组合数求和问题剖析
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组合数求和问题剖析
一、逆用二项式定理：
例1：(2005，天津)设232n n-1
n n n n N*,C 6+C 6++C 6
∈+ 1n 则C = . 解：设
1232n n-1n n n n 12233n n n n n n 012233n n n n n n n n n
n n S=C +C 6+C 6++C 66S=C 6+C 6+C 6++C 66S+1=C +C 6+C 6+C 6++C 6 =(1+6)=77-17-1S= =
66
∴∴∴ 则原式
规律总结：对于形如012012n
n n n n n a c a c a c a c ++++
(其中012,,,,n a a a a 组成等比数列)的求和问题，均可逆用二项式定理来解。
二、赋值法：
例2：求证：①0123n
n n n n n n C +C +C +C ++C =2 ②024135n n n n n n C +C +C +=C +C +C +
证明：①在
0120
12(1+1)22
n n n
n n n n
n n
n n n n
C C C C C C C C ==++++∴++++=
②令01230246135
1 1(11)0(1)n n
n n n n n n n n n n n n a b C C C C C C C C C C C C ==--==-+-++-∴++++=+++
、得：
规律总结：在二项式定理011()+n n n r n
r
r n n
n n n
n a b C a C a b C a b C b --+=++++ 中令
a b 、取一些特殊值可以解决形如0110
n n n n n n C a C a C a -+++ 的求和问题。
三、倒序相加法
例3：求012n n n n n C +3C +5C ++(2n+1)C
的值。
解：设
012n
n n n n 0n 1n-1m n-m n n n n n n
n n-1210n n n n n 01n-2n-1n n n n n n 12n-1n n n n n n S=C +3C +5C ++(2n+1)C C =C ,C =C ,,C =C S=(2n+1)C +(2n-1)C ++5C +3C +C S=(2n+1)C +(2n-1)C ++5C +3C +C S=C +2C +5C ++(2n-1)C +(2n+1)C 2S=(2n+2∴∴ 0又012n n n n n n
n n
)(C +C +C ++C )=(2n+2)2S=(n+1)2=(n+1)2⨯∴∴ 原式规律总结：因为组合数中m n-m
n n C =C 成
立，与等差数列具有类似的性质，因此对于形如：S=00n c +a 11n c +a 2
2n c ++a n n c n a (其
中01,n a a a 、成等差数列)的式可求和均可利用倒序相加的方法。
四、逐项合并法：
例4：求33333
345650C +C +C +C ++C 的值。
解：原式43333445650=C +C +3C +C ++C
4333
3445650433355650
4
336650
43434750505051=(C +C )+C +C ++C =(C +C )+C ++C =(C +C )++C
=C ++C =C +C =C =124950
规律总结：利用m m-1m
n n n+1C +C =C 可求形如：m m m m m m+1m+2n C +C +C ++C (n>m)
的值。
五、裂项相消法：
例5：同例3，由m m-1m n n n+1C +C =C 得：m-1m m n n+1n C =C =C
24444444444435465765049515051=C +(C -C )+(C -C )+(C -C )++(C -C )(C C )=C =124950∴+- 原式 规律总结：对于组合数的性质m m-1m n n n+1C +C =C 的应用，除了正用外，还要注意逆用及变形用即：m m m-1m m m-1m-1m m n+1n n n n+1n n n+1n C =C +C ,C =C -C ,C =C -C 正用是合并项，而逆用和
变形用 把一项拆为两项。
六、利用k k-1n n-1KC =nc 求和： 例6：求012n n n n n C +2C +3C ++(n+1)C
解1：利用倒序相加法。
解2：012n 12n n 012n-1n n n n n n n n n n n-1=(C +C +C ++C )+(C +2C ++nC )=2+(nC +nC +nC ++nC )
原式
n n-1n-1=2+n 2=(n+2)2
七、构造法：
例7：求证：0k 1k-1k 0k
n m n m n m m+n C C +C C ++C C =C (k m,n)≤
证明1：构造排列组合数，这件事可这样来做，将n+m 个元素分为两类，一类中
含有n 个元素，另一类中含有m 个元素，不含第一类元素的取法有
1k-1n m C C ,, 含K 个第一类元素的取法有k 0
n m C C 种不同取法；
又由组合定义，从m+n 个不同元素中取出K 个元素的组合数为k n+m C ,所以原式成立 。
证明2：构造二项式定理：利用n m m+n (1+x)(1+x)=(1+x)的展开式中k x 项的系数来
证。
n m k (1+x)(1+x)x 中的系数为：0k 1k-1k 0
m+n k n m n m n m C C +C C ++C C (1x)x + 而中的系数为k m n m+n m+n
C (1+x)(1+x)=(1+x)又故原式成立。
规律总结：此法适用于各项为二个组合数的积，其中各项中组合数下标只出现两个自然数，各项中两个组合数的上标之和为常数，且一个上标由0依次递增到此常数，另一上标由此常数依次递减为0的组合数的求和问题。
总之，求含有组合数的数列和要灵活动用二项式定理及组合数的性质。
