3.1.2 第2课时指数函数的应用

第三章 3.1 3.1.2 第2课时一、选择题1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩N ＝( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}[答案] B[解析] 解法一：验证排除法：由题意可知0∉M ∩N ，故排除C 、D ；又1∉N ，∴1∉M ∩N ，故排除A ，故选B.解法二：M ＝{－1,1}，N ＝{x |－1<x ＋1<2，x ∈Z }＝{x |－2<x <1，x ∈Z }＝{－1,0}，∴M ∩N ＝{－1}． 2．(2013·山东文)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A[解析] 本题考查了定义域的求法．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ≤1x >－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x >－3，∴f (x )定义域为(－3,0]．3．(2014·江西文，4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x <0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A. 14 B ．12 C ．1 D ．2[答案] A[解析] f (－1)＝2，∴f [f (－1)]＝f (2)＝4a ＝1， ∴a ＝14.4．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是下图中的( )[答案] B[解析] ∵y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x ≥0)a －x (x <0)，又∵a >1，∴当x ≥0时，取函数y ＝a x (a >1)的图象的y 轴右侧部分，再作关于y 轴对称的图象，得y ＝a －x (x <0)的图象，故选B.5．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[答案] A[解析] 令u ＝1－x ，则y ＝(12)u .∵u ＝1－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 又∵y ＝(12)u 在(－∞，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝(12)1－x 在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2B ．154C. 174D ．a 2[答案] B[解析] ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，① 得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154.二、填空题7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2定义域是__________，值域为__________．[答案] [－1,2] [24，1] [解析] 由－x 2＋x ＋2≥0得－1≤x ≤2， 此时－x 2＋x ＋2∈[0，94]，∴u ＝－x 2＋x ＋2∈[0，32]，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12u ∈[24，1]． 8．函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝____.[答案] 9[解析] ∵函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，∴10＝a 0＋m ，∴m ＝9. 三、解答题9．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)，讨论f (x )的单调性．[解析] ∵f (x )＝a a 2－1(a x －1a x )，∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0, f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为增函数， 当0<a <1时，a x 1>a x 2，aa 2－1<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0, f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为增函数，综上， f (x )在R 上为增函数.一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |[答案] B[解析] ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对． y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数， 但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对． D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数， 但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．2．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如右图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )[答案] A[解析] 由f (x )的图象，知0<a <1，b <－1，所以g (x )的图象可以看作是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移|b |个单位得到的，所以选A.3．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b b ，a >b ，如f (x ) ＝2x * 2 - x ( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．(1，＋∞)[答案] C[解析] 由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)2－x (x >0).当x ≤0时，2x ≤20＝1，又2x >0，∴0<2x ≤1； 当x >0时，2－x ＝(12)x <1，又(12)x >0，∴0<(12)x <1， ∴函数f (x )的值域为(0,1]．4．(2014·陕西文，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝(12)x[答案] B[解析] 当f (x )＝3x 时，f (x ＋y )＝3x ＋y ，f (x )f (y )＝3x ·3y ＝3x ＋y ，∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )；当f (x )＝(12)x 时，f (x ＋y )＝(12)x ＋y ，f (x )f (y )＝(12)x ·(12)y ＝(12)x ＋y，∴f (x ＋y )＝f (x )f (y )，又f (x )＝(12)x 为单调递减函数，f (x )＝3x 为单调递增函数，故选B.二、填空题5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．[答案] 19[解析] 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时， f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是______________．[答案] (－∞，－1)[解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (x )＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知不等式的解集为(－∞，－1)． 三、解答题7．(2013～2014学年度广东中山一中高一期中测试)已知函数f (x )＝1－23x ＋1.(1)求函数f (x )的定义域，判断并证明f (x )的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数f (x )在其定义域上是增函数； (3)解不等式f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0. [解析] (1)∵3x >0，∴3x ＋1≠0， 函数f (x )的定义域为R .f (x )＝1－23x ＋1＝3x ＋1－23x ＋1＝3x －13x ＋1，∴f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝1－3x3x 1＋3x 3x ＝1－3x1＋3x＝－f (x )，∴f (x )是定义在R 上的奇函数． (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－23x 1＋1－(1－23x 2＋1)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1＋1)－2(3x 2＋1)(3x 1＋1)(3x 2＋1)＝2(3x 1－3x 2)(3x 1＋1)(3x 2＋1)，∵x 1<x 2，∴3x 1<3x 2，∴3x 1－3x 2<0， 又3x 1＋1>0,3x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在其定义域内是增函数．(3)由f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0得f (3m ＋1)<－f (2m －3)， ∵函数f (x )为奇函数，∴－f (2m －3)＝f (3－2m )，∴f (3m ＋1)<f (3－2m )． 由(2)已证得函数f (x )在R 上是增函数， ∴f (3m ＋1)<f (3－2m )⇔3m ＋1<3－2m ，∴m <25.不等式f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0的解集为{m |m <25}．8．已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域和值域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性．[解析] (1)易得f (x )的定义域为{x |x ∈R }． 解法一：设y ＝a x －1a x ＋1，解得a x ＝－y ＋1y －1①∵a x >0，当且仅当－y ＋1y －1>0，即－1<y <1时，方程①有解． ∴f (x )的值域为{y |－1<y <1}． 解法二： f (x )＝a x ＋1－2a x ＋1＝1－2a x ＋1，∵a x ＋1>1，∴0<2a x＋1<2， ∴－1<1－2a x ＋1<1，∴f (x )的值域为{y |－1<y <1}．(2)∵f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )且定义域为R ，∴f (x )是奇函数．(3)解法一： f (x )＝(a x ＋1)－2a x＋1＝1－2a x ＋1.(注：此处用到分离常数法) ①当a >1时，∵y ＝a x ＋1为增函数，且a x ＋1>0， ∴y ＝2a x ＋1为减函数，从而f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为增函数．②当0<a <1时，∵y ＝a x ＋1为减函数，且a x ＋1>0， ∴y ＝2a x ＋1为增函数，从而f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为减函数．解法二：设x 1、x 2∈R 且x 1<x 2，Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－1ax 2＋1－ax 1－1ax 1＋1＝(ax 2－1)(ax 1＋1)－(ax 1－1)(ax 2＋1)(ax 2＋1)(ax 1＋1).＝2ax 2－2ax 1(ax 2＋1)(ax 1＋1)当a >1时，y ＝a x 为增函数，又x 2>x 1， ∴ax 2>ax 1，∴2ax 2－2ax 1>0， 又ax 2＋1>0，ax 1＋1>0，∴Δy >0， ∴当a >1时， f (x )＝a x －1a x ＋1是增函数．同理，当0<a <1时， f (x )＝a x －1a x ＋1为减函数．9．已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的范围． [解析] (1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1. (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)，∵x 1<x 2，∴2x 2－2x 1>0，又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0，f (x 1)－f (x 2)>0. ∴f (x )为R 上的减函数．(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， ∴f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )．∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)， 由于f (x )为减函数，∴t 2－2t >k －2t 2.即k <3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3(t －13)2－13≥－13，∴k <－13.。