第4章 线性代数方程组的解法
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第4章线性代数方程组的迭代解法
其中
0 a2 1 B (I D1 A) a 22 a n1 an n
a1n a1 2 a1 1 a1 1 a2n 0 a2 2 an2 0 an n
在例4.2中,由迭代公式写出雅可比迭代矩阵为
8x1 3x2 2x3 20 4x1 11x2 x3 33 6x 3x 12x 36 2 3 1
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )T T 取初始向量 x ( x , x , x ) ( 0 , 0 , 0 ) 1 2 3
进行迭代, 可以逐步得出一个近似解的序列：
x Gx d( k 0 , 1 , )
( k )
( k 1 )
Gx d 中当 k x x ,则 x 时，
(k) *
* *
, 故 x * 是方程组 Ax b 的解。
对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。
并非全部收敛
例4.1
用迭代法求解线性方程组
2x1 x2 3 2x1 5x2 3
3 ( k ) 3 1 ( k ) 25 ( k 1) 0 x 2 x3 x1 8 84 82 4 1 4 (k ) 1 (k ) (k 1 1 ) BI D A 0 x1 x3 3 x2 11 11 11 11 6 1 ( k )3 1 ( k 1) (k ) 0 x x x 3 1 2 3 2 4 12 12
2 x 4 x 3 计算得
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) x 3 x 3 x 9 x 15 x 33 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) x 3 , x 3 , x 9 , x 15 , x 33 , 2 2 2 2 2
线性代数第四章线性方程组课件
方程组 AX 0 的两个基础解系， 则由这两个基础解
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
第四章 线性方程组
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
线性代数PPT课件第四章第四节 线性方程组解的结构.ppt
0 1 0
1 0 1
1 1 1
1
0 1
行
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1
0 0
得 x1 1 0
x2 x3 x4
x
3
1
1 0
x
4
1 0 1
.
基础解系为
1 0
1 0
1
,
1 0 1
.
令 x3c1,x4c2,(c1,c2为任意常数),
得一般解为
c1r 1
c1r 2
c1n
c2r1
c2r2
c2n
1
crr 1 1
, 2
crr 2 0
, , nr
crn
0
.
0 1
0
0
0
1
1,2,,nr 为 AX0的基础解系.
任意两个基础解系等价, 故有相同个数解向量, 为 nr个.
第四章
第四节 线性方程组解的结构
问题: 当解有无穷多时, 全部解是否可由有 限多解表示出来 ?
一. 齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a2 1x1
a22x2 a2nxn
0
(1)
am1x1 am2x2 amnxn 0
(1) 可用矩阵表示 AX0
a11 Aa21
的通解 (用基础解系与特解表示) 解
A ~1 3
1 1
2 2
1 7
1 2 3 2
1 5 103 1 6
1 0
0 1
0 2
2 1
1 0
1 1
0 0 0 0 0 0
同解方程组为
xx12
线性代数方程组的解法
说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
2. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个
列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
1
0
b11
b1,nr
B
0
0
1 0
br1 0
br,nr
,
0
0
0
0
0
与 B 对应, 即有方程组
x1
b11xr1 b1,nr xn
,
(3)
例 12 求齐次线性方程组
2xx11x52x2
x3 x4 3x3
2
0, x4
0,
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A 作初等行变换, 变为行最
简形矩阵, 有
1
1
1 1
行变换
1
0
2 7 5
3
7 4
例 13 设 Am×nBn×l = O，证明
xr
br1xr1 br,nr xn
,
把 xr+1 , ···, xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ···, cn-r ，可得方程组 (1) 的通解
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0 .
把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,
如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , ···, t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关
组 S0 线性表示；另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合
线性方程组的解法知识点总结
线性方程组的解法知识点总结在数学中，线性方程组是研究线性关系的重要工具。
解决线性方程组的问题有助于我们理解和应用线性代数的基本知识。
本文将总结线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵的逆和克拉默法则。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常见方法。
它通过逐步消去未知数，将方程组化简为上三角形式，并利用回代求解未知数的值。
步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中矩阵的最后一列是常数列。
2. 选取一个基准元素，通常选择矩阵的左上角元素或者第一列的首个非零元素。
3. 通过初等行变换，将基准元素下方的元素转化为零，从而将方程组化为上三角形式。
4. 从最后一行开始，通过回代求解未知数的值。
高斯消元法的优点是能够很好地处理大规模的线性方程组，但其缺点是计算量较大，并且可能需要进行主元交换。
二、矩阵的逆矩阵的逆也是解决线性方程组的重要方法。
对于一个非奇异方阵（可逆矩阵），我们可以通过求解逆矩阵来得到线性方程组的解。
步骤：1. 将线性方程组写成矩阵形式，其中系数矩阵为一个非奇异方阵。
2. 判断系数矩阵是否可逆。
如果可逆，则计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将方程组的常数列构成一个列矩阵，记为向量b。
4. 计算未知数向量x的值，即x = A^(-1) * b，其中A^(-1)为系数矩阵的逆矩阵。
矩阵的逆方法适用于已知系数矩阵可逆的情况，且计算矩阵的逆矩阵需要考虑到矩阵的性质和运算法则。
三、克拉默法则克拉默法则是一种解决线性方程组的特殊方法，适用于方程组的系数矩阵为方阵并且可逆的情况。
它利用行列式的性质来求解未知数的值。
步骤：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并记为Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
2. 求解系数矩阵的行列式，记为det(A)。
3. 分别将系数矩阵每一列替换为常数向量b，得到新的矩阵A1到An。
4. 分别求解A1到An的行列式，得到d1到dn。
5. 根据克拉默法则，未知数向量x的值为x = (d1/det(A),d2/det(A), ..., dn/det(A))。
线性代数 第四章 (1-2节)
第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。
线性代数线性方程组求解
线性代数线性方程组求解线性代数中，线性方程组求解是一个重要的问题。
在实际应用中，求解线性方程组是解决很多问题的基础。
本文将介绍线性代数中线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它基于矩阵变换的原理，通过对增广矩阵进行一系列的变换，将线性方程组转化为简化的阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，例如：[[a11, a12, a13, ..., a1n, b1],[a21, a22, a23, ..., a2n, b2],...[an1, an2, an3, ..., ann, bn]]其中，a11到ann是系数矩阵的元素，b1到bn是常数矩阵的元素。
然后，通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为阶梯形矩阵。
具体的行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。
接着，从底部开始，依次回代求解未知数的值。
由于阶梯形矩阵的特点，可以从最后一行开始，将已求解的未知数代入到上一行的方程中，以此类推，最终求解出所有未知数的值。
2. 矩阵的逆和行列式除了高斯消元法外，还可以通过矩阵的逆和行列式来求解线性方程组。
当系数矩阵存在逆矩阵时，可以直接通过逆矩阵求解线性方程组。
假设系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B，那么可以使用以下公式求解线性方程组：X = A^(-1) * B其中，A^(-1)表示A的逆矩阵。
当系数矩阵不可逆时，可以通过行列式来判断是否有唯一解。
如果系数矩阵的行列式为非零，说明线性方程组存在唯一解；如果行列式为零，说明线性方程组没有解或者有无穷多个解。
3. MATLAB求解线性方程组除了手动求解线性方程组外，还可以借助计算工具如MATLAB进行求解。
MATLAB提供了函数例如“linsolve”、“inv”等，可以方便地求解线性方程组。
使用MATLAB求解线性方程组通常先定义系数矩阵A和常数向量B，然后通过相关函数求解。
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
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定理1 若方程组AX=B是严格对角占优， 即
aii aij
j 1 j i n
(i 1,2,..., n)
则高斯消元法的主元 aii 0 (i 1,2,..., n)
4.1 消元法
列选主元素消元：在每一列中先选取按模最 大的元素，将其调到主干方程位置再做消元， 调换方程组的次序是为了使运算中做分母量
经过2步消元后，系数矩阵和右端的向量变为：
(0 a11 ) 0 0 0 (0 a12 ) (1) 22 0 0 a1(3 ) a1(n ) (1) (1) a23 a2n ( 2) ( 2) a33 a3n ( 2) ( 2) an3 ann (0) b1 (1) b 2 b (2) 3 (2) b n
经过1步消元后，系数矩阵和右端的向量变为：
(0 a11 ) 0 0
a
(0) 12 (1) 22
a
(1 an2)
a (1) a2n (1 ann)
(0) 1n
(0) b1 (1) b 2 b (1) n
a
（i, j k 1,..., n) （i k 1,..., n)
( b i( k ) b ik (1) aikk 1)
b (kk 1) (k akk 1)
( ( aijk 1) aijk ) , b i( k 1) b i( k )（i, j k 1,..., n)
A (a ij ) nn (a (0) ) nn ij 右端向量 B [b1 ,..., b n ]T [b (0) ,..., b (0) ]T 1 n
第1步的任务是将系数矩阵第1列主对角线下的 元素消为0, 即
(0) a i1 0 (i 2,..., n) (0) (0) 为此，需要将第 行及右端项除以a11 、乘以 - a i1 , 1 (0) 再加到第i行。假定a11 0, 相应的数学表达式为：
第k步的任务是将系数矩阵第k列主对角线下的元 素消为0, 即
(k a ik -1) 0 (i k 1,..., n) (k 为此，需要将第k行及右端项除以a (k -1)、乘以 - a ik -1) , kk
再加到第i行。假定a (k -1) 0, 相应的数学表达式为： kk
( ( ( aijk ) aijk 1) aikk 1) ( akjk 1) ( k 1) kk
第4章 线性代数方程组的解法
线性方程组的解法分为两类：直接法和迭代 法。 所谓直接法就是经有限次的运算即可求得
（如果没有舍入误差）方程组精确解的方法。
迭代法将求解方程组的问题转化为构造一个
无限序列，其极限就是方程组的解。
4.1 高斯消元法
n阶方程组的基本形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
经过k步消元后，系数矩阵和右端的向量变为：
(0 a11 ) 0 0 0 0 (0 0 0 a12 ) a1(3 ) a1(n ) (1) (1) (1) a22 a23 a2n (k (k 0 akk-1) akn-1) (k) 0 0 ak 1 n (k) 0 0 ann (0) b1 (1) b 2 b (k -1) k (k) b k 1 b (k) n
(3)b i(k) b i(k -1) - lb (k -1) k
代回元方程组的过程，由第i=n,n-1,…,1个方程依次求出：
xi (bi(i 1)
j i 1
n
( ( aiji 1) x j ) / aiii 1)
高斯消元算法如下:
input n,aij, bi 消元过程： for k=1 to n-1 for i=k+1 to n
next I Output bi(i=1,2, …,n)
4.1 消元法
Gauss-Jordan消元法： Gauss-Jordan消元法中，消去 的不仅仅是下方的元素，同时也消去上方的元素，将 系数矩阵化为对角矩阵。
再进行求解，设 aii 0，对每一个方程 xi
bi
aii 。
此法省去了回代过程，并且可应用于矩阵求逆
1 x 1 (12 - 2 2 1) 3 3
x1 3 x2 1 x 2 3
从这一例题的计算过程我们可以看出：一 个n元线性方程组的消元过程需要n-1步来 完成。每一步都是把这一列主对角线下的 元素消为0。
为了符号描述的方便，我们用上标来表示 经过了几步消元。因此，原始系数矩阵
代回方程组，得 到方程组解
x1 3 x2 1 x 2 3
初等变换消元，回代的过程
3x 1 - x 2 2x 3 12 x1 2x 2 3x 3 11 2x - 2x - x 2 2 3 1 第一步 : 3x 1 - x 2 2x 3 12 1 (2) - (1) 3 2 (3) - (1) 3 7 7 x 2 x3 7 3 3 4 7 x2 x3 6 3 3 (1) (4) (5) (1) (2) (3)
(1) (4) (6)
初等变换消元，回代的过程
第二步 : 3x 1 - x 2 2x 3 12 7 7 x2 x3 7 3 3 4 (5) - (4) 7 回代 : (6) 代入 (4) (6) (7) 代入 (1) x3 2 x3 2 14 3 x 2 (7 - ) 1 3 7 (1) (4) (6) (6) (7)
消元结素，将结果代回元方程组，由第i=n,n1,…,1个方程依次求出：
xi (b
( i 1) i
j i 1
a
n
( i 1) ij
xj ) / a
( i 1) ii
下面将上述分析过程归纳如下。这里我们假定
(i (i a ii -1) 0(i 12,..., n), 称a ii -1)为主元。
a
(1) ij
a
(0) ij
a
(0) i1
a1( 0 ) j a
(0) 11 ( b10 ) (0 a11 )
（i, j 2,..., n) （i 2,...,( aij0 ) aij1) , b i( 0 ) b i(1)（i, j 2,..., n)
经过n-1步消元后，系数矩阵和右端的向量变为：
(0 a11 ) 0 0 0 0 (0 0 0 a12 ) a1(3 ) a1(n ) (1) (1) (1) a22 a23 a2n ( k -1) ( k -1) 0 akk akn (k) 0 0 ak 1 n (n 0 0 ann 1) (0) b1 (1) b 2 (k -1) b k (k) b k 1 b (n -1) n
Gauss-Jordan元算法如下: input n,aij, bi 消元过程： for k=1 to n for i=1 to n if i<>k then
for I=1 to n
a ik l a kk
next j
xi
bi
for j=k+1 to n
aii
aij lakj aij
Output xi next I
3x 1 - x 2 2x 3 12 x1 2x 2 3x 3 11 2x - 2x - x 2 2 3 1
解： 经初等变换消元后，等到如下同解方程组
3x 1 - x 2 2x 3 12 7 7 2x 2 x 3 7 3 3 x3 2
消元过程如下： k 1,2,..., n - 1 i k 1, k 2,..., n 执行如下算法
(k a ik -1) (1) l (k -1) ; a kk (k) (k (2) a ij a ij -1) - la (k -1) (j k 1,..., n) kj
除了系数矩阵的第1行和右端的向量的第1个元 素外，其他元素均发生了变化。因此，元素上 表变为（1）。
第2步的任务是将系数矩阵第2列主对角线下的 元素消为0, 即
(1) a i2 0 (i 3,..., n) (1) 为此，需要将第2行及右端项除以a (1)、乘以 - a i2 , 22
再加到第i行。假定a (1) 0, 相应的数学表达式为： 22
a
0 0
除了系数矩阵的前两行和右端的向量的前两个 元素外，其他元素又发生了变化。因此，元素 上表变为（2）。
依此类推，经过k-1步消元后，系数矩阵和右端 的向量变为：
(0 a11 ) 0 0 0 0 (0 0 0 a12 ) a1(3 ) a1(n ) (1) (1) (1) a22 a23 a2n (k (k 0 akk-1) akn-1) ( k -1) ( k -1) 0 ak 1 k ak 1 n ( k -1) ( k -1) 0 ank ann (0) b1 (1) b 2 b (k -1) k (k -1) b k 1 b (k -1) n
a
( 2) ij
a a
(1) ij