北师大版年级上册一次函数的性质与图像含答案

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比一比： 正比例函数 y=－2x 与一次函数 y=－2x+3 、y=－2 x－3图象有什么异同点. y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 o 1
y=－2x+3
2 3 4
5
6
x
y=－2x－3
-4
-5 -6
y=－2x
观察：比较上面三个函数的相同点与不同点，根 据你的观察结果回答下列问题： 一条直线 (1)这三个函数的图象形状都是＿＿＿ (2)函数y=－2x图象经过原点，一次函数y=－2x+3 （0，3） 的图象与y轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线 上 3个 y=－2x向＿＿平移＿＿单位长度而得到；
y=kx+b中，k与b的取值范围：
K
<
0,
b
>
0,
o
5.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数
是________. C
A.y=-2x C.y=x-2
B.y=-2x+1 D.y=-x-2
6.直线y=3x-2可由直线y=3x向 得到。
7.直线y=x+2可由直线y=x-1向 得到。
下 平移 2 单位
※※※一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我 们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0，向上平移； 当b<0时，向下平移）。
2、用两点法画一次函数图像 实践：用两点法在同一坐标系中画出函数y=2x－1
与y=－0.5x+1的图象．
x y=2x－１
y 6 5
探索新知
1、认识一次函数的图象

2019-2020一次函数图像与性质培优题（解析版）一、单选题1．如图，两个不同的一次函数y=ax+b 与y=bx+a 的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是( )A ．B ．C ．D ．2．若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A.2k <B.2k >C.0k >D.k 0<3．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A.24y x =-B.24y x =+C.22y x =+D.22y x =-4．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ）A.5B.2C.52D.255．在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是（ ） A.5B.4C.3D.26．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）A．y=2x+3 B．y=x﹣3 C．y=2x﹣3 D．y=﹣x+37．已知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y=kx﹣k的图象可能是下图中的（）A. B. C. D.8．如图所示，表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abx（a，b是常数，且ab≠0）的图象是（）A. B.C. D.9．已知一次函数y＝kx＋b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在平面直角坐标系内它的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．10．两个一次函数y=ax+b 与y=bx+a （a ，b 为常数，且ab≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.11．如图， 直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点， 点P 为OA 上一动点， 当PC PD +最小时， 点P 的坐标为 （）A ．(3,0)-B ．(6,0)-C ．3(2-，0) D ．5(2-，0)二、填空题12．如图所示，一次函数y=ax+b 的图象与x 轴相交于点（2，0），与y 轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x 的方程ax+b=0的解是_____．13．如图，已知()0,2A ，()6,0B ，()2,C m ，当1ABC S ∆=时，m =______.14．将直线33y x =-向右平移2个单位，所得的直线的与坐标轴所围成的面积是_______. 15．一次函数图象过点()0,2-日与直线23y x =-平行，则一次函数解析式__________．16．已知直线y kx b =+与25y x =-平行且经过点(1,3)，则y kx b =+的表达式是__________．三、解答题17．如图，A 点的纵坐标为3，过A 点的一次函数的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点B .（1）求该一次函数的解析式.（2）若该一次函数的图象与x 轴交于D 点，求BOD 的面积.18．如图，点A、B的坐标分别为(0,2)，(1,0)，直线132y x=-与y轴交于点C、与x轴交于点D.（1）直线AB解析式为y kx b=+，求直线AB与CD交点E的坐标；（2）四边形OBEC的面积是________；（3）求证：AB CD⊥.19．如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，，且.（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求的面积；（3）点在轴上，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标.参考答案1．C【解析】分析：对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求．详解：A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以A选项错误；B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a＜0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以B选项错误；C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＜0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以C选项正确；D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以D选项错误；故选：C．点睛：本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b经过两点（0，b）、（-bk，0）．注意：使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．2．B【解析】【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围．【详解】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大，∴k-2＞0，∴k＞2，故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．3．A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A.【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4．C【解析】【详解】分析：通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE和a．详解：过点D作DE⊥BC于点E.由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．.∴AD=a.∴12DE•AD＝a.∴DE=2.当点F 从D 到B 时，用5s.∴BD=5. Rt △DBE 中， BE=()2222=521BD DE --=，∵四边形ABCD 是菱形， ∴EC=a-1，DC=a ， Rt △DEC 中， a 2=22+（a-1）2. 解得a=52. 故选：C ．点睛：本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系． 5．C 【解析】【分析】设直线l 解析式为：y=kx+b ，由l 与x 轴交于点A （-bk，0），与y 轴交于点B （0，b ），依题可得关于k 和b 的二元一次方程组，代入消元即可得出k 的值，从而得出直线条数.【详解】设直线l 解析式为：y=kx+b ，则l 与x 轴交于点A （-bk，0），与y 轴交于点B （0，b ）， ∴2142AOB k b bS b k +=⎧⎪⎨=⨯-⨯=⎪⎩， ∴（2-k ）2=8|k|，∴k 2-12k+4=0或（k+2）2=0， ∴k=6±42或k=-2， ∴满足条件的直线有3条， 故选C.【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形的面积等，解本题的关键是确定出直线y=kx+b 与x 轴、y 轴的交点坐标.6．D 【解析】试题分析：∵B 点在正比例函数y=2x 的图象上，横坐标为1，∴y=2×1=2，∴B （1，2）， 设一次函数解析式为：y=kx+b ，∵过点A 的一次函数的图象过点A （0，3），与正比例函数y=2x 的图象相交于点B （1，2）， ∴可得出方程组，解得，则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3． 故选D ．考点：1.待定系数法求一次函数解析式2.两条直线相交或平行问题． 7．D 【解析】 【分析】根据正比例函数y kx =的图象经过第一,三象限可得: 0k >, 因此在一次函数y kx k =-中0k >, 0b k =-<,根据0k >直线倾斜方向向右上方, 0b <直线与y 轴的交点在y 轴负半轴,画出图象即可求解. 【详解】根据正比例函数y kx =的图象经过第一,三象限可得: 所以0k >,所以一次函数y kx k =-中0k >, 0b k =-<, 所以一次函数图象经过一,三,四象限, 故选D. 【点睛】本题主要考查一次函数图象象限分布性质,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象图象的象限分布性质. 8．A 【解析】试题分析：A ．正比例函数y=abx 过第二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，而y=ax+b 过第一、二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，故A 正确；B ．正比例函数y=abx 过第一、三象限，所以a ＞0，b ＜0，而y=ax+b 过第一、二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，所以矛盾，故B 错误；C ．正比例函数y=abx 过第二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，而y=ax+b 过第一、二、三象限，所以a ＞0，b ＞0，所以矛盾，故C 错误；D ．正比例函数y=abx 过第一、三象限，所以a ＞0，b ＜0，而y=ax+b 过第一、三、四象限，所以a ＜0，＜0，所以矛盾，故D 错误，故选：A ． 考点：一次函数的图象性质． 9．A 【解析】 【分析】先根据函数图象得出其经过的象限，由一次函数图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：因为y随x的增大而减小，可得：k＜0，因为kb＜0，可得：b>0，所以图象经过一、二、四象限．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b>0时函数的图象经过一、二、四象限．10．B【解析】【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，根据函数图象得出一次函数各系数的正负是解题的关键；【详解】解：（1）对于y=ax+b,当a>0时，图像经过一三象限，则b>0,y=bx+a也要过一三象限，即A错误.(2) 对于y=ax+b,当a>0时，图像经过一三象限，且b<0,y=bx+a经过二四象限，与y轴交点在x轴上方，即B 正确.(3) 对于y=ax+b,当a>0时，图像经过一三象限，且b>0,y=bx+a经过一三象限，即C错误.(4) 对于y=ax+b,当a<0时，图像经过二四象限，若b>0,则y=bx+a经过一三象限，即D错误.【点睛】掌握一次函数的图像与性质，根据函数猜图像时要善于抓住增减性，特殊值等重点.11．C【解析】【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．【详解】解：（方法一）如图所示作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，令y=23x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=-6，∴点A的坐标为（-6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（-3，2），点D（0，2）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，-2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，∵直线CD′过点C（-3，2），D′（0，-2），∴有232k bb＝＝-+⎧⎨-⎩，解得：432kb⎧-⎪⎨⎪-⎩＝＝，∴直线CD′的解析式为y=42 3x--，令y=423x--中y=0，则0=423x--解得：x=32-，∴点P的坐标为3 (0)2 -，.故选C．（方法二）如图所示连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，令y=243x+中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=243x+中y=0，则243x+=0，解得：x=-6，∴点A的坐标为（-6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．又∵OP∥CD，∴点P为线段CD′的中点，∴点P的坐标为（32， ）.故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点P的位置．12．x=2【解析】【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解．【详解】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2，故答案为：x=2．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．13．1或5 3【解析】【分析】求出直线AB的解析式，设直线x=2交直线AB于点E，可得4(2,)3E，再根据三角形面积公式列出方程求解即可.【详解】解：如图，∵A（0，2），B（6，0），∴直线AB的解析式为123y x=-+设直线x=2交直线AB于点E，则可得到4 (2,)3 E，由题意：1461 23m⋅-⋅=解得m=1或5 3故答案为：1或5 3【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．14．27 2【解析】【分析】先求出平移后的直线的解析式，再求出平移后的直线与两坐标轴的交点即可求得结果. 【详解】解：直线33y x =-向右平移2个单位后的解析式为3(2)339y x x =--=-， 令x =0，则y =－9，令y =0，则3x －9=0，解得x =3，所以直线39y x =-与x 轴、y 轴的交点坐标分别为（3，0）、（0，－9），所以直线39y x =-与坐标轴所围成的三角形面积是1273922⨯⨯=. 故答案为：272. 【点睛】本题考查了一次函数的平移和一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移遵循“上加下减，左加右减”的规律，正确求出平移后一次函数的解析式是解此题的关键. 15．32y x =-- 【解析】 【分析】设一次函数解析式为y=kx+b ，先把（0，-2）代入得b=-2，再利用两直线平行的问题得到k=-3，即可得到一次函数解析式． 【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b ， 把（0，-2）代入得b=-2，∵直线y=kx+b 与直线y=2-3x 平行， ∴k=-3，∴一次函数解析式为y=-3x-2． 故答案为：y=-3x-2． 【点睛】本题考查两直线相交或平行的问题：若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k 值相同．16．21y x =+ 【解析】 【分析】先根据两直线平行的问题得到k=2，然后把（1，3）代入y=2x+b 中求出b 即可． 【详解】∵直线y=kx+b 与y=2x+1平行， ∴k=2，把(1,3)代入y=2x+b 得2+b=3，解得b=1， ∴y=kx+b 的表达式是y=2x+1. 故答案为：y=2x+1. 【点睛】此题考查一次函数中的直线位置关系，解题关键在于求k 的值. 17．（1）3y x =-+；（2）3BODS =．【解析】 【分析】（1）利用正比例函数，求得点B 坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）利用一次函数解析式求得点D 坐标，即可求BOD 的面积. 【详解】（1）把1x =代入2y x =中，得2y =， 所以点B 的坐标为()1,2，设一次函数的解析式为y kx b =+，把()0,3A 和()1,2B 代入，得32b k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数的解析式是3y x =-+；（2）在3y x =-+中，令0y =，则03x =-+， 解得3x =，则D 的坐标是()3,0，所以13232BODS=⨯⨯=． 【点睛】本题为考查一次函数基础题，考点涉及利用待定系数法求一次函数解析式以及求一次函数与坐标轴交点坐标,熟练掌握一次函数相关知识点是解答本题的关键. 18．（1）(2,2)E - （2）4 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可得到直线AB 解析式，再根据方程组的解，即可得到直线AB 与CD 交点E 的坐标； （2）根据坐标轴上点的特征求出C 、D 两点的坐标，然后根据S OBEC S DOC S DBE ∆∆=-Y 面积公式计算即可；（3）作EF ⊥y 轴于点F ，根据勾股定理分别求出222AE CE AC 、、，利用勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：（1）点A 、B 的坐标分别为(0,2)，(1,0)，∴02k b b +=⎧⎨=⎩，解得22k b =-⎧⎨=⎩，故直线AB 的解析式是22y x =-+，则22132y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ∴(2,2)E -；（2直线CD 的解析式为132y x =-， 当x=0时，y=-3，当y=0时，x=6，则点C 的坐标是（0，-3），点D 的坐标是（6，0）.S OBEC S DOC S DBE ∆∆=-Y =11635222⨯⨯-⨯⨯=4；（3）作EF y ⊥轴于点F ，由(0,2)A ，(2,2)E -，(0,3)C - ∴4AF =，1CF =，2EF =，5AC =222224220AE AF EF =+=+=， 22222215CE CF EF =+=+=， 22525AC ==，∴222AE CE AC +=，∴ACE ∆是直角三角形，且90AEC ∠=︒ ∴AB CD ⊥.【点睛】此题考查一次函数的综合运用，解题关键在于运用待定系数法，勾股定理的逆定理. 19．（1）；；（2）10；（3）或或或【解析】【分析】（1）根据点A坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点B坐标即可求出一次函数解析式．（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，求出AD即可解决问题．（3）分三种情形讨论即可①OA=OP，②AO=AP，③PA=PO．【详解】解：（1）正比例函数的图象经过点，，，正比例函数解析式为如图1中，过作轴于，在中，，解得一次函数解析式为（2）如图1中，过作轴于，（3）)如图2中,当OP=OA时,P(−5,0 ,P(5,0)，当AO=AP时,P(8,0),当PA=PO时,线段OA的垂直平分线为y=−，∴P，∴满足条件的点P的坐标或或或【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于作辅助线.。

①列表 ②描点 ③连线 那么你能用同样的方法画出一
次函数的图象吗？
例1 画出一次函数 y = －2x＋1 的图象
x y = –2x+1
–2
–1
5
3
y = –2x＋1
0
1
1 –1 y
5
01 23 4 5
4
2 列表
–3
一次函数的图 象是什么？
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5 01 23 4 5
思考：观察它们的图象有什么特点？
y y=x+2
.
.
..
.O.
.
.
.
y
.
2
=
x
-
2
x
探究归纳
观察三个函数图象的平移情况：
y y=x+2 y=x
2●
y=x-2
O2
x
●
把一次函数y = x+2，y = x-2的图象与y = x比较，发现： 1. 这三个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度
_相__同___． 2. 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与
y 随 x 的增大而增大. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，
y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
练一练 两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在
要点归纳
思考：与 x 轴的 交点坐标是什么？
b k

y=-x+3
y=-x
3 2 -3 -2 -1 1
-1 -2
y=2x+3 -3
y=5x-2
123
（ 3） 直线 y=2x+3与 直 线 y=-x+3 有 什 么 共 同 点 ？ 一 般地，你能从函数y=kx+b数 y=kx+b 的图象经过点（0，b）.当 k＞0时，y 的值随着 x 值的增大而增大；当 k＜0时，y 的值随着 x 值的增大而减小
y=-x+3
y=-x
3 2 -3 -2 -1 1
-1 -2
y=2x+3 -3
y=5x-2
123
（1）上述四个函数中， 随着 x 值的增大，y 的值 分别如何变化？相应图象 上点的变化趋势如何？
y=-x+3
y=-x
3 2 -3 -2 -1 1
-1 -2
y=2x+3 -3
y=5x-2
123
（2）直线y=-x与y=-x+3的 位置关系如何？你能通过 适当的移动将直线y=-x变 为直线y=-x+3吗？一般地， 直 线 y=kx+b 与 y=kx 又 是 怎 样的位置关系呢？
课后作业
布置作业：习题4.4 1、2、3、4 。 完成练习册中本课时的习题。
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！