北师大数学选修22配套作业：第一章 推理与证明 §2 含解析

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．24533．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A ，BB ，CC ，DD ，EA ，E疏散乘客时间（s ）186125160175145则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D4．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（ ） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于135．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+， 即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（ ） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法6．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？ A ．正三角形的顶点B ．正三角形的中心C ．正三角形各边的中点D ．无法确定7．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20648．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电11．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理二、填空题13．某同学在解决一道数学题时发现01212323434234345445567----222222222222====，，，，，依此规律可以求得112nk k k =+∑关于n 的最简表达式为__________．14．观察下面数表： 1， 3，5， 7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，………..设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.15．已知[x]表示不大于x 的最大整数，设函数f （x ）=[log 2x 219+],得到下列结论：结论1：当2<x<3时，f （x ）max=-1. 结论2：当4<x<5时，f （x ）max=1. 结论3：当6<x<7时，f （x ）max=3. ……照此规律，结论6为_____16．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．17．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．18．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝31nn a a + (n ∈N *)，可以猜测数列通项a n 的表达式为________.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n S n =+- ， n *∈N . 算出数列的前4项的值后，猜想该数列的通项公式是__________.20．如图所示，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-. （1）求1234,,,a a a a ;（2）猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明． 22．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知122311113n n x x x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．23．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．24．用数学归纳法证明：()2135(21)N n n n ++++⋯+-=∈．25．当*n N ∈时，111111234212n S n n=-+-++--，11111232n T n n n n=+++++++ （Ⅰ）求1S ，2S ，1T ，2T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.26．在数列{}n a 中，112a =，133n n na a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当n k =时，左边的代数式为11112k k k k++⋯++++， 当1n k =+时，左边的代数式为11111232122k k k k k k ++⋯++++++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果. 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：开方AB 、出口时间为186s ，开方BC 、出口时间为125s ，得C 比A 快； 开方CD 、出口时间为160s ，开方DE 、出口时间为175s ，得C 比E 快；开方AB 、出口时间为186s ，开方A E 、出口时间为145s ，得E 比B 快； 开方BC 、出口时间为125s ，开方CD 、出口时间为160s ，得B 比D 快； 综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C. 故选C.点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.4．D解析：D 【解析】分析：由题意结合反证法即可确定题中的结论. 详解：不妨假设2,2,23a a a a +++都小于13， 由不等式的性质可知：()()()22231a a a a +++++<，事实上：()()()2223aa a a +++++245a a =++ ()2211a =++≥，与假设矛盾，故假设不成立，即2,2,23a a a a +++至少有一个不小于13. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查不等式的性质，反证法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A解析：A 【解析】分析：由题意结合分析法的定义可知题中的证明方法应用了分析法. 详解：题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法， 即原等式成立应用了分析法. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查分析法的特征及其应用，意在考查学生的转化能力和知识应用能力.6．B解析：B 【解析】分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC 错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心. 本题选择B 选项.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．7．B解析：B 【解析】第一行数字之和为1112-=；第二行数字之和为2122-=；第三行数字之和为3142-=； 第四行数字之和为4182,...-=，第n 行数字之和为12n na ，31041122a a ∴+=+810241032=+=，故选B.【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．D解析：D【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2 ，6）根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球故选D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.9．C解析：C【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符；当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.10．D解析：D【解析】选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;180，归纳出所有三角形的内角和都是选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0180,是归纳推理;选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理;选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理;故选D.11．A解析：A【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.12．A解析：A【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理. 本题选择A 选项.点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．二、填空题13．【解析】分析：由已知中：可得：利用裂项相消法可得答案详解：由已知中：归纳可得：故故答案为：点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子解析：332nn +-. 【解析】 分析：由已知中：01212323234345456,,, (222222222)=-=-=- 可得：1123222k k k k k k -+++=-，利用裂项相消法，可得答案. 详解：由已知中：01212323234345456,,, (222222222)=-=-=-， 归纳可得：1123222k k k k k k -+++=-. 故011223111344556233...+32222222222nk n n n k k n n n -=++++=-+-+-+-=-∑. 故答案为：332nn +-. 点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．14．13【解析】根据上面数表的数的排列规律13579…都是连续奇数第一行1个数第二行2=21个数且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数且第1个数是15=24解析：13【解析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数， 第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1 第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1 第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1 …第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3， 所以m+n=13； 故填13．15．当时【解析】由题意得当时其中根据上述的运算规律可以归纳得出结论当时点睛：本题考查归纳推理的应用解答中根据给定式子的计算得到计算的规律是解答的关键归纳推理属于合情推理对于合情推理主要包括归纳推理和类比解析：当1213x <<时，()122392max f x =⨯-= 【解析】由题意得，当1213x <<时，其中()max f x 根据上述的运算规律， 可以归纳得出结论当1213x <<时，()max 122392f x =⨯-=． 点睛：本题考查归纳推理的应用，解答中根据给定式子的计算，得到计算的规律是解答的关键，归纳推理属于合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．（而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．16．28【解析】由题意可第一列的指数和和前面的的数字相同即第二列的数字全为负数且系数和比前面的的相同即比小2所以是肩上两个数绝对值和减1所以所以；故答案为解析：28 【解析】由题意可第一列的指数和和前面的n α的数字相同，即8m =，第二列的数字全为负数，且系数和比前面的n α的相同，即8n =-，p 比n 小2，所以6p =，q 是肩上两个数绝对值和减1，所以20q =，2r =，所以88620228m n p q r ++++=-+++=；故答案为28.17．（或）【解析】由式子可知第n 个式子分母是2n+1共2n 项所以解析：24sinsin 2121n n ππ+++++24sinsin02121k n n n ππ++=++（或212sin021nk k n π==+∑） 【解析】由式子可知，第n 个式子，分母是2n+1,共2n 项。

一、选择题1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．2．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．93．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -4．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）A ．当n=7时该命题不成立B ．当n=7时该命题成立C ．当n=9时该命题不成立D ．当n=9时该命题成立5．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁6．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =++++-=时，假设*(n k k N =∈）时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )A ．(1)()23f k f k k +=+-B ．(1)()21f k f k k +=+-C ．(1)()21f k f k k +=++D ．(1)()23f k f k k +=++7．下列类比推理正确的是( )A ．把()a b c +与x y a +类比，则有x y x y a a a +=+B ．把()a a b +与()a a b ⋅+类比，则有()2a ab a a b ⋅+=+⋅C ．把()nabc 与)n x y z （++类比，则有)n n n n x y z x y z ++=++（ D ．把()ab c 与()a b c ⋅⋅类比，则有()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．329．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++11．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯12．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电二、填空题13．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．15．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 16．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是 ________．17．已知数列{}1214218421:,,,,,,,,,1121241248n a 其中第一项是0022，接下来的两项是100122,22，再接下来的三项是210012222,,222，依此类推，则9899a a ⨯=__________． 18．点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022d A B=+，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________．19．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．20．如图所示，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．三、解答题21．已知数列{}n a 各项均为正数，满足2333(1)122n n a n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 22．给出下列等式: 1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, 1-4+9-16=-(1+2+3+4), ……(1)写出第5个和第6个等式,并猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你猜想的等式. 23．设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1 12311(Ⅱ) 数表如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值； 表2(Ⅲ)对由个整数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.24．已知正项数列{}n a 中，121a =-且1111,.n n n na a n N a a *++-=+∈ （1）分别计算出234,,a a a 的值，然后猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 25．设等差数列的公差，且，记（1）用分别表示，并猜想；（2）用数学归纳法证明你的猜想. 26．已知集合{}0,1A =，{}()11,lg ,20=->aB a a a ，请用反证法证明：{}1AB ≠.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;B 选项,,故错误;C 选项,故正确;D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.2．B解析：B 【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩D ．甲、丁可以知道自己的成绩2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20483．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．4．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -5．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．2747．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于18．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作D ；④以为圆心，以长为半径作A 交D 于，则为黄金三角形．根据上述作法，可以求出（ ）A ．B ．C ．D ．10．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯11．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理12．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．14．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=15．对于自然数方幂和()12k kk k S n n =+++（n *∈N ，k *∈N ），1(1)()2n n S n +=，2222()12S n n =+++，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1， 33﹣23＝3×22＋3×2＋1， ……(n ＋1)3﹣n 3＝3n 2＋3n ＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n ＋1)3﹣13＝23()S n ＋13()S n ＋n ，解得2()S n ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，类比以上过程可以求得54324()A B C D E F S n n n n n n =+++++，A ，B ，C ，D ，E ，F ∈R 且与n 无关，则A ＋F 的值为_______．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S =______17．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，则1212C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则12S S =__________． 18．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．19．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；④“0a =”是“函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________．20．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块.三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.22．对任意正整数n ，设n a 表示n 的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，n S 表示数列{}n a 的前n 项和.（1）求1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的值； （2）是否存在常数s ，t ，使得()()212246mmm s t S-+⋅+=对一切m 1≥且*m N ∈恒成立？若存在，求出s ，t 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由. 23．已知1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 24．给出下列等式: 1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, 1-4+9-16=-(1+2+3+4), ……(1)写出第5个和第6个等式,并猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你猜想的等式. 25．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 26．设等差数列的公差，且，记（1）用分别表示，并猜想；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【分析】先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.2．A解析：A【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n1212n-==-2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n()12n n+ =，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．3．C解析：C【分析】结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A选项,13不满足某个数的平方,故错误;B选项,,故错误;C选项,故正确;D选项,,故错误.故选C.【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.4．D解析：D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．5．D解析：D 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．6．A解析：A 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-7．D解析：D 【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则112a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则21ab=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b cb c a<<<，则3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【分析】不妨假设2AD =，则1DG =，故cos36︒= 故选B.10．B解析：B 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.11．A解析：A【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理. 本题选择A 选项.点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．12．B解析：B 【解析】 【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．二、填空题13．72【解析】分析：先求出2018排在第几行再找出它在这一行的第几列即得的值详解：第1行有1个偶数第2行有2个偶数第n 行有n 个偶数则前n 行共有个偶数2018在从2开始的偶数中排在第1009位所以当n=解析：72 【解析】分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得i j +的值. 详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，，第n 行有n 个偶数，则前n 行共有(1)1+2+3++2n n n +=个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位， 所以(1)1009,45.2n n n +≥∴≥ 当n=44时，第44个偶数为44(441)219802+⨯=，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,由题得2018排在第45行的第27位，所以i j +=45+27=72. 故答案为72.点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式(1)10092n n +≥找到2018所在的行. 14．【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1第2个等式开头为2第3个等式开头为3第4个等式开头为4则第n 个等式开头为n 第1个等式左侧有1个解析：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第n 个等式即可. 详解：首先观察等式左侧的特点： 第1个等式开头为1，第2个等式开头为2， 第3个等式开头为3，第4个等式开头为4， 则第n 个等式开头为n ，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数， 第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数， 则第n 个等式左侧有2n -1个数， 据此可知第n 个等式左侧为：()()132n n n ++++-，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9， 第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49，则第n 个等式右侧为()221n -， 据此可得第n 个等式为()()()213221n n n n ++++-=-.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．15．【解析】分析：先根据推导过程确定AF 取法即得A ＋F 的值详解：因为所以所以所以点睛：本题考查运用类比方法求解问题考查归纳观察能力解析：15. 【解析】分析：先根据推导过程确定A,F 取法，即得A ＋F 的值. 详解：因为4432(1)4641n n n n n +-=+++,55432(1)5101051n n n n n n +-=++++，所以4321(1)14()6()4()n S n S n S n n +-=+++,54321(1)15()10()10()5()n S n S n S n S n n +-=++++所以43231231()4S n n a n a n a n =+++, 543241()5S n n Bn Cn Dn En =++++,所以11,055A F A F ==+=，. 点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力.16．【分析】将杨辉三角中的奇数换成1偶数换成0可得第1次全行的数都为1的是第2行第2次全行的数都为1的是第4行…由此可知全奇数的行出现在2n 的行数即第n 次全行的数都为1的是第2n 行126＝27﹣2故可得解析：【分析】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决． 【详解】解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…， 由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126＝27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4＝31+2，∴S126＝2×31+2＝64，故答案为：64点睛：本题考查归纳推理，属中档题.17．【解析】分析：平面图形类比空间图形二维类比三维得到类比平面几何的结论确定正四面体的外接球和内切球的半径之比即可求得结论详解：平面几何中圆的周长与圆的半径成正比而在空间几何中球的表面积与半径的平方成正解析：1 9【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是13，1219SS∴=，故答案为19.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.18．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.19．①③【解析】对于①定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)则f(x)在R上不一定是增函数但f(x)一定不是R上的减函数；故正确对于②由于ab全为0(ab∈R)的否定为：ab至少有一个不为0故不解析：①③.【解析】对于①定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则f(x)在R上不一定是增函数,但f(x)一定不是R 上的减函数；故正确对于②由于“a、b全为0(a、b∈R)”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故不正确；对于③把函数2236y sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为y =sin2x ，故正确，对于④函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数⇔f (−x )+f (x )=0⇔2a 2x =0,∀x ∈R ,2a 2x =0⇔a =0.因此“a =0”是“函数()()32f x x ax x R =+∈为奇函数”的充要条件，故不正确，故答案为①③．20．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4解析：4n+2 【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个 公差是4，首项为6的等差数列．因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2． 故答案为4n+2．三、解答题21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】 （1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =， 则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+， 即当1n k =+时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．（1）11a =，21a =，32a =，41a =，53a =；（2）11s t =-⎧⎨=⎩，见解析.【分析】（1）根据定义计算即可；（2）先由11211S S -==，23214S S -==，372114S S -==确定出s ，t 的值，再利用数学归纳法证明. 【详解】（1）1的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以11a =， 2的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以21a =， 3的最大正奇因数为3，最小正奇因数为1，所以32a =， 4的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以41a =， 5的最大正奇因数为5，最小正奇因数为1，所以53a =.（2）由（1）知，11211S S -==，23214S S -==，372114S S -==，所以()()()()()()2241644446884146s t s t s t ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得11s t =-⎧⎨=⎩. 下面用数学归纳法证明： ①当1m =时，()()121212416S--+==，成立；②假设当m k =（1k ，*k N ∈）时，结论成立，即()()2121246k kk S--+=，那么当1m k =+时，易知当n 为奇数时，12n n a +=；当n 为偶数时，2nn a a =. 所以()()111112132421212122k k k k S a a a a a a a a a ++++----=+++=+++++++()()1221122k k a a a -=+++++++()21122k k S -=++++()212122k k k S -+=+()()()321221246k k k k ⨯++-+=()21123246k k +++⨯-=()()1121246k k ++-+=.所以当1m k =+时，结论成立.综合①②可知，()()2121246mmm S --+=对一切m 1≥且*m N ∈恒成立.【点睛】本题考查数列中的新定义问题，利用数学归纳法证明等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 23．（1）4381,,,325；（2）21n nS n =+，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案； （2）由（1）得到前四项和的规律可猜想21n nS n =+，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。

2016-2017学年高中数学第一章推理与证明章末综合测评（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章推理与证明章末综合测评（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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（一）推理与证明(时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。

下面四个推理不是合情推理的是（）A.由圆的性质类比推出球的有关性质B。

由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D。

蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理。

【答案】C2。

用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线"的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面,这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线.则正确的序号顺序为( )A。

①②③ B.③①②C。

①③② D.②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②。

姓名，年级：时间：第一章测评（时间：120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。

否定结论“至多有两个解"的说法中，正确的是( ） A 。

有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解解析:至多有两个解包含：有两个解,有一个解,无解三种情况。

答案:C2。

设n ∈N +,f (n ）=1+12+13+…+1n ，计算知f （2)=32,f （4）〉2，f (8)>52,f (16)〉3,f (32)〉72,由此猜想（ )A.f (2n ）>2n+12 B 。

f （n 2)≥n+22C 。

f （2n)≥n+22D.以上都不对解析:根据题意，由f (2)=32,f (4)〉42,f （8）>52，f (16)>62即可猜想f （2n）≥n+22，故选C 。

答案:C3。

用数学归纳法证明：1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n =2nn+1时,由n=k 到n=k+1左边需要添加的项是( ）A 。

2k (k+2)B 。

1k (k+1)C.1(k+1)(k+2)D 。

2(k+1)(k+2)解析:由n=k 到n=k+1,左边需要添加的项是11+2+3+…+(k+1)=2(k+1)(k+2). 答案:D4。

下列推理正确的是( ）A 。

把a (b+c ）与log a (x+y ）类比,则有：log a （x+y ）=log a x+log a y B.把a （b+c )与sin （x+y )类比,则有：sin （x+y )=sin x+sin yC 。

把（ab )n 与(x+y ）n 类比,则有:(x+y )n =x n +y nD 。

把（a+b )+c 与（xy ）z 类比，则有:(xy ）z=x (yz ） 答案：D5.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2（n∈N+)时,验证n=1,左边应取的项是（）A。

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种 2．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（ ） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=4．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9105．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于16．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b D ．3m n p r b b b b =7．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---8．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5059．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90︒”，下列假设中正确的是（ ） A ．假设有两个内角超过90︒ B ．假设有三个内角超过90︒ C ．假设至多有两个内角超过90︒D ．假设四个内角均超过90︒10．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1D ．都不小于1二、填空题13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*31,2,nn n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.14．对于自然数方幂和()12k k k k S n n =+++（n *∈N ，k *∈N ），1(1)()2n n S n +=，2222()12S n n =+++，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1， 33﹣23＝3×22＋3×2＋1， ……(n ＋1)3﹣n 3＝3n 2＋3n ＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n ＋1)3﹣13＝23()S n ＋13()S n ＋n ，解得2()S n ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，类比以上过程可以求得54324()A B C D E F S n n n n n n =+++++，A ，B ，C ，D ，E ，F ∈R 且与n 无关，则A ＋F 的值为_______． 15．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为d =,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.16．学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓高三学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况.甲说：“我没去”；乙说：“丁去了”；丙说：“乙去了”；丁说：“我没去”.班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，但只有一位说了假话，则去了幸福广场的这位同学是_______.17．观察下列各式：(1) 2()2x x '=，(2) 43()4x x '=，(3) (cos )sin x x '=-，……，根据以上事实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则(0)g =____. 18．观察下列数表： 1 3 5 7 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29设2017是该表第m 行的第n 个数，则m n +的值为__________．19．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为()()()()()22222222133223232232312213391++++⋅+⋅++⋅+⋅=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为__________． 20．给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论： 对于=________________________．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈，证明：*12111232()3nn n N b b b +++<+∈ 22．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1122,1n n n a a n n N a --=≥∈+. （1）用a 表示2a ，3a ，4a ；（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之.23．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 24．数列{}n a 满足2()n n S n a n =-∈*N .（Ⅰ）计算1a ，2a ，3a ，并由此猜想通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想. 25．设等差数列的公差，且，记（1）用分别表示，并猜想；（2）用数学归纳法证明你的猜想.26．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足11()2n n na S a +=. (1)求123,,a a a (2)由(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．D解析：D 【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当n k =时，左边的代数式为11112k k k k++⋯++++， 当1n k =+时，左边的代数式为11111232122k k k k k k ++⋯++++++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.3．A解析：A 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3），利用平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1），即可求得结论． 【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3）∵平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1）， ∴﹣（x ﹣1）﹣2×（y ﹣2）+1×（z ﹣3）＝0 ∴x +2y ﹣z ﹣2＝0， 故选A ． 【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．4．B解析：B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ．【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．5．D解析：D 【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则112a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则21ab=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b cb c a<<<，则3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<6．D解析：D 【详解】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3m n p r b b b b =”成立，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.7．A解析：A 【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75-，符合,C 选项值为73-，不符．所以选A. 【点睛】对于选择题的选项是关于n 的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．8．D解析：D 【解析】n阶幻方共有2n个数，其和为()222112...,2n nn n++++=阶幻方共有n行，∴每行的和为()()2221122n nn nn++=，即()()2210110101,50522nn nN N+⨯+=∴==，故选D.9．D解析：D【解析】“至少有一个内角不超过90︒”的反面含义为“四个内角没有一个不超过90︒”,即四个内角均超过90︒,选D.10．A解析：A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b，3号门里是c，乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c c，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b是正确的；乙同学说的2号门中有d是正确的；并同学说的3号门中有c是正确的；丁同学说的4号门中有a是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,b dc a，所以4号门里是a，故选A.点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．11．A解析：A【解析】【分析】根据数塔，归纳可知，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，从而可得结果.【详解】由19211⨯+=；1293111⨯+=；123941111⨯+=；12349511111⨯+=，...，归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，123456*********∴⨯+=，故选A.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） .12．B解析：B 【分析】用反证法证明，假设同时大于1，推出矛盾得出结果 【详解】假设()21a b ->，()21b c ->，()21c a ->， 三式相乘得()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->，由()02a b c ，，，∈，所以()220212a a a a -+⎛⎫<-≤= ⎪⎝⎭，同理()21b b -≤，()21c c -≤，则()()()2221a a b b c c -⋅-⋅-≤与()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->矛盾，即假设不成立，所以()()()222a b b c c a ---，，不能同时大于1，所以至少有一个不大于1， 故选B 【点睛】本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合二、填空题13．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式求得它们的公共项归纳它们之间的项数计算可得所求值【详解】由可得：：：可得与中的公共项为：且到之间有两个元素到之间有个元素到之间有个元素到之间有个元素到之间有个元 解析：679【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，求得它们的公共项，归纳它们之间的项数，计算可得所求值. 【详解】由*31,2,nn n a n b n N =-=∈可得：{}n a ：2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,，{}n b ：2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,， 可得{}n a 与{}n b 中的公共项为：2,8,32,128,512,2048,，且2到8之间有两个元素，8到32之间有8个元素，32到128之间有32个元素，128到512之间有128个元素，512到2048之间有512个元素；由2832128512682++++=，而102420212048<<， 且2021在数列{}n a 中， 而2021到2048之间有8个元素， 则68258679n =+-=； 故答案为：679. 【点睛】关键点睛：本题主要考查归纳推理的应用.利用{}n a 与{}n b 的通项公式得到{}n a 与{}n b 的公共项，归纳它们之间的项数是解决本题的关键.14．【解析】分析：先根据推导过程确定AF 取法即得A ＋F 的值详解：因为所以所以所以点睛：本题考查运用类比方法求解问题考查归纳观察能力解析：15. 【解析】分析：先根据推导过程确定A,F 取法，即得A ＋F 的值. 详解：因为4432(1)4641n n n n n +-=+++,55432(1)5101051n n n n n n +-=++++，所以4321(1)14()6()4()n S n S n S n n +-=+++,54321(1)15()10()10()5()n S n S n S n S n n +-=++++所以43231231()4S n n a n a n a n =+++, 543241()5S n n Bn Cn Dn En =++++,所以11,055A F A F ==+=，. 点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力.15．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得解析：2. 【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离d ==2. 点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.16．乙【解析】假设甲去过则甲说了假话乙说了假话丙说了假话丁说了真话与只有一位说了假话矛盾假设乙去过则甲说了真话乙说了假话丙说了真话丁说了真话与只有一位说了假话一致故填乙解析：乙【解析】假设甲去过，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，与只有一位说了假话矛盾.假设乙去过，则甲说了真话，乙说了假话，丙说了真话，丁说了真话，与只有一位说了假话一致.故填乙.17．0【解析】由（x2）=2x 中原函数为偶函数导函数为奇函数；（x4）=4x3中原函数为偶函数导函数为奇函数；（cosx ）=﹣sinx 中原函数为偶函数导函数为奇函数；…我们可以推断偶函数的导函数为奇函数解析：0 【解析】由（x 2）'=2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （x 4）'=4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （cosx ）'=﹣sinx 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； …我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数． 若定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x ）， 则函数f （x ）为偶函数，又∵g （x ）为f （x ）的导函数，则g （x ）奇函数 故g （﹣x ）+g （x ）=0，即g （﹣0）=﹣g （0），g （0）=0 故答案为：0．18．【解析】根据数表的数的排列规律都是连续奇数第一行有个数第二行有个数且第一个数是；第三行有个数且第一个数是；第四行有个数且第一个数是第行有个数且第一个数是在第行是第行的第个数故答案为 解析：508【解析】根据数表的数的排列规律，1,3,5,...都是连续奇数第一行，有1个数，第二行，有2个数,且第一个数是221-；第三行，有3个数，且第一个数是321-；第四行，有4个数，且第一个数是42 1...-，第n 行，有n 个数，且第一个数是21n - ，1011211023,212047-=-=， 2017∴在第10行，()20171023+12,498n n =-⨯=，2017∴是第10行的第498个数，10498508m n ∴+=+=，故答案为508.19．【解析】试题分析：类比的所有正约数之和的方法有：的所有正约数之和可按如下方法得到：因为所以的所有正约数之和为所以的所有正约数之和为故应填考点：1合情推理解析：465． 【解析】试题分析：类比36的所有正约数之和的方法有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为3220025=⨯，所以200的所有正约数之和为232(1222)(155)465+++++=，所以200的所有正约数之和为465，故应填465．考点：1、合情推理．20．1-【解析】解：根据已知的表达式可以观察归纳得到=1-解析：1-1(1)2nn +⋅．【解析】解：根据已知的表达式可以观察归纳得到=1-三、解答题21．（1）6n a n =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由2132n n S n a =+，可得21113(1)2n n S n a ++=++，两式相减得1126n n a a n ++=+，故有()211216n n a a n +++=++，两式相减可得212n n a a +-=.故{}n a 中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，分别取出通项公式，可得n a ；（2）求出n b .法一：222(3231)642323231n n n b n n n n ==<=+-++++-，可证不等式成立.法二：利用数学归纳法(结合分析法、放缩法等)证明. 【详解】 （1）2132n n S n a =+，21113(1)2n n S n a ++∴=++，1126n n a a n +∴+=+，()211216n n a a n ++∴+=++，两式相减可得212n n a a +-=.{}n a ∴中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列.2132n n S n a =+中,令n =1,得16a =, 令2n =可得：22211212,2S a a ∴=+=. ()()211121126621k a a k k k -∴=+-=-=⨯-， ()221211262k a a k k k =+-==⨯，综上所述可得6n a n =. （2）法一：64n b n =+.1n b ==<=，12[(52)(85)(3231)]3nn nb ++<-+-+++--=< 法二：数学归纳法(结合分析法、放缩法等)证明：①当n=1时,左边==，右边所以不等式成立. ②假设当()n k k N *=∈时,1kb+<则当n=k+1时11k b+++<<3<,<=.1610k =<+是成立的, 所以n=k+1时,不等式成立.根据①②知原不等式对于任意n *∈N 成立.【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查利用数学归纳法证明不等式，属于中档题.22．（1）221a a a =+，3413a a a =+，4817aa a =+（2）猜想：()112121n n n a a a --=+-，证明见解析 【分析】（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明 【详解】解：（1）1a a =，∴221a a a =+，3413a a a =+，4817aa a=+； （2）猜想：()112121n n n aa a--=+-. 证明：当1n =时，结论显然成立；假设n k =时结论成立，即()112121k k k aa a--=+-，则1n k =+时，()()()1111122121221211121k k k k k kk a a a a aaa--+--⋅+-==+-++-，即1n k =+时结论成立. 综上，对*n N ∈时结论成立. 【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题 23．（1）4（2）见证明 【解析】 【分析】（1）由题意，化简函数的解析式为21()1211x f x x x x ==-++--，利用基本不等式，即求解其最小值；（2）利用数学归纳证明方法，即可作出证明. 【详解】（1）当1x >时，10x ->，2211(1)(1)11()12241111x x x x f x x x x x x -++-+====-++≥=----当且仅当2x =时等号成立，故2()1x f x x =-的最小值为4.⑵证明:①当n 1=时，左边1122=≥，所以当n 1=时，命题成立； ②假设当n k =时，命题成立 则有()*1111k N k 1k 22k 2+++≥∈++ ， 则当n k 1=+时，左边111k 2k 32k 2++++++ 11111111112k 1k 22k 2k 12k 2k 122k 2k 12⎛⎫=+++++-≥+⨯-= ⎪+++++++⎝⎭ ， 所以当n k 1=+时，命题也成立， 综上①②可知原命题成立. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及数学归纳证明不等式，其中解答中合理化简、构造 “一正、二定、三相等”，合理利用基本不等式求解，以及熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）计算出123371,,24a a a ===，由此猜想1212n n n a --=.( Ⅱ)利用数学归纳法证明猜想.详解：（Ⅰ）123371,,.24a a a ===，由此猜想1212n n n a --=；（Ⅱ）证明：当1n =时，11a =，结论成立；假设n k =（1k ≥，且k N +∈），结论成立，即1212k k k a --=，当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以()111+112122212222k k k k k k a a +-+--++-===，这就是说,当1n k =+时，结论成立， 根据(1)和(2)可知对任意正整数结论都成立，即1212n n n a --= ()n N +∈.点睛：（1）本题主要考查不完全归纳法和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）数学归纳法证明的关键是证明当n=k+1时命题成立，这时要利用已知和假设. 25．（1）.；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分别求出的值，观察共有性质，从而可归纳猜想出；（2）根据数学归纳法的基本原理，①当n ＝1时，验证猜想正确，②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论正确即可. 试题 （1）T 1＝＝； T 2＝＋＝×＝×＝； T 3＝＋＋＝×＝×＝由此可猜想T n ＝.（2）证明：①当n ＝1时，T 1＝，结论成立．②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立， 即T k ＝.则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋＝＋＝＝.即n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，T n ＝对于一切n ∈N *恒成立．26．(1)见解析. (2)见解析. 【解析】试题分析：（I ）由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n 分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想1n a n n =-（II ）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设． 试题(1)当1n =时，111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴11a =或11a =-(舍,0n a >). 当2n =时，1222112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴221a =． 当3n =时，12333112a a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，∴232a =． 猜想：1n a n n =- (2)证明：①当1n =时，显然成立． ②假设n k =时，1k a k k -成立， 则当1n k =+时，1111111122k k k k k k k a S S a a a a ++++⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1111k kk ka aa a++⎛⎫-=-+=-=-⎪⎝⎭∴1ka+.由①、②可知，*n N∀∈，na点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立．。

一、选择题1．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（ ） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -3．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立4．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确5．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 6．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20647．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球8．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．189．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12510．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -二、填空题13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*31,2,nn n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.14．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=，…． 按照以上规律，若11111111n n=具有“穿墙术”，则n =_______． 15．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______.16．点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022d A B=+，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________． 17．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．18．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 19．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．20．甲、乙、丙、丁四人分别去买体育彩票各一张，恰有一人中奖．他们的对话如下，甲说：“我没中奖”；乙说：“我也没中奖，丙中奖了”；丙说：“我和丁都没中奖”；丁说：“乙说的是事实”．已知四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是__________．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性． 22．已知函数2()1f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2425()n n S n n f a +=+． （1）求1234,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，()*2n n S n na n N +=∈.（1）试写出数列{}n a 的任意前后两项（即n a 、1n a +）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：()*23n a n n N =-∈.24．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =.（1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n b 满足()121nb nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立. 26．给出下面的数表序列：其中表()1,2,3,...n n =有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表()3n n ≥（不要求证明）（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3），利用平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1），即可求得结论． 【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3）∵平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1）， ∴﹣（x ﹣1）﹣2×（y ﹣2）+1×（z ﹣3）＝0 ∴x +2y ﹣z ﹣2＝0， 故选A ． 【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．2．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

§2 综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示]综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ， 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1． 因为0°<B<120°， 所以30°<B＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α， 又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β.用综合法证明几何问题【例2】 如图，在四面体B­ACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD ，AD平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.证明空间位置关系的一般模式本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明](1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2＝DE 2＋CE 2，∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 12A 1C 1，AO 12A 1C 1， ∴EFAO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE平面BDE ，AF平面BDE ，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a∈R)．(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab ≥2．(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋ab≥2(a，b 同号，即ab>0)．(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，a b ＋b a≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a>0，b>0， ∴ab ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ， 即ab ＋ba≥a ＋ b. 【例3】 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ， 所以xy≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9.法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋yx ≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥4.法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy>0， 当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤13.[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc， a 2＋c 2≥2ac.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴(a＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)． 又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，mβ，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]3．已知p ＝a ＋1a －2(a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q<22＝4≤p.]4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .2.2 分析法学 习 目 标核 心 素 养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C<D.这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab，只需证a 2＋b 2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥0应用分析法证明不等式【例1】 已知a>b>0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a>b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ， 即证b<a ，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2．[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a ＝0，即只需证a ＝－b ，又f(x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c2b ，且a>0，b>0，c>0.要证(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)， 因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a≥b＋c.由于2a ＝b 2c ＋c2b ，故只需证b 2c ＋c2b≥b＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c)(b 2＋c 2－bc)≥(b＋c)bc ， 即证b 2＋c 2－bc≥bc，即证(b －c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2accos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 逆推，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路， 利于思考(优点) 表述形式 形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错 思考的 侧重点侧重于已知条 件提供的信息侧重于结论 提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值决定C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P<Q ，故猜想当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P<Q 成立．]3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca ≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．。

一、选择题1．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．92．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确 3．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50B ．42C ．-50D ．-424．下列类比推理正确的是( )A ．把()a b c +与x y a +类比，则有x y x y a a a +=+B ．把()a a b +与()a a b ⋅+类比，则有()2a ab a a b ⋅+=+⋅C ．把()nabc 与)n x y z （++类比，则有)n n n n x y z x y z ++=++（ D ．把()ab c 与()a b c ⋅⋅类比，则有()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ 5．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k +6．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( )A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---7．用反证法证明命题：“若x ，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( ) A ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有两个小于12 B ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有一个小于12C ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不小于12D ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于128．根据给出的数塔猜测12345697⨯+=（ ）19211⨯+= 1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．11111139．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电 10．“因为e 2.71828=是无限不循环小数，所以e 是无理数”，以上推理的大前提是（ ）A ．实数分为有理数和无理数B ．e 不是有理数C ．无限不循环小数都是无理数D ．无理数都是无限不循环小数11．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D12．已知222233+=333388+=44441515+=m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，，则76是数列中的第__________项．14．如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．15．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分．16．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=44441515=55552424=则按照以上规律，若100100100100n n=，具有“穿墙术”，则n =_____． 17．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．18．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________． 19．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝31nn a a + (n ∈N *)，可以猜测数列通项a n 的表达式为________. 20．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+（1）求1a ，2a ，3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明； （2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想．23．在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明. 24．设a ＞0，f (x )＝axa x+，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 25．在数列{}n a 中，112a =，133n n na a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．26．证明：223333(1)1234n n n ++++⋯+=，其中*n N ∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误，点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题3．C解析：C 【解析】分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假即可. 详解：逐一考查所给命题的真假：A . 由指数的运算法则可得x y x y a a a +=，原命题错误；B . 由向量的运算法则可知：()2a ab a a b ⋅+=+⋅，原命题正确； C . 由多项式的运算法则可知)n n n n x y z x y z ++≠++（，原命题错误； D . 由平面向量数量积的性质可知()()a b c c a b ⋅⋅≠⋅⋅，原命题错误； 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查类比推理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【详解】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.6．A解析：A在四个选项中代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75-，符合,C 选项值为73-，不符．所以选A. 【点睛】对于选择题的选项是关于n 的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．7．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，由于反证法证明命题:“若2()f x x px q =++，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于12，故选D.考点：反证法. 8．B解析：B 【解析】 由1×9+2=11； 12×9+3=111； 123×9+4=1111； 1234×9+5=11111； …归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同， ∴123456×9+7=1111111， 本题选择B 选项.9．D解析：D 【解析】选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0180，归纳出所有三角形的内角和都是0180,是归纳推理;选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理; 选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理; 故选D.10．C【解析】由题意得: 大前提是无限不循环小数都是无理数,选C.11．B解析：B 【解析】由图知，A 表示圆，B 表示三角形，C 表示竖线，D 表示矩形，()5∴表示B D *，()6表示A C *，故选B.12．C解析：C 【解析】分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，222m m m mλ+∴<=+.令()2f m m m =+，()221f m m ='-，2m ≥，()0f m ∴'>，()f m ∴单调递增，∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，3λ∴<.故选：C.点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．二、填空题13．【解析】分析：将所给数据分组发现每组数据分子分母以及分子与分母和的共同规律结合等差数列的求和公式求解即可详解：发现数列第一组分子与分组和为第二组分子与分母和为第三组分子与分母和为因为所以是第组第七个 解析：73【解析】分析：将所给数据分组，发现每组数据分子、分母以及分子与分母和的共同规律，结合等差数列的求和公式求解即可.详解：1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，，发现数列第一组11→分子与分组和为2， 第二组12，21→分子与分母和为3， 第三组13，22，31→分子与分母和为4，因为6713+=，所以76是第12组第七个数， 第12组前面共有111212311662⨯++++==个数， 76是第66773+=项，故答案为73． 点睛：本题主要考查归纳推理，属于中档题. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.14．4951【解析】分析：计算前5行的第二个数字发现其中的规律得出结论详解：设第n 行的第2个数为an 由图可知a2=2=1+1a3=4=1+2+1a4=7=1+2+3+1a5=11=1+2+3+4+1…归解析：4951 【解析】分析：计算前5行的第二个数字，发现其中的规律，得出结论．详解：设第n 行的第2个数为a n ，由图可知，a 2=2=1+1，a 3=4=1+2+1，a 4=7=1+2+3+1，a 5=11=1+2+3+4+1…归纳可得a n =1+2+3+4+…+（n-1）+1=(1)2n n -+1，故第100行第2个数为：10099149512⨯+=，故答案为4951 点睛：本题考查了归纳推理，等差数列和，属于基础题．15．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即 解析：(1)12n n ++ 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。

2.1综合法学习目标 1.理解综合法的意义.2.掌握综合法的思维特点.3.会用综合法解决问题.知识点综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.答案利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论.梳理综合法的定义及特点(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法.(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”.(3)模式：综合法可以用以下的框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q其中P为条件，Q为结论.类型一用综合法证明不等式例1已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.证明∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角.通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则. (2)用综合法证明不等式时常用的结论 ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0).跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数. 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c >3.类型二 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β). 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin [(α＋β)－α]＝sin β， 所以原等式成立.反思与感悟 证明三角恒等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数公式.(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C， 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C . 类型三 综合法在数列中的应用例3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N ＋).其中m 为常数，且m ≠－3，m ≠0.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)，求证：{1b n }为等差数列.证明 (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， 得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3， 两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ， 因为m ≠0且m ≠－3， 所以a n ＋1a n ＝2mm ＋3，所以{a n }是等比数列. (2)因为b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， 所以n ∈N ＋且当n ≥2时， b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，b n b n －1＋3b n ＝3b n －1，1b n －1b n －1＝13，所以{1b n }是以1为首项，13为公差的等差数列.引申探究1.若本例中条件：m ＝1，求{a n }的前n 项和. 解 若m ＝1，则a n ＋1a n ＝21＋3＝12.由已知得(3－1)S 1＋2a 1＝4，所以a 1＝1， 即数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，S n ＝1－(12)n1－12＝2[1－(12)n ]＝2－21－n .2.若本例条件不变，求{a n }的通项公式及前n 项和. 解 由(1)知，{a n }是公比为2mm ＋3的等比数列. 由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，令n ＝1，得(3－m )S 1＋2ma 1＝m ＋3， 故a 1＝1，所以a n ＝(2m m ＋3)n －1.若m ≠3，则S n ＝(2m m ＋3)n －12m m ＋3－1＝m ＋3m －3[(2m m ＋3)n－1].若m ＝3，则S n ＝n ，故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，m ＝3，m ＋3m －3[(2m m ＋3)n －1]，m ≠3且m ≠－3，m ≠0.反思与感悟 综合法证明数列问题的依据跟踪训练3 已知在数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列.证明 (1)∵S n ＋1＝4a n ＋2， ∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2…)， 即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n ). ∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2…)， ∴b n ＋1＝2b n .由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2及a 1＝1， 得a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.由此可知，数列{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列. (2)由c n ＝a n2n (n ＝1,2…)，得c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n 2n ＋1＝b n2n ＋1， ①将b n ＝3·2n－1代入①式，得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2…).由此可知，数列{c n }是公差为34的等差数列.1.设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为( ) A.a >b B.a ＝b C.a <b D.无法确定答案 A解析 ∵a ＝lg2＋lg5＝lg10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2.设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A.cB.bC.aD.随x 取值不同而不同答案 A解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a . 3.已知a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.|a |>|b | B.a 2>b 2 C.ac >bc D.e a >e b答案 D解析 ∵y ＝e x 是增函数且a >b ， ∴e a >e b .4.已知数列{a n }为等差数列，公差d ＝1，数列{c n }满足c n ＝a 2n －a 2n ＋1(n ∈N ＋).判断数列{c n }是否为等差数列，并证明你的结论. 解 数列{c n }为等差数列，证明如下：因为数列{a n }为等差数列，公差d ＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d .又数列{c n }满足c n ＝a 2n －a 2n ＋1(n ∈N ＋). 所以c n ＝a 2n －a 2n ＋1＝－2n －2a 1＋1.所以c n ＋1－c n ＝－2， 所以数列{c n }为等差数列.1.用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹.2.应用综合法证明命题“若A 则D ”的思考过程可表示为故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如B ，B 1，B 2等，可由B ，B 1，B 2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C ，C 1，C 2，C 3，C 4等.所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“关键”.课时作业一、选择题1.若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( ) A.x >0，y >0 B.x <0，y <0 C.x >0，y <0 D.x <0，y >0答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，xy >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0.2.在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( ) A.b 2＋c 2≥a 2 B.b 2＋c 2>a 2 C.b 2＋c 2≤a 2 D.b 2＋c 2<a 2答案 D解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2. 3.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A.a ≤12B.ab ≥12C.a 2＋b 2≥2D.a 2＋b 2≤3答案 C解析 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.4.下列函数f (x )中，满足“任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A.f (x )＝1xB.f (x )＝(x －1)2C.f (x )＝e xD.f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 选项C ，D 中的两个函数在(0，＋∞)上均为增函数，选项B 中的函数在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.只有f (x )＝1x 在(0，＋∞)上为减函数.故选A.5.若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为( ) A.P >Q B.P ＝QC.P <QD.由a 的取值确定答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∴P 2<Q 2，即P <Q .6.若A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 C解析 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 二、填空题7.已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞).A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________. 答案 C <B <A解析 ∵a ＋b 2>ab >2aba ＋b ，又f (x )＝2x 在R 上为增函数，8.已知p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p ，q 的大小关系为__________. 答案 p ≤q 解析 q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .9.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋ba ＋c ＝________.答案 1解析 由余弦定理知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，① a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2，②将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c＝1.10.已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b ＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________.答案 (0,16]解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋⎝⎛⎭⎫9a b ＋b a ≥10＋29＝16，∴a ＋b 的最小值为16， ∴要使a ＋b ≥μ恒成立， 只需16≥μ，∴0<μ≤16.11.设函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )>f (b )，则ab 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 f (x )＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－lg x (0<x <1)，lg x (x ≥1)，①当0<a <b <1时，f (a )－f (b )＝－lg a ＋lg b ＝lg ba >0，∴ab ∈(0,1). ②当0<a <1≤b 时，f (a )－f (b )＝－lg a －lg b ＝－lg ab >0， ∴lg ab <0，即0<ab <1，③当1≤a <b 时，f (x )＝lg x (x ≥1)为增函数， ∴lg a <lg b 不符合题意. 综上所述，ab ∈(0,1). 三、解答题12.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形. 证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①又因为A ，B ，C 为△ABC 的三个内角， 所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形.13.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…).求证：(1)数列{S nn }为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)因为a n ＋1＝n ＋2n S n ，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ， 所以n ＋2n S n ＝S n ＋1－S n ，所以S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，所以S n ＋1n ＋1S n n＝2.因为a 1＝1，所以S 1＝1，所以S 11＝1，所以数列{S nn }是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由(1)知，{S nn }的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1，所以S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1，所以S n ＋1＝4a n . 四、探究与拓展14.设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )].答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )].15.已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋)在函数y ＝x 2＋1的图像上. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ， 求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.解 (1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1， 则a n ＋1－a n ＝1.又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n .故b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n －1. 因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n <0， 所以b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.。

一、选择题1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20482．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（ ） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -4．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -5．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立6．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++7．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于18．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---9．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +- (0<x <13)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25D ．210．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯11．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（ ） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++，则m =__________.14．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．15．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．16．已知函数()xf x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，则()2017f x =__________．17．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；④“0a =”是“函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________． 18．观察下列数表：1 3 5 7 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29设2017是该表第m 行的第n 个数，则m n +的值为__________． 19．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．对任意正整数n ，设n a 表示n 的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，n S 表示数列{}n a 的前n 项和.（1）求1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的值； （2）是否存在常数s ，t ，使得()()212246mmm s t S-+⋅+=对一切m 1≥且*m N ∈恒成立？若存在，求出s ，t 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，()*2n n S n na n N +=∈.（1）试写出数列{}n a 的任意前后两项（即n a 、1n a +）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：()*23n a n n N =-∈.23．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1122,1n n n a a n n N a --=≥∈+.（1）用a 表示2a ，3a ，4a ；（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之. 24．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 25．求证：()()2333*1212L n L n n N +++=+++∈.26．已知n *∈N ，(1)(2)(),n S n n n n =+++213(21)n n T n =⨯⨯⨯⨯-.(Ⅰ)求 123123,,,,,S S S T T T ；(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072，故选A ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．2．A解析：A 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3），利用平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1），即可求得结论． 【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3）∵平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1）， ∴﹣（x ﹣1）﹣2×（y ﹣2）+1×（z ﹣3）＝0 ∴x +2y ﹣z ﹣2＝0， 故选A ． 【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．3．C解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．4．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩D ．甲、丁可以知道自己的成绩3．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．24534．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -5．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9106．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个大于2 7．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数8．下面结论正确的是（ ）①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m 是2的倍数，则m 一定是4的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式必为()n a n n =∈*N .A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④9．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（ ） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =10．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111311．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现12．已知222233+=333388+=44441515+=m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(,22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*31,2,nn n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.14．某同学在解决一道数学题时发现01212323434234345445567----222222222222====，，，，，依此规律可以求得112nk k k =+∑关于n 的最简表达式为__________．15．现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险16．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．17．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．18．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．19．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中的三角垛倒数第二层茭草总束数为______．20．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____．三、解答题21．已知{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,11331542,,a b a b a a b ===+=．设,n n n n c a b S =是数列{}n c 的前n 项和．(1)求,n n a b ；(2)试用数学归纳法证明：18(34)2n n S n +=+-⋅．22．已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，且满足0n a >，()242n n n S a a n N +=+∈. （1）计算1234,,,a a a a ，根据计算结果猜想n a 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的结论. 23．已知1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 24．已知n *∈N ，(1)(2)(),n S n n n n =+++213(21)n n T n =⨯⨯⨯⨯-.(Ⅰ)求 123123,,,,,S S S T T T ；(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.25．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足11()2n nna S a +=. (1)求123,,a a a (2)由(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 26．已知f （x ）22x =+f （0）+f （1），f （﹣1）+f （2），f （﹣2）+f （3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当n k =时，左边的代数式为11112k k k k++⋯++++， 当1n k =+时，左边的代数式为11111232122k k k k k k ++⋯++++++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.2．D解析：D 【分析】先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了. 【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D. 【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.3．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.4．D解析：D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．5．B解析：B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．6．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.7．C解析：C 【解析】分析：“都是”的否定为“不都是”，观察选项只有C 符合.详解：“都是”的否定为“不都是”，故“a ，b 都是正实数”否定为“a ，b 中至少有一个不是正实数”. 故选C.点睛：本题考查命题的否定，属基础题.8．A解析：A 【解析】①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m 是2的倍数，则m 一定是4的倍数”这是三段论推理，但其结论是错误的，原因是大前提“所有2的倍数都是4的倍数”错误，故①正确；②在类比时，平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故②错误；③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理，且是类比推理，正确；④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是()n a n n N *=∈错误，如数列1,2,3,5，故④错误，∴正确的命题是①③，故选A.9．C解析：C 【解析】“且”的否定为“或”，故选C ： 0x ≠或0y ≠10．A解析：A 【解析】 【分析】根据数塔，归纳可知，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，从而可得结果. 【详解】 由19211⨯+=；1293111⨯+=； 123941111⨯+=； 12349511111⨯+=，...，归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，123456*********∴⨯+=，故选A.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） .11．C解析：C 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置． 【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,，由于22441936,452025==，2244201945<<， 所以故2019是第45行的倒数第4个数， 所以数字2019的位置为（45,42）． 故选C ． 【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． （2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．12．C解析：C 【解析】分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，222m m m mλ+∴<=+.令()2f m m m =+，()221f m m ='-，2m ≥，()0f m ∴'>，()f m ∴单调递增，∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，3λ∴<.故选：C.点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．二、填空题13．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式求得它们的公共项归纳它们之间的项数计算可得所求值【详解】由可得：：：可得与中的公共项为：且到之间有两个元素到之间有个元素到之间有个元素到之间有个元素到之间有个元 解析：679【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，求得它们的公共项，归纳它们之间的项数，计算可得所求值. 【详解】由*31,2,nn n a n b n N =-=∈可得：{}n a ：2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,，{}n b ：2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,， 可得{}n a 与{}n b 中的公共项为：2,8,32,128,512,2048,，且2到8之间有两个元素，8到32之间有8个元素，32到128之间有32个元素，128到512之间有128个元素，512到2048之间有512个元素；由2832128512682++++=， 而102420212048<<， 且2021在数列{}n a 中， 而2021到2048之间有8个元素，则68258679n =+-=； 故答案为：679. 【点睛】关键点睛：本题主要考查归纳推理的应用.利用{}n a 与{}n b 的通项公式得到{}n a 与{}n b 的公共项，归纳它们之间的项数是解决本题的关键.14．【解析】分析：由已知中：可得：利用裂项相消法可得答案详解：由已知中：归纳可得：故故答案为：点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子解析：332nn +-. 【解析】 分析：由已知中：01212323234345456,,, (222222222)=-=-=- 可得：1123222k k k k k k -+++=-，利用裂项相消法，可得答案. 详解：由已知中：01212323234345456,,, (222222222)=-=-=-， 归纳可得：1123222k k k k k k -+++=-. 故011223111344556233 (32222222222)k n n n k k n n n -=++++=-+-+-+-=-∑. 故答案为：332nn +-. 点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．15．①②③【解析】∵所有纺织工都是工会成员所有工会成员都投了健康保险∴所有纺织工都投了健康保险故①正确；∵所有纺织工都是工会成员所有工会成员都投了健康保险部分纺织工是女工∴有些女工投了健康保险故②正确；解析：①②③ 【解析】∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险 ∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确；∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工 ∴有些女工投了健康保险，故②正确；∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险∴有些女工没有投健康保险，故③正确；∵所有工会成员都投了健康保险∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误.故答案为①②③.16．5【解析】根据表格得到甲同学答错的是第五题乙同学答错的是第三个和第五个丙同学答错的是第一个三个五个故第五题的正确的答案为：A 故答案为(1)5(2)A解析：5【解析】根据表格得到甲同学答错的是第五题，乙同学答错的是第三个和第五个，丙同学答错的是第一个三个，五个．故第五题的正确的答案为：A ．故答案为(1). 5 (2). A.17．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=18．丙【解析】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.19．120【解析】试题分析：由题意第n 层茭草束数为1+2+…+n=利用1+3+6+…+=680求出n 即可得出结论解：由题意第n 层茭草束数为1+2+…+n=∴1+3+6+…+=680即为n （n+1）（2n解析：120【解析】试题分析：由题意，第n 层茭草束数为1+2+…+n=，利用1+3+6+…+=680，求出n ，即可得出结论．解：由题意，第n 层茭草束数为1+2+…+n=， ∴1+3+6+…+=680， 即为[n （n+1）（2n+1）+n （n+1）]=n （n+1）（n+2）=680，即有n （n+1）（n+2）=15×16×17，∴n=15，∴=120．故答案为120考点：归纳推理． 20．【解析】试题分析：前行共有=个数所以第个数是故答案为考点：1合情推理与演绎推理；2等差数列求和 解析：262n n -+ 【解析】试题分析：前n 1-行共有123...++++1n -=(1)2n n -(3)n ≥个数，所以第3个数是 ()216322n n n n --++=．故答案为262n n -+． 考点：1、合情推理与演绎推理；2等差数列求和．三、解答题21．(1)31,2n n n a n b =-=；(2)见解析【分析】(1) 设{}n a 的公差为{},n d b 的公比为q ,再利用基本量法根据题中所给的条件求,d q 即可.(2)先证明当1n =时结论成立.再假设当n k =时18(34)2k k S k +=+-⋅成立,再根据11k k k S S c ++=+,化简证明当1n k =+时也成立即可.【详解】(1)设{}n a 的公差为{},n d b 的公比为q ,由112a b ==,得12(1),2n n n a n d b q -=+-=．又由33154,a b a a b =+=,得23222,2242,d q d q ⎧+=⎨++=⎩解得3,2d q ==． 所以31,2n n n a n b =-=．(2)证明：由(1)知,(31)2n n c n =-⋅,则14c =．①当1n =时,1118(314)24S +=+⨯-⋅=,结论成立．②假设当n k =时,18(34)2k k S k +=+-⋅成立,则当1n k =+时,11118(34)2(32)2k k k k k S S c k k ++++=+=+-⋅++⋅18(62)2k k +=+-⋅2(1)18(31)28[3(1)4]2k k k k +++=+-⋅=++-⋅,结论也成立． 综合①②,由数学归纳法可知,18(34)2n n S n +=+-⋅. 【点睛】本题主要考查了基本量法求解等差等比数列通项公式的方法,同时也考查了数学归纳法证明的问题.属于中档题.22．（1）12a =，24a =，36a =，48a =，猜想2n a n =.（2）证明见解析【分析】(1)把1,2,3,4n =分别代入()242n n n S a a n N +=+∈依次计算1234,,,a a a a ，根据结果容易猜想n a 的表达式；(2)按照用数学归纳法证明命题的两个步骤，用上()2211111224k k k k k k k a S S a a a a ++++=-=+--，对该式子朝着目标化简整理即可. 【详解】 （1）解：当1n =时，211142a a a =+，12a =，当2n =时，12222442a a a a +=+，24a =，当3n =时，1223334244a a a a a ++=+，36a =，当4n =时，212344444442a a a a a a +++=+，48a =，故猜想2n a n =.（2）证明：①当1n =时，显然成立②假设当n k =时2k a k =，则当1n k =+时，()2211111224k k k k k k k a S S a a a a ++++=-=+-- ()221112444k k a a k k ++=+-- ∴221114244k k k a a a k k +++=+--∴()2112410k k a a k k ++--+= 即：()()112210k k a k a k +++-+=⎡⎤⎣⎦∵0n a >，∴()121k a k +=+，即当1n k =+时，结论成立.综上所述，由①②可知2n a n =.【点睛】（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的()1n k k =≥时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到n ()S f n =或()n f a ，要注意联想到()12,n n n a s s n n N -+=-≥∈解题；中档题.23．（1）4381,,,325；（2）21n n S n =+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四项和的规律可猜想21n n S n =+，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于23．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D4．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）A ．当n=7时该命题不成立B ．当n=7时该命题成立C ．当n=9时该命题不成立D ．当n=9时该命题成立5．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁6．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，1()f x '=，2()f x '=，*1())n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（ ） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于139．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年 B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年10．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90︒”，下列假设中正确的是（ ）A ．假设有两个内角超过90︒B ．假设有三个内角超过90︒C ．假设至多有两个内角超过90︒D ．假设四个内角均超过90︒11．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d12．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理二、填空题13．用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)+++=⋅⋅⋅-n n n n n n 的过程中，由k 到1k +时，右边应增加的因式是____________.14．记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由·a b R ∈，类比得·x y I ∈ ②由20a ≥，类比得20x ≥③由()2222a b a ab b +=++，类比得()2222x y x xy y +=++ ④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>- 15．现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险16．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．17．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.18．将自然数1，2，3，4，…排成数阵（如右图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，…，则转第100个弯处的数是______．19．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为()()()()()22222222133223232232312213391++++⋅+⋅++⋅+⋅=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为__________． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥.（1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.22．如图，已知点O 是ABC 内任意一点，连接AO 、BO 、CO ，并延长交对边于1A 、1B 、1C ，则1111111OA OB OC AA BB CC ++=，这是平面几何中的一个命题，其证明常采用“面积法”.运用类比猜想点O 是空间四面体A BCD -内的任意一点，连接AO 、BO 、CO 、DO ，并延长分别交面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 于点1A 、1B 、1C 、1D ，试写出结论，并加以证明.23．已知函数()2231x f x x -=+．（1）计算()()13,4,3f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭及14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明； （3）求值：()()()111122015232015f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．24．数列{}n a 满足()*21n n S a n n N +=+∈.（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 25．已知数列()1111,,,,,1223341n n ⨯⨯⨯+，（1）先计算前几项和123,,,S S S 并猜想前n 项和n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明n S 的表达式。

一、选择题1．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．92．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -3．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -4．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立 D ．当9n =时该命题成立 5．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ）A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数6．下列类比推理正确的是( )A ．把()a b c +与x y a +类比，则有x y x y a a a +=+B ．把()a a b +与()a a b ⋅+类比，则有()2a ab a a b ⋅+=+⋅C ．把()nabc 与)n x y z （++类比，则有)n n n n x y z x y z ++=++（ D ．把()ab c 与()a b c ⋅⋅类比，则有()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅7．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．328．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（ ） A ．4B ．2C ．3D ．19．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．110．“因为e 2.71828=是无限不循环小数，所以e 是无理数”，以上推理的大前提是（ ）A ．实数分为有理数和无理数B ．e 不是有理数C ．无限不循环小数都是无理数D ．无理数都是无限不循环小数11．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（ ） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =12．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*31,2,nn n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.14．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.15．学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓高三学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况.甲说：“我没去”；乙说：“丁去了”；丙说：“乙去了”；丁说：“我没去”.班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，但只有一位说了假话，则去了幸福广场的这位同学是_______. 16．观察下面数表： 1， 3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，………..设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.17．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是__________．18．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；④“0a =”是“函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________． 19．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝31nn a a + (n ∈N *)，可以猜测数列通项a n 的表达式为________.20．观察下列等式：……据此规律，第个等式可为____________________________________．三、解答题21．已知数列{}n a 满足1a a =，112n na a +=-（*n N ∈）； （1）求2a 、3a 、4a ； （2）猜想数列{}n a 的通项公式； （3）用数学归纳法证明你的猜想；22．已知函数()()211xx f x a a x -=+>+. （1）判断()f x 在()1,-+∞上的单调性并证明；（2）用适当的方法证明方程()0f x =没有负根. 23．已知数列{}n x 满足1111,,21n nx x x +==+其中n *∈N . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论. 24．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.25．数列{}n a 满足()*21n n S a n n N +=+∈.（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 26．已知数列11111,,,,,12233445(1)n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，…的前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果，猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 表达式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．3．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

一、选择题1．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥2．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（ ） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=3．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．94．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ）A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数 5．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确6．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（ ） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于137．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++C ．11331k k -++ D ．133k + 8．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球9．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项10．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．1811．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩12．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -二、填空题13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*31,2,nn n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过,,A B C 三个城市时，甲说:我没去过C 城市；乙说:我去过的城市比甲多，但没去过B 城市；丙说:我们三人去过同一城市，由此可判断甲去过的城市为__________．15．在xOy 平面上，将双曲线的一支221916x y -=(0)x >及其渐近线43y x =和直线0y =、4y =围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分，记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω，过(0,)y (04)y ≤≤作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω体积为________16．观察下列关系式:11x x +=+;()2112x x +≥+;()3113x x +≥+;由此规律,得到的第n 个关系式为__________17．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了． 18．现有这么一列数，2，32，54，78，（ ），1332，1764，…，按照规律，（ ）中的数应为__________.19．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是__________．20．已知()0,x ∈+∞，观察下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，3327274333x x x x x x+=+++≥，…，类比得()*1n a x n n N x +≥+∈，则a =________． 三、解答题21．在数列{}n a 中，已知11a =，112nn na a a +=+. （1）计算2a ，3 a ，4a ；（2）根据计算结果猜想出{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明你的结论.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n a ≥，且()241n n S a =+，n N +∈.（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法予以证明. 23．在数列{a n }中， a 1=1, 131nn n a a a +=+，n =1，2，3．．． (1)计算a 2, a 3, a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式． (2)用数学归纳法证明你的猜想．24．已知数列()1111,,,,,1223341n n ⨯⨯⨯+，（1）先计算前几项和123,,,S S S 并猜想前n 项和n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明n S 的表达式。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章推理与证明同步练习(二)1. 根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案的组成情况是（）●◎◎◎●◎●◎●●●●◎●◎●◎●◎●●◎◎●（1）（2）（3）（4）A. 其中包括了12008⨯个◎1003+B. 其中包括了1⨯个●1003+2008C. 其中包括了20081004⨯个◎D. 其中包括了20081003⨯个●2. 观察表中数据的规律，右下角应填入的数是（）j h 1 3 40 28 162 8 32 64 564 256A. 128B. 256C. 512D. 10243. 实数的乘积运算和向量的数量积运算类比中不成立的运算率是（ ） A. a b b a ⋅=⋅类比a b b a ⋅=⋅B. )()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅类比)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅C. 22a a =类比22a a a a ==⋅D. ac ab c b a +=+)(类比c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(4. 已知函数n mx x x f ++=22)(，则)3(,)2(,)1(f f f 与1的大小关系为（ ）A. 没有一个小于1B. 至多有一个不小于1C. 都不小于1D. 至少有一个不小于15. 数列{}n a 中，b a a a n a a a n n n ==≥-=-+2111,),2(，设n n a a a S +++= 21，则j下列结论正确的是（ ）A. a b S a a -=-=2,100100B. a b S b a -=-=2,100100C. a b S b a -=-=100100,D. a b S a a -=-=100100,6. 命题“若函数)(x f 对于定义域R 内任意实数x 都有0)(≠x f ，且对于任意R y x ∈,，恒有)()()(y f x f y x f ⋅=+成立，则对于任意R x ∈都有0)(>x f 成立”，用反证法证明时，结论的否定是（ ）A. 存在R x ∈0，有0)(0<x fB. 任意R x ∈，有0)(≤x fC. 任意R x ∈，有0)(<x fD. 存在R x ∈0，有0)(0≤x f7. 用数学归纳法证明不等式：)2,(12131211*≥∈<-++++n N n n n 时，从“)2(≥=k k n ”到“1+=k n ”需要增添的项是（ ） Ａ.1211-+kB. ())211212(2121211k k k k k k 个共+--++++C. ())1212(1211212111个项共+---++++++k k k k kD. ())1212(1212212111个项共+---++++++k k k kk8. 命题“对于任意角θθθθcos2sin cos ,44=-”的证明过程：“θθθθθθθθθcos2sin cos )sin cos )(sin cos (sin cos 22222244=-=+-=-” 应用了 （ ）Ａ. 分析法 B. 综合法 C. 综合法、分析法结合使用 D. 间接证法9. ndm b nc ma q cd ab p +⋅+=+=,（n m d c b a ,,,,,均为正数），则q p ,的大小为（ ）A. q p ≥B. q p ≤C. q p >D. 不确定10. 已知函数)(x f y =，对任意的两个不相等的实数21,x x ，都有)()()(2121x f x f x x f =+成立，且0)0(≠f ，则)2006()2005()2005()2006(f f f f --的值是（ ）A. 0B. 1C. !2006D. 2)!2006(11. 设0,0>>b a ，且k b a b a ≥+=+22,1，则k 的最大值为_________。

一、选择题1．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．24532．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式3．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立 D ．当9n =时该命题成立4．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于15．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b bD ．3m n p r b b b b =6．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +- (0<x <13)的最小值为( ) A ．5B ．15C ．25D ．27．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B ．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C ．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D ．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩9．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电10．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( ) A ．,,a b c 没有偶数 B ．,,a b c 恰好有一个偶数 C ．,,a b c 中至少有一个偶数 D ．,,a b c 中至少有两个偶数 11．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90︒”，下列假设中正确的是（ ）A ．假设有两个内角超过90︒B ．假设有三个内角超过90︒C ．假设至多有两个内角超过90︒D ．假设四个内角均超过90︒ 12．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1nax n x +≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -二、填空题13．记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由·a b R ∈，类比得·x y I ∈ ②由20a ≥，类比得20x ≥③由()2222a b a ab b +=++，类比得()2222x y x xy y +=++ ④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>- 14．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=15．数表的第1行只有两个数字3，7，从第2行开始，先按序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第10行的各个数之和等于__________．16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．17．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.18．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 19．观察下列等式：……据此规律，第个等式可为____________________________________．20．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块.三、解答题21．观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想．22．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12N n n na S n S =+-∈．(Ⅰ)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；(Ⅱ)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 23．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.24．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =.（1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n b 满足()121nb nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立. 25．在数列{}n a 中，112a =，133n n na a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20483．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯4．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9105．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）A ．当n=7时该命题不成立B ．当n=7时该命题成立C ．当n=9时该命题不成立D ．当n=9时该命题成立6．设ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则()12S r a b c =++.类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ,4S ，体积为V ，内切球半径为R ，则V =（ ）A ．()1234R S S S S +++B ．()123412R S S S S +++ C ．()123413R S S S S +++ D ．()123414R S S S S +++ 7．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁8．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．189．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯10．用数学归纳法证明“11112321n ++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+= 1293111⨯+=123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．14．如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．15．某同学在解决一道数学题时发现01212323434234345445567----222222222222====，，，，，依此规律可以求得112nk k k =+∑关于n 的最简表达式为__________．16．已知数列{}n a 为等差数列，则有12320a a a -+= 1234330a a a a -+-= 123454640a a a a a -+-+=类似上三行,第四行的结论为________________.17．观察下列各式：(1) 2()2x x '=，(2) 43()4x x '=，(3) (cos )sin x x '=-，……，根据以上事实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则(0)g =____. 18．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____．19．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．已知正数列{}n a 满足233312n a n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+（1）求1a ，2a ，3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明； （2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．23．已知数列{}n x 满足1111,,21n nx x x +==+其中n *∈N . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论. 24．已知数列{}n a 中，11a =，136nn na a a +=-. （1）写出234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.25．（本小题满分14分）若n 为正整数，试比较132n -⋅与23n +的大小，分别取1,2,3,4,5n =加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．26．设a ，b 均为正数，且a b ．证明：（1）664224a b a b a b +>+（2>【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当n k =时，左边的代数式为11112k k k k++⋯++++， 当1n k =+时，左边的代数式为11111232122k k k k k k ++⋯++++++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.2．A解析：A 【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072，故选A ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．B解析：B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190，即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．5．A解析：A 【解析】分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立， P （n ）对n=8不成立，P （n ）对n=7也不成立， 否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立． 与当n=7时该命题不成立矛盾 故选：A ．点睛：当P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立．6．C解析：C 【解析】分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．详解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为1234123411111()33333A BCD V S R S R S R S R S S S S R -=+++=+++ 故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查类比推理和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.（2）类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．7．A解析：A【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立.详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.8．B解析：B【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×13S•r=13•S•h，r=14h．（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故选B ．点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）． 9．B解析：B 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.10．C解析：C 【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121n-； 由n=k ，末项为121k -到n=k+1，末项为11121212k k k+=--+，∴应增加的项数为2k ． 故选C ．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据数塔，归纳可知，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，从而可得结果. 【详解】 由19211⨯+=；1293111⨯+=； 123941111⨯+=； 12349511111⨯+=，...，归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，123456*********∴⨯+=，故选A.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） .12．C解析：C 【解析】分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，222m m m mλ+∴<=+.令()2f m m m =+，()221f m m ='-，2m ≥，()0f m ∴'>，()f m ∴单调递增，∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，3λ∴<.故选：C.点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．二、填空题13．217【分析】根据题意类比36的所有正约数之和的方法分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）计算可得答案【详解】根据题意由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方解析：217 【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案． 【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52， 所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=217． 可求得100的所有正约数之和为217； 故答案为：217. 【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．14．4951【解析】分析：计算前5行的第二个数字发现其中的规律得出结论详解：设第n 行的第2个数为an 由图可知a2=2=1+1a3=4=1+2+1a4=7=1+2+3+1a5=11=1+2+3+4+1…归解析：4951 【解析】分析：计算前5行的第二个数字，发现其中的规律，得出结论．详解：设第n 行的第2个数为a n ，由图可知，a 2=2=1+1，a 3=4=1+2+1，a 4=7=1+2+3+1，a 5=11=1+2+3+4+1…归纳可得a n =1+2+3+4+…+（n-1）+1=(1)2n n -+1，故第100行第2个数为：10099149512⨯+=，故答案为4951 点睛：本题考查了归纳推理，等差数列和，属于基础题．15．【解析】分析：由已知中：可得：利用裂项相消法可得答案详解：由已知中：归纳可得：故故答案为：点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子解析：332nn +-. 【解析】 分析：由已知中：01212323234345456,,, (222222222)=-=-=- 可得：1123222k k k k k k -+++=-，利用裂项相消法，可得答案. 详解：由已知中：01212323234345456,,, (222222222)=-=-=-， 归纳可得：1123222k k k k k k -+++=-. 故011223111344556233 (32222222222)k n n n k k n n n -=++++=-+-+-+-=-∑. 故答案为：332nn +-. 点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．16．【解析】观察前三个式子可知三个式子的项数分别是所以第四个式子有项前三个式子奇数项为正偶数项为负项的系数满足二项式定理系数的形式所以第四项的结论：故答案为【方法点睛】本题通过观察几组多项式式归纳出一般 解析：1234565101050a a a a a a -+-+-=【解析】观察前三个式子，可知三个式子的项数分别是3,4,5，所以第四个式子有6项，前三个式子奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式，所以第四项的结论：1234565101050a a a a a a -+-+-=，故答案为1234565101050a a a a a a -+-+-=.【方法点睛】本题通过观察几组多项式式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.17．0【解析】由（x2）=2x 中原函数为偶函数导函数为奇函数；（x4）=4x3中原函数为偶函数导函数为奇函数；（cosx ）=﹣sinx 中原函数为偶函数导函数为奇函数；…我们可以推断偶函数的导函数为奇函数解析：0 【解析】由（x 2）'=2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （x 4）'=4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （cosx ）'=﹣sinx 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； …我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数． 若定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x ）， 则函数f （x ）为偶函数，又∵g （x ）为f （x ）的导函数，则g （x ）奇函数 故g （﹣x ）+g （x ）=0，即g （﹣0）=﹣g （0），g （0）=0 故答案为：0．18．甲【详解】分析题意只有一人说假话可知假设只有甲说的是假话即丙考满分则乙也是假话故假设不成立；假设只有乙说的是假话则甲和丙说的都是真话即乙没有得满分丙没有得满分故甲考满分假设只有丙说的是假话即甲和乙说解析：甲 【详解】分析题意只有一人说假话可知，假设只有甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，故假设不成立；假设只有乙说的是假话，则甲和丙说的都是真话，即乙没有得满分，丙没有得满分，故甲考满分.假设只有丙说的是假话，即甲和乙说的是真话，即丙说了真话，矛盾，故假设不成立. 综上所述，得满分的是甲.19．【解析】由题意知：结论左端各项分别是和为的各数的倒数右端时为时为故时结论为故答案为【方法点睛】本题通过观察几组不等式归纳出一般规律来考察归纳推理属于中档题归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某 解析：2n【解析】由题意，知：结论左端各项分别是和为1的各数i a 的倒数()1,2,...,i n =，右端2n =时为242,3n ==时为293=，故12,...1i n a R a a a +∈+++=时，结论为()212111...2nn n a a a +++≥≥，故答案为2n . 【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙 【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.三、解答题21．（1）11a =；23a =，36a =；（2）猜想：()12n n n a +=，证明见解析． 【分析】（1）分别令1,2,3n =，即得1a ，2a ，3a 的值； （2）猜想()12n n n a +=，再利用数学归纳法证明. 【详解】（1）当1n =时，3211a =，又0n a >，∴11a =；当2n =时，332212a +=，解得23a =，当3n =时，33323123a ++=，解得36a =．（2）猜想()12n n n a +=， ①当1n =时，由（1）可知结论成立； ②假设当n k =时，结论成立，即()12k k k a +=成立， 则当1n k =+时，由3332l 2k k a +++=与()12k k k a +=得：()()2322211112k k k k k k a a a +++⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，∴()()()()()222223221112111444k k k k k k a k k k ++++⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭，又0n a >， ∴()()1122k k k a +++=成立，综上所述得()12n n n a +=成立． 【点睛】方法点睛：用数学归纳法证明，一般是两步一结论，（1）证明当1n =时命题成立；（2）假设(1)n k k =≥时命题成立，再证明当1n k =+时，命题成立.（3）下结论. 22．（1）11a =，22a =，33a =，猜想n a n =，见解析；（2）1n n T n =+ 【分析】（1）分别计算1a ，2a ，3a ，猜想得n a ，然后依据数学归纳法的证明步骤，可得结果. （2）根据（1）得n b ，然后利用裂项相消法，可得结果. 【详解】 （1）当1n =时，21121S a =+，解得11a =当2n =时，22222S a =+，即()22214a a +=+，得22a =当3n =时，23323S a =+，即()332129a a ++=+，得33a =猜想n a n =，下面用数学归纳法证明： 当1n =时， 11a =，猜想成立 假设当(N n k k +=∈时，猜想成立，即k a k =， (1)2k k k S +=， 则当1n k =+时， 2112(1)k k S a k ++=++， ∴()2112(1)k k k S a a k +++=++，221(1)2(1)(1)1k k a k S k k k k +∴=+-=+-+=+，所以猜想成立综上所述， 对于任意N n +∈，n a n =均成立． （2）由（1）得111(1)1n b n n nn所以11111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1111n nT n n =-=++ 【点睛】本题考查数学归纳法证明方法以及裂项相消法求和，熟练掌握数学归纳法的步骤，同时对常用的求和方法要熟悉，属基础题. 23．（Ⅰ）112x =，223x =，335x =，458x =，5813x =，61321x =（Ⅱ）猜想：数列2{}n x 是递减数列，证明见解析【分析】（I ）根据递推公式，依次求得23456,,,,x x x x x 的值.（II ）由（I ）猜想数列2{}n x 是递减数列.用数学归纳法证得结论成立. 【详解】解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得； 由232213,315x x x ===+得； 由343315,518x x x ===+得； 由454518,8113x x x ===+得； 由5658113,13121x x x ===+得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，已证命题成立；②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，2224k k x x ++-21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说，当1n k =+时命题也成立. 根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立. 【点睛】本小题主要考查根据递推公式求数列各项的值，考查数学归纳法证明数列的单调性，属于中档题. 24．（1）235a =，313a =，4317a =，猜想321n n a =+（2）见解析【解析】 【分析】（1）依递推公式计算234,,a a a ，并把各分子都化为3，可归纳出n a ； （2）用数学归纳法证明即可． 【详解】解：（1）11a =，136n n n a a a +=-，∴235a =，33193a ==，4317a =， 猜想321n n a =+ （2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，由13121a ==+知猜想成立； ②假设()*n k k N =∈时，猜想成立，即321k k a =+ 则()()119393321362162132211621k k k k k k k ka a a +++=====-++-+--+ ∴1n k =+时，猜想成立，根据①②可知，猜想对一切正整数n 都成立. 【点睛】本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明1n k =+时的命题时一定要用到n k =时的归纳假设，否则不是数学归纳法．25．当4n ≥时，132n -⋅>23n +．【解析】试题分析：先依次代入，计算并比较大小，观察趋势，猜想结论：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．再利用数学归纳法给予证明试题解：当1n =时，132n -⋅<23n +；当2n =时，132n -⋅<23n +； 当3n =时，132n -⋅=23n +； 当4n =时，132n -⋅>23n +； 当5n =时，132n -⋅>23n +；猜想：当4n ≥时，132n -⋅>23n +． 证明：当4n =时，132n -⋅>23n +成立； 假设当(4n k k =≥）时，132k -⋅>23k +成立，则1n k =+时，左式=32k⋅=1232k ⋅⋅－>223k +（），右式=213k ++（）， 因为223k +（）－213k ++[()]=222k k -+=211k +（－）>0， 所以，左式>右式，即当1n k =+时，不等式也成立． 综上所述：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．考点：数学归纳法26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用作差比较法()()()()26642242222+a b a b a b a ba b +-+=-，判断差的符号，可得证；（2）运用作差比较法2-=，判断差的符号，可得证. 【详解】（1）因为a ，b 均为正数，且ab ，所以()()()()664224642624a b a b a b a a b b a b +-+=-+-()()()()()()242242222442222++>0a a b b b aa b a baba b =--=--=-，所以()()664224>0a b a ba b +-+，所以664224a b a b a b +>+成立. （2）因为a ，b 均为正数，且a b ，所以-=()2a b-==，>. 【点睛】本题考查用作差比较法证明不等式，把差式化成因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题.。

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯ 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28B ．76C ．123D ．1994．某单位实行职工值夜班制度，已知,,,,5A B C D E 共名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起,B C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几（ ）A ．五B ．四C ．三D ．二5．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ） A ．33x y =B ．33x y >C ．33x y =或33x y >D ．33x y =或33x y <6．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．47．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++8．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 9．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书10．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+= 1293111⨯+= 123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=44441515=55552424=则按照以上规律，若100100100100n n=，具有“穿墙术”，则n =_____．16．已知[x]表示不大于x 的最大整数，设函数f （x ）=[log 2x 219+],得到下列结论：结论1：当2<x<3时，f （x ）max=-1. 结论2：当4<x<5时，f （x ）max=1. 结论3：当6<x<7时，f （x ）max=3. ……照此规律，结论6为_____17．点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________． 18．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可测，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式222+++中，“…”即代表无数次重复，但该表达式却是个定值，它可以通过方程2x x +=，求得2x =，类比上述过程，则3333=__________．19．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.20．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“•=•”；②“（m+n ）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”； ③“t≠0，mt=nt ⇒m=n”类比得到“≠0，•=•⇒=”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||”．以上类比得到的正确结论的序号是 _________ （写出所有正确结论的序号）．三、解答题21．已知函数2()1f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2425()n n S n n f a +=+． （1）求1234,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 22．在数列{a n }中， a 1=1, 131nn n a a a +=+，n =1，2，3．．． (1)计算a 2, a 3, a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式． (2)用数学归纳法证明你的猜想．23．已知正项数列{}n a中，11a =且1111,.n n n na a n N a a *++-=+∈ （1）分别计算出234,,a a a 的值，然后猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 24．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 25．求证：()()2333*1212L n L n n N +++=+++∈.26．记S n =1+2+3+…+n ，T n =12+22+32+…+n 2． （Ⅰ）试计算312123,,S S S T T T 的值，并猜想n nS T 的通项公式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．C解析：C 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．B解析：B 【解析】分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意． 故今天是周四． 故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设分析法，先逐一假设，找到矛盾，就否定这种假设.5．C解析：C 【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立， 而“33x y <”的否定为：“33x y ≥”，故选C ． 考点：反证法与放缩法．6．C解析：C 【详解】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的；对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为(,)24π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．7．B解析：B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

一、选择题1．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．92．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．2743．设ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则()12S r a b c =++.类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ,4S ，体积为V ，内切球半径为R ，则V =（ ）A ．()1234R S S S S +++B ．()123412R S S S S +++ C ．()123413R S S S S +++ D ．()123414R S S S S +++ 4．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于15．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()2f x '=，12()2f x '=，*1())2n n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --6．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球8．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++9．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90︒”，下列假设中正确的是（ ）A ．假设有两个内角超过90︒B ．假设有三个内角超过90︒C ．假设至多有两个内角超过90︒D ．假设四个内角均超过90︒10．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变 12．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 二、填空题13．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．15．如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．16．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 .17．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____． 18．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；④“0a =”是“函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________．19．下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2， l 3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2，… 由归纳思想，第n 个式子3333123(21)n ++++-=________20．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“•=•”；②“（m+n ）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”； ③“t≠0，mt=nt ⇒m=n”类比得到“≠0，•=•⇒=”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||”．以上类比得到的正确结论的序号是 _________ （写出所有正确结论的序号）．三、解答题21．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ， 1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 22．已知数列{}n a 满足1a a =，112n na a +=-（*n N ∈）； （1）求2a 、3a 、4a ； （2）猜想数列{}n a 的通项公式； （3）用数学归纳法证明你的猜想；23．数列{}n a 满足()*2N n n S n a n =-∈.（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 24．记S n =1+2+3+…+n ，T n =12+22+32+…+n 2．（Ⅰ）试计算312123,,S S S T T T 的值，并猜想n nS T 的通项公式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之． 25．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，212nn p a p a （p 是常数）．(1)求234,,a a a ；(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明． 26．是否存在常数c,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x, y 恒成立？试证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2．A解析：A 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-3．C解析：C 【解析】分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．详解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为1234123411111()33333A BCD V S R S R S R S R S S S S R -=+++=+++ 故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查类比推理和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.（2）类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．4．D解析：D 【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则112a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则21ab=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b cb c a<<<，则3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<5．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.6．A解析：A【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立. 详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意； 若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意； 若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意； 故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.7．A解析：A【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可. 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球； 则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。