圆的对称性1资料精选课件PPT

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对
的两条弧.
A
条件
结论
∟└
c′
.●O D′
直径
直径垂直于弦
C
P
D
平分弦
平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
B
∵AB是直径, AB⊥CD
符号语言：
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∴PC=PD
⌒BC=⌒BDA⌒C=⌒A
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在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆弧
垂径定理可以是直径，半径或是过圆心的直线或线段，其本质的 过圆心
B
直m(径如将弧圆A⌒分BC成).两部分,每一部分都叫做半圆
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
D
C
两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作
A⌒mB
(用三个字母).
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预习反馈 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对 称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
B
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垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
B ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
① CD是直径
D
③ AM=BM
垂径定理的推论
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ OA 11052，OM＝4， 2
A M O2A O2M 3
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∴AB＝2AM＝6(cm)．
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题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
10 8C 8
D
2.如图，设CD=a, OC=r,O1Pa=2d,则d2 有r2
2 d r PB
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A
.O
└
C
P
D
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推论
平分弦（不是直径）的直径
M
垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧。
A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
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D O
B N
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垂径定理的所有推论
• 如图,在下列五个条件中:
①④A⌒CCD=B是⌒C直, 径, ②⑤A⌒CDD=B⊥⌒DA. B, ③ AM=BM,
C
O
A
E
B
D
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小试牛刀
如图,⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M， 添加一个条件：____________，就可得到点M是 AB的中点.
D
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O
A
M
B
C
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在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆弧
E
E
A
CE
O
2021/3/2B
⑸
E
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判断：
(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦
3.1 圆对称性(1) 垂径定理
zxxk
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1
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赵州桥视频.flv
2
这座桥建于隋开皇大业年间，由一名普通 的石匠李春所建，距今已有1400多年的历史 。在漫长的岁月中，虽然经历过无数次洪水 冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和八次地 震的考验，却仍然安然无恙、巍然挺立在洨 河上。
(6)长度相等的两条弧是等弧.
弧长 HG = 3.84 cm
H
弧长 FE = 3.84 cm G
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E
F
A
C 9
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成为轴对称图形?
C
C
.O
A E B D
AE≠BE
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由勾股定理得:
C
88
O C O B 2 B C 2 1 0 2 8 2 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
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变式1：如图所示，直径为10cm的 圆中，圆心到弦AB的距离4cm． 求弦AB的长．学科网
解：连结OA． ∵OM⊥AB， ∴ AM1AB
对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到
弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主
2桥021/3拱/2 的半径吗？
5
读一读
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
驶向胜 利的彼
岸
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒, B读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径(如直AC).
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结 论.(知C 二推三)
A M└
B
●O
D
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C
总结：垂径定理及逆定理 A M└ B
●O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的D两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧.
所对的两条弧.
( )
(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )
A
A
•o
CE
D
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B (3)
C E •o
D
B (4)
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例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
.O
A
E
B
D
AE＝BE
10
议一议
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴 说说你的想法和理由.
C
A M└
B 题设
●O
D 由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
为什么?
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结论
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
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• 连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
●O
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预习反馈 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是每一条直径所在的直线,它有无数
条对称轴.
经过圆心的
每一条直线都是
它的对称轴。
●O
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练习1.判断题
(1)直径是弦 .
(2)过圆心的线段是直径（. ）
(3)半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧.
(5)面积不等的两圆不是等圆.
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
B
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
来自百度文库
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴A当 合⌒C圆, =⌒AB沿⌒CC和着, AB⌒⌒直DC重=径B⌒合CD,.D⌒ A对D和折B⌒时D重,点合A. 与点B
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记一记
垂径定理
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这种设计，在建桥史上是一个创举，既减轻了流水
对桥身的冲击力，使桥不容易被大水冲毁，又减轻
了桥身的重量，节省了石料。直到19世纪中叶，才
在欧洲国家出现，比赵州桥晚1200多年。赵州桥表
现了劳动人民的智慧和才干，是我国宝贵的历史遗
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赵州桥主桥拱的半径是多少？
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所