f ( x, z x ) 其他 0, z
0,
1

z 2
z=x
1
1 x
fY ( z x)dx 0
1
0 1dx,
z
z 0或z 2, 0 z 1,
z1 1dx,
1
1 z 2,
0, f Z ( z ) z, 2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2

e
z2 4

注册电气工程师 概率与数理统计公式总结

注册电气工程师 概率与数理统计公式总结
考研必备
第 1 部分
（1）随机 事件的关 系与运算 ①A 与 B 不相容：AB=Φ ③A 与 B 对立 A B ⑤ P(B∣A)=P(AB)/P(A) 求逆：P（ A ）=1-P(A) （2）运算 公式
随机事件及其概率
② A 与 B 相互对立：P(AB)=P(A)P(B) 德摩根率： A B A B ， A B A B
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
，
其
中
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
k 1k 当 n 1 时， P( X k ) p q ， k 0.1 ，这就是（0-1）分
1
考研必备
（7）伯努 利概型
我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 p q ，用 Pn(k ) 表 示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0 k n) 次的概率，
（5）全概 公式
1° B1, B 2,, Bn 两两互不相容， P( Bi ) 0(i 1,2,, n) ， 2°
A Bi
i 1
n
，
则有
P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2) P( Bn) P( A | Bn) 。

概率论与数理统计教程第四章优秀PPT

概率论与数理统计教程第四章优秀PPT

k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为

高等数学概率论与数理统计课件PPT大全

(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组

考研数学《概率统计》讲义第四讲


多维随机变量之间存在一定的关 联程度，通过相关系数进行度量。
描述多维随机变量之间相关性的 矩阵，其中元素为各分量之间的 协方差。
04
数字特征与特征函数
数学期望定义及性质
数学期望的定义
对于离散型随机变量，数学期望是所有可能 取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型 随机变量，数学期望是概率密度函数与自变 量的乘积在全体实数范围内的积分。
通过多维随机变量的联合分布，计算函数的期望和方 差。
变换后的多维随机变量分布
通过变换得到新的多维随机变量，并求其分布情况。
卷积公式
求解两个独立随机变量之和的分布情况。
独立性、相关性和协方差矩阵
01
独立性
多维随机变量中各个分量相互独 立，即一个分量的取值不影响其 他分量的取值。
相关性
02
03
协方差矩阵
考研数学《概率统计》讲义第 四讲
目
CONTENCT
录
• 概率空间与事件概率 • 一维随机变量及其分布 • 多维随机变量及其分布 • 数字特征与特征函数 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验
01
概率空间与事件概率
概率空间定义及性质
概率空间定义
由样本空间、事件域和概率测度三部分构成，用于描述随机试验 所有可能结果及其概率的数学模型。
依概率收敛和依分布收敛
依概率收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 分布在同一概率空间 上，如果对于任意正数 ε，都有 lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0 成立，则称 {Xn} 依概率收敛于 X。
依分布收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 的分布函数分别为 Fn(x) 和 F(x)，如果对于 F(x) 的每一个连续点 x，都有 lim(n→∞) Fn(x) = F(x) 成立，则称 {Xn} 依分布收敛于 X。依分布收敛是描述随机变量序列分布函数收敛到某个 特定分布的一种弱收敛形式。

概率论与数理统计课件()


随机变量的函数的期望与方差的应用：在统计推断、金融等领域中的应用
05
大数定律与中心极限定理
大数定律的定义与性质
大数定律的概念和定义
大数定律的性质和特点
大数定律在概率论与数理统计中的应用
大数定律与中心极限定理的统计中的重要定理之一，它描述了当样本数量足够大时，样本均值近似服从正态分布。
以上内容仅供参考，具体内容应根据您的需求和实际情况进行调整和完善。
统计量与分布
常见统计量：均值、方差、标准差、中位数、众数等
统计量的定义：统计量是样本数据的函数，用于描述样本数据的特征或规律
统计量的分类：描述性统计量、推论性统计量
分布的概念：分布是描述随机变量取值规律的函数，用于描述随机变量的概率分布情况
,a click to unlimited possibilities
概率论与数理统计课件
目录
01
添加目录标题
02
概率论的基本概念
03
随机变量及其分布
04
随机变量的函数及其性质
05
大数定律与中心极限定理
06
数理统计的基本概念
07
参数估计与假设检验
01
添加章节标题
02
概率论的基本概念
概率的定义与性质
07
参数估计与假设检验
参数估计的方法与原理
点估计与区间估计
最小二乘法
极大似然法
贝叶斯估计法
假设检验的原理与方法
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
假设检验的基本思想
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
假设检验的步骤
假设检验的方法
假设检验的分类 假设检验的方法

概率论与数理统计完整版课件全套ppt教学教程-最全电子讲义(最新)

点”或“6 点”3 个基本事件，即 A {2 ，4 ，6} 。
四、事件的关系与运算
在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件。概率论的重要研究课 题之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。为此，需要研究 事件间的关系与运算。
事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合之间的关系 和运算来处理。
1 事件的包含与相等
若 A B ，则称事件 B 包含事件 A ，这里指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生， 即属于 A 的样本点都属于 B ，如图1-2所示。显然，对任何事件A，必有 A 。
若 A B 且 B A ，则称事件 A 与 B 相等，记为 A B。
图1-2 A B
事件 A B {x | x A或x B}，称为事件A与事件B的和事件，即当且仅当事件 A 或 事件 B 至少有一个发生时，和事件 A B 发生。它由属于 A 或 B 的所有公共样本点构 成，如图 1-4 所示。
图 1-4 A B
4 事件的差
事件 A B {x | x A且x B}称为事件 A 与事件 B 的差事件，即当且仅当事件 A 发 生但事件 B 不发生时，积事件A B发生。它是由属于 A 但不属于 B 的样本点构成的集 合，如图1-5所示。差事件 A B 也可写作 AB 。
定义1 在相同的条件下重复进行了 n 次试验，如果事件 A 在这 n 次试验中出现
了 nA
次，则称比值
nA n
为事件 A
发生的频率，记为fn ( 源自) ，即fn( A)
nA n
显然，频率 fn ( A) 的大小表示了在 n 次试验中事件 A 发生的频繁程度。频率 大，事件 A 发生就频繁，在一次试验中 A 发生的可能性就大，也就是事件 A 发
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样本方差
样本标准差
5页
2 ．性质
三个常用的分布
6页
置信区间 本书仅讨论区间估计中最常用的一种形式 ― 置信区间。
7页
1 ．定义设未知参数为 ，求区间估计的两个端点 、 ，使其满足
其中 l – α 是置信度（或置信水平） ，常取 90 ％、 95 ％、 99 ％等。称 、 为 的置 信区间。 2 ．正态总体 N (, 2 ) 中均值 的置信区间
3页
6666666666666666666666666666666666666666666666
4页
四、数理统计的基本概念 本书仅涉及依据数据（即样本）作统计推断。 （一）总体与样本 总体是全体研究对象的某个特性值；样本是总体中部分个体的该特性值（即数据） 。 （二）统计模型（也适用于第五、六段） 常用“ ( X 1， „ ，X n）是取自总体பைடு நூலகம்X 的容量为 n 的样本”这一句话。其含义是： X 1， „ ，X n 是独立同分布的随机变量，且它们的分布都与 X 的分布相同。 当 X 服从正态分布时，称义为正态总体。 （三）样本均值与样本方差 1.定义 样本均值
52 1 2 。 1 1 a (1 a) 2a 1 ，故应选（ B ） 3 3
5．设 X 与 Y 相互独立， D ( X ) =2 , D ( y ) = 3 ，则 D ( 2X - y ）等于 ( A ) l ( B ) 5 ( C ) 7 ( D ) 11 【 解 】 D ( 2X - Y ) = 22D ( x ) + （- 1 ） 2D ( Y ) = 4 × 2 + 1 × 3 = 11 ，故应选（ D ） 。
2
×2= 8 ，故（ 2 )
4．设Φ ( 1 ) = a, X ~ N ( 2 , 9 ) ,则 P（- 1 < X < 5 ）等于 ( A ) 2a + 1 ( B) 2a – 1 ( C ) a + l ( D ) a – 1 【 解 】 μ ＝ 2，σ ＝ 3 。Φ （- l ) = l –Φ ( l )= 1 - a 。因此，P（- 1 < X < 5 ) =
6 ．正态分布 N（ , 2 ） ，参数为 , 2 ， - ＜x＜十 ， 2 ＞ 0 。它的概率密度函数 为
且 E （X）＝ ， D（X）＝ 2 。
（八）正态分布的概率计算 1 ．当 X : N （ 0 , 1 ）时， P （ a < X b）＝ （b）- （a） ,其中 （ x ）是 标准正态分布的分布函数，它的函数值可以查表得到。 （ x )满足
【解】 ( l ) P ( X
1 ) = 0 . 1 + 0 . 2 + 0 . 3 = 0 . 6 。 ( 2 ) f ( x ) = x2 + l , f （－l） = f（l）= 2 , f (0 ) = 1 , f ( 4 ) = 17 。因此， Y = X2 + 1 的概率分布表为
( 3 ) E ( X ) ＝- l×0 .1 + 0×0. 2 + l×0 . 3 + 4×0 . 4 = 1 . 8 。由于 E（X2）=（-1）
2 ．当 X : N （ , 2 )时， X 的分布函数
1页
例题 1．设离散型随机变量 X 的概率分布表为
试求： ( 1 ) P (
x
＜ ） ; (2) Y = X2 + l 的概率分布表； ( 3 ) E（X）与 D ( X ) ; ＜ ）= P（- ＜ X ＜ ）= P ( X ＝－1 ) ＋P（X=0）+ P ( X =
2
×0.l + 02×0.2 + 12×0.3 + 42×0.4 = 6.8 。因此 D(X) = 6.8－1.82= 3.56 。
5555555555555555555555555555555555555555555555555 2．设连续型随机变量 x 的概率密度函数为
试求： ( 1 ）P（
x
< 0 . 5 ) ; ( 2 ) F ( 0 . 5 )
2 ( 1 )当 2 0 已知时，在置信度 1 – α 下， 的置信区间是 x . 0 , x . 0 , n n
其中λ 满足 .
8页
( 3) E ( X ) 与 D（X） 。
3．设 x 服从参数为λ ＝ 2 的泊松分布，则 （1）E （3x－2）等于
2页
( A ) 9 ( B ) 1 ( C ) 7 ( D ) 4 ( 2 ) D （－2X + l ）等于 ( A ) 3 ( B ) 8 ( C ) 2 ( D ) 4 【 解 】 已知 E ( x ) = D ( X ) = 2 。因此， E ( 3x - 2 ) = 3E ( X ）- 2 = 3×2 – 2=4 故（ 1 ）选（ D ） 。又 D （- 2x + 1 ) = （- 2 ) 2D ( x ) = （- 2 ) 选（ B ） 。