2003年高考.江苏卷.数学试题及答案

2003年高考数学试题(全国理)及答案2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π （ ）A ．247B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12- D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A ．22R πB ．249R π C ．238R π D ．223r π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ ） A ．1B ．43 C ．21 D ．838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x fx x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31( B ．)32,31( C ．)21,52( D ．)32,52( 11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）A ．3B ．31 C ．61 D ．6的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分） 已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos (=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t∈<≤+且是集合t s a s n中所有的数从小到大排列成的数列， 即.,12,10,9,6,5,3654321======a a a a a a将数列}{na 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12— — — —— — — — —（i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 设Z}t s,r,,0|22{2}{r∈<<≤++且是集合t s r b s t n中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=kb2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)31262,.2,22,23, 3.3622sin .arcsin .3D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=⨯=====∴===∴∠==⋅=∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数y ax2bx a的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）b b b bOa O a OaOaA．B．C．D．2．抛物线y ax2的准线方程是y 2，则a的值为（）1 1C．8 D．－8 A．B．－8 83．已知x (,0),cosx 4 ,则tg2x（）2 57 7 24D．－24A．B．－C．724 24 72x1,x0,4．设函数f(x) 1若f(x0) 1,则x0的取值范围是（）x2,x0A．（－1，1）B．(1,)C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足AB AC 的轨迹一定通过ABC的OPOA( ), 0,则,PAB ACA．外心B．内心C．重心D．垂心6．函数yln x1,x(1, )的反函数为（）x 1A．y e x1,x (0, ) B．e x 1C．y e x1,x ( ,0) D．e x 1 y e x1,x (0, )e x 1y e x1,x ( ,0)e x 17．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）a3a3a3a3 A．B．C．D．3 4 6 128．设a 0,f(x) ax2bx c，曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0, ,则P到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为（）4A．0,1B．0,1C．0,b D．0,b1a 2a 2a 2a9．已知方程(x22x m)(x22x n) 0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，4则|mn| （）A．1 B．3C．1D．34 2 810．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y x 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是（）3A．x 2y2B．x2y2C．x2y2x2y21 1 1 1D．3 4 4 3 5 2 2 511．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tg的取值范围是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）3 3 3 5 2 5 3 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3 B．4 C．33 D．62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．(x21)9的展开式中x9系数是2x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不56 1 432同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB AC,BD CD,则BC AD②若AB CD,AC BD,则BC AD③若AB AC,BD CD,则BC AD④若AB CD,AC BD,则BC AD其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）18．（本小题满分12分）已知函数f(x)sin( x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(3,0)对称，且在区间0,上是单调函数求和的值4 219．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90 ，侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求A1B与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点A1到平面AED 的距离C1A1 B1DEGCA B 20．（本小题满分12分）已知常数a 0,向量c (0,a),i(1,0) 经过原点O以c i 为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R 试问：是否存在两个定点E、F，使得PE PF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由21．（本小题满分12分）已知a 0,n为正整数（Ⅰ）设y(x a)n，证明y' n(xa)n1；（Ⅱ）设f n(x)x n(x a)n，对任意na，证明f n1'(n1)(n1)f n'(n) 22．（本小题满分14分）设a0，如图，已知直线l:y ax及曲线C:yx2,C上的点Q1的横坐标为作直线平行于x轴，交直线l于点P n1，再从点P n1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q n1.Q n(n1,2,3,⋯）的横坐标构成数列a n（Ⅰ）试求an1与a n的关系，并求a n的通项公式；（Ⅱ）当a1n1(ak1,a1时，证明ak1)ak22 k 132c n1y l（Ⅲ）当a 1时，证明(a k a k1)a k23k 1r2Q3r1Q2Q1Oa1a2a3 x2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分60分.1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分16分.13．2114．6,30,10 15．12016．①④2三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（Ⅰ）P(A) 0.90,P(B) P(C)0.95，P(A)0.10,P(B) P(C)0.50. 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95P(A)P(B)0.176P(C)答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.90 0.0522 0.10 0.05 0.95 0.10 0.0520.012解法二：三件产品都合格的概率为 P(ABC) P(A) P(B) P(C) 0.90 0.9520.812由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为1 [P(ABC)0.176] 1 (0.812 0.176) 0.012.答：至少有两件不合的概率为0.012.（ 18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003年高考全国卷文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x2．（5分）已知x∈（，0），cos x，则tan2x等于（ ）A．B．C．D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）A．B．C．8 D．﹣84．（5分）等差数列{a n}中，已知a1，a2+a5＝4，a n＝33，则n为（ ）A．48 B．49 C．50 D．515．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）A．lg2 B．lg32 C．D．8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B．C．D．π9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）A．2πR2B．C．D．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ）A．B．C．D．112．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A．3πB．4πC．3D．6π二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式的解集是 ．14．（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ．”16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝3n﹣1+a n﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．20．（12分）已知函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．2003年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x 【解答】解：∵直线y＝f（x）关于x对称的直线方程为y＝﹣f（x），∴直线y＝2x关于x对称的直线方程为：y＝﹣2x．故选：C．2．（5分）已知x∈（，0），cos x，则tan2x等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵cos x，x∈（，0），∴sin x．∴tan x．∴tan2x．故选：D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）A．B．C．8 D．﹣8 【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2y，则其准线方程为y2，所以a．故选：B．4．（5分）等差数列{a n}中，已知a1，a2+a5＝4，a n＝33，则n为（ ）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：设{a n}的公差为d，∵，a2+a5＝4，∴d4d＝4，即5d＝4，解得d．∴an（n﹣1），令a n＝33，即33，解得n＝50．故选：C．5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2＝60°，∴tan∠OMF2，即c b，∴a b，∴e．故选：B．6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）A．lg2 B．lg32 C．D．【解答】解：令x5＝2，∴得x，∵f（x5）＝lgx，∴f（2）＝lg lg2．故选：D．8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B．C．D．π【解答】解：当φ＝0时，y＝sin（x+φ）＝sin x为奇函数不满足题意，排除A；当φ时，y＝sin（x+φ）＝sin（x）为非奇非偶函数，排除B；当φ时，y＝sin（x+φ）＝cos x，为偶函数，满足条件．当φ＝π时，y＝sin（x+φ）＝﹣sin x，为奇函数，故选：C．9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：，∵a＞0，∴a．故选：C．10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）A．2πR2B．C．D．【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得，所以圆柱的全面积为：s＝2．故选：B．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ）A．B．C．D．1【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tgθ．故选：C．12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A．3πB．4πC．3D．6π【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R，∴球的表面积为3π，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式的解集是　（2，4]　．【解答】解：∵x0，∴x＞0，∵不等式，两边平方得，4x﹣x2＜x2，∴2x2﹣4x＞0，解得，x＞2，x＜0（舍去），∵4x﹣x2≥0，∴0≤x≤4，∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，故答案为（2，4]．14．（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）【解答】解：根据题意，对于，有T r+1＝C99﹣r•x9﹣r•（）r＝（）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r＝3，可得r＝3，当r＝3时，有T4x3，故答案．15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则　S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2　．”【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　72　种．（以数字作答）【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33＝24种4色全用时涂色方法：C21•A44＝48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有V E﹣DBD1＝V D1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1＝2，AB＝1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【解答】解：设z＝（r cos60°+r sin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2＝|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（1）＝|z|∴r2﹣r+1＝r，整理得r2+2r﹣1＝0．解得r1，r1（舍去）．即|z|1．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝3n﹣1+a n﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，∴a2＝3+1＝4，∴a3＝32+4＝13；（Ⅱ）证明：由已知a n﹣a n﹣1＝3n﹣1，n≥2故a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1．n≥2当n＝1时，也满足上式．所以．20．（12分）已知函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sin x cos x＝1﹣cos2x+sin2x所以函数的最小正周期为π，最大值为；（2）由（1）列表得：xy 11111故函数y＝f（x）在区间上的图象是：21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）＝10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y＝0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a＝0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay＝0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .05.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()C ()B ()(C B A P B A P C A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003年高考数学试题（新课程卷、江苏卷、辽宁卷）新课程卷·理工农医类第Ⅰ卷（选择题 共60一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2)3(31i i+-等于（A.i 4341+B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321--2.已知x ∈（－2π，0），cos x =54，则tan2x 等于（ ） A.247 B.－247C.724 D.－724 3.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--.0 ,,0,1221x x x x 若f （x 0）>1，则x 0的取值范围是（ ）A.（－1，1）B.（－1，+∞）C.（－∞，－2）∪（0，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）4.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足λ+=OA OP (+，λ∈［0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心5.函数y =ln11-+x x ，x ∈（1，+∞）的反函数为（ ） A.y =11+-x x e e ，x ∈（0，+∞）B.y =11-+x x e e ，x ∈（0，+∞）C.y =11+-x x e e ，x （－∞，0）D.y =11-+x x e e ，x ∈（－∞，0）6.棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A.33aB.43aC.63aD.123a 7.设a >0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ）A.［0，a1］ B.［0，a21］ C.［0，|ab2|］ D.［0，|ab 21-|］ 8.已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n |等于（ ）A.1B.43C.21D.83 9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－32，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y xB.13422=-y x C.12522=-y xD.15222=-y x 10.已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1<x 4<2，则tan θ的取值范围是（ ）A.（31，1） B.（32,31） C.（21,52） D.（32,52） 11.)C C C C (C C C C lim 11413122242322nnn ++++++++∞→ 等于（ ） A.3B.31C.61 D.612.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A.3πB.4πC.33πD.6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.（x 2－x21）9展开式中x 9的系数是_____. 14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_____、_____、_____辆.15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种.（以数字作答）16.下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是_____.（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=2sin x ·（sin x +cos x ）. （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y =f （x ）在区间［－2,2ππ］上的图象.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.19.（本小题满分12分）设a >0，求函数f （x ）=x －ln （x +a ）（x ∈（0，+∞））的单调区间.20.（本小题满分12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η.（Ⅰ）求ξ、η的概率分布； （Ⅱ）求E ξ，E η.21.（本小题满分12分）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ），以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P .其中λ∈R .试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE |+|PF |为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N +）.（Ⅰ）证明对任意n ≥1，a n =51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n a 0； （Ⅱ）假设对任意n ≥1有a n >a n －1，求a 0的取值范围. ●答案解析 1.答案：B 解析：)60sin 60(cos 2)60sin 60(cos 2)30sin 30(cos 2)60sin 60(cos 2)3(31222︒+︒︒-︒=︒+︒︒-︒=+-i i i i i i .4341)2321(21)]120sin()120[cos(21i i i --=--=︒-+︒-=.2.答案：D 解法一：∵x ∈（－2π，0），cos x =54，∴sin x =－53，tan x =－43，∴tan2x =724tan 1tan 22-=-x x .解法二：在单位圆中，用余弦线作出cos x =54，x ∈（－2π，0），判断出2x ∈Ⅳ且tan2x =A T<－1.3.答案：D解法一：因为f （x 0）>1，当x ≤0时，，∴x 0<－1，当x 0>0时，210x >1，∴x 0>1.综上，所以x 0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）.解法二：首先画出函数y =f （x ）与y =1的图象.由图中易得f （x ）>1时，所对应的x 的取值范围.4.答案：B解析:设B A AB '=||为AB 上的单位向量C A =为上的单位向量,||||AC ACAB AB +的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向. 又λ∈［0，+∞］，∴λ||||AC AC AB AB +||||AC ACAB AB +的方向相同. 而||||AC ACAB AB OA OP ++=λ，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.5.答案：B解法一：y =ln 11,11-+-+x x x x =l y ，∴x =11-+y y l l ，又12112111-+=-+-=-+x x x x x 而x >1，∴11-+x x >1，∴ln 11-+x x >0，因此y =ln 11-+x x 的反函数为y =11-+x x l l （x >0） 解法二：因原函数的定义为（1，+∞），而y =1121121|1<+-=+-+=+-x x x x x l l l l l .因此排除A 、C ，又原函数的值域为（0，+∞），排除D.6.答案：C解析：如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥，而AB 2=（2a ）2+（2a ）2=21a 2，∴V 八面体=32612131a a a =⋅⋅.7.答案：B解析：f （x ）的导数为f ′（x ）=2ax +b ，由已知y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］.因此有0≤2ax 0+b ≤1.而P 到曲线y =f （x ）的对称轴的距离为ab ax a b ax a b x 2|2||22||2|000+=+=+. 8.答案：C 解析：设a 1=41，a 2=41+d ，a 3=41+2d ，a 4=41+3d ，而方程x 2－2x +m =0中的两根之和为2，x 2－2x +n =0中的两根之和也是2.∴a 1+a 2+a 3+a 4=1+6d =4，∴d =21，∴a 1=41，a 4=47是一个方程的两个根，a 2=43，a 3=45是一个方程的两个根，∴1615,167为m 或n .∴|m －n |=21. 9.答案：D解法一：设所求双曲线方程为172222=--a y a x 由⎪⎩⎪⎨⎧-==--1172222x y a y a x 得17)1(2222=---ax a x ，（7－a 2）x 2－a 2（x －1）2=a 2（7－a 2） 整理得：（7－2a 2）x 2+2a 2x －8a 2+a 4=0.又MN 中点横坐标为－32， ∴x 0=32)7(2222221-=--=+a a x x 即3a 2=2（7－2a 2），∴a 2=2. 故所求双曲线方程为15222=-y x . 解法二：因所求双曲线与直线y =x －1的交点的中点横坐标为－32<0，故双曲线的渐近线的斜率（k >0）时，为k >1，因此，排除B 、C.经检验⎪⎩⎪⎨⎧-==-115222x y y x 的交点的中点横坐标为－32. 解法三：由已知MN 中点横坐标x 0=－32，可得中点纵坐标y 0=x 0－1=－35，设MN 与双曲线交点分别为M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则有221221by a x -=1 ①，222222b ya x -=1 ②则②－①得：0))(())((2211221212=+--+-by y y y a x x x x ， ∴2211222112))(())((by y y y a x x x x +-=+-，∴25))(())((2112211222=+-+-=x x x x y y y y a b . 10.答案：C 解析：设P 1B =x ，∠P 1P 0B =θ，则CP 1=1－x ，∠P 1P 2C 、∠P 3P 2D 、∠AP 4P 3均为θ，所以tan θ=B P B P 01=x ，又tan θ=2211CP x CP CP -==x ， ∴CP 2=x x x 11=-－1，而tan θ=x xDP x DP D P D P =-=--=13)11(23323， ∴DP 3=x （3－x 1）=3x －1，又tan θ=444332)13(1AP x AP x AP AP -=--==x ， ∴AP 4=x x x 232=-－3，依题设1<AP 4<2，即1<x2－3<2， ∴4<x 2<5，51241>>x ，∴5221>>x .11.答案：B 解析：∵mn m n m n 113322C C C ,1C C +-=+== ∴2243422423332242322C C C C C C C C C C C n n n +++=++++=++++31C +=n ，1C C C C C C 21115141312-=++++++n n31]12)1([123)1()1(lim )1C (C lim )C C C (C C C lim 21311131222322=-+⋅⋅-+=-=++++++∞→++∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n 12.答案：A 解法一：,3632,26===AD AO AD 33222=-=AO SA SO . ∴R 2=32)332(2+-R ，∴R = 23.∴球的表面积为3π.解法二：构造棱长为1的正方体，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球体也为正四面体的外接球.此时球的直径为3，因此球的表面积为4π（23）2=3π. 13.答案：－221 解析：（x 2－x 21）9的展开式中，T r +1=r 9C ·（x 2）9－r （－x 21）r =（－21）r r r r x x --2189C ， rr r x 3189C )21(-⋅-=由题意得18－3r =9，∴r =3，因此x 9的系数为（－21）3·12378981C 39⋅⋅⋅⋅-=221-=. 14.答案：6 30 10解析：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为2001920046=，而三种型号的轿车有显著区别.根据分层抽样分为三层按2001比例抽样分别有6、30、10辆. 15.答案：120解法一：先排1区，有4种方法，把其余四个区视为一个圆环（如图1），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如图2的五个空格，在五个空格中放3种不同元素，且①相同元素不能相邻.②两端元素不能相同.共有15种不同方法.然后再把图2粘成圆形即可.下面解决两端元素相同的情况.在这种情况下我们在六个空格如图 3.要求①相同元素不能相邻.②两端元素必须相同，共有15种不同方法.然后再把图3粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可.综上，共有4（15+15）=120种方法.图2 图316.答案：①④⑤解析：①、④易判断，⑤中△PMN 是正三角形且AM =AP =AN ，因此，三棱锥A —PMN 是正三棱锥.所以图⑤中l ⊥平面MNP ，由此法，还可否定③.∵AM ≠AP ≠AN .也易否定②.17.解：（Ⅰ）f （x ）=2sin 2x +2sin x cos x =1－cos2x +sin2x =1+2（sin2x cos4π－cos2x sin4π）=1+2sin （2x －4π），所以函数f （x ）的最小正周期为π，最大值为1+2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知故函数y =f （x ）在区间［－2π，2π］上的图象是18.解法一：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，∵D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC ⊥平面ABC ， ∴CDEF 为矩形.连结DF ，G 是△ADB 的重心，∴G ∈DF .在直角三角形EFD 中，EF 2=FG ·FD =31FD 2， ∵EF =1，∴FD =3.于是ED =2，EG =36321=⨯. ∵FC =ED =2，∴AB =22，A 1B =23，EB =3.∴sin EBG =323136=⋅=EB EG .∴A 1B 与平面ABD 所成的角是arcsin 32. （Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D ADEA V V 11--=.∵ED ⊥AB ，ED ⊥EF ，又EF ∩AB =F ，∴ED ⊥平面A 1AB ， 设A 1到平面AED 的距离为h ，则S △AED ·h =AE A S 1∆·E D. 又2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AEA . ∴3622622=⨯=h .即A 1到平面AED 的距离为362. 解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O .设CA =2a ， 则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1），A 1（2a ，0，2），E （a ，a ，1），G （31,32,32a a ）. ∴BD a a GE ),32,3,3(==（0，－2a ，1）. ∴032322=+-=⋅a BD GE ， 解得a =1. ∴)31,34,32(),2,2,2(1-=-=BA .∴cos A 1BG 3721313231411=⋅=.A 1B 与平面ABD 所成角是arccos37. （Ⅱ）由（Ⅰ）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （0，0，1）.ED AE ⋅=（－1，1，1）·（－1，－1，0）=0，AA ⋅1=（0，0，2）·（－1，－1，0）=0， ∴ED ⊥平面AA 1E ，又ED ⊂平面AED ， ∴平面AED ⊥平面AA 1E ，又面AED ∩面AA 1E =AE .∴点A 1在平面AED 的射影K 在AE 上. 设AK =λ，则K A A A K A 111+==（－λ，λ，λ－2）.由K A 1·AE =0，即λ+λ+λ－2=0，解得λ=32. ∴)34,32,32(1--=KA . ∴362||1=A .故A 1到平面AED 的距离为362. 19.解：f ′（x ）=ax x+-121（x >0）. 当a >0，x >0时，f ′（x ）>0⇔x 2+（2a －4）x +a 2>0， f ′（x ）<0⇔x 2+（2a －4）x +a 2<0.（i ）当a >1时，对所有x >0，有x 2+（2a －4）x +a 2>0， 即f ′（x ）>0，此时f （x ）在（0，+∞）内单调递增. （ii ）当a =1时，对x ≠1，有x 2+（2a －4）x +a 2>0，即f ′（x ）>0，此时f （x ）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增. 又知函数f （x ）在x =1处连续，因此，函数f （x ）在（0，+∞）内单调递增. （iii ）当0<a <1时，令f ′（x ）>0，即x 2+（2a －4）x +a 2>0， 解得x <2－a －2a -1，或x >2－a +2a -1.因此，函数f （x ）在区间（0，2－a －2a -1）内单调递增，在区间（2－a +2a -1，+∞）内也单调递增.令f ′（x ）<0，即x 2+（2a －4）x +a 2<0，解得2－a －2a -1<x <2－a +2a -1.因此，函数f （x ）在区间（2－a －2a -1，2－a +2a -1）内单调递减.20.解：（Ⅰ）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. P （ξ=3）=758525232=⨯⨯，P （ξ=2）=7528525332525231535232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， P （ξ=1）=52525331535231535332=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， P （ξ=0）=253535331=⨯⨯； 根据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）=P （ξ=3）=758，P （η=1）=P （ξ=2）=7528， P （η=2）=P （ξ=1）=52，P （η=3）=P （ξ=0）=253.（Ⅱ）E ξ=15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯； 因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ=1523. 21.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c =（0，a ），∴c +λi =（λ，a ），i －2λc =（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax .消去参数λ，得点P （x ，y ）的坐标满足方程y （y －a ）=－2a 2x 2，整理得1)2()2(81222=-+aa y x ①因为a ＞0，所以得： （i ）当a =22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当0＜a ＜22时，方程①表示椭圆，焦点E （2,21212aa -）和F （－⋅21 2,212aa -）为合乎题意的两个定点； （iii ）当a ＞22时，方程①也表示椭圆，焦点E ))21(21,0(2-+a a 和F （0，21（a－212-a ））为合乎题意的两个定点. 22.（Ⅰ）证法一：（i ）当n =1时，由已知a 1=1－2a 0.等式成立； （ii ）假设当n =k （k ≥1）等式成立，即a k =51［3k +（－1）k －12k ］+（－1）k 2k a 0， 那么a k +1=3k －2a k =3k －52［3k +（－1）k －1·2k ］－（－1）k 2k +1a 0=51［3k +1+（－1）k 2k +1］+（－1）k +12k +1a 0，也就是说，当n =k +1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N +成立.证法二：如果设a n －a 3n =－2（a n －1－a 3n －1），用a n =3n －1－2a n －1代入，可解出a =51. 所以{a n －53n }是公比为－2，首项为a 1－53的等比数列，∴a n －53n =（1－2a 0－53）（－2）n －1（n ∈N +），即a n =52)1(31nn n --++（－1）n 2n a 0.（Ⅱ）解法一：由a n 通项公式a n －a n －1=523)1(32111---⨯-+⨯n n n +（－1）n 3×2n －1a 0，∴a n >a n －1（n ∈N +）等价于（－1）n －1（5a 0－1）<（23）n －2（n ∈N +）. ① （i ）当n =2k －1，k =1，2，…时，①式即为（－1）2k －2（5a 0－1）<（23）2k －3， 即为a 0<51（23）2k －3+51. ②②式对k =1，2，…都成立，有a 0<51×（23）－1+51=31. （ii ）当n =2k ，k =1，2，…时，①式即为（－1）2k －1（5a 0－1）<（23）2k －2，即为a 0>－51×（23）2k －2+51. ③③式对k =1，2，…都成立，有 a 0>－51×（23）2×1－2+51=0. 综上，①式对任意n ∈N +成立，有0<a 0<31. 故a 0的取值范围为（0，31）. 解法二：如果a n >a n －1（n ∈N +）成立，特别取n =1，2有a 1－a 0=1－3a 0>0， a 2－a 1=6a 0>0，因此0<a 0<31. 下面证明当0<a 0<31时，对任意n ∈N +，有a n －a n －1>0. 由a n 通项公式5（a n －a n －1）=2×3n －1+（－1）n －13×2n －1+（－1）n 5×3×2n －1a 0. （i ）当n =2k －1，k =1，2，…时，5（a n －a n －1）=2×3n －1+3×2n －1－5×3×2n －1a 0>2×2n －1+3×2n －1－5×2n －1=0. （ii ）当n =2k ，k =1，2，…时，5（a n －a n －1）=2×3n －1－3×2n －1+5×3×2n －1a 0>2×3n －1－3×2n －1≥0. 故a 0的取值范围为（0，31）. 新课程卷·文史类（与理工农医类不同的部分）●试题部分 1.不等式24x x <x 的解集是（ ）A.（0，2）B.（2，+∞）C.（2，4]D.（－∞，0）∪（2，+∞）2.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2，则a 的值为（ ） A.81B.－81 C.8 D.－85.等差数列{a n }中，已知a 1=31，a 2+a 5=4，a n =33，则n 为（ ）A.48B.49C.50D.516.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）A.3B.26 C.36 D.33 11.已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.若P 4与P 0重合，则tan θ等于（ ）A.31 B.52C.21D.115.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .16.将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种17.已知正四棱柱11111=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.（Ⅰ）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （Ⅱ）求点D 1到面BDE 的距离.18.已知抛物线C 1：y =x 2+2x 和C 2：y =－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线.公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19.已知数列{a n }满足a 1=1，a n =3n －1+a n －1（n ≥2）. （Ⅰ）求a 2、a 3；（Ⅱ）证明a n =231-n .20.有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 21.已知函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）（ω>0，0≤ϕ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （43π，0）对称，且在区间［0，2π］上是单调函数，求ϕ和ω的值.22.已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ），以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P .其中λ∈R .试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE |+|PF |为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.●答案解析 1.答案：C解法一：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≥≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧->≥≥-242,0442004400422222x x x x x x x x x x x x x x x 解法二：由于5不满足4x －x 2≥0排除B 、D.1不满足24x x -<x 排除A 故选C.2.答案：B 解析：y =ax 2⇒81,241,12-=-==a a y a x . 5.答案：C解析：∵a 1=31设a n =a 1+（n －1）d =31+（n －1）d ，a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =4，32+5d =4，d =32，a n =a 1+（n －1）d =31+（n －1）32=33，n =50.6.答案：B解析：设双曲线为2222by a x -=1，∵△MF 1F 2为等腰三角形，∠F 1MF 2=120°，∴∠MF 1F 2=30°，∴tan30°=23)(,32)(,31)(1,31,3322222222===-=-==a c c a c a c a c c b c b ， ∴26=e . 11.答案：C解析：因为P 4与P 0重合，∴P 1为BC 中点，P 2为CD 中点，P 3为AD 中点.∴tan θ=21. 15.答案：2222BCD ADB ACD ABCS S S S ∆∆∆∆=++解析：过A 作BC 垂线AE 与BC 交于E ，连接DE ，则BC ⊥DE ，∵S △ABC 2=41AB 2·AC 2，S △DAB 2=41AB 2·DA 2，S △DAC 2=41AC 2·DA 2，S △DBC 2=41BC 2·DE 2 =41BC 2（AE 2+DA 2）=41（AB 2+AC 2）（AE 2+DA 2） =41AB 2·DA 2+41AC 2·AD 2+41BC 2·AE 2， ∴S △DBC 2=S △DAB 2+S △DAC 2+S △ABC 2. 16.答案：42解析：分别用a 、b 、c 代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a ，再安排第二块田有b 或c 2种方法.不妨设放入b .第三块田也有2种方法a 或c . （Ⅰ）若第三块田放c ：，则第四、五块田分别有2种方法，共2·2种方法.（Ⅱ）若第三块田放a ：，第四块田仍有b 或c 2种放法. （i ）若第四块田放c ：，第五块田仍有2种方法.（ii ）若第四块田放b ：，则第五块田只能放c ，共有3种方法.综上，共有3·2（2·2+3）=42种方法.17.（Ⅰ）证法一：取BD 中点M ，连结MC 、FM .∵F 为BD 1中点，∴FM ∥D 1D 且FM =21D 1D. 又EC =21CC 1且EC ⊥M C. ∴四边形EFMC 是矩形，∴EF ⊥CC 1.又CM ⊥面DBD 1，∴EF ⊥面DBD 1，∵BD 1 面DBD 1， ∴EF ⊥BD 1.故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. 证法二： 建立如图的坐标系，得B （0，1，0），D 1（1，0，2），F （21，21，1）， C 1（0，0，2），E （0，0，1）. ∴EF =（21，21，0），1CC =（0，0，2）.1BD =（1，－1，2）.∴EF ·1CC =0，1BD ·EF =0. 即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1.故EF 是CC 1与BD 1的公垂线. （Ⅱ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V --=11.由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ， 则S △DBE ·d =1DBD S ∆·EF .∵AA 1=2，AB =1.∴BD =BE =ED =2，EF =22. ∴23)2(2321.2222121=⋅⋅==⋅⋅=∆∆DBE DBD S S . ∴33223222=⨯=d.故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18.解：函数y =x 2+2x 的导数y ′=2x +2.曲线C 1在点P （x 1，x 12+2x 1）的切线方程是y －（x 12+2x 1）=（2x 1+2）（x －x 1）. 即y =（2x 1+2）x －x 12 ① 函数y =－x 2+a 的导数y ′=－2x ，曲线C 2在点Q （x 2，－x 22+a ）的切线方程是y －（－x 22+a ）=－2x 2（x －x 2）， 即y =－2x 2x +x 22+a . ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，所以⎩⎨⎧+=--=+.,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a =0.若判别式Δ=4－4×2（1+a ）=0时，即a =－21时解得x 1=－21.此时点P 与Q 重合. 即当a =－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y =x －41.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a <－21时C 1和C 2有两条公切线.设一条公切线上切点为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1+x 2=－1，y 1+y 2=x 12+2x 1+（－x 22+a ）=x 12+2x 1－（x 1+1）2+a =－1+a . 线段PQ 的中点为（21,21a +--）. 同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是（21,21a+--）. 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.19.（Ⅰ）解：∵a 1=1，∴a 2=3+1=4，a 3=32+4=13.（Ⅱ）证法一：由已知a n －a n －1=3n －1，故a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+…+（a 2－a 1）+a 1=3n －1+3n －2+…+3+1=213-n .所以证得a n =213-n .证法二：（1）当n =1时，命题成立.（2）假设n =k 时，命题成立.即a k =213-k ，那么n =k +1时，a k +1=3k +a k =3k +213-k21321)12(3213321-=-+=-+⋅=+k k k k 即n =k +1时命题成立.综合（1）（2），命题对n ∈N 均成立.20.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C .（Ⅰ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95.P （A ）=0.10，P （B ）=P （C ）=0.05. 因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）· P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176.答：恰有一件不合格的概率为0.176.（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）=0.90×0.052+ 2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012.答：至少有两件不合格的概率为0.012. 解法二：三件产品都合格的概率为 P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.90×0.952=0.812.由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－［P （A ·B ·C ）+0.176］=1－（0.812+0.176）=0.012.答：至少有两件不合格的概率为0.012.21.解：由f （x ）是偶函数，得f （－x ）=f （x ） 即sin （－ωx +ϕ）=sin （ωx +ϕ）. 所以－cos ϕsin ωx =cos ϕsin ωx对任意x 都成立，且ω＞0，所以得cos ϕ=0. 依题设0≤ϕ≤π，所以解得ϕ=2π.由f （x ）的图象关于点M 对称，得f （43π－x ）=－f （43π+x ）. 取x =0，得f （43π）=－f （43π），所以f （43π）=0. ∵f （43π）=sin （243πωπ+）=cos 43ωπ， ∴cos43ωπ=0，又ω＞0，得243πωπ++k π，k =0，1，2，…. ∴ω=32（2k +1），k =0，1，2，…. 当k =0时，ω=32，f （x ）=sin （232π+x ） 在［0，2π］上是减函数；当k =1时，ω=2，f （x ）=sin （2x +2π）在［0，2π］上是减函数；当k ≥2时，ω≥310，f （x ）=sin （ωx +2π）在［0，2π］上不是单调函数. 所以，综合得ω=32或ω=2. 22.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i =（1，0），c =（0，a ），∴c +λi =（λ，a ），i －2λc =（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax .消去参数λ，得点P （x ，y ）的坐标满足方程y （y －a ）=－2a 2x 2，整理得1)2()2(81222=-=aa y x ①因为a ＞0，所以得： （ⅰ）当a =22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ⅱ）当0＜a ＜22时，方程①表示椭圆，焦点E （2,21212a a -）和 F （－212,212aa -）为合乎题意的两个定点； （ⅲ）当a ＞22时，方程①也表示椭圆，焦点E （0，21（a +212-a ））和F （0，21（a －212-a ））为合乎题意的两个定点.江苏卷（与新课程卷不同的部分）●试题部分1.如果函数y =ax 2+bx +a 的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（ ）21.已知a >0，n 为正整数.（Ⅰ）设y =（x －a ）n ，证明y ′=n （x －a ）n －1；（Ⅱ）设f n （x ）=x n －（x －a ）n ，对任意n ≥a ，证明f n +1′（n +1）>（n +1）f n ′（n ）. 22.设a >0，如图，已知直线l ：y =ax 及曲线C ：y =x 2，C 上的点Q 1的横坐标为a 1（0<a 1<a ）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点P n +1，再从点P n +1作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n +1.Q n （n =1，2，3，…）的横坐标构成数列{a n }.（Ⅰ）试求a n +1与a n 的关系，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）当a =1，a 1≤21时，证明321)(11<-+=∑k nk k a a ；（Ⅲ）当a =1时，证明31)(211<-++=∑k k nk ka a a. ●答案解析 1.答案：C解析：∵函数的图象与x 轴有两个交点.所以有b 2－4a 2>0.即|b |>2|a |.对a 、b 的符号分情况讨论.①⎩⎨⎧>>00b a ②⎩⎨⎧<>00b a ③⎩⎨⎧><00b a ④⎩⎨⎧<<00b a 可得到C 选项.21.证明：（Ⅰ）因为（x －a ）n=k k n nk knx a -=-∑)(C，所以y ′=1111111)()(C )(C---=----=-=-=-∑∑n k k n nk k n k kn nk k na x n x a n xa k . （Ⅱ）对函数f n （x ）=x n －（x －a ）n 求导数：f n ′（x ）=nx n －1－n （x －a ）n －1，所以f n ′（n ）=n ［n n －1－（n －a ）n －1］. 当x ≥a >0时，f n ′（x ）>0.∴当x ≥a 时，f n （x ）=x n －（x －a ）n 是关于x 的增函数. 因此，当n ≥a 时，（n +1）n －（n +1－a ）n >n n －（n －a ）n . ∴f n +1′（n +1）=（n +1）［（n +1）n －（n +1－a ）n ］>（n +1）（n n －（n －a ）n ）>（n +1）（n n －n （n －a ）n －1）=（n +1）f n ′（n ），即对任意n ≥a ，f n +1′（n +1）>（n +1）f n ′（n ）.22.（Ⅰ）解：∵Q n （a n ，a n 2），P n +1（a 1·a n 2，a n 2），Q n +1（a 1·a n 2，21aa n 4）， ∴a n +1=a1·a n 2， ∴a n =a 1·a n －12=a 1（a 1·a n －22）2=（a 1）1+2a n －222=（a 1）1+2（a1·a n －32）22 =（a 1）2221++a n －332=……=（a 1）111122121221221)()1(-----==+++n n n n n aa a a aa ∴a n =a （aa 1）12-n .（Ⅱ）证明：由a =1知a n +1=a n 2. ∵a 1≤21，∴a 2≤41，a 3≤161.∵当k ≥1时，a k +2≤a 3≤161，∴321)(161)(161)(1111111<-=-≤-++=++=∑∑n k n k k k k nk ka a a a a a a. （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，a n =121-n a .因此2211112112121121211)()()(11++-==++=-≤-=-∑∑∑+-i i k ink k k nk ka a a a a a a a an k kk.3111)1()1(21151313121112131211<++=-⋅-<-=∑-=a a a a a a a aa a n k i辽宁卷（与新课程卷不同的部分）●试题部分 1.与曲线y =11-x 关于原点对称的曲线为（ ） A.y =x+11B.y =－x+11 C.y =x-11D.y =－x-114.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ） A.λ（AD AB +），λ∈（0，1） B.λ（+），λ∈（0，22） C.λ（AD AB -），λ∈（0，1） D.λ（BC AB -），λ∈（0，22） 16.对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB =AC ，BD =CD ，则BC ⊥AD ②若AB =CD ，AC =BD ，则BC ⊥AD ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD 其中真命题的序号是_____.（写出所有真命题的序号） ●答案解析 1.答案：A解法一：首先画出y =11-x ，利用特殊点的对称性，可以“找”到正确选项.令x =0，则y =－1，点（0，－1）在原曲线，其关于原点的对称点（0，1）只满足y =x+11. 解法二：已知曲线y =f （x ）=11-x ，其关于原点对称的曲线为y =－f （－x ） =－xx +=--1111.4.答案：A解析：由向量的运算法则AD AB AC+=.而点P 在对角线AC 上，所以AP 与AC 同向，且|AP |<|AC |，∴AP =λ（+） λ∈（0，1）.16.答案：①④解析：对于命题①，取BC 的中点E .连接AE 、DE .则BC ⊥AE ，BC ⊥DE .∴BC ⊥AD .对于命题④过A 向平面BCD 做垂线AO .连接BO 与CD 交于E .则CD ⊥BE .同理CF ⊥BD .∴O 为△BCD 垂心.连接DO ，则BC ⊥DO ，BC ⊥AO .∴BC ⊥AD .2003年高考数学试题（全国卷、河南卷）全国卷·理工农医类（与新课程卷不同的部分）●试题部分 2.圆锥曲线ρ=θθ2cos sin 8的准线方程是（ ） A.ρcos θ=－2 B.ρcos θ=2 C.ρsin θ=－2 D.ρsin θ=2 4.函数y =2sin x （sin x +cos x ）的最大值为（ ） A.1+2B.2－1C.2D.25.已知圆C ：（x －a ）2+（y －2）2=4（a >0）及直线l ：x －y +3=0，当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a 等于（ ）A.2B.2－2C.2－1D.2+16.已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A.2πR 2B.49πR 2 C.38πR 2 D.25πR 2 9.函数f （x ）=sin x ，x ∈［23,2ππ］的反函数f －1（x ）等于（ ）A.－arcsin x ，x ∈［－1，1］B.－π－arcsin x ，x ∈［－1，1］C.π+arcsin x ，x ∈［－1，1］D.π－arcsin x ，x ∈［－1，1］ 14.使log 2（－x ）<x +1成立的x 的取值范围是 .15.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种.（以数字作答）17.已知复数z 的辐角为60°，且|z －1|是|z |和|z －2|的等比中项，求|z |.19.已知c >0，设P ：函数y =c x 在R 上单调递减，Q ：不等式x +|x －2c |>1的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.20.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ（θ=arccos102）方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21.已知常数a >0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ，O 为AB 的中点.点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为CE 与OF 的交点（如图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22.（Ⅰ）设{a n }是集合{2t +2s |0≤s<t ，且s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1=3，a 2=5，a 3=6，a 4=9，a 5=10， a 6=12，….将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：（i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数： （ii ）求a 100. （Ⅱ）（本小题为附加题）设{b n }是集合{2t +2s +2r |0≤r <s <t ，且r ，s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列成的数列.已知b k =1160，求k .●答案解析 2.答案：C解析：变形后两边同时乘以ρ得：ρ2cos 2θ=8ρsin θ，∴y 2=8x ，其准线方程为x =－2，在极坐标系中方程为ρsin θ=－2.4.答案：A解析：y =2sin 2x +sin2x =1－cos2x +sin2x =1+2sin （2x －4π），∴y max =1+2.5.答案：C解析：由弦心距性质知，圆心C （a ，2）到直线l 的距离d =1，即d =2|32|+-a =1. ∴a =2－1，∵a >0，∴a =－2－1（舍去）.6.答案：B解析：设内接圆柱的半径为r ，高为h ，则有⇒-=Rr R R h 3h =3（R －r ）.∴S 全=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh =－4π（r －43R ）2+49πR 2 ∴其最大值为49πR 2. 9.答案：D解法一：∵f －1（1）=2π，∴将x =1代入A 、B 、C 、D 各式中，只有D 等于2π，因此D 正确.解法二：利用函数f （x ）的值域为［23,2ππ］，∵arcsin x ∈［－2π，2π］，∴只有D中式子范围是［23,2ππ］.14.答案：（－1，0）解析：由图可知，x 的取值范围是（－1，0）. 15.答案：72解析：先排1区，有4种方法，再排2区，有3种方法，如果3、5两区同色，则4区有2种方法，否则4区只剩一种方法.另外3、5两区本身还有两种选择，故共有4·3（2+1）·2=72.17.解法一：设z =r （cos60°+i sin60°），则复数z 的实部为2r. ∴z +z =r ，z z =r 2. 由题设|z －1|2=|z |·|z －2|， 即（z －1）（z －1）=|z |)2)(2(--z z ，∴r 2－r +1=r422+-r r ，整理得r 2+2r －1=0. 解得r =2－1，r =－2－1（舍去）.即|z |=2－1.解法二：设z =a +bi ，a >0，∵tan60°=3=ab，∴b =3a .∴z =a +3ai （a >0）， ∵|z －1|=223)1(a a +-，|z |=223a a +=2a ，|z －2|=223)2(a a +-，又∵|z －1|2=|z |·|z －2|，∴（a －1）2+3a 2=2a 223)2(a a +-⇒ 4a 2－2a +1=2a 1444422+-=+-a a a a a ⇒16a 4+4a 2+1－16a 3+8a 2－4a =16a 2（a 2－a +1）化简得4a 2=－4a +1⇒4a 2+4a －1=0⇒（2a +1）2=2⇒2a +1=2，∴a =212-.∴|z |=2－1 解法三：设z =r （cos60°+i s i n60°）=232+r ri 则z －1=（2r －1）+23ri ，z －2=（2r－2）+23ri 由题设：|z －1|2=|z |·|z －2|，∴（2r －1）2+43r 2=r 2243)22(r r +- ∴r 2－r +1=r ·422+-r r ，整理得：r 2+2r －1=0解得r =2－1，r =－2－1（舍去）.∴|z |=2－1.19.解：函数y =c x 在R 上单调递减⇔0<c <1.不等式x +|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y =x +|x －2c |在R 上恒大于1.∵x +|x －2c |=⎩⎨⎧<≥-,2 ,2,2 ,22c x c c x c x∴函数y =x +|x －2c |在R 上的最小值为2c .∴不等式x +|x －2c |>1的解集为R ⇔2c >1⇔c >21. 如果P 正确，且Q 不正确，则0<c ≤21. 如果P 不正确，且Q 正确，则c ≥1. 所以c 的取值范围为（0，21］∪［1，+∞）. 20.解法一：设在时刻t （h ）台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t +60（km ）. 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t +60. 由余弦定理知OQ 2=PQ 2+PO 2－2·PQ ·PO cos OPQ . 由于PO =300，PQ =20t ，cos OPQ =cos （θ－45°）=cos θcos45°+s i n θs i n45°=5422102122222=⨯-+⨯， 故OQ 2=（20t ）2+3002－2×20t ×300×54=202t 2－9600t +3002. 因此202t 2－9600t +3002≤（10t +60）2， 即t 2－36t +288≤0，解得12≤t ≤24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解法二：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是（x －x ）2+（y －y ）2≤［r （t ）］2， 其中r （t ）=10t +60.若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 （0－x ）2+（0－y ）2≤（10t +60）2，即（300×102－20×22t ）2+（－300×1027+20×22t ）2≤（10t +60）2，即t 2－36t +288≤0，解得12≤t ≤24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）.设DADGCD CF BC BE ===k （0≤k ≤1）. 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：2ax +（2k －1）y =0， ① 直线GE 的方程为：－a （2k －1）x +y －2a =0. ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0，整理得222)(21a a y x -+=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当a 2<21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2.当a 2>21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .22.（Ⅰ）解：（i ）第四行 17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48（ii ）解法一：设a 100=022s t+.只须确定正整数t 0，s 0.数列{a n }中小于02t的项构成的子集为{2t +2s |0≤s <t <t 0}， 其元素个数为2)1(C 002-=t t t ， 依题意2)1(00-t t <100 满足上式的最大整数t 0为14，所以取t 0=14.因为100－214C =s 0+1，由此解得s 0=8.∴a 100=214+28=16640. 解法二：n 为a n 的下标三角形数表第一行第一个元下标为1， 第二行第一个元下标为2)12(2-⨯+1=2， ……第t 行第一个元下标为2)1(-t t +1，第t 行第s 个元下标为2)1(-t t +s ,该元等于2t +2s －1. 据此判断a 100所在的行. 因为2)115(151002)114(14-⨯≤<-⨯，所以a 100是三角形数表第14行的第9个元a 100=214+29－1=16640.（Ⅱ）解：b k =1160=210+27+23，令M ={c ∈B |c <1160}（其中B ={2t +2s +2r |0≤r <s <t }），因M ={c ∈B |c <210}∪{c ∈B |210<c <210+27}∪{c ∈B |210+27<c <210+27+23}.。

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷附解答一、选择题1. 设函数 $f(x) = \log_2(x - 2) - 2$，则 $f^{-1}(2)$ 的值为多少？解答：由于 $f(x) = 2$，我们可以得到 $2 = \log_2(x - 2) - 2$。

将方程两边加上 2 并移项可得 $\log_2(x - 2) = 4$。

由对数的定义可知 $2^4 = x - 2$，解得 $x = 18$。

因此，$f^{-1}(2) = 18$。

2. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的抛物线与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点，且 $AB$ 的中点为 $M(1,-2)$，则函数 $f(x)$ 的解析式为什么？解答：由题意可知，抛物线的对称轴为 $x = 1$，且 $M(1,-2)$ 是抛物线上的一个点。

因此，函数 $f(x)$ 的顶点坐标为 $(1,-2)$。

由顶点坐标可知，对称轴上的点 $(0, f(0))$ 和 $(2, f(2))$ 的纵坐标相等且等于顶点的纵坐标。

即$$f(0) = f(2) = -2$$将 $f(x)$ 的解析式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 代入上述两个等式中，得到以下两个方程：$$\begin{cases} f(0) = c = -2 \\ f(2) = 4a + 2b + c = -2 \end{cases}$$联立方程解得 $a = 1$，$b = -6$，$c = -2$。

因此，函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x) = x^2 - 6x - 2$。

二、填空题1. 在梯形 $ABCD$ 中，若 $AB \parallel CD$，$AB = 6$，$BC = 8$，$AD = 10$，$M$、$N$ 分别是 $AD$、$BC$ 的中点，则 $MN$ 的长度为 \_\_\_。

解答：由题意，$ABCD$ 是一个梯形，$AB \parallel CD$。

实用文档2003年全国高等学校招生考试数学理科试卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则=tgx（ ）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724- 2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（ ）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）实用文档（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l被C 截得的弦长为32时，则a （ ）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m（ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）实用文档（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1]（C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32） 11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nn n C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61 （D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面实用文档积为（ ）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二、填空题：13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54c o s =x ，则2tg x = （ ）（A ）247 （B ）247- （C ）24 （D ）24-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）cos θρ2- 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若（ ） （A ）（1-，1） （C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y += （ ） （A ）21+ （B ）12-5（0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得 （ ） （C ）12- （D ）12+63R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（C ）238R π （D ）223R π70)=n 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（ ） （A ）（31，1） （B ）（31，3211．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C）（A ）3 （B ）3112．一个四面体的所有棱长都为2 ） （A ）π3（B ）π4 （C ）二.小题，每小题4分，共16分。

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π〔 〕A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=〔 〕A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- 〔 〕A ．〔－1，1〕B ．〔－1，+∞〕C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 〔 〕A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是〔 〕A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m 〔 〕A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 〔 〕A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ〔 〕A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A 〔0，0〕，B 〔2，0〕，C 〔2，1〕和D 〔0，1〕，一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4〔入射解等于反射角〕，设P 4坐标为〔θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是〔 〕A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C〔 〕A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的外表积为 〔 〕A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.〔以数字作答〕16．以下五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP的图形的序号是 .〔写出所有符合要求的图形序号〕三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．〔本小题总分值12分〕已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题总分值12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. 〔Ⅰ〕求A 1B 与平面ABD 所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕； 〔Ⅱ〕求点A 1到平面AED 的距离. 19．〔本小题总分值12分〕已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．〔本小题总分值12分〕在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 〔如图〕的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．〔本小题总分值14分〕已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点〔如图〕，问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？假设存在，求出这两点的坐标及此定值；假设不存在，请说明理由. 22．〔本小题总分值12分，附加题4分〕〔Ⅰ〕设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a sn 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — 〔i 〕写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； 〔i i 〕求100a .〔Ⅱ〕〔本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分〕设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b st n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．〔-1，0〕 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．〔Ⅰ〕解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)31262,.2,22,23, 3.336122sin .arcsin .3333D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=⨯=====∴===∴∠==⋅=∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是〔Ⅱ〕解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：〔1〕台风中心P 〔y x ,〕的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 假设在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A 〔－2，0〕，B 〔2，0〕，C 〔2，4a 〕，D 〔－2，4a 〕设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E 〔2，4a k 〕，F 〔2－4k ，4a 〕，G 〔－2，4a －4ak 〕直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P 〔x,y 〕坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ c ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ b ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值 （19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003年高考数学试题(全国理)及答案2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π （ ）A ．247B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12- D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A ．22R πB ．249R π C ．238R π D ．223r π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x的四个根组成的一个首项为4112．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A ．3πB ．4πC ．3π3 D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx-展开式中9x 的系数是 .14．使1)(log2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分） 已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos (=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t∈<≤+且是集合t s a s n中所有的数从小到大排列成的数列， 即.,12,10,9,6,5,3654321======a a a a a a将数列}{na 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12— — — —— — — — —（i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 设Z}t s,r,,0|22{2}{r∈<<≤++且是集合t s r b s t n中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=kb2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)31262,.2,22,23, 3.3622sin .arcsin .3D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=⨯=====∴===∴∠==⋅=∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。

2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a s n 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b s t n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1,(4)3sin D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴======∴∠==∴ 分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1。

答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3。

考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式:334R V π=球 ,其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分第Ⅰ卷（选择题共60分)一。

选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0)，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A)247 （B ）247- (C)724 (D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 ( ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ,若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）(C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D)(∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ )(A ）21+ （B ）12- （C)2 (D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a ( ） （A ）2 （B ）22- （C)12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R,高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A)22R π (B)249R π (C ）238R π (D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A)1 （B ）43 （C)21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0）,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-,则此双曲线的方程是 ( ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C)12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）(A)x arcsin - 1[-∈x ，1] (B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ,1］ （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0,0），B （2,0），C(2，1）和D （0,1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1) （B ）（31,32） （C ）（52，21） （D)（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ( ）（A)3 （B ）31 （C ）61(D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为（ ) （A ）π3 (B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54c o s =x ，则2tg x = （ ）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点D E KBCABFCG东。