第二章线性时不变系统

第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2

0
t
y(t)
d2Tt1T2
y(t)t2 T Td2T2 21(tT)2
tT
2
y(t) 0
1T2
2
t
0
T
2T
3T
例题：
f t 10u t etu t
u
t
t
0
f1
t
f2
d
10u t t e d 0
10 1 et u t
信号与系统
例： 计算 e 1 t u t * e 2 t u t
etut*ut 1ut 1
1[e(t1) 1]u(t 1) 1[e(t1) 1]u(t 1)
信号与系统
举例
❖ 已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激
励信号分别为：e2tut ，ut 1ut2，则系
统的零状态响应为？
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。
运算过程： 将一个信号 x 不( k )动，另一个信号经反转后成
为h(k) ,再随参变量 n移位。在每个 值n 的情况
下，将 x ( k ) 与 h(nk) 对应点相乘，再把乘积的
各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n ) 。
otherwise
x(k )
1
0
4
h(nk)nk
k
n6
0
k
n
① n 0 时， y(n)0
n
n
② 0n4 时， y(n) nk n k
k0
k0
n
1(n1) 11
1n1 1
③
4n6 时，
y(n)
4
nk
k0
n

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2

r ' J 0 (r ' )dr'

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)

基本内容： 基本内容： （1） 系统的定义及表示 ） （2） ） 系统的基本性质 （3） ） 线性时不变系统的时域描述 （4） ） 零输入响应和零状态响应 （5） ） 单位冲激响应
重点难点： 重点难点： 零状态响应的求解方法 响应的求解方法； （1） ） 零状态响应的求解方法； 冲激响应的求解方法； （2） ） 冲激响应的求解方法；
4.稳定性 稳定性
有界输入产生有界输出，则这个系统就 是稳定系统。 所谓有界，即输入或输出的最大幅值是 一个有限值。 例系统 y[n]=nx[n] 就是一个不稳定系统， 因为，当输入 x[n] 是有界时，系统的输 出却有界，它将随着 n 值的增加而增加， 直至无穷。
三、线性时不变系统的时域描述
线性时不变系统也简称为LTI系统，其 系统， 线性时不变系统也简称为 系统 分析方法建立在信号分解的基础之上。 分析方法建立在信号分解的基础之上。 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。 的组合。 连续时间LTI系统用微分方程描述； 系统用微分方程描述； 连续时间 系统用微分方程描述 离散时间LTI系统用差分方程描述。 系统用差分方程描述。 离散时间 系统用差分方程描述
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。

1 例2： x[n] (n) 0
n h( n) h[n] 0
0n4 otherwise
1, 0 n 6
otherwise
x[k ]
1
h[n k ]
k
n k
k
n6
0
0
4
n
① n 0 时，
yy(n]) 0 [n
n n
y[n] nk n k ② 0 n 4 时， y ( n) k 0 k 0
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具
有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析
的理论与方法奠定了基础。 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基 本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对 基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性， 将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对 基本信号的响应的线性组合。
号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的
线性组合。
至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：
u(t ) ( )d (t )d
0
t

对一般信号 x(t ) ，可以将其分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 近似表示 。当 时，有: x (t ) x(t ) 0
非线性、时不变
y(t ) t 2 x(t 1) 线性、时变
y[t ]
n n0
k n n0
x[k ]
2
线性、时不变 非线性、时不变 线性、时不变
y[n] x [n 2]
y[n] x[n 1] x[n 1]
y[n] xo [n]
线性、时变
观察上述系统后，得到如下结论：

xn 2n u n
Ch2. Linear Time-Invariant Systems
hn un
Determine and plot the output y[n] x[n] h[n]
右移,
n>0，有重合
0 r
yn
1 2 k 令r k 2 k r 0 2
6
Ch2. Linear Time-Invariant Systems Convolution Sum
y[n]
k
x[k ]h[n k ]

——Convolution Sum
yn xn hn
x[n]
h[n]
yn xn hn

the unit impulse response h[n] can fully characterize a LTI system.
若：
x(n)：n1 n n2，
则y(n)： n1 n3 n n2 n4
例如：
x(n)： 0 n 3 h(n)： 0 n 4 y(n)： 0 n 7
4个元素 5个元素 8 个元素
16
Ch2. Linear Time-Invariant Systems 2.2 Continuous-Time LTI: Convolution Integral
x[k ]h[1 k ]
10

x[0]h[1] x[1]h[ 2] 6
y[1]

k
x[0]h[1] x[1]h[0] x[2]h[ 1] 10
Example 2.2
1 x[n] 2
Ch2. Linear Time-Invariant Systems

线性时不变系统
传递函数
• 在考虑扰动的情况下，系统的传递函数可以写成
y (t ) = G (q )u (t ) + H (q )e(t )
（2.12）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
稳定性
• 系统的传递函数如果满足以下条件
G (q ) =
∞ ∞
∑
k =1
线性时不变系统
传递函数
• 我们定义q算子
qu (t ) = u (t + 1)
• 同样
q −1u (t ) = u (t − 1)
（2.9）
（2.10）
• 那么（2.6）就可以写成
y (t ) =
∞ k =1
∑ g (k )u(t − k ) =∑ g (k )q
k =1
∞
−k
u (t )
（2.11）
y (t ) = G (q )u (t )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 如果系统是稳定的，随着k的增大，g(k)趋近于0， 则上式可以简化为
G (q ) = ∑ g (k )q − k
k =1
n
• 其中g(n+1)，g(n+2)，…接近于0，可以忽略不计
（2.3）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 将（2.3）带入（2.2）
y (kT ) = =
∫τ

y(t ) x( )h(t )d h( ) x(t )d
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution

利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1

（1）零输入响应 满足方程
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。