第62课时 抛物线

《抛物线》知识点解读一、深刻理解抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）． 例1.平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．直线C ．椭圆D ．以上都不对解析：应该选D ，因为题目中没有指明所给的定点是否在所给的定直线上，因此动点的轨迹可能是抛物线，也可能是直线。

二、熟练掌握抛物线标准方程1．抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程．所谓标准位置，就是指抛物线的顶点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴．抛物线的标准方程有四种形式：（1）焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =-，其开口方向向右； （2）焦点在x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =，其开口方向向左； （3）焦点在y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =-，其开口方向向上； （4）焦点在y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =，其开口方向向下． 其中抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离．注意：（1）抛物线的标准方程中，有一个一次项和一个二次项，二次项的系数为1，一次项的系数为2p （或2p -）；若一次项的字母是x ，则焦点就在x 轴上，若其系数是正的，则焦点就在x 轴的正半轴上（开口向右），若系数是负的，焦点就在x 轴的负半轴上（开口向左）；若一次项的字母是y ，则焦点就在y 轴上，若其系数是正的，则焦点就在y 轴的正半轴上（开口向上），若系数是负的，焦点就在y 轴的负半轴上（开口向下）.（2）不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似212y x p=的形式，应按本部分要求记作：22x py =．如求抛物线22y px =的焦点坐标，应先将方程写成标准形式：212x y p =，然后得其焦点坐标为108p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 2．抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”．所谓“定型”是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式，“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p 的值，从而得到抛物线的标准方程．三、把握动点、焦点、准线三者互化抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，因此在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常是与抛物线的定义相联系，故它们可以相互转化，这一转化在解题中有着重要的作用．四、准确解读p 的几何意义 1.22p p p ，，等具有鲜明的几何意义：2p 表示通径(通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段)长，p 表示焦点到准线的距离，2p 表示焦点到顶点的距离．例2.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(2)M m -，到焦点的距离为4，则m 等于（ ）A ．4B ．2-C ．4或4-D ．2或2-解析：由已知可设抛物线方程2(0)x py p 2=->，由抛物线定义有242p +=，∴4p =，∴28x y =-，将(2)m -，代入上式得216m =，∴4m =±，故选（C ）． 2.p 的桥梁作用已知抛物线方程求其性质时，可先化为标准方程，由2p 得2p ，进而得焦点坐标、准线方程等性质；已知性质求抛物线方程时，可由2p 得2p ，进而得抛物线的标准方程．例3.抛物线26y x =的准线方程是．解析：由标准方程，得26p =，3p =，即232p =；又抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以准线方程为2p x =-，即32x =-． 例4.抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ） Ａ．18 Ｂ．18- Ｃ．8 Ｄ．8-解析：由准线方程2y =得22p =，4p =；又焦点在y 轴负半轴上，且由原方程化为标准方程21x y a =后可知0a <，从而12p a =-，解得18a =-，故选（B ）． 五、熟记几个常用结论1．关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2= 2px (p ＞0)焦点的弦，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，直线AB 的倾斜角为θ，则：⑴ x 1· x 2=42p ，y 1· y 2=－p 2；⑵|AB| =θ2sin 2p ；⑶以AB 为直径的圆与准线相切；⑷焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°；⑸||1FA +||1FB =p2． 2．抛物线的焦半径公式设抛物线上有一点M ，F 是抛物线的焦点，那么线段MF 叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义，可以得到：⑴抛物线y 2= 2px (p ＞0)上一点M(x 0，y 0)的焦半径的长是|MF| = x 0+2p ． ⑵抛物线y 2=－2px (p ＞0)上一点M(x 0，y 0)的焦半径的长是|MF| =－x 0+2p ． ⑶抛物线x 2= 2py (p ＞0)上一点M(x 0，y 0)的焦半径的长是|MF| = y 0+2p ． ⑷抛物线x 2= 2py (p ＞0)上一点M(x 0，y 0)的焦半径的长是|MF| =－y 0+2p ．。

2021年高考数学大一轮复习第十一章第62课抛物线自主学习1. 抛物线的几何性质方程焦点准线焦半径图形y2=2px(p>0)F x=-x+y2=-2px(p>0)F x=-x+x2=2py(p>0)F y=-y+x2=-2py(p>0)F y=-y+2. 点P(x0,y)和抛物线y2=2px(p>0)的关系:(1) P在抛物线内(含焦点) <2px;(2) P在抛物线上=2px;(3) P在抛物线外>2px.3. 焦半径:抛物线上的点P(x0,y)与焦点F的距离PF称作焦半径.(1) y2=2px(p>0),PF=x+;(2) y2=-2px(p>0),PF=-x+;(3) x2=2py(p>0),PF=y+;(4) x2=-2py(p>0),PF=-y+.4. 焦点弦:AB为抛物线y2=2px(p>0)经过焦点F的弦(简称焦点弦).已知点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为α,那么:(1) x1x2=; (2) y1y2=-p2; (3) AB=x1+x2+p=,当且仅当α=时,ABmin=2p.1. (选修2-1P46例1改编)若抛物线的准线方程为x=1,则该抛物线的焦点坐标为.[答案](-1,0)[解析]因为抛物线的准线与x轴的交点和焦点关于y轴对称,所以焦点坐标为(-1,0).2. (选修2-1P47习题2改编)抛物线y2=ax的准线方程为.[答案]x=-3. (选修2-1P48习题5改编)顶点在原点、对称轴为坐标轴、焦点在直线2x-y+4=0上的抛物线的标准方程为.[答案]x2=16y或y2=-8x4. (选修1-1P47练习3改编)已知一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽4 m.若水面上升1 m,则水面宽度为m.(第4题)[答案]2[解析]以抛物线顶点为原点、过焦点且垂直于抛物线准线的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py,则M(2,-2)是抛物线上的点,所以2p=2,抛物线方程是x2=-2y,若水面上升1 m,则点N(m,-1)在抛物线上,所以m=±,所以水面宽度是2 m.5. (选修1-1P41练习2改编)若P(x,4)是抛物线y2=-32x 上一点,F是抛物线的焦点,则PF=.[答案][解析]因为点P(x0,4)在抛物线y2=-32x上,所以x=-,抛物线的准线是x=8,所以PF=8-x=.j28618 6FCA 濊 37463 9257 鉗-29511 7347 獇22982 59C6 姆39334 99A6 馦38887 97E7 韧34869 8835 蠵 i。

x第62课时：二次函数应用（2）主备：王静 雍亚波班级 姓名 学号一、中考考点：在几何图形中构建二次函数，利用二次函数的最值思想从而解决问题。

二、问题探索：（一）基础问题探索：1、用铝合金钢材做一个形状如图所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m ，窗户的透光面积为y m 2，y 与x 的函数图象如图12所示.当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是 m..2、抛物线过点A （2，0）、B （6，0）、C （1，3），平行于x 轴的直线CD 交抛物线于点C 、D ，以AB 为直径的圆交直线CD 于点E 、F ，则CE+FD .3、校园要建苗圃，其形状如直角梯形，其两边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的竹篱笆。

则所建苗圃面积的最大值为 。

（二）典型例题： 问题一、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形A B C O 的边O C 落在x 轴的正半轴上，且A B ∥O C ，B C O C ，A B =4，B C =6，O C =8．正方形O D E F 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形A B C O 面积．将正方形O D E F 沿x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形A B C O 的重叠部分面积为S ．（1）分析与计算：求正方形O D E F 的边长； （2）操作与求解：①正方形O D E F 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S ＞0）的变化情况是 ；A ．逐渐增大 B ．逐渐减少 C②当正方形O D E F顶点O 移动到点C 时，求S 的值；（3）探究与归纳：设正方形O D E F 的顶点O 向右移动的距离为x ，求重叠部分面积S 与x 的函数关系式．问题二、如图，已知抛物线P ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：（1） 求A 、B 、C 三点的坐标；（2） 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；（3） 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM ＝k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围．问题三、初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大. 小组讨论后,同学们做了以下三种试验:图案(1) 图案(2) 图案(3) 图案(4)请根据以上图案回答下列问题:(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB 为1m,长方形框架ABCD 的面积是 m 2;(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB 为x m,长方形框架ABCD 的面积为Ｓ＝ (用含x 的代数式表示)；当AB ＝ m 时, 长方形框架ABCD 的面积Ｓ最大;在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为l m, 设AB 为x m,当AB = m 时, 长方形框架ABCD 的面积Ｓ最大.(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案(4)这样的情形也存在着一定的规律． 探索: 如图案(4),如果铝合金材料总长度为l m 共有ｎ条竖档时, 那么当竖档AB 多少时,长方形框架ABCD 的面积最大.初三数学一轮复习 A BCD图1 图2三、课后作业：1、如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园A B C D ，设A B 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．2、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米.（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.3、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD 所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、竟都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x ； （2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以 47 200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．4、已知抛物线1)12(22-+-+=n x n x y （n 为常数）（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设A 是（1）所确定的抛物线，位于x 轴下方，且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C . ①当BC ＝1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.5、有一块边长为120cm 的正方形铁皮，现准备利用这块铁皮，把它做成一个开口水槽的横截面积最大．（1）若横截面是矩形，设AM=xcm ，横截面积为ycm 2，写出y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值；（2）若横截面是等腰梯形，且∠AMN=120°，设AM=xcm ，横截面积为ycm 2，，求y 的最大值。

《抛物线的几何性质》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．四、教学过程(一)复习1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点程是y2=4x．后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况．第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(如图2-33)．例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题)．例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=82．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．请一同学演板，其他同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程故抛物线y2=2px与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线的应用．五、布置作业1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长．3．图2-35是抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水下降11m后，水面宽多少？4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．作业答案：3．建立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py，可得抛物线4．由抛物线的定义不难证明六、板书设计。

2021年高考数学大一轮复习第十一章第62课抛物线要点导学求抛物线的方程已知点P在抛物线y2=2px上,求该抛物线的方程.[思维引导]将点P的坐标代入抛物线方程y2=2px即可.[解答]因为点P在抛物线y2=2px上,所以=2p×,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的准线方程为.[答案]x=-2[解析]抛物线的焦点坐标为,代入直线x-2y-2=0,得-2=0,即p=4,所以抛物线的准线方程为x=-=-2.直线与抛物线的问题过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线交直线l':y=-2x-2于点A',B'.(1) 若四边形A'B'BA是等腰梯形,求直线l的方程;(2) 若A',O,B三点共线,求证:AB'与y轴平行.[思维引导](1) 若四边形A'B'BA是等腰梯形,直线l的斜率与直线l':y=-2x-2斜率互为相反数;(2) 通过计算A',B'的坐标来证明AB'与y轴平行.[解答](1) 因为四边形A'B'BA为等腰梯形,所以k AB=2,故直线l的方程为y=2x-4.(2) 设直线AB的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),则A',B',由得y2-4ty-8=0,故y1+y2=4t,y1y2=-8.因为A',O,B三点共线,所以=,即2y1+y2=8t+4,又y1+y2=4t,得y2=-4,又y1y2=-8,所以y1=2,所以A(1,2),B'(1,-4),故直线AB'与y轴平行.【题组强化·重点突破】1. (xx·辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与抛物线C在第一象限相切于点B,记抛物线C的焦点为F,则直线BF的斜率为.[答案][解析]由于点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,所以-=-2,p=4,所以y2=8x.设直线AB的方程为x=k(y-3)-2,与y2=8x联立,得y2-8ky+24k+16=0 ①,由Δ=64k2-96k-64=0,得k=2(负值舍去).将k=2代入①,得y=8,x=8,故B(8,8),所以k BF==.2. (xx·莆田一中模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,若AF=5,则△AOB的面积为.[答案][解析]由已知可得p=2.如图,过点A作AA1⊥l,l为准线,垂足为A1,则由抛物线的定义得AA1=AF,所以x A+=5,x A=4,代入y2=4x,得y A=4(-4舍去),所以A(4,4).又F(1,0),所以直线AB的方程为=,即x=y+1,代入y2=4x,得y2=3y+4,所以y B=-1.所以S△AOB=OF·(|y A|+|y B|)=×1×(4+1)=.(第2题)3. (xx·河南模拟)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则=.(第3题)[答案]3[解析]如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过点B作BC⊥AA1于点C,由垂直及抛物线的定义可知∠CAB=60°,所以AB=2AC,所以AF+BF=2(AF-BF),所以=3.抛物线与其他曲线的综合已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=.[答案]2(例3)[解析]由e==2,得c=2a,b=a,所以双曲线的渐近线为y=±x.又抛物线的准线方程为x=-,联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得点A,B（-,-）.在△AOB中,AB=p,O到AB的距离为,S△AOB=,所以·p·=,解得p=2.若过点P(1,2)的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求AB的中点M所在曲线的方程.[解答]设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),AB中点为M(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y.又=4x1,=4x2,所以(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).所以k AB==.又k AB=,x≠1,于是由=,得2x-y2+2y-2=0.当x=1时,M为(1,0),满足上式.故点M所在曲线的方程为2x-y2+2y-2=0.已知抛物线C:y2=4x的顶点为O,过点(-1,0)且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点,当实数k变化时:(1) 求证:·是一个与k无关的常数;(2) 若=+,求||的最小值.[思维引导]建立直线的方程,将y2=4x代入直线方程后得到关于y的方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),建立y1与y2的关系,再建立x1与x2的关系,进而求得x1x2+y1y2.[规范答题](1) 由题意可设直线AB的方程为y=k(x+1),由得ky2-4y+4k=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=4,x1x2=·=1,所以·=x1x2+y1y2=5,它为常数. (6分)(2) 设M(x,y),由=+=(x1+x2,y1+y2),得=(x1+x2)2+(y1+y2)2=+(y1+y2)2=[(y1+y2)2-2y1y2]2+(y1+y2)2=+4,由于Δ=16-16k2≥0,得-1≤k≤1,且k≠0,所以||min=2. (14分)1. (xx·福建六校联考)过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则AB=.[答案]8[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的中点的横坐标为3,即=3,所以x1+x2=6.又因为AB=x1+x2+p,p=2,所以AB=2+6=8.2. 已知P为抛物线C:y2=4x上一点,若点P到抛物线C准线的距离与到顶点的距离相等,则点P到x轴的距离为.[答案][解析]由题意得点P到焦点的距离与到顶点的距离相等,所以x P==,所以|y P|=.3. (xx·济南期末)已知定点Q(2,-1),F为抛物线y2=4x的焦点,动点P为抛物线上任意一点,当PQ+PF取最小值时点P的坐标为.[答案][解析]设点P在准线上的射影为点D,则根据抛物线的定义可知PF=PD,要使PQ+PF取得最小值,则需D,P,Q三点共线,将Q(2,-1)的纵坐标代入y2=4x,得x=,故点P的坐标为.4. (xx·湖南卷)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=.(第4题)[答案]+1[解析]由题意可得C,F,因为点C,F在抛物线上,所以-2-1=0=+1(舍去负值).[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第123-124页).21665 54A1 咡27639 6BF7 毷<a ;e|&37293 91AD 醭y29787 745B 瑛•q36846 8FEE 迮。

课题：抛物线 教学目标：理解圆锥曲线的统一定义，涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题的基本解 法。

教学重点与难点： 直线与抛物线的位置关系。

特别是相交、相切的情况。

基础训练：1、（2006福建文）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =2、（2006全国1文）抛物线2y x =-上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是A 、14 B 、34 C 、85D 、3 3、（2006山东文）已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点，则y 2211y +的最小值是４、（2006四川文）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（A ）36. （B ）48 （C ）56 （D ）64. 例题讲解与评析：例1 （2018年北京东城区模拟题）已知抛物线C 1：y 2=4ax （a ＞0），椭圆C 以原点为中心，以抛物线C 1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为2，过抛物线C 1的焦点F 作倾斜角为4π的直线l ，交椭圆C 于一点P （点P 在x 轴上方），交抛物线C 1于一点Q （点Q 在x 轴下方）.（1）求点P 和Q 的坐标；（2）将点Q 沿直线l 向上移动到点Q ′，使|QQ ′|=4a ，求过P 和Q ′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程.例2 （2006辽宁文） 已知点112212()()(0)A x y B x y x x ≠，，，是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OAOB ，满足||||O A O B O A O B =+-，设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=．（1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线20x y -=的距离的最小值为5时，求p 的值．例3（2006年全国2文 ）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

高考数学一轮复习必备（第62课时）：第八章圆锥曲线方程-双曲线一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲=1 =1．D4．（5分）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）．或5．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）6．（4分）双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为_________．7．（4分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为_________．8．（4分）过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线l的条数是_________．9．（4分）6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是_________．10．（4分）过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ，若F2为另一个焦点，且有∠PF2Q=90°，则此双曲线的离心率为_________．11．（4分）已知，P是曲线x2﹣y2=1（x＞0）上一点，当取最小值时，P的坐标是_________，最小值是_________．12．（4分）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是_________．三、解答题（共6小题，满分0分）13．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P 到l的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．14．过双曲线的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．（1）求证：P在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．15．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．16．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．17．设双曲线两焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：．18．已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过点F2，且与线段F1F2的夹角为α，，直线l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．高考数学一轮复习必备（第62课时）：第八章圆锥曲线方程-双曲线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲=1 =1解：∵∴．D．4．（5分）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）．或轴上时，渐近线方程为所以此时有a=2所以双曲线方程为所以此时有a=b=2所以双曲线方程为5．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）双曲线的离心率双曲线标准方程为：﹣＜二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）6．（4分）双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°，F1，F2为焦点，则△PF1F2的面积为16．双曲线上一点=16167．（4分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为（x＜0）．b=2点的轨迹方程为（（8．（4分）过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线l的条数是4．或±±9．（4分）6件产品中，有2件次品，任取两件都是次品的概率是．所以概率是．10．（4分）过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ，若F2为另一个焦点，且有∠PF2Q=90°，则此双曲线的离心率为1+．|PQ|=，∴∴或（舍去）∴11．（4分）已知，P是曲线x2﹣y2=1（x＞0）上一点，当取最小值时，P的坐标是，最小值是2﹣．，根据双曲线的第二定义可知，，∴∴．由此可以求出当的坐标和c=，∴，准线方程为∴，∴双曲线的准线时，）得当由题设条件可知，﹣；12．（4分）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是28．三、解答题（共6小题，满分0分）13．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P 到l的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．，故点﹣，又=•，＞14．过双曲线的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．（1）求证：P在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．＞（，即在右准线上．＞，即e=＞15．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．，转化为双曲线与半径为的圆，说明双曲线与半径为=1，，双曲线方程为：﹣即可，反之，如此题设双曲线方程为16．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．、由题意得和；轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为和．17．设双曲线两焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：．，所以，由此能够．中，∴∴∴∴18．已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过点F2，且与线段F1F2的夹角为α，，直线l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．c=x，进而根据的方程，求得的值，进而根据解：双曲线方程为c=x，=y=（代入方程，﹣﹣（负舍）=3ab=，﹣。

课题：用样本估计总体考纲要求：①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. ③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释.④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题 教材复习 总体估计①在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.②样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.反映频率分布的图表有样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图、频率折线图、茎叶图等.③样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率． ④方差和标准差都是刻画数据波动大小的数字特征. 基本知识方法1.关注统计中数据的收集、表示、分析过程.2.在频率分布直方图中 ①小矩形的面积=组距⨯频率组距=频率. ②众数最高矩形的中点的横坐标.③中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值. 典例分析：考点一 图表信息题问题1．()1(2012江西) 小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为.A 30% .B 10% .C 3% .D 不能确定()2（2012安徽文）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则.A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数.B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 .C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 .D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差3（2012湖北文）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为.A 0.35 .B 0.45 .C 0.55 .D 0.65考点二 茎叶图问题3．()1(2013重庆) 以下茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为.A 2,5 .B 5,5 .C 5,8 .D 8,8()2 (2012陕西) 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计 数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的 平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则.A x x <甲乙，m 甲>m 乙.B x x <甲乙，m 甲<m 乙.C x x >甲乙，m 甲>m 乙 .D x x >甲乙，m 甲<m 乙考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征问题3．()1（2013江苏）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为()2（2012湖南）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为考点四 频率分布直方图问题2．()1 (2013福建) 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[)40,50， [)50,60，[)60,70，[)70,80 ，[)80,90，[)90,100加以08910352图统计，得到如图所示的频率分布直方图， 已知高一年级共有学生600名，据此估计， 该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 .A 588 .B 480 .C 450 .D 120()2(2013湖北) 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示. ()1直方图中x 的值为 ；()2在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为 .()3（2012广东文）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.()1求图中a的值；()2根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；()3若100这名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之50,90之外的人数。

第62课时：期未复习-----实验专题(2)班级：姓名：学号：授课时间：＿＿＿年＿＿月＿＿日（星期＿＿）1.在“测量小灯泡的电功率”的实验中，小灯泡的额定电压为2.5 V，电源为2节干电池．(1)根据图甲所示电路图，用笔画线代替导线将图乙中的电路连接完整．(2)正确连接电路后，闭合开关，灯泡不亮．当移动滑动变阻器的滑片，发现小灯泡忽灭忽亮．造成这种现象的原因可能是_____________________________________________．(3)排除电路的故障后，闭合开关，移动滑动变阻器的滑片，测得如下表所示的三组数据．当电压表的示数为2.5 V时，电流表示数如图丙所示，请把电流表的示数填入下列表格中．分析上表，可以发现小灯泡亮度是变化的，小灯泡的亮度是由______ (实际／额定)功率决定的．(4)本实验测多组数据与测量物体长度时测多组数据的目的_________ (相同／不相同)，本实验测多组数据的目的是_____________________________________________．2．如图甲是小明设计的测量一小灯泡额定功率的电路图．已知定值电阻Ro=15Ω，滑动变阻器R(20Ω 1 A)，电源电压为18 V，小灯泡的额定电压为6V、额定功率约为3W．(1)闭合开关S前，滑片P应滑到最_________ (左端／右端)．(2)请用笔画线代替导线将图乙中的实物图补充完整．(3)小明正确连接电路后，进行实验．小灯泡正常发光时，电流表的指针如图丙所示，通过小灯泡的电流为_________A，其额定功率为_________W．(4)电路中定值电阻的作用是________________________________________________.(5)小明完成上述实验后．小红发现电流表已坏，她利用剩余器材和老师又给的两个开关S1、S2及导线，也完成了对小灯泡额定功率的测量．请你在下面的虚线框内画出小红完成实验设计的电路图．3． (1)现有两个标记模糊，外形相同，额定电压都是220 V ，但额定功率相差较大的白炽灯泡．请你简要写出两种方法，来判断哪一个的额定功率比较大?①_______________________________________________________________．②_______________________________________________________________．(2)小红同学做“测定小灯泡的功率”实验，电源电压是1.5 V 的整数倍(即电源由几节干电池串联组成)，滑动变阻器标有“4Ω 3 A ”字样，所用小灯泡是额定电压为“2 V ”、“2.5 V ”、“3.8 V ”中的一个，小灯泡的额定功率在1.2 W 以内．她连接的实验电路图如图甲所示，闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，发现滑片在中点附近某位置时，小灯泡正常发光，此时电流表的示数如图乙所示．则：①小灯泡正常发光时的电流_________A ．②你认为她选用的电源电压可能为_________V ．③根据你为她选定的电源电压，小灯泡的额定电压为____V ，小灯泡的额定功率为__W4．小明按如图所示电路图做“测量灯泡的电功率”的实验．实验室可提供下列器材：A ．电流表B. 电压表C. 滑动变阻器R(阻值0～20Ω)D. 电阻为6Ω的待测灯泡L(电阻不随温度变化)E ．电源E(电压4.5 V 并保持不变)F ．开关S 及导线若干(1)根据电路图和实验室提供的器材，可判断出：通过灯泡的最小电流为_______A ：加在L 两端的最大电压为_________V ．(2)若小明所选电压表的量程为0～3 V 、电流表的量程为0～0.6 A ，实验要求测量时通过灯泡的电流至少为电流表满刻度的13，则测出的灯泡的功率范围只能是__________． (3)小明按电路图连接好电路后进行实验，由于电路中某一处有故障，当闭合开关时电压表无示数，为查出电路故障，小明进一步观察并检查电路．当检查到电源、开关、电压表、电流表、导线及其连接都完好时，小明结合前面的观察，就可判断出电路的故障：如果小明观察到__________________，则故障是________________________________ 如果小明观察到__________________，则故障是________________________________(4)排除故障后，小明继续进行实验，在对测量数据的记录和处理时，他设计了如下表格．你认为这张表格的设计是_________ (正确／错误)的．☆★作业完成情况评价：＿＿＿ 日期：＿＿＿。

苏科版初三下册数学第6章知识点：抛物线的性质学好知识就需要平时的积累。

知识积累越多，掌握越熟练，查字典数学网编辑了苏科版初三下册数学第6章知识点：抛物线的性质，欢迎参考!1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。

新概念英语第二册:第62课课文详解及语法解析课文详注 Further notes on the text1.under control,受到控制。

get it under control表示“使它得到控制”，get有“使……处于某种状态”的含义：You'd better get your dog under control.你管住你的狗。

The Government can no longer keep prices under control.政府已控制不住物价。

2.for miles around,方圆数英里。

around表示“在周围”、“向四周”：This is the only modern building for miles around.方圆数英里之内这是惟一的一座现代化建筑。

3.Winter was coming on and the hills threatened the surrounding villages with destruction…冬季即将来临，这些山丘对周围的村庄具有毁灭性的威胁……(1)come on的过去进行时形式表示的是过去将来时，它在这里表示季节的“到来”、“来临”：When spring comes on, there will be flowers everywhere.春天到来时到处都是鲜花。

I was still in the forest when night came on.夜晚来临时我仍在森林里。

(2)threaten…with表示“以……威胁/恐吓”：The thief threatened him with a knife.小偷用刀子威胁他。

Then whole village is threatened with destruction.整个村子面临着毁灭的威胁。

4.…for heavy rain would not only wash away the soil but would cause serious floods as well.……因为大雨不仅会冲走土壤，而且还会引起严重的水灾。