八年级数学竞赛讲座：第十一讲 勾股定理与应用

勾股定理在数学竞赛中的常见题型勾股定理作为数学中的一条重要定理，经常在数学竞赛中出现。

它被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。

在这篇文章中，我们将介绍勾股定理在数学竞赛中的常见题型，并给出一些解题思路。

一、勾股定理的基本定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是描述直角三角形三边关系的定理。

它的基本定义如下：在一个直角三角形中，直角的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

若直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。

二、题型一：已知两边求第三边这是勾股定理中最基本的应用题型之一。

题目给出两条边的长度，要求求解第三条边的长度。

解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。

2. 然后，将已知的两条边的长度代入方程，解出未知的边的长度。

3. 最后，根据题目要求确定解的范围并进行答案验证。

例如，题目给出一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，要求求解斜边的长度。

根据勾股定理，可得方程3² + 4² = c²，解得c = 5。

所以答案是5。

三、题型二：已知斜边和一直角边，求另一直角边这个题型要求根据给定的斜边和一直角边的长度，求解另一直角边的长度。

解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。

2. 其次，将已知的直角边和斜边的长度代入方程，并整理得到关于未知边的方程。

3. 最后，解方程得到未知边的长度。

例如，题目给出一个直角三角形的斜边长度为5，一直角边长度为3，要求求解另一直角边的长度。

根据勾股定理，可以得到方程3² + b²= 5²，整理得b² = 25 - 9，解得b = √16 = 4。

所以答案是4。

四、题型三：求直角三角形的面积这个题型要求根据给定的直角三角形两个直角边的长度，求解其面积。

(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用初中数学竞赛勾股定理与应用勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系:a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．证法1 如图2—16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK,ACFG，它们的面积分别是c2,a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG,所以△ACE≌△AGB（SAS）．而所以 S AEML=b2．①同理可证 S BLMD=a2．②①+②得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．证法2 如图2—17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA,CB 分别延长到D，F,使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF（它的边长为a+b），又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c,∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,因此,AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF 的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB）的面积和，即化简得 a2+b2=c2．证法3 如图2—18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D 作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S,一方面S=S ABDE+2S△ABC，①另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC．②由①，②所以 c2=a2+b2．关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边（或其延长线）上的射影的乘积的2倍．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广）．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，（1）若c2=a2+b2,则∠C=90°；（2)若c2＜a2+b2,则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形（及多边形）的问题中有着广泛的应用．例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC 的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE．说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF ⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡"到AF,使AF(即AB）与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2）．推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形,其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项,获得中线公式．①′，②′，③′中的m a，m b，m c分别表示a，b，c边上的中线长．例3 如图2-23所示．求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ 的中线，利用例2的结论，不难证明本题．说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．例4 如图2-24所示．已知△ABC中,∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用例5 如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证:4(AM2+BN2）=5AB2．分析由于AM，BN,AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点,那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．练习十一1．用下面各图验证勾股定理（虚线代表辅助线)：(1）赵君卿图(图2-27);（2)项名达图（2—28）；（3）杨作枚图(图2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2．（提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外,均有这个结论．）3．由△ABC内任意一点O向三边BC,CA，AB分别作垂线,垂足分别是D,E，F．求证:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．5．如图2—31所示．从锐角三角形ABC的顶点B,C分别向对边作垂线BE,CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．。

勾股定理例1 (1)直角ABC ∆的三边的长分别是,1x x +和5，则ABC ∆的周长=_________，ABC ∆的面积=_____________.(2)如图，已知RT ABC ∆的两直角边5,12,AC BC D ==是BC 上一点，当AD 是A ∠的平分线时，则CD =______________.（第2题） (例2) 例2 四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2 求对角线AC 的长.练习：如图，四边形ABCD 中，//,1,2DC AB BC AB AC AD ====,则BD 的长为___________________.例3 如图，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45,60ABC APC ∠=∠=，求ACB ∠的度数.练习 已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A 求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC例4 已知RT ABC ∆中，90,,45.ACB AC BC MCN ∠==∠=(1)如图①，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+；(2)如图②，将MCN ∠绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.例5 如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD 求证：AB ＝AC例6 已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b ,且S EFGH ＝32，求：a b -的值二、课后练习1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：① 7，_____，_____ ②8，_____，_____ ③9，_____，_____ ④ 10，_____，_____ ⑤11，_____，_____ ⑥12，_____，_____ 2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：① 252－242＝_____， ②52＋122＝_____，③22158+＝_____， ④2215-25＝_____3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。

勾股定理与应用知识定位三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础，而其中的勾股定理在初中竞赛三角形中占据非常大的地位。

必须熟练掌握勾股定理及逆定理的应用、勾股数的推算公式和判定直角三角形。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中勾股定理中相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 22、勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a 的2，3， 5……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③ 证明线段的平方关系等。

3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.4、勾股数的推算公式④ 罗士琳法则任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。

⑤ 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。

⑥ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。

⑦ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。

5、 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

常见勾股数3，4，5 ： 勾三股四弦五5，12，13 ： 5·12记一生6，8，10： 连续的偶数7，24，25 ： 企鹅是二百五8，15，17 ： 八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，102.100以内的勾股数开头数字为20以内3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82例题精讲【试题来源】【题目】△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是多少【答案】24【解析】 解：∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2)= 142-102=4×24∴2421=⋅=∆BC AC S ABC 【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】如图1，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（ ）A ．31;B ．33;C ．21;D ．63【答案】A【解析】 解: 如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB∴AM ：MB=OB ：BT∴MB 2=2AM ·BT （1）令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k所以BM=222)2(4k AM AB -+=+BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k )所以 k =34 所以AM ：AB=32：2 = 31 【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（ ）【答案】256【解析】 解：如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点设PE = x ，则AB=AD=10 + x所以AE=21AB=21(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2所以102= x 2+ [21(10 + x )]2 所以x = 6所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 256【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20【答案】C【解析】 解：如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和DC 的交点P ，则ABP S ∆=21×20×10=100， 由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC ，令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2所以 x 2 = (20 – x )2 + 102所以 x = 12.5因为ABP S ∆=21PA ·BH ' 所以BH '=165.1221002=⨯=∆PA S ABP【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】5【试题来源】【题目】如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10）， 那么1021M M M +++ =_________。

勾股定理与角度数一、勾股定理的基本概念勾股定理是几何学中的一条基本定理，它表述了直角三角形三边之间的关系。

具体来说，对于一个直角三角形，直角边的平方和等于斜边的平方。

二、勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法有多种，其中比较常见的是欧几里得证明法和反证法。

欧几里得证明法是通过构造一个正方形，利用面积关系证明勾股定理；反证法则是通过假设直角三角形不是直角三角形，然后推导出矛盾，从而证明勾股定理。

三、勾股定理的应用实例勾股定理在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

例如，在建筑、工程、航海、天文等领域中，勾股定理都是必不可少的工具。

同时，勾股定理也在数学竞赛中占有重要地位，常被用于解决一些复杂的几何问题。

四、勾股定理与三角形的角度关系勾股定理与三角形的角度数之间有着密切的联系。

在直角三角形中，两个锐角的角度数之和等于90度，即一个角是另一个角的余角。

同时，在锐角三角形和钝角三角形中，也有类似的关系存在。

五、特殊三角形的勾股定理对于等腰直角三角形和30-60-90的特殊直角三角形，勾股定理有着特殊的表达形式。

例如，在等腰直角三角形中，斜边的长度等于两直角边长度之和；在30-60-90的特殊直角三角形中，较短的直角边长度等于斜边长度的一半。

六、勾股定理与无理数勾股定理与无理数之间也有着密切的联系。

无理数是指无法表示为两个整数之比的数，其中最著名的无理数是π和√2。

在勾股定理中，如果直角三角形的两条直角边长度分别为1和√2，那么斜边的长度就是√(1^2+(√2)^2)=√3，是一个无理数。

因此，勾股定理的证明和应用中常常涉及到无理数。

七、勾股定理与黄金分割黄金分割是一种美学上的比例关系，其定义为较长的线段长度是较短线段长度和整个线段长度的比例中较小的那个数的两倍，与勾股定理有着密切的联系。

例如，在等腰直角三角形中，斜边长度和直角边长度的比例就是黄金分割的比例。

因此，黄金分割的应用也常常涉及到勾股定理。

八、勾股定理与几何学勾股定理是几何学中的一条重要定理，它不仅适用于直角三角形，还适用于其他类型的三角形。