实数_课件1

所以
分别是
的相反数；
所以 5－1＞1. 一个正实数的绝对值是它本身；
一个正实数的绝对值是它本身；
的数大”，我们可以利用数形结合思想比较实数的大
(1)分别写出
，
的相反数；
5－1 3．计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号，
所以 ＞0.5. 所以
分别是
的相反数；
2 A．－π
B．－3
【中考·泰安】下列四个数：－3，－ ，－π，－1，其中最小的数是（ ）
算性质同样适用.
(2)指出 A．相反数
B．倒数
用“＜”连接下列各数：－ ， ，－2
， 5，，0. 1 3 3 分别是什么数的相反数；
【中考·泰安】下列四个数：－3，－ ，－π，－1，其中最小的数是（ ）
(3)求 6 4 的绝对值； 中，无理数可选取近似值转化为有理数计算，中间结
用“＜”连接下列各数：－ ， ，3 －2 ，，0.
3 3
D. 3和－ 3
13．(中考·凉山州) 有一个数值转换器，原理如图：
当输入的 x 为 64 时，输出的 y 等于( A ) A. 8 B. 18 C. 12 D．8
14．(2020·枣庄) 实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下 列判断正确的是( D )
A．|a|＜1 C．a＋b＞0
8．(2020·菏泽)下列各数中，绝对值最小的数是( B )
A．－5
B.
1 2
C．－1
D. 2
9．(2020·盐城) 实数 a，b 在数轴上表示的位置如图所示，则( C )
A．a＞0 C．a＜b
B．a＞b D．|a|＜|b|
10．实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为 0)及乘方 运算，而且__正__数__和__0____还可以进行开平方运算， __任__意__一__个__实__数____都可以进行开立方运算．

考点 4 乘方、开方
1.正数的任何次幂是__正__数_；负数的偶次幂是__正_数_，负数的奇次幂是_负__数_；0的任何 正数次幂是_0___。 2. 实数a(a≥0)的平方根是_____ ，算数平方根是_____；实数a的立方根是_____。
第8页
第9页
第10页
第11页
第12页
第13页
(1)实数 0 （既不是正数，也不是负数）
返回思维导图
负数（＜0）
(2)正负数的意义
正负数可以用于表示相反意义的量．如：规定“盈(＋)”则“亏(－)”，“胜(＋)”则“负 (－)”，“收入(＋)”则“支出(－)”，“零上(＋)”则“零下(－)”，“上升(＋)”则“下降(－ )”等．
考点 2
1. 数轴 (1)三要素：
3．绝对值 a（a＞0）
(1)|a|＝ 0（a＝0） －a （a＜0）
返回思维导图
(2)几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的距离， 离原点越远的数的绝对值越
____大____．
4((12. ))倒实非数数零实a、数b互a的为倒倒数数是⇔__a_b_＝1_______．_1_特_．别注意：0没有倒数，倒数是它本身的数是
数轴、相反数、绝对值、倒数
返回思维导图
(2)实数与数轴上的点是一 一对应的． 2. 相反数 (1)非零实数a的相反数为___－__a___，特别地，0的相反数为0； (2)实数a，b互为相反数⇔a＋b＝____0____； (3)几何意义：互为相反数的两个数分别位于数轴上原点的两侧，且到原点的距离 ___相__等___；
第1课时 实 数的有关概念
按定义分 实数的分类
按大小分
科学记数法
数轴 相反数 绝对值

2019/2/23
9
教学过程
单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级
Teaching Process
无理数的诞生
2、探究新知
2019/2/23
10
教学过程
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Teaching Process
Teaching Process
2、探究新知
2019/2/23
13
教学过程
单击此处编辑母版标题样式
Teaching Process
2、探究新知
有理数
初中阶段对数的认识范围扩充为 单击此处编辑母版文本样式 第二级 新加入 第三级 第四级 第五级
实数
无理数
有理数和无理数统称实数
思考:实数如何分类？
2019/2/23 14
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单击此处编辑母版标 实 题样式 数（第1课时）
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2019/2/23
1
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2019/2/23
2
教学过程
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3、运用新知
2单击此处编辑母版文本样式 下列这些数找不到位置，请你帮它找一找
第二级 第三级 第四级 第五级
2019/2/23
有理数集合
无理数集合
17

数的形式，无理数都不能写成整式或分数的形式.
2019/8/26
7
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1.下列说法中正确的是
• 单击此处编辑母版文本样式
A.不• 存第在二最级小是实数
• 第三级
B.有理数、• 是第四•有级第限五级小数
C.无限小数都是无理数
D.带根号的数都是无理数
（A）
2019/8/26
8
单击此处编母版标题样式
2019/8/26
5
单击此处编母版标题样式
例 判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
• 单击6此, 处编辑, 母版1.2文3,本样式22 , 36
• 第二级 2
7
• 第三级
解：有理数• ：第四1级.2

3,
22
,

36.
7 • 第五级
无理数： 6, .
2
判断一个数是不是无理数，就看这个数是否含π、含开 不尽方的数、含有规律但不循环的数即可.
2.把下列各数分别填入相应的集合内：
, 1
• 单3•23第0 ,•二第级三级
4, 9
0,
5,
3 8,
• 第四级
0.37377377•7第3五级 （相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
1 , 5 , 42
3 8,
4 ,
• 单π 击3此.1处41编5辑92母6版5文...本样式
• 第二级 无理数•的第概三念级
• 第四级
我们把这种无•限第且五级不循环的小数叫做无理数.
不循环的无限小数都是无理数.
无理数的常见形式
（1）含π的一些数； （2）开不尽方的数； （3）有规律但不循环的数，如1.010 010 001 000 01…

6.3 实数
Z
L
lb
神奇的π
阿基米德（古希腊）
神奇的π
祖冲之 (南北朝)
刘徽 （魏晋时期）
至2002年底，科学家们用超级计算机已把 的值算到小数点后12411亿位. zxxk
π----无限不循环的数字，无限不循环的 神秘，无限不循环的樂趣，无限不循环 的享受。
很早很早以前,人们就看出,圆的周长 和直经的比是个与圆的大小无关的常 数,并称之为圆周率.
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/202021/7/202021/7/207/20/2021
16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/202021/7/20July 20, 2021
继续探索：
因为
π=3.1415926535897932384626…
, , 2 1
所以像
2
即π的某种形式
的数都是什么数？
常见的一类无理数是：
2. 圆周率π及一些含有π的数
例如： , , 2 1
2
那这种形式的数呢？你们认识他们吗？
1. 0.101001000… (两个“1”之间依次多一个0), 2. 7.2121121112… (两个“2”之间依次多一个1) 3. 5.123112233111222333-----（依次多个123）
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/202021/7/202021/7/202021/7/20
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

无理数
7
2
5

整数
0、-2
正整数
0.373373337……
4
练习：求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1) 7 的相反数是 7 ； 倒数是 绝对值是 7 。
(2)
(3)
3
7 7 ；
1 - 8 的相反数是 2 ； 倒数是 2 ；
绝对值是 2 .
绝对值是
1 49 的相反数是 -7 ； 倒数是 7 ；
随堂练习
练习
0.23、
..
将下列各数放入图中适当的位置：
5
、
-0.101001000100001、 0、-2、

、 0.373373337… (它的位数无限且相邻的两个
3之间7的个数依次加1)
22 2 、 4、 3.14、 7
有理数
-0.101001000100001、 .. 22 3.14、 0.23
）
例题讲解
议一议
B
1 -1
0
A 1 2 2
如图:OA=OB,数轴上A点对应的数是什么?
在数轴上作出 5 的对应点.
2 1
-1
0
1
2 5 3 一个实数a
-2 -1 0 1A 2 如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴 被填满了吗?
实数与数轴上的点的对应关系：
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实 数和数轴上的点是一一对应的。

无理数是： 6 , , 2
结论：
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
（1）开不尽方的数是无理数；
（2）圆周率 及一些含有 的数都是无理数； （3）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。

2.2 平方根
第二章 实数
第1课时
1 课堂讲解 算术平方根的定义
求算术平方根 算术平方根的非负性
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
(1)根据图填空： x2=___2____, y2=___x_2+_1__, z2=___y_2+_1__, w2=__z_2_+_1 __,
(2)x,y,z,w中哪些是有理数?哪些是无理数?你能 表示它们吗?
A. 若x确定，则a的值是唯一的
B. 若a确定，则x的值是唯一的
C. a是x的平方
D. x是a的平方根
2 (中考·黄冈)9的平方根是( A )
A．±3
B．±1 3
C．3
D．－3
（来自《典中点》）
知识点 2 平方根的性质
议一议 （1）一个正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？
知2－讲
知识点 1 算术平方根的定义
知1－讲
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平根． 规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 a ,
读作 “根号a”．
（来自《点拨》）
例1 下列说法中,正确的是( A ) A．3是9的算术平方根 B．-2是4的算术平方根 C. (-2)2的算术平方根是-2 D．-9的算术平方根是3
注意：求 81 的值实质就是求81的算术平方根，求 81 的算术平方根实质是求9的算术平方根．
（来自《点拨》）
知2－练
1
1 的算术平方根的相反数和倒数分别
25 是
___1__和__5_．
5
2 (中考·日照) 4 的算术平方根是( C )

6,

••
, 1. 2 3,
22 , 36
2
7
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
有理数是：1.
•
2
•
3
22
,7
36
无理数是： 6
,,

2
1.232232223 ,(两个3之间依次多一个 2)
思考：无理数一般有哪些形式?
（1）像 7, 3, 12 的开不尽方的数是无理数。
020
002
000
02…是无
理数吗？
1.57079632679...
2
它们都是无限 不循环小数，
2.02002000200002…
是无理数
常见的一些无理数：
(1)含 π 的一些数；
(2)含开不尽方的数； (3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
人教版七年级数学 下册
6.3 实 数 第1课时 实数的概念
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进 行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用 数轴上的点 表示无理数.（难点）
认真阅读课本中6.3 实数的 内容，完成下面练习并体验知 识点的形成过程。
• 这个矛盾说明， 2 不能写成分数的形式， 即 2 不是有理数。
• 实际上， 2 是无限不循环小数。
实数的概念：
在前面的学习中,我们知道,许多数的平方根和 立方根都是无限不循环小数,它们不能化成分数.我 们给无限不循环小数起个名字，叫“无理数”.有理 数和无理数统称为实数.
思考：

14.3 实数第1课时
第十四章 实数
学习目标
1.认识数的扩充的必要性.2.认识无理数的本质特征，知道无理数的不同形式.3.能将实数按要求进行分类.
学习重难点
理解无理数的本质特征.
难点
重点
能将实数按要求进行分类.
复习回顾
在七年级，我们学习了有理数，如何给有理数分类呢？
有理数
整数
分数
实数
有理数
无理数
实数
正实数
负实数
0
随堂练习
1.下面各正方形的边长不是有理数的是（ ）．（A）面积为25的正方形 （B）面积为36的正方形 （C）面积为27的正方形 （D）面积为1.44的正方形
2.下列各数中，是无理数的为（ ）A. 3.14 B. C. 0.305305530555… D.0.44444…
3
归纳小结
实数
有理数：整数和分数无理数：来自限不循环小数同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
如图（1）所示，在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC，然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图（2）所示的正方形1.这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等？面积是多少？2.如果设正方形的边长为x cm，那么x与这个正方形的面积有怎样的关系？
还有其他分类方法吗？
新知探究
思考
（1）整数是有理数，任意一个整数可以写成小数的形式吗？（2）分数是有理数，分数可以化成什么小数形式？
可以，如：-10=-10.0，-1=-1.0，0=0.0，50=50.0
分数总能化成有限小数或无限循环小数的形式.
有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式.

三.知识要点
x 5.非负数：正实数与零的统称 （表示为： ≥ 0 ） 非负数：正实数与零的统称.（表示为： 非负数
a 2 (a 为一切实数 常见的非负数形式有： ① 常见的非负数形式有： a (a 为一切实数 a (a ≥ 0 )
) )
性质：若干个非负数的和为0， ② 性质 ： 若干个非负数的和为 ， 则所有非负数均为 0.
三.知识要点
11.实数的运算法则： 实数的运算法则： 实数的运算法则
①加法运算法则： 加法运算法则： A.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 同号两数相加， 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加； B.异号两数相加， 绝对值相等的和为 ； 绝对值不等 ， 取绝对 异号两数相加， 异号两数相加 绝对值相等的和为0；绝对值不等， 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. ②减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 即 a − b = a + (− b ) ； 乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负， ③乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对 值相乘. 值相乘 除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负， ④除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对 值相除;0除以任何一个非 除以任何一个非0数 都得0. 值相除 除以任何一个非 数，都得 除以一个数，等于乘以这个数的倒数. 除以一个数，等于乘以这个数的倒数 1 即 a ÷ b = a ⋅ (b ≠ 0 ) ； b
三.知识要点 12.实数的运算法则： 实数的运算法则： 实数的运算法则
⑤乘方运算性质： 乘方运算性质： A.正数的任何次幂都是正数 ； 负数的偶次幂是正数 ； 正数的任何次幂都是正数； 正数的任何次幂都是正数 负数的偶次幂是正数； 负数的奇次幂是负数； 负数的奇次幂是负数； B.任何数的偶次幂都是非负数； 任何数的偶次幂都是非负数； 任何数的偶次幂都是非负数 C.1 的任何次幂都是 ；0 的任何次幂都是 ；－ 的 的任何次幂都是1； 的任何次幂都是0；－ ；－1的 偶次幂是1；－ 的奇次幂是－ ；－1的奇次幂是 偶次幂是 ；－ 的奇次幂是－1. 开方运算： 主要针对开平方运算 主要针对开平方运算) ⑥开方运算：(主要针对开平方运算

1 1 (b a ). n 2
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k 1 设 k 是满足 k a 的最大的正整数， 即 n a. n k 1 k 2 k 1 k 2 于是, a b, 则 , 是 n n n n
k 1 π a 与 b 之间的有理数, 而 是 a 与 b 之间 n 4n 的无理数.
前页 后页 返回
m 一般, 若x , 则 x a0 .a1a2 ak a k 1 a k p , n 其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 ak a k 1 a k p ,
p ak j ai 1 则 x a0 i p Q. k j p 10 1 j 1 10 i 1 10 k
§1 实数
数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质.
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一、实数的十进制小数表示 二、实数的大小 三、实数的四则运算 四、实数的阿基米德性 五、实数的稠密性 六、实数与数轴上的点一一对应 七、实数的绝对值与三角形不等式
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记号与术语
a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1 . x , y R , 规定 x y x y .
x R + , y R , 规定 y 0 x .
前页 后页 返回
实数的大小关系有以下性质:
(1) x y , x y , x y .
前页 后页 返回
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
则 x y an bn , n 0, 1, 2, . 用无限小数表示实数，称为正规表示. m 3. Q { x | x , 其中 m , n Z, n 0} 表示有理数集. n x Q, x 可用循环十进制小数表示， 1 42857 . 如 0 .1 7

九年级数学上册人教版
第十四章 实 数
14.3 实 数
第1课时 实数的定义
1 2
CONTENTS
1
试一试： 如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1. 从这些纵横相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作 为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同 的格点正方形？
问题2 2 是怎样的数呢？
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，
2 不是一个有理数. 我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数
的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如：
1 0.25, 2 0.6 0.666666666
4
3
1 0.142857 0.142857142857142857 7
2.以下各正方形的边长不是有理数的是( C ) A．面积为25的正方形 B．面积为16的正方形 C．面积为8的正方形 D．面积为1.44的正方形
3.把下列各数填入相应的大括号内：
－7，0.32，1 ，3.14，0， 8 ， 1 ，0.101 001 000 1…
3
2
(相邻两个1之间0的个数逐次加1)， 3 9
， 0.101 001 000 1…(相邻两个1
之间0的个数逐次加1)，3 9 ，…}；
实数：{－7，0.32，1
. ，3.14，0 ，
8 ，1
，0.101 001 000 1…(相邻两个
3
2
1之间0的个数逐次加1)，3 9 ，－ ，…}． 2
CONTENTS
4
无理数 无限不循环的小数叫做无理数.
0.1010010001 （每两个1之间依次增加一个0）

无理数集合
问题导学：
你能把下（列各2）数0分属别于填正入数相吗应的？集0属合于内吗负？数吗？
3
2,
4, 9
140实,,数（可703.,3以）73分实,77为数352正还7,7实可732数以,、怎（的20样307相、的,进邻个负两行数个实5逐分3,之次数类间加31呢）8,？
3
1
2, 4
,7,
,
2, 20 ,
合作探究：
请各小组研究如何在数轴上画出表示 5 的点， 并在练习本上画出。
巩固练习：
1、判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数. 2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
（1） 7（; 2）3 8；（3） 49
课堂小结：
谈谈你这节课的 收获吧！
2.6实数（1）
温故互查：（二人小组完成）
1.（1） 整数和分数 统称有理数; （2）有理数分为 有限小数
和 无限循环小数; （3）有理数包括 正有理数 ﹑
零﹑ 负有理数. (4)无___限__不__循__环__小___数___叫做无理数;
温故互查：（二人小组完成）
有理数的分类方法:
整数 1、有理数
3 4
3
的相反数是__4____.
0的相反数是__0___. 2) 5的绝对值是 5 ， 43的绝对值是___43___.
0的绝对值是___0__.
3) 5的倒数是
1 5
，
3 4
的倒数是____34__.
0有倒数吗?
（B）在有理数中，有理数a的的相反数、绝
对值是什么？不为0的数a的倒数是什么？
a的相反数是 -a

（来自《点拨》）
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
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教案
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二次： 根式的定义
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二次.1p根pt 式的性质