2016届高考数学(理)二轮复习标准练高考大题(3)
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高考大题标准练(三)
满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考主观题高分！
1.(12分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4-a3=
2.
(1)求{a n}的通项公式.
(2)设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7.问：b6与数列{a n}的第几项相等？
【解析】(1)设等差数列公差为d，则d=a4-a3=2，a1+a2=2a1+2=10，所以a1=4.因此，a n=4+(n-1)×2=2(n+1).
(2)设等比数列公比为q，则b2=8，b3=16，所以q==2，b1=4，b n=2n+1，
b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.所以b6是数列{a n}的第63项.
2.(12分)已知函数f(x)=Asin(A>0，ω>0)图象的一部分如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设α，β∈，f(3α+π)=，f=，求sin(α-β)的值.
【解析】(1)由图象可知A=2，
因为T=-π=π，
所以T=6π=，所以ω=，所以f(x)=2sin.
(2)因为f(3α+π)=2sin=2cosα=，
所以cosα=，
又因为f=2sin(β+π)=-2sinβ=.
所以sinβ=-，
因为α，β∈，
所以sinα=-=-=-.
cosβ===.
所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=×-×=-.
3.(12分)从某企业的某种产品中随机抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图.
(1)求这500件产品中质量指标值落在区间[185,205)内的产品件数.
(2)以这500件产品的样本数据来估计总体数据,若从该企业的所有该产品中任取2件,记产品质量指标值落在区间[215,235]内的件数为ξ,求随机变量ξ的概率分布列.
【解析】(1)产品质量指标值落在区间[185,205)内的频率为
(0.022+0.033)×10=0.55.
所以质量指标值落在区间[185,205)内的产品件数为0.55×500=275.
(2)根据样本频率分布直方图,每件产品质量指标值落在区间[215,235]内的概率为0.1,由题意可得:ξ～B(2,0.1)
所以P(ξ=0)=0.92=0.81,P(ξ=1)=0.1×0.9=0. 18,
P(ξ=2)=0.12=0.01.
所以ξ的概率分布列为
4.(12分)在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,PD⊥DC,底面ABCD是梯形,AB∥
DC,AB=AD=PD=1,CD=2.
(1)求证:平面PBC⊥平面PBD.
(2)设Q为棱PC上一点,=λ,试确定λ的值使得二面角Q-BD-P为60°.
【解析】(1)因为AD⊥平面PDC,
PD⊂平面PDC,DC⊂平面PDC,
所以AD⊥PD,AD⊥DC,
在梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于点H,
在△BCH中,BH=CH=1,所以∠BCH=45°,
又在△DAB中,AD=AB=1,所以∠ADB=45°,
所以∠BDC=45°,所以∠DBC=90°,所以BC⊥BD,
因为PD⊥AD,PD⊥DC,AD∩DC=D,
AD⊂平面ABCD,DC⊂平面ABCD.
所以PD⊥平面ABCD,因为BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC,
因为BD∩PD=D,BD⊂平面PBD,PD⊂平面PBD,
所以BC⊥平面PBD,
因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBD.
(2)方法一:过点Q作QM∥BC交PB于点M,过点M作MN垂直于BD于点N,连QN.
由(1)可知BC⊥平面PDB,所以QM⊥平面PDB,
所以QM⊥BD,
因为QM∩MN=M,
所以BD⊥平面MNQ,
所以BD⊥QN.
所以∠QNM是二面角Q-BD-P的平面角,
所以∠QNM=60°,
因为=λ,所以=λ,
因为QM∥BC,所以===λ,所以QM=λBC,
由(1)知BC=,所以QM=λ,
又因为PD=1,因为MN∥PD,
所以=,
所以MN===1-=1-λ,
因为tan∠MNQ=,所以=,
所以λ=3-.
方法二:以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图),
则P(0,0,1),C(0,2,0),A(1,0,0),B(1,1,0)
令Q(x0,y0,z0),则=(x0,y0,z0-1),=(0,2,-1).
=λ,所以(x0,y0,z0-1)=λ(0,2,-1).
所以Q(0,2λ,1-λ),
因为BC⊥平面PBD,所以n=(-1,1,0)是平面PBD的一个法向量.
设平面QBD的法向量为m=(x,y,z),
即
即
令y=1,得m=.
因为二面角Q-BD-P为60°,
解得λ=3±.
因为Q在棱PC上,0<λ<1,所以λ=3-为所求.
5.(13分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆E:+=1(a>b>0)过点P,离心率为,过直线l:x=4上一点M引椭圆E的两条切线,切点分别是A,B.
(1)求椭圆E的方程.
(2)若在椭圆+=1(a>b>0)上的任一点N(x0,y0)处的切线方程是+=1.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标.
(3)是否存在实数λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|恒成立?(点C为直线AB恒过的定点)若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由椭圆E过点P,可得+=1,
又=,b2+c2=a2,解得:a=2,b=.
所以椭圆E的方程为+=1.
(2)设切点坐标为A(x1, y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),
则切线方程分别为+=1,+=1,
又因为两切线均过点M,则x1+y1=1,x2+y2=1,
即点A,B的坐标都适合方程x+y=1,而两点确定唯一的一条直线,
故直线AB的方程是x+y=1,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,故直线AB恒过定点C(1,0).
(3)将直线AB的方程x=-y+1,代入椭圆方程,得
3+4y2-12=0,即y2-2ty-9=0,
所以y1+y2=,y1y2=-,
不妨设y1>0,y2<0,
因为|AC|===y1,
同理|BC|=-y2,
所以+=·=·
=-·
=-·
=·=,
即|AC|+|BC|=|AC|·|BC|.
故存在实数λ=,使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|恒成立.
6.(14分)设函数f(x)=ln x,g(x)=(2-a)(x-1)-2f(x).
(1)当a=1时,求函数g(x)的单调区间.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=f(x)图象上任意不同的两点,线段AB的中点为C(x0,y0),
直线AB的斜率为k.证明:k>f′(x0).
(3)F(x)=|f(x)|+(b>0),对任意x1,x2∈(0,2],x1≠x2,都有<-1,求实数b 的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,g(x)=x-1-2ln x,定义域为(0,+∞).
g′(x)=1-=,
当x∈(0,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
综上,g(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2).
(2)k==,
又x0=,所以f′(x0)=(ln x)′==,
要证k>f′(x0),
即证>,
不妨设0<x1<x2,即证ln x2-ln x1>,
即证ln>,
设t=>1,即证:ln t>=2-,
也就是要证:ln t+-2>0,其中t∈(1,+∞),
事实上:设k(t)=ln t+-2(t∈(1,+∞)),
则k′(t)=-==>0,
所以k(t)在(1,+∞)上单调递增,因此k(t)>k(1)=0,即结论成立.
(3)由题意得+1<0,
即<0,
若设G(x)=F(x)+x,则G(x)在(0,2]上单调递减,
①当x∈[1,2]时,G(x)=ln x++x,
G′(x)=-+1≤0,
b≥+(x+1)2=x2+3x++3在[1,2]上恒成立, 设G1(x)=x2+3x++3,则G′1(x)=2x+3-,
当x∈[1,2]时,G′1(x)>0,
所以G1(x)在[1,2]上单调递增,
G1(x)≤G1(2)=,所以b≥.
②当x∈(0,1)时,G(x)=-ln x++x,
G′(x)=--+1≤0,
b≥-+(x+1)2=x2+x--1在(0,1)上恒成立. 设G2(x)=x2+x--1,
G′2(x)=2x+1+>0,
即G2(x)在(0,1)上单调递增,故G2(x)<G2(1)=0, 所以b≥0,综上所述:b≥.。
