北京市东城区普通校高三数学3月联考试题 理 新人教A版(1)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x - 2)B. y = |x| + 1C. y = 1/xD. y = log2(x + 3)2. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[1, 2]上单调递增，则下列不等式中成立的是（）A. f(1) < f(2)B. f(2) < f(1)C. f(1) ≤ f(2)D. f(2) ≤ f(1)3. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a，b，c的关系是（）A. a > 0, b > 0, c > 0B. a < 0, b < 0, c < 0C. a > 0, b < 0, c > 0D. a < 0, b > 0, c < 04. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，公差d = 2，则S10等于（）A. 120B. 150C. 180D. 2105. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y = x + 1的对称点Q的坐标是（）A. (3, 2)B. (1, 4)C. (4, 1)D. (1, 3)6. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第5项an等于（）A. 32B. 16C. 8D. 47. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z - 1| = |z + 1|，则a，b的关系是（）A. a = bB. a = -bC. a + b = 0D. a - b = 08. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9. 若函数f(x) = log2(x - 1) + log2(3 - x)在区间(1, 3)上有最大值，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，公差d = 3，则第n项an等于（）A. 3n - 1B. 3n + 1C. 3n - 2D. 3n + 211. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = √(a^2 + b^2)，则下列命题正确的是（）A. z一定是实数B. z一定是纯虚数C. z一定是非纯实数D. z一定是非纯虚数12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像是（）A. 顶点在x轴上，开口向上B. 顶点在x轴上，开口向下C. 顶点在y轴上，开口向上D. 顶点在y轴上，开口向下二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为______。

？ 开始是否输出 结束第4题图正视图侧视图俯视图 正视图侧视图俯视图 正视图侧视图俯视图 正视图侧视图俯视图东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）2013.3一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出嘚四个选项中，只有一项是符合题目要求嘚．1．设集合2{40}A x x =->，1{2}4xB x =<，则AB =（ ）A ．{}2x x > B.{}2x x <- C. {}22或x x x <-> D. 12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭2．已知复数2(1)(2)z a a i =-+-(a R ∈),则“1a =”是“z 为纯虚数”嘚（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 3．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴嘚直线方程（ ）A ．3sin 2=ρθ B. 3cos 2=ρθ C. 3sin 2=ρθ D.3cos 2=ρθ 4．如果执行右面嘚程序框图，那么输出嘚t =（ ）A.96B. 120C.144D. 3005．已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 嘚最大值是最小值嘚4倍，则m 嘚值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．已知底面为正方形嘚四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥嘚三视图可能是下列各图中嘚（ ）[A ． B. C. D. 7．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n a n ，若{}n a 是递减数列，则实数a 嘚取值范围是( )A.()13，1B.()13，12 C. ()58，1D. ()13，58CA BOD 8．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++则下列结论正确嘚是（ ） A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点 B. ()f x 在(0,1)上恰有两个零点 C. ()f x 在(1,0)-上恰有一个零点 D. ()f x 在(1,0)-上恰有两个零点 二.填空题（每题5分,共6小题）9．已知随机变量X 嘚分布列如下，则EX 嘚值等于X 123P1213m10．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线3y x =无交点，则离心率e 嘚取值范围是 .11.如图，是圆O 嘚切线，切点为A ，D 点在圆内，DB 与圆相交于C ，若3BC DC ==，2=OD ，6AB =，则圆O 嘚半径为 .12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，若120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，则AD 嘚最小值是 .13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同嘚安排方法有________种．（用数字作答）14．已知直线:1(R)l y ax a a =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同嘚交点，且以这两个交点为端点嘚线段嘚长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 嘚“绝对曲线”．下面给出嘚三条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=．其中直线l 嘚“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项嘚序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.(本小题满分13分) 已知函数,2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 嘚值域；（2）若函数)(x f 嘚图象与直线1-=y 嘚两个相邻交点间嘚距离为2π，求函数)(x f 嘚单调增区间.16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生嘚成绩，并根据他们嘚成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．(1) 试估计这40名学生成绩嘚众数；(2) 试估计这40名学生嘚成绩在(]84 72,之间嘚人数；(3) 从参加活动嘚学生中任取5人，求这5人中恰有2人嘚成绩在(]09 80, 之间嘚概率．17. (本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、嘚中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR 嘚长；若不存在，请说明理由．0.0050.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 06065707580859095组距频率100分数F G PD CBA18. (本小题满分13分) 设ax x x x f 22131)(23++-= （1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 嘚取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上嘚最小值为316-，求)(x f 在该区 间上嘚最大值.19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点P 到点)1,0(F 嘚距离与点P 到x 轴嘚距离嘚差等于1． （1）求动点P 嘚轨迹C 嘚方程；（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直嘚直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求EB AD ⋅嘚最小值．20．(本小题满分14分) 已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ．(1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ； (3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列．东城区普通高中示范校高三综合练习(二) 高三数学（理）参考答案2013.3一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADBACDC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)题号9 10 11 12 13 14答案53(1,2]222250 ②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.已知函数2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=其中 R x ∈,0>ω. （1）求函数)(x f 嘚值域；（2）若函数)(x f 嘚图象与直线1-=y 嘚两个相邻交点间嘚距离为2π，求函数)(x f 嘚单调增区间.解：（1）)cos 1(21cos 23sin 21cos 23sin )(x x x x x x f ωωωωω+-⋅-⋅+⋅+⋅= =1)6sin(21cos sin 3--=--πωωωx x x …………………………………5分所以函数)(x f 嘚值域为[]1,3- …………………………………………………7分 （2）由2221πωπ=⋅ 得2=ω …………………………………………………9分 所以1)62sin(2)(--=πx x f由πππππk x k 226222+≤-≤+- ………………………………………11分得ππππk x k +≤≤+-36所以函数)(x f 嘚单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 3,6)(Z k ∈. ………13分16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生嘚成绩，并根据他们嘚成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩嘚众数；(2) 试估计这40名学生嘚成绩在(]84 72,之间嘚人数；(3) 从参加活动嘚学生中任取5人，求这5人中恰有2人嘚成绩在(]09 80, 之间嘚概率．解：(1) 77.5； ………………………………………3分 (2) 所求为：直线72=x 与直线84=x 之间嘚直方图嘚面积40⨯，因此，61940040040450503503.)...(=⨯⨯+⨯+⨯ ………………………7分 答：这40名学生嘚成绩在(]84 72,之间嘚有20人．（答19人也算对） ……………8分(3) 设这5人中恰有2人嘚成绩在(]09 80,之间为事件A ，因为 3.05)02.004.0(=⨯+ ……………………………………10分所以 308701071033225.)(=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=C A P ……………………………………12分 答：这5人中恰有2人嘚成绩在(]09 80,之间嘚概率为0．3087． ………13分17. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、嘚中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 若存在，求出AR 嘚长；若不存在，请说明理由．（1）证明： 底面ABCD 为矩形 CD AD ⊥∴ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ ,PD AD ⊥∴D PD CD = PDC AD 平面⊥∴0.0050.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 06065707580859095组距频率100分数F G PD CBAABCD PC 平面⊂ PC AD ⊥∴ …………………………………4分（2）证明：取H BP 中点，连接CH GH , 中点分别为DC AP F G ,, GH ∴=//AB 21,FC =//AB 21GH ∴=//FCGFCH 四边形∴是平行四边形，FG ∴//CH ，BCP CH 平面⊂，BCP FG 平面⊄FG ∴//BCP 平面 ……………………………………8分 (3) ABCD PD 平面⊥ ，以D 为坐标原点，以DP DC DA ,,所在嘚直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，假设在线段AD 上存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 设),,(00m R ，)3,0,0(),0,1,2(),0,1,0(P B C)0,0,2(=CB )3,1,2(-=PB )0,1,2(m RB -= )3,0,(m RP -= 设平面BCP 嘚法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n PB n CB ， ⎩⎨⎧=-+=032021111z y x x ， 令 31=y ),,(1301=n设平面BPR 嘚法向量为),,(2222z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n RP n RB ⎩⎨⎧=+-=+-030)2(2222z mx y x m 令12=x ),,(3212m m n -= 021=⋅n n 0323=+-∴m m )( ，解得 23=m ∴线段AD 上存在点R ，且当21=AR 时，使得平面⊥BPR 平面PCB . ……………13分 18.设ax x x x f 22131)(23++-= （1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 嘚取值范围；H F G PD CBAzyxF GPD CBA（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上嘚最小值为316-，求)(x f 在该区间上嘚最大值.解答 （1）a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-= ……………………………2分 )(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间∴存在),32(+∞嘚子区间),(n m ，使得),(n m x ∈时0>)('x f)('x f 在),(+∞32上单调递减032>∴)('f ，即0292)32('>+=a f 解得91->a∴当91->a 时，)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间 ………………………………6分（2）令0=)('x f 20<<a∴28111a x +-=；28112ax ++=∴)(x f 在),(),,(+∞-∞21x x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增20<<a 4121<<<∴x x∴)(x f 在),(21x 上单调递增，在),(42x 上单调递减 …………………………………8分所以)(x f 嘚最大值为)(2x f0622714<+-=-a f f )()( ，31634084-=-=∴a f )( ………………………10分 解得212==x a , 310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为 ……………………13分19．已知平面内一动点P 到点)1,0(F 嘚距离与点P 到x 轴嘚距离嘚差等于1． （I ）求动点P 嘚轨迹C 嘚方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直嘚直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB •嘚最小值． 解析：（1）设动点P 嘚坐标为(,)x y ，由题意得1)1(22=--+y y x ……………2分化简得y y x 222+=当0≥y 时y x 42=；当0<y 时0=x所以动点P 嘚轨迹C 嘚方程为y x 42=和0=x （0<y ） ………………………5分（2）由题意知，直线1l 嘚斜率存在且不为0，设为k ，则1l 嘚方程为 1+=kx y ．由 044x 4122=-⎩⎨⎧-=+=kx y x kx y 得设1122(,),(,),A x y B x y 则4,42121-==+x x k x x ，1,2421221=+=+y y k y y …………………………7分因为12l l ⊥，所以2l 嘚斜率为1k-．设),(),,(4433y x E y x D ，则同理可得 4,44343-=-=+x x k x x ，1,2443243=+=+y y ky y …………………………8分)1)(1()1)(1()()(2143+++++=+=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=•y y y y FB AF EF FD FB AF EF FD FB FD FB AF EF FD EF AF FB EF FD AF EB AD1)(1)(21214343+++++++=y y y y y y y y …………………………………11分 16248)1(484482222=⨯+≥++=++=k k k k ……………………………13分 当且仅当221k k =即1k =±时，AD EB •取最小值16．…………………………14分20．已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ．(1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ； (3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列． 解：(1) 由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． …………………………………………4分(2) {}n a a a A ,,, 21=具有性质P ，所以n n a a +与n n a a -中至少有一个属于A由n a a a <<<≤ 210，有n n n a a a >+，故A a a n n ∉+A a a n n ∈-=∴0，故01=a n a a a a <<<<= 3210n k n a a a >+∴，故),,,(n k A a a k n 32=∉+由A 具有性质P 知，),,,(n k A a a k n 32=∈-又121a a a a a a a a n n n n n n -<-<<-<-- ，1a a a n n =-∴，21a a a n n =--，…，12-=-n n a a a ，n n a a a =-1从而n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++=-+-++-+-- 21121)()()()( 故n n na a a a =+++)( 212n n a n a a a 221=+++∴ ……………………8分 (3) 由(2)可知，),,,(n i a a a n i n i 211==+-+),,,(82189 ==+∴-i a a a i i …………………………①由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴638a a a =-∴077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =-即),,,(72178 ==+-i a a a i i …………………………②由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i),,,(821178 =-=-∴-i a a a a i i故821a a a ,,, 构成等差数列． …………………………………13分。

1高三数学（文科）学校： 班级： 姓名： 成绩：一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。

1.设集合{}1>=x x P ，{}02>-=x x x Q ，则下列结论中正确的是 A.Q P =B.R =⋃Q PC.Q P ⊆D.P Q ⊆2.若复数z 满足()i i i +=-2z （i 为虚数单位），则z 等于 A.i --1B.i -1C.i 31+-D.i 21-3.“1=m ”是“直线0=-y x 和直线0=+my x 互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱 柱的体积为 A.4B.29C.5D.2115.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，若C c B b A a sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定6.若定义域为R 的函数()x f 不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是 A.()()x f x f x -≠-∈∀,R B.()()x f x f x =-∈∀,RC.()()000,x f x f x =-∈∃RD.()()000,x f x f x -≠-∈∃R7.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤1,0,1x y x y 表示的平面区域为Ω，不等式组⎩⎨⎧≥+-≤0,1y x y 表示的平面区域为M .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域M 内的概率为2 A.21B.31C.41D.32 8.如图，矩形nn n n D C B A 的一边nn B A 在x 轴上，另外两个顶点nn D C ,在函数())0(1>+=x x x x f 的图象上.若点n B 的坐标为()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为na ，则=+++1032a a aA.208B.212C.216D.220二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

东城区普通校2013-2014学年第二学期联考试卷高三 理科综合参考答案 第一部分（选择题共120分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C D A C D A D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案CCBCBBCACA第二部分（非选择题共180分）21．（18分）（1）①2.190……1分； 7.868……1分； 1.893……1分； ②x L d ∆=22λ，……2分； 676……1分； （2）①8.00mm ……2分； ②0.15……2分； ③平衡小车受到的摩擦力……2分； ④平衡摩擦力时斜面夹角偏大……2分；砂和砂桶总质量不是远小于车的质量，或砂和砂桶总重力不等于车受到的拉力…2分； 将车上钩码取下来挂到小桶上……2分；22．（16分） （1）（6分）滑块从A 到B ，做匀减速直线运动，摩擦力f=μmg ……1分由牛顿第二定律可知，加速度大小mfa =……2分 由运动学公式ax v v A B 222-=-……2分 联立上式，解得7=B v m/s……1分（2）（4分）滑块冲到圆弧轨道最低点B 时 Rv m mg F N 2=- ……2分滑块对轨道的压力 F N ′=F N =20.7N ……1分方向竖直向下 ……1分（3）（6分）滑块离开C 点后做竖直上抛运动，由运动学公式gh v C 22= ……2分从B 到C 的过程中，克服摩擦力做功W 克f ，由动能定理22克2121BC f mv mv W mgR -=-- ……3分联立上式，解得W 克f =1.5J……1分其它方法正确均给分 23．（18分）（1）（6分）带正电…………2分离子在两金属板间做匀加速直线运动…………1分 离开电场进入磁场前做匀速直线运动…………1分 在磁场中做匀速圆周运动 …………1分离开磁场后做匀速直线运动，直到打在荧光屏上…………1分（2）（6分）离子在磁场中偏转90°，∴轨迹半径r=R =103cm…………1分由rmv Bqv 2=………2分；221mv Uq =………2分； 解得U =30V………1分。

北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学（理科）本试卷共150分，考试用长120分钟。

第一部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合(){}ln 1A x y x ==-,集合{}2B y y x ==,则A B = A.[)0,1 B. []0,1 C . (],1-∞ D.(),1-∞2. 函数2()log f x x =与11()()2x g x +=在同一直角坐标系中的图象是A B C D 3. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象A. 关于点(,0)4π对称B. 关于直线8x π=对称 C . 关于点(,0)8π对称D. 关于直线4x π=对称 4. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是A.3B.13C. 3-D. 13-5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为 A. 6>k B. 5>k C. 4>k D. 3>k6. 设a ∈R ，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为A.3y x =-B. 2y x =-C. 3y x =D. 2y x =7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A.71 B.61 C.51 D.418. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为m ；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有n 对，则m n ，的取值分别为 A. 15，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48第二部分二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

选出符合题目要求的一项填在机读卡上。

1. 已知集合{}30R <<∈=x x A ，{}4R 2≥∈=x x B ，则=B A I ( ) （A ）{}32<<x x （B ）{}32<≤x x （C ）{}322<≤-≤x x x 或 （D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28（B ）14（C ）3.5（D ）74. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8（B ）83 （C ）4（D ）437.与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是( )（A ） 22(1)(1)2x y +++= （B ）22(1)(1)4x y +++=（C ）22(1)(1)2x y -++= （D ）22(1)(1)4x y -++=8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023北京汇文中学高三3月月考数学一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，那么（ ）()(){|210}A x x x =∈+-<Z {}2,1B =--A B ⋃=A. B. {}2,1,0,1--{}2,1,0--C. D.{}2,1--{}1-【答案】B 【解析】【分析】求解一元二次不等式从而求解集合，再根据并集的定义求解. A A B ⋃【详解】由，得， ()(){|210}A x x x =∈+-<Z {}1,0A =-结合，可知. {}2,1B =--{}2,1,0A B =-- 故选：B . 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）0a b >>A. B.C. D.a b <11a b>1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ln a b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A 、B ，再根据指数函数的性质判断C ，根据对数函数的性质判断D ； 【详解】解：因为，所以，故A 错误；0a b >>0a b >>因为，所以，故B 错误；0a b >>11ab<因为，且在定义域上单调递减，所以，故C 错误；0a b >>12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，且在定义域上单调递增，所以，故D 正确；0a b >>ln y x =()0,∞+ln ln a b >故选：D3. 如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）．(2,0)a =(1,1)b =A. B. C. D.||a b |=|a b ⋅= ()a b b -⊥v v v a b【答案】C 【解析】【详解】由平面向量，知：(2,0)a = (1,1)b =在中，，A ||2a = ||b =r∴，故错误；||||a b ≠A 在中，，故错误；B 2a b ⋅=B 在中，，C (1,1)a b -=-∴，()110a b b -⋅=-=∴，故正确；()a b b -⊥C 在中，∵， D 2011≠∴与不平行，故错误．a bD 综上所述． 故选．C 4. 已知直线m ，n 和平面，如果，那么“m ⊥n”是“m ⊥”的（ ） αn ⊂ααA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】若，则，即必要性成立，m α⊥m n ⊥当时，不一定成立，必须垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立， m n ⊥m α⊥m α故“”是“”的必要不充分条件， m n ⊥m α⊥故选：．B 5. 在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 13a =1239a a a ++=456a a a ++A. 9 B. 72C. 9或70D. 9或72-【答案】D 【解析】【分析】利用等比数列的性质求出公比，即可求出的值. 456a a a ++【详解】由题意，，N n *∈在等比数列中，，， {}n a 13a =1239a a a ++=设公比为，q ，即，解得或，21119a a q a q ∴++=23339q q ++=2q =-1q =∴，()334561239a a a a a q a q ++=++=当时，， 1q =4569a a a ++=当时，.2q =45672a a a ++=-故选：D.6. 下列函数中,定义域为的奇函数是 R A. B. C. D.21y x =+tan y x =2x y =sin y x x =+【答案】D 【解析】【详解】定义域为R,所以舍去B,又为偶函数,为非奇非偶函数, 21y x =+y =2x 故选：D.7. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）2221(0)y x b b-=>(2,0)A. B.0x ±=0y ±=C. D.30x y ±=30x y ±=【答案】B 【解析】【分析】求出的值即得解. b【详解】解：由题得，21+4,b b =∴=所以双曲线的渐近线方程为. y x ==0y ±=故选：B8. 在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴，轴上移动．若该正四O xyz --P ABC A B x y 面体的棱长是，则的取值范围是( )． 2||OPA. B.C.D.1]-+[1,3]1,2]-1]【答案】A 【解析】【分析】固定正四面体的位置，原点在以为直径的球面上运动,由此根据球的性质可以-P ABC O AB 得到答案.【详解】如图所示，若固定正四面体的位置， -P ABC 则原点在以为直径的球面上运动， O AB 设的中点为， AB M则PM ==所以原点到点的最近距离等于减去球的半径， O P PM M 最大距离是加上球的半径， PM M，11OP -≤≤即的取值范围是． ||OP 1]-+故选:．A9. 如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么()sin (0)f x x x ωωω=+>的值为（ ）．()()()()1239f f f f ++++LA. 1B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出，再结合函数式计算作答. ()f x ω【详解】依题意，，函数的周期，而，则，π()2sin(3f x x ω=+()f x 4T =0ω>2ππ2T ω==，ππ()2sin(23f x x =+，， 5π11π(1)(3)2sin2sin 066f f +=+=4π7π(2)(4)2sin 2sin 033f f +=+=所以. ()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin 16f f f f f f f f f f ++++=++++===L 故选：A10. 如图，已知正方体的棱长为，、分别是棱、上的动点，设1111ABCD A B C D -1E F AD 11B C AE x =，.若棱与平面有公共点，则的取值范围是（ ）1B F y =1DD BEF x y +A. B.C.D.[]1,213,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1【答案】A 【解析】【分析】取特殊值和，进行验证，结合排除法可得出结论.1x y ==0x =1y =【详解】由题意，若，则棱与平面交于点，符合题意，此时； 1x y ==1DD BEF D 2x y +=若，，则棱与平面交于线段，符合题意，此时. 1x =0y =1DD BEF 1DD 1x y +=排除B 、C 、D 选项. 故选：A ．【点睛】本题考查线面位置关系，考查特殊值法的运用，属于中档题．二､填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11. 复数____． 1i1i+=-【答案】 i 【解析】【分析】利用复数的代数形式的四则运算法则求解．【详解】． ()()()21i 1i2i i 1i 1i 1i 11++===--++故答案为：．i 12. 在的展开式中，常数项是__________（用数字作答）． 261()x x-【答案】15 【解析】【分析】求出通项，令由此求得展开式中常数项． ()36161 rr r r T C x -+=-，3662r r -==，【详解】在的展开式中，通项 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2612316611 r r r rr r r r T C x x C x （），---+=-=-令 ．故展开式中常数项是 ， 3662r r -==，()2261 15 C -=，故答案为 15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 13. 若，则______ ;lg 2lg 21a -==a 【答案】40 【解析】 【分析】利用对数的运算公式，，直接求值即可.log log na a n M M =log log log ()a a a M N MN +=【详解】lg 2lg 21a -=Qlg 2lg 21lg 4lg10lg 40a ∴=+=+=40a ∴=故答案为：4014. 在中，角的对边分别为，若，，，则ABC ,,A B C ,,a b c 3c =π3C =sin 2sin B A ==a __________．【解析】【分析】由正弦定理得到，再由余弦定理求出的值. 2b a =a 【详解】由正弦定理得：，2b a =再有余弦定理得：，22222225591cos 22242a b c a c a C ab a a a +---====⨯⋅解得：. a =故答案为：15. 设函数其中.()3,log ,,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩0a >①若，则______；3a =()9f f =⎡⎤⎣⎦②若函数有两个零点，则的取值范围是______. ()2y f x =-a 【答案】 ①.②.[)4,9【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出与y ＝2的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．()y f x =()2y f x =-【详解】解：①当时， 3a =()33,log ,3,x f x x x ≤≤=>⎪⎩则， ()39log 92f ==∴()()92f f f ⎡⎤⎣⎦==②分别画出与y ＝2的图象，如图所示，()y f x =函数有两个零点，结合图象可得4≤a ＜9， ()2y f x =-故a 的取值范围是. [)4,9；.[)4,9【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意要利用数形结合．三､解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16. 如图，在四边形中，，，，.ABCD //ABCD AB =CD =cos A =1cos 3ADB ∠=（1）求； cos BDC ∠（2）求的长. BC 【答案】（12. 【解析】【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值； sin A sin ADB ∠cos cosBDC ABD ∠=∠（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. ABD △BD BCD △BC 【详解】（1）因为，，则、均为锐角，cos A =1cos 3ADB ∠=A ADB ∠所以，，，sin A ==sin ADB ∠==()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADB π∠=--∠=-+∠=∠-∠，13==，则，因此，； //AB CD Q BDC ABD ∠=∠cos cos BDC ABD ∠=∠=（2）在中，由正弦定理可得，ABD △sin sin AB BDADB A=∠可得，sin 3sin AB ABD ADB===∠在中，由余弦定理可得，BCD△2222cos 962311BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅=因此，.BC =【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； a b c （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.17. 如图，在四棱锥中，O 是边的中点，底面．在底面P ABCD -AD PO ⊥,1ABCD PO =ABCD 中，．//,,1,2BC AD CD AD BC CDAD ⊥===（1）求证：平面；//AB POC（2）求二面角的余弦值． B AP D --【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】（1）证明后可证线面平行；//AB OC （2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．,,OB OD OP ,,x y z 【详解】（1）由题意，又，所以是平行四边形，所以， BC OA =//BC OA BCOA //AB OC 又平面，平面，所以平面；AB ⊄POC OC ⊂POC //AB POC （2），所以是平行四边形，所以，，而，,//BC OD BC OD =BCDO //OB DC OB CD =CD AD ⊥所以，OB AD ⊥以为轴建立空间直角坐标系，如图，,,OB OD OP ,,x y z 则，，，，，(1,0,0)B (0,1,0)A -(0,0,1)P (1,1,0)AB = (0,1,1)=AP 设平面的一个法向量为，则ABP (,,)n x y z =，取，则，即， 00n AB x y n AP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩1x =1,1y z =-=(1,1,1)n =- 易知平面的一个法向量是，APD (1,0,0)m =所以cos ,m n m n m n⋅<>===所以二面角． B AP D --【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下： 20以下 [)20,30 [)30,40 [)40,50 [)50,60[]60,7070以上 使用人数312 17 6 4 2 0 未使用人数 0314363（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；[)30,50（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人[]50,70X 中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；[)50,60X （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 17100【解析】 【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； X （Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人， 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为． 17100P =（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，X , ()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===. ()304236C C 135C P X ===所以的分布列为XX 1 2 3P 15 35 15所以的数学期望为. X 1311232555EX =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，3121764244+++++=所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为. 4450002200100⨯=【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 19.已知函数．2()()x k f x x k e =-（Ⅰ）求的单调区间；()f x （Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围． (0,)x ∈+∞()f x 1ek 【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当0k >()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．0k <()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -（Ⅱ） ． 102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】【详解】，令，当时，的情况如下： 221()()x k f x x k e k -'=()0,f x x k ='=±0k >(),()f x f x ' x (,)k -∞-k - (,)k k - k (,)k +∞ ()f x '+0 -0 + ()f x 214k e -所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -0k <()f x 的情况如下：()f x ' x (,)k -∞k (,)k k - k - (,)k -+∞ ()f x '-0 + 0 - ()f x 0 214k e -所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知0k >11(1)k k f k e e++=>1(0,),().x f x e ∀∈+∞≤0k <在上的最大值是所以等价于， 解得()f x (0,)+∞24()k f k e -=1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤24()k f k e-=1e ≤故当时，的取值范围是． 10.2k -≤<1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤k 102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 20. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A （1）求椭圆E 的方程；（2）过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】（1） 2214x y +=（2）4k =-【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直()11,B x y ()22,C x y 线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x N x N M MN x x =-【小问1详解】解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为； 2a =2214x y +=【小问2详解】解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y 1222x x -≤<≤，由，消去整理得， ()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，， 212216814k k x x k ++=-+2122161614k k x x k+⋅=+直线的方程为，令，解得， AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得， AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以 212111N M x x MN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++， ()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122x x k x x -=++()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦ 22221616168241414k k k k k kk ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k =4k =-21. 设数列.如果，且当时，()12:,,,2n A a a a n ≥ {}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈= i j ≠，则称数列A 具有性质.对于具有性质的数列A ，定义数列，()1,i j a a i j n ≠≤≤P P ()121:,,,n T A t t t - 其中. ()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩ ＜＞（1）对，写出所有具有性质的数列A ；():0,1,1T A P （2）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列()121:,,,2n E e e e n -≥ {}()0,11,2,,1i e i n ∈=- P A ，使得与为同一个数列；()T A E（3）对具有性质的数列A ，若且数列满足P ()115n a a n -=≥()T A ()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩ 为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.【答案】（1）、、4,1,2,33,1,2,42,1,3,4（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，得到且，，，确定，按照()T A 4n =12a a >23a a <34a a <21a =14a =或分别讨论可得答案；44a =（2）设数列：中恰有项为1，在按照、、三种情况分别讨E 121,,,n e e e - s 0s =1s n =-01s n <<-论可证结论；（3）按照的奇偶分类讨论，结合数列的定义可证结论.n ()T A 【小问1详解】因为，所以，则():0,1,1T A 13-=n 4n =因为，，，所以，，， 10t =21t =31t =12a a >23a a <34a a <又，{1,2,3,4}(1,2,3,4)i a i ∈=所以，或，21a =14a =44a =当时，，14a =342,3a a ==当时，或，44a =133,2a a ==132,3a a ==综上所述：所有具有性质的数列A 为：、、.P 4,1,2,33,1,2,42,1,3,4【小问2详解】由于数列：，其中， E 121,,,n e e e - {0,1}i e ∈(1,2,3,1,2)i n n =-≥ 不妨设数列：中恰有项为1，E 121,,,n e e e - s 若，则符合题意，0s =:,1,,1A n n - 若，则符合题意，1s n =-:1,2,,A n 若，则设这项分别为， 01s n <<-s 12,,,s k k k e e e 12()s k k k << 构造数列，令分别为， 12:,,,n A a a a L 1211,,1,s k k k a a a +++ 1,2,,n s n s n -+-+ 数列的其余各项分别为， A 12,,,n s m m m a a a - 12()n s m m m -<<< ,1,,1n s n s --- 经检验数列符合题意.A 【小问3详解】对于符合题意的数列，1,2:,,(5)n A a a a n ≥ ①当为奇数时，存在数列符合题意，n 11:,,,n n A a a a -'且数列与不同，与相同， A A '()T A ()T A '按这样的方式可由数列构造出数列， A 'A 所以为奇数时，这样的数列有偶数个， n A 当时，这样的数列也有偶数个， 3n =A ②当为偶数时，n 如果是数列中不相邻的两项，交换与得到数列符合题意， ,1n n -A n n 1-A '且数列与不同，与相同， A A '()T A ()T A '按这样的方式可由数列构造出数列， A 'A 所以这样的数列有偶数个，A 如果是数列中相邻的两项，由题设知，必有，，， ,1n n -A 1n a n -=1n a n =-12a n =-除这三项外，是一个项的符合题意的数列， 232,,,n a a a - 3n -A 由①可知，这样的数列有偶数个， A 综上，这样的数列有偶数个.A 【点睛】关键点点睛：正确理解数列的定义，并利用定义求解是解题关键. ()T A。

北京东城区普通校—学年高三第一学期联考数学〔理〕试题本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第一卷一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1． 假设集合{}0A x x =≥，且A B B =，那么集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2． 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-3． ,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下命题中正确的选项是 A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4． 一个棱锥的三视图如图〔尺寸的长度单位为m 〕， 那么该棱锥的体积是 A ．34B ．8C ．4D ．38正视图 侧视图 5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，那么目标函数x y z 32-=的最大值为 A ．3- B ．2C ．4D ．56．数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，那么101a a +的值为A ．7B ．5-C ．5D ．7-7． 函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，假设)1()(lg g x g >，那么x 的取值范围是 A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．假设在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的渐近线方程为A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．540x y ±=D ．430x y ±=第二卷〔非选择题，共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 9．53sin =α，且α为第二象限角，那么αtan 的值为 ． 10．向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．假设λ为实数，()λ+a b ∥c ，那么λ的值为 ．11．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，假设1||4PF =，12F PF ∠的小大为 ． 12．假设曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，那么切点坐标为 ，切线方程为 ．13． 假设0,0,2a b a b >>+=，那么以下不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 ． 〔写出所有正确命题的编号〕．①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 14． 函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，那么实数a 的取值范围为 ．PDB ACE三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值13分〕：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =- 〔Ⅰ〕求C sin 的值；〔Ⅱ〕当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长． 16．〔本小题总分值13分〕：函数()sin()(0,||)2f x M x M πωϕϕ=+><的局部图象如以以下图．〔Ⅰ〕求 函 数()f x 的 解 析 式；〔Ⅱ〕在△ABC 中，角C B A 、、的 对 边 分 别 是c b a 、、，假设(2)cos cos ,()2A a cB bC f -=求 的 取 值 范 围． 17．〔本小题总分值13分〕：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点． 〔Ⅰ〕证明：PB //平面AEC ；〔Ⅱ〕证明：平面⊥PCD 平面PAD ； 〔Ⅲ〕求二面角D AC E --的正弦值．18．〔本小题总分值13分〕：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈．〔Ⅰ〕求：1a ，2a 的值； 〔Ⅱ〕求：数列{}n a 的通项公式；〔Ⅲ〕假设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．〔本小题总分值14分〕 ：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈． 〔Ⅰ〕假设2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； 〔Ⅱ〕求)(x f 的单调区间；〔Ⅲ〕假设)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．20．〔本小题总分值14分〕椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3点构成的三角形的面积为3． 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①假设线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②假设点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值．参考答案〔以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分〕 一、选择题1． A 2． D 3． B 4． A 5． C 6． D 7． B 8． D 二、填空题 9．43-10． 21 11． 120 12．〔1，2〕，24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞ 15．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及20π<<C所以 ………………………… 4分 〔Ⅱ〕解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-，及20π<<C 得………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2…………………… 12分解得……………………13分 16．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期πππ=-=)6125(4T ，故2=ω …… 2分 将点)1,6(π代入)(x f 的解析式得1)3sin(=+ϕπ，又2||πϕ<故6πϕ=所以)62sin()(π+=x x f ……………… 5分〔Ⅱ〕由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=……………………8分因为0sin ≠A 所以21cos =B 3π=B 32π=+C A ………………9分 )6sin()2(π+=A A f 320π<<A 6566πππ<+<A ……………………11分1)6sin()2(21≤+=<πA A f ……………………13分 17．〔本小题总分值13分〕OE C ABDP P DB A CE zyECABDP 解： 〔Ⅰ〕证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分 O 为BD 中点，E 为PD 中点， ∴EO//P B ． ……………………2分EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C ． 〔Ⅱ〕证明：PA ⊥平面ABC D ． ⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ……………………4分 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PA D ． ……………………6分 又 ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 〔Ⅲ〕如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系． ………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为 A 〔0, 0, 0〕, B 〔2, 0, 0〕,C 〔2, 2, 0〕,D 〔0, 2, 0〕, P 〔0, 0, 2〕, E 〔0, 1, 1〕 ． (9)分 PA ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量，AP =〔0, 0, 2〕． 设平面AEC 的法向量为),,(z y x n =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,那么⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AC n AE n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y∴ ⎩⎨⎧-=-=.,y x y z∴ 令1-=y ,那么)1,1,1(-=n ． ………………11分 ∴31322||||,cos =⨯=⋅>=<n AP n AP n AP , …………………12分二面角D AC E --的正弦值为36…………………13分 18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕n a S n n -=2令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 〔Ⅱ〕n a S n n -=2所以)1(211--=--n a S n n ，〔*,2N n n ∈≥〕两式相减得121+=-n n a a ……………4分 所以)1(211+=+-n n a a ，〔*,2N n n ∈≥〕 ……………5分 又因为211=+a所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分 所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a 〔*N n ∈〕 ……………7分〔Ⅲ〕n n na b =，所以n n n b n n n -⋅=-=2)12(所以)2()323()222()121(321n n T n n -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=)321()2232221(321n n T n n ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分 令n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ① 13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ② ①－②得132122222+⋅-++++=-n n n n S1221)21(2+⋅---=-n n n n S ……………11分 112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2)1(2)1(21+-⋅-+=+n n n T n n ……13分 19．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+． 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =．经检验，13a =时，符合题意． ……4分 〔Ⅱ〕解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+．故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． …………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-． 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞． 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-． 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞． ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ……11分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意． 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意． 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意．所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞． …………14分 20．〔此题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为22221(0)x y a b a b +=>>满足222a b c =+， c a =，…………2分152223b c ⨯⨯=。

东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学〔文〕： 班级： 姓名： 成绩： 一、选择题：〔本大题共8小题。

每题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〕 1. 集合A ={}2,x x x ≤∈R , B ={}240,x x x x ->∈Z ,那么A B 等于A ．〔1，2〕B ．[1，2]C ．(1，2]D ．{1，2}2. i 是虚数单位，假设(i 1)i z +=，那么z 等于 A ．11i 22+ B ．11i 22-+ C. 11i 22- D. 11i 22--3.“2a =〞是“直线2()0a a x y -+=和直线210x y ++=互相平行〞的 A ．充要条件 B ． 充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4. 设数列{}n a 满足：12()n n a a n *+=∈N ，且前n 项和为n S ，那么42S a 的值为A.152B.415 C. 4 D. 25. 某程序框图如右图所示，现将输出(,)x y 值 依次记为： 1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y假设程序运行中输出的一个数组是(,10),x - 那么数组中的x 等于A ．64B ．32C ．16D ．86. 给出以下命题：① 如果不同直线m 、n 都平行于平面α，那么m 、n 一定不相交； ② 如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，那么m 、n 一定平行；③ 如果平面βα、互相平行，假设βα⊂⊂n m ，直线直线，那么m//n. ④ 如果平面βα、互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，假设α⊥m 那么β⊥n .那么真命题的个数是 A ．3B ．2C ．1D ．07. 函数22,0,()21,0,x x f x x ax x -⎧≤=⎨-++>⎩()a ∈R 那么以下结论正确的选项是A ．a ∃∈R,()f x 有最大值()f aB ．a ∃∈R,()f x 有最小值(0)fC ．a ∀∈R,()f x 有唯一零点D ．a ∀∈R,()f x 有极大值和极小值8. 如果直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 相交于P 、Q 两点，且点P 、Q 关于直线0=+y x 对称，那么 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-.y ,my kx ,y kx 0001表示的平面区域的面积是A ．2B ．1C ．21 D ．41 二、填空题 ：(每题5分,共6小题)9. 假设点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上， 那么)4tan(πα+= ______________ ．10. 向量a ,b 的夹角为60,2=a ,3=b , 那么2-=a b . 11. 某几何体的三视图如以以下图， 那么该几何体的体积为 .12. 假设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右顶点分别是21,A A ,线段21A A被bx y =2的焦点分为3:1两段, 那么此双曲线的离心率为 ． 13. 0,0,a b >>函数2()(4)f x x ab a b x ab =+--+是偶函数，那么()f x 的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为 . 14. 函数()f x 的定义域为A ，假设12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，那么称()f x 为单函数．例如：函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数． 给出以下命题：①函数2()f x x =〔x ∈R 〕是单函数；②指数函数()2x f x =〔x ∈R 〕是单函数；③假设()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，那么12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是 ．〔写出所有真命题的编号〕三、解答题：〔共6小题〕 15. 〔本小题总分值13分〕函数22()(sin cos )23cos ,f x x x x x =++∈R〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期及其单调递减区间；〔Ⅱ〕在锐角△ABC 中，,a b ,c 分别为角,A B ,C 所对的边，又a =2，31)(+=A f ，b c =35,求△ABC 的周长.16. 〔本小题总分值13分〕《国家中长期教育改革和开展规划纲要》下设A ，B ，C 三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个工作小组抽取5名工作人员来完成. 〔Ⅰ〕求从三个工作组分别抽取的人数；〔Ⅱ〕搜集意见结束后，假设从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人员没有A 组工作人员的概率.17．〔本小题总分值14分〕如以以下图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，DB 的中点．〔Ⅰ〕求证：EF //平面11ABC D ； 〔Ⅱ〕求证：1EF B C ⊥； 〔Ⅲ〕求三棱锥EFC B V -1的体积． 18. (此题总分值13分)函数32()231f x ax ax =-+，3()42a g x x =-+()a ∈R . (Ⅰ) 当1a =时, 求函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ) 当0≤a 时，假设任意给定的[]00,2x ∈,在[]0,2上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使 得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．19. 〔本小题总分值14分〕椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别CDBFED 1C 1B 1AA 1为21,F F , 离心率为2.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线0x y -=相切．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 如图，假设斜率为)0(≠k k 的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于点,,A M N 〔A 点在椭圆右顶点的右侧〕，且A MF F NF 212∠=∠. 〔ⅰ〕求证：直线l 过定点〔2，0〕; 〔ⅱ〕求斜率k 的取值范围.20. 〔本小题总分值13分〕定义：假设数列{}n A 满足21n n A A =+，那么称数列{}n A 为“平方递推数列〞.数列{}n a中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图象上，其中n 为正整数. (Ⅰ) 证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列〞，且数列{})12lg(+n a 为等比数列;(Ⅱ) 设〔Ⅰ〕中“平方递推数列〞的前n 项之积为n T ，即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++，求数列{}n a 的通项公式及n T 关于n 的表达式;〔Ⅲ〕记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使 2012>n S 成立的n 的最小值.东城区示范校综合练习(二)高三数学答案 〔文〕 年3月一、选择题 1．D 2．A 3．B4．A5．B6．C7．C8． D二、填空题9．13- 10．1311．32 12．5 13．16 14．②③④三、解答题15. 〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕x x x x f 22cos 32)cos (sin )(++=)2cos 1(3cos sin 2cos sin 22x x x x x ++⋅++=-------------2分 )2cos 32(sin 31x x +++= )32sin(231π+++=x ------------------------------------4分所以函数)(x f 的周期为π.--------------------------------------------5分 由2323222πππππ+≤+≤+k x k ，k ∈Z 解得 12712ππππ+≤≤+k x k ，故函数)(x f 的单调减区间是7[,]().1212k k k πππ+π+∈Z ----------7分〔Ⅱ〕在锐角∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边， 31)(+=A f )32sin(231π+++=A ， 那么,0)32sin(=+πA40,22333A A ππππ<<<+<因为所以， 所以ππ=+32A . 那么3π=A .-----------------------------10分又 a =2， 由余弦定理22222cos 4()22cos ,a b c bc Ab c bc bc A =+-=+--，得 因为53bc =，所以3b c +=， 那么 ∆ABC 的周长等于5. --------------------13分16. 〔本小题总分值13分〕 解：〔I 〕三个工作组的总人数为36+36+18=90，样本容量与总体中个体数的比为,181905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分〔II 〕设12,A A 为从A 组抽得的2名工作人员，12,B B 为从B 组抽得的工作人员，1C 为从C 组抽得的工作人员，假设从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A21(,)B C ,共有10种， --------------------------9分其中没有A 组工作人员的结果是：121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种，--------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率310P =。

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：125中 2012年12月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1. 若集合{}0A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是（ ）A ．34B ．8C ．4D ．38正视图 侧视图俯视图5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为（ ）A ．3-B ．2C ．4D ．56．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为（ ）A ．7B ．5-C ．5D ．7-7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是（ ） A ．),10(+∞ B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±=D ．430x y ±=第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 . 10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值为 .11．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠ 的小大为 . 12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标 为 ，切线方程为 .13. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ≤； ③ 222a b +≥；PDBACE④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 14. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =-（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．16．（本小题满分13分）已知：函数()sin()(0,||)2f x M x M πωϕϕ=+><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求 函 数()f x 的 解 析 式；（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A 、、的 对 边 分 别是c b a 、、，若(2)cos cos ,()2Aa c Bb C f -=求 的 取 值 范 围．17．（本小题满分13分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ；（Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值．18．（本小题满分13分）已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈.（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈. （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3点构成的三角形的面积为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值.东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷答题纸高三 数学（理科）命题校：125中 2012年12月第Ⅰ卷请将1至8题的答案填涂在答题卡（即机读卡）相应的位置上.第Ⅱ卷9. 10.号11. 12.13. 14. 15．解：16．解：PDB ACE17．解：学号18．解：19.解：号学20.解：东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题1. A2. D3. B4. A5. C6. D7. B8. D 二.填空题 9．43-10． 2111． 120 12．（1，2），24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞ 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及20π<<C ,所以 ………… 4分（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-，及20π<<C 得OECAB DP………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2b-12=0 …………………… 12分 解得……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期πππ=-=)6125(4T ，故2=ω …… 2分 将点)1,6(π代入)(x f 的解析式得1)3sin(=+ϕπ，又2||πϕ<故6πϕ=所以)62sin()(π+=x x f ……………… 5分（Ⅱ）由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=……………………8分因为0sin ≠A 所以21cos =B 3π=B 32π=+C A ………………9分)6sin()2(π+=A A f 320π<<A 6566πππ<+<A ……………………11分1)6sin()2(21≤+=<πA A f ……………………13分 17．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO//PB ． ……………………2分EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………3分∴ PB//平面AEC ．PDBACEz yxECABDP（Ⅱ） 证明：PA ⊥平面ABCD ．⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ……………………4分 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PAD ． ……………………6分 又 ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． ……………9分PA ⊥平面ABCD ，∴是平面ABCD 的法向量，=（0, 0, 2）．设平面AEC 的法向量为),,(z y x =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AE n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩⎨⎧-=-=.,y x y z∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=n . ………………11分 ∴31322||||,cos =⨯=⋅>=<n AP , …………………12分二面角D AC E --的正弦值为36…………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）na S n n -=2令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 （Ⅱ）na S n n -=2 所以)1(211--=--n a S n n ，（*,2N n n ∈≥）两式相减得121+=-n n a a ……………4分所以)1(211+=+-n n a a ，（*,2N n n ∈≥） ……………5分又因为211=+a所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a （*N n ∈） ……………7分（Ⅲ）n n na b =，所以n n n b nn n -⋅=-=2)12(所以)2()323()222()121(321n n T nn -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=)321()2232221(321n n T nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分 令nn n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ①13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②①－②得132122222+⋅-++++=-n n n n S1221)21(2+⋅---=-n n n n S ……………11分 112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2)1(2)1(21+-⋅-+=+n n n T n n ……13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =.经检验，13a =时，符合题意. ……4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. …………………5分② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-.当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a-；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意.当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意. 所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222a b c =+，3c a =，…………2分1223b c ⨯⨯=2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y += ……………4分 （Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得 2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+……………………………………………………………7分因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得3k =±…………9分（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ ……………11分2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++。

东城区普通校2013-2014学年第二学期联考试卷高三理科综合本试卷共 21 页，300分，考试用长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Fe 56第一部分（选择题共120分）一．选择题（本大题共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

）1．关于细胞结构、功能及其化合物的说法正确的是A．转运RNA、抗体、酶发挥相应作用后，不能继续发挥作用的是抗体B．蛋白质的合成不一定要在核糖体上进行，例如哺乳动物的成熟红细胞C．同一生物的不同细胞会因细胞分化而导致DNA有区别，但mRNA是相同的D．蓝藻与黑藻都能进行光合作用，但二者在细胞结构上的主要区别是叶绿体的有无2．下列关于人体生命活动调节的叙述，正确的是A．激素弥散在全身的体液中，一经靶细胞接受即被灭活B．大面积烧伤易引起感染的原因是非特异性免疫能力降低C．脑干内有呼吸中枢、语言中枢等主要的生命活动中枢D．病毒侵入机体后，体内的吞噬细胞、T细胞和浆细胞都具有识别功能3. 关于生物技术的说法正确的是A．接种前需对培养基、接种环、操作者双手等进行严格的灭菌处理B．愈伤组织脱分化和再分化需要用一定比例的植物激素调控C．水稻基因组文库中的每个重组DNA都含有完整的水稻基因D．为统计某水样中活菌的数目，可采用平板划线法进行接种4．在水库的上游，将废弃农田和盐碱地改造成大面积芦苇湿地，可以有效地解决城市生活污水和农业生产对水源造成的污染问题，相关说法正确的是A．芦苇湿地生态系统实现了物质和能量的循环利用B．芦苇可以吸收城市污水和农业用水中有机污染物C．从废弃农田到芦苇湿地的变化属于次生演替D．湿地中生物种类多样，可利用正反馈调节维持其结构和功能的稳定5．下列关于科学研究、实验方法和实验原理的叙述，不正确．．．的是A．研究红绿色盲的遗传方式应该在患者家系中调查B．摩尔根等人通过假说-演绎的方法，证实了基因是在染色体上C．提取组织DNA是利用不同化合物在溶剂中溶解度的差异D．盐酸处理细胞有利于健那绿对线粒体染色6．下列事实不能．．用金属活动性解释的是A．生活中可用铝制的水壶烧水B．镀锌铁制品破损后，镀层仍能保护铁制品C．工业上常用热还原法冶炼铁，用电解法冶炼钠D．电解法精炼铜时，其含有的Ag、Au杂质沉积在电解槽的底部7．下列叙述正确的是① 7Li+中含有的中子数与电子数之比为2︰1②在C2H6分子中极性共价键与非极性共价键数之比为3︰1③常温下，11.2 L的甲烷气体中含有的氢、碳原子数之比为4︰1④ 5.6 g铁与足量的氯气反应失去的电子与参与反应的铁的物质的量之比为2︰1 A．①② B．②③ C．①③ D．③④8.下列各组离子一定能大量共存的是（）A．加入铝粉有氢气产生的溶液中Na+、K+、SO42-、Cl-、HCO-3B．含有大量硝酸根离子的溶液中H+、Fe2+、SO42-、Cl-C．常温下，c(H+)/c(OH-) = 1×10-10的溶液中NH4+、K+、Ca2+、Cl-D. 常温下pH=1的溶液中：MnO4-、NO3-、SO42-、Na+、Fe3+9．解释下列事实的方程式不正确．．．的是A．次氯酸钙溶液中通入过量二氧化硫：Ca2+ + 2ClO－+ H2O + SO2＝CaSO3↓+ 2HClOD．向K2Cr2O7溶液中加入少量NaOH浓溶液，溶液由橙色变为黄色：10．下列实验操作不能．．达到其对应目的的是11．下列说法正确的是A．将铁粉加入FeCl3、CuCl2混合溶液中，充分反应后剩余的固体中必有铁B． CO2和SO2混合气体分别通入BaCl2溶液、Ba(NO3)2溶液中，最终都有沉淀生成C．检验某酸性溶液中Cl－和SO42－，选用试剂及顺序是过量Ba(NO3)2溶液、AgNO3溶液D．用加热分解的方法可将NH4Cl固体和Ca(OH)2固体的混合物分离12．室温下，下列说法正确的是A．pH＝5的NH4Cl溶液或醋酸中，由水电离出的c(H+)均为10－9 mol/LB．pH＝3的醋酸和pH＝11的NaOH溶液等体积混合后，pH＞7C．同体积同pH的氢氧化钠溶液和氨水分别稀释相同倍数，氨水的pH较大D．0.1 mol/L Na2CO3溶液和0.1 mol/L NaHSO4溶液等体积混合，溶液中c(Na+)+c(H+)＝c(CO32－)+c(SO42－)+c(HCO3－)+c(OH－)13．对一定量的气体，下列说法正确的是A．气体体积是指所有气体分子的体积之和B．气体分子的热运动越剧烈，气体的温度就越高C．气体对器壁的压强是由于地球吸引而产生的D．当气体膨胀时，气体对外做功，因而气体的内能一定减少14. 下列说法中正确的是A ．α粒子散射实验发现了质子B ．玻尔理论不仅能解释氢的原子光谱，也能解释氦的原子光谱C ．热核反应的燃料是氢的同位素，裂变反应的燃料是铀D ．中子与质子结合成氘核的过程中需要吸收能量15. 在用如图所示的光电管研究光电效应的实验中，用某种频率的单色光a 照射光电管阴极K ，电流计G 的指针发生偏转。

专题8：排列、组合、二项式定理1.（2012年海淀一模理6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．482.（2012年东城一模理5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）A ．16B ．18C ．24D ．323．（2012年丰台一模理6）学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、 丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（ ）种A.2243∙AB.2324A A ∙C.2243∙CD.2324A C ∙4.（2012年朝阳一模理5）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）A. 16B. 24C. 32D. 48 5.（2012年房山一模12）如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 种.6．（2012年密云一模理5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）A.14B.24C.28D.48 7.（2012年西城一模理10）6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答）8.（2012年丰台一模理3） 62的二项展开式中，常数项是（ ） A.10 B.15 C.20 D.30 9.（2012年石景山一模理6）若21()n x x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A.84-B.84C.36-D.3610.（2012年丰台二模理13）从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种．11.（2012年昌平二模理6）某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（ ）A. 60种B. 120种C. 144种D. 300种12.（2012年东城二模理3）41(2)x x-的展开式中的常数项为（ ）A ．24- B.6- C.6 D.2413.（2012年海淀二模理10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++ . 若数列k a a a a ,...,,,321),111(Z k k ∈≤≤是一个单调递增数列，则k 的最大值是 .14.（2012年朝阳二模理9）二项式25(ax展开式中的常数项为5，则实数a =_______.15．（2013届北京海滨一模理科）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）A ．12种B ．15种C ．17种D ．19种16．（2013届北京市延庆县一模数学理）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）A ．420B ．560C ．840D ．2016017．（2013届门头沟区一模理科）有4名优秀学生A ． B ． C ．D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A 生不去甲校，则不同的保送方案有（ ）(A) 24种 (B) 30种 (C) 36种 (D) 48种18．（2013届北京西城区一模理科）从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（ ）A ．60种B ．72种C ．84种D ．96种19．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（ ）A ．36B ．30C ．24D ．1220．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ）A ．24B ．36C ．48D ．6021.（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种22．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ）A ．144B ．120C ．108D ．7223．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种24．（2013届东城区一模理科）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有 种．25．（2013届房山区一模理科数学）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能在第一或最后一步实施，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 种.(用数字作答)26．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）27．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.28．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）5)1(+x 的展开式中x 的系数是 .（用数字作答）29．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)30．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）在6)11(x +的展开式中，含1x项的系数是________.（用数字作答） 31．（2013届东城区一模理科）262()x x +的展开式中3x 的系数是 ． 32．（2013届北京大兴区一模理科）设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = 。

北京市东城区2021届高三数学3月质量调研试题 理（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.)1．设集合A ＝{x |1621x<<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，那么A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i3-=+那么z=（ ）A ． 1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i【终止】3．设a ∈R ，那么“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件 考点 充分必要条件 两条直线的位置关系 【终止】4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，取得一个偶函数的图象，那么ϕ的一个可能取值为（ ） A.34π B. 2π C. 4π D.4π-【终止】5．设a，b是两个非零向量．那么以下命题为真命题的是（）A．假设|a＋b|＝|a|－|b|，那么a⊥bB．假设a⊥b，那么|a＋b|＝|a|－|b|C．假设|a＋b|＝|a|－|b|，那么存在实数λ，使得a＝λbD．假设存在实数λ，使得a＝λb，那么|a＋b|＝|a|－|b|【终止】6．某几何体的一条棱长为76的线段，在该几何体的侧视的最大值为（）图与俯视图中，这条棱的投影别离是长为a和b的线段，那么a bA. 22B. 23C.4D. 5【终止】7． 已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的核心与双曲线2C ：2213x y -=的右核心的连线交1C 于第一象限的点M ,假设1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，那么p =（ ） A.316 B.38C.233 D .433 【终止】8．设a ＞0，b ＞0．（ ）A ．若2223aba b +=+，那么a ＞bB ．若2223aba b +=+，那么a ＜bC ．若2223aba b -=-，那么a ＞bD ．若2223aba b -=-，那么a ＜b【终止】二、填空题(每题5分，共20分.) 9．记等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．考点等差数列 【终止】【终止】【终止】12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦别离为AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为_______________.【终止】13．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7，那么n =______． 【终止】14．设a ∈R ，假设x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，那么a ＝______________．【终止】。