华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解

第十二章 数列、数学归纳法与数列的极限12．1 数列 基础练习1．写出下面数列的一个通项公式： （1）90，70，40，0，-50…．（2）13-，18，115-，124，135-…．（3）12，2，92，8，252…． （4）7，77，777，7777，77777…．（5）1，0，13，0，15…．解：直接带入检验即可．（1）210055nn --．（2）()()12nn n -+．（3）22n ．（4）()1019n 7-．（5）()1112n n+-+．2．已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =++，则{}n a 的最大项是第几项，值是多少？解：()22224521n a n n n ==-+-+，最大项是22a =．3，解：n a =7项．4．数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有123a a a ⋅⋅⋅…n a n 2⋅=． （1）求35a a +．（2）256225是此数列中的项吗？ 解：（1）()2*21121n n n a n n n =⎧⎪=⎨∈⎪-⎩N ，，，≥． （2）()22256162251n n n =⇒=-． 5．已知数列{}n a 的通项公式是231n n a n +=+，为使n N >时，恒有12100n a -<成立，则正整数N 的最小值是多少？解：112991100n a n n -=<⇒>+，故所求的最小的N 是99． 12．2 递推数列与递推方法 基础练习1．求下列递推数列的通项公式： （1）112a =，121n n a a n n+=++． （2）11a =，()1212n n a a n -=+≥．（3）11a =，22a =，()*2132n n n a a a n ++=+∈N ． （4）123a =，11n n n a a n +=+． （5）156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（6）14a =，1321n n a a n -=+-，()2n ≥． 解：（1）1111n n a a n n +=+-+，令1n n b a n =+，1n n b b +=，1313122n n b a b n n=⇒=-=-． （2）()()11112121121n n n n n a a a a --+=+⇒=+-=-． （3）由特征根法可知：232x x x =+⇒=则11n n n a p q --=+⎝⎭⎝⎭．因为11a =，22a =，解得：p =，q =，则11n n n a --=⎝⎭⎝⎭．（4）令n n b na =，则1123n n n b b b b +=⇒==，故23n n b a n n==． （5）11113332n n nn n n a a ++++=+，则123539332222kn nn n n n k a a +=⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭∑113223nnn a ⎛⎫⎛⎫⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（6）()()11113321231n n n n n a n a n a a n n --++=+⇒=+--=⨯--．2．已知数列{}n a 各项都是正数，且满足：01a =，()1142n n n a a a +=-，()n ∈N ，求数列{}n a 的通项公式．解：()211222n n a a +-=-，两边取对数，可得：21122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．3．已知数列{}n a 中，12a =，123nn n a a a +=+，求{}n a 的通项公式． 解：取倒数法11131131211122223nn nn n n n a a a a -+⎛⎫⎛⎫+=++=+⇒= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 4．已知数列{}n a 满足性质：对于n ∈N ，1423n n n a a a ++=+，且13a =，求{}n a 的通项公式．解：不动点法，4123x x x x +=⇒=+，2-． 11123n n n a a a +--=-+，122523n n n a a a +++=+．两式相除，可得：11111111111252225n n n n n n n a a a a a a a a -++----⎛⎫=-⇒=⋅- ⎪++++⎝⎭，得()()5425nn na --=+-，*n ∈N ．5．若()00f x x =则称0x 为()f x 的不动点，函数()23x f x x+=． （1）求()f x 的不动点．（2）数列{}n a 满足()1n n a f a +=，15a =，求数列{}n a 的通项公式． 解：（1）03x =，1-．（2）133n n n a a a +--=-，1113n n na a a +++=． 两式相除，可得()()()11111111313311131331n n n n n n n n nn a a a a a --+--++---⎛⎫=-=-⇒= ⎪+⎝⎭--． 6．已知数列{}n a 中，14a =，()2121nn n a a a +=-，2n n n a b a -=()*n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式．解：12122221212n n n n n b b b b ----1⎛⎫==== ⎪⎝⎭．7．已知数列n x ，满足()11n n n x x n ++=+，且12x =，求n x ． 解：()()()()()()111111111111111121!n n n n x x x x x n n n n n n n n n n --+-----======+++-+-+．()1111!n x n +=++ 能力提高8．在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列{}j A ，1j =，2，…，以及在第一象限内的抛物线232y x =上从左向右依次取点列{}k B ，12k =，，，使()112k k k A B A k -=，，△都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，求第2011个等边三角形的边长．解：易得112B ⎛ ⎝⎭，()110A ，．令()0j j A a ，，223k k k B b b ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()()()()2112121332443121322k k k k k k k k k k k b a a a a b a k k b a a a ----⎧=+=-⎪-⎪⎨⎪+⎪=+⇒=⎩． 则边长1k k k L a a k -=-=．则第2011个等边三角形的边长为2011．9．已知数列{}n a 满足1a p =，21a p =+，21220n n n a a a n ++-+=-，其中p 是给定的实数，n 是正整数，试求n 的值，使得n a 的值最小．解：令1n n n b a a +=-，12n =，， 由题设21220n n n a a a n ++-+=-，有1120n n b b n +-=-，且11b =． 于是()()1111120n n i i i i b b i --+==-=-∑∑，即()()112121n b b n n n -=+++---⎡⎤⎣⎦．则()()14012n n n b --=+又1a p =，21a p =+，则32112212017a a a p a a =-+-=-<<． 则当n a 的值最小时，应有3n ≥，1n n a a +≤，且1n n a a -≤． 即10n n n b a a +=-≥，110n n n b a a -+=-≤．由（1）式，得()()()()14022412n n n n ⎧--⎪⎨---⎪⎩≥≤，由于3n ≥，且*n ∈N ，解得4040n n ⎧⎨⎩≥≤，则当40n =时，40a 的值最小．10．将m 位性别相同的客人，按如下方法入住1A ，2A ，…，n A 共n 个房间．首先，安排1位客人和余下的客人17的入住房间1A ；然后，从余下的客人中安排2位和再次余下的客人17的人住房间2A ；依此类推，第几号房间就安排几位客人和余下的客人17的入住；这样，最后一间房间n A ，正好安排最后余下的n 位客人．试求客人的数目和客房的数目，以及每间客房入住客人的数目．解：设安排完第k 号客房k A 后还剩下k a 位客人，则0a m =，0n a =． 因为第k 号客房k A 入住的客人数为17k a k k --+，所以117k k k a ka a k ----=+， 即()167k k a a k -=-，变形得()()1663661367k k a k a k -+-=+--． 这表明数列636k k b a k =+-是等比数列，公比67q =， 其中003636b a m =-=-，()116136742n n b a n n --=+--=-． 代人通项公式得()1674267n n m -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()176366n n n m --=+．由于m 为正整数，并且7n 与16n -叫互质，故()166n n --，但()160116n n n --<>，≤ 解得6n =，从而36m =．由此可知，客房1A 入住361167-+=位客人； 客房2A 入住302267-+=位客人；客房3A 入住243367-+=位客人； 客房4A 入住184467-+=位客人；客房5A 入住125567-+=位客人； 最后一间客房入住了剩下的6位客人．综上可知，共有客人36人，客房6间，每问客房均人住6位客人． 11．已知数列{}n a 中，11a =；数列{}n b 中，10b =．当2n ≥时，()11123n n n a a b --=+，()11123n n n b a b --=+，求n a ，n b ． 解：因()()111111112233n n n n n n n n a b a b a b a b ------+=+++=+， 所以112222111n n n n n n a b a b a b a b a b ----+=+=+==+=+=，即1n n a b += （1） 又因为()()()11111111122333n n n n n n n n a b a b a b a b -------=+-+=-， 所以()()()21111121111113333n n n n n n n n a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．即113n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）由①②得：111123n n a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，111123n n b -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．12．数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时， 2111n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，偶，，奇当为数时当为数时.已知3019n a =，求正整数n ． 解：由题设易知，0n a >，1n =，2，…．又由11a =，当n 为偶数时，1n a >； 当()1n >是奇数时，111n n a a -=<． 由30119n a =>，所以n 为偶数，于是23011111919n a =-=<，所以，2n 是奇数． 于是依次可得： 1219111n a -=>，12n-是偶数， 24198111111n a -=-=<，24n -是奇数， 2141118n a --=>，64n -是偶数， 681131188n a -=-=<，68n -是奇数， 618813n a --=>，148n -是偶数， 1416851133n a -=-=>，1416n -是偶数， 1432521133n a -=-=<，4632n -是奇数， 14132312n a --=>，4632n -是偶数， 4664311122n a -=-=<，4664n -是奇数， 4616421n a --=>，11064n -是偶数， 110128211n a -=-=，所以，1101128n -=，解得，238n =． 13．数列{}n x ，{}n y 定义如下：11x =，139y =，且 1232n n n x x y -=++，15512464n n n y x y +=++，1n =，2，…证明：对一切正整数n ，n x 是完全平方数．证明：由题设得：12424232448n n n x x y +=⨯++，15512464n n n y x y +=++． 两式相减得：112416n n n x y x ++=+-，又211232n n n x x y +++=++，消去1n y +得 214718n n n x x x ++=-+，所以3214718n n n x x x +++=-+．两式相减得3214848n n n n x x x x +++=-+，记n a 由11x =，139y =，可得264x =，33025x =，故11a =，28a =，355a =，且22223214848n n n n a a a a +++=-+． ①下证明{}n a 是正整数数列．①式为()()2222223211112249144914n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++++--+=--+，所以()()()()31232121127777n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++++-+-=+-+-，由于31270a a a +-=， 故()()312321770n n n n n n a a a a a a +++++++-+-=．而{}n x 是严格递增数列，故{}n a 也是严格递增数列，从而32170n n n a a a ++++->， 故31270n n n a a a ++++-=，即3217n n n a a a +++=-，11a =，28a =， 则{}n a 是正整数数列，从而对一切正整数n ，n x 是完全平方数． 12．3等差数列 基础练习1．三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解：设三个数为a c -，a ，()0a c c +≥，由条件5a =，223283a c +=， 则2c =，三个数是3，5，7．2．试判断数列：lg 5，lg10，lg 20，lg 40…是不是等差数列，若是求出其公差． 解：是等差数列；lg2． 3．若1a 、1b 、1c 成等差数列，且a b ≠，求证：a ，b ，c 不可能是等差数列． 解：设11u a b =-，()110u u c b=+≠． 把a ，c 用b 表示出，可知无论a ，b ，c 如何排序，a ，b ，c 不能是等差数列． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1202n n n a S S n -+⋅=≥，112a =． （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（2）求n a ．解：（1）将()12n n n a S S n -=-≥代入即可，()112n n n n S S S S --⋅=-- ()11122n n n S S -⇒-=≥，显然数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）()1112122n n n fn n S S S n =+-=⇒=，利用公式：()()1121n n n S S n a S n -⎧-⎪=⎨=⎪⎩≥，则()()()11212.21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩，≥5．x y ≠，且两数列x ，1a ，2a ，3a ，y 和1b ，x ，2b ，3b ，y ，4b 均为等差数列，求4321b b a a --． 解：14y xa a d --==，43223y x b b d --==，则432183b b a a -=-．6．在等差数列5-，132-，2-，12-，…的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．解：133235224d d =-+=⇒=，则32344n a n =-．7·已知数列{}n a 是各项不为零的等差数列，且对任意正整数n 恒有12211a a a a+++()1111n nnc n a a a a --=成立，其中c 是常数，求c 的值．解：利用裂项求和的方法，111111n nn n a a d a a --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得1c =．能力提高8．设无穷等差数列{}n a 的前n 项和n S ． （1）若首项132a =，公差1d =，求满足()22k k S S =的正整数k ． （2）求所有无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有()22k k S S =成立． 解：（1）()242n n n S k +=⇒=．（2）112k k S k a d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222112k k S k a d ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，把1k =，2，3带入解出100a d =⎧⎨=⎩或12a d =⎧⎪⎨=⎪⎩或110a d =⎧⎨=⎩，经检验符合要求．9．已知等差数列{}n a 中，321S =，664S =，求数列{}n a 的前n 项的和． 解：112n a n =-，则210n S n n =-+．()()225105210506n n n S n n n T S S n n n ⎧=-+⎪=⎨-=-+⎪⎩≤≥．10．设数列{}n a 为正项数列，前n 项的和为n S ，且有n a 、n S 、2n a 成等差数列．（1）求通项n a ．（2）设()()150nn S f n n S +=+，求()f n 的最大值．解：（1）22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=，作差，利用1n n n S S a --=，得到()()11111n n n n n n n n n a a a a a a a a a n ----+=+-⇒-=⇒=．（2）()110052f n n n=++，10n =时，()f n 有最大值172．11．等差数列的前n 项和n S m =，前m 项和()m S n m n =>，求前m n +项和m n S +． 解：由于n S 是等差数列的前n 项和，设：2n S an bn =+， 22am bm n an bn m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 两式相减，可得()()()()()()2221m n a m n b m n n m a m n b S a m n b m n m n +⇒-+-=-⇒++=-⇒=+++=-+．12．（1）若等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和为n A 与n B ，满足()*71427n n A n n B n +=∈+N ，求1111a b 的值．（2）若关于x 的方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，求a b +的值．（3）在等差数列{}n a 中，它的前n 项和为n S ，已知8n S =，214n S =，求3n S ． 解：（1）112121a A =，111121114213a b B b =⇒=． （2）由根与系数关系，这四项分别为14，512，712，34，316a =，35144b =，3172a b +=． （3）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，318n S ⇒=． 13．求所有正整数3n ≥，使得下述命题成立： 设1a ，2a ，…，n a 成等差数列，若122n a a na +++为有理数，则1a ，2a ，…，n a 中至少有一个数为有理数．解：设公差为d ，n a a nd =+，则()()()1112126nk k n n n n n ka a =+++=+∈∑Q ．于是213n a d ++为有理数，213n +为整数时命题得以成立． 我们要证明213n +必须是整数，从而推出()1mod3n ≡． 否则，我们取d 为无理数，而a 使得213n a d ++为有理数， 则对任意k a ，()21321033k n k n a a d d +--⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭，因此它是无理数，这与要求相悖． 12．4等比数列 基础练习1．等比数列{}n a 中，（1）已知24a =，512a =-，求通项公式．（2）已知以3458a a a ⋅⋅=，求23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅的值． 解：（1）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）32．2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数． 解：12，16，20，25或994，814，634，494． 3．若a ，b ，c ，d 成等比数列．求证：()()()()2222b c c a d b a d -+-+-=-． 证明：设b aq =，2c aq =，3d aq =，()()()()()()2222222222231b c c a d b a q q a q a q q -+-+-=-+-+-()()()()()()222222222323311a q q q q q a q aq a a d ⎡⎤=-+-+-=-=-=-⎢⎥⎣⎦． 4．数列{}n a 是等比数列，其中48n S =，260n S =，求3n S ．解：n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，()()2232n n n n n S S S S S -=-，得出363n S =． 5．已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是d ，又知1d ≠，且44a b =，1010a b =． （1）求1a 与d 的值．（2）16b 是{}n a 中的第几项．解：（1）1a =d =（2）16b 是{}n a 中的第34项．6．求数列的通项公式：（1）在数列{}n a 中，12a =，132n n a a +=+． （2）在数列{}n a 中，12a =，25a =，21320n n n a a a ++-+=．解：（1）()1131n n a a ++=+，得出：31n n a =-．（2）()2112n n n n a a a a +++-=-，得出：()22121232n n n n a a a a ----=-⋅=⋅． 利用累加法可得：21232nk n k a a -=-=⋅∑，得出：()1321n n a -=-．7．等比数列{}n a 的公比大于零且不等于1，且数列的第17项的平方等于第24项．求使12312111n na a a a a a a ++++>+++成立的正整数n 的取值范围． 解：设等比数列{}n a 的公比为()01q q q >≠，， 则由21724a a =得 ()2162311a q a q = ① 则911a q =．又{}n a 和1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭分别是以1a 为首项，q 为公比以及11a 为首项，1q 为公比的等比数列．则()()11291111n n n a q q a a a q q q --+++==--， ()()()9111121111111111111nn n n n na q q q q a a a a q q q q q--⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭-⎣⎦+++===---． 于是已知不等式即为 ()()()9911111n n n q q q q q q q --->-- ② 由于>0q ，1q ≠，当1q >时，有1n q >，此时，②911891111819n n q q q n n q q--⇔>⇔>⇔->⇔>．因此，当1q >时，n 为大于19的任意自然数． 当01q <<时，有1n q <，此时，②911891111819n n q q q n n q q--⇔>⇔>⇔-<⇔<．因此，当01q <<时，n 为l ，2，3，4，…，18这18个自然数．8．已知0a >，且1a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，它满足条件111n n a S a-=-．数列{}n b 中，lg n n n b a a =⋅．（1）求数列{}n b 的前n 项和n T ．（2）若对一切*n ∈N 都有1n n b b +<，求a 的取值范围．解：（1）()()121lg 11n n n a a na T a a a +⎡⎤-⎢⎥=⋅--⎢⎥-⎣⎦．（2）102a <<或1a >． 9．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金800万元，以后每年投入资金比上年减少15．本年度当地旅游产业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14． （1）设n 年内（本年度为第1年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元．写出n a 、n b 的表达式．（2）至少经过几年旅游业的总收人才能超过总投入？解：（1）第1年投入800万元，第2年投入180015⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元…，第n 年投入1180015n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元，所以n 年内总投入11148008001800140001555n n n n a a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-==-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦同理，第1年收入400万元，第2年收入140014⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭万元，…，第n 年收入1140014n -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭万元，所以n 年内的旅游总收入为11154004001400116001444n n n n b b -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++⨯+==-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）当0n n b a ->，即541600140001045n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时旅游业的总收人才能超过总投入．化简得45527054nnkt ⎛⎫⎛⎫+⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设45nx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25720x x -+>，则25x <，1x >（舍），即4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得5n ≥．所以至少经过5年旅游业的总收人才能超过总投入． 能力提高10．正数列0a ，1a ，…，n a()122n a n -≥且011a a ==，求通项．1==令n b =()1121121n n n n b b b b --=+⇒+=+，得()2121nk n k a ==-∏．11．已知数列{}n a 的通项为234n n n n a n +⎧⎪=⎨⎪⎩，奇，偶为数为数，求这个数列的前()*2m m ∈N 项的和．解：分组求和法，121616231515m m m +++-．12．已知数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，并且()11421231n n S a n a +=+==，，，，．（1）设()12123n n n b a a n +=-=，，，，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式．（2）设()1232nn na c n ==，，，，求证：数列{}n c 是等差数列，并求其通项公式．（3）求数列{}n a 前n 项和．解：（1）114242n n nn S a S a +-=+⎧⎨=+⎩，两式相减，因为1112n n n n n S S a b b ++--=⇒=，故132n n b -=⋅． （2）11324n n n n b c c ++=-=，3144nc n =-． （3）232224n nn n n n a c -⋅==-，2111111113122222442nn n n nk k k k n k k k k k k a k k k -+-=====⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑ ()()11111213131212222224242n n k k n n n n k k k k n +-++-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ ()13422n n -=-⋅+．13．无穷正实数数列{}n x 具有以下性质：01x =，()1012i i x x i +<=，，，．（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个1n ≥，使222011123.999nnx x x x x x -+++≥均成立．（2）寻求这样的一个数列使不等式222011124nnx x x x x x -+++<对任一n 均成立． 解：（1）不断反复利用二元均值不等式222222222222010210304111121212112212321n n n n nn n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------++++++++++++++≥≥≥ 311210223112n n x x x -+++-++≥≥221111122222202224n n n n x ---1++++++-==→≥．因此，当n 足够大时，就有2220111213.999nn x x x x x x -+++≥．（2）取无穷等比数列12nn x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12n =，，，则 22220111211210.541422n nn nx x x x x x --⎛⎫⎛⎫+++=++++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 14．如果有穷数列1a ，2a ，3a ，…，n a （n 为正整数）满足条件1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即()112i n i a a i n -+==，，，，我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01C C C mm m m ，，，就是“对称数列”． （1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1b ，2b ，3b ，4b 是等差数列，且12b =，411b =．依次写出{}n b 的每一项．（2）设{}n c 是项数为21k - （正整数1k >）的“对称数列”，其中k c ，121k k c c +-，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为21k S -．当k 为何值时，21k S -取得最大值？并求出21k S -的最大值．（3）对于确定的正整数1m >，写出所有项数不超过2m 的“对称数列”，使得1，2，22，…，12m -依次是该数列中连续的项；当1500m >时，求其中一个“对称数列’’前2 008项的和2008S ．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则4132311b b d d =+=+=，解得3d =， 则数列{}n b 为2，5，8，11，8，5，2． （2）21121121k k k k k S c c c c c c --+-=+++++++()1212k k k k c c c c +-=+++-，()222141341350k S k -=--+⨯-， 则当13k =时，21k S -取得最大值． 21k S -的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①1，2，22，…，22m -，12m -，22m -，…，22，2，1； ②1，2，22，…，22m -，12m -，22m -，22m -，…，22，2，1；③12m -，22m -，…，22，2，1，2，22，…22m -，12m -； ④12m -，22m -，…，22，2，1，1，2，22，…22m -，12m -； 对于①，当2008m ≥时，2200720082008122221S =++++=-．当15002007m <≤时，212220092008122222m m m m S ----=+++++++12200912200921222221m m m m m m ----=-+-=+--．对于②，当2008m ≥时，2008200821S =-． 当15002007m <≤时，1220082008221m m S +-=--． 对于③．当2008m ≥时，2008200822m m S -=-． 当15002007m <≤时，20092008223m m S -=--． 对于④，当2008m ≥时，2008200822m m S -=-． 当15002007m <≤时，20082008222m m S -=+-． 12．5数学归纳法及其应用 基础练习1．下面对于命题“任何n 个女孩都有相同颜色的眼睛”的证明是否正确．请说明理由． 证明：（1）当1n =时，命题显然成立．（2）假设()*1n k k k =∈N ，≥时，命题成立，即任何k 个女孩都有相同颜色的眼睛．则当1n k =+时，不妨设这1k +个女孩分别为1a ，2a ，3a ，…，k a ，1k a +，去掉1a ，则剩下的2a ，3a ，…，k a ，1k a +有k 个，由归纳假设，她们眼睛颜色相同，若去掉2a ，则剩下的1a ，3a ，…k a ，1k a +有k 个，南归纳假设，她们眼睛颜色也相同，由等量代换原理可知，1a ，2a ，3a ，…，k a ，1k a +这1k +个女孩眼睛颜色也相同．根据（1）（2）可以断定，对任何*n ∈N 命题“任何n 个女孩都有相同颜色的眼睛”都成立． 答：不正确．n k =走时的命题仅对1a ，2a ，…，k a 成立，与第1k a +个女孩无关． 2．用数学归纳法证明： （1）()*111tan tan 2sin 2sin 4sin 2n nx x n x xx+++=-∈N ．（2）()()()()()()222222*111124n n n n n nn n nn -+-+-++-=∈N ．（3）()()*tan tan tan 2tan 2tan3tan 1tan 2tan n n n n n n αααααααα⋅+⋅++-⋅=-∈N ，≥． 证明：（1）对n 归纳，1n =时2cos cos22cos cos21cot cot 2sin sin 2sin 2sin 2x x x x x x x x x x--=-==显然成立，设1n -时命题成立，n 时由归纳假设只需证明：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 2sin 2n n n x x x xx x-1+++=-+． 因为()2112cos 2cos 21cos 2cot 2sin 2sin 2n n n n n nx x x x x x---==-， 则11111cot cot 2cos2cos2cos cos2sin 2sin 4sin 2n n n n nx x x x x x x xx--+++=-+-=-． （2）对n 归纳，1n =时00=显然成立，设1n -时命题成立， n 时由归纳假设只需证明()()()()()()221221111214n k n n n n n nk n n -=-+-----=∑．上式左边()()1212n nn -=-⋅，右边()()()()()()2211213242n n n n n nn n n ---=+--+=，左边=边，故原命题成立．（3）对n 归纳，我们将定义域延拓为0n >，n 为整数，可以看出不影响归纳过度． 1n =时命题显然成立，设1n -时命题成立，n 时只需证明：()()tan tan 1tan 1tan 1tan n n n n ααααα---⋅=-，由()()tan tan 1tan 1tan tan 1n n n ααααα+-=--，欲证上式右边()()()()()()()()()tan tan 1tan 11tan 11tan tan 11tan tan 11tan tan 1n n n n n fn n αααααααααα2+--+-=-==-----=边，获证． 3．用数学归纳法证明：（3）()()*3171n n n +⋅-∈N 能被9整除．（2）当n 为正奇数时，()42727n n ++能被64整除． （3）()()12112n n x x +-+++能被233x x ++整除．证明：（1）对n 归纳，1n =时927，1n -时命题成立，n 时只需证明：()()19731732n n n n -+--，而右边()()17217329721n n n n n -=+-+=⋅+被9整除．（2）对n 归纳，1n =时容易验证．设2m -时成立，n 时，因为()()()()()()4242272727227222244561n n n n n n n n ⎡⎤++----+=--++-⎣⎦()()()28118n n =--+，由于n 为奇数，所以()2818n -+，所以上式被64整除。

第十八章概率论初步与基本统计方法18.1 随机事件和古典概型基础练习1．在60件产品中，有30件是一等品，20件是二等品，10件是三等品，从中任取3件，试计算：（1）3件都是一等品的概率．（2）2件是一等品、1件是二等品的概率．（3）一等品、二等品、三等品各有1件的概率．解：（1）330360C7C59=．（2）213020360C C15C59⋅=．（3）111302010360711C C C300C1⋅⋅=．2．盒中有规格相同的红、白、黑手套各3只，从中任意摸出2只恰好配成同色的概率为多少？解：先选一个颜色出来，然后从同色中的3只中任选2只出来，则123329C C1C4=．3．某班36人的血型情况为：A型血12人，B型血10人，AB型血8人，O型血6人，若从班里随机叫出两人，两人血型相同的概率是多少？解：2222121086236C C C C11C45+++=．4．一枚硬币连掷四次，试求：（1）恰好出现两次是正面的概率．（2）最后两次出现正面的概率．解：（1）()244C3 28P A==．（2）()2421 24P B==．5．从一副去掉王牌的牌（52张）中，任取4张，求下列情况的概率：（1）取出4张全是A．（2）取出4张的数字相同．（3）取出4张全是黑桃．（4）取出4张的花色相同．解：取出4张有452C个结果．（1）4张全是“A”记为随机事件A，只有一个结果，4手长为4个花色的A，故()45211C 270725P A ==． （2）取出4张的数字相同记为随机事件B ，52张牌中共有13种数字，每种数字有4个花色．所以随机事件B 包括113C 个基本事件，故所求随机事件概率为()113452C 1C 20825P B ==． （3）取出4张全是黑桃记为随机事件C ，13张黑桃中取出4张，所以有()413452C 11C 4165P C ==．（4）取出4张相同花色记为随机事件D ，4种花色选一种14C ，在选出的花色中13张牌再选出4张相同花色413C ，故随机事件D 共有14413C C 个基本事件，故()14413452C C C PD =．6．把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的．求： （1）没有一个空盒子的概率． （2）恰有一个空盒子的概率．解：4个相同球放进3个不同的盒子，先加进3个球，变成7个相同球，放进3个不同盒子，保证每个盒子至少一个球，用隔板法解决，有26C 个结果，再将多加进的球取出．（1）“没有一个空盒子”记为随机事件A ，4个相同球放进3个不同的盒子，每个盒子至少一个球，用隔板法解决，有23C 个结果，故()2326C 1C 5P A ==．（2）“恰好有一个空盒子”记为随机事件B ，先选一个盒子13C ，4个相同球放进2个不同盒子，每个盒子至少一个球，所以随机事件B 包含13C 个结果，故()113326C C 3C 5P B ==．7．抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率．（2）事件“点数之和小于7”的概率． 解：（1）61366P ==．（2）事件“点数之和小于7”为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），则概率为1536P =． 8．A 、B 、C 、D 、E 五人分四本不同的书，每人至多分一本．求：（1）A 不分甲书，B 不分乙书的概率．（2）甲书不分给A 、B ，乙书不分给C 的概率．解：（1）4113433355A A A A 13A 20+=（或314344555555A A A 1A A A --+）（2）4113423355A A A A 1A 2+=． 9．一批产品共有82只，其中6只特级品，现任意取出2只，求：（1）全是特级品的概率．（2）只有1只是特级品的概率．（3）都不是特级品的概率．解：（1）()26282C 5C 1107P A ==．（2）()11676282C C 152C 1107P B ==．（3）()276282C C P C =10．有九张卡片分别写着数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，甲、乙两人依次从中各抽取一张卡片（不放回）．（1）求甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字的概率． （2）求甲、乙两人至少抽到一张奇数数字卡片的概率．解：（1）()115429C C 205P 7218P A ===；（2）()2222121086236C C C C 11C 45P A +++==． 11．设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住()n N ≤，求下列事件的概率：（1）指定的n 个房间各有一个人住． （2）恰好有n 个房间，每问各住一个人．解：由于每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有n N 种，它们是等可能的， 则（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n !则()!nn P A N =． （2）恰好有n 个房问其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有C n N 个，由（1）可知：()()!!!nN n n C n N P B N N N n ⋅==-． 12．有5个1克砝码，3个3克砝码和2个5克砝码，任意取出3个砝码，求： （1）其中至少有2个砝码同样重量的概率． （2）3个砝码总重量为7克的概率．解：（1）311110532310C C C C 3C 4-=．（2）21213552310C C C C 7C 24+=． 能力提高13．由数据1，2，3组成可重复数字的三位数，试求三位数中至多出现两个不同数字的概率．解：2333727279⨯⨯+=． 14．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A =“抽到的是一等品”，事件B = “抽到的是二等品”，事件C = “抽到的是三等品”，且已知()0.7P A =，()0.1P B =，()0.05P C =，求下列事件的概率：（1）事件D =“抽到的是一等品或二等品”． （2）事件E = “抽到的是二等品或三等品”．解：（1）()()()()0.70.10.8P D P A B P A P B =+=+=+=． （2）()()()()0.10.050.15P E P B C P B P C =+=+=+=． 15．从1到9九个数字中不重复地取出3个组成3位数，求： （1）这个3位数是偶数的概率． （2）这个3位数是5的倍数的概率． （3）这个3位数是4的倍数的概率． （4）这个3位数是3的倍数的概率．解：9个数字中取出3个组成3位数，有39P 个结果．（1）“3位数是偶数”记为随机事件A ，有1248P P 个结果，()124839P PP P A =．（2）“3位数是5的倍数”记为随机事件B ，末尾须是5，故随机事件B 包含28P 个结果， 所以()2839P 1P 9P B ==．（3）“3位数是4的倍数”记为随机事件C ，3位数是4的倍数须后两位能被4整除， 后两位可以是12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、94、98，只要定下百位即可，所以随机事件C 包含1716P 个结果，故()173916P P P C =．（4）“3位数是3的倍数”记为随机事件D ，3位数是3的倍数须各个位置上的数字之和 能被3整除，9个数字，其中3、6、9能被3整除，1、4、7被3除余1，2、5、8被3除余2，所以3位数被3整除包括4种情况：三个数字均被3整除；三个数字都被3除余1； 三个数字都被3除余2；三个数字一个被3整除、一个被3除余1、一个被3除余2，故()() 2333111333333339P C C C C C C5P14P D+++==．16．某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率．（2）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率．解：（1）61064P15121010P==；（2）33665C914581010P⋅=．17．在某次数学考试中，甲、乙、丙三人及格（互不影响）的概率分别是0．4、0．2、0．5，考试结束后，最容易出现几个人及格？解：（1）三人都及格的概率10.40.20.50.04P=⨯⨯=，（2）三个人都不及格的概率20.60.80.50.24P=⨯⨯=，（3）恰有两人及格的概率30.40.20.50.40.80.50.60.20.50.26P=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，（4）恰有一人及格的概率410.040.240.260.46P=---=．由此可知，最容易出现的是恰有一人及格的情况．18．2频率与概率基础练习1．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在区间(]50-∞，上的频率为__________．解：0.7．2．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：（25，25．3]，6；（25．3，25．6]，4；（25．6，25．9]，10；（25．9，26．2]，8；（26．2，26．5]，8；（26．5，26．8]，4；则样本在（25，25．9]上的频率为__________．解：05．．3．为了了解中学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图18—3），已知图中从左到右前三个小组的频率分别为01．，03．，04．，第一小组的频数为5．图 18-3则第四小组的频率__________；参加这次测试的学生有__________人．解：02．；25．4．下列说法正确的是（）．A．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．．概率是随机的，在试验前不能确定C．．频率是客观存在的，与试验次数无关D．．随着试验次数的增加，频率一定会越来越接近概率解：正确选项为D．5：连续抛掷10次硬币，出现5次“正面朝上”的概率是（）．A．变化的量，不同的人得到的概率也不同B．模拟的次数不同，其概率也不同C．1 2D．是个确定的值，但不是1 2解：正确选项为D．6．某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数()n1020 50 100 200 500 击中靶心次数()m9 19 45 91 179 456击中靶心的频率m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）计算表中击中靶心的各个频率．（2）这个射击手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解：（1）09．，095．，09．，091．，090．，091．．（2）091．． 能力提高7．从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________． 解：从矩形中选三角形，正方体中一共有12个矩形．343812C 6C 7=．8．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程20x bx c ++=有实根的概率．（2）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率． 解：（1）基本事件总数为6636⨯=，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥ 当1c =时，2b =，3，4，5，6； 当2c =时，3b =，4，5，6； 当3c =时，4b =，5，6； 当4c =时，4b =，5，6； 当5c =时，5b =，6； 当6c =时，5b =，6，目标事件个数为543322=19+++++， 因此方程20x bx ++=有实根的概率为1936． （2）记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20ax bx c ++=有实根”为事件N ， 则()1136P M =，()736P MN =，()()()711P MN P N M P M ==． 18.3几何概型 基础练习1．如图18—7，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色全相同的概率为（ ）．图 18-7A．34B．38C．14D．18解：正确选项为C．2．如图18—8所示：向边长为2的正方形内随机地投飞镖，假设飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分的概率是（）．图 18-86x-3y-4=0A．11144B．25144C．37144D．41144解：正确选项为B．3．在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，求取出的种子中含有麦锈病的种子的概率．解：001．．4．平面上画了一些彼此相距2d的平行线，把一枚半径r d<的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解：由于硬币的半径为r，则当硬币的中心到直线的距离r d<时，硬币与直线不相碰()22d r d rP dd--==． 能力提高5．如图18—9所示，在ABC 中，60B ∠=︒，45C ∠=︒，高3AD =．在BAC ∠内作射线AM 交BC 于M 点，求1BM <的概率．60°45°图 18-9AB CDM解：由几何概率模型可知，30BAM ∠=︒，()302755P A ︒==︒． 6．某人午觉醒来，发现表停了（见图18—10），他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．解：由几何概率模型可知，()26050π16046P A -===． 7．在坐标系中D 是2x ≤且2y ≤的点构成的区域，E 是由到原点的距离不大于1的点构成的区域．向D 中随机投一点，求落入E 中的概率． 解：由几何概率模型可知，落入E 中的概率为π16． 8．若连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，求点P 落在圆2216x y +=内的概率．解：基本事件的总数为6636⨯=个，记事件(){}2216A P m n x y +=，落在点圆内，则A 所包含的基本事件为（1，1），（2，2），（1，3），（1，2），（2，3），（3，1），（3，2），（2，1），共8个．则概率为29． 9．有五条线段长度为1，3，5，7，9从中任取3条．求不能构成三角形的概率． 解：能构成三角形的组数为（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9），35371C 10P =-=． 10．在面积为S 的ABC △的边AB 上任取一点P ，求PBC △的面积大于3S的概率． 解：由几何概率模型可知，概率为23． 11．一个骰子掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ．试就方程组 322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，解答下列各题： （1）求方程组只有一个解的概率． （2）求方程组只有正数解的概率． 解：事件()a b ，的基本事件有36个．由方程组322ax by x y +⎧⎨+=⎩，可得()()262223a b x b a b y a ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩．（1）方程组只有一个解，需满足2a b ≠， 而2a b =的事件有()12，()24，()36，共3个． 所以方程组只有一个解的概率为131113612P =-=． （2）方程组只有正数解，需2a b ≠且 62022302b x a ba y ab -⎧=>⎪⎪-⎨-⎪=>⎪-⎩，即2323a b a b >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩或2323a b a b <⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩ 其包含的事件有13个：()21，，()31，，()41，，()51，，()61，，()22，，()32，，()42，，()52，，()62，，()14，，()15，，()16，．因此所求的概率为1336． 18.4概率的加法公式和乘法公式 基础练习1．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数．设事件A 为“出现偶数点”，B 为 “出现3点”，求： （1）()P A ，()P B ．（2）求“出现偶数点或3点”的概率． 解：（1）()3162P A ==．()16P B =（2）23． 2．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8．计算： （1）两人都击中目标的概率． （2）其中恰有1人击中目标的概率． （3）至少有1人击中目标的概率．解：（1）()()()0.80.80.64P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=．（2）()()()()()()()0.810.8P P A B P A B P A P B P A P B =⋅+⋅=⋅+⋅=⨯- ()10.80.80.160.160.32+-⨯=+=．（3）()()()0.640.320.96P P A B P A B P A B ⎡⎤=⋅+⋅+⋅=+=⎣⎦． 3．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．求：（1）甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率． （2）甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 解：（1）332454P 1C P 40=．（2）142454C 4911C P 4010-=-=． 4．从1，2，3，…，30中任意选一个数，求下列事件的概率： （1）是偶数． 。

第十三章 算法初步13．1算法的概念与基本特点 基础练习1．有A ,B ,C 三个相同规格的玻璃瓶，A 装着酒精,B 装着醋，C 为空瓶，请设计一个算法，把A ，B 瓶中的酒精与醋互换． 解：（1)A 倒进C ．（2)B 倒进A ．（3）C 倒进B ．2．已知()11A x y ，，()22B x y ，,写出求直线AB 斜率的一个算法．解：(1）输入四个变量：1122x y x y ，，，．（2)2121yy k xx -←-．（3)输出斜率k ．3．写出一个求方程2340xx --=的两个实根的算法．解：(1）定义a b c ∆，，，;134a b c ←←-←，，，24bac∆=-．（2）判断0∆≥，如果真，则执行输出结论b -±∆ib -±-∆．4．一个人带三只狼和三只羚羊过河,只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法． 解：（1）人运两只狼去对岸，空船回来． (2)人运两只羚羊去对岸，运一只狼回来． （3)人运一只羊去对岸，空船回来． (4)人运两只狼去对岸．5．输入三个数a ，b ，c ，如果这三个数能作为一个三角形的三边长，则输出1()2a b c ++,否则提示重新输入，试用算法表示上述过程．解：（1）输入a b c ，，．（2）判断:若a b c +>且b c a +>且a c b +>，则1()2p a b c ←++，输出p ;若不是a b c +>且b c a +>且a c b +>，则输出“重新输入”．13.2 程序框图 基础练习1．已知函数32()5x x f x x x +⎧=⎨⎩，奇，偶为数为数，写出当x 为整数时求()f x 的算法，并画出程序框图．解:算法略．程序框图如下．题1程序框图2．任意给定三个正实数,设计一个算法，判断分别以这三个数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图． 解：算法如下:（1）输入正实数a ，b ，c ;（2）若a b c +>且a c b +>且c b a +>则（ⅲ）;若不然转（ⅳ)； （3)输出“存在这样的三角形"； (4）输出“不存在这样的三角形” 程序框图如下．题2 程序框图3．写出求11212122++++（共有6个2）的值的一个算法，并画出程序框图．解：算法略,程序框图如下．题3程序框图4．某高中男子体育小组的50米跑成绩为(单位：s）:6。

第十章 矩阵与行列式初步10.1 矩阵的定义及其运算1．设矩阵121052312432563241⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，，A B C 求（1）+A B ，（2）()++A B C ，（3）2-+A B C ，（4）32-B A ．解：（1）225588⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（2）7487129⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（3）10671106⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（4）1401016-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭．2．设矩阵24241236-⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭，A B ，求AB 和BA ．解：242416322424001236816361200----⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⋅==⋅=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬------⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭，AB BA ． 3．求下列矩阵的乘积：（1）()317156425⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭．（2）212103032141⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭．（3）301601054234215321⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭． 解：（1）{}3736．（2）72164⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（3）2124222324291311⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 4．设矩阵215031400306760213221215624--⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪---⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，A B C ． 求（1）()2-A B C ．（2）3+A BC ． 解：（1）30335422557383618-⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪-⎩⎭．（2）188104913634314-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭． 5．在一次校运会中，高二年级的三个夺冠热门班级获得前六名的项目数如表1所示，而每一种名次可获得如表2所示相应的积分．表1 名次第一名 第二名 第三名 第四名 第五名 第六名 A 班 5 2 3 4 5 3 B 班187212如果现在要求按前6名的得分统计各个班的团体总分，进而决定各班在年级中的名次，那么，哪个班级最终获胜了呢？（要求用矩阵运算）解：()10645224535012121210399321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭A S ；()106418721210482862292321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭B S ；()10646124366068126698321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭C S ；所以A 班最终获胜了． 6．设矩阵1001⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭A ，⎧⎫=⎨⎬⎩⎭x B y ，求AB ；并说出矩阵A 对矩阵B 产生了怎样的变换？ 解：⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭x AB y ，产生了一个镜像变换，类似于直角坐标系中关于X 轴对称．10.2 矩阵变换求解线性方程组1．写出方程123123121232152232353-+=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩x x x x x x x x x x x 的系数矩阵和增广矩阵．解：系数矩阵112151203315-⎧⎫⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭，增广矩阵1121151220323153-⎧⎫⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭． 2．对下列方阵施以初等变换，使之成为单位方阵： （1）113327133-⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭，（2）321111111⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪--⎩⎭解：（1）()122113113113327101101133133110----⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪-−−−−−−−−→−−−−−−→−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎩⎭⎩⎭第一行加到第三行第三行乘以第一行乘以加到第二行第三行加到第一行第三行不变第二行不变第二行不变 ()()()211203001001101101100110110110---⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭三一第二行乘以加到第一行第一行乘以加到第二行第一行乘以加到第行第三行不变第三行不变第行不变001100100010010001⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭交换第一行和第二行交换第二行和第三行（2）()()()21115112321321321111111110111001001---⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪-−−−−−−−−→-−−−−−−−−→-−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎩⎭⎩⎭三第二行乘以加到第一行第一行乘以第二行乘以加到第三行第行乘以加到第一行第三行乘以加到第二行第三行不变第三行乘以 ()()11100100110010001001--⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪−−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎩⎭第二行乘以加到第二行第二行乘以第三行不变3．把矩形23822122121314A -⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭化为行最简形矩阵．解：10322201330000⎧⎫⎪⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭．4．用矩形的初等变换解下列线性方程组：（1）1212323312234115x x x x x x x +=-⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩．（2）12312312321352752x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=-⎨⎪-++=⎩．（3）1212123232328233x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎨⎪++=⎩．（4）12312312322313250x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--+=⎩．解：（1）8757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．（2）无解．（3）212x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．（4）503x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．5．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________．解：201112000112--⎧⎪⎨⎪⎩． 6．设A 是一个n n ⨯的矩阵()11*k k A AA A A k +⎧=⎪⎨=⋅∈⎪⎩N ．若1101A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求： （1）2A ，3A ．（2）猜测()*n A n ∈N ，并用数学归纳法证明．解：（1）223111213010101A A ⎧⎫⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，．（2）()*101n n A n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭．10.3 二阶行列式与二元线性方程组1．计算下列二阶行列式的值： （1）35571--．（2）sin cos cos sin αααα--．解：（1）()3553535071-=---=-． （2）22sin cos sin cos cos 2cos sin ααααααα-=-+=-．2．用二阶行列式求解方程组12123234x x x x +=⎧⎨-=-⎩．解：1131135510234324x y D D D ==-==-==-----，，； 1212y xD D x x D D ====，，所以方程组的解为1212x x =⎧⎨=⎩． 3．设a ∈R ，若方程组()()120320a x y x a y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩除00x y ==，外，还有其他解，求a 的值．解：120432a a-=⇒-或1-．4．已知方程组()()()11232a x ay a a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩R ，恰有一解，求x y +的最小值，并求此时a 的范围． 解：()()()1132323a aD a a a a a a -==-+-+=-++， 1113,42322x y a a D a D a a a -==-==-++． 3433a a x y --==--，． ()()()()7203341341343332743aa a a x y a a a a a -⎧<⎪⎪--⎪+=+=-+-=⎨⎪-⎪>⎪⎩≤≤．x y +的最小值为13，此时a 的范围是34a ≤≤．10.4 三阶行列式1．用对角线法计算下列行列式： （1）623251469----．（2）a cb ba c cba． 解：（1）182．（2）3333a b c abc ++-． 2．利用行列式解下列方程组：（1）()()415332x y y y z z⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩．（2）25314510x y x z y z +=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩．（3）123123123323154329547x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩．解：（1）1524513x k y k z k ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．（2）000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．（3）435215325x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．3．利用行列式性质，化简并计算下列行列式： （1）682152056341---．（2）111a b cbc a c a b+++．（3）215326121236132623--解：（1）()()6821520566083026060480341--=-⋅-⋅-+⋅+=-．（2）()()()()2211110111ab cbc a c a bb c a a b c ab b ac c a b c b c c b ca b a b cca b++++=-++=+---+++-=+++．（3）2153261212411115311272363942336649108132623-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅---⋅--+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-．4．展开行列式，证明下列行列式的值为零： （1）000ma nab c nb c m ---．（2）254123131352323143--+． 解：（1）000000ma nabcnb c cnb ma nab mnabc mnabc cc mc m ---=+=+=---． （2）()()2541231313522756411727370323143--+=⋅-⋅-+⋅---⋅+⋅=．5．用行列式性质证明：（1）111111*********2222b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++（2）()()()222111a a bb a b bc c a cc =---． 证明：（1）11111111111111111222222222222222222222b c c a a b b c a b a b b ca ab bc c a a b b c a b a b b c a a b b c c a a b b c a b a b b c a a b ++++-++++++=+-+=++++++-+++111111111111111122222222222222222232a b c a b a b c b a b b c a b ca b c a b a b c b a b b c a b c a b c a b a b c b a b b c a b c ++++=-++=-+=+=++++．（2）()()()()()()()222222222111a ab b bc b c a c b a c b b c bc ab ac a a b b c c a c c =---+-=--++-=---．6．[]0πθ∈，，且1cos sin 0cos sin 01sin cos θθθθθθ-=，，则θ=__________． 解：1cos sin π00cos sin 12sin cos 1sin 241sin cos θθθθθθθθθθ=-=-=-⇒=，．7．设行列式111222333a b c D a b c a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）． A ．D -B ．DC ．2D D ．2D - 解：111111111111111112222222222222222233333333333333333223232232322323c b c a b c c b a b c c b a a b c c b c a b c c b a b c c b a a b c D c b c a b c c b a b c c b a a b c ++++++++=++==--=-+++++，选Ａ．8．如行列式111213212223313233a a a a a a D a a a =，则313233212223111213333222a a a a a a a a a =---（ ）．A ．6D -B ．6DC ．4D D ．4D -解：313233313233111213212223212223212223111213111213313233333222666a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a =-==---，选B ． 9．一位同学对三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（其中()123i i i a b c i =，，，，不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：结论1：当0D =，且0x y z D D D ===时，方程组有无穷个解； 结论2：当0D =，且x y z D D D ，，都不为零时，方程组有无穷个解； 结论3：当0D =，且0x y z D D D ===时，方程组无解．但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）． （1）230231232x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）2020240x y x y z x y +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩；（3）212032x y x y z x y z +=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩．A ．（1）（2）（3）B ．（1）（3）（2）C ．（2）（1）（3）D ．（3）（2）（1）解：带入逐一检验即可，选B ．10．在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，求ABC △的面积． 解：sin sin 0002sin sin 2cos cos 01C B b c b C B c A A =-=-， ()1π2sin sin 2sin sin cos 0cos 23R C B C B A A A -=⇒==，，2221cos 422b c a A b bc +-==⇒=，1sin 2ABC S bc A ==△10.5 三阶行列的展开与三元齐次线性方程组1．利用代数余子式展开下列三阶行列式并求值，并用对角线法验算：（1）122451314-．（2）584345463---． 解：（1）()12245112121321921263843314=⋅-⋅+⋅-=--=--．（2）()()()584345512308920418162102328450463--=⋅---⋅+-⋅-=---=--． 2．利用行列式按行或按列展开式计算三阶行列式：104014131D =．解：1041201014145493113131=⋅+⋅=--=-． 3．计算下列行列式：（1）837504922---．（2）152552515552515---．（3）64227828362035135-．解：（1）()837504883467104922-=⋅-⋅-⋅-=---．（2）()()()1525525155152251252537525562575200052515--=⋅++⋅--+⋅-=--．（3）6422782836226802035135-=-．4．解下列齐次线性方程组：（1）023204540x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．（2）202020x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．（3）670510504370x y z x y z x y z --=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩．解：（1）0x k y z k =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．（2）000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．（3）x k y k z k =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．5．已知1023142x x 的代数余子式120A =，则代数余子式21A =__________．解：12211023124022442x A x x A x x =--=⇒==-=-，．6．1010411a a 大于零的充要条件为__________．解：()()210101011411a a a a =->∈-∞-+∞，，，∪． 7．问λμ，取何值时，齐次线性方程组1231231220020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：111101121λμλμ=⇒=或0μ=．9．()2*4n n n ∈N ，≥个正数排成一个n 行n 列的矩阵111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭，其中()11ik a i n k n ，≤≤≤≤表示该数阵中位于第i 行第k 列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且2134820a a ==，． （1）求11a 和ik a ． （2）计算行列式11122122a a a a 和im ik jm jka a a a ．（3）设()()112132...n n n n n A a a a a --=++++，证明：当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除．解：（1）()211122212i i ik k a a a k --===+．（2）1112212223046a a a a ==． ()()()()1111121212120im iki j i j jm jk a a m k k m a a ----=++-++=；（3）()()()()2123......12122221221222n n n n A n n n A n n n -=++⋅+-⋅++⋅=+⋅+⋅+-⋅++⋅，． 两式相减，得()()323321n n n n A n A n =⋅-++=-，．当*3n m m =∈N ，时，()381m n A n +=-． ①1m =时，()38121n -=显然能被21整除； ②假设m k =时，()381k -能被21整除，结论也成立． 由①、②可知，当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除．。

第十一章 复数11.1 复数的概念1．m 取何实数时，复数()226215i 3m m z m m m --=+--+．（1）是实数．（2）是虚数．（3）是纯虚数．2．设z 是纯虚数，且i i 0z z z z ⋅+-=，求z ．3．已知复数()()21i 31i 2iz -++=-，若21i z az b ++=-，求实数a b ，的值．4．满足()()222522i 0x x y y +++--=的有序实数对()x y ，有__________组．5．若复数()2223232i z m m m m =--+-+是纯虚数，则求实数m 的值．6．已知a b ∈R ，，则“a b =”是“复数()()i a b a b -++是纯虚数”的什么条件？7．已知z ∈C ，则命题“z 是纯虚数”是命题“221z z ∈-R ”的__________条件．8．使“复数z 为实数”的充分而不必要条件的是（ ）．A ．2z 为实数B ．z z +为实数C ．z z =D ．z z =9．已知关于x 的方程()22i 2i 0x k x k ++++=有实根，求这个实根以及实数k 的值．10．已知复数()()()()13i 1i 13i i iz z a a ω-+--+==+∈R ，当zωa 的取值范围．11．若()()23i i 63i f z z z f z =+-+=-，，试求()f z -．12．已知复数()()()()2124i 2cos 3sin i z m m m z θλθλ=+-∈=-+∈R R ，，，，若12z z =，求证：9716λ-≤≤．13．设()()()22125i 441i x y a z x ax z x ay y ∈=-+=--+-R ，，，，，若对所有x y ，，都有12z z ≠，求as 的取值范围．14．已知方程()()22i 42i 0x x ab a b ++++-=，()a b ∈R ，有实根，求实根的取值范围．11.2 复数的代数运算1．计算：23999...12i 3i 4i 1000i +++++．2．（1）计算()()254i i 2i ++．（2）计算1281i 2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．3．已知两个复数1z 和2z ，它们之和是)(11i ++-，它们之差是)(11i -+-，求1z 、2z ．4．若复数z 满足1z =，求证：21zz ∈+R ．5．若12x +=，则()2321x x ++的值为__________．6．若11z z+=，求200120011z z +的值．7．求同时满足下列两个条件的复数z ： （1）1016z z<+≤．（2）z 的实部、虚部都是整数．8．设z ∈C ，求满足1z z +∈R 且22z -=的复数z ．9．已知复数i z x y =+（x 、y ∈R ），集合{|1i M z z y =+-=．（1）若1223z M z ∈=，，求12z z -的最小值． （2）若()z M z a a '''∈=∈R ，，求z z '''-的最小值()d f a =的表达式．10．已知z 、w 为复数，()13i z +为纯虚数，2izw =+，且w =，求w ．11．求所有整数k ，使()()221i 1i 21i1ikkk +-+=-+成立．12．已知a b c ，，分别为1的立方根，求111n n n n n na b b c c a++的值．（*n ∈N ）13．已知复数12z z ，满足()121i 15i 2i z z a +=-+=--，，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121z z z -<，求a 的取值范围．11.3 复数的模和共轭复数的运算性质1．已知复数z 满足44i z z -=-，且141zz z -+-为实数，求复数z ．2．已知()()()()2122i 2i z x y x xy y z x y y xy x y =++--=---∈R ，，，问x y ，为何值时，1z 与2z 为共轭复数．3．已知复数12z z ，满足1212357z z z z ==-=，，，求12z z ．4．已知复数z 满足2z =，求1z ++的最值．5．求复数())52443i 1i 2z -=⎫-⎪⎪⎝⎭的模．6．设复数z 满足1z =，求22z z -+的最大值与最小值，并求出相应的复数z 的值．7．（1）已知1211z z z ∈=C ，，，求12121z z z z --⋅的值．（2）若复数123z z z ，，的模均为r ，求123123111z z z z z z ++++的值．8．已知复数121cos isin 1sin i cos z z θθθθ=++=-+，，且22122z z +≥，求θ的取值范围．9．已知复数12cos i sin i z z θθ=+=+，，求12z z ⋅的最大值和最小值．10．设复数12z z ，满足12122i 2i 10z z z z +⋅-⋅+=． （1）若12z z ，满足212i z z -=，求12z z ，．（2）若1z k ，使得等式24i z k -=恒成立，若存在，试求出k ；若不存在说明理由．11.4 复数与复数的加法、减法和几何意义1．是否存在实数a ，使得复数2222156i 4a a z a a a +-=--+-在复平面上对应的点在虚轴上，若存在，求出所有的实数a ，若不存在，请说明理由．2．（1）若z ∈C 且22i 1z +-=，求22i z --的最小值． （2）若z ∈C 且34i 2z ++≤，求z 的最大值．3．已知复数z满足2z z =的虚部为2．（1）求z ；（2）设22z z z z -，，在复平面上的对应点分别为A B C ，，，求ABC △的面积．4．已知复数12z z ，满足1211z z =+=，，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．5．已知1z =，且51z z +=，求复数z ．6．已知z 为复数，2i z +和2iz-均为实数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ．（2）若复数()2i z a +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．7．若1i 1z +-=，求z 的最大值和最小值．8．设复数z 满足2z =，求i z -的最大值及此时的复数z ．9．已知2216z z +是实数，求复数z 在复平面上所对应的点集的图形．10．设复数()i z x y x y =+∈R ，在复平面上所对应的点是Z ，画出满足下列条件的点Z 的集合所表示的区域：（1）Re 0z >．（2）Re 40Im 2z z <<，≤．（3）2Re Im 2z z z +=，≤．11．已知两个复数集：(){}2|4i M z z t t t ==+-∈R ，及(){}|2cos 3sin i N z z θλθλθ==++∈∈R R ，，的交集为非空集合，求λ的取值范围．12．复数()()31i i 1ia b z ++=-且4z z =，对应的点在第一象限，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a b ，的值．13．已知复数1z 在11z =的条件下变动，而421120092010i 12z z z --=+-，则复数z 对应点的形成的区域图形的面积是__________．14．关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z 、2z 、m 均是复数，且21241620i z z -=+．设这个方程的两个根为αβ-=，求m 的最大值和最小值．15．设复数z 满足5z =，且()34i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，)m m -=∈R ，求z 和m 的值．16．设a 为实数，且存在复数z 满足z +=和z a +<，求a 的取值范围．17．设z 是复数，则111z z z -+-+-的最小值等于__________．18．在复平面上有两个动点W 和Z ，它们分别对应于复数w 与z ，且满足i 2w z =+，当Z 沿曲线11z z -++=运动时，求w 的最值．19．已知P 为直线10x y -+=上的动点，以OP 为边作正OPQ △（O P Q ，，按顺时针方向排列），则点Q 的轨迹方程为__________．11.5 复数的三角形式与运算1．下列复数是不是复数的三角形式？ ①1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭．②1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．③13π3πsin icos 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭．④7π7πcosisin 55+．2．（1）计算：ππππ2cos isin 3cos isin 991818⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）已知A 、B 、C 是ABC △的三个内角，三个复数121cos 2isin 21cos 2isin 2z A A z B B =-+=-+，，31cos 21sin 2z C C =-+，试求123sin 2sin 2sin 2z z z A B C⋅⋅++的值．3．若复数()1cos i 1sin z αα=+-和21i z =+在复平面上的对应点的距离为1，求复数1z 的模与辐角主值．4．已知复数z 满足2z =，()πarg 23z +=，求z ．5．有一个人在草原上散步，开始时从O 点出发，向东行走，每走1千米后，便向左转π6角度，他走过n 千米后，首次回到原出发点，则n =__________．6．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为1220...z z z ，，，，则复数1995199519951220...z z z ，，，所对应的不同点的个数是__________．7．已知1i z =+，（1）设234z z ω=+-，求ω的三角形式．（2）如果221i 1z az bz z ++=--+，求实数a b ，的值．8．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为123Z Z Z O ，，，（O 为原点），已知2Z 对应复数21z =+，求点1Z 和点3Z 所对应的复数．9．方程71z =-+的7个根在复平面上对应的7个点，这些点在四个象限中只有1个点的象限是__________．10．若复数12z z ，满足12z z =，且122i z z -=-，则1212z z z z 的值为__________．11．设复数1i z =+，复数2z 满足22z =，已知212z z ⋅的对应点在虚轴的负半轴上，且()2arg 0πz ∈，，求2z 的代数形式．12．已知121i 2i 0z z z z i -+=--⋅=，，27πarg 12z =，若12z z ，在复平面上分别对应点A B ，，且AB =，求1z 的立方根．13．已知k 是实数，ω是非零复数，且满足()()223arg π11i 14k ωωω=+++=+，．（1）求ω的值．（2）设[]cos isin 02πz θθθ=+∈，，，若1z ω-=+，求θ的值．14．已知()()44π5arg 1arg 1π36z z +=-=，，求复数z ．15．已知复数12z z ，满足2112z z z z =，且123ππ7arg arg arg π368z z z ===，，，则求123arg z z z +的值．16．设A B C ，，为ABC △的三内角，复数sin i cos 5225A B A B z z +-=+=，，求C 的最大值．17．求证：()()11ππ2π...sinsin sin 22n n n n n n n --⋅⋅⋅=≥．18．设复数)122i 1i z a z b =-+-+-，的模相等，且21πarg2z z =，求实数a b ，的值．19．若12cos x xθ+=，求证：12cos n n x n x θ+=．20．设复数3cos 2isin z θθ=+，求函数πarg 02y z θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值．21．已知复数()31i 1i z =-，（1）求1arg z 及1z ．（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．11.6 复数乘除法的几何意义1．复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为1222+，，求第三个顶点所表示的复数．2．已知向量OZ 所表示的复数z 满足()2i 1i z -=+，将OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转π4得OZ '，设OZ '所表示的复数为z '，求复数z '+的辐角主值．3．设i z a ω=+，其中a ∈R ，i 是虚数单位，()()14i 1i 24i34iz -+++=+，且ωω的辐角主值θ的取值范围．4．已知复数1212z z z z +，，在复平面上分别对应点A B C O ，，，为复平面的原点．（1）若11i 2z =+，向量OA 逆时针旋转90︒，模变为原来的2倍后与向量OC 重合，求2z ．（2）若()12122i z z z z -=+，试判断四边形OACB 的形状．5．已知复数1z 、2z 分别对应复平面上的点12Z Z ，，且12z z ，满足条件：()211212i 10z az a z z z z +=-∈++-=R ，．（1）当a 为何值时，12Z OZ △的面积取得最大值？并求出这个最大值． （2）当12Z OZ △面积取得最大值时，求动点1Z 的轨迹．6．设12121i 22w z w z z w z z z =-+=-=+，，，，对应复平面上的点A B ，，点O 为原点，90AOB AO BO =︒=，∠，则OAB △面积是__________．7．复平面上，非零复数12Z Z ，对应的点12z z ，在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上，12z z ⋅的实部为零，1z 的辐角主值为π6，则2z =__________．8．复数列{}n a 的通项公式为()1*11cos πisin π266n n n n a n -⎛--⎛⎫=+∈⎪ ⎝⎭⎝⎭N ． （1）将数列{}n a 的各项与复平面上的点对应，问从第几项开始，以后所有各项对应的点都落在圆22116x y +=内部． （2）将数列{}n a 中的实数项按原来的顺序排成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的通项以及所有项的和．11.7 复数集内的方程1．在复数范围内分解因式2258x x -+．2．已知方程5432355420x x x x x ---+-=有两个根是1，i ，求方程的其他根．3．求实数k 的值，使方程()22i 2i 0x k x k ++++=至少有一个实根．4．设λ∈R ，若二次方程()()21i i 1i 0x x λλ-++++=有两个虚根，求λ需满足的充要的条件．5．在复数范围内解方程()23ii 2iz z z -++=+（i 为虚数单位）．6．已知复数w 满足()432i w w -=-（i 为虚数单位），52z w w=+-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．7．已知关于t 的方程220t t a -+=的一个根为()1a +∈R ， （1）求方程的另一个根及实数a 的值．（2）是否存在实数m ，使对x ∈R 时，不等式()22log 22a x a m km k +-+≥对[]12k ∈-，恒成立？若存在，试求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．8．设复数()()224sin 12cos i z a θθ=-++，其中i 为虚数单位，a 为实数，()0πθ∈，．若z 是方程2250x x -+=的一个根，且z 在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a 的值．9．已知αβ，是关于x 的方程()220x x m m ++=∈R 的两个根，求αβ+的值．10．已知关于x 的实系数方程()222440x ax a a a -+-+=∈R 的两根分别为12x x ，，且123x x +=，求a 的值．11．设复数列{}n x 满足10n x a ≠-，，且11nn n ax x x +=+．若对任意*n ∈N 都有3n n x x +=，求a 的值．12．已知α、β为方程()()22i 43i 0x x --++=的根，求： （1）22αβ+．（2）33αβ+．（3）11αβ+．13．已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=． （1）如果此方程有一个实根，求锐角θ和这个实根． （2）试证无论θ取任何实数，此方程不可能有纯虚数根．14．设虚数12z z ，满足212z z =．（1）若12z z ，是一个实系数一元二次方程的两个根，求12z z ，．（2）若11i z m =+（i 为虚数单位），1z ，复数23z ω=+，求ω的取值范围．15．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21*|n z M z n ωω-==∈N ，． （1）设α是方程1x x+=的一个根，试用列举法表示集合M α． （2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．16．定义数列{}n a ：12a a ，是方程2i 10z z +-=的两根，且当2n ≥时，有()()21111i 20n n n n n n aaa a a a +-+--++-=，求证：对一切自然数n ，有222121122n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++++=++．11.8 复数的综合应用1．实数m 取什么值时，复数()()2223i 1m m z m m m -=++--，（1）是实数，（2）是纯虚数，（3）z 对应的点位于第二象限．（4）z 对应的点在直线30x y ++=上．2．416x -分解成一次式的乘积为____________________．3．34i 2z ++≤，则z 的最大值为__________．4．复数101i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是__________．5．已知复数i z x y =+，其中实数x y ，满足方程()222i log 81log i x y x y ++-=-，则z =__________．6．已知1z ∈C ，且1i 216z z -+++=，则在复平面内z 对应的点的轨迹是__________．7．复数()1231i i 0z z a b z b a a b ==+=+>∈R ，，，，且123z z z ，，成等比数列，则2z =__________．8．复数z满足11z z -++=，那么z 的取值范围是__________．9．已知函数()221x f x x =+，那么()()()()11112i 3i 4i 2i 3i 4i f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．10．复数z 满足i i 2z z ++-=，则i+1z +的最小值是__________．11．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A B ，所对应的复数分别为1212z z z z ，，，的辐角主值分别为αβ，，若AOB △的重心G 对应的复数为11i 315+，求()tan αβ+．12．设非零复数12345a a a a a ，，，，满足352412341234512345111114a a a a a a a a a a a a a S a a a a a ⎧===⎪⎪⎨⎛⎫⎪++++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎩，， 其中S 为实数且2S ≤，求证：复数12345a a a a a ，，，，在复平面上所对应的点位于同一圆周上．13．若z ∈C ，且43213i 1u u z z z z ==---+，．求u 的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值的复数z ．14．给定实数a b c ，，，已知复数123z z z ，，满足12331223111z z z z z z z z z ⎧===⎪⎨++=⎪⎩，，求123az bz cz ++的值．。

第九章 简单几何体9.1 棱柱、棱锥、棱台 1.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：A2．已知长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的角分别是α、β、γ，写出一个α、β、γ满足的关系式． 解：见题2解析图．设A CD A CB A CC αβγ∠=∠=∠=，，′′′′．γβαD 'C 'B'A'D C BA题2解析图由于cos cos cos DC BC C CA C A C A Cαβγ===，，，′′′′ 则2222222cos cos cos 1DC BC C C A C αβγ++++==′′．3．如图9-15，在棱锥P ABCDE -中，与底面平行的平面截棱锥得多边形A B C D E ′′′′′，点P 在底面、截面的射影分别是H 、H ′，求证：图 915C 'D 'E'H 'DHECBAP（1）PH PA PB PC PD PE PH PA PB PC PD PE =====′′′′′′． （2）截面A B C D E ′′′′′与底面ABCDE 相似． （3）22A B C D EABCDE S PH S PH =′′′′′′．证明：（1）如图所示，连接A H ′′和AH ．A H ′′和AH 分别是平面ABCDE ′′′′′和平面ABCDE 与平面PAH 的交线． 由于平面A B C D E ′′′′′∥平面ABCDE ， 则PH PA A H AH PA H PAH PH PA=，，′′′′△′′△∥． 同理可证，PH PB PH PC PH PD PH PE PH PB PH PC PH PD PH PE====，，，′′′′′′′′． 则PH PA PB PC PD PE PH PA PB PC PD PE=====′′′′′′． （2）由于PA PB PA PB=′′，P ∠是公共角， 则PA B PAB △′′△∽，A B PA PH AB PA PH==′′′′． 同理可证，B C PH C D PH D E PH E A PH BC PH CD PH DE PH EA PH====，，，′′′′′′′′′′′′． 由于截面A B C D E ′′′′′与底ABCDE 的对应边成比例， 则截面A B C D E ′′′′′与底ABCDE 相似． （3）由（2）知，2222A B C D EABCDE S A B PH S AB PH ==′′′′′△′′′． 4．以1，l ，1? 解：3个．5．四面体OABC 中，OA ⊥面ABC ，AB AC ⊥，点P 满足OP lOA mOB nOC =++，其中l m n ，，为正数且1l m n ++=．若直线OP 是由到面OBC 、面OCA 和面OAB 的距离相等的点构成，求二面角A OB C --的余弦值（用l ，m ，n 表示）． 解：1OP lOA mOB nOC m n l AP mAB nAC P =++++=⇒=+，，在面ABC 上． OA ⊥面ABC ，AB AC ⊥，则P 在面ABO 的垂足在AB 上．又ABP ABCSAP mAB nAC AB AC n S =+⊥⇒=，△△．同理ACP BCP ABC ACP ABPABC ABC ABCS S S S S m l S S S --===，△△△△△△△△．则cos ABO P ABO ABP ACO P ACO BCP S V S nA OBC S V S l--∠--====△△△△．6．如图9-16，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，E 是1A B 的中点，F 在棱1CC 上，当点F 使得1A F BF +最小时，求异面直线AE 与1A F 所成的角．图 916B 1N 1C 1A 1H GFENC BA解：如图可知F 为中点时，满足题意．由于12GH AH ==，则AG ．又由于1A F =EG =AE =． 则222AE EG AG +=，则90AEG ∠=︒．7．如图9-17，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线118BD BD =，与侧面11BB C C 所成角为30︒，求：D 1C 1B 1A 1DCBA图 917（1）1BD 与底面ABCD 所成角． （2）异面直线1BD 与AD 所成角． （3）正四棱柱的全面积．解：（1）在正四棱柱1A C 中，由于11D C ⊥面11BB C C ， 则11D BC ∠是1D B 与侧面11BB C C 所成角，即1130D BC ∠=︒． 由于18BD =，则1114D C BC ==，， 由于1111A B C D 是正方形，则11114B C D C ==，1D D ⊥平面ABCD ，则1D BD ∠是1D B 与底面ABCD 所成角，在1Rt D DB △中，11BD B D ==18BD =，则11cos BD D BD BD =则145D BD ∠=︒， 即1BD 与底面ABCD 所成角为45︒． （2）由于11AD A D ∥，则11A D B ∠是1BD 与AD 所成角（或补角）． 由于11D A ⊥平面11AA B B ，则111D A A B ⊥， 11Rt A D B △中，11148A D BD ==，，则111cos 2A DB ∠=，则1160A D B ∠=︒， 即异面直线AD 与1BD ，所成角为60︒． （3）11Rt BB C △中，114B C =，1BC =则1BB =则2(44441)S =⨯+⨯⨯=全．8．如图9-18，已知三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等，90CAB ∠=︒，AC AB PB a D ===，为BC 中点，E 点在PB 上且PC ∥截面EAD ．求：图 918BF EDACP（1）AE 与底面ABC 所成角． （2）PC 到平面EAD 的距离． 解：（1）证明：由于PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等， 则顶点P 在底面上的射影为底面Rt CAB △的外心． 而Rt CAB △的外心在斜边BC 的中点D 处， 即PD ⊥平面ABC ， 而PD ⊆平面PBC ，则平面PBC ⊥底面ABC ．由于PC ∥截面EAD ，PD ⊆平面PBC ， 且平面PBC 平面EAD DE =，则PC ∥截面DE ，而D 为BC 中点， 则E 为PB 的中点． 过E 作EM PD ∥，则EM 与BC 的交点，M 为BD 的中点，连接AM ， 由于PD ⊥底面ABC ，则EM ⊥底面ABC ． 则EAM ∠为AE 与底面ABC 所成的角．AC AB PB a ===，则AE ，而PB PC a BC ===，，则CPB △为等腰直角三角形．在Rt AEM △中，sin EM EAM AE ∠===． 则AE 与底面ABC，所以成角为arc sin （2）等体积法，可得：12a ．9．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有__________个． 解：24个．10．如图9-19，ABCD A B C D -′′′′为正方体．任作平面α与对角线AC ′垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 则（ ）．E 'D 'C 'B 'A 'DC BA图919A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD -′与C D B C -′′′后，得到一个以平行平面A BD ′与D B C ′′为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ′′剪开，展平在一张平面上，得到一个11A B B A ′′，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A ′平行的线段（如题10解析图中1E E ′），显然11E E A A =′′，故l 为定值．正确选项为B ．A 1E 1B 1D 'DC BB'E'A'题10解析图11．如图9-20，长方体1111ABCD A B C D -，AB a =，BC b =，1A A c =，E 为11D C 中点，若平面11A BC 与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则sin θ=__________．cbaD ABC ED 1C 1B 1A 1图920解：sin θ=．12．如图9-21，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，906ACB AC ∠=︒=，，1BC CC P ==是1BC 上一动点．求1CP PA +的最小值．C 1B 1A 1PCB A图921解：将直三棱柱111ABC A B C -侧面展开可得：d =13．设棱台的两底面积分别为S 、S ′，它的中截面的面积为0S，求证：=． 证明：如题13解析图所示，因为棱台的中截面与两底面平行，所以多边形ABCDE ，00000A B C D E A B C D E ，′′′′′相似，因此2222000000S AB S A B S A B S A B ==，′′′，0000AB A BA B A B ==′′． 题13解析图D 0C 0B 0A 0E 0B'D 'C 'E'A'EDBA两式相加，又因为00A B 是梯形ABB A ′′的中位线，00000022A B AB A B A B A B +===，′′故=．14．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，AB DC ∥，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又2BO =，PO =PB PD ⊥． （1）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．（2）求二面角P AB C --的大小． （3）设点M 在棱PC 上，且PMMCλ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ． 解：（1）21PO BO DO DO =⋅=，，取AB 中点E ，连DE ，故DE BC ∥，连PE ，故PDE ∠（或其补角）为异面直线PD 与BC所成角，PDDE BC ==2PE =，则222cos 2PD DE PE PDE PD DE +-∠==⋅ （2）连OE ，PE ，可证得OE AB ⊥，PE AB ⊥，则PEO ∠为二面角P AB C --的平面角，sin PO PEO PE ∠==π4PEO ∠=． （3）222cos 2PB PC BC PB PC BC BPC PB PC +-=∠=⋅ 若PC ⊥面BMD ，则PC BM ⊥，则cos PM PB BPC MC =⋅∠==则2PMMC=． 9.2 简单多面体与欧拉定理1．已知：一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：2-4V F =． 证明：由于每个定点都有三条棱，而每条棱有两个顶点， 则32E V =，代入欧拉公式得322V F V +-=，即24V F =-．2．是否存在七条棱的简单多面体?解：假设存在七条棱的简单多面体，由欧拉定理可得：279F V +=+= （*）因为多面体至少四个面，至少四个顶点，即4F ，4V ，故（F ，V ）只可能为（4，5）或（5，4），我们考虑最简单的多面体——四面体。

第四章 幂函数、指数函数、对数函数4.1 幂函数 基础练习1．研究下列函数的性质，并作出其图像． ①16y x -=； ②13y x -=． 解：16y x -=的图像13y x -=的图像题1解题配图2．设11121123232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，，已知幂函数a y x =为偶函数，且在()0+∞，上递减，试确定满足条件的幂函数，并作出它们的大致图像． 解： 函数2y x -=的图像 函数1y x -=的图像函数12y x -=的图像函数13t x -=的图像函数12y x =的图像函数y x =的图像函数2y x =的图像函数3y x =的图像题2解题配图3．已知()()323411mf x m m m x =+--，()0x ≠是幂函数，其图像分布在第一、第三象限，求()f x 的解析式．解：春回大地为()f x 是幂函数，所以3234111m m m +--=，解得3m =-或2m =-或2m =． 由于()()0f x x ≠是幂函数，且图像分布在第一、第三象限，故3m =-． 所以()3f x x -=． 4．已知函数()()223mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且()()35f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．解：由于()f x 是偶函数，则223m -+应为偶数． 又由于()()35f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，由于2230m m -++>，则312m -<<． 又由于m ∈Z ，则0m =或1．当0m =时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数． 故m 的值为1，()2f x x =．5．若()()33132m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由于函数3y x =在()-∞+∞，上单调递增，所以132m m +<-，解得23m <． 6．若()()1122132m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由题6题解配图，10320321mmm m+⎧⎪-⎨⎪->+⎩≥≥，解得213m-<≤．412题6解题配图7．若()()44132m m+<-，试求实数m的取值范围．解：作出幂函数4y x=的图像如题7解题配图所示．由图像知此函数在()()00-∞+∞，，上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4a=时，44x x=．题7解题配图于是有()()44132m m+<-，即44132m m+<-．又由于幂函数4y x=在()0+∞，上单调递增，由于132m m+<-，解得23m<，或4m>．能力提高8．讨论函数()2221k ky k k x--=+在0x>时随着x的增大其函数值的变化情况．解：（1）当20k k+=，即0k=或1k=-时，0y=为常函数．（2）当2210k k--=时，1k=-1k=+（3）22210k kk k⎧+>⎪⎨--<⎪⎩，，即01k<<+x的增大而减小．（4）当22210k kk k⎧+>⎪⎨-->⎪⎩，即1k<-或1k>+x的增大而增大．（5）当22210k kk k⎧+<⎪⎨--<⎪⎩，即10k<<时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大．（6）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨-->⎪⎩，即11k -<<x 的增大而减小．9．已知幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 为偶函数，且在区间()0+∞，上是减函数，求()f x 的解析式，并讨论函数()()b g x xf x =的奇偶性．解：因为幂函数()()223mm f x x x --=∈Z 在区间()0+∞，上是减函数，所以有2230m m --<．解上述不等式得到：13m -<<，而m ∈Z ，所以01m =，或2． 当0m =或2时，2233m m --=-是奇数，不合题意， 当1m =时，2234m m --=-是偶数，故()4f x x -=；()32ag x bx x=-． （1）当0a =，b ≠0时，()3g x bx =-是奇函数．（2）当0a ≠，0b =时，()2ag x x =是偶函数． （3）当0a b ==时，()0g x =既是奇函数又是偶函数． 当0ab ≠时， ()32ag x bx x =-即不奇函数，又不是偶函数． 10．已知函数()()22k k f x x k -++=∈Z ，且()()23f f <． （1）求k 的值．（2）试判断是否存在正数p ，使函数()()()121g x p f x p x =-⋅+-在区间[]12-，上的值域为1748⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；若存在，求出这个p 的值；若不存在，说明理由． 解：（1）220120k k k k -++>⇒-<<⇒=或1．（2）假设存在0p >满足题设，由（1）知()()2211g x px p x =-+-+，[]12x ∈-，． 由于()21g =-，则两个最值点只能在端点()()11g --，和顶点2214124p p p p ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，处取得． 则()()()2max min 4117123448p g x g x g p p +===-=-=-，．解得2p =． 则存在2p =满足题意．11．设函数()bf x a x x=+（a ，b 为常数），且： （1）()20f -=．（2）()f x 有两个单调递增区间，写出一个同时满足上述两个条件的有序数对()a b ，． 解：40b a =<，如()14--，．12．已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在区间(0上是减函数，在区间)+∞上是增函数．（1）如果函数()20by x x x =+>的值域为[)6+∞，，求实数b 的值．（2）研究函数22cy x x =+（常数0c >）在定义域内的单调性，并说明理由．（3）对函数a y x x =+和22ay x x=+（常数0a >）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性． 解：（1）2log 9b =．（2）(1/4c ⎤-∞-⎦，和()1/40c ，递减，()1/40c -，和)1/4c ⎡+∞⎣，递增． （3）/n n y x a x =+（常数0a >）在()1/0n a ，上是减函数，在区间)1/na ⎡+∞⎣，上是增函数；当n 为奇数，则相反． 4.2 指数函数1．利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小；（1） 1.4143． （2）230.7-和340.7-．（3）200720082121++和200820092121++．解：（1） 1.4143>．（2）23340.70.7--<．（3）200720082008200921212121++>++． 2．若函数()(]120101x f x m --=∈⇒<，≤． 解：由于10x --≤，则(]120101x m --∈⇒<，≤3．设()442x x f x =+，求出12310001001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．解：可证：()()11f x f x +-=，进而可得：答案为500．4．某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+(其中a 、b 、c 为常数)、已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?请说明理由． 解：()20.80.5 1.4x f x =-⨯+作为模拟函数较好．理由略． 5．比较a a m m -+与b b m m -+（00a b m >>>，且1m ≠）的大小． 解：()()11a a b b a b a b m m m m m m m --+⎛⎫+-+=-- ⎪⎝⎭，1m >时，()()11a a b b a b a b m m m m m m m --+⎛⎫+-+=-- ⎪⎝⎭，1m >时，则a a b b m m m m --+>+． ()01m ∈，时，则a a b b m m m m --+>+．综上，a a b b m m m m --+>+．6．设()10101010x xx xf x ---=+．(1)证明()f x 在()-∞+∞，上是增函数． （2）求()f x 值域． 解：（1）12x x D ∀<∈()()()()()21122211221122112110102101010101010101010101010x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x ---------⨯---=-=++++， 由于21121010x x x x -->，则()()21f x f x >，所以原函数单调递增．（2）()()2210211111010101x x xx f x --⨯=-=-∈-++，．7．设函数()112x x f x +--=，求使()f x ≥的x 取值范围．解：()()()()(41411114x x f x x x x ⎧⎪⎪⎪=-<<⇒∈-∞⎨⎪⎪-⎪⎩≥≤．7．(1)求函数()()14102xxf x x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥的值域．（2）如果函数()1412xxf x a -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()(){()()217211xf x a x a x a x =-+-<≥在()-∞+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围．解：（1）()211122xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令(]1012xt ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，， 则()21g t t t =++，()(]13g t ∈，． （2）()102x t ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，，()21g t t t a =--+，()0t ∈+∞，，问题转化为()21g t t t a =--+在()0t ∈+∞，有两个不同的零点，可得：()031004a g ∆>⎧⎪⎛⎫⇒∈⎨⎪>⎝⎭⎪⎩，． （3）略．9．已知函数()()219xx a f x a a a --=--，()01a a >≠，在()-∞+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围．解：()()133x x a f x a a a a --=--+， 1a >时，x x a a --单调递增，则1a >且290a ->；()01a ∈，时，x x a a --单调递减，则2109a a -<-，则()()013a ∈+∞，，． 能力提高10．设()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=；（1）求证：()()()22f x f x g x =⋅且()2f x 是奇函数．（2）求证：()()()()()222222121g x g x f x f x g x =-=+=+且()2g x 是偶函数．证明：（1）()2222x xe ef x --=，()()()22222x xx x x x e e e e f x g x e e ---+-=-=． 则()()22222x xe ef x f x ---==-，所以()2f x 为奇函数．（2）()2222x xe e g x -+=．()222212x x e e g x -+-=，()222212x x e e f x -++=，()()22222x x e e f x g x -++=， ()()22g x g x =-，则()2g x 为偶函数．11．设02x ≤≤，求函数1224212x xa y a -=-⋅++的最大值和最小值．解：当1a ≤时，2min 322a y a =-+，2max 492a y a =-+；当512a <≤时，min 1y =，2max 492a y a =-+；当542a <<时，min 1y =，2max 322a y a =-+；当4a ≥时，2min 492a y a =-+，2max 322a y a =-+．12．定义在R 上的增函数()y f x =对任意x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+．（1）求()0f ．（2）求证()f x 为奇函数．（3）若()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）令0x y ==，可得()00f =．（2）令y x =-，可证()()()00f x f x f +-==．（3）即233923113x x x x xk k k ⋅<-++⇒<+-⇒<． 13．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的体体；存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()()f x T Tf x +=成立．（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由．（2）设函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的图像与y x =的图像有公共点，证明：()x f x a M =∈． （3）若函数()sin f x kx M =∈，求实数k 的取值范围．解：（1）对于非零常数T ，()f x T x T +=+，()Tf x Tx =，因为对任意x ∈R ，x T Tx +=不能恒成，所以()f x x M =∉．（2）因为函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图像与函数y x =的图像有公共点， 所以方程组：x y a y x⎧=⎨=⎩有解，消去y 得x a x =，显然0x =不是方程x a x =的解，所以存在非零常数T ，使T a T =．于是对于()x f x a =有()()x T T x x f x T a a a T a Tf x ++==⋅=⋅=，故()x f x a M =∈．（3）当0k =时，()0f x =，显然()0f x M =∈．当0k ≠时，因为()sin f x kx M =∈，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()()f x T Tf x +=成立，即()sin sin kx kT T kx +=．因为0k ≠，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx kT +∈R ，于是[]sin 11kx ∈-，，()[]sin 11kx kT +∈-，, 故要使()sin sin kx kT T kx +=成立，只有1T =±，当1T =时，()sin sin kx k kx +=成立，则2πk m =，m ∈Z ．当1T =-时，()sin sin kx k kx -=-成立，即()sin πsin kx k kx -+=成立，则π2πk m -+=，m ∈Z ，即()21πk m =--，m ∈Z ．综合上述得，实数k 的取值范围是{}πk k m m =∈Z ，． 14．已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（1）如果函数()20by x x x=+>在(]04，上是减函数，在[)4+∞，上是增函数，求b 的值．（2）设常数[]14c ∈，，求函数()()12cf x x x x =+≤≤的最大值和最小值．（3）当n 是正整数时，研究函数()()0n n cg x x c x=+>的单调性，并说明理由．解：（14=，则4b =．（2）由于[]14c ∈，[]12，，于是，当x =()cf x x x=+取得最小值 ()()2122c f f --=， 当12c ≤≤时，函数()f x 的最大值是()222c f =+； 当24c ≤≤时，函数()f x 的最大值是()11f c =+． （3）设120x x <<，()()()21212121121n n n n n n n n c c c g x g x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭．当12x x <时，()()21g x g x >，函数()g x在)+∞上是增函数；当120x x <<<()()21g x g x >，函数()g x在(0上是减函数．当n 是奇数时，()g x 是奇函数，函数()g x在(-∞-，上是增函数，在)0⎡-⎣上是减函数． 当n 是偶数时，()g x 是偶函数，函数()g x在(-∞-，上是减函数，在0⎡⎤⎣⎦上是增函数．15．若()113x p f x -=，()2223x pf x -=⋅，x ∈R ，1p ，2p 为常数，且()()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x f x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，≤，． （1）求()()1f x f x =对所有实数x 成立的充要条件（用1p ，2p 表示）．（2）设a b ，为两实数，a b <且1p ，()2p a b ∈，，若()()f a f b =．求证：()f x 在区间[]a b ，上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[]m n ，的长度定义为n m -）． 解：（1）()()1f x f x =恒成立⇔()()1212323x p x pf x f x --⇔⋅≤≤ 1232x p x p---⇔≤123log 2x p x p ⇔---≤（*）若12p p =，则()30log 2*⇔≤，显然成立；若12p p ≠，记()12g x x p x p =---． 若12p p >时，()()()()12212212112p p x p g x x p p p x p p p x p -<⎧⎪=-++⎨⎪->⎩≤≤所以()12max g x p p =-，故只需123log 2p p -≤．当12p p <时，()()()()12112122122p p x p g x x p p p x p p p x p -<⎧⎪=--⎨⎪->⎩≤≤所以()21max g x p p =-，故只需213log 2p p -≤．综上所述，()()1f x f x =对所有实数x 成立的充要条件是123log 2p p -≤．（2）第一，如果123log 2p p -≤，则()()1f x f x =的图像关于直线1x p =对称．如题15解题配图()a ．因为()()f a f b =，所以区间[]a b ，关于直线1x p =对称．因为减区间为[]1a p ，，增区间为[]1p b ，，所以单调增区间的长度和为2b a-． 第二，如果123log 2p p ->，不妨设12p p <，则213log 2p p ->． 于是当1x p ≤时，()()11212333p x p x p x f x f x ---=<<<，从而()()1f x f x =． 当2x p ≥时，()()2312122log 1233333x p p p x p x p f x f x ----==⋅<⋅=，从而()()2f x f x =． 当12p x p <<时，()113x p f x -=及()2223p x f x -=⋅， 由方程0120323x p p x --=⋅，得12031log 222p p x +=+① 显然()10221321log 22p x p p p p <=---<⎡⎤⎣⎦，表明0x 在1p 与2p 之间． 所以()()()()()110202f x p x x f x f x x x p ⎧<⎪=⎨<<⎪⎩≤ 综上可知，在区间[]a b ，上，()()()()()1020f x a x x f x f x x x b ⎧⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤如题15解题配图()b ． 故由函数()1f x 及函数()2f x 的单调性可知，()f x 在区间[]a b ，上的单调增区间的长度之和为()()012x p b p -+-，由()()f a f b =，即12323p a b p--=⋅，得123log 2p p a b +=++②故由①得()()[]0121231log 222b ax p b p b p p --+-=-+-=． 综合上述两方面可知，()f x 在区间[]a b ，上的单调增区间的长度和为2b a-．题15解题配图(b )(a )4.3 对数概念及其运算 基础练习1．把下列各题的指数式写成对数式： （1）2416=． （2）031=．（3）42x =． （4）20.5x =． 解：（1）42log 16=． （2）30log 1=． （3）4log 2x =．（4）2log 0.5x =．2．把下列各题的对数式写成指数式： （1）5log 27x =． （2）8log 7x =．（3）4log 3x =． （4）71log 3x =．解：（1）527x =．（2）87x =．（3）43x =．（4）173x =． 3．计算下列各题：（1）22lg lg5⋅+ （2）()(21lg5lg8lg1000lg lg0.066++++．（3）2662log 18log 3log 6+． （4）lg 0.7lg30173⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭．（5）1log log mm baa b⋅． （6．解：（1）1.（2） 1.（3） 1.（4） 21.5（5）1.（6）32． 4．（1）已知5log 3a =，5log 4b =，试用a 、b 表示25log 12． （2）已知12log 27a =，求6log 16． （3）已知18log 9a =，185b =，求36log 45． 解：（1）2a b +．（2）()433a a -+．（3）2a ba+-．5．设()0x y z ∈+∞，，，且345x y z ==．（1）求证：1112x y z+=． （2）比较3x ，4y ，6z 的大小．解：（1）换无法，令()3461x y z m m ===>，1log 3m x =，1log 4m y =，1log 6m z=，即可证．（2346x y z <<． 6．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ．（2）log a ．解：（1）log log log a a a x y z +-．（2）112log log log 23a a a x y z +-．7．求解下列各题：（1）已知lg2a =，103b =，试用a ，b 表示24log 15． （2）已知3log 5a =，5log 7b =，试用a ，b 表示75log 63．（3）已知632236a b c ==，试建立a b c 、、间的关系式．解：（1）13b ab a +-+．（2）221212b ab a a a ++=++． （3）123a b c+=或0a b c ===．8．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝()dB ，对于一个强度为I 的声波，分贝的定义是：0101Iy g I =．这里0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度，122010W/m I -=，当0I I =时，0y =，即dB 0=． (1)如果21W/m =，求相应的分贝值．(2)70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I ′的多少倍? 解：(1)21W/m I =，相应的分贝值为()120dB ．(2)70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I ′的10倍．9．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代．解：马王堆古墓是近2200年前的遗址． 能力提高10．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令()log 0x t y t =>，则2230t t -+=，22320t t +-=，12t =-，212t =；则1log 2x y =y =， 代入可得：()22424T x x x =-=--． 可知：min 4T =-，当且仅当2x =，y =时取最小值．11．（1）设a b c ，，都是正数，且346a b c ==，求22ab bc acabc-++的值． （2）已知0a b c >，，，且1a b c ≠，，，求：log log log log log log b c a c a b c a b b c a a b c a b c ++---的值． （3）设()200922008f x a x b =⋅+⋅，若()20207log log 2092010f =，求()20209log log 207f 的值． 解：（1）令345a b c m ===，3log a m =，4log b m =，5log c m =，代入，原式0=． （2）利用公式：log log b b c a a c =，证明如下：log log log log lg lg lg lg log lg log lg lg lg lg lg b b b b c a c a b b c aa c a c c a a c a cb b=⇔=⇔=⇔=， 可得：原式为0．（3）利用函数奇偶性，令()()2008g x f x =-，为奇函数， 由于2020920207log log 207log log 209=-， 则原式2006=．12．解方程组：123x y x y x y y x ++⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中x y +∈R ，）． 解：方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩；2244x y =⎧⎨=⎩．13．对于正整数()a b c a b c ，，≤≤和实数x y z w ，，，，若70x y z w a b c ===，且1111x y z w++=，求证：a b c +=． 证明：由70x y z w a b c ===取常用对数得lg lg lg lg70x a y b z c w ===．所以11lg lg70a w x =，11lg lg 70b w y =，11lg lg70c w z =，相加得()1111lg lg lg lg 70a b c w x y z ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由题设1111x y z w ++=， 所以lg lg lg lg70a b c ++=，所以lg lg70abc =．所以70257abc ==⨯⨯． 若1a =，则因为lg lg70x a w =，所以0w =与题设矛盾，所以1a >． 又a b c ≤≤，且a b c ，，为70的正约数，所以只有2a =，5b =，7c =．所以a b c +=． 4.4 反函数 基础练习1．求下列函数的反函数： （1）53y x =-． （2）()220y x x =-≤．（3）32y x =．（4）232x y x +=-（x ∈R 且2x ≠）．解：（1）由53y x =-，得35y x +=，将x 与y 互换，得35x y +=．（2）由()220y x x =-≤，得22x y =+，因为0x ≤，所以有x = 将x 与y互换，得y =()220y x x =-≤的反函数是)2y x =-≥．（3）由32y x =，得x x 与y互换，得y =， 所以函数32y x =的反函数是y =． （4）由232x y x +=-，得223yx y x -=+，即()223y x y -=+． 当2y ≠时，232y x y +=-，将x 与y 互换，得232x y x +=-（x ∈R 且2x ≠）．所以，函数232x y x +=-（x ∈R 且2x ≠）的反函数是232x y x +=-（x ∈R 且2x ≠）．2．若函数()y f x =存在反函数，则下列命题中不正确的是（ ）． Ａ．函数()y f x =与函数()x f y =的图像关于直线y x =对称 Ｂ．若()y f x =是奇函数，则()1y f x -=也是奇函数Ｃ．若()y f x =在其定义域[]a b ，上是增函数，则()1y f x -=在()()f a f b ⎡⎤⎣⎦，上也是增函数 Ｄ．函数()y f x =与()1x f y -=的图像重合．解：Ｃ．3．函数()223f x x ax =--在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）． Ａ．(]1a ∈-∞，Ｂ．[)2a ∈+∞， Ｃ．[]12a ∈，Ｄ．(][)12a ∈-∞+∞，，解：抛物线只能是在单调区间上才存在反函数，Ｄ．4．已知()231x f x x +=-，函数()y g x =的图像与()11y f x -=+的图像关于直线y x =对称，则()11g =__________．解：由于()1x f y +=，()()1x f y g x =-=，则()()1g x f x =-，()()3111112g f =-=． 5．若点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，既是2a x b y +=的图像上，又在它的反函数图像上，则a =__________；b =__________．解：20.2512127410227a b a b a b ++⎧⎧=-⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩． 6．若函数()2x f x x =+的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．解：解方程122x x =+得1122f -⎛⎫= ⎪⎝⎭．7．若定义在R 上的函数()1y f x =+的反函数是()11y f x -=-，且()01f =，则()2008f =__________．解：()()11f x f x +=+，可得：2009．8．已知函数()y f x =（定义域为D ，值域为A ）有反函数()1y f x -=，则方程00f x =有x a =，且()()f x x x D >∈的充要条件是()1y f x -=满足：__________． 解：()10f a -=且()()1f x x x A -<∈．9．设函数()121xf x x-=+，又函数()g x 与()11y f x -=+的图像关于y x =对称，求()2g 的值． 解：由图像可知()()()122g x f x g =-⇒=-． 10．若点（2，1）既在函数()f x =又在它的反函数的图像上，求实数m n ，的值．解：()()2112f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩37m n =-⎧⇒⎨=⎩．11．（1）设函数()y f x =（定义域为D ，值域为A ）的反函数是()1y f x -=，且函数()y f x =在D 上单调递增，证明函数()1y f x -=在A 上也是增函数．（2）设函数()y f x =是D 上的奇函数，证明函数()1y f x -=也是A 上的奇函数．解：（1）21x x >时，()()()()1121212100f x f x f y f y x x --->⇒-=->，()()f x f x -=-．则()()11f y f f x ---=-=⎡⎤⎣⎦()()1f f x x f y --=-=-⎡⎤⎣⎦，得证． （2）略．12．已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，（1）求函数()f x 的反函数()1f x -．（2）若2x ≥时，不等式()()(11x f x a a --⋅>恒成立，试求实数a 的取值范围． 解：（1）())11f x x -=>，（2）(11-，． 能力提高 13．()1122f x x x-=-．（1）证明函数()f x 有反函数，并求出反函数．（2）反函数的图像是否经过（0，1）点？反函数的图像与y x =有无交点？ （3）设反函数为()1y f x -=，求不等式()10f x -≤的解集． 解：（1）()f x 在正实数集上是增函数，则()f x 有反函数，()(()2114f x x x -=∈R ；（2）()1f x -经过点（0，1）；无交点； （3）解集为空集．14．已知函数()y f x =的反函数．定义：若对给定的实数()0a a ≠，函数()y f x a =+与()1y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”．（1）判断函数()()210g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由．（2）求所有满足“2和性质”的一次函数．（3）设函数()()0y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”．求()y f x =的表达式． 解：（1）函数()()210g x x x =+>的反函数是())11g x x -=>． 由于())110g x x -+=>．而()()()21111g x x x +=++>-，其反函数为()11y x =>， 故函数()()210g x x x =+>不满足“1和性质”．（2）设函数()()f x kx b x =+∈R 满足“2和性质”，0k ≠．则()()1x b f x k k --=∈R ，则()122x bf x k-+-+=． 而()()()12f x k x b x +=++∈R ，得反函数2x b ky k--=．由“2和性质”定义可知22x b x b kk k+---=对x ∈R 恒成立， 则1k =-，b ∈R ，即所求一次函数为()()f x x b b =-+∈R ． （3）设0a >，00x >，且点()00x y ，在()y f ax =图像上，则()00y x ，在函数()1y f ax -=图像上． 故()()00100f ax y f ay x -⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得()()000ay f x af ax ==． 令0ax x =，则0x a x =．()()00xf x f x x ∴=，即()()00x f x f x x =． 综上所述，()()1110n n k b q b f x k x -===≠，此时()k f ax ax =，其反函数就是ky ax=，而()1kf a x ax-=，故()y f ax =与()1y f ax -=互为反函数．4.5 对数函数 基础练习1．求下列函数的定义域： （1）()22log 1y x =-． （2）y =．（3）1log 1a xy x-=+． （4）y =（5）y =．（6）()()22log log 162x x y x -=+-．解：（1）()11-∞+∞，，．（2）)(112⎡⎤-⎣⎦，． （3）（-1，1）．（4）()(1131-+，．（5）[)()()200112-，，，． （6）()()2334，，． 2．求下列函数的值域：（1）()212log 617y x x =-+． （2）()213log 45y x x =-++．解：（1）[)(]261783x x y -+∈+∞∈-∞-，，，． （2）(]24509x x -++∈，，[)2y ∈-+∞，． 3．利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1）0.1log 4和0.1log π；（2）2log 3m 和3log 4m ，其中0m >，1m ≠；（3）log 3a 和log 3b ，其中01a b <<<．解：（1）0.10.1log 4log π<．（2）当1m >时，23log log 34m m <，当01m <<时，23log log 34m m >．（3）log 3log 3a b >．4．函数()2log 2a y x ax =-+在[)2+∞，恒为正，求实数a 的范围．解：首先，由于22x ax -+取值可以正无穷大，可知1a >．所以只要22x ax -+在[)2+∞，恒大于1，即221x ax -+>，在[)2+∞，上恒成立． 转化为：21x ax +>在[)2+∞，上恒成立．即1a x x <+在[)2+∞，上恒成立．则min 1a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭．因为1y x x =+在[)2+∞，上单调递增．则min 152x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则512a <<．5．设()(32log f x x x =+，则对任意实数0a b a b +，，≥是()()0f a f b +≥的什么条件？解：()f x 是奇函数，且单调递增．()()()()00f a f b f a f b a b a b +⇔-⇔-⇔+≥≥≥≥充分必要条件．6．已知函数()x x x xe ef x e e ---=+的反函数是()1f x -，且()()0.810.6f k f --=-，求k 的范围． 解：()111ln 21y f x y -+=-，则21ln19log 32ln 4k ==．7．已知函数()11lg11xf x x x+=+--， （1）求函数()f x 的定义域，并判断它的单调性（不用证明）． （2）若()f x 的反函数为()1f x -，证明方程()10f x -=有解，且有唯一解． （3）解关于x 的不等式()11f x x +>⎡⎤⎣⎦．解：（1）()f x 的定义域为()11-，，()f x 在定义域（-1，1）内是增函数． （2）令0x =，得()01f =，即0x =是方程()10f x -=的一个解．设10x ≠是()10f x -=的另一解，则由反函数的定义知()100f x =≠，这与()01f =矛盾，故()10f x -=有且只有一个解．（3）先计算定义域，然后由于()01f=，则()101x x x +>⇒<<-或0x <<． 8．（1）已知()log 4a y ax =-在区间[)02，上是x 的减函数，求实数a 的取值范围．（2）函数()2log a f x ax x =-，()01a a >≠，在区间[]34，上是增函数，求实数a 的取值范围． （3）如果不等式2log 0a x x -<在区间102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）分类讨论可得(]12，．（2）1a >，恒成立．()01a ∈，，2ax x -在[]34，单调递减．0∆>恒成立，故14a ≤，18a ≤，且132a ≥，()11164a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，．（3）易知1a <，极限情况2111log 12216a a ⎛⎫⎛⎫=⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 9．若函数()2log 3a y x ax a =-+的值域为R ，求实数a 的取值范围． 解：23x ax a -+可以取遍所有的正数，即()40119⎡⎫∆⇒+∞⎪⎢⎣⎭≥，，． 10．已知函数()1log 1a mxf x x -=-是奇函数()01a a >≠，．（1）求出实数m 的值．（2）根据（1）的结果，判断()f x 在()1+∞，上的单调性（不必证明）．（3）如果当()2x r a ∈-，时，()f x 的值域恰为()1+∞，，求a 和r 的值． 解：（1）由定义可知1m =-．（2）1a >，()1x ∈+∞，单调递减；01a <<，()1x ∈+∞，单调递增．（3）即()1011mxr x -∈+∞⇒=-，，2a =+． 11．设函数()()()2221log log 1log 1x f x x p x x +=+-+--，（1）求函数的定义域．（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由． 解：（1）()f x 的定义域为()()11p p >，．（2）当112p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值()22log 12p +-，但无最小值．12．已知()()()4log 41f x x kx k =++∈R 是偶函数． （1）求k 的值．（2）证明：对任意实数a ，函数()y f x =的图像与直线12y x b =+最多只有一个交点． （3）设()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．解：（1）12k =-，所以()41log 412x y x =+-．（2）由()411log 4122x x x b +-=+，假设方程有两个不相同的实根12x x 、，则114144x x b +=⋅①224144x x b +=⋅②由②①得()212144444x x x x b -=-，因为1244x x ≠，所以41b =，即0b =，代入①或②不成立，假设错误，命题成立．（3）解法1：由方程()444log 41log 223x x x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭# 可变形为4142234203x xx x a a a a ⎧+=⋅-⎪⎪⎨⎪⋅->⎪⎩①②，由②得0423x a >⎧⎪⎨>⎪⎩，或0423x a <⎧⎪⎨<⎪⎩， 由①得()242313242x x x a ⨯+=+⨯-⨯，令423xt ⨯+=，则0253a t >⎧⎪⎨>⎪⎩，或02533a t <⎧⎪⎨<<⎪⎩． 则21616117533475334t a t t t t=+=+-++-．当253t >时，75334t t +-单调递增，则753340t t+->，则1a >，此时方程#有且只有一个解；当2533t <<时，7543340t t -+-<≤，161375334a t t=+-+-≤，当3a =-时方程#有且只有一个解．当3a =-或1a >时，函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点． 解法2：()()444142423log 41log 2234203x xx x x x a a x a a a a ⎧+=⋅-⎪⎪⎛⎫+-=⋅-*⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⋅->⎪⎩， ()()()22441221011033x x a a a t a t ⇒--⋅-=⇒--⋅-=，两个交点()⇒*式两相异正根()040331101aa a a ⎧⎪∆>⎪⎪⇒>⇒<-⎨-⎪⎪-⎪>-⎩，一个交点()⇒*式只有一个正根⇒讨论得{}()31a ∈-+∞，，综上：{}()31a ∈-+∞，时，一个交点．13．已知()2log f x x =，当点()M x y ，在()y f x =的图像上运动时，点()2N x ny -，在函数()n y g x =的图像上运动()n ∈N ． （1）求()n y g x =的表达式．（2）求集合{A a =关于x 的方程()()122g x g x a =-+有实根，a ∈R }．（3）设()()12n g x n H x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()()()()110F x H x g x a x b =-<≤≤的值域为22log log ⎡⎢⎣⎦，求实数a b 、的值． 解：（1）由条件知002x x y ny=-⎧⎨=⎩，则()020log 2yx n =+则()()2log 2n g x n x =+．（2）由于方程()()122g x g x a =-+x a =+， 则求集合Ax a +有实根时a 的范围．而2199244a x ⎫==-+⎪⎭≤，则94a ≤时原方程总有实根，94A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤．（3）()()21log 22F x x x =-++，且()F x 在+R 单调递减． 则()()()()22221log 2log 21log 2log2F b b b F a a a ⎧=-+=⎪⎪+⎨⎪=-+=⎪+⎩221log 21log 2b a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩2a ⇒=，3b =． 14．设()()121lgxx xn a n f x n+++-+⋅=，n ∈R ，n ∈N 且2n ≥．若()f x 当()1x ∈-∞，有意义，求a 的取值范围．解：()f x 在()1x ∈-∞，有意义，当且仅当()1210xx x n an +++-+>，对()1x ∈-∞，恒成立．即函数()1210xxxn g x a n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于任意的()1x ∈-∞，恒成立． 因为()g x 在()1-∞，上是减函数，其最小值为()()1211112n g a n a n n n -=++++=-+，所以()0g x >对()1x ∈-∞，恒成立的充要条件是102n a -+>，即12na ->． 故所求实数a 的范围为12n -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．15．已知()()2121x x a f x a -=∈+R ，是R 上的奇函数．（1）求a 的值．（2）求()f x 的反函数．（3）对任意的()0k ∈+∞，解不等式()121log xf x k-+>． 解：（1）由题知()00f =，得1a =，此时()()21212112021212112x x x xx x x xf x f x ------+-=+=+=++++，即()f x 为奇函数．（2）由于21212121x x x y -==-++，得()12111x y y y +=-<<-，则()()121log 111xf x x x-+=-<<-．（3）由于()121log x f x k -+>，则11111x xx k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，则111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{}11x k x -<<； ②当2k ≥时，原不等式的解集{}11x x -<<． 16．已知()(log a f x x =，其中1a >．（1）试求()f x 的定义域和值域；求出()f x 的反函数()1f x -． （2）求出()f x 的反函数()1f x -． （3）判断函数()1f x -的奇偶性和单调性．（4）若实数m 满足()()112110f m f m ---+-<，求m 的取值范围．解：（1x >，所以，函数()f x 的定义域为R ．函数()f x 的值域为R ． （2）设()y f x =，则y a x =，利用x与x 互为倒数，可得y a x -=-，所以，()12y y x a a -=-．所以，()()112x x f x a a --=-，x ∈R ． （3）任取x ∈R ，则()()()1112x x f x a a f x ----=-=-，所以，函数()1f x -为奇函数．任取1x ，2x ∈R ，且12x x <，则由1a >及指数函数的性质可知：12x x a a <，12x x a a -->，所以，1122x x x x a a a a ---<-，即()()12f x f x <，所以，()1f x -在定义域内单调递增．（4）由()()112110f m f m ---+-<得：()()11211f m f m ---<--，即()()11211f m f m ---<-+．结合()1f x -的单调性可知：上式等价于：211m m -<-+，解之得：1m >或2m <-． 17．已知函数()(()log 01a f x x a a =+>≠，． （1）求反函数()1f x -，并求出其定义域．（2）设()(1log a P n f n -=+．如果()()332n nP n n -+<∈N ，求a 的取值范围．解：（1）设()((log a y f x x x ==．则y y a x a x =+-=．两端平方整理得：222222022y y yyyy a a a a xa x a -++-+=⇒==． 则()122x x a a f x --+=由于1a >时，()(log a f x x =值域为)log a ⎡+∞⎣；01a <<时，()f x的值域为(log a -∞，． 则()1f x -的定义域为：1a >时，)log a x ⎡∈+∞⎣，01a <<时，(log a x ∈-∞，．（2）()(()121log 2n n na P n f n a a ---⎫=+=+=+⎪⎪⎝⎭， 由333333222n n n n n nn n n n n a a P a a -----+++<⇒<⇒+<+，即()()()3313303nn n n n n n n na a a a a--⎡⎤--⎣⎦+--=<． 由于()30n a >，则()()1331033nn n a a a ⎡⎤--<⇒<<⎣⎦；又由于n ∈N，则log log 1a a n a +>>， 即131331a a a ⎧<<⎪⇒<<⎨⎪>⎩． 4.6 指数方程和指数不等式 1．解下列方程：（1）13119133x x x-+=--． （2）31636281x x x ⋅+=⋅．（3）10xx+=．（4（5）14526x x --⋅=．（6）()()222121x x x x --=-．解：（1）()1.2x = ()0.5.3 ()2.4±（5）32.（6）1012，，． 2．解下列不等式：（1）282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭． （2）114123x x>--． （3）22222233x x x x ---->-．解：（1）（-2，4）． （2）20log 3x <<． （3）()()12+∞-∞-，，．3．已知关于x 的方程2212940x x a a ---+=有一根是2． （1）求实数a 的值．（2）若01a <<，求不等式2212940x x a a ---+<的解集．解：（1）将2x =代入可得12a =或4a =．（2）设1x a t -=后解方程得()12-，．4．设0a >，1a ≠，求证：关于x 的方程2x x a a a -+=的根不在区间[0，1]内． 证明：用反证法证：假设方程有解[]001x ∈，， 由不等式可知：22x x a a a -=+≥，则1a >．则21x x a a a a -=++≤，得出：1a ≤，矛盾． 因此，题目结论成立． 能力提高5．若(]1x ∈-∞-，，不等式()24210x x m m -++>恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解：令2x t =，则对于102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，()2210m m t t -++>恒成立23m ⇒-<<．6．设方程22log 1x x ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（ ）．Ａ．1200x x <>， Ｂ．101x <<，22x > Ｃ．121x x >Ｄ．1201x x <<解：D ．7．设125236xxxt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则关于x 的方程()()()1230t t t ---=的所有实数解之和为__________．解：125236x x xt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，单调递减，且()03t =，()12t =，()31t =，所以答案为4．4.7 对数方程和对数不等式 基础练习1．解下列方程人：（1）22313log log 30x x +-=． （2）()4log 26x x +=． （3）()141log 1222x x +-=+．（4）5log 15x -=．（5）2lg lg 1020x x x +=．（6）()()212log 21log 2122x x ---⋅+-=-．解：（1）27x =或13x =． （2）2log 3x =． （3）1x =．（4）25或0.2．（5）10或110．（6）2log 3-或25log 4-． 2．解下列不等式： （1）12132log 2x +>． （2）221log 2log 9log 640x x x -+-<． （33121log 202x ++>．（4）()2log 21log 21x x x x +->-． 解：（1）()()2701124⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，，．（2）1613x <<． （3）[)24，． （4）12x >，且1x ≠． 3．若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________． 解：[]00040a a >⎧=⇒⎨∆⎩≥，，． 4．求函数()()213log 56f x x x =-+的单调递增区间．解：首先定义域为()()23-∞+∞，，，再根据复合函数的单调性的性质，可得：()2-∞，．5．已知a b ，是方程()3274log 3log 33x x +=-的两个根，求a b +的值．解：换元法解题，1081a b +=．6．如果0x >，0y >，10log log 3x y y x +=，144xy =，求x y +的值．解：令log x y t =，则1103t t +=⇒7．设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭≥，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，若a B ≠∅，求实数a 的取值范围． 解：(){}()()341003A x x =-⇒-≤，，．8．已知1492320x x +-⋅+≤，求函数1122log log 28x xy =⋅的最大、最小值． 解：令2x t =，则[]2min 183202161t t t y -+⇒∈⇒=-≤，，max 3y =． 9．有关于x 的不等式()lg 37x x a ++->． （1）当1a =时，解此不等式．（2）当a 为何值时，此不等式的集是R ．解：（1）当1a =时，或7x >或3x <-．（2）[)37101x x a ++-∈+∞⇒<，时此不等式的解集是R ．能力提高10．已知α是函数()log 2008a f x x x =-，()1a >的一个零点，β是函数()2008x g x xa =-的一个零点，求αβ的值．解：2008log a x x =，2008x a x=，log a x 与x a 互为反函数，所以2008αβ=．11．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[]m n D ⊆，，使()f x 在[]m n ，上的值域为1122m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，那么就称()y f x =为“好函数”．现有()()log x a f x a k =+，()01a a >≠，是“好函数”，求k 的取值范围． 解：()log 2x a x a k +=有两个实数解104k ⎛⎫⇒∈ ⎪⎝⎭，．12．已知0a >1a ≠，试求使方程()()222log log a a x ak x a-=-有解的k 的取值范围． 解：由对数性质知，原方程的解x 应满足()2222200x ak x a x ak x a ⎧-=-⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩①②③若①②同时成立，则③必成立，故只需解()2220x ak x ax ak ⎧-=-⎪⎨->⎪⎩．由①可得()221kx a k =+④当0k =时，④无解；当0k ≠时，④的解是()212a k x k +=，代入②得212k k k+>．若0k <，则21k >，所以1k <-；若0k >，则21k <，所以01k <<．综上，当()1k ∈-∞-，()01，时，原方程有解． 13．若()()44log 2log 21x y x y ++-=，求x y -的最小值．()()222022044224x y x yx y x y x y x y ⎧+>⎧>⎪⎪->⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩+-=⎩ 由对称性只考虑0y ≥，因为0x >，则只须求x y -的最小值．令x y u -=，代入2244x y -=，有()223240y uy u -+-=，这个关于y 的二次方程显然有实根，故()21630u ∆=-≥． 14．已知函数()()()12log 013a m x f x a a x --=>≠-，，对定义域内的任意x 都有()()220f x f x -++=成立．（1）求实数m 的值．（2）若当()x b a ∈，时，()f x 的取值范围恰为()1+∞，，求实数a b ，的值． 解：（1）由()()12log 3am x f x x --=-及()()220f x f x -++=可得：()()()()()()122122log log 02323a a m m m x x x ----+-+=--+-．解之得：1m =±．当1m =时，函数()f x 无意义，所以，只有1m =-．。

第八章 空间直线与平面8.1平面及其基本性质 基础练习1．用符号语言表示下列语句：（1）点A 在平面α内，但在平面β外．（2）直线a 经过平面α外一点M ．（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和平面β相交于直线a ． 解：（1）A α∈但A β∉．（2）M α∉，M a ∈．（3）a α⊆且a β⊆，即a αβ=．2．已知a 、b 、c 是空间三条直线，且a b c ，∥与a 、b 都相交，求证直线a 、b 、c 在同一个平面上．证明：设直线n 与直线r 交于点A ，直线6与直线c 、交于点B ． 因为a b ∥，则直线a 、b 确定一个平面，设为α，则a A a A αα⊆∈⇒∈，，同理可知B a ∈，A 、B 在直线c 上，故可知c α⊆．3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内？解：提示：将桌子的四条腿中在对角线的两条腿分别用细绳相连，若两条细绳相交，则四条腿的下端在同一平面内．4．如图86-所示，ABC △与111A B C △不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线1AA 、1BB 、1CC 交于一点．C 1A 1B 1PC BA图 86解：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．5．已知ABC △在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P ，Q ，R 三点，证明：P ，Q ，R 三点在同一条直线上．解：如题5解析图所示，欲证P ，Q ，R 三点共线，只须证P ，Q ，R 在平面α和平面ABC △的交线上，由P ，Q ，R 都是两平面的公共点而得证．αRP QCBA 题5解析图6．画水平放置的正五边形的直观图． 解：提示：用斜二侧画法．8.2空间直线与直线之间的位置关系 基础练习1．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则”的最大值为___________．解：提示与答案：不能有公共端点，最多4条，由题l 解析图可知4条可以．题1解析图2．如图812-，已知三棱锥S ABC -中，90ABC ∠=︒，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E 、F ，求证：EF SC ⊥．CBEF AS图 812证明：由于A 、E 、F 三点不共线，AF SC ⊥，则要证EF SC ⊥，只要证SC ⊥平面AEF ， 只要证SC AE ⊥ （如图812-）．又由于BC AB ⊥，BC SA ⊥，则BC ⊥平面SAB ， 则SB 是SC 在平面SAB 上的射影． 则只要证AE SB ⊥ （已知），则EF SC ⊥．1． 已知a 、b 是两条异面直线，直线a 上的两点A 、B 的距离6，直线b 上的两点C 、D 的距离为8，AC 、BD 的中点分别为M 、N ，且5MN =，见同813-．求异面直线a 、b 所成的角．b NMAaOB DC图813解：如图8—13，连接BC，并取BC的中点O，连接OM、ON，由于OM、ON分别是ABC△和BCD△的中位线，则OM AB ON CD，∥∥，即OM a ON b，∥∥．则OM、ON所成的锐角或直角是异面直线a、b所成的角．又由于68AB CD==，．则34OM ON==，．在OMN△中，又由于5MN=，则222OM ON MN+=，则么90MON∠=︒．故异面直线a、b所成的角是90︒．4．已知四面体S ABC-的所有棱长均为a．求：（1）异面直线SC，AB的公垂线段EF及EF的长．（2）异面直线EF和SA所成的角．解：（1）构造立方体的内接正四面体，可知SC，AB所在面夹的棱即为EF，由此可知EF长度等于立方体边长，故EF=．（2）SA与所在正方形边所夹的角即为所求，为π4．5．如图814-，等腰直角三角形ABC中，90BC∠︒=，DA AC DA AB，⊥⊥，若1DA=．且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．EFDCBA图814解：取CA中点F，连接EF，BF．FEB ∠即为所求．cosEB BF EF FEB===∠=．6．如图8—15，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将ABC△沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，求GH与=IJ所成角的度数．JGH A BCD FE 图 815解：由于G H ，分别为AF ，AD 中点，则GH FD ∥，同理IJ BD ∥，则FD 与BD 所成角的度数等于GH 与IJ 所成角的度数． 由于三棱锥为正三棱锥，则FD 与BD 所成角为60︒， 则GH 与IJ 所成角的度数为60︒．7．长方体1111ABCD A B C D -中，143AB AA AD ===，，则异面直线1A D 与11B D 间的距离为__________．解：以A 为原点建立空间直角坐标系可得：()()111304340A D B D d =-=，，，，，，． 8．空间两条异面直线a ，b 所成角α，过空间一定点O 与a ，b 所成角都是口的直线，有多少条？解：02αθ<≤时，l 有0条；2αθ=时，l 有1条；π22αθα<<-时，l 有2条； π2θα=-时，l 有3条； ππ22αθ-<<时，l 有2条； π2θ=时，l 有1条； π2θ>时，l 有0条． 8.3空间直线与平面1．如果三个平面α、β、γ两两相交于三条交线a 、b 、c ，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论．解：平行或者交于一点．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11ABC D 均成30︒角，求这样的直线条数．解：2条．3． 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC △和BCD △的重心，求证：PQ ∥平面ACD ． 证明：取BC 中点M ．PM AC ∥且QM CD ∥，则平面PQM ∥平面ACD ． 所以PQ ∥平面ACD ．4．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：11B D CD ⊥． （2）求证：1B D ⊥平面1ACD ． （3）求点D 到平面1ACD 的距离．解：（1）1B D 在平面11CDC D 上投影为1DC ，由三垂线定理可得11B D CD ⊥． （2）由（1）可知11B D CD ⊥，同理1B D CA ⊥．所以平面11ACD DB ⊥．得证． （3）等体积法得：11D ACD D ACD V V --=，所以d =． 5．正方体1111ABCD A B C D -中，求1B D 与平面11ABC D 所成角的大小．解：易知，111DA ABC D ⊥．令1DA 与1AD 交于O ，1DB 与11ABC D 交于M ，2AB =．易知，1OM OD ==，又DOM ∠为直角，则DMO ∠=6．正方体ABCD A B C D -''''的棱长为a ，则异面直线CD '与BD 间的距离等于________． 解：取CD 中点M ，连接MC '，AM ，AM 与BD 交于P ，MC '与CD '交于Q 由于PQ AC '∥，则PQ 为CD '与BD 间的垂线．13PQ AC ='=． 7．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各取一点P 、Q ，且AP DQ =．求证：PQ ∥平面BCE ．解：在AB 取一点M ，使得PM BE ∥．得到：AP AM DQPE MB QB==． 故MQ AD BC ∥∥．因为MQ BC ∥，PM BE ∥，则平面PMQ ∥平面BCE ． 所以PQ ∥平面BCE ． 能力提高8．如图823-，已知AOB ∠在平面M 上，P 为平面外一点，满足POA POB θ∠=∠=（θ为锐角），点P 在平面上的射影为Q ． ABQOFE PM 图 823（1）求证点Q 在AOB ∠的平分线OT 上．（2）讨论POA ∠、POQ ∠、QOA ∠之间的关系． 证明：（1）过点Q 分别作AO 、BO 垂线，垂足分别为E 、F ． 由于PQ ⊥平面M ，OA ⊆平面M PQ OA ⇒⊥， 又OA QE ⊥，则OA ⊥平面PEQ ，则OA PE ⊥．同理OB QF ⊥，在POE △和POF △，90POE POF PO PO PEO PFo θ∠=∠==∠=∠=︒，， 则POE △≌POF △．则OE OF =， 又OA QE OB QF ，⊥⊥，则点Q 在AOB ∠的平分线OT 上．（2）在直角三角形POE △中cos cos OEPOA POE PO∠=∠=．在直角三角形POQ △中，cos OQPOQ PO∠=，在直角三角形OQE △中，cos cos OEAOQ EOQ OQ∠=∠=，则cos cos cos POA AOQ POQ ∠=∠⋅∠．9．若直线l 与平面α成角π3，直线a 在平面α，且和直线l 异面，则l 与a 所成角的取值范围是多少？解：由直线与面所成角的概念可知，ππ32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．10．如图824-，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，ABH θ∠=，HBC α∠=，ABC β∠=，求证：cos cos cos βαθ=⋅．θαβH CDB Aα图 824证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ．由于AH α⊥，则AD 在平面α内射影为HD ． 由于BC HD ⊥，BC α⊆， 则BC AD ⊥．在Rt ABH △中有cos BHBA θ= ①在Rt BHD △中有cos BDBH α= ②在Rt ABD △中有cos BDBAβ= ③由①②③可得 cos cos cos βθα=⋅． 11．如图8—25，平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ．连SM ，SB ，且N ，H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．αBMN A HS图 825（1）求证：NH SB ⊥．（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？ （3）这个图形中有多少个直角三角形？ （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？ 解：（1）证明：连接AM 、BM ，如上图所示， 由于AB 为已知圆的直径，则M BM ⊥． 由于SA ⊥平面α，BM α⊂，则SA MB ⊥． 由于AM SA A =，则BM ⊥平面SAM ． 由于AN ⊆平面SAM ，则BM AN ⊥．由于AN SM ⊥于N ，BM SM M =，则AN ⊥平面SMB ．出于AH SB ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，则NH SB ⊥． （2）由（1）知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ． 由于SB AH ⊥且SB HN ⊥，则SB ⊥平面ANH ， 则图中共有4个线面垂直关系．（3）由于SA ⊥平面AMB ，则SAB △、SAM △均为直角三角形． 由于BM ⊥平面SAM ，则BAM △、BMS △均为直角三角形．由于AN ⊥平面SMB ，则ANS △、ANM △、ANH △均为直角三角形． 由于SB ⊥平面ANH ，则SHA △、BHA △、SHN △、BHN △均为直角三角 综上，图中共有11个直角三角形．（4）由SA ⊥平面AMB 知，SA AM ⊥，SA AB ⊥，SA BM ⊥． 由BM ⊥平面SAM 知，BM AM ⊥，BM SM ⊥，BM AN ⊥． 由AN ⊥平面SMB 知，AN SM ⊥，AN SB ⊥，AN NH ⊥． 由SB ⊥平面ANH 知，SB AH ⊥，SB HN ⊥． 综上，图中共有11对互相垂直的直线．12．如图8-26，在正方体1111ABCD A B C D -中．EF 为异面直线1A D 与AC 的公垂线，求证：1EF BD ∥．证明：连接11A C ，由于11AC AC EF AC ，∥⊥， 图 826D 1A 1C 1B 1E F D C BA则11EF AC ⊥． 又1EF A D ⊥，1111A DAC A =，则EF ⊥平面11A C D ． ①由于1BB ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，则111BB AC ⊥．由于四边形1111A B C D 为正方形， 则11111111AC B D B D BB B =，⊥，则11AC ⊥平面11BB D D ，而1BD ⊂平面11BB D D ，则111AC BD ⊥． 同理111111DC BD DC AC C =，⊥，则1BD ⊥平面11A C D ．② 由①、②可知：1EF BD ∥．13．如图8-27所示，90BAC ∠=︒．在平面α内，PA 是α的斜线，60PAB PAC ∠=∠=︒．求PA 与平面α所成的角．P 图 8-27αO CB NMA解：如图8-27所示，过P 作PO α⊥于O ．连接AO ，则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角． 作OM AC ⊥．由三重线定理可得PM AC ⊥． 作ON AB ⊥，同理可得PN AB ⊥．由PAB PAC ∠=∠，90PMA PNA PA PA ∠=∠=︒=，， 可得PMA PNA △≌△，则PM PN =．由于OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影， 则OM ON =．所以点O 在BAC ∠的平分线上．设PA a =，又60PAM ∠=︒，则12AM a =，45OAM ∠=︒，则2AO ==． 在POA △中，cos AO PAO PA ∠==则45PAO ∠=︒，即PA 与α所成角为45︒． 8.4空间平面与平面的位置关系1．已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在α，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点． 求证：EF EF αβ，∥∥．证明：如题1解析图，连接AF 并延长交β于G ．由于AG CD F =，则AG ，CD 确定平面γ，且AC DG γαγβ==，．由于αβ∥，所以AC DG ∥， 则ACF GDF ∠=∠.又AFC DFG CF DF ∠=∠=，，则ACF DFG △≌△． 则AF FG =． 又AE BE =，则EF BG BG β⊂，∥．故EF β∥．同理EF α∥．αβGFEDC BA 题1解析图2．如果αβ∥，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB AC ⊥，且2AB =，直线AB 与平面α所成的角为30︒，求线段AC 长的取值范围．解：如题2解析图所示：作AD β⊥于D ，连接BD 、CD 、BC ．由于AB BD >，AC DC >，222AB AC BC +=， 则在BDC △中，由余弦定理，得：222222cos 022BD CD BC AB AC BC BDC BD CD BD CD+-+-∠=<=⋅⋅．由于AD β⊥，ABD ∴∠是AB 与β所在的角． 又由于αβ∥，则ABD ∠也就等于AB 与α所成的角，即30ABD ∠=︒． 由于2AB =，则1AD BD DC BC ====，，则2210-<，即0<．则AC AC长的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭． βαDCBA题2解析图3．如图8-35，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、1AA 的中点．求平面1CEB 与平面11D FB 所成二面角的平面角的正弦值．FD 1C 1B 1A 1ECBA图 835解：延长CE 、1D F 、DA 交于一点G ，设棱长为1，可知1B C =1B G =，CG =11B G B C ⊥．同理，11111B D B D B G ⊥⊥， 则11CB D ∠即为所求二面角的平面角，易求1160CB D ∠=︒，． 4．如图8-36，点A 在锐二面角αMN β--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45︒，与面β所成的角大小为30︒，求二面角MN αβ--的大小．M NAP βα图 836解：在射线AP 上取一点B ，作BH β⊥于H ，连接AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角（参见题4解析图）， 则30BAH ∠=︒．再作BQ MN ⊥，交MN 于Q ，连接HQ ， 则HQ 为BQ 在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ MN ⊥，则BQH ∠为二面角MN αβ--的平面角．设BQ a =，在Rt BAQ △中，90BQA ∠=︒，45BAM ∠=︒，则AB ．在Rt HBQ △中，90BHQ ∠=︒，BQ α=，BH =，2sin BH BQH BQ a ∠===， 由于BQH ∠是锐角，则45BQH ∠=︒，即二面角MN αβ--等于45︒．B ANQHM P αβ题4解析图5．正方形ABCD 边长为4，点E 是边CD 上的一点，将AED △沿AE 折起到1AED ，的位置时，有平面1ACD ⊥平面ABCE ，并且11BD CD ⊥． （1）判断并证明E 点的具体位置． （2）求点D '到平面ABCD 的距离．解：如题5解析图（a ）所示，（1）E 为CD 边中点．连接AC 、BD 交于点O ，再连1DD ，由BD AC ⊥，且平面1ACD ⊥平面ABCE 于AC ，则BD ⊥平面1ACD ， 故1CD BD ⊥，又11CD BD ⊥，则1CD ⊥平面1BDD ， 即得11CD DD ⊥，在1Rt CDD △中，由于1ED ED =， 则11EDD ED D ∠=∠，则11119090ECD EDD ED D ED C ∠=︒-∠=︒-∠-∠， 则1EC ED ED ==，即E 点为边CD 的中点．CAMD 1EM OD 1DCBA(b )(a )题5解析图（2）取OC 的中点M ，连接1DM 、EM ，则EM BD ∥，得EM 平面1ACD ，见题5解析图（b ），即190EMD ∠=︒，又因为12D E EM ==，，则1D M =，又1AD EM ⊥，由于AD DE ⊥，则11AD D E ⊥，则1AD ⊥平面1EMD ，则11AD D M ⊥，在1Rt AMD △中，14AD AM ==，DM =，过1D 作1D H AM ⊥于H 点，则1D H ⊥平面ABCE，由于1143AD D M D H AM ⋅===，此即得点1D 到平面ABCE 的距离．6．在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足12AE EB CF FA CP PB ===∶∶∶∶，如图8-37．将AEF △沿EF 折起到1A EF △的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连接1A B 、1A P ，如图8-38．F A 1BCPEPFECBA 图 838图 837（1）求证：1A E ⊥平面BEP ．（2）求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小．（3）求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数表示）．解：（1）不妨设正三角形ABC 的边长为3，在图8-37中，取BE 中点D ，连结DF ．由于12AE EB CF FA ==∶∶∶， 则2AF AD ==而60A ∠=︒，则ADF △是正三角形，又1AE DE ==，则EF AD ⊥在图8-38中，1A E EF BE EF ，⊥⊥， 则1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，1A E BE ，⊥又BE EF E =，则1A E ⊥平面BEF ，即1A E ⊥平面BEP ；（2）在图8-38中，1A E 不垂直1A B ，则1A E 是平面1A BP 的垂线．又1A E ⊥平面BEP ，则1A E BE ⊥．从而BP 垂直于1A E 在平面1A BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）设1A E 在平面1A BP 内的射影为1A Q ，且1A Q 交BP 于点Q ，则1E AQ ∠就是1A E 与平面1A BP 所成的角，且1BP AQ ⊥．在EBP △中，2BE EP ==而60EBP ∠=︒，则EBP △是等边三角形．又1A E ⊥平面BEP ，则11A B A P =，则Q 为BP 的中点，且EQ =，又11A E =，在1Rt A EQ △中，11tan EQEAQ A E∠==160EAQ ∠=︒， 则直线1A E 与平面1A BP 所成的角为60︒；（3）过F 作1FM A P ⊥与M ，连接QM QF ，，由于1CP CF ==，60C ∠=︒，则FCP △是正三角形．则1PF =．有112PQ BP ==，则PF PQ =①由于1A E ⊥平面BEP，EQ EF ==则11A E AQ =，则11A EP AQP △≌△从而11A PF A PQ ∠=∠ ②由①②及MP 为公共边知FMP QMP △≌△，则90QMP FMP ∠=∠=︒，且MF MQ =，从而FMQ ∠为二面角1B A P F --的平面角．在1Rt AQP △中，1121AQ A F PQ ===，，又则1A P = 由于1MQ A P ⊥，则11A Q PQ MQ A P ⋅==，则MF =． 在FCQ △中，1260FC QC C ==∠=︒，，，由余弦定理得QF =． 在FMQ △中，2227cos 28MF MQ QF FMQ MF MQ +-∠==-⋅；则二面角1B A P F --的大小为7πarccos 8-．7．如图8-39，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C '--．C 'DC B A图 839（1）指出这个二面角的面、棱、平面角．（2）若二面角C AD C '--是直二面角，求C C '的长． （3）求AC '与平面C CD '所成的角．（4）若二面角C AD C '--的平面角为120︒，求二面角A C C D -'-的平面角的正切值． 解：（1）由于AD BC ⊥，则AD DC ⊥，AD DC '⊥，则二面角C AD C '--的面为ADC 和面ADC '，棱为AD ，二面角的平面角为CDC ∠'． （2）若90CDC ∠'=︒，由于AC a =，则12DC DC a ='=，则2CC '=．（3）由于AD DC AD DC '，⊥⊥，则AD ⊥平面DC C '，则AC D ∠'为AC '与平面C CD '所成的角． 在直角三角形ADC '中，12DC DC AC ='=，则30DAC ∠'=︒， 于是60AC D ∠'=︒．（4）取CC '的中点E ，连接AE 、DE ，由于DC DC AC AC '='=，，则AE CC DE CC ''，⊥⊥， 则AED ∠为二面角A C C D -'-的平面角．由于11202C DC C D CD a ∠'=︒'==，，则14DE a =，在直角三角形AED中，AD =，则2tan 14AD AED DE a ∠=== 8．在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和1B C 之间的距离． 解：具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD 和1B C 找到两个互相平等的平面； ②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度． 如题8解析图（a ），根据正方体的性质，易证： 1111BD B D A B D C ⎫⎬⎭∥∥⇒平面1A BD ∥平面11CB D ．连接1AC ，分别交平面1A BD 和平面11CB D 于M 和N ． 因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，AC BD ⊥．由三垂线定理：1AC BD ⊥，同理，11AC A D ⊥． 则1AC ⊥平面1A BD ，同理可证，1AC ⊥平面11CB D ． 则平面1A BD 和平面11CB D 间的距离为线段MN 长度．如图（b ）所示：在对角面1AC 中，1O 为11A C 的中点，O 为AC 的中点．则1113AM MN NC AC ====． 则BD 和1B C 的距离等于两平行平面1A BD 和11CB D．NMD CB AB 1A 1D 1C 1O 1C 1A 1OCANM (a )(b )题8解析图9．设由一点S 发出三条射线SA 、SB 、SC ，ASB α∠=，BSC β∠=，ASC θ∠=，α、β、θ均为锐角，且cos cos cos αβθ⋅=．求证：平面ASB ⊥平面BSC ． 证明：如题9解析图，连接AC ． 由于cos cos SB AS SC SB αβ=⋅=⋅，， 故cos cos SC AS αβ=⋅⋅． 又由cos cos cos αβθ⋅=，则cos SC AS θ=⋅，从而可得90ACS ∠=︒，即AC SC ⊥，已作BC SC ⊥，故SC ⊥平面ACB ， 即有AB SC ⊥，已作AB SB ⊥，从而AB ⊥平面BSC ， 故平面ASB ⊥平面BSC ．CβαθSBA题9解析图10．如图8-40，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2PB =，PB 与平面PCD 所成的角为45︒，PB 与平面ABD 成30︒角，求：CBAF EDP图 840（1）CD 的长．（2）求PB 与CD 所成的角．（3）求二面角C PB D --的余弦值．解：（1）因为PB 与平面PCD 所成的角为45︒，则BC CP =因为PB 与平面ABD 成30︒角，则1PD BD ==，则1CD =．（2）因为CD AB ∥，PB 与CD 所成的角为PBA ∠，显然60PBA ∠=︒．（3． 11．如图8-41，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF△的面积为72，求BDE △的面积．βαBQD E FCP图 841解：由于平面QAF AF α=，平面QAFBE β=，又由于αβ∥，则AF BE ∥．同理可证：AC BD ∥．则FAC ∠与EBD ∠相等成互补， 由AF BE ∥，得：12BE AF QB QA ==∶∶∶，则12BE AF =， 由BD AC ∥，得：7373AC BD PA PB BD AC ===，，∶∶∶ 又由于ACF △的面积为72，即1sin 722AF AC FAC ⋅⋅∠=， 1117sin sin 842223DBE S BE BD EBD AF AC FAC =⋅∠=⋅⋅⋅∠=△．12．如图8-42，已知正方形ABCD ．E 、F 分别是AB 、CD 的中点．将ADE △沿DE 折起，如图8-43所示，记二面角A DE C --的大不为()0πθθ<<．F EDCBA图 842（1）求证BF ∥平面ADE ．（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．解：（1）证明：E 、F 分别为正方形ABCD 两边AB 、CD 之中点，则EB FD ∥，且EB FD =，则四边形EBFD 为平行四边形．则BF ED ∥． 由于EF ⊂平面AED ，而BF ⊄平面AED 则BF ∥平面ADE ．（2）解：如图8-43，点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过点A 作AG 垂直于平面BCDE ，垂足为G ，连接GC GD ，．FEDCBA 图 843由于ACD △为正三角形，则AC AD =，则CG GD =．由于G 在CD 的垂直平分线上，则点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过G 作GH 垂直于ED 于H ，连接AH ，则AH DE ⊥，所以AHD ∠为二面角A DE C --的平面角．即AHG θ∠=．设原正方体的边长为2a ，连接AF 在折后图的AEF △中，AF =，22EF AE a ==，即AEF △为直角三角形，AG EF AE AF ⋅=⋅．则AG =．在Rt ADE △中，AH DE AE AD ⋅=⋅，则AH =．则1cos 4GH GH AH θ==． 13．在矩形ABCD 中，已知1AB BC a ==，，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =． （1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ QD ⊥，说明理由．（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ QD ⊥，求AD 与平面PDQ 所成角的正弦值． （3）在（2）的条件下，求出平面PQD 与平面PAB 所成角的大小．解：本题第（1）问是一道“是否存在”的探索性问题．首先假设存在点Q ，使得PQ QD ⊥，然后根据这个假设进行正确的推理和验证．若能找出点Q 在BC 上的位置，说明存在，否则就不存在．第（2）小题，可结合（1）中的结论找出线面角，通过解三角形求得其值． （1）假设存在点Q ，使得PQ QD ⊥． 由于PA ⊥平面ABCD ，则QD AQ ⊥． 设BQ x =，则QC a x =-．由222AD AQ QD =+，得()2222211a x a x =++-+．即方程：210x ax -+=． ① 其判别式为24a ∆=-．则当2a =时，0∆=，方程①有一解，即存在一个点Q ，使PQ QD ⊥； 当2a >时，0∆>．方程①有两解，即存在两个点Q ，使得PQ QD ⊥； 当02a <<时，0∆<，方程①无实根，即不存在点Q ，使得PQ QD ⊥．（2）当BC 边上仅有一个点Q ，使得PQ QD ⊥时，可知2BC =，Q 为BC 的中点．由于QD AQ QD PQ ，⊥⊥， 则平面PDQ ⊥平面PAQ ．过A 作AE PQ ⊥，垂足为E ，则AE ⊥平面PDQ ， 故ADE ∠为AD 和平面PDQ 所成的角．在Rt PAQ △中，PA AQ AE PQ ⋅==．在Rt AED △中，sin AE ADE AD ∠=．（3）平面PQD 与平面PAB 所成角的大小为14．两个平行平面α和β将四面体ABCD 截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．求平面α和β截四面体所得的截面面积之比．解：由已知有一个截面为梯形且平面α和β平行，可知平面α和β平行于四面体ABCD 的一条棱．记()d A α，为A 到平面α的距离．若AB α∥，则()()d A d B αα=，，，矛盾． 若AC α∥，则()()d A d C αα=，，，矛盾． 若AD α∥，则()()30d D d A αα==，，，矛盾． 若BC α∥，则()()()()d B d A d C d A αααα+=+，，，，，矛盾． 若CD α∥，则中间部分的体积大于含棱CD 部分的体积，矛盾．所以，BD α∥，如题14解析图所示，由已知 201020212AP PE EB AS SH HD ===∶∶∶∶∶∶∶∶ 2010161058BF FQ QC DG GR RC ===∶∶∶∶∶∶∶∶ 不妨设1ABCD V =四面体，1BEF DHG D BEF F FDH H DFG V V V V V ----==++1023210131029962355523232352645=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2APS CQR R APS P SARC P CQR V V V V V ----==++2215828838365523235232352645=⨯⨯+⨯+⨯⨯=； 3128132645EFGH PQRS ABCD V V V V V -==--=． 所以，3V 小于1V ，小于2V ，符合题意．设平面EFGH ，平面PQRS 分别交AC 延长线于X ，Y ． 由梅内劳斯定理，1BA EY FC AE YF CB ⋅⋅=，所以6965EY YF =， 1BA PX QC AP XQ CB ⋅⋅=，所以2320PX XQ =． 又因为49XPS YEH S S =∶∶， 212201412923659134169S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭∶． SHG RQ F E YC BA题14解析图8.5空间向量及其坐标表示 基础练习1．如图8-50，OA a OB b OC c ===，，，M 、N 、P 分别为AB ，BC ，CA 的中点，试用a ，b ，c 表示下列向量：OM MN AN ，，．OMA图 850解：由于M 为AB 中点，则()()1122OM OA OB a b =+=+． 由于M 、N 为AB 、BC 中点，则()1122MN AC c a ==-，、 同理()12ON b c =+． 由于AN AO ON =+， 则()12AN a b c =-=+． 2．已知空间三点()202A -，，，()212B -，，，()303C -，，．设a AB =，b AC =，是否存在实数k ，使向量ka b +与2ka b -互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解：()()010101AB AC ==-，，，，，． ()()11222ka b k ka b k +=--=-，，，，， 由于()()1122k k --，，，，⊥， 则242k k ==-，或2k =．3．菱形ABCD 的边长为1，120ABC ∠=︒，若E 为BC 延长线上任意一点，AE 交CD 于点F ，求向量BF 与ED 和夹角的大小．解：以为A 原点建立平面直角坐标系，()()31001022A B C D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，，，，，．设E 坐标为()112x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，．则12x F x ⎛+ ⎝⎭．则13122x BF ED x x ⎛⎫⎛-==+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，，． 夹角1cos 2BF EDBF EDθ⋅==-，则夹角大小为2π3．4．如图8-51，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PDA∠为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由．解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -．图 851设22AD a AB b PDA θ==∠=，，．则()000A ，，、()020B a ，，、()220C a b ，，、()200D a ，，、()002tan P a θ，，、()00M b ，，、()tan N a b a θ，，．则()020AB b =，，，()222tan PC a b a θ=-，，，()0tan MN a a θ=，，． 由于()()0200tan 0AB MN b a a θ⋅==，，，，，则AB MN ⊥．即AB MN ⊥． 若MN PC ⊥，则()()220tan 22tan 22tan 0MN PC a a a wb a a a θθθ⋅=-=-=，，，，． 则2tan 1θ=，而θ是锐角．则tan 145θθ==︒，．即当45θ=︒时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线．5．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC 、CD 上的点，且BE CF =，见图8-52．图 852（1）当E 、F 在何位置时，11B F D E ⊥． （2）是否存在点E 、F ，使1AC ⊥面1C EF ？（3）当E 、F 在何位置时三棱锥1C CEF -的体积取得最大值，并求此时二面角1C EF C --的大小．解：（1）以A 为原点，以AB 、AD 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，见题5解析图．设BE x =，则有()()()()110000B a a D a a E a x F a x a -，，，，，，，，，，，，则()()()()()11110B F x a a D E a x a a B F D E ax a x a a a =--=--⋅=-+-+--=，，，，，，． 因此，无论E 、F 在何位置均有11B F D E ⊥．（2）()()110A C a a a EC a x a =-=-，，，，，，()10FC x a =，，，若1AC ⊥面1C EF ，则()22a a x a ax a ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩得0a =矛盾，故不存在点E 、F ，使1AC ⊥而1C EF ．题5解析图（3）122624C CEF a a a V x -⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 当2ax =时，三棱锥1C CEF -的体积最大，这时，E 、F 分别为BC 、CD 的中点．连接AC 交EF 于G ，则AC EF ⊥，由三垂线定理知：1C G EF ⊥．则1C GC ∠是二面角1C EF C --的平面角．由于114GC AC CC a ===，，则11tan CC C GC GC∠== 即二面角1C EF C --的大小为arctan 8.6 空间直线的方向向量和平面的法向量基础练习1．用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理：已知直线l 垂直平面α内两条相交直线a 、b ，求证：直线l 垂直平面α． 证明：设直线l 、a 、b 的方向向量分别为n 、a 、b ， 则对平面内任意一条直线c ，设其方向向量为c ．因为a 、b 不平行，由平面向量唯一分解定理可知存在x y ，满足：c xa yb =+． 则()000n c n xa yb xn a yn b ⋅=⋅+=⋅+⋅=+=，所以直线l c ⊥．2．如图8-59．在长方体1111ABCD A B C D -中124AD D D AB ===，，求二面角1B AC D --的平面角大小．图 859解：如图8-59，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系则()200A ，，，()240B ，，，()040C ，，，()1002D ，，易知， 平面ABC 的一个法向量为()1001n =，，， 设平面1D AC 的一个法向量为()2n x y z =，，． 则()240AC =-，，，()1202AD =-，，22102402200n AC x y x z n AD ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩． 取1y =则22x z ==，，即()2212n =，，，则此时两个法向量同时远离平面，因此二面角的平面角θ与法向量的夹角β互补． 而121222cos 133n n n n β⋅===⋅⋅，所以2πarccos 3θ=-． 3．如图8-60所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2AB =，E 是PB 的中点．DP 与AE ．（1）建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标．（2）在平面PAD 内是否存在一点F ，使EF ⊥平面PCB ？图 860解：（1）以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设()002P m ，，．则()200A ，，，()220B ，，，()020C ，，，()11E m ，，． 从而()()11002AE m DP m =-=，，，，，．2cos 2DP AE DP AE DP AEm ⋅==，1m =． 所以E 点的坐标为()111，，． （2）由于点F 在平面PAD 内，故可设()0F x z ，，，由EF ⊥平面PCB 得： 0EF CB ⋅=且0EF PC ⋅=，即()()11120001x z x ---⋅=⇒=，，，，； ()()11102200x z z ---⋅-=⇒=，，，，．所以点F 的坐标为()100，，，即点F 是DA 的中点时，可使EF ⊥平面PCB ． 8.7 空间向量在度量问题中的应用能力提高1．如图8-67，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=︒，14AD =，点P 是1AD 上的动点．D 1C 1B 1A 1PDCBA 图 867（1）试判断不论点P 在1AD 上的任何位置，是否都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ？并证明你的结论．（2）当P 为1AD 的中点时，求异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值． （3）求1PB 与平面11AA D 所成角的正切值的最大值．解：（1）由于11A B ⊥平面11AA D ，则都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ． （2）建立空间坐标系解题，异面直线1AA 与1B P（3）11A PB ∠为1PB 与平面11AA D 所成角．所以1PB 与平面11AA D所成角的正切值的最大值为．2．如图8-68．正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE △是等腰直角三角形，45AB AE FA FE AEF ==∠=︒，，．FE图 868（1）求证：EF ⊥平面BCE ．（2）设线段CD ，AE 的中点分别为P ，M ．求证：PM ∥平面BCE ． （3）求二面角F BD A --大小的余弦值．解：因ABE △等腰直角三角形，AB AE -，所以AE AB ⊥． 又因为平面ABEF 平面ABCE AB =，所以AE ⊥平面ABCD ．所以AE AD ⊥即AD 、AB 、AE 两两垂直；如图建立空间直角坐标系，（1）设1AB =，则1AE =，()010B ，，，()100D ，，，()001E ，，，()110C ，，． 由于45FA FE AEF =∠=︒，，则90AFE ∠=︒，从而11022F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，11022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，()011BE =-，，，()100BC =，，．于是1100022EF BE EF BC ⋅=+-=⋅=，，则EF BE EF BC ，⊥⊥． 由于BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =，则EF ⊥平面BCE ．（2）11001022M P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，从而11122PM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，于是1111111000222244PM EF ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，．则PM EF ⊥，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥平面BCE ．（3）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设()1n x y z =，，，()110BD =-，，，31022BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，1100n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即031022x y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩． 取1y =，则13x z ==，，从而()1113n =，，． 取平面ABD 的一个法向量为()2001n =，，，121212cos 1111n n n n n n ⋅===⋅、， 3．如图8-69，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱的长度都是2，M 是BC 边的中点，问：在侧棱1CC 上是否存在点N ，使得异面直线1AB 和MN 所成的角等于45︒？C 1B 1A 1M NCBA图 869解：以A 点为原点，建立如题3解析图所示的空间右手直角坐标系A xyz-． 因为所有棱长都等于2，所以()000A ，，，()020C ，，，)10B，，)112B ，，302M ⎫⎪⎪⎝⎭，，．点N 在侧棱1CC 上， 可设()()0202N m m ，，≤≤，则()1313122AB MN m ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，于是122AB =，MN m =，121AB MN m ⋅=-．如果异面直线1AB 和MN 所成的角等于45︒，那么向量1AB 和MN 的夹角是45︒或135︒，而11cos 2AB MN AB MNAB MN⋅==⋅，所=． 解得34m =-，这与02m ≤≤矛盾．即在侧棱1CC 上不存在点N ，使得异面直线1AB 和MN所成的角等于45︒．题3解析图4．如图8-70，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC PA AC a PB PD ∠=︒====，，，点E 在PD 上，且21PE ED =∶∶．HG PE DCA图 870（1）证明PA ⊥平面ABCD ．（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论． 解：（1）证明：因为底面ABCD 是菱形．60ABC ∠=︒，所以AB AD AC a ===，在PAB △中，由22222PA AB a PB +==，知PA AB ⊥．同理，PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ． （2）作EG PA ∥交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ．知EG ⊥平面ABCD ．作GH AC ⊥于H ，连接EH ，则EH AC ⊥，EHG ∠即为二面角θ的平面角．又21PE ED =∶∶，所以13EG a =，23AG a =，sin 60GH AG =︒=．从而tan 30EG GH θθ===︒． （3）以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴．建立空间直角坐标系如题4解析图．由题设条件，相关各点的坐标分别为()100002A B a ⎫-⎪⎪⎝⎭，，，，，，102C a ⎫⎪⎪⎝⎭，，，()00D a ，，，()2100033P a E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，．所以21033AE a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，3102AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，()00AP a =，，，312PC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，12BP a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，．设点F 是棱PC 上的点，312PF PC a a λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，，，01λ<<，则 1122BF BP PF a a a a λλλ⎛⎫⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，， ()()()11112a a λλλ⎫=-+-⎪⎪⎝⎭，，． 令12BF AC AE λλ=+得()()()112211121223113a a a a a λλλλλλλ-=⎪⎪+=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，，．22113λλλλλλλ⎧⎪-⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩１１１＝，４１＋＝＋３．， 解得12113222λλλ==-=，，．即12λ=时，1322BF AC AE =-+． 亦即，F 是PC 的中点时，BE 、AC 、AE 共面．又BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BC ∥平面AEC ．题4解析图5．如图8-71，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD 1BD CD ==，另一个侧面是正三角形．DCBA图 871（1）求证：AD BC ⊥．（2）求二面角B AC D --的大小．（3）在直线AC 上是否存在一点E ．使ED 与面BCD 成30︒角？若存在确定E 的位置；若不存在，说明理由． 解：（1）作AH ⊥面BCD 于H ，连BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且1AH =．以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系如题5解析图， 则()()100010B C ，，，，，，()111A ，，．()()110111BC DA =-=，，，，，， 则0BC DA ⋅=，则BC AD ⊥．H题5解析图（2）设平面ABC 的法向量为()1n x y z =，，， 则由1n BC ⊥知：10n BC x y ⋅=-+=；同理由1n CA ⊥知：10n CA x z ⋅=+=．可取()1111n =-，，． 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为()2101n =-，，． 由图可以看出，三面角B AC D --的大小应等于12n n ，．则121212cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，即所求二面角的大小是 （3）设()E x y z ，，是线段AC 上一点，则0x z =>，1y =，平面BCD 的一个法向量为()001n =，，，()1DE x x =，，，要使ED 与面BCD 成30︒角，由图可知DE 与n 的夹角为60︒． 所以1cos21DE nDE n DE n ⋅==︒=⋅+，．则2x =，解得x =，则1CE ==．故线段AC 上存在E 点，且1CE =时，ED 与面BCD 成30︒角．。