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专题九 解析几何第二十八讲 抛物线答案部分1．D 【解析】通解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ， 由22(2)34⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x y x ，得2540-+=x x ，解得1=x 或4=x ，所以12=⎧⎨=⎩x y ，或44=⎧⎨=⎩x y ，不妨设(1,2)M ，(4,4)N ，易知(1,0)F ，所以(0,2)=FM ，(3,4)=FN ，所以8⋅=FM FN ．故选D ．优解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ，由22(2)34⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x y x，得2540-+=x x ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则10>y ，20>y ，根据根与系数的关系，得125+=x x ，124=x x ．易知(1,0)F ，所以11(1,)=-FM x y ，22(1,)=-FN x y ，所以12121212(1)(1)()1⋅=--+=-+++FM FN x x y y x x x x45188=-++=．故选D ．2．A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为1k ，2l 的斜率为2k ，由题意有121k k ⋅=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-，取方程214(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理得 22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥ 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号．3．C 【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,22p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵13FM FP =，∴22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴22112122OM t k t t t ==≤=++∴max ()OM k =，故选C ． 4．B 【解析】由题意，不妨设抛物线方程为22(0)y px p =>，由||AB =，||DE =4(A p，(2p D -，设O 为坐标原点，由||||OA OD =，得2216854p p +=+，得4p =，所以选B ．5．A 【解析】如图，11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A ． 6．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩．又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，121212042AB y y k x x y y y -===-+．设圆心为(5,0)C ，则005CM y k x =-，因为直线l 与圆相切，所以000215y y x ⋅=--， 解得03x =，于是2204y r =-，2r >，又2004y x <，即2412r -<，所以04r <<，又05r <<，2r >所以24r <<，选D ．7．C 【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q '，因为4PF FQ =，所以||:||3:4PQ PF =，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以||||3QF QQ '==．故选C ．8．D 【解析】易知抛物线中32p =，焦点3(,0)4F ，直线AB 的斜率k =，故直线AB 的方程为3()34y x =-，代人抛物线方程23y x =，整理得22190216x x -+=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x +=，由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=，结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028p d ==， 所以OAB ∆的面积19||24S AB d =⋅=． 9．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线22y px =的准线上，∴22p-=-．∴4p =， ∴28y x =，设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与28y x =联立， 得2824160y ky k -++=②，则△=2(8)4(2416)0k k --+=，即22320k k --=，解得2k =或12k =-（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ， 又(2,0)F ，∴43BF k =，故选D ．10．C 【解析】∵OF =，由抛物线的定义可得P 点的坐标(±，∴POF ∆的面积为1122P OF y ==11．C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为12x y +=代入24x y =得32y =，又||:||(1):(1)FM MN y y =-+=．12．C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=13．D 【解析】因为双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,所以2.cb a=⇒=又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C 的渐近线0.y ±=而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,),2p||28p p =⇒=.故选D ． 14．C 【解析】设抛物线的方程为22y px =，易知||212AB p ==，即6p =，∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为6p =，所以ABP ∆面积为36，故选C ． 15．2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-(0)k ≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得22(1)4k x x -=， 即2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得214(1)y y k =+， 即2440y y k --=，则124y y k+=，124y y =-， 由90AMB ∠=，得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=，将212224k x x k++=，121x x =与124y y k +=，124y y =-代入，得2k =． 解法二 设抛物线的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，所以2212124()y y x x -=-，则1212124y y k x x y y -==-+， 取AB 的中点00(,)M x y '，分别过点A ，B 做准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B '，又90MB ∠=，点M 在准线1x =-上，所以111||||(||||)(||||)222MM AB AF BF AA BB '''==+=+． 又M '为AB 的中点，所以MM '平行于x 轴，且01y =，所以122y y +=， 所以2k =．16．6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==， 故336FN FM NM =+=+=．17．22y px =的准线方程为2p x =-，又0p >，所以2px =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(，所以2p-=，p = 18．1由正方形的定义可知BC CD =，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以||AD p a ==，(,0)2p D ，(,)2pF b b +，将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22p b p b a ab =+=+，变形得22()10b b a a --=，解得1b a =+1b a =，所以1b a=+19．2，1x =-【解析】1,22p p ==；准线12px =-=-．20．62【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0)，设抛物线的方程为22x py =-，l 与抛物线的交点为A 、B ，根据题意知(2,2)A --，(2,2)B - 则有()222-⨯=-a ，∴21-=a∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米，则3y =-，此时有6=x 或6-=x∴此时水面宽为62米．21．4【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点B22．【解析】(1)因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-． 所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)-∞--．(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 由(1)知12224k x x k -+=-，1221x x k=． 直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λu u u r u u u r ，=QN QO μu u ur u u u r 得=1M y λ-，1N y μ=-．所以1212121212112()1111111(1)(1)1M N x x x x x x y y k x k x k x x λμ---++=+=+=⋅----- 2222241=211k k k k k -+=⋅-． 所以11λμ+为定值．23．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．24．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB ∆的面积32212001||||4)2PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是． 25．【解析】（1）设()A x ,y 11，()B x ,y 22，l ：2x ym =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得y my --=2240，则y y =-124 又y x 211=2，y x 222=2，故()y y x x 21212=4=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y x x ⋅1212-4==-14，所以OA OB ⊥． 故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得y y m 12+=2，()x x m y y m +21212+=++4=24故圆心M 的坐标为()m m 2+2，，圆M 的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP =， 故()()()()121244++2+2=0x x y y -- 即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200由（1）可得y y 12=-4，x x 12=4． 所以2m m --=210，解得m =1或m =-12． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M的半径为M 的方程为()()x y -+-=223110当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．26．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。
椭圆、双曲线、抛物线的基本问题【考点梳理】1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)；(3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2.②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a b x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2. ②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .【题型突破】题型一、圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1，0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A.3B.4C.5D.2＋1 (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1【答案】(1)A (2)B【解析】(1)由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1，0)，又N (1，0)，所以N 与F 重合.过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.(2)由e ＝2知a ＝b ，且c ＝2a .∴双曲线渐近线方程为y ＝±x .又k PF ＝4－00＋c ＝4c＝1，∴c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8. 故双曲线方程为x 28－y 28＝1.【类题通法】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【对点训练】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝1(2)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________.【答案】(1)A (2) 2【解析】(1)依题意得b a ＝12，①又a 2＋b 2＝c 2＝5，②联立①②得a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.题型二、圆锥曲线的几何性质【例2】(1)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】(1)B (2)y ＝±22x【解析】(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由题意|－bc |b 2＋c2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2， 得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝12.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22.∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x .。
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．【答案】－＝1【解析】由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以，解得a＝2，b＝2，故双曲线方程为－＝1．2.若双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】y2＝2bx的焦点为(，0)，线段F1F2被点(，0)分成7∶5的两段，得＝，可得双曲线的离心率为，故选C．3.已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A、B两点，点F是抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率为()A． B． C．2 D．【答案】D【解析】抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，设直线x＝－1与x轴的交点为C，则|FC|＝2．因为△FAB为直角三角形，所以根据对称性可知，|AC|＝|FC|＝2，则A点的坐标为(－1,2)，代入双曲线方程得－4＝1，所以a2＝，c2＝＋1＝，e2＝＝6，所以离心率e ＝，选D．4.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==165.（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．6.若双曲线的离心率为，则m=A．B．3C．D．2【答案】B【解析】因为，所以。
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线230x y-+=平行，则该双曲线的离心率是（）A B C．2D【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by xa=±，易知by xa=与直线230x y-+=平行，所以=2bea⇒=故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x yCa b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A．2221x y-=B．2213yx-=C．22531x y-=D．22126x y-=【答案】B【分析】分析可得b，再将点代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea==，则2c a=，b=，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a=，故b=因此，双曲线的方程为2213yx-=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F是双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PF a=，那么双曲线的离心率是（）练基础AB C ．2 D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20b y a =，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可. 【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =， 因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =， 所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e = 故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0） 则a =（ ）A B ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，=，解得12a = ， 故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的C 的焦距等于（ ）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>0my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a ，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y =x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为( ) A B C ．2D【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)222224322b c bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e ∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（ ）练提升A B ．3CD ．3【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==. 故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形， 所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴= 所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=. 故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅=，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可. 【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+，200(2,)F P x =-，又220120403x F P F P x ⋅=-+=，∴0x = 故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,)42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c =（c 上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小 【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确； 由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确． 【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确； 对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ， 当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=， 在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=， 又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹是椭圆 B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMNS =【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项. 【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =， 当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩， 所以132PMN S PM PN ==△，故C 对； 选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩， 所以162PMN S PM MN ==△，故D 对， 故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案. 【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3 【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案. 【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-． 当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯=． 当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=． 故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1 【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案； 【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=1==c e a ．11. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ） A B C D【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
高三数学双曲线试题答案及解析1.双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点是抛物线y2=8x的焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF| =5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】C【解析】,根据抛物线的焦半径公式知：,,代入得,代入双曲线方程,,解得：,,，故选C.【考点】双曲线与抛物线的性质2.已知双曲线的实轴长为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的实轴长为2，所以,此双曲线的为等轴双曲线，所以离心率为.【考点】1.双曲线的方程；2.双曲线的性质.3.是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于 .【答案】9【解析】两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.【考点】双曲线的定义，距离的最值问题.4.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A．B．C．2D．3【答案】B【解析】通径|AB|=得，选B5.在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为．【答案】【解析】因为曲线的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为．因为过点,所以标准方程为.【考点】双曲线的性质6.双曲线的渐近线方程为【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，本题中，故渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线方程.7.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】此题主要考查双曲线的内容，难度不大.由条件得，，从而双曲线方程为，故渐近线方程为.【考点】双曲线.8.已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】 (1，]【解析】根据双曲线定义，设，则|，故3r＝2a，即，即．根据双曲线的几何性质，，即，即，即e≤．又e＞1，故双曲线的离心率e的取值范围是(1，] ．故填(1，]9.如图，动点与两定点、构成，且，设动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设M的坐标为（x，y），显然有x>0，．当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2．由∠MBA=2∠MAB，有tan∠MBA=，即化简得：，而点（2，±3）在曲线上，综上可知，轨迹C的方程为．（2）由消去y，可得．（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设，所以解得m>1，且m2．设Q、R的坐标分别为，由有，所以，由m>1，且m2，有所以的取值范围是．10.设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨设，则由已知，得，又，因此中最小角为，由余弦定理得，解得，所以，渐近线方程为，选B．【考点】双曲线的定义，余弦定理，渐近线方程．11.已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，弦所对圆心角为所以圆心到弦即渐近线的距离为因此有【考点】点到直线距离，双曲线的渐近线12.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义13.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则；此双曲线的离心率为．【答案】2；．【解析】由方程可得右焦点为，一条渐近线为，由，可得，，故，双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．14.双曲线左支上一点到直线的距离为，则（）A．2B．-2C．4D．-4【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式，得，即，因为双曲线左支上一点，故应在直线的上方区域，∴，∴.∵在双曲线上，∴，∴，∴.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.点到直线的距离公式.15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.【答案】（1）y2-x2=1 （2）x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3【解析】解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y).由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.16. 点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线C 2的离心率等于( ) A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】设A(x 0,y 0), ∵A 在抛物线上, ∴x 0+=p, ∴x 0=, 由=2px 0得y 0=p 或y 0=-p.∴双曲线渐近线的斜率==2.∴e===.故选C.17. 点A(x 0,y 0)在双曲线-=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .【答案】2 【解析】由-=1可知,a 2=4,b 2=32,∴c 2=36,c=6,右焦点F(6,0), 由题意可得解方程组可得x 0=或x 0=2. ∵点A 在双曲线右支上, ∴x 0≥2,∴x 0=2.18. 已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A ．-=1B ．-=1C ．-=1D ．-=1【答案】A 【解析】-=1的焦距为10, ∴c=5=.①又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上, ∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故选A.19. 已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.【答案】(±4,0)x±y=0【解析】∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,∴c=4.∵e==2,∴a=2,∴b2=12,∴b=2.∵焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y=±x,即y=±x,化为一般式为x±y=0.20.已知△ABC外接圆半径R=,且∠ABC=120°,BC=10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线方程为()A．-=1B．-=1C．-=1D．-=1【答案】D【解析】由正弦定理知sin∠BAC==,∴cos∠BAC=,|AC|=2Rsin∠ABC=2××=14,sin∠ACB=sin(60°-∠BAC)=sin60°cos∠BAC-cos60°sin∠BAC=×-×=,∴|AB|=2Rsin∠ACB=2××=6,∴2a=||AC|-|AB||=14-6=8,∴a=4,又c=5,∴b2=c2-a2=25-16=9,∴所求双曲线方程为-=1.故选D.21.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是()【答案】C【解析】通过直线斜率等于m,在y轴上的截距为n,从直线中可判断m,n的正负,从而确定nx2+my2=mn为椭圆还是双曲线,选项C中,从直线可以看出m>0,n<0,而nx2+my2=mn可化为+ =1,即焦点在x轴上的双曲线.22.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.(3)求△F1MF2的面积.【答案】(1) x2-y2=6 (2)见解析 (3)6【解析】(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∴=,=,·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3. 故·=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2. ∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴=6.23.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．24.双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是()A．m>B．m≥1C．m>1D．m>2【答案】C【解析】依题意，e＝，e2＝>2，得1＋m>2，所以m>1.25.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．【答案】【解析】不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以∠PF2F1＝90°，求得|F1F2|＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝.26.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.27.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF< 即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF< ，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.28.已知0＜θ<，则双曲线C1：＝1与C2：＝1的()．A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】对于C1：a＝cos θ，b＝sin θ，c＝1，e＝；对于C2：a＝sin θ，b＝sin θtan θ，c＝tan θ，e＝.∴C1与C2离心率相等．29.如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】点是双曲线上的点，所以，是等边三角形，所以，,,,,所以根据余弦定理得：,将数据代入得：,整理得：即,,所以渐近线的斜率,故选D.【考点】1.双曲线的定义；2.渐近线方程；3.余弦定理.30.以双曲线＝1的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为6的圆的标准方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝25【解析】双曲线＝1的右焦点为(2，0)，渐近线方程为：y＝2x，则2＋32＝r2，解得r2＝25，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.31.已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】因为过0作直线的垂线，垂足为A，则,过点作直线的垂线，垂足为B.由于点O为的中点. ,所以点B是线段的中点，.又因为，.所以.所以在直角三角形中可得.所以可得.故选C.【考点】1.圆锥曲线的定义.2.等腰三角形的性质.3.直线与圆相切的性质.4.方程的思想.32.已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线C1：的离心率为2．所以，即，所以；双曲线的渐近线方程为：，抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以，所以．抛物线C的方程为．2故选D．【考点】双曲线、抛物线及其几何性质.33.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .【答案】【解析】首先我们应该知道方程表示双曲线的条件是，因此本题中有，从而双曲线中，，条件虚轴长是实轴长的2倍即为，因此可得．【考点】双曲线的标准方程及双曲线的性质．34.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，双曲线的渐近线的倾斜角应大于或等于，，选D.【考点】双曲线的渐近线与离心率.35.已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为,则此双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】依题意知，.设，且均为正数.则右焦点为，其渐进线的方程为：.即.右焦点到其渐进线的距离为,即，.又由.所以.所以，即.【考点】点到直线的距离公式、双曲线的几何性质36.与圆及圆都相外切的圆的圆心在( )A．一个椭圆上B．一支双曲线上C．一条抛物线上D．一个圆上【答案】B【解析】圆的圆心是，半径；圆的圆心是，半径是.根据题意可知，所求的圆的圆心到定点与的距离之差是，由双曲线的定义可知，所求圆的圆心的轨迹是双曲线的一支，即圆心在一支双曲线上.【考点】双曲线的定义及性质37.已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于为等腰三角形，可知只需即可，即，化简得．【考点】双曲线的离心率.38.若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线：，=4，=1，所以a=2，b=1。
专题九 解析几何第二十六讲 双曲线答案部分 2019年1.解析 如图所示，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则3c =， 则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53y =±．则1553232OPF S =⨯⨯=△．故选B ． 2. 解析 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即b = 又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是y =．3.解析：根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以c =，则该双曲线的离心率为ce a==C ．4.由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50︒，所以tan 50b a =︒，1cos50c e a =====︒. 故选D ．5.解析：解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得PQ =，再由PQ OF =，得c =，即222a c =，所以222c a=，解得c e a ==故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =，所以222c a=，解得c e a ==故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则12OP a OF ===，c e a ==故选A ．6.解析 由题意知，1b =，ce a===，解得12a =.故选D. 7.解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为()2210,0y a b b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF ===4=，即2b a =，所以c =，所以双曲线的离心率为ce a==故选D ．2010-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．A 【解析】解法一 由题意知，==ce a，所以=c ，所以=b ，所以=b a =±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ．3．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近=．故选D ．解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=．故选D ． 4．A 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ． 优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ． 5．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=， 得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1， 故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ． 6．C【解析】由题意e a ==1a >，21112a <+<，∴1e <<C ．7．D 【解析】由题意，2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得21a =，23b =，选D ．8．A【解析】由题意得c =12b a =，由222c a b =+，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为22141x y -=，选A ．9．D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上， ∴43b a =，又222a bc +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==．10．D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，所以||AB =．11．C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)b B c a ，2(,)b C c a -，则1222,A BA C b b a a k k c a c a-==+-，根据题意， 有221b b a a c a c a-⋅=-+-，整理得1ba =，所以双曲线的渐近线的斜率为1±．12．A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F到一条渐近线的距离为b =A ． 13．A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．14．A 【解析】 依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．15．B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b aa --=，则（31b a +）（34ba-）=0，解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==．16．C【解析】由题知，c a =54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．17．D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D ． 18．A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足3b a <，所以21()33b a <≤，241()43b a<+≤，2<，又双曲线的离心率为c e a ==23e <≤． 19．C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为（3，0），∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2∵c =3，∴32c e a ==，故选C ． 20．A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又C 的渐近线为b y x a =±，点P (2,1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．21．C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C ． 22．A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc =，则22,5b a ==，应选A ． 23．C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．24．B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-=-，即4p =， 又∵42p a +=，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c ==2c =25．B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=.应选B ． 26．D 【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为x aby ±=，∵点(4,2)-在渐近线上，所以12b a =，由e ==27．C 【解析】由题意，F （－1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=, 解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选C ． 28．4【解析】由题意得22454a a +=，得216a =，又0a >，所以4a =，故答案为4． 29．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 30．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =．31．y x =【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a=，即a =，所以渐近性方程为2y x =±． 32．232a x c ==，渐近线的方程为3y x =±，设3(2P，则3(,2Q ，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q的面积为1211||||422F F PQ =⨯=． 33．1,2a b ==【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩，因为222c a b =+，解得1,2a b ==．34．2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 35．2214x y -=【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为 22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以2244λ-=，所以1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=． 36．2【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=，由2222a c a c +=，ce a=，解得2e =+2e =． 37．C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥ =||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x +=-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯⨯⨯=38．y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b+= ①，由||AF c =得2224p a c += ②，由①②得22a b =， 即a b =，所以所求双曲线的渐近线方程为y x =±．39．2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程by x a=±可解得交点为(,)33am bm A b a b a --，(,)33am bm B b a b a -++，而13AB k =，由||||PA PB =， 可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，所以2e =．40．221312x y -= 2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．411【解析】由已知可得，12cos303PF c c ==，22sin30PF c c ==，由双2c a -=，则1c e a ===． 42．44【解析】由题意得，||||6FP PA -=，||||6FQ QA -=，两式相加，利用双曲线的定义得||||28FP FQ +=，所以PQF ∆的周长为||||||44FP FQ PQ ++=．43．121,22,a c PF PF a ==-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+=44．1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-by a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a ．45．2【解析】由题意得m ＞0,∴a =m ,b =,4,422++=∴+m m c m由e =5=ac得542=++m m m ，解得m =2． 46．22143x y -=【解析】由题意可知双曲线的焦点(，，即c =又因双曲线的离心率为c a =2a =，故23b =，所以双曲线的方程为22143x y -=． 47．2【解析】由2221(0)y x b b -=>得渐近线的方程为2220y x b-=，即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得2b =．48．【解析】（1）设(,0)F c ，因为1b =，所以c =直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c cB a -又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a= 又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a -=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=（2）由（1）知a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y- 则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =49．【解析】（1）设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知||4,-=化简得L 的方程为22 1.4x y -=xT 2T 1OF PM（2）过M ，F 的直线l方程为2(y x =--，将其代入L 的方程得215840.x-+=解得1212((515551515x x l L T T ==-故与交点为 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有|||||| 2.MP FP MF -<=故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2．古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
高中数学，解析几何，双曲线渐近线题型归纳（含答案）引言在高中数学的解析几何中，双曲线是一个重要的内容。
双曲线具有很多特性，其中之一就是它们的渐近线。
渐近线是指双曲线在无穷远处逼近的直线，它们对于研究双曲线的性质和图像特点非常有用。
本文将对双曲线的渐近线题型进行归纳总结，并给出详细的解答。
渐近线的定义在双曲线的解析几何中，渐近线是指双曲线在无穷远处逼近的直线。
具体来说，对于双曲线的方程为当的绝对值趋近于1时，双曲线与直线的距离趋近于0，即是双曲线的渐近线。
渐近线题型归纳题型一：确定双曲线的渐近线题目：确定双曲线的渐近线方程。
解答：首先，根据双曲线的定义，我们知道渐近线方程的斜率为±1。
计算可知，当的绝对值趋近于1 时，双曲线与直线的距离趋近于0。
所以，我们将代入双曲线方程得到：化简得：继续化简得：解得：因此，渐近线的斜率为±1，通过经过点 (±4, 0)，所以渐近线的方程为：题型二：判断点是否在双曲线的渐近线上题目：判断点 (3, 4) 是否在双曲线的渐近线上。
解答：如果点在双曲线的渐近线上，则点到渐近线的距离趋近于0。
双曲线的方程为：渐近线方程为：计算点到渐近线的距离：由于点到渐近线的距离不为0，所以点 (3, 4) 不在双曲线的渐近线上。
结论通过以上题目的解答，我们总结出了一些关于双曲线渐近线的规律。
对于题型一，我们可以通过计算得到双曲线方程中的绝对值趋近于1时的限制条件来确定渐近线方程。
对于题型二，我们可以通过计算点到渐近线的距离是否趋近于0来判断点是否在渐近线上。
双曲线的渐近线在解析几何中有着重要的作用，它们帮助我们更好地理解双曲线的形态和性质。
通过解答以上题目，我们可以更加熟练地处理双曲线的渐近线问题，并且加深对双曲线的理解。
以上就是关于高中数学，解析几何，双曲线渐近线题型的归纳总结。
希望能对大家的学习有所帮助！。
考点18 双曲线1.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ9）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P2F =060，则P 到x 轴的距离为（ ）(A)(C)(D)【命题立意】本小题主要考查双曲线的几何性质、余弦定理，突出考查双曲线中的焦点三角形问题，通过本题可以有效地考查考生对知识的的综合运用能力及运算能力以及解决解析几何问题的解题技巧.【思路点拨】方法1：利用双曲线的第一定义列出方程求解；方法2：利用双曲线的第二定义，结合余弦定理求解；（3）直接利用双曲线的焦点三角形的面积公式2cot2θb S = 【规范解答】选B.（方法1）不妨设点P 在双曲线的右支上，m PF =||1，n PF =||2，2=-n m ，由余弦定理得2022)22(60cos 2=-+mn n m ，即822=-+mn n m ，联立得⎩⎨⎧=-+=-8222mn n m n m ，解得4=mn360sin 21021==∆mn S F PF ，设P 到x 轴的距离为h ，22||21=F F ， ∴3||2121=⋅h F F ，26=∴h . （方法2）不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支上,由双曲线的第二定义得21000||[(1a PF e x a ex c =--=+=，22000||[1a PF e x ex a c =-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=, 解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||y =（方法3）由焦点三角形面积公式得:12022601cot 1cot 2222F PF S b c h h θ∆====== 【方法技巧】在解决椭圆与双曲线问题中的焦点三角形时，一些重要的结论会给问题的解答带来极大的方便.如椭圆焦点三角形的性质：性质1：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形△21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.性质w . 性质2：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形△21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e . 2.（2010·江西高考理科·Ｔ１５）点00(,)A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x =__________【命题立意】本题主要考查双曲线的基本知识，考查双曲线的焦半径公式及对知识的灵活运用能力．【思路点拨】先确定双曲线的基本量，再由双曲线的焦半径公式求解.【规范解答】因为2=a ，24=b ，所以6=c ，3=e ，由焦半径公式得002x a ex =-，代入得00223x x =-，解得20=x .【答案】２.3.（2010·重庆高考文科·Ｔ21）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e = （1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如 图，已知过点11(,)M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交与G ,H 两点，求OG OH 的值.【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识，考查直线方程的基础知识，考查平面向量的运算求解能力，体现了方程的思想和数形结合的思想方法.【思路点拨】（1）由c 求出a ，再由222c a b =+求出b ；（2）点E 是关键点，根据点E 的坐标求出直线MN 的方程，解两条直线组成的方程组的点G ，H 的坐标，即向量OG ,OH 的坐标，再进行向量的数量积运算，化简、整理可得.【规范解答】(1)设C 的标准方程为22221x y a b -=(a ,0>b )， 则由题意知5=c，又c e a ==， 所以2a =，1b ==，C 的标准方程为2214x y -=C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y -=和20x y +=. （2）（方法一）由题意点(,)E E E x y 在直线1l ：1144x x y y +=和2l ：2244x x y y +=上， 因此有1144E E x x y y +=，2244E E x x y y +=，所以点M ，N 均在直线44E E x x y y +=上，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=； 设G ，H 分别是直线MN 与渐近线20x y -=及20x y +=的交点，解方程组2044E E x y x x y y -=⎧⎨+=⎩及2044E E x y x x y y +=⎧⎨+=⎩得：4222G E E G E E x x y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，4222H E E H E E x x y y x y ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩， 所以42(,)22E E E E OG x y x y =++ ，42(,)22E E E E OH x y x y =-- ， 故2244221222224E E E E E E E E E E OG OH x y x y x y x y x y =⋅-⋅=+-+-- ， 因为点E 在双曲线2214x y -=上，有2244E E x y -=，所以221234E E OG OH x y ==- .（方法二）设(,)E E E x y ，由方程组11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩解得2112214()E y y x x y x y -=-，121221E x x y x y x y -=-，因为21x x ≠，所以直线MN 的斜率21214EE y y x k x x y -==-， 故直线MN 的方程为11()4E E x y y x x y -=--，注意到1144E E x x y y +=， 因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=.以下与解法一相同. 【方法技巧】（1）字母运算是解答本题的主要特点；（2）已知与未知的相互转化，即关于点E 的坐标两个等式1144E E x x y y +=和2244E E x x y y +=，通过转化字母的已知与未知的关系，E x 和E y 看作已知，点11(,)x y 和22(,)x y 代入方程44E E x x y y +=所得，简捷得到直线MN 的方程；（3）关键点E 在解题中的关键作用.4.（2010·重庆高考理科·Ｔ20）已知以原点O为中心，)F 为 右焦点的双曲线C的离心率e =. （1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中21x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G ，H 两点，求OGH ∆的面积。
