第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合.六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B （或 B ⊇A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. （2）若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩（V enn ）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作AB （或B A ）,读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.2.真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集. （2）若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数B A若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.【基础知识】考点一：集合的判断例1．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）下面给出的四类对象中,构成集合的是（）A．某班视力较好的同学B．长寿的人C．π的近似值D．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．（2021-2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）给出下列关系：①13∈R ；②3∈Q；③－3∉Z；④3-∉N,其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】13是实数,①正确；3是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－3是无理数,④正确.所以正确的个数为2.故选B.考点三：集合中元素互异性的应用例3．（2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）由2a,32a-,1可组成含3个元素的集合,则实数a的取值可以是（）A．1B．1-C．0D．3-【答案】C【解析】由元素的互异性可得22321321a aaa⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a≠且3a≠-且1a≠-.故选C.考点四：集合的表示例4．（多选）集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为（ ）A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈【答案】AB【解析】对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确； 对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误；对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误. 故选AB.考点五：集合关系的判断例5．（多选）（2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考）下列各式中正确的是（ ） A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，， 【答案】BD【解析】由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．（2021-2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考）已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围【解析】 (1)∵2,B ∈{}1B x a x a =-<<,∴12a a -<<,即23a <<, ∴实数a 的取值范围为23a <<；(2)∵B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,∴115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤,故实数a 的取值范围为05a ≤≤. 考点七：子集个问题例7．（2021-2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估）集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为（ ） A ．8 B ．6C ．7D ．15【答案】C【解析】{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷Ⅱ卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数 为 ( ) A ．9B ．8C ．5D ．42.（2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师3. （2021-2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中）给出下列四个关系：π∈R , 0∉Q ,0.7∈N , 0∈∅,其中正确的关系个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14.（2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ,b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ,c ,a }；正确的有（ ） A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤5.（2021-2022学年江西省重点名校高一3月联考）设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．86.（2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考）集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．±17.（多选）（2021-2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中）下列集合中,可以表示为{}2,3的是（ ） A ．方程2560x x ++=的解集 B ．最小的两个质数 C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解8.（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A ,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【过关检测】1．（2021-2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．菱形2．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）①{}00∈,②{}0∅⊆,③{}(){}0,10,1=,④(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43.（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考）已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为（ ） A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或34.（2021-2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考） 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<5. （2021-2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测）当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,aG b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素,则2019G ∈；③集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是（ ） A ．①②④B ．②③④⑤C ．①④⑤D ．①②④⑤6.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末）下列关系式错误的是（ ）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C QD ．0∈Z7.（多选）（2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试）已知集合{}4A x ax =≤,{B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．28.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考）已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈； (2){}1,2,3,4C =,D{x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合. 六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B （或 B ⊇A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. （2）若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩（Venn ）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作A B （或B A ）,读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.2.真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集. （2）若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子集个数为2n －2.【基础知识】B A考点一：集合的判断例1．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）下面给出的四类对象中,构成集合的是（ ） A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．（2021-2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）给出下列关系：①13∈R ；②3∈Q ；③－3∉Z ；④3-∉N,其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】13是实数,①正确；3是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－3是无理数,④正确.所以正确的个数为2.故选B. 考点三：集合中元素互异性的应用例3．（2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．3-【答案】C【解析】由元素的互异性可得22321321a aa a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a ≠且3a ≠-且1a ≠-.故选C. 考点四：集合的表示例4．（多选）集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为（ ）A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈【答案】AB【解析】对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确；对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误； 对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误.故选AB.考点五：集合关系的判断例5．（多选）（2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考）下列各式中正确的是（ ）A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，， 【答案】BD 【解析】由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．（2021-2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考）已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围(2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围【解析】 (1)∵2,B ∈{}1B x a x a =-<<,∴12a a -<<,即23a <<,∴实数a 的取值范围为23a <<；(2)∵B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,∴115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤, 故实数a 的取值范围为05a ≤≤.考点七：子集个问题例7．（2021-2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估）集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为（ ） A ．8B ．6C ．7D ．15【答案】C 【解析】{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷Ⅱ卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．4 【答案】A【解析】(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y x y x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A ．2.（2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考）下列各对象可以组成集合的是（ ）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B【解析】对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD 中的元素不确定,故不能构成集合,ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B 正确.故选B.3. （2021-2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中）给出下列四个关系：π∈R , 0∉Q ,0.7∈N , 0∈∅,其中正确的关系个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D【解析】∵R 表示实数集,Q 表示有理数集,N 表示自然数集,∅表示空集,∴π∈R ,0∈Q ,0.7∉N ,0∉∅,∴正确的个数为1 .故选D .4.（2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ,b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ,c ,a }；正确的有（ ）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A 【解析】①中,a 是集合{a }中的一个元素,{}a a ∈,所以①错误；空集是任一集合的子集,所以②正确；{}a 是{},a b 的子集,所以③错误；任何集合是其本身的子集,所以④正确；a 是{},,b c a 的元素,所以⑤正确.故选A.5.（2021-2022学年江西省重点名校高一3月联考）设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】B【解析】因为(){}{}200,2M x x x =-==,由题意可知,集合N 为M 的子集,则满足条件的集合N 的个数为224=.故选B.6.（2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考）集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．±1【答案】B 【解析】因为{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,且0a ≠,所以0b a =,即0b =,所以21a =,1a =±, 又因为1a ≠,所以1a =-,所以()2016201620152015=101a b +-+=,故选B.7.（多选）（2021-2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中）下列集合中,可以表示为{}2,3的是（ ）A ．方程2560x x ++=的解集B ．最小的两个质数C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解【答案】BCD【解析】对于A,方程2560x x ++=的解集为{}2,3--,不符合；对于B,最小的两个质数构成的集合{}2,3,符合；对于C,大于1小于4的整数构成的集合{}2,3,符合；对于D,由23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩,可得172x x >⎧⎪⎨<⎪⎩,即712x <<,故整数解集为{}2,3,符合. 故选BCD8.（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【答案】0【解析】当0a =时,B =∅,显然B A ⊆,符合题意；当0a ≠时,显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数,而集合A 中的两个元素不互为相反数,所以集合B 、A 之间不存在子集关系,不符合题意,故答案为0【过关检测】1．（2021-2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是（ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形 【答案】C【解析】由题意,集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得a b c d ,,,四个元素互不相等,以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,结合选项,只能为梯形.故选C.2．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）①{}00∈,②{}0∅⊆,③{}(){}0,10,1=,④(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】{}00∈正确；{}0∅⊆正确；{}(){}0,10,1=不正确,左边是数集,右边是点集； (){}(){}(),,a b b a a b =≠不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.故正确的有①②,共2个. 故选B.3.（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考）已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3【答案】A 【解析】因为{}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,所以2m =或2322m m -+=,解得2m =或0m =或3m =,当2m =时2320m m -+=,即集合A 不满足集合元素的互异性,故2m ≠,当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性,故0m ≠,当3m =时{}0,3,2A =满足条件；故选A 4.（2021-2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考） 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<【答案】A 【解析】当121a a ->-时,即当0a <时,B A =∅⊆,合乎题意；当121a a -≤-时,即当0a ≥时,由B A ⊆可得11211a a -≥-⎧⎨-≤⎩,解得01a ≤≤,此时01a ≤≤. 综上所述,1a ≤.故选A.5. （2021-2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测）当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素,则2019G ∈；③集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是（ ）A ．①②④B ．②③④⑤C ．①④⑤D ．①②④⑤ 【答案】D【解析】对于①,当a b =且,a b G ∈时,由数域定义知：0a b G -=∈,∴0是任何数域的元素,①正确；对于②,当0a b =≠且,a b G ∈时,由数域定义知：1a G b=∈, 112G ∴+=∈,123G +=∈,134G +=∈,…,120182019G +=∈,②正确；对于③,当2a =,4b =时,12a Gb =∉,③错误； 对于④,若,a b Q ∈,则,,a b a b ab Q +-∈,且当0b ≠时,a Q b∈,则有理数集是一个数域,④正确； 对于⑤,0G ∈,若b G ∈且0b ≠,则b G -∈,则这个数不为0则必成对出现,∴数域的元素个数必为奇数,⑤正确.故选D.6.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末）下列关系式错误的是（ ）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C ⊆QD ．0∈Z【答案】AC【解析】A 选项由于符号∈用于元素与集合间,∅是任何集合的子集,所以应为{0}∅⊆,A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间,C 错误；D 选项Z 是整数集,所以0∈Z 正确.故选AC.7.（多选）（2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试）已知集合{}4A x ax =≤,{}4,2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．2【答案】ABC 【解析】因为B A ⊆,所以4A ∈,2A ∈,则4424a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得1a ≤.故选ABC 8.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考）已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______. 【答案】(),3-∞【解析】∵A C ⊆,∴A 和C 如图：∴a ＜3.故答案为(),3-∞.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______．【答案】{}|43,N n n k k =+∈【解析】被4除余3的自然数即为4的整数倍加3,因此{|43,N}A n n k k ==+∈． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈；(2){}1,2,3,4C =,D {x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.【解析】(1)由题意,任取4y m B =∈,有2(2),2y m m N =⨯∈,故yA ,且6,6AB ∈∉,故B A(2)由于D {x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12}=,故C D (3)由于{}32,N E x x x +=-<∈{|5,}{1,2,3,4}x x x N +=<∈=,故E F。
