第八章轴向拉伸与压缩
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轴向拉伸和压缩
六、强度计算
1.极限应力和许用应力
工作应力 FN
A
极限应力
塑性材料
u
（S
）
p 0.2
脆性材料
u
（ bt
）
bc
u n —安全因数 — 许用应力
n
塑性材料的许用应力 脆性材料的许用应力
s
ns
bt
nb
p0.2
ns
bc
nb
轴向拉伸和压缩
2.强度计算
max
FN A
轴向拉伸和压缩
二、杆的内力计算
1.内力的概念
构件所承受的载荷及约束反力统称为外力。构件在外力作用下发生变形，产生构
件内部各部分之间的相互作用力，这种作用力称为内力。
2.截面法
（1）截开 （2）代替 （3）平衡
F5
F1
F2
F5
F1
F2
m F4
m
F3
F4
F3
轴向拉伸和压缩
3.轴力
轴向拉伸或压缩时杆横截面上 F
的内力与杆轴线重合，因此 称为轴力，
F
m F
m
FN
FN
F
Fx 0
FN F 0 FN F
轴向拉伸和压缩
4.轴力图
A
为了表明横截面上的轴力
沿轴线变化的情况，可 F1
按选定的比例尺，以与
杆件轴线平行的坐标轴 表示各横截面的位置，
F1
以垂直于该坐标轴的方 向表示相应的内力值，
F1
这样做出的图形称为轴
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核： 2、设计截面： 3、确定许可载荷：
max
FN A
轴向拉伸与压缩的变形概念
轴向拉伸与压缩的变形概念轴向拉伸与压缩是材料在受到外力作用下发生的一种变形形式。
这两种变形形式本质上都是由于材料内部的原子或分子受到外力的影响而改变了其平衡位置从而引起的。
轴向拉伸与压缩的变形概念可以通过弹簧的拉伸与压缩来加以理解。
首先我们来看轴向拉伸的变形。
当作用在弹簧两端的力朝相反方向拉伸时，弹簧会发生轴向拉伸的变形。
这是因为受到拉力的作用，弹簧内部原子或分子之间的间距增大，原本处于平衡位置的原子或分子会发生位移，使得整个弹簧长度增加。
这种拉力作用下的变形被称为轴向拉伸变形。
接下来我们来看轴向压缩的变形。
当作用在弹簧两端的力朝相同方向压缩时，弹簧会发生轴向压缩的变形。
这是因为受到压力的作用，弹簧内部原子或分子之间的间距减小，原本处于平衡位置的原子或分子会发生位移，使得整个弹簧长度减小。
这种压力作用下的变形被称为轴向压缩变形。
轴向拉伸与压缩的变形概念实际上可以通过杨氏模量来更加详细地描述。
杨氏模量是一个材料的机械特性参数，它描述了材料在轴向拉伸和压缩变形时的抵抗能力。
杨氏模量越大，材料的抵抗能力越强，抗拉强度也就越大。
相反地，杨氏模量越小，材料的抗拉强度越低。
在材料实际应用中，轴向拉伸与压缩的变形是非常常见的。
比如在建筑、桥梁、汽车、飞机等工程领域中，钢材往往被用于受力构件中，它能够在受到拉力或压力时保持较好的稳定性。
而在金属加工、塑料成型等制造领域中，轴向拉伸与压缩的变形则常常是一种设计和生产工艺。
例如在金属加工中，通过轴向拉伸可以制造出细丝，而通过轴向压缩则可以制造出坯料。
总结起来，轴向拉伸与压缩是材料在受到外力作用下发生的一种变形形式。
轴向拉伸是指材料的长度增加，原子或分子之间的间距变大；轴向压缩是指材料的长度减小，原子或分子之间的间距变小。
这两种变形形式与杨氏模量密切相关，它描述了材料在受力时的抵抗能力。
在工程和制造领域中，轴向拉伸与压缩的变形是非常常见的，它们对于材料的选择、设计和生产工艺具有重要意义。
第八章 轴向拉伸与压缩
练习：阶梯杆AD受三个集中力F作用，F=30kN，AB、BC、 CD段的横截面面积分别为10cm2，20cm2，30cm2，试画出阶梯 杆的轴力图，并计算三段杆的横截面上的应力。
A F F
B
C
D
F
19
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
一、拉伸试验与应力—应变图 实验条件： 常温、静载下（缓慢平稳的加载）试验 标准试件 标距尺寸：l=10d 或 l=5d
解：1、分段计算轴力 AB段 Fx 0
1 F2
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
BC段 Fx 0 FN2 F2 F1 0
F1
FN2 F1 F2 10kN
F4
25
FN(kN) 10 10
CD段 Fx 0 F4 FN3 0 FN3 F4 25kN 2、绘制轴力图
20
三种材料的共同特点： 断裂时均有较大的残余变形，均属塑 性材料
o
0.2%
27
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁拉伸时的力学性能 对于脆性材料(铸铁)，拉伸时的应 力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和 颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率 约为 0.5%。为典型的脆性材料。
b
o
b—强度极限，是衡量脆性材料(铸铁)
屈服：应力基本不变，而变形显著增长的现象
s —屈服极限或屈服应力，屈服段内最低应力值
F F 滑移线：材料屈服时试件表面出 现的线纹
23
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
III、硬化阶段（恢复抵抗变形的 能力） 应变硬化：经过屈服滑移后， 材料重新呈现抵抗变形的能力 b —强度极限，硬化阶段内 e 最高应力值，也是材料所 能承受的最大应力
A F F
B
C
D
F
19
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
一、拉伸试验与应力—应变图 实验条件： 常温、静载下（缓慢平稳的加载）试验 标准试件 标距尺寸：l=10d 或 l=5d
解：1、分段计算轴力 AB段 Fx 0
1 F2
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
BC段 Fx 0 FN2 F2 F1 0
F1
FN2 F1 F2 10kN
F4
25
FN(kN) 10 10
CD段 Fx 0 F4 FN3 0 FN3 F4 25kN 2、绘制轴力图
20
三种材料的共同特点： 断裂时均有较大的残余变形，均属塑 性材料
o
0.2%
27
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁拉伸时的力学性能 对于脆性材料(铸铁)，拉伸时的应 力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和 颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率 约为 0.5%。为典型的脆性材料。
b
o
b—强度极限，是衡量脆性材料(铸铁)
屈服：应力基本不变，而变形显著增长的现象
s —屈服极限或屈服应力，屈服段内最低应力值
F F 滑移线：材料屈服时试件表面出 现的线纹
23
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
III、硬化阶段（恢复抵抗变形的 能力） 应变硬化：经过屈服滑移后， 材料重新呈现抵抗变形的能力 b —强度极限，硬化阶段内 e 最高应力值，也是材料所 能承受的最大应力
轴向拉伸与压缩PPT课件
)
三. 圣维南（Saint-Venant）原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 应力分布示意图：
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)
例1 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大切应力， 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和切应力。
1 kL2 2
2
§8–3 拉压杆的应力与圣维南原理
一、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
P 受载后
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
s FN(x)
s FN (x)
3、轴力图—— FN (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值 FN
及其所在横截面的位置，
P
即确定危险截面位置，为
+
强度计算提供依据。
FN>0 FN<0
x
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
FN4= P
轴力图如右图 FN
2P + –
3P
BC
PB FN3
PC C
PC FN4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
第八章强度设计
对于复杂应力状态下构件进行强度 计算的步骤
1、从构件危险点处取单元体，求出
1, 2 , 3
2、选用合适的强度理论，计算相当应力
3、将相当应力与许用应力进行比较，得校核 结果
几种常用的强度 设计准则
例 题4
已知 ： 铸铁构件上 危险点的应力 状态。铸铁拉 伸许用应力
[] =30MPa。 试校核该点的强度。
要求分别不超过材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。
σ t max [σ t]
σ cmax σ c
例3：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa， 许用压应力[σc ]=60MPa, Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
第八章 强度设计
第1节 轴向拉伸和压缩时的强度计算
1 安全系数和许用应力 将构件的工作应力限制在极限应力的范围内还是不够的， 因为：
（1）主观设定的条件与客观实际之间还存在差距。 （2）构件需有必要的强度储备。 将材料的破坏应力打一个折扣，即除以一个大于1的系数n 后，作为构件应力所不允许超过的数值。称为许用应力。 以 [] 表示，这个系数n称为安全系数。
,
u
u
E
b
E
• 由此导出失效条件的应力表达式为：
( )
1
2
3
b
[ ] b
n
• 第二强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ]
煤、石料等材料在轴向压缩试验时，如端部 无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂， 这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第 二强度理论的结果相近。
材料力学轴向拉伸和压缩
F
F
在两端施加一对轴向拉力F。
2.3.2 横截面上的应力
观察现象
F
F
F
F
所有的纵向线伸长都相等, 而横向线保持为直线且与纵 向线垂直。
2.3.2 横截面上的应力
结论
F
F
F
F
(1)各纤维的伸长相同, 所以它们所受的力也相同。
(2)平面假设:变形前原为平面的横截面, 变形后仍保 持为平面且仍垂直于轴线。
2.3.2 横截面上的应力
当等直杆受几个轴向外力作用时, 由轴力图求出最大轴 力FN,max, 进一步可求得杆内的最大正应力为
max
FN,max A
最大轴力所在的截面称为危险截面, 危险截面上的正应 力称为最大工作应力。
例: 图示阶梯形圆截面杆, 同时承受轴向载荷F1与F2作用。试计 算杆的轴力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN杆 件AB段与BC段的直径分别为d1=20 mm与d2=30 mm。
对于均匀连续的可变形固体, 物体内部相邻部分之间相 互作用的内力实际上是一个连续分布的内力系, 而将分 布内力系的合成(力或力偶), 简称为内力。
内力是指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间 分布内力系的合成。
显示拉（压）杆横截面上的内力, 沿m-m假想地把杆件 分成两部分,杆件左右两段在m-m上相互作用的内力是 一个分布力系, 其合力为FN。
FB FN3
轴力图如右图
C
FC C
FC FN4
FN
5F
2F
D
FD D
FD D
FD
F
x
3F
2.3 拉(压)杆内的应力
2.3.1 应力的概念 杆件截面上的分布内力集度称为应力。
第8章 轴向拉伸与压缩PPT课件
§8－4 材料在拉伸与压缩时的力学性能 力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。
一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）； 标准试件。
d
h
Hale Waihona Puke 2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
L PL EA
变形前
ab cd
P 受载后
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
s FN(x)
s FN (x)
A
轴力引起的正应力 —— s ： 在横截面上均布。
正应力与轴力有相同的正负号，即拉应力为正，压应力为负。
或:s
a a
s 0
2
s 0
2
(1cos2a sin2a
)
三. 圣维南（Saint-Venant）原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 应力分布示意图：
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)
例1 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大切应力， 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和切应力。
第八章 轴向拉伸与压缩
§8–1 引言 §8–2 轴力及轴力图 §8–3 拉压杆的应力与圣维南原理 §8–4 材料在拉伸与压缩时的力学性能 §8–5 集中应力概念 §8–6 失效、许用应力与强度条件 §8–7 胡克定律与拉压杆的变形 §8–8 简单拉压静不定问题 §8–9 连接部分的强度计算
工程力学 单辉祖 第8章 轴向拉伸与压缩
三 脆 性 材 料 （ 铸 铁 ） 的 压 缩
bt
o
脆性材料的抗拉与抗压 性质不完全相同 压缩时的强度极限远大 于拉伸时的强度极限
bc bt
bc
目录
§8.4.2 材料在压缩时的力学性能
目录
§8.5 应力集中的概念
常见的油孔、沟槽 等均有构件尺寸突变， 突变处将产生应力集中 现象。即
目录
§8.6 失效、许用应力和强度条件
二 、强度条件
max
FN A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 1、强度校核： 2、设计截面：
FN max A FN A
3、确定许可载荷：
FN A
目录
§8.6 失效、许用应力和强度条件
例题8.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F
极限应力
塑性材料 u （ p0.2） S
脆性材料 u （ bc） bt
u
n
n —安全因数
s
ns
—许用应力
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
目录
§8.3.1 拉压杆的应力
目录
§8.3.1 拉压杆的应力
例题8.2
图示结构，试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 1 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。试求各杆件的 45° B 所受的应力。 解：1、计算各杆件的轴力。 C 2 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） F FN 1 y 用截面法取节点B为研究对象 Fx 0 FN1 cos45 FN 2 0 B x FN 2 45° Fy 0 FN1 sin 45 F 0
《轴向拉伸与压缩》课件
轴向拉伸的应用范围
建筑工程
轴向拉伸在钢筋混凝土结构中的应用，增加结构的承载能力。
材料制备
轴向拉伸用于制备高强度材料、纤维材料、复合材料等。
模具设计
轴向拉伸在模具设计中的应用，增强产品的形状和结构。
轴向拉伸的原理与方法
1
应力-应变关系
介绍轴向拉伸应力和应变之间的关系。
2
材料性能分析
通过实验和测试，评估材料的拉伸性能和变形行为。念 轴向拉伸的应用范围 轴向拉伸的原理与方法 轴向压缩的概念 轴向压缩的应用范围 轴向压缩的原理与方法
背景介绍
轴向拉伸和压缩是一种重要的力学变形方式，在工程应用中起着至关重要的作用。本节将介绍轴向拉伸 和压缩的背景和意义。
轴向拉伸的概念
轴向拉伸是指在材料中施加一个沿着轴向方向的拉力，使材料沿轴向伸长的 力学变形方式。
3
工程应用案例
展示轴向拉伸在工程实践中的应用案例。
轴向压缩的概念
轴向压缩是指沿着轴向方向对材料施加的压缩力，使材料沿轴向缩短的力学 变形方式。
轴向压缩的应用范围
桥梁建设
砖瓦制造
汽车制造
轴向压缩在桥梁建设中的应用， 提升桥梁的稳定性和承载能力。
轴向压缩用于砖瓦制造过程中， 提高瓦片的密度和强度。
汽车制造中的轴向压缩应用， 改善车身结构和安全性能。
轴向压缩的原理与方法
1 应变率分析
2 压缩强度测试
分析材料在轴向压缩中 的变形速率和应变过程。
通过实验和测试，评估 材料在轴向压缩条件下 的强度和稳定性。
3 工程实践案例
展示轴向压缩在工程实 践中的应用案例和成果。
第八章 轴向拉压杆的强度计算
F
试验现象（矩形截面试件）：
b' b
d d'
σ
} FN
周线：平移，形状不变，保持平行；
纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 F 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压）
F
杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
a' a
c c'
F
b' b
d d'
σ
} FN
平面假设： 受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两
平面相对位移了一段距离。
假想杆件是由若干与轴线平行的纵向纤维组成的，任意两个
横截面之间所有纵向纤维的伸长均相同；又因为材料是均匀
的，各纤维的性质相同，因此其受力也一样，即轴力在横截
面上是均匀分布的。
a' a
c c'
F
F
轴向拉压等截面直杆，
σ σmax
板条受拉时，圆孔直径
所在横截面上的应力分
布由试验或弹性力学结
果可绘出，如图（b）
所示，其特点是：
在小孔附近的局部区
域内，应力急剧增大，
但在稍远处，应力迅速
F
降低而趋于均匀。
(a)
(b)
这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区 域的应力急剧增大的现象称为应力集中。
设产生应力集中现象的截面上最大应力为σmax，同一 截面视作均匀分布按净面
d2
100103 N
1 302 mm2
141.5MPa
44
F NAB F NBC 30
BC
FNBC a2
86.6103 N 1002 mm2
试验现象（矩形截面试件）：
b' b
d d'
σ
} FN
周线：平移，形状不变，保持平行；
纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 F 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压）
F
杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
a' a
c c'
F
b' b
d d'
σ
} FN
平面假设： 受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两
平面相对位移了一段距离。
假想杆件是由若干与轴线平行的纵向纤维组成的，任意两个
横截面之间所有纵向纤维的伸长均相同；又因为材料是均匀
的，各纤维的性质相同，因此其受力也一样，即轴力在横截
面上是均匀分布的。
a' a
c c'
F
F
轴向拉压等截面直杆，
σ σmax
板条受拉时，圆孔直径
所在横截面上的应力分
布由试验或弹性力学结
果可绘出，如图（b）
所示，其特点是：
在小孔附近的局部区
域内，应力急剧增大，
但在稍远处，应力迅速
F
降低而趋于均匀。
(a)
(b)
这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区 域的应力急剧增大的现象称为应力集中。
设产生应力集中现象的截面上最大应力为σmax，同一 截面视作均匀分布按净面
d2
100103 N
1 302 mm2
141.5MPa
44
F NAB F NBC 30
BC
FNBC a2
86.6103 N 1002 mm2
工程力学(单辉祖)第二篇第8章_轴向拉伸与压缩
轴力图
FN1 F FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN
表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。
表示轴力沿杆轴变化情况的图线 （即 FN-x 图 ）, 称为轴力图
例题
例1：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力
❖ 解：
1
FN1
1 2
FN2
2 3
FN3 3
二、轴力图
FN
以轴力 FN 为纵坐标，截面位置为横坐标，杆件沿轴线方向轴 力的变化曲线
max
[
]
FN,max [ ]
A
变截面变轴力拉压杆 等截面拉压杆
常见强度问题类型
校核强度 已知杆外力、A与[]，检查杆能否安全工作
截面设计 已知杆外力与[]，确定杆所需横截面面积
A
FN,max
[ ]
确定承载能力 已知杆A与[]，确定杆能承受的FN,max
[FN] A[ ]
49
例题
[例 8-4] 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力[] =120MPa， 夹角 = 20°。试确定斜杆的直径 d。
41
应力集中与应力集中因数 应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
42
应力集中因数
K max n
max－最大局部应力 n －名义应力（不考虑应力
集中条件下求得的应力）
43
n
F (bd
)
－板厚
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 max＝b 时，构件断裂，用脆性材料
l11.3 A 或 l5.65 A
GB/T 228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》
拉伸试验 试验装置
轴向拉伸与压缩的名词解释
轴向拉伸与压缩的名词解释引言：轴向拉伸与压缩是物理学领域中常见的概念，用于描述物体在力的作用下的变形情况。
本文将对轴向拉伸与压缩进行详细的解释与探讨。
一、轴向拉伸轴向拉伸是指物体在受到拉力作用下沿着其长度方向发生的变形现象。
当外力作用于物体的两端，并朝外拉伸时，物体会在轴向上发生拉伸。
拉伸的大小可以通过物体的伸长率来衡量，伸长率定义为单位长度的伸长与初始长度之比。
轴向拉伸现象广泛应用于工程领域，例如建筑中的钢筋，拉伸试验中的拉力传感器等。
钢筋在混凝土中起到增强材料的作用，能够抵抗建筑物的拉力。
而拉力传感器则是一种能够测量外力大小的传感器，利用了材料的拉伸特性。
二、轴向压缩轴向压缩是指物体在受到压力作用下沿着其长度方向发生的变形现象。
当外力作用于物体的两端，并朝内压缩时，物体会在轴向上发生压缩。
压缩的大小可以通过物体的压缩率来衡量，压缩率定义为单位长度的压缩与初始长度之比。
轴向压缩现象同样广泛应用于工程领域。
例如，桥梁中的墩柱、压缩试验中的压力传感器等。
墩柱是承受桥梁重力和交通荷载的重要结构部件，压缩试验中的压力传感器则是能够测量外力大小的传感器，利用了材料的压缩特性。
三、轴向拉伸与压缩的应用轴向拉伸与压缩的应用十分丰富，不仅在工程领域中有广泛应用，在其他领域中也有其独特的应用价值。
1. 材料科学：轴向拉伸与压缩是材料性能研究的重要手段。
通过对材料在拉伸和压缩条件下的变形进行测试，可以获得材料的各种力学性能参数，例如抗拉强度、抗压强度等。
这对材料的设计和应用具有重要的指导意义。
2. 生物医学：轴向拉伸与压缩在生物医学研究中具有重要的作用。
例如，在骨骼生物力学研究中，可以通过对骨骼的拉伸和压缩测试，了解骨骼力学特性并分析疾病的发生机制。
3. 电子工程：轴向拉伸与压缩的特性也可以应用于电子工程领域。
例如，电子产品中常使用弹性材料来保护内部电路。
这些材料可以在外力作用下发生轴向拉伸或压缩，起到减缓冲击力的作用。
工程力学拉伸、压缩、剪切课件
脆性材料所制成的构件必须要考虑应力集中
的影响。
b
即当 max达到 b 时，该处首先产生破坏。
（b）动载荷作用下：
无论是塑性材料制成的构件还 是脆性材料所制成的构件都必须 要考虑应力集中的影响。
F
§8-6 失效、许用应力与强度条件 一、 失效与许用应力
失效的两种形式：脆性材料当应力达到b ，会 发生脆性断裂；对于塑性材料当应力达到s 会
145.5 106 Pa 145.5MPa
(2)材料的许用应力为:
s
ns
235 106
Pa
1.5
156MPa
工作应力小于许用应力，杆件能够安全工作。
例8-5、图8-27所示吊环，由圆截面斜杆AB、AC
与横梁BC所组成。吊环的最大吊重F=500kN，斜
杆用锻钢制成，其许用应力[σ]＝120MPa，斜杆
n
n 称为安全因数 >1
塑性材料[ ] s
ns
脆性材料[ ] b
nb
引入安全系数的原因：
1、作用在构件上的外力常常估计不准确；
2、构件的外形及所受外力较复杂，计算时需进 行简化，因此工作应力均有一定程度的近性； 3、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的 出入，且小试样还不能真实地反映所用材料的性 质等。
与拉杆轴线的夹角α=200，试确定斜杆的直径。
解：(1)斜杆轴力分析:
F
Fy 0 : F 2FN cos 0
FN
F
2 cos
500 103 2cos 200
2.66105 N
(2)截面设计: A FN
[ ]
d 2 FN 4 [ ]
A
FN
FN
d
工程力学-第七章 绪论 第八章 轴向拉伸与压缩
FN A
或
F A
FN—轴力，FN=F
A—杆横截面面积
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
横截面上各点处的应力：
x
FNx A
FNx F 一侧
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆斜截面上的应力 ： 设拉压杆的横截面 积为A，得杆左段 的平衡方程为
p A -F 0 cos Fcos 0 cos A
第二节 材料力学的基本假定
均匀性假设：假设构件在其整个体积内
都由同一种物质组成，即材料的力学性 能与其在构件中的位置无关，认为是均 匀的。则构件内部任何部位所切取的微 小单元体（简称为微体），都具有与构 件完全相同的性质。通过对微体所测得 的力学性质，也可用于构件的任何部位。
第二节 材料力学的基本假定
x
截面法：将杆件用假想截面切开以显示 内力，并用平衡方程求得内力的方法。
第四节 正应力与切应力
应力：内力在截面上连续分布的集度。单位：帕斯 卡（Pa）,兆帕（MPa）,1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa
平均应力：
p av F A
截面m－m上k点处的应力或总应力：
F p lim A 0 A
第二节
轴力与轴力图
例题 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
第二节
解：
轴力与轴力图
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
第二节
轴力与轴力图
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
轴力与轴力图
或
F A
FN—轴力，FN=F
A—杆横截面面积
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
横截面上各点处的应力：
x
FNx A
FNx F 一侧
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆斜截面上的应力 ： 设拉压杆的横截面 积为A，得杆左段 的平衡方程为
p A -F 0 cos Fcos 0 cos A
第二节 材料力学的基本假定
均匀性假设：假设构件在其整个体积内
都由同一种物质组成，即材料的力学性 能与其在构件中的位置无关，认为是均 匀的。则构件内部任何部位所切取的微 小单元体（简称为微体），都具有与构 件完全相同的性质。通过对微体所测得 的力学性质，也可用于构件的任何部位。
第二节 材料力学的基本假定
x
截面法：将杆件用假想截面切开以显示 内力，并用平衡方程求得内力的方法。
第四节 正应力与切应力
应力：内力在截面上连续分布的集度。单位：帕斯 卡（Pa）,兆帕（MPa）,1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa
平均应力：
p av F A
截面m－m上k点处的应力或总应力：
F p lim A 0 A
第二节
轴力与轴力图
例题 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
第二节
解：
轴力与轴力图
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
第二节
轴力与轴力图
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
轴力与轴力图
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但是，对于脆性材料，情况就有很大区别。
材料在压缩时的力学性能
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
其
对于没有明
它
显屈服阶段的塑
材 料 拉
性材料，用名义 屈服极限σ0.2来
伸
表示。
时
的 力
0.2
学
性
质
o 0.2%
材料在压缩时的力学性能
对于塑性材料,由于试样最后不破坏，只是被压扁， 所以不能够提供其材料的抗压强度极限。因此，压 缩试验没有提供新的材料力学性能信息。所以对于 大多数塑性材料，拉伸试验即可提供足够的材料信 息，而不需要再作压缩试验。
影响作用区附近的应力分布。
例题：如图所示右端固定的阶梯形杆，承受轴向载荷F1与F2 作用，已知F1=20kN，F2=50kN，AB与BC的直径分别为 d1=20mm，d2=30mm。
1）试画出杆的轴力图。
2）计算杆内横截面上的最大正应力。
3）如果最大正应力处有方位角为60度的斜截面，试计算该方 位角斜截面上的正应力与切应力。
所以轴力为代数量（只有大小一个要素）。
拉伸
F
FF
压缩
F
计算轴力的方法与轴力图
1、切： 在需求轴力的横截面处，假想的将杆切开，并选 择任意杆段为研究对象。 2、受力分析： 画出所选杆段的受力图。采用“设正法”，即设 轴力为拉力。 3、列平衡方程并求解：
轴力图：表示轴力沿杆轴变化情况的图线。
例题：求图中直杆横截面轴力沿轴线的变化，并用轴力
FN/kN 45
25 5 10
x/m
F4
F3 F2
F1
LLLL
讨论：1、不能由外力的作用而想当然的判断杆段受压还是受 拉（例如题中第二段），应该严格的用截面法求内力。
2、从内力图可以看出，在集中力作用的截面处，轴力 发生间断（“跳跃”），其间断值等于集中力的大小, 正负由 集中力方向决定。
3、内力图是封闭的，两端的数值分别与两端外力相等
图表示。已知各载荷大小分别为：
可见，内力最大截面在第III段，即
危险截面在第III段，F =45kN。 F1=25kN, F2=20kN,
F4
F3 F2
F3=40kN, F4=55kN。
解：分别用N横m截ax面将杆截开，取右
找出危险截面是F1 画边杆内段为力分离图体，的画主出受要力图目。对
的之L 一L 。L L
低 碳 钢 的 拉 伸
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
e
b
b
e P
a c s
2、屈服阶段bc（失去抵抗
f 变形的能力）
s — 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗变 形的能力）
o
b — 强度极限 4、局部变形阶段ef（颈缩）
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob E
P — 比例极限 e — 弹性极限
第八章
轴向拉伸与压缩
8.1受拉压直杆的轴力与轴力图
特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴
线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F
FF
压缩
F
8.1受拉压直杆的轴力与轴力图
只受沿其轴线的外力作用的杆，称为拉压杆。
拉压杆的内力只有轴力。
规定：使杆受拉的轴力为正；使杆受压轴力为负，即： “拉正压负”
8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
3.圣维南原理（Sant-Venant principle） ：力作用于杆端
的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区域 的轴向范围约距离杆端1-2个杆的横向尺寸。
F
作用于弹性体一小块面积（或体积）上的载荷所
引起的应力，在离载荷作用区域较远处，基本上
只同载荷的主矢和主矩有关；载荷的具体分布只
E tan
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
0
两个塑性指标:
断后伸长率 l1 l0 100% 断面收缩率 A0 A1 100%
l0
A0
5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 —30% 60% 为塑性材料
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
卸载定律及冷作硬化
分离体分别列出平衡方程∑Fx=0
FN/kN 45 FN1 I F1 I:F1-FN1=0,解得FN1=F1=25kN
FN2
F53 FN3
FN4
10
II 25
F1 II:F1-F2-FN2=0, FN2=5kN
F2
III F1 III:F1-F2+F3-FN3, FN3=45kN
IxV/m F1 IV:F1-F2+F3-F4-FN4,FN4=-10k3 材料拉伸/压缩时的力学性质
力学性质/力学行为（ mechanical behaviours ）： 在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力 学性能。
外力作用下材料的响应。
研究材料基本力学性能（力学行为）的主要手段是在常温、 静载下对细长杆进行轴向拉伸试验（或轴向压缩试验）。
拉伸试验应符合 GB 228-87”金属拉力试验法”
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
拉 伸 实 验
直径d 10mm
标准式样
常
标距l 100mm
温 、
静
载
轴向应变为： l / l
应力为： F / A
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
金 属 拉 伸 试 验 机
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
e
d
b
b
e P
a c s
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系，
f 这就是卸载定律。
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
d g
o
f h
1、弹性范围内卸载、再加载
2、过弹性范围卸载、再加载
Od’称为：塑性变形(plastic deformation) 或残余变形（residiual strain）
8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
1.拉压杆横截面上的应力
拉压杆的平面假设：拉压杆变形后，横截面仍保持平面， 且仍垂直于杆件轴线，只是横截面间沿杆轴相对平移。
8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
1.拉压杆横截面上的应力
设杆件的横截面积为A，则拉压 杆横截面上正应力为：
P
A
F
A
8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
2.拉压杆斜截面上的应力
n
F
p
F
x
由方平位衡角可正知：负p规co定As：以F x轴0 为始p边 ，F方cAo位s角 逆 0时co针s为
正，顺时针为负。
p cos 0 cos2 max p cos 0o 0
切该应 方力 向p： 相 s截同in面，外切2法应0 s线 力in沿 为2顺 正时 。针max方向20旋si转n 2904度5o ， 与20
材料在压缩时的力学性能
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
其
对于没有明
它
显屈服阶段的塑
材 料 拉
性材料，用名义 屈服极限σ0.2来
伸
表示。
时
的 力
0.2
学
性
质
o 0.2%
材料在压缩时的力学性能
对于塑性材料,由于试样最后不破坏，只是被压扁， 所以不能够提供其材料的抗压强度极限。因此，压 缩试验没有提供新的材料力学性能信息。所以对于 大多数塑性材料，拉伸试验即可提供足够的材料信 息，而不需要再作压缩试验。
影响作用区附近的应力分布。
例题：如图所示右端固定的阶梯形杆，承受轴向载荷F1与F2 作用，已知F1=20kN，F2=50kN，AB与BC的直径分别为 d1=20mm，d2=30mm。
1）试画出杆的轴力图。
2）计算杆内横截面上的最大正应力。
3）如果最大正应力处有方位角为60度的斜截面，试计算该方 位角斜截面上的正应力与切应力。
所以轴力为代数量（只有大小一个要素）。
拉伸
F
FF
压缩
F
计算轴力的方法与轴力图
1、切： 在需求轴力的横截面处，假想的将杆切开，并选 择任意杆段为研究对象。 2、受力分析： 画出所选杆段的受力图。采用“设正法”，即设 轴力为拉力。 3、列平衡方程并求解：
轴力图：表示轴力沿杆轴变化情况的图线。
例题：求图中直杆横截面轴力沿轴线的变化，并用轴力
FN/kN 45
25 5 10
x/m
F4
F3 F2
F1
LLLL
讨论：1、不能由外力的作用而想当然的判断杆段受压还是受 拉（例如题中第二段），应该严格的用截面法求内力。
2、从内力图可以看出，在集中力作用的截面处，轴力 发生间断（“跳跃”），其间断值等于集中力的大小, 正负由 集中力方向决定。
3、内力图是封闭的，两端的数值分别与两端外力相等
图表示。已知各载荷大小分别为：
可见，内力最大截面在第III段，即
危险截面在第III段，F =45kN。 F1=25kN, F2=20kN,
F4
F3 F2
F3=40kN, F4=55kN。
解：分别用N横m截ax面将杆截开，取右
找出危险截面是F1 画边杆内段为力分离图体，的画主出受要力图目。对
的之L 一L 。L L
低 碳 钢 的 拉 伸
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
e
b
b
e P
a c s
2、屈服阶段bc（失去抵抗
f 变形的能力）
s — 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗变 形的能力）
o
b — 强度极限 4、局部变形阶段ef（颈缩）
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob E
P — 比例极限 e — 弹性极限
第八章
轴向拉伸与压缩
8.1受拉压直杆的轴力与轴力图
特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴
线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F
FF
压缩
F
8.1受拉压直杆的轴力与轴力图
只受沿其轴线的外力作用的杆，称为拉压杆。
拉压杆的内力只有轴力。
规定：使杆受拉的轴力为正；使杆受压轴力为负，即： “拉正压负”
8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
3.圣维南原理（Sant-Venant principle） ：力作用于杆端
的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区域 的轴向范围约距离杆端1-2个杆的横向尺寸。
F
作用于弹性体一小块面积（或体积）上的载荷所
引起的应力，在离载荷作用区域较远处，基本上
只同载荷的主矢和主矩有关；载荷的具体分布只
E tan
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
0
两个塑性指标:
断后伸长率 l1 l0 100% 断面收缩率 A0 A1 100%
l0
A0
5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 —30% 60% 为塑性材料
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
卸载定律及冷作硬化
分离体分别列出平衡方程∑Fx=0
FN/kN 45 FN1 I F1 I:F1-FN1=0,解得FN1=F1=25kN
FN2
F53 FN3
FN4
10
II 25
F1 II:F1-F2-FN2=0, FN2=5kN
F2
III F1 III:F1-F2+F3-FN3, FN3=45kN
IxV/m F1 IV:F1-F2+F3-F4-FN4,FN4=-10k3 材料拉伸/压缩时的力学性质
力学性质/力学行为（ mechanical behaviours ）： 在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力 学性能。
外力作用下材料的响应。
研究材料基本力学性能（力学行为）的主要手段是在常温、 静载下对细长杆进行轴向拉伸试验（或轴向压缩试验）。
拉伸试验应符合 GB 228-87”金属拉力试验法”
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
拉 伸 实 验
直径d 10mm
标准式样
常
标距l 100mm
温 、
静
载
轴向应变为： l / l
应力为： F / A
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
金 属 拉 伸 试 验 机
§8.3 材料拉伸/压缩时的力学性质
e
d
b
b
e P
a c s
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系，
f 这就是卸载定律。
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
d g
o
f h
1、弹性范围内卸载、再加载
2、过弹性范围卸载、再加载
Od’称为：塑性变形(plastic deformation) 或残余变形（residiual strain）
8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
1.拉压杆横截面上的应力
拉压杆的平面假设：拉压杆变形后，横截面仍保持平面， 且仍垂直于杆件轴线，只是横截面间沿杆轴相对平移。
8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
1.拉压杆横截面上的应力
设杆件的横截面积为A，则拉压 杆横截面上正应力为：
P
A
F
A
8.2 拉压杆的应力与圣维南原理
2.拉压杆斜截面上的应力
n
F
p
F
x
由方平位衡角可正知：负p规co定As：以F x轴0 为始p边 ，F方cAo位s角 逆 0时co针s为
正，顺时针为负。
p cos 0 cos2 max p cos 0o 0
切该应 方力 向p： 相 s截同in面，外切2法应0 s线 力in沿 为2顺 正时 。针max方向20旋si转n 2904度5o ， 与20