九年级数学培优专题26 分而治之

第26章反比例函数培优提高典型例题解析一、解答题1.如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B 两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．【答案】解：（1）∵一次函数图象过A点，∴m=1+2，解得m=3，∴A点坐标为（1，3），又∵反比例函数图象过A点，∴k=1×3=3，∴反比例函数y=（k≠0）的表达式为y=．（2）∵，解得或∴B（﹣3，﹣1），设直线与y轴的交点为C（0，2），∵△ABP的面积为6，∴PC•|x B|+PC•|x A|=6，∴PC（1+3）=6，∴PC=3，∴P（0，5）或（0，﹣1）．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m 为大于1的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，求的值．（用含m的代数式表示）【答案】解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，∵，∴，∵ME•EW=FN•DF，∴∴，设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），∴△CEF的面积为：S1=（mx﹣x）（my﹣y）=（m﹣1）2xy，∵△OEF的面积为：S2=S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON，=MC•CN﹣（m﹣1）2xy﹣ME•MO﹣FN•NO，=mx•my﹣（m﹣1）2xy﹣x•my﹣y•mx，=m2xy﹣（m﹣1）2xy﹣mxy，=（m2﹣1）xy，=（m+1）（m﹣1）xy，∴．故答案为：．3.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【答案】解：（1）从图象可知：A（2，1）B（﹣1，n），把A的坐标代入反比例函数y=得：m=2，即反比例函数的解析式是：y=，把B（﹣1，n）的坐标代入反比例函数y=得：n=﹣2，∴B（﹣1，﹣2），把A、B的坐标代入y=kx+b得：，解得k=1，b=﹣1，即一次函数的解析式是：y=x﹣1；（2）根据图象可知一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．4.如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）把A（0，﹣2），B（1，0）代入y=k1x+b得，解得，所以一次函数解析式为y=2x﹣2；把M（m，4）代入y=2x﹣2得2m﹣2=4，解得m=3，则M点坐标为（3，4），把M（3，4）代入y=得k2=3×4=12，所以反比例函数解析式为y=；（2）存在．∵A（0，﹣2），B（1，0），M（3，4），∴AB=，BM==2，∵PM⊥AM，∴∠BMP=90°，∵∠OBA=∠MBP，∴Rt△OBA∽Rt△MBP，∴=，即=，∴PB=10，∴OP=11，∴P点坐标为（11，0）．5.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A﹙−2，−5﹚、C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA、OC．求△AOC的面积．【答案】（1）解：将A（-2，-5）代入，得m=-2×（-5）=10.则反比例函数为y=.将C（5，n）代入y=得n=2,则C（5,2）.将A（-2，-5），C（5,2）代入y=kx+b中得解得即直线y=x-3.（2）解：直线y=x-3与x轴，y轴的交点分别为D（3,0），B（0，-3），则OD=3，OB=3，又因为A（-2，-5），C（5,2）则S△AOC=S△AOB+S△BOD+S△DOC=×5×3+×3×3+×3×2=15.6.有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）【答案】解：（1）x≠1，（2）令x=4，∴y=+4=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．7.如图，Rt△ABC中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A在反比例函数（x＞0）的图象上运动，那么点B在哪个图像上运动？【答案】解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b）．∵点A在反比例函数（x＞0）的图象上，∴ab=1．在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°-∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，∴△OAC∽△BOD，∴OC：BD=AC：OD=OA：OB，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠B=30°，∴OA：OB=1：，∴b：BD=a：OD=1：，∴BD=b，OD=a，∴BD•OD=3ab=3，又∵点B在第四象限，∴点B在函数的图象上运动．8.如图，点A为函数图象上一点，连结OA，交函数的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求△ABC的面积．【答案】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵点C 是x轴上一点，且AO=AC，∴点C的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，∴ =ak，解得，k= ，又∵点B（b，）在y= x上，∴ = •b，解得，=3或=﹣3（舍去），∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC= ﹣=18﹣6=12．9.（2015•赤峰）如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C 作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．【答案】解：∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP∽△BOC，∴=，即=，解得CP=1，∴P（2，﹣1），设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入解得k=﹣2，∴过点P的双曲线解析式y=﹣，②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP∽△COB，在△OCP和△COB中，∴△OCP≌△COB（AAS）∴CP=BO=4，∴P（2，﹣4）设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入得﹣4=，解得k=﹣8，∴过点P的双曲线解析式y=．综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=﹣或y=．10.如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数在第一象限内的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若S△BOD=4，请回答下列问题：（1）求反比例函数解析式；（2）求C点坐标．【答案】（1）解：∵∠ABO=90°，S△BOD=4，∴ ×k=4，解得k=8，∴反比例函数解析式为y= ；（2）解：∵∠ABO=90°，OB=4，AB=8，∴A点坐标为（4，8），设直线OA的解析式为y=kx，把A（4，8）代入得4k=8，解得k=2，∴直线OA的解析式为y=2x，解方程组，得或，∵C在第一象限，∴C点坐标为（2，4）．11.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．（1）求点A，C的坐标；（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= （k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，∴x1=1，x2=2，∵OA＞OC，∴OA=2，OC=1，∴A（﹣2，0），C（1，0）（2）解：将C（1，0）代入y=﹣x+b中，得：0=﹣1+b，解得：b=1，∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，∴点E的横坐标为﹣1．∵点E为直线CD上一点，∴E（﹣1，2）．将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，得：2= ，解得：k=﹣2．（3）解：假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，∴B（0，4），∴BE= AB= ．∵四边形BEMN为菱形，∴EM= =BE= ，解得：m1= ，m2=∴M（，2+ ）或（，2﹣），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（﹣，4+ ）或（，4﹣）；②以线段BE为对角线时，MB=ME，∴ ，解得：m3=﹣，∴M（﹣，），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（0﹣1+ ，4+2﹣），即（，）．综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，4+ ）、（，4﹣）或（，）二、综合题12.如图，一次函数（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0，x＜0）的图象交于点A（-3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求sin∠ABO的值；（3）当x＜0时，比较与的大小．【答案】（1）解：把A(－3，1)代入得m＝xy＝－3×1＝－3，∴反比例函数的解析式为 .过点A做AD⊥y轴于D，∵A(－3，1)，∴AD＝3.∵S△AOB＝•AD，∴ •3＝6，OB＝4.∴B(0，4).把A(－3，1).B(0，4)代入得，∴ .∴一次函数的解析式为y＝x＋4（2）解：∵在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝BO－OD＝4－1＝3∴∠ABO＝45°∴sin∠ABO＝sin45°＝（3）解：由得， .∴C(－1，3).∴当x<－3或－1<x<0时， >当－3<x<－1时， >13.已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y= 交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=．（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；（2）求△OPQ的面积；（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：）过P作PC⊥y轴于C，∵P（，n），∴OC=n，PC= ，∵tan∠BOP= ，∴n=4，∴P（，4），设反比例函数的解析式为y= ，∴a=4，∴反比例函数的解析式为y= ，∴Q（4，），把P（，4），Q（4，）代入y=kx+b中得，，∴ ，∴直线的函数表达式为y=﹣x+（2）解：过Q作QD⊥y轴于D，则S△POQ=S四边形PCDQ= ×（+4）×（4﹣）=（3）解：由图象知，当﹣x+ ＞时，或x＜014.如图，直线l1：y=x与双曲线y= 相交于点A（a，2），将直线l1向上平移3个单位得到l2，直线l2与双曲线相交于B、C两点（点B在第一象限），交y轴于D点．（1）求双曲线y= 的解析式；（2）求tan∠DOB的值．【答案】（1）解：∵A（a，2）是y=x与y= 的交点，∴A（2，2），把A（2，2）代入y= ，得k=4，∴双曲线的解析式为y=（2）解：∵将l1向上平移了3个单位得到l2，∴l2的解析式为y=x+3，∴解方程组，得，，∴B （1，4），∴tan∠DOB=15.如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB═ ，反比例函数y= 的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；（3）求S△OEB．【答案】（1）解：∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，∴AB=6．∵cos∠OAB═= ，∴ = ，∴OA=10，由勾股定理得：OB=8，∴A（8，6），∴D（8，）．∵点D在反比例函数的图象上，∴k=8× =12，∴反比例函数的解析式为：y= ；（2）解：设直线OA的解析式为：y=bx．∵A（8，6），∴8b=6，b= ，∴直线OA的解析式为：y= x，则 = x，x=±4，∴E（﹣4，﹣3），设直线BE的解式为：y=mx+n，把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BE的解析式为：y= x﹣2；（3）解：S△OEB= OB•|y E|= ×8×3=12．16.如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1= 的图象上一点，AB⊥x 轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D（0，﹣2），若S△AOD=4．（1）写出点C的坐标；（2）求反比例函数和一次函数的解析式；（3）当y1＜y2时，求x的取值范围．【答案】（1）解：设点C的坐标为（m，0），∵C是OB的中点，∴OC=BC．在△COD和△CBA中，，∴△COD≌△CBA（ASA），∴OD=BA．∵点D（0，﹣2），∴点A的坐标为（2m，2）．∴S△AOD=S△ABC+S△DOC=2S△DOC=2× OC•OD=2m=4，∴m=2，∴点C的坐标为（2，0）（2）解：∵m=2，∴点A的坐标为（4，2）．∵点A在反比例函数y1= 的图象上，∴k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为y1= ；将C（2，0）、D（0，﹣2）代入y2=ax+b中，，解得：，∴一次函数的解析式为y=x﹣2（3）解：联立两函数解析式成方程组，，解得：或，∴两函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣4）．观察函数图象可知：当﹣2＜x＜0 或x＞4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当y1＜y2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0 或x＞4．17.在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y= （x＞0）的图像经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P 是该反比例函数图像上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ．（1）点B的坐标是________；k的值为________（2）判断△QDC与△POD的面积是否相等，并说明理由．【答案】（1）（3，4）；12（2）解：相等．理由如下：设点P的坐标为（m，n），其中m＞0，n＞0，∵点P在反比例函数y= （x＞0）的图像上，∴n= ，即mn=12．∴S△POD= OD•PD= mn= ×12=6，∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB∥x轴，OC=3，BC=4，∵点Q在线段AB上，∴S△QOC= OC•BC= ×3×4=6．∴S△QOC=S△POD．18.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y 轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．19.如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：把x=4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B （4，1）代入y1= ，得k=4．反比例函数的表达式为y1=（2）解：∵点A与点B关于原点对称，∴A的坐标为（﹣4，﹣1），观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP 与y轴交于点C，如图，∵点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．y1= 中，当x=1时，y=4，∴P（1，4）．设直线AP的函数关系式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，则，解得．故直线AP的函数关系式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ，∴S△PAB=2S△AOP=15．20.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C 分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求过O，B，E三点的二次函数关系式；（2）求直线DE的解析式和点M的坐标；（3）若反比例函数y= （x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上．【答案】（1）解：设过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=ax2+bx+c；把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得：，∴过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=﹣ x2+ x（2）解：设直线DE的解析式为：y=kx+b，∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ，解得，∴直线DE的解析式为：y=﹣ x+3；∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，∴点M的纵坐标为2．又∵点M在直线y=﹣ x+3上，∴2=﹣ x+3．∴x=2．∴M（2，2）；（3）解：∵y= （x＞0）经过点M（2，2），∴m=4．∴该反比例函数的解析式为：y= ，又∵点N在BC边上，B（4，2），∴点N的横坐标为4．∵点N在直线y=﹣ x+3上，∴y=1．∴N（4，1）．∵当x=4时，y= =1，∴点N在函数y= 的图象上21.如图，直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．【答案】（1）解：把（a，3）代入 =－，得，解得a=－2；（2）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO≌△OEC，又k=－，由y=－ x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）；（3）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO∽△OEC，∴ ，∵∠ACO= ∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴ ，∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－ n，OD=－ m，∴A（ n，－ m），代入y=－中，得mn=18.22.如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，∴反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C．如图所示，延长AO交双曲线于点C1，∵点A与点C1关于原点对称，∴AO=C1O，∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x，可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，解得b'= ，∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，解方程组，可得C2（）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA 的面积，设直线AC 3的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，解得 =﹣，∴直线AC3的解析式为y= x﹣，解方程组，可得C3（）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．23.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于点A（﹣2，1），点B（1，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；（2）请直接写出满足不等式kx+b﹣＜0的解集；（3）在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴，若点E（﹣a，a），如图，当曲线y= （x＜0）与此正方形的边有交点时，求a的取值范围．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=﹣2×1=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣；∵点B（1，n）在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣2=n，即点B的坐标为（1，﹣2）．将点A（﹣2，1）、点B（1，﹣2）代入y=kx+b中得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1（2）解：不等式﹣x﹣1﹣（﹣）＜0可变形为：﹣x﹣1＜﹣，观察两函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例图象下方，∴满足不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞1（3）解：过点O、E作直线OE，如图所示．∵点E的坐标为（﹣a，a），∴直线OE的解析式为y=﹣x．∵四边形EFDG是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，∴点D的坐标为（﹣a+1，a﹣1），∵a﹣1=﹣（﹣a+1），∴点D在直线OE上．将y=﹣x代入y=﹣（x＜0）得：﹣x=﹣，即x2=2，解得：x=﹣，或x= （舍去）．∵曲线y=﹣（x＜0）与此正方形的边有交点，∴﹣a≤﹣≤﹣a+1，解得：≤a≤ +1．故当曲线y= （x＜0）与此正方形的边有交点时，a的取值范围为≤a≤+124.如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y=，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴ ，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．。

人教版2020—2021学年九年级数学下册第26章《反比例函数》培优试题与简答一．选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．若(2,4)A 与(2,)B a -都是反比例函数(0)ky k x=≠图象上的点，则a 的值是( )A ．4B ．4-C ．2D ．2-2．关于双曲线1y x=-的对称性叙述错误的是( )A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =-对称3．一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)A a b 在双曲线2y x=-上，点A 关于y 轴的对称点B 在双曲线ky x=上，则2k -的值为( ) A ．4- B ．0 C ．2 D ．45．如图，在平面直角坐标系中，函数3(0)y x x=>与1y x =-的图象交于点(,)P a b ，则代数式11a b -的值为( )A．14-B．14C．13-D．136．正比例函数2y x=和反比例函数2yx=的一个交点为(1,2)，则另一个交点为() A．(1,2)--B．(2,1)--C．(1,2)D．(2,1)7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的面积为10，反比例函数(0)ky xx=>与AB、BC分别交于点D、E，若2AD BD=，则k的值为()A．53B．103C．203D．528．已知点1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(C x，3)y都在反比例函数(0)ky kx=<的图象上，且123x x x<<<，则1y，2y，3y的大小关系是()A．213y y y>>B．321y y y>>C．123y y y>>D．312y y y>>9．如图，A、B是曲线5yx=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1S=阴影，则12(S S+=)A．4B．5C．6D．810．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数(0)ky xx=>与AB相交于点D，与BC相交于点E，若3BD AD=，且ODE∆的面积是9，则(k=)A．92B．274C．245D．12二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）第7题图第9题图11．若函数25(2)my m x -=-是反比例函数，则m = ．12．已知12y y y =+，1y 与x 成正比例、2y 与x 成反比例，且当1x =时，4y =，当2x =时，5y =，则当4x =时，y 的值是 ． 13．直线1y k x b =+与双曲线2k y x=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k k x b x>+的解集为 ．14．如图，已知直线y mx =与双曲线ky x=的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是 ．15．如图，点P 是反比例函数ky x=图象上一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，如果构成的矩形面积是3，那么反比例函数的解析式是 ．16．如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ，在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O 的距离()x cm ，观察弹簧秤的示数()y N 的变化情况．实验数据记录如下：()10x cm ⋯ 15 20 25 30⋯ ()30y N ⋯201512 10⋯猜测y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F 在x 轴的正第13题图 第14题图第15题图第16题图半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数(0,0)ky k x x=≠>的图象过点B ，E ．若2AB =，则k 的值为 ．18．如图，两个反比例函数2y x =和1y x =在第一象限的图象如图所示，当P 在2y x =的图象上，PC x⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，则四边形PAOB 的面积为 ．三．解答题（共6小题，满分56分，其中19、20、21每小题8分，22、23每小题10分,24题12分）19．已知反比例函数21m y x-=的图象位于第一、第三象限． （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）若点(3,1)P 在该反比例函数图象上，求此反比例函数的解析式． 20．函数y x =的图象与函数ky x=的图象相交于点(2,)P m ． （1）求m ，k 的值；（2）将函数y x =的图象向左平移4个单位，求与函数ky x=的交点坐标． 21．如图，在ABC ∆中，AC BC =，AB x ⊥轴，垂足为A ．反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点C ，交AB 于点D ．已知4AB =，52BC =． （1）若4OA =，求k 的值；第17题图 第18题图（2）连接OC ，若BD BC =，求OC 的长．22．如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交于(2,)A m ，(,2)B n -两点．过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，且5ABC S ∆=．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式21k k x b x+>的解集； （3）若1(,)P p y ，2(2,)Q y -是函数2k y x=图象上的两点，且12y y ，求实数p 的取值范围．23．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，A ，C 分别在坐标轴上，点B 的坐标为(4,2)，直线132y x =-+交AB ，BC 于点M ，N ，反比例函数ky x=的图象经过点M ，N ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且OPM ∆的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 的坐标．24．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x （元)与日销售量y（只)之间有如下关系：（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？人教版2020—2021学年九年级数学下册第26章《反比例函数》培优试题参考简答一．选择题（共10小题）1．B ． 2．C ． 3．D ． 4．B ． 5．C ． 6．A ． 7．C ． 8．A ． 9．D ． 10．C ． 二．填空题（共8小题） 11． 2- ． 12． 172． 13． 2x <-或03x << ． 14． (3,4)-- ． 15． 3y x =． 16． 300y x= ． 17． 625+ ． 18． 1 ． 三．解答题（共6小题） 19．已知反比例函数21m y x-=的图象位于第一、第三象限． （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）若点(3,1)P 在该反比例函数图象上，求此反比例函数的解析式． 【解】：（Ⅰ）反比例函数21m y x-=的图象位于第一、第三象限． 210m ∴->12m ∴>（Ⅱ）点(3,1)P 在该反比例函数图象上， 2113m ∴-=⨯ 2m ∴=∴反比例函数的解析式为：3y x=20．函数y x =的图象与函数ky x=的图象相交于点(2,)P m ． （1）求m ，k 的值；（2）将函数y x =的图象向左平移4个单位，求与函数ky x=的交点坐标． 【解】：（1）把2x =代入y x =，得2m =， 把(2,2)代入ky x=，得4k = 2m ∴=，4k =；（2）将函数y x=的图象向左平移4个单位后函数解析式为：4y x=+，联立方程组44y xyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11222222xy⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，22222222xy⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，∴交点坐标为(222-+，222)+和(222--，222)-．21．如图，在ABC∆中，AC BC=，AB x⊥轴，垂足为A．反比例函数(0)ky xx=>的图象经过点C，交AB于点D．已知4AB=，52BC=．（1）若4OA=，求k的值；（2）连接OC，若BD BC=，求OC的长．【解】：（1）作CE AB⊥，垂足为E，AC BC=，4AB=，2AE BE∴==．在Rt BCE∆中，52BC=，2BE=，32CE∴=，4OA=，C∴点的坐标为：5(2，2)，点C 在ky x=的图象上， 5k ∴=，（2）设A 点的坐标为(,0)m ， 52BD BC ==， 32AD ∴=， D ∴，C 两点的坐标分别为：3(,)2m ，3(2m -，2)．点C ，D 都在ky x=的图象上，∴332()22m m =-， 6m ∴=，C ∴点的坐标为：9(2，2)，作CF x ⊥轴，垂足为F ， 92OF ∴=，2CF =， 在Rt OFC ∆中， 222OC OF CF =+，OC ∴=．22．如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交于(2,)A m ，(,2)B n -两点．过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，且5ABC S ∆=．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式21k k x b x+>的解集； （3）若1(,)P p y ，2(2,)Q y -是函数2k y x=图象上的两点，且12y y ，求实数p 的取值范围．【解】：（1）把(2,)A m ，(,2)B n -代入2k y x=得：222k m n ==-， 即m n =-， 则(2,)A n -，过A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，延长AE 、BF 交于D ，(2,)A n -，(,2)B n -，2BD n ∴=-，2AD n =-+，|2|2BC =-=，12ABC S BC BD ∆=∴12(2)52n ⨯⨯-=，解得：3n =-， 即(2,3)A ，(3,2)B --， 把(2,3)A 代入2k y x=得：26k =， 即反比例函数的解析式是6y x=； 把(2,3)A ，(3,2)B --代入1y k x b =+得：113223k bk b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：11k =，1b =，即一次函数的解析式是1y x =+；（2）(2,3)A ，(3,2)B --，∴不等式21k k x b x +>的解集是30x -<<或2x >； （3）分为两种情况：当点P 在第三象限时，要使12y y ，实数p 的取值范围是2p -，当点P 在第一象限时，要使12y y ，实数p 的取值范围是0p >，即P 的取值范围是2p -或0p >．23．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，A ，C 分别在坐标轴上，点B的坐标为(4,2)，直线132y x =-+交AB ，BC 于点M ，N ，反比例函数k y x=的图象经过点M ，N ． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且OPM ∆的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 的坐标．【解】：（1）(4,2)B ，四边形OABC 是矩形，2OA BC ∴==，将2y =代入132y x =-+得：2x =， (2,2)M ∴，把M 的坐标代入k y x=得：4k =， ∴反比例函数的解析式是4y x =； （2）把4x =代入4y x=得：1y =，即1CN =， AOM CON OABC BMON S S S S ∆∆=--矩形四边形11422241422=⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 由题意得：1||42OP AO ⨯=， 2AO =，||4∴=，OP-．∴点P的坐标是(4,0)或(4,0)24．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元)与日销售量y（只)之间有如下关系：（1）猜测并确定y与x 之间的函数关系式；（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？【解】：（1）由表可知，6000xy=，6000∴=>；y x(0)x（2）根据题意，得：600012000=-=-=-；(2)(2)6000W x y xx xx，（3）1012000∴-，60004800x即当10x=时，W取得最大值，最大值为4800元，答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是4800元．。

智才艺州攀枝花市创界学校九年级下册数学培优作业26一．考点知识精讲1、建模思想：一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围2、实际问题中一次函数的最大(小)值：在实际问题中，自变量的取值范围一般受到限制，一次函数的图象就由直线变成线段或者射线，根据函数图象的性质，函数就存在最大值或者最小值3、常见类型：(1)求一次函数的解析式(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最值等二、中考典型题例精析：例1：为了促进节能减排，倡导节约用电，某将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y〔元〕与用电量x〔度〕间的函数关系式．〔1〕根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写上下表：档次第一档第二档第三档每月用电量x〔度〕0＜x≤140〔2〕小明家某月用电120度，需交电费元；〔3〕求第二档每月电费y〔元〕与用电量x〔度〕之间的函数关系式；〔4〕在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m 元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．例2：以下列图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y〔千米〕随时间是x〔分〕变化的图像〔全程〕，根据图像答复以下问题：〔1〕求比赛开场多少分钟时，两人第一次相遇；〔2〕求这次比赛全程是多少千米；〔3〕求比赛开场多少分钟时，两人第二次相遇。

例3：在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终到达C 港．设甲、乙两船行驶x 〔h 〕后，与．B ．港的间隔．．．．分别为1y 、2y 〔km 〕，1y 、2y 与x 的函数关系如下列图． 〔1〕填空：A 、C 两港口间的间隔为km ， a ；〔2〕求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；〔3〕假设两船的间隔不超过10km 时可以互相望见，求甲、乙两船可以互相望见时x 的取值范围．例4：我某县素以“中国蒜都〞著称，某运输公司方案用10辆汽车将甲、乙、丙三种大蒜一共100吨运输到外地，按规定每辆车只能装同一种大蒜且必须装满，每种大蒜不少于一车。

冀教版数学九年级上册26章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习锐角三角函数的定义、锐角三角函数值、解直角三角形以及解直角三角形的实际应用．重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：两个概念，一个运算，两个应用，两个技巧．两个概念概念1 锐角三角函数1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的三个三角函数值．(第1题)概念2 解直角三角形2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．(第2题)一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算3．计算：(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°；(2)14tan 245°＋1sin 230°－3cos 230°＋tan 45°cos 60°－sin 40°cos 50°.【导学号：83182083】两个应用应用1 解直角三角形在学科内应用4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE ⊥AP ，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.(1)当点P 在线段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE 的长； (2)当a ＝3时，连接DF ，试判断四边形APFD 的形状，并说明理由； (3)当tan ∠PAE ＝12时，求a 的值．【导学号：83182084】(第4题)应用2解直角三角形的实际应用5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由．(2)求A，B间的距离(参考数据：cos 41°≈0.75)．【导学号：83182085】(第5题)6.【中考·泰州】如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)．(第6题)两个技巧技巧1 “化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧 7．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝32，AC ＝23，求AB 的长．(第7题)技巧2 “割补法”构造直角三角形求解的技巧8．如图，已知四边形ABCD ，∠ABC ＝120°，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AB ＝303，BC ＝503，求四边形ABCD 的面积(要求：用分割法和补形法两种方法求解)．(第8题)答案1．解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°. ∴∠BCD ＝∠A.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10， ∴sin ∠BCD ＝sin A ＝BC AB ＝45，cos ∠BCD ＝cos A ＝AC AB ＝35，tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝43.点拨：运用三角函数的定义解题的关键：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的定义．本题也可利用相似求出BD ，DC ，再利用三角函数的定义直接求解．2．解：∵sin B ＝35，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35.设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k ， ∴CB ＝8k.∴AC ＝6k ，AB ＝10k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9.∴k ＝1. ∴DE ＝3，DB ＝5.∴BE ＝52－32＝4. 如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ， 则CF ∥DE. ∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，求得CF ＝245，BF ＝325. ∴EF ＝BF －BE ＝125.在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255. 点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．(第2题)3．解：(1)原式＝33×32＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫222×1＝12＋34－12＝34.(2)原式＝14×12＋1⎝⎛⎭⎫122－3×⎝⎛⎭⎫322＋112－1＝14＋4－3×34＋2－1＝3.4．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y.∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°.∴∠APB ＋∠CPE ＝90°.∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP. ∴△ABP ∽△PCE.∴BP CE ＝ABPC .∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD 是菱形．理由如下： 当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32.∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BF.∴△AED ∽△FEC. ∴AD FC ＝DECE.∴FC ＝3. ∵BP ＝3，BC ＝5，∴PC ＝BC －BP ＝2. ∴PF ＝PC ＋FC ＝2＋3＝5. ∴PF ＝AD.又∵AD ∥PF ， ∴四边形APFD 是平行四边形．在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°， ∴AP ＝5＝PF.∴四边形APFD 是菱形． (3)根据tan ∠PAE ＝12可得APPE ＝2.由(1)得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，∴a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或a ＝7.5．解：(1)相等．理由如下：由已知条件易知，∠BPQ ＝65.5°，∠PQB ＝49°， ∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°.∴∠PBQ ＝∠BPQ.∴BQ ＝PQ. (2)由(1)得BQ ＝PQ ＝1 200 m .由已知条件易知∠AQP ＝90°－49°＝41°.在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m )．又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°，∴在Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m )． ∴A ，B 间的距离约是2 000 m .6．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第6题)设铁塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m ，AB ＝(x ＋56) m . 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ， 则CF ＝AFtan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m )．在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ， 则BD ＝AB ＝(x ＋56)m .∵CF ＝BD ，∴x ＋56＝43x ＋1163，解得x ＝52.即该铁塔的高AE 约为52 m .7．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.(第7题)在Rt △ACD 中，∵AC ＝23，∠A ＝30°， ∴CD ＝12AC ＝3，AD ＝AC·cos 30°＝23×32＝3. 在Rt △BCD 中，CD DB ＝tan B ＝32，∴DB ＝2CD 3＝233＝2.∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋2＝5., 方法总结)：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数值、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，作辅助线的技巧是解此类题目的关键．8．解：方法一：如图①，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴EF ＝AB ，AF ＝BE.∵∠ABC ＝120°，∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°. 在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC·tan ∠CBE ＝503×tan 30°＝503×33＝50. 在Rt △DEF 中， DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130. ∴S四边形ABCD＝S梯形ABED＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB ＋12BC·EC ＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.(第8题)方法二：如图②，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90， BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3.∴CE＝BE＋BC＝603＋503＝110 3.在Rt△DCE中，DC＝CE·tan 30°＝1103×33＝110.∴S四边形ABCD＝S△DCE－S△ABE＝12DC·CE－12AB·AE＝12×110×1103－12×303×90＝4700 3.点拨：不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补形，把不规则四边形化为直角三角形．。

沪科版数学九年级下册第26章专训1事件的认识名师点金：判断一个事件的类型的方法：判断一个事件是不可能事件、必然事件还是随机事件，其标准在于结果是否在试验前预先确定，与这个试验是否进行无关，一般来说，描述已被确定的真理或客观存在的事实的事件是必然事件，描述违背已被确定的真理或客观存在的事实的事件是不可能事件，否则是随机事件．随机事件又分为等可能事件和非等可能事件．确定事件题型1：不可能事件1．下列事件中，属于不可能事件的是()A．某投篮高手投篮一次就进球B．打开电视机，正在播放世界杯足球比赛C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6D．在1个标准大气压下，90 ℃的水会沸腾2．下列事件中，哪些是不可能事件？①度量三角形的内角和，结果是360°；②随意翻一本书的某页，这页的页码是奇数；③一个袋子里装有红、白、黄三种颜色的小球，从中摸出黑球；④如果|a|＝|b|，那么a＝b；⑤测量青岛某天的最低气温，结果为－180 ℃.题型2：必然事件3．(中考·怀化)下列事件中是必然事件的是()A．地球绕着太阳转B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨D．打开电视，正在播放新闻4．(中考·徐州)一只不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是() A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．这些事件是确定事件吗？①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；②367人中至少有2人的生日相同；③没有水分，种子也会发芽；④奥运会上百米赛跑的成绩是5秒；⑤同种电荷，相互排斥；⑥通常情况下，高铁比普通列车快；⑦用3 cm，5 cm，8 cm长的三条线段围成三角形．【导学号：78802074】随机事件6．下列事件是随机事件的是()A．太阳从东边升起B．一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解C．明天是晴天D．两直线相交，对顶角相等7．“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是________事件(填“随机”或“必然”)．8．指出下列随机事件中，哪些是等可能事件，哪些是非等可能事件．①在一个装着3个白球、3个黑球(每个球除颜色外都相同)的不透明袋中随机摸出一个球，摸出白球与摸出黑球；②掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数分别为1，2，3，4，5，6；③从4张背面相同的扑克牌中(4张牌的花色分别为红桃、方块、梅花、黑桃)随意抽取一张，这张牌分别是红桃、方块、梅花、黑桃；④掷一枚图钉，钉尖着地与钉尖朝上．专训2概率的四种求法名师点金：概率可以通过大量重复试验中频率的稳定性来估计，它反映了事件发生的可能性的大小，需要注意的是：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并不一定出现在每次试验中．常见的计算概率的方法有公式法(仅适用于等可能事件)、列表法、画树状图法和频率估算法等．用公式法求概率1．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于13，问至少取出了多少个黑球？用列表法求概率2．(中考·潍坊)某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n ＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成如下不完整的统计图表：(1)分别求出统计表中的x，y的值；(2)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；(3)从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．(第2题)用画树状图法求概率3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小是相同的，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率．(1)三辆车全部继续直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转；(3)至少有两辆车向左转．用频率估算法求概率4．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来数的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，然后将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6 000次．(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？(2)请你估计袋中红球有多少个？【导学号：78802075】专训3利用概率判断游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是不是公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．利用概率判断转盘游戏的公平性2．如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为(x，y)．记S＝x＋y.(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标．(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？若不公平，对谁有利？请说明理由．(第2题)利用概率判断掷骰子游戏的公平性3．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图．(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或画树状图法分析，这个规则对双方是否公平．(第3题)专训4概率应用的四种类型名师点金：概率的应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．概率在方程和不等式中的应用1．(中考·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后(背面相同)，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 有解的概率为________． 2．甲、乙两名同学投掷一枚骰子，用字母p ，q 分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．(1)满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数解的概率是________．(2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是________．概率在函数中的应用题型1：放回事件3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y ，则点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率为________．题型2：不放回事件4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x ，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y.(1)计算由x ，y 确定的点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率．(2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x ，y 满足xy>6，则小明胜；若x ，y 满足xy<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．概率在几何中的应用5．如图(1)为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD(如图(2))是平行四边形的概率．【导学号：78802076】(第5题)概率在物理学中的应用6．如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关．(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率．(第6题)专训5：全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是近年来中考的必考内容，主要考点是事件的类型、用列表法或树状图法计算概率、用频率估计概率及概率的应用．其考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何、统计知识等综合考查．其热门考点可概括为一个判断、两个方法、两个思想．一个判断——事件类型的判断1．下列事件中，是必然事件的是()A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B．成都平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃C．在标准大气压下，通常加热到100 ℃时，水沸腾D．打开电视，正在播放节目《中国好声音》2．下列事件，是随机事件的是()A．四边形的内角和为180°B．袋中有2个黄球和3个绿球，随机摸出一个球是红球C．2020年日本举办奥运会D．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限两个方法方法1：求随机事件概率(第3题)3．小球在如图的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是________．4．(中考·宜昌)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每名学生必须参加且只参加一个)．为了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成如图所示不完整的扇形统计图．已知参加“读书社”的学生有15人．请解答下列问题：(1)该班的学生共有________名；(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀成员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．(第4题)方法2：用频率估计概率5．小军和小刚两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下表：(1)计算(2)小军说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率是110.”小军的这一说法正确吗？为什么？(3)小刚说：“如果掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小刚的这一说法正确吗？为什么？两个思想思想1：数形结合思想(第6题)6．一个均匀的正方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图如图，抛掷这个正方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面的数字的2倍的概率是( )A .23B .12C .13D .16思想2：方程思想7．一个口袋中放有红球、白球和黑球若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别，已知红球比黑球多1个，比白球少3个．(1)小王通过大量重复试验(每次取1个球，放回搅匀后再取第二个)发现，取出黑球的频率稳定在14左右，请你估计口袋中黑球的个数． (2)若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取出1个球，取出红球的概率是多少？答案专训11．D2．解：不可能事件：①③⑤.3．A 4.A5．解：必然事件：①②⑤⑥；不可能事件：③④⑦，这些事件都是确定事件．6．C 7.随机8．解：等可能事件：①②③；非等可能事件：④.专训21．解：(1)P(摸出一个球是黄球)＝55＋13＋22＝18. (2)设取出了x 个黑球，则放入了x 个黄球，由题意得5＋x 5＋13＋22≥13，解得x ≥253.∵x 为正整数，∴x 最小取9，则至少取出了9个黑球．2．解：(1)由图表可知被调查学生中“一般”档次的有13名，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%＝50(名)，则调查学生中“良好”档次的有50×60%＝30(名)，所以x ＝30－(12＋7)＝11，y ＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.(2)由样本数据可知“优秀”档次所占的比例是3＋150＝0.08＝8%.所以，估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数为400×8%＝32(名)．(3)用A ，B ，C 表示阅读本数是8的学生，用D 表示阅读本数是9的学生，列表如下：1名阅读本数为9的有6种．所以，抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率P ＝612＝12.3．解：用树状图表示出三辆车经过该十字路口时所有可能出现的情况如图：(第3题)由树状图可以看出，三辆车经过该十字路口时所有等可能出现的情况共有27种．(1)三辆车全部继续直行的结果只有一种，所以P(三辆车全部继续直行)＝127. (2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3种，所以P(两辆车向右转，一辆车向左转)＝327＝19.(3)至少有两辆车向左转的结果有7种，所以P(至少有两辆车向左转)＝727.4．解：(1)∵20×400＝8 000(次)，∴摸到红球的频率为6 0008 000＝0.75.∵试验次数很大时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.(2)设袋中红球有x 个，根据题意，得xx ＋5＝0.75，解得x ＝15.经检验，x ＝15是原方程的解且符合题意．∴估计袋中红球有15个．专训31．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为24＝12.(2)画树状图如图：(第1题)∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为412＝13.(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，∴P(甲胜)＝612＝12，P(乙胜)＝612＝12，∴P(甲胜)＝P(乙胜)，∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．2．解：(1)列表如下：(2)由表格可知，S ＝x ＋y 的值有12种等可能的结果，其中S ＜6的情形有4种，故P(甲获胜)＝412＝13，所以乙获胜的概率为23，因此这个游戏不公平，对乙有利．3．解：(1)设D 地车票有x 张，则x ＝(x ＋20＋40＋30)×10%，解得x ＝10，即D 地车票有10张，补全统计图如图所示：(2)小胡抽到去A 地的概率为2020＋40＋30＋10＝15.[第3题(1)](3)列表如下：[第3题(3)]或画树状图如图：可知共有16种等可能的结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，分别为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)；所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为616＝38；则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－38＝58，因为38≠58， 所以这个规则对双方不公平．专训41.49 点拨：若不等式组有解，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 的解 集为3≤x ＜2a －13，且必须满足条件2a －13＞3，解得a ＞5，∴满足条件的a的值为6，7，8，9，∴不等式组有解的概率为49.2．(1)1936 (2)118 3.14 点拨：画树状图如图：(第3题)∴点P 的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中落在直线y ＝－x ＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率为416＝14. 4．解：(1)方法一：列表如下：4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果，∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13. 方法二：画树状图如图：(第4题)∵共有12种等可能的结果，在函数y ＝－x ＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13；(2)不公平．理由如下：∵x ，y 满足xy ＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x ，y 满足xy ＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况，∴P(小明胜)＝412＝13，P(小红胜)＝612＝12. ∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则可改为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(公平的游戏规则不唯一)5．解：(1)画树状图如图：(第5题)(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形ABCD 是平行四边形的概率为812＝23.6．解：(1)画出树状图如图：(第6题)(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，da ，db ，ea ，eb ，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝1220＝35.专训5 1．C 2.D3.494．解：(1)60(2)参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为1－25%－20%－20%－15%2＝10%，所以“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为360°×10%＝36°.(3)画树状图如图：(第4题)或列表如下：由树状图(况有2种，故P (恰好选中甲和乙)＝26＝13.5．解：(1)2点朝上的频率＝960＝320；5点朝上的频率＝2060＝13.(2)小军的说法不正确，因为3点朝上的频率为110，不能说明3点朝上这一事件发生的概率就是110，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．(3)小刚的说法是不正确的，因为随机事件的发生具有随机性，所以6点朝上出现的次数不一定是100次．6．C 点拨：根据表面展开图，得出三组相对的面分别是6对3、4对2、8对1.故P(朝上一面的数字恰好等于朝下一面的数字的2倍)＝26＝13.故选C .7．解：(1)设袋中红球有x 个，则黑球有(x －1)个，白球有(x ＋3)个，共有球x ＋(x －1)＋(x ＋3)＝3x ＋2(个)．根据题意，得x －13x ＋2＝14，解得x ＝6.经检验x ＝6是原方程的解且符合题意． 所以x －1＝5.因此估计口袋中有5个黑球．(2)6＋5＋6＋3＝20(个)．口袋中共有球20个，小王取出第一个球后不放回，还剩下19个球，红球仍是6个，所以小王从袋中余下的球中任意取出1个球是红球的概率是916.。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第26章综合测试一、选择题（共12小题）1．下面的函数是二次函数的是（ ） A ．31y x =+B ．22y x x =+C ．2x y =D ．2y x=2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c ＞＞B ．c a b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．b a c ＞＞3．二次函数21y x mx =++的图象的顶点在坐标轴上，则m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．±2D ．0或±24．二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如表：x 1− 0 1 3 y1−353下列结论错误的是（ ） A ．0ac ＜B ．当1x ＞时，y 的值随x 的增大而减小C ．3是方程()210ax b x c +−+=的一个根 D ．当13x −＜＜时，()210ax b x c +−+＞5．已知二次函数()22y mx x m m =++−的图象经过原点，则m 的值为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定6．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ） A ．()231y x =+−B ．()233y x =++C ．()231y x =−−D ．()233y x =−+7．已知实数a b ，满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ ）A ．18−B ．0C ．1D ．988．抛物线与x 轴交点的横坐标为2−和1，且过点()2 8，，它的关系式为（ ） A ．2224y x x −=− B ．2224y x x =−+− C ．22y x x =+−D ．2224y x x =+−9．把二次函数2134y x x −−=+用配方法化成()2y a x h k =−+的形式时，应为（ ）A ．()21224y x =−−+B ．()21244y x =−−+C ．()21244y x =−++D ．211322y x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭10．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc ＞；②当2x ＞时，0y ＞；③30a c +＞；④30a b +＞.其中正确的结论有（ ）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④11．观察下列表格，一元二次方程2 1.10x x −−=的最精确的一个近似解是（ ）x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 1.1x x −− 0.99− 0.86− 0.71− 0.54− 0.35− 0.14− 0.090.340.61A ．0.09B ．1.1C ．1.6D ．1.712．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++＜的解集是（ ）A ．15x −＜＜B ．5x ＞C ．1 5x x −＜且＞D ． 1 5x x ＜-或＞二、填空题（共8小题） 13．已知()222my m x −=+是二次函数，则m =________.14．二次函数()21y k x =+的图象如图所示，则k 的取值范围为________.15．抛物线()2234y x =−+的顶点坐标是________.16．抛物线()232x x b b y −=+-的顶点在y 轴上，则b 的值为________.17．若()()()1234 1 1 A y B y C y −−，，，，，为二次函数245y x x =+−的图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是________.18．将抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为________. 19．当21x −≤≤时，二次函数()221y x m m =−−++有最大值4，则实数m 的值为________.20．一抛物线和抛物线22y x =−的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是()1 3−，，则该抛物线的解析式为________.三．解答题（共8小题）21．已知函数()()2211y m m x m x m =+−++−.（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？22．某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =−的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x … 3−52− 2− 1− 0 1 2 52 3 … y…354m1−1−543…其中，m =________.（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有________个交点，所以对应的方程220x x −=有________个实数根；②方程222x x −=有________个实数根；③关于x 的方程22x x a −=有4个实数根时，a 的取值范围是________.23．已知，如图，抛物线()230y ax ax c a =++＞与y 轴交于点C ，与x 轴交于A B ，两点，点A 在点B 左侧.点B 的坐标为()1 03OC OB =，，. （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222152y x k x k k =+−−−（）（k 为常数）. （1）若抛物线经过点()21 k ，，求k 的值；（2）若抛物线经过点()12 k y ，和点()22 y ，，且12y y ＞，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当12x ≤≤时，新抛物线对应的函数有最小值32−，求k 的值.25．在平面直角坐标系中，设二次函数()()1 1x a x y a =+−−，其中0a ≠.（1）若函数1y 的图象经过点()1 2−，，求函数1y 的表达式；（2）若一次函数2y ax b =+的图象与1y 的图象经过x 轴上同一点，探究实数a b ，满足的关系式；（3）已知点()0 P x m ，和()1 Q n ，在函数1y 的图象上，若m n ＜，求0x 的取值范围.26．已知二次函数22y x x =−+.（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当0y ＜时，x 的取值范围；（3）若将此图象沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式.27．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：()20a b +≥，且()20a b +-≤.据此，我们可以得到下面的推理：()()2222321212x x x x x ++=+++=++，而()210x +≥()2122x ∴++≥，故223x x ++的最小值是2.试根据以上方法判断代数式23611y y −+是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值.28．已知二次函数()21y x n =−+，当2x =时，2y =.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象.第26章综合测试答案解析一、1．【答案】B【解析】解：A 、31y x =+，二次项系数为0，故本选项错误； B 、22y x x =+，符合二次函数的定义，故本选项正确；C 、2xy =，二次项系数为0，故本选项错误； D 、2y x=，是反比例函数，故本选项错误.故选：B. 2．【答案】D【解析】解：由函数图象已知00a c ＞，＜，12ba−=−， 2b a ∴=，b a ∴＞， b ac ∴＞＞，故选：D. 3．【答案】D【解析】解：当图象的顶点在x 轴上时，二次函数21y x mx =++的图象的顶点在x 轴上，∴二次函数的解析式为：()21y x =±， 2m ∴=±.当图象的顶点在y 轴上时，0m =， 故选：D. 4．【答案】B【解析】解：抛物线经过点()0 3，和()3 3，，()1 1−−，， 39331c a b c a b c =⎧⎪∴++=⎨⎪−+=−⎩，解得133a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为233y x x =−++，0ac ∴＜，所以A 选项的结论正确；抛物线的对称轴为直线32x =， ∴抛物线开口向下，∴当32x ＞时，y 的值随x 的增大而减小，所以B 选项的结论错误；抛物线过点()()1 1 3 3−，-，，， 即抛物线与直线y x =相交于点()()1 1 3 3−，-，，， ∴3和1−是方程2ax bx c x ++=的根，所以C 选项的结论正确；当13x −＜＜时，2ax bx c x ++＞，即()210ax b x c +−+＞，所以D 选项的结论正确.故选：B. 5．【答案】C【解析】解：根据题意得：()20m m −=，0m ∴=或2m =，二次函数的二次项系数不为零，所以2m =. 故选：C. 6．【答案】D【解析】解：将抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为()233y x =−+.故选：D. 7．【答案】B 【解析】解：()22220a b a ab b =−−+≥，2221ab a b ∴+=≤，1122ab ∴−≤≤，令()224422222219221248y a ab b a ba b ab a b ab ab ⎛⎫=++++=−++=−−+ ⎪⎝−⎭=，当1124ab −≤≤时，y 随ab 的增大而增大，当1142ab ≤≤时，y 随ab 的增大而减小，故当12ab =−时，44a ab b ++的最小值，为211999220248168⎛⎫−−−+=−⨯+= ⎪⎝⎭，即44a ab b ++的最小值为0，当且仅当a b =时，12ab =−，此时22a b =−= 或 22a b ==−. 故选：B. 8．【答案】D【解析】解：由题意，设抛物线解析式为()()1 2y a x x =−+，将()2 8，代入，可得 ()()821 22a =−+，解得2a =，∴抛物线的解析式为：()()21 2y x x =−+，化简得，2224y x x =+−.故选：D. 9．【答案】C【解析】解：()()2221113441324444y x x x x x =−+=−++++=−++−.故选：C. 10．【答案】C【解析】解：二次函数的图象的开口向上，0a ∴＞，二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的负半轴上，0c ∴＜，二次函数图象的对称轴是直线1x =，12ba∴−=， 200a b b ∴+=，＜， 0abc ∴∴＞，①正确；二次函数2y ax bx c =++图象可知，当2x ＞时，y 有小于0的情况，∴②错误；当1x =−时，0y ＞，0a b c ∴−+＞，把2b a =−代入得：30a c +＞，∴③正确；二次函数图象的对称轴是直线1x =，12b a∴−=， 20a b ∴+=，0a ＞，30a b ∴+＞，故④正确.故选：C.11．【答案】D【解析】解： 1.7x =时，2 1.1x x −−的值0.09最小，∴一元二次方程2 1.10x x −−=的最精确的一个近似解是1.7.故选：D.12．【答案】D【解析】解：由对称性得：抛物线与x 轴的另一个交点为()1 0−，， 由图象可知不等式20ax bx c ++＜的解集是：1x ＜-或5x ＞，故选：D.二、13．【答案】2【解析】解：()222m y m x −=+是二次函数，22022m m ∴≠−+=，，解得：2m =，故答案为：2.14．【答案】1k −＞【解析】解：如图，抛物线的开口方向向上，则10k +＞，解得1k −＞.故答案是：1k −＞.15．【答案】()3 4，【解析】解：抛物线()2234y x =−+的顶点坐标是()3 4，， 故答案为：()3 4，. 16．【答案】2【解析】解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：()2222223322b b y x b x b x b −−⎛⎫⎛⎫=−−+=−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，顶点坐标为222 322b b b ⎛⎫−−⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 顶点在y 轴上，202b −∴=， 2b ∴=.17．【答案】213y y y ＜＜【解析】解：()()()1234 1 1 A y B y C y −−，，，，，为二次函数245y x x =+−的图象上的三点， 1161655y ∴−−=−=，即15y =-，21458y =−−=−，即28y =−，y 3＝1+4﹣5＝0，即y 3＝0，850−＜-＜，213y y y ∴＜＜.故答案是：213y y y ＜＜.18．【答案】()223y x =+− 【解析】解：抛物线2y x =的顶点坐标为()0 0，，把点()0 0，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为()2 3−−，，所以平移后的抛物线解析式为()223y x =+−. 故答案为()223y x =+−.19．【答案】2或【解析】解：二次函数对称轴为直线x m =，①2m ＜-时，2x =−取得最大值，()22214m m −−−++=， 解得74m =−，不合题意，舍去； ②21m −≤≤时，x m =取得最大值，214m +=，解得m = 3m =不满足21m −≤≤的范围，m ∴=③1m ＞时，1x =取得最大值，()22114m m −++=-，解得2m =.综上所述，2m =或3−时，二次函数有最大值4.故答案是：2或3−.20．【答案】()2213y x =−++【解析】解：由题意可知：该抛物线的解析式为()22y x h k =−−+，又顶点坐标()1 3−，，()2213y x ∴=−++，故答案为：()2213y x =−++.三、21．【答案】解：依题意得210m m m ⎧−=⎨−≠⎩011m m m ==⎧∴⎨≠⎩或0m ∴=；（2）依题意得20m m −≠，0m ∴≠且1m ≠.22．【答案】（1）0（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数22y x x =−的图象关于y 轴对称；②当1x ＞时，y 随x 的增大而增大；（4）①3 3②2③10a −＜＜【解析】解：（1）把2x =−代入22y x x =−得0y =，即0m =，故答案为：0；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程220x x −=有3个实数根； ②如图，22y x x =−的图象与直线2y =有两个交点，222x x ∴−=有2个实数根； ③由函数图象知：关于x 的方程22x x a −=有4个实数根，a ∴的取值范围是10a −＜＜，故答案为：3，3，2，10a −＜＜.23．【答案】解：（1）()1 0B ，，1OB ∴=；3OC BO =，()0 3C ∴−，；（1分）23y ax ax c =++过()()1 00 3B C −，、，， 330c a a c =−⎧∴⎨++=⎩； 解这个方程组，得343a c ⎧=⎪⎨⎪=−⎩， ∴抛物线的解析式为：239344y x x =+−； （2）过点D 作DM y ∥轴分别交线段AC 和x 轴于点M N 、 在239344y x x =+−中，令0y =， 得方程2393044x x +−=解这个方程，得1241x x =−=， ()4 0A ∴−，设直线AC 的解析式为y kx b =+403k b b −+=⎧∴⎨=−⎩， 解这个方程组，得343k b ⎧=−⎪⎨⎪=−⎩， AC ∴的解析式为：334y x =−−， ABCD ABC ADC S S S +=△△四边形()15122DM AN ON =++ 1522DM =+ 设()2223933393 3 333234444444D x x x M x x DM x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−−=−−−+−=−++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，-，， 当2x =−时，DM 有最大值3此时四边形ABCD 面积有最大值272.24．【答案】解：（1）把点()21 k ，代入抛物线()222152y x k x k k =−+−−，得 ()22212521k k k k −−+=− 解得23k = （2）把点()12 k y ，代入抛物线()222152y x k x k k =−+−−，得 ()()222132125222y k k k k k k k −+=−+=- 把点()22 y ，代入抛物线()222152y x k x k k =−+−−，得 ()22222212512832y k k k k k =−−−⨯+=+﹣12y y ＞22313282k k k k −∴++＞ 解得1k ＞（3）抛物线()222152y x k x k k =−+−−解析式配方得 ()21112y x k k ⎛⎫=−++−− ⎪⎝⎭将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为()2112y x k k ⎛⎫=−+−− ⎪⎝⎭当1k ＜时，12x ≤≤对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，()221512112x y k k k k =−−−∴=−=最小时，， 25232k k −∴=−，解得12213k k ==， 都不合题意，舍去；当12k ≤≤时，112y k −−=最小， 13122k ∴−−=− 解得1k =；当2k ＞时，12k ≤≤对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，()2292221213x y k k k k −−−∴=−=+最小时，=， 293322k k ∴+=−− 解得12233k k ==−，（舍去） 综上，1k =或3.25．【答案】解：（1）函数1y 的图象经过点()1 2−，，得 ()()1 2a a +−=−，解得1221a a =−=，，函数1y 的表达式()()2 21y x x =−+−，化简，得22y x x =−−；函数1y 的表达式()()1 2y x x =+−，化简，得22y x x =−−，综上所述：函数1y 的表达式22y x x =−−；（2）当0y =时()() 10x a x a +−−=，解得121x a x a =−=+，，1y 的图象与x 轴的交点是()() 0 1 0a a −+，，，， 当2y ax b =+经过() 0a −，时，20a b −+=，即2b a =； 当2y ax b =+经过()1 0a +，时，20a a b ++=，即2b a a =−−； （3）当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，()1 n ，与()0 n ，关于对称轴对称， 由m n ＜，得0102x ＜≤； 当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m n ＜，得0112x ＜＜， 综上所述：m n ＜，所求0x 的取值范围001x ＜＜.26．【答案】解：（1）函数图象如图所示；（2）当0y ＜时，x 的取值范围：0x ＜或2x ＞；（3）图象沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为()2 0−，， ∴平移后图象所对应的函数关系式为：()22y x =−+（或244y x x −=−−） 27．【答案】解：原式()2318y =−+， ()210y −≥，()23188y ∴−+≥， ∴有最小值，最小值为8.28．【答案】解：二次函数()21y x n =−+，当2x =时，2y =， ()2221n ∴=−+，解得1n =， ∴该二次函数的解析式为()211y x =−+. 列表得： x …… 1−0 1 2 3 ...... y (5)2 1 2 5 ……如图：。

专题26 分而治之——分类讨论阅读与思考在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．初中数学分类讨论问题的常见形式有：1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．例题与求解【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对x的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．【例3】若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确．【例4】如图，已知△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A ，C 不重合），Q 在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长． （福州市中考试题）解题思路：对于(3)，使△PQM 为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ 为直角边，二是以PQ 为斜边．【例5】证明：每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．【例6】设a 和b 是相异实数，证明：存在整数m 和n ，使得0>+bn am ，0<+an bm ． （加拿大中学生竞赛试题）解题思路：a ，b 为相异实数，则必有a －b >0或a －b <0两种情况．能力训练1．已知a +b =－8，ab =8，化简b abaa b+= ． （内江市中考试题） 2．已知实数a ，b 满足以a 2－7a +2=0，a 2－7b +2=0，则b aa b+的值为 ． （淮阴市中考试题）3．在△ABC 中过A 作△ABC 的高，垂足为D ．若∠BAD =55°，∠CAD =25°，则∠BAC = ． 4．在平面直角坐标系内，已知点A (2，2)，B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，则点P 的个数为 ．（河南省竞赛诚题）5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－3与2+3，则线段中点C到直线l的距离是．6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则∠CAB= ．（全国初中数学联赛试题）7．如图，在两直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC =6，AD=2．当AB= 时，这两个直角三角形相似．AB CDE第7题图第10题图第11题图8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）9．关于x的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是( )A．－32＜m＜－14B．m≤－32或m≥－14C．－14＜m＜21D．m≤－32或m≥21（四川省选拔赛试题）10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为( )A．3个B．6个C．7个D．9个（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有( ) （绍兴市竞赛试题）A．1个B．2个C．3个D．4个12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a．②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为 5 ．其中答题完全正确的题目个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个（重庆市中考试题）13．在半径为5cm 的圆内有长为53 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )A ．60°或120°B ．30°或120°C ．60°D ．120°14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB =7，AD =2，BC =3．如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个O B CADBCAD第14题图 第15题图 15．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2+(2m －1)x +m 2+3=0的根，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．5或－3 C ．5 D ．－5或3（吉林省中考试题） 16．已知：关于x 的函数()()4112322+++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点，求a 的取值范围．（十堰市中考试题）17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数xky =（x >0，k ≠0）的图象经过线段BC 的中点D ． (1) 求k 的值； (2) 若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形COPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．y xDOB CA18．已知△ABC 中，BC =6 cm ，CA =8 cm ，∠C =90°，动点P 从点C 出发，以每秒1 cm 的速度沿CA ，AB 运动到B 点．(1)设P 从C 开始运动的距离为x cm ，△BCP 的面积为y cm 2，把y 表示成x 的函数；(2)从C 出发几秒时，S △BCP =14S △ABC ? （荆州市中考试题）19．如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点O ，以直线O 1O 2为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，直线AB 切⊙O 1于点B ，切⊙O 2于点A ，交y 轴于点C (0，2)，交x 轴于点M ；BO 的延长线交⊙O 2于点D ，且OB ：OD =1：3．(1) 求⊙O 2的半径长； (2) 求直线AB 的解析式；(3) 在直线AB 上是否存在点P ，使△MO 2P 与△MOB 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．（吉林省中考试题）yxCMAOO 1O 2BD20．已知抛物线l1：y=ax2－2amx+am2+2m+1(a>0，m>0)的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1，3)成中心对称．(1) 当a=1时，求l2的解析式和m的值；(2) 设l2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．（浙江省竞赛试题）21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．（全国初中数学联赛试题）22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：(1) 2a，2b都是整数；(2) a，b，c都是整数，并且c是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？（全国初中数学竞赛试题）23．2 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由，、（浙江省竞赛试题）24.甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由．（江苏省竞赛试题）专题26 分而治之 ——分类讨论例1 R ＝2.4cm 或3cm ＜R ≤4cm 例2 分三种情况讨论：①当x ≤－3时，方程为－2x －1＝x ＋10解得113x =-，符合x ≤－3，故113x =-是一解；②当－3＜x ≤2时，方程为5＝x ＋10解得x ＝－5，不符合－3＜x ≤2，故舍去；③当x ＞2时，方程为2x ＋1＝x ＋10解得x ＝9，符合x ＞2，故x ＝9也是一解． 综合①②③可得原方程的解为113x =-或x ＝9． 例3 当k ＝6时，得x ＝2；当k ＝9时，得x ＝－3； 当k ≠6且k ≠9时，解得196x k =-，269x k=-； 当6－k ＝±1，±3，±9时，x 1是整数，这时k ＝7，5，3，－3，15；当9－k ＝±1，±2，±3，±6时，x 2是整数，这时k ＝10，8，11，7，12，15，3． 综上所述，k ＝3，6，7，9，15时，原方程的解是整数． 例4 （1）22CP =； （2）247CP =； （3）①如图1所示，设PM ⊥PQ 且PM ＝PQ ，点M 在AB 上，令PQ＝x ，∵△CPQ ∽△CAB ，∴ 1251255x x -=，解得6037x =．②如图2所示，当∠PMQ ＝90°，且PM ＝MQ ，点M 在AB 上，令PQ ＝y ，∵△CPQ ∽△CAB ，∴ 121521255y y -=，解得12049y =． 例5 ①若n 为奇数，设n ＝2k ＋1，k 为大于2的整数，则可写成n ＝k ＋(k ＋1)，显然符合要求．②若n 为偶数，则可设n ＝4k ，或n ＝4k ＋2，k 为大于1的自然数．当n ＝4k 时，n ＝(2k －1)＋(2k ＋1)，且易知2k －1与2k ＋1互质，假如它们有公因子d ≥2，则d ＝2，但2k －1，2k ＋1均为奇数，此为不可能；当n ＝4k ＋2时，n ＝(2k －1)＋(2k ＋3)，且易知2k －1与2k ＋3互质，事实上假如它们有公因子d ≥2，设2k －1＝nd ，2k ＋3＝md ，m ，n 均为自然数，则有(m －n )d ＝4，可见d ＝4，矛盾．例6 当a －b ＞0时，取m ＝1，n ＝－1，则am ＋bn ＝a －b ＞0成立，bm ＋an ＝b －a ＜0成立，验证知满足所给不等式．当a －b ＜0时，取m ＝－1，n ＝1，则am ＋bn ＝－a ＋b ＞0成立，bm ＋an ＝－b ＋a＜0成立，也验证知满足所给不等式．能力训练 1. 122- 2. 2或22.5 3. 80°或30°提示：分高AD在△ABC内部或外部两种情况． 4. 4个提示：先在坐标平面内描出A，B两点，连接AB，因题设中未指明△PAB 的哪个角是直角，故应分别就∠A，∠B，∠P是直角来讨论．设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．若∠A＝90°，则P1(0，2)；若∠B＝90°，则P2(0，－3)；若∠P＝90°，则PA2＋PB2＝AB2，而PA2＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴x＝1或x＝－2，即P3(0，1) 或(0，－2) ．5. 2或3提示：分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论．6. 75°或15°提示：运用圆的对称性．7. 3或32．8. S≤－32且S≠－3提示：S＝2m－3，∆≥0，m≤34且m≠0．9. B．10. D．提示：以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类：①以AB为边的，且面积为2的平行四边形共6个；②以AB为对角线，且面积为2的平行四边形共3个.故满足条件的阵点平行四边形的个数为9个. 11. C 12.A 13.A 14.C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP两种情况讨论.15.A 16.提示：当函数是一次函数，即时，图像与x轴有交点；当时，图像与x轴有交点，综上知a的取值范围为a<-1. 17.(1)在正方形OABC中，CB=OC=OA=AB=2，又点D是BC的中点，∴CD=1，即D（1,2）.而点D（1,2）在上，∴.∴k=2.（2）（і）当0<x<1时，如图1，过点P作PE⊥x轴交CB于点Q，交x轴于点E，过点P作PR⊥y轴于点R.∵点P坐标为（x，y），且由（1）题知，点P在函数的图像上.∵PR=OE=x，PE=RO=y=.∴PQ=PE-EQ=.∵S=PR PQ=.综上，当0<x<1时，S=2-2x；当x>1时，S=2x-2. 18. 提示：（1）当P在CA边上时，x=2，即从点C出发2秒时，；当点P运动在AB边上时，x=15.5，即从点C出发15.5秒时，. 19.（1）（2）M（），直线AB解析式为. （3）△MOB是等腰三角形，且顶角∠MBO=120°.假设满足条件的点P存在，只需=120°，得P点坐标为（4）. 20.（1）当a=1时，.∵顶点A的坐标为（m，2m+1）.∵P点坐标为（1,3），折直线AB的解析式是y=kx+b，把点A，P的坐标代入，得①-②得2m-3=(m-1)k.∵(若m=1，则A，B，P三点重合，不合题意)，∴k=2，b=1.∴直线AB的解析式是y=2x+1，得的顶点B的坐标为（0,1）.∵与关于点P成中心对称，∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得.∵点A，B关于点P（1,3）成中心对称，如图1所示，作PE⊥y轴于点E，作AF⊥y轴于点F，则△BPE∽△BAF，∴AF=2PE，即m=2. （2）在Rt△ABF中，∵AB=，∴当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：①如图2所示，若BC=AB=2，则OC==，得C点坐标为（）.∵C（）在，∴a=.②如图3所示，若AC=BC，设点C坐标为（x，0），作AD⊥x轴于点D.在Rt△OBC中，.在Rt△ADC中，，由，得x=7，得点C的坐标为（7,0），∵C（7,0）在上，∴a=.综上，满足使△ABC是等腰三角形的a值有两个：，.21.a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)，∴a+b+c是3的倍数.设a，b被3除后的余数分别为和，则，，则，或者，.此时2a+5b必为3的倍数，即c为合数，矛盾.故，则，或者，此时a+2b必为3的倍数，从而a+b+C是9的倍数.∵2×11+5×5=47中，11+5+47=63,2×13+5×7=61中，13+7+61=81（63,81）=9,因此，9是n的最大可能值. 22.（1）令x=0，得c=平方数；令x=，得a+b+c=, a-b+c=,其中m，n都是整数，∴2a=,2b=都是整数.(2)令x=2，得4a+2b+c=, 4a-2b+c=,其中h ，k 为整数，两式相减得4b=.由于4b=2（2b ）是偶数，所以h ，k 的奇偶性相同，能被4整数，因此b 是整数，也是整数.在（2）成立时，不一定对x 的整数值都是平方数，例如：a=2,b=2,c=4,x=1时，=8不是平方数. 23.不能.理由设继点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j=,若i=2007，则j=2007，即除点涂成红色外，其余均没有涂到；若,则即2≠i 4014，故2≠-2007i 2 007.又i 2 为偶数，则2≠i 2 007,表示≠j =2 007，即表明2007P 点永远涂不到红色.24设甲队有x 人，乙队有y 人，丙队有z 人，根据题意，有x +y +z =13, x <y <z .注意到4十5十6=15>13，故甲队人数少于4人，即甲队只有2人或3人.于是，这三队的人数情况只能是如下四种情形:①x =2, y =3 , z =8，比赛场数=2× (3+8)+3×8=46，不合题意;②x =2,y =4,z = 7，比赛场数=2× (4+7)+4 × 7=50，不合题意;③x =2,y =5,z =6，比赛场数=2× (5+6)+5×6=52，不合题意;④x=3 , y=4，z =6，比赛场数=3×(4+6)+4×6=54,符合题意.由此可知，甲、乙、丙三支球队的人数分别为3,4,6.。

专题26 分而治之——分类讨论例1 R ＝2.4cm 或3cm ＜R ≤4cm例2 分三种情况讨论：①当x ≤－3时，方程为－2x －1＝x ＋10解得113x =-，符合x ≤－3，故113x =-是一解；②当－3＜x ≤2时，方程为5＝x ＋10解得x ＝－5，不符合－3＜x ≤2，故舍去；③当x ＞2时，方程为2x ＋1＝x ＋10解得x ＝9，符合x ＞2，故x ＝9也是一解．综合①②③可得原方程的解为113x =-或x ＝9． 例3 当k ＝6时，得x ＝2；当k ＝9时，得x ＝－3；当k ≠6且k ≠9时，解得196x k =-，269x k=-； 当6－k ＝±1，±3，±9时，x 1是整数，这时k ＝7，5，3，－3，15；当9－k ＝±1，±2，±3，±6时，x 2是整数，这时k ＝10，8，11，7，12，15，3．综上所述，k ＝3，6，7，9，15时，原方程的解是整数．例4 （1）22CP = （2）247CP =； （3）①如图1所示，设PM ⊥PQ 且PM ＝PQ ，点M 在AB 上，令PQ ＝x ，∵△CPQ ∽△CAB ，∴ 1251255x x -=，解得6037x =．②如图2所示，当∠PMQ ＝90°，且PM ＝MQ ，点M 在AB 上，令PQ ＝y ， ∵△CPQ ∽△CAB ，∴ 121521255y y -=，解得12049y =． 例5 ①若n 为奇数，设n ＝2k ＋1，k 为大于2的整数，则可写成n ＝k ＋(k ＋1)，显然符合要求．②若n 为偶数，则可设n ＝4k ，或n ＝4k ＋2，k 为大于1的自然数．当n ＝4k 时，n ＝(2k －1)＋(2k ＋1)，且易知2k －1与2k ＋1互质，假如它们有公因子d ≥2，则d ＝2，但2k －1，2k ＋1均为奇数，此为不可能；当n ＝4k ＋2时，n ＝(2k －1)＋(2k ＋3)，且易知2k －1与2k ＋3互质，事实上假如它们有公因子d ≥2，设2k －1＝nd ，2k ＋3＝md ，m ，n 均为自然数，则有(m －n )d ＝4，可见d ＝4，矛盾．例6 当a －b ＞0时，取m ＝1，n ＝－1，则am ＋bn ＝a －b ＞0成立，bm ＋an ＝b －a ＜0成立，验证知满足所给不等式．当a－b＜0时，取m＝－1，n＝1，则am＋bn＝－a＋b＞0成立，bm＋an＝－b＋a＜0成立，也验证知满足所给不等式．能力训练 1. - 2. 2或22.5 3. 80°或30°提示：分高AD在△ABC 内部或外部两种情况． 4. 4个提示：先在坐标平面内描出A，B两点，连接AB，因题设中未指明△PAB的哪个角是直角，故应分别就∠A，∠B，∠P是直角来讨论．设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．若∠A＝90°，则P1(0，2)；若∠B＝90°，则P2(0，－3)；若∠P＝90°，则PA2＋PB2＝AB2，而PA2＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴x＝1或x＝－2，即P3(0，1) 或(0，－2) ．5. 2提示：分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论．6. 75°或15°提示：运用圆的对称性．7. 3或．8. S≤－32且S≠－3提示：S＝2m－3，∆≥0，m≤34且m≠0．9. B．10. D．提示：以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类：①以AB为边的，且面积为2的平行四边形共6个；②以AB为对角线，且面积为2的平行四边形共3个.故满足条件的阵点平行四边形的个数为9个. 11. C 12.A 13.A 14.C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP两种情况讨论.15.A 16.提示：当函数是一次函数，即a2+3a+2=0且a+1≠0时，图像与x轴有交点；当a2+3a+2≠0且∆≥0时，图像与x轴有交点，综上知a的取值范围为a<-1. 17.(1)在正方形OABC中，CB=OC=OA=AB=2，又点D是BC的中点，∴CD=1，即D（1,2）.而点D（1,2）在y=kx 上，∴2=k1.∴k=2.（2）（і）当0<x<1时，如图1，过点P作PE⊥x轴交CB于点Q，交x轴于点E，过点P作PR⊥y轴于点R.∵点P坐标为（x，y），且由（1）题知，点P在函数y=2x (x>0)的图像上.∵PR=OE=x，PE=RO=y=2x.∴PQ=PE-EQ=2−2x.∵S=PR∙PQ=x(2−2x)=2x−2.综上，当0<x<1时，S=2-2x；当x>1时，S=2x-2. 18. 提示：（1）当P在CA边上时，x=2，即从点C出发2秒时，△BCP=14△ABC；当点P运动在AB边上时，x=15.5，即从点C出发15.5秒时，△BCP=14△ABC. 19.（1）2√3（2）M（−2√3，0），直线AB解析式为y=√33x+2. （3）△MOB是等腰三角形，且顶角∠MBO=120°.假设满足条件的点P存在，只需∠MO2P=120°，得P点坐标为（4√3，6）. 20.（1）当a=1时，y=(x−m)2+2m+1.∵顶点A的坐标为（m，2m+1）.∵P点坐标为（1,3），折直线AB的解析式是y=kx+b ，把点A ，P 的坐标代入，得{2m +1=km +b①3=k +b②①-②得2m -3=(m -1)k.∵m ≠1(若m=1，则A ，B ，P 三点重合，不合题意)，∴k=2，b=1.∴直线AB 的解析式是y=2x+1，得l 2的顶点B 的坐标为（0,1）.∵l 2与l 1关于点P 成中心对称，∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得l 2的解析式是y =−x 2+1.∵点A ，B 关于点P （1,3）成中心对称，如图1所示，作PE ⊥y 轴于点E ，作AF ⊥y 轴于点F ，则△BPE ∽△BAF ，∴AF=2PE ，即m=2. （2）在Rt △ABF 中，∵AB=√22+42=2√5<5，∴当△ABC 为等腰三角形时，只有以下两种情况：①如图2所示，若BC=AB=2√5，则OC=√BC 2−OB 2=√19，得C 点坐标为（√19，0）.∵C （√19，0）在y =−ax 2+1，∴a=119.②如图3所示，若AC=BC ，设点C 坐标为（x ，0），作AD ⊥x 轴于点D.在Rt △OBC 中，BC 2=x 2+1.在Rt △ADC 中，AC 2=(x −2)2+25，由x 2+1=(x −2)2+25，得x=7，得点C 的坐标为（7,0），∵C （7,0）在y =−ax 2+1上，∴a=149.综上，满足使△ABC 是等腰三角形的a 值有两个：a 1=119，a 2=149.21.a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)，∴a+b+c 是3的倍数.设a ，b 被3除后的余数分别为r a 和r b ，则r a ≠0，r b ≠0，则r a =1，r b =2或者r a =2，r b =1.此时2a+5b 必为3的倍数，即c 为合数，矛盾.故r a =r b ，则r a =r b =1，或者r a =r b =2，此时a+2b 必为3的倍数，从而a+b+C 是9的倍数.∵2×11+5×5=47中，11+5+47=63,2×13+5×7=61中，13+7+61=81（63,81）=9,因此，9是n 的最大可能值. 22.（1）令x=0，得c=平方数；令x=±1，得a+b+c=m 2, a-b+c=n 2,其中m ，n 都是整数，∴2a=m 2+n 2−2c ,2b=m 2−n 2都是整数.(2)令x=±2，得4a+2b+c=2, 4a-2b+c=k 2,其中h ，k 为整数，两式相减得4b=m 2−k 2=(m +k )(m −k ).由于4b=2（2b ）是偶数，所以h ，k 的奇偶性相同，(+k )(−k )能被4整数，因此b 是整数，a =m 2−c −b 也是整数.在（2）成立时，a 2x +bx +c 不一定对x 的整数值都是平方数，例如：a=2,b=2,c=4,x=1时，a 2x +bx +c =8不是平方数. 23.不能.理由设继P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j={2i,2i ≤20072i −2007,2i >2007,若i=2007，则j=2007，即除P 2007点涂成红色外，其余均没有涂到；若i ≠2007,则2i ≠2007×2即2≠i 4014，故2≠-2007i 2 007.又i 2 为偶数，则2≠i 2 007,表示≠j =2 007，即表明2007P 点永远涂不到红色.24设甲队有x 人，乙队有y 人，丙队有z 人，根据题意，有x +y +z =13, x <y <z .注意到4十5十6=15>13，故甲队人数少于4人，即甲队只有2人或3人.于是，这三队的人数情况只能是如下四种情形:①x=2, y=3 , z=8，比赛场数=2× (3+8)+3×8=46，不合题意;②x=2,y=4,z= 7，比赛场数=2× (4+7)+4 × 7=50，不合题意;③x=2,y=5,z=6，比赛场数=2× (5+6)+5×6=52，不合题意;④x=3 , y=4，z =6，比赛场数=3×(4+6)+4×6=54,符合题意.由此可知，甲、乙、丙三支球队的人数分别为3,4,6.。

专题26 分而治之——分类讨论例1 R ＝2.4cm 或3cm ＜R ≤4cm例2 分三种情况讨论：①当x ≤－3时，方程为－2x －1＝x ＋10解得113x =-，符合x ≤－3，故113x =-是一解；②当－3＜x ≤2时，方程为5＝x ＋10解得x ＝－5，不符合－3＜x ≤2，故舍去；③当x ＞2时，方程为2x ＋1＝x ＋10解得x ＝9，符合x ＞2，故x ＝9也是一解． 综合①②③可得原方程的解为113x =-或x ＝9． 例3 当k ＝6时，得x ＝2；当k ＝9时，得x ＝－3；当k ≠6且k ≠9时，解得196x k =-，269x k=-； 当6－k ＝±1，±3，±9时，x 1是整数，这时k ＝7，5，3，－3，15；当9－k ＝±1，±2，±3，±6时，x 2是整数，这时k ＝10，8，11，7，12，15，3．综上所述，k ＝3，6，7，9，15时，原方程的解是整数．例4 （1）22CP = （2）247CP =； （3）①如图1所示，设PM ⊥PQ 且PM ＝PQ ，点M 在AB 上，令PQ ＝x ，∵△CPQ ∽△CAB ，∴ 1251255x x -=，解得6037x =．②如图2所示，当∠PMQ ＝90°，且PM ＝MQ ，点M 在AB 上，令PQ ＝y ， ∵△CPQ ∽△CAB ，∴ 121521255y y -=，解得12049y =． 例5 ①若n 为奇数，设n ＝2k ＋1，k 为大于2的整数，则可写成n ＝k ＋(k ＋1)，显然符合要求．②若n 为偶数，则可设n ＝4k ，或n ＝4k ＋2，k 为大于1的自然数．当n ＝4k 时，n ＝(2k －1)＋(2k ＋1)，且易知2k －1与2k ＋1互质，假如它们有公因子d ≥2，则d ＝2，但2k －1，2k ＋1均为奇数，此为不可能；当n ＝4k ＋2时，n ＝(2k －1)＋(2k ＋3)，且易知2k －1与2k ＋3互质，事实上假如它们有公因子d ≥2，设2k －1＝nd ，2k ＋3＝md ，m ，n 均为自然数，则有(m －n )d ＝4，可见d ＝4，矛盾．例6 当a －b ＞0时，取m ＝1，n ＝－1，则am ＋bn ＝a －b ＞0成立，bm ＋an ＝b －a ＜0成立，验证知满足所给不等式．当a－b＜0时，取m＝－1，n＝1，则am＋bn＝－a＋b＞0成立，bm＋an＝－b＋a＜0成立，也验证知满足所给不等式．能力训练 1. - 2. 2或22.5 3. 80°或30°提示：分高AD在△ABC 内部或外部两种情况． 4. 4个提示：先在坐标平面内描出A，B两点，连接AB，因题设中未指明△PAB的哪个角是直角，故应分别就∠A，∠B，∠P是直角来讨论．设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．若∠A＝90°，则P1(0，2)；若∠B＝90°，则P2(0，－3)；若∠P＝90°，则PA2＋PB2＝AB2，而PA2＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴x＝1或x＝－2，即P3(0，1) 或(0，－2) ．5. 2提示：分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论．6. 75°或15°提示：运用圆的对称性．7. 3或．8. S≤－32且S≠－3提示：S＝2m－3，∆≥0，m≤34且m≠0．9. B．10. D．提示：以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类：①以AB为边的，且面积为2的平行四边形共6个；②以AB为对角线，且面积为2的平行四边形共3个.故满足条件的阵点平行四边形的个数为9个. 11. C 12.A 13.A 14.C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP两种情况讨论.15.A 16.提示：当函数是一次函数，即a2+3a+2=0且a+1≠0时，图像与x轴有交点；当a2+3a+2≠0且∆≥0时，图像与x轴有交点，综上知a的取值范围为a<-1. 17.(1)在正方形OABC中，CB=OC=OA=AB=2，又点D是BC的中点，∴CD=1，即D（1,2）.而点D（1,2）在y=kx 上，∴2=k1.∴k=2.（2）（і）当0<x<1时，如图1，过点P作PE⊥x轴交CB于点Q，交x轴于点E，过点P作PR⊥y轴于点R.∵点P坐标为（x，y），且由（1）题知，点P在函数y=2x (x>0)的图像上.∵PR=OE=x，PE=RO=y=2x.∴PQ=PE-EQ=2−2x.∵S=PR∙PQ=x(2−2x)=2x−2.综上，当0<x<1时，S=2-2x；当x>1时，S=2x-2. 18. 提示：（1）当P在CA边上时，x=2，即从点C出发2秒时，△BCP=14△ABC；当点P运动在AB边上时，x=15.5，即从点C出发15.5秒时，△BCP=14△ABC. 19.（1）2√3（2）M（−2√3，0），直线AB解析式为y=√33x+2. （3）△MOB是等腰三角形，且顶角∠MBO=120°.假设满足条件的点P存在，只需∠MO2P=120°，得P点坐标为（4√3，6）. 20.（1）当a=1时，y=(x−m)2+2m+1.∵顶点A的坐标为（m，2m+1）.∵P点坐标为（1,3），折直线AB的解析式是y=kx+b ，把点A ，P 的坐标代入，得{2m +1=km +b①3=k +b②①-②得2m -3=(m -1)k.∵m ≠1(若m=1，则A ，B ，P 三点重合，不合题意)，∴k=2，b=1.∴直线AB 的解析式是y=2x+1，得l 2的顶点B 的坐标为（0,1）.∵l 2与l 1关于点P 成中心对称，∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得l 2的解析式是y =−x 2+1.∵点A ，B 关于点P （1,3）成中心对称，如图1所示，作PE ⊥y 轴于点E ，作AF ⊥y 轴于点F ，则△BPE ∽△BAF ，∴AF=2PE ，即m=2. （2）在Rt △ABF 中，∵AB=√22+42=2√5<5，∴当△ABC 为等腰三角形时，只有以下两种情况：①如图2所示，若BC=AB=2√5，则OC=√BC 2−OB 2=√19，得C 点坐标为（√19，0）.∵C （√19，0）在y =−ax 2+1，∴a=119.②如图3所示，若AC=BC ，设点C 坐标为（x ，0），作AD ⊥x 轴于点D.在Rt △OBC 中，BC 2=x 2+1.在Rt △ADC 中，AC 2=(x −2)2+25，由x 2+1=(x −2)2+25，得x=7，得点C 的坐标为（7,0），∵C （7,0）在y =−ax 2+1上，∴a=149.综上，满足使△ABC 是等腰三角形的a 值有两个：a 1=119，a 2=149.21.a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)，∴a+b+c 是3的倍数.设a ，b 被3除后的余数分别为r a 和r b ，则r a ≠0，r b ≠0，则r a =1，r b =2或者r a =2，r b =1.此时2a+5b 必为3的倍数，即c 为合数，矛盾.故r a =r b ，则r a =r b =1，或者r a =r b =2，此时a+2b 必为3的倍数，从而a+b+C 是9的倍数.∵2×11+5×5=47中，11+5+47=63,2×13+5×7=61中，13+7+61=81（63,81）=9,因此，9是n 的最大可能值. 22.（1）令x=0，得c=平方数；令x=±1，得a+b+c=m 2, a-b+c=n 2,其中m ，n 都是整数，∴2a=m 2+n 2−2c ,2b=m 2−n 2都是整数.(2)令x=±2，得4a+2b+c=2, 4a-2b+c=k 2,其中h ，k 为整数，两式相减得4b=m 2−k 2=(m +k )(m −k ).由于4b=2（2b ）是偶数，所以h ，k 的奇偶性相同，(+k )(−k )能被4整数，因此b 是整数，a =m 2−c −b 也是整数.在（2）成立时，a 2x +bx +c 不一定对x 的整数值都是平方数，例如：a=2,b=2,c=4,x=1时，a 2x +bx +c =8不是平方数. 23.不能.理由设继P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j={2i,2i ≤20072i −2007,2i >2007,若i=2007，则j=2007，即除P 2007点涂成红色外，其余均没有涂到；若i ≠2007,则2i ≠2007×2即2≠i 4014，故2≠-2007i 2 007.又i 2 为偶数，则2≠i 2 007,表示≠j =2 007，即表明2007P 点永远涂不到红色.24设甲队有x 人，乙队有y 人，丙队有z 人，根据题意，有x +y +z =13, x <y <z .注意到4十5十6=15>13，故甲队人数少于4人，即甲队只有2人或3人.于是，这三队的人数情况只能是如下四种情形:①x=2, y=3 , z=8，比赛场数=2× (3+8)+3×8=46，不合题意;②x=2,y=4,z= 7，比赛场数=2× (4+7)+4 × 7=50，不合题意;③x=2,y=5,z=6，比赛场数=2× (5+6)+5×6=52，不合题意;④x=3 , y=4，z =6，比赛场数=3×(4+6)+4×6=54,符合题意.由此可知，甲、乙、丙三支球队的人数分别为3,4,6.。

专训2利用三角函数解决判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题，其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24 n mile/h的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30 min后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在岛C周围9 n mile的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？请说明理由．【导学号：83182078】(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150 km，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45 km为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)航行拦截问题3．【中考·荆门】如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000 m到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)．(第3题)台风影响问题4．如图，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．(1)当台风中心移动4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到______；当台风中心移动t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到______．(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．(第4题)答案1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：如图，过点C 作CD ⊥AM 于点D.由题意知AB ＝24×3060＝12(n mile )， ∠CAB ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°＝60°.在Rt △DBC 中，tan ∠CBD ＝tan 60°＝CD BD ，∴BD ＝33CD.(第1题)在Rt △ADC 中，tan ∠CAD ＝tan 30°＝CD AD， ∴AD ＝3CD.又∵AD ＝AB ＋BD ，∴3CD ＝12＋33CD.∴CD ＝6 3 n mile . ∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C 到航线AB 的距离与9 n mile 的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C 到航线AB 的距离．2．解：连接A ，B 两市的高速公路不会穿过风景区．理由如下：如图，(第2题)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，则在Rt △ACD 中，AD ＝CD·tan α，在Rt △BCD 中，BD ＝CD·tan β.∵AD ＋DB ＝AB ，∴CD·tan α＋CD·tan β＝AB ，∴CD ＝AB tan α＋tan β＝1501.627＋1.373＝1503＝50(km )． ∵50＞45，∴连接A ，B 两市的高速公路不会穿过风景区．3．解：如图，过点B 作AB 的垂线，过点C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过点C 作AB 的垂线，过点D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E ＝∠F ＝90°，拦截点D 处到公路的距离DA ＝BE ＋CF.在Rt △BCE 中，∵∠E ＝90°，∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°.∴BE ＝12BC ＝12×1 000＝500(m )． 在Rt △CDF 中，∵∠F ＝90°，∠DCF ＝45°，CD ＝1 000 m ，∴CF ＝22CD ＝5002(m )． ∴DA ＝BE ＋CF ＝(500＋5002) m .即拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002) m .(第3题)4．解：(1)100 km ；(60＋10t) km(2)这股台风不会侵袭这座海滨城市．理由如下：如图，过点O 作OH ⊥PQ 于点H.在Rt △POH 中，∠OHP ＝90°，∠OPH ＝65°－(90°－70°)＝45°，OP ＝200 km ，(第4题)∴OH ＝PH ＝OP·sin ∠OPH ＝200×sin 45°＝1002≈141(km )．设经过x h 时，台风中心从P 移动到H ，台风中心移动速度为20 km /h ，则20x ＝1002，∴x ＝5 2.此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×52≈130.5(km )．台风中心在整个移动过程中与城市O 的最近距离OH ≈141 km ，而台风中心从P 移动到H 时受侵袭的圆形区域半径约为130.5 km ，130.5 km ＜141 km ，因此，当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风不会侵袭这座海滨城市．。

【反比例函数】单元培优专练一．选择题1．当x＞0时，函数y＝的图象在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点M（a，b），则代数式的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v＝320t B．v＝C．v＝20t D．v＝4．在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）5．已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（）A．0＜y1＜y2B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜06．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．7．在下列函数图象上任取不同两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0成立的是（）A．y＝﹣2x+1（x＜0）B．y＝﹣x2﹣2x+8（x＜0）C．y＝（x＞0）D．y＝2x2+x﹣6（x＞0）8．如图，双曲线y＝与直线y＝﹣x交于A，B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．D．9．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（）A．8B．3C．2D．410．如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数y＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比例函数的表达式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣二．填空题11．函数的图象与直线y＝x没有交点，那么m的取值范围是．12．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2＝．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为．14．已知点和都在函数的图象上，则y1和y2的大小关系是．15．已知点P（2，1）是反比例函数上的一点，则这个反比例函数的解析式为．三．解答题16．已知关于x的反比例函数．（1）求m的值；（2）它的图象位于哪些象限？17．如图，直线y＝2x+1与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（m，），与x轴交于点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在x轴上，如果△ABP的面积为6，求点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝﹣x﹣1与反比例函数y2＝（m为常数，且m ≠0）的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．19．在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨2万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息：信息1：设第x次线上销售水果y（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨；信息2：该水果的销售单价p（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次x成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次x成反比；信息3：x（次）2824p（万元） 2.2 2.83请根据以上信息，解决下列问题．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若p＝3.2（万元/吨），求x的值；（3）在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？20．如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，5）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）若坐标轴上有一点P，满足△OCP的面积是▱OABC的面积的2倍，求点P的坐标．。

人教版九年级数学下册第26章反比例函数专项训练含答案第26章反比例函数专项训练专训1用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义解决问题．反比例函数的比例系数k与面积的关系1．如图，点P在反比例函数y＝3x(x＞0)的图象上，横坐标为3，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则矩形OMPN的面积为() A．1 B．2 C．3 D．4(第1题)(第2题)2．如图，P是反比例函数y＝kx的图象上一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为()A．y＝－6x B．y＝6x C．y＝－3x D．y＝3x3．如图，A，C是函数y＝1x的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD 的面积为S2，则()A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1和S2的大小关系不能确定(第3题)(第4题)4．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(第5题)(第6题)6．如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx 经过斜边OA的中点C ，与另一直角边交于点D.若S △OCD ＝9，则S △OBD ＝________．已知面积求反比例函数解析式 题型1：已知三角形面积求解析式7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO ，若S △AOB ＝4.(1)求该反比例函数的解析式和直线AB 对应的函数解析式；(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．(第7题)题型2：已知四边形面积求解析式8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝k x在第二象限的图象的交点，B，D两点在坐标轴上，且矩形ABOD的面积为3.(1)求两函数的解析式；(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．(第8题)已知反比例函数解析式求图形的面积题型1：利用解析式求面积9．如图，已知反比例函数y＝k1x与一次函数y＝k2x＋b的图象交于A(1，8)，B(－4，m)．(1)求k1，k2，b的值；(2)求△AOB的面积；(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝k1x的图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．(第9题)题型2：利用对称性求面积10．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为y＝－6x，y＝6x.现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱?(第10题)题型3：利用点的坐标及面积公式求面积11．如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝k2x(x＜0)的图象相交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的解析式；(2)求△AOC的面积．(第11题)专训2巧用根的判别式解图象的公共点问题名师点金：解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况，用判别式来辅助计算．判别式大于0，则有两个公共点；判别式等于0，则有一个公共点；判别式小于0，则没有公共点．无公共点(Δ＜0)1．关于x的反比例函数y＝a＋4x的图象如图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋14＝0的根的情况是______________．(第1题)2．若反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋2的图象没有公共点，则k的取值范围是________．有唯一公共点(Δ＝0)3．如图，将直线y＝x沿x轴负方向平移4个单位后，恰好与双曲线y＝m x(x＜0)有唯一公共点A，并交双曲线y＝nx(x＞0)于B点，若y轴平分△AOB的面积，求n的值．(第3题) 有两个公共点(Δ＞0)4．如图，已知一次函数y＝－x＋8和反比例函数y＝kx(k≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)若△AOB的面积为24，求k的值．(第4题)有公共点(Δ≥0)(第5题)5．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x＞0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是________．6．如图，过点C(1，2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于点A，B，若反比例函数y＝kx(x＞0)的图象与△ABC有公共点，求k的取值范围．(第6题)答案专训11．C 2.A 3.C 4.A5．D点拨：由题意，易得出S△ODB＝S△AOC＝12×|－4|＝2.因为OC＝OD，AC ＝BD(易求得)，所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2.所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝2×4＝8.6．6(第7题)7．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D.∵S △AOB ＝12OA·BD ＝12×2n ＝4， ∴n ＝4.∴B(2，4)． ∴反比例函数解析式为y ＝8x .设直线AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得 ⎩⎨⎧－2k ＋b ＝0，2k ＋b ＝4，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝2. ∴直线AB 对应的函数解析式为y ＝x ＋2. (2)当x ＝0时，y ＝0＋2＝2，∴C(0，2)．∴S △OCB ＝S △AOB －S △AOC ＝4－12×2×2＝2. 8．解：(1)由图象知k ＜0，由已知条件得|k|＝3， ∴k ＝－3.∴反比例函数的解析式为y ＝－3x ， 一次函数的解析式为y ＝－x ＋2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得⎩⎨⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝－1.∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P 的坐标为(0，m)，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点为M ，则M 的坐标为(0，2)．∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝12×PM ×(|－1|＋|3|)＝5， ∴PM ＝52，即|m －2|＝52.∴m ＝92或m ＝－12.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.点拨：依据图象及已知条件求k的值是解本题的关键，只有求出k的值，才可得k2＝2，b＝6.(2)设直线AB与x轴的交点为C，∵x1<x2，y1<y2，∴M(x1，y1)，N(x2，y2)不在同一个象限．∴点M在第三象限，点N在第一象限．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36.由(1)x2－8x＋k＝0得，x1＋x2＝8，x1x2＝k，∴64－4k＝36.∴k＝7.。

第二十六章 反比例函数本章知识结构图：中考说明中对本章知识的要求：考试内容A 层次B 层次C 层次反比例函数能结合具体情境了解反比例函数的意义;能画出反比例函数的图象;理解反比例函数的性质能根据已知条件确定反比例函数的解析式;能用反比例函数的知识解决有关问题主要内容：1.定义：一般地，形如)0(≠=k k x ky 是常数，且的函数，叫反比例函数. 反比例函数的解析式有三种形式：（1）xky =（k ≠0的常数）；（2）k xy =（k ≠0的常数）；（3）1-=kx y （k ≠0的常数）.2. 反比例函数的图象及性质：（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大；（3）反比例函数图象的两个分支无限接近x 轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交；（4）反比例函数的图象是对称图形，反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形：①)0(≠=k x ky 是轴对称图形，其对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）。

③xky x k y -==和在同一坐标系中的图像关于x 轴、y 轴成轴对称。

（5）反比例函数的几何意义：在反比例函数)0(≠=k xky 的图象上任取一点M ，从几何意义上看，从点M 向两轴作垂线，两垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积为定值k ；（6）k 越大，双曲线越远离原点。

3.反比例函数在代数、几何及实际问题中的应用。

四、例题与习题：1．下面的函数是反比例函数的是 （ ）A ． 13+=x yB ．x x y 22+= C ． 2xy =D ．xy 2=2．用电器的输出功率与通过的电流、用电器的电阻之间的关系是，下面说法正确的是（）A ．为定值，与成反比例B ．为定值，与成反比例C ．为定值，与成正比例D ．为定值，与成正比例3．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当310m V =时，气体的密度是（ ）A ．5kg/m 3B ．2kg/m 3C ．100kg/m 3D .1kg/m 34． 已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（ ）B ．C ．D ．5．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p （Pa ）与受力面积S （m 2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p ＝ ．6．点在反比例函数的图象上，则 ．7.点（3，－4）在反比例函数ky x=的图象上，则下列各点中，在此图象上的是（ ）A.（3,4）B.　（－2，－6）C.（－2，6）D.（－3，－4）P I R 2P I R =P I R P 2I R P I R P 2I R a h a (231)P m -，1y x=m =8．已知某反比例函数的图象经过点()m n ，，则它一定也经过点（ ）A ．()m n -，B ．()n m ，C ．()m n -，D ．()m n ，9．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 ．10.已知n 是正整数，n P (n x ，n y )是反比例函数xky =图象上的一列点，其中1x 1=，2x 2=，…，n x n =，记211y x T =，322y x T =，…，1099y x T =；若1T 1=，则921T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值是_________.11．在平面直角坐标系中，将点(53)P ，向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数ky x=的图象上，则此函数的图象分布在第 象限．12.对于反比例函数()，下列说法不正确的是（ ）A. 它的图象分布在第一、三象限B. 点（，）在它的图象上C. 它的图象是中心对称图形D. 每个象限内，随的增大而增大13． 一个函数具有下列性质：①它的图像经过点（-1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．14．已知反比例函数y ＝x2k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ）．（A ）k ＞2 （B ） k ≥2（C ）k ≤2（D ） k ＜215．若反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限16.若反比例函数1k y x-=的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是（ ）A.-1B.3C.0D.-317．若点00()x y ，在函数ky x=（0x <）的图象上，且002x y =-，则它的图象大致是（ ）18．设反比例函数中，在每一象限内，随的增大而增大，则一次函数的图象不经过()xk y 2=0≠k k k y x ky x=(3)m m ，0m ≠)0(≠-=k xky y x k kx y -=A ．B ．C ．D ．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限19．如果点11()A x y ，和点22()B x y ，是直线y kx b =-上的两点，且当12x x <时，12y y <，那么函数ky x=的图象大致是（ ）20．若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1y x=的图象上，且0a <，则b 与c 的大小关系为（ ）A ．b c>B ．b c<C ．b c=D ．无法判断21．已知点A （3，y 1），B （-2，y 2），C （-6，y 3）分别为函数xky =（k<0）的图象上的三个点．则y 1 、y 2 、y 3的大小关系为 （用“<”连接）．22.在反比例函数的图象上有两点A ，B ，当时，有，则的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、23．若A (，)、B (，)在函数的图象上，则当、满足______________________________________时，＞.24． 已知直线与双曲线的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______．25．在平面直角坐标系xoy 中，直线yx =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于 ．26．如果函数x y 2=的图象与双曲线)0(≠=k xky 相交，则当0<x 时，该交点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限27.在同一平面直角坐标系中，函数xy 1=与函数x y =的图象交点个数是（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个28.函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k > B ．1k < C ．1k >- D ．1k <-12my x-=()11,x y ()22,x y 120x x <<12y y <m 0m <0m >12m <12m >1x 1y 2x 2y 12y x=1x 2x 1y 2y mx y =xky =m k xxxx．D ．29．在同一坐标系中，一次函数(1)21y k x k =-++与反比例函数ky x=的图象没有交点，则常数k 的取值范围是．30．如图，直线)0(>=k kx y 与双曲线xy 2=交于A 、B 两点，若A 、B 两点的坐标分别为A ()11,y x ，B ()22,y x ，则1221y x y x +的值为（）A ． －8B ．4C ． －4D ． 031．已知反比例函数2y x=，下列结论中，不正确的是（ ） A ．图象必经过点(12)，B ．y 随x 的增大而减少C ．图象在第一、三象限内D ．若1x >，则2y <32．已知函数1y x=的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是（ ） A ．1y <- B ．1y ≤- C ．1y ≤- 或0y > D ．1y <-或0y ≥33．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于Ａ、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是_____________．34．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数xky =过点A ，则K 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-435.过反比例函数(0)ky k x=>的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段,如果垂线段与x 、y 轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m=______.36．如图，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k =．37．在反比例函数4y x=的图象中，_4-1-1yx第32题图第34题图第33题图第36题图阴影部分的面积不等于4的是（ ）A ．B ．C ．D ．38．两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 .（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．39．如图，第四象限的角平分线OM 与反比例函数()0≠=k xky 的图象交于点A ，已知OA=23，则该函数的解析式为（ ）A ．xy 3=B ．xy 3-= C ．xy 9=D ．xy 9-=40.如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k y k x =>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k的值和Q 点的坐标分别为______________.ky x =1y x=（第38题图）第39题图41.当m 取什么数时，函数2)1(--=m xm y 为反比例函数式？42.已知反比例函数102)2(--=m x m y 的图象，在每一象限内y 随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式.43．平行于直线y x =的直线l 不经过第四象限，且与函数3(0)y x x=>和图象交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，AC x ⊥轴于点C四边形ABOC 的周长为8．求直线l 的解析式．44．已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．45.已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A （-6，-2）、B （4，3）两点.（1）求出两函数解析式；（2）画出这两个函数的图象；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？46．如图，直线y ＝x ＋1与双曲线x2y =交于A 、B 两点，其中A 点在第一象限．C 为x 轴正半轴上一点，且S △ABC ＝3．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)在坐标平面内，是否存在点P ，使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．47．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与y kx =5ky x-=k 0k ≠11()A x y ，22()B x y ，5ky x-=12x x <12y y ，3(0)x x>（第47题）t 的函数关系式为tay =（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?48．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程的解看成函数的图象与函数的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）49．如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A 、B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点．建立如图所示的坐标系，轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A 、B 两船可近似看成在双曲线上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A 、B 两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置213x x -=-21y x =-3y x =-1y x=210x x --=x 4y x=y x=不再改变，A 、B 、C 三船可分别用A 、B 、C 三点表示)．(1)发现C 船时，A 、B 、C 三船所在位置的坐标分别为 A( ， )、B( ，)和C(，)；(2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A 、O 、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A 、B 两船 的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到?请说明理由。

人教版九年级下册数学第二十六章反比例函数培优专练1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y＝（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，OB＝2cm．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）（1）点A的坐标为；（2）求双曲线y＝的解析式；（3）若经过A，C两点的直线解析式为y＝mx+b，请直接写出关于x的不等式mx＜0的解集．2．如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．3．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求出反比例函数的解析式；（2）求出△AOB的面积．（3）根据图象，直接写出在第一象限内，使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．4．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线y＝（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．（3）若＞x＞0，直接写出x的取值范围．5．如图，反比例函数y＝（x＞0）与直线AB：交于点C（，m），点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标．6．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．7．如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．8．如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象，直接写出不等式的解集．9．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限相交于C点，作CD⊥x轴于D点．若OA＝2，OD＝1.5OA，CD＝2OA．（1）求反比例函数的解析式；（2）△OAB的面积为．10．如图，点P（﹣3，1）是反比例函数y＝的图象上的一点．（1）求该反比例函数的表达式；（2）设直线y＝kx与双曲线y＝的两个交点分别为P和P′，当＞kx时，直接写出x的取值范围．答案1．解：（1）由题意可知A（2，3），故答案为（2，3）；（2）将A点坐标代入y＝中，得：3＝，∴k＝6，∴双曲线的解析式为y＝；（3）由图象可知，关于x的不等式mx＜0的解集是0＜x＜2或x＞4．2．解：（1）设AE交x轴于M．由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，∵OM∥EB，∴△AMO∽△AEB，∴＝（）2＝，又△AEB的面积为6，∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝＝|k|，∴k＝﹣3，k＝3（舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，由题意得，，解得，，，又A在第二象限，点C在第四象限，∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N的坐标为（0，2），∴S△AOC＝S△CON+S△AON＝×2×（1+3）＝4．3．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝；（2）在直线y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），解得或，∴B（2，1），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×3×2+×3×1＝；（3）由图可得，在第一象限内，使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：1＜x＜2．4．解：（1）∵点A的横坐标为4，点A在直线y＝x上，∴点A的纵坐标为y＝×4＝2，即A（4，2）．又∵点A（4，2）在双曲线y＝上，∴k＝2×4＝8；（2）∵点C在双曲线y＝上，且点C纵坐标为8，∴C（1，8）．如图，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N．∵S△COM＝S△AON＝＝4，∴S△AOC＝S四边形CMNA＝×（|y A|+|y C|）×（|x A|﹣|x c|）＝15．（3）若＞x＞0，则x的取值范围是0＜x＜4．5．解：（1）将点C的坐标代入一次函数表达式得：m＝（22）﹣2＝﹣1，故点C（2+2，﹣1），将点C的坐标代入反比例函数表达式得：﹣1＝，解得k＝4，故反比例函数表达式为y＝；（2）设点P（m，），则点Q（m，m﹣2），则△POQ面积＝PQ×x P＝（﹣m+2）•m＝﹣m2+m+2，∵﹣＜0，故△POQ面积有最大值，此时m＝﹣＝2，故点P（2，2）．6．解：（1）材料锻造时，设y＝（k≠0），由题意得600＝，解得k＝4800，当y＝800时，＝800，解得x＝6，∴点B的坐标为（6，800）材料煅烧时，设y＝ax+32（a≠0），由题意得800＝6a+32，解得a＝128，∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x+32（0≤x≤6）．∴锻造操作时y与x的函数关系式为y＝（x＞6）；（2）把y＝400代入y＝中，得x＝12，12﹣6＝6（分），答：锻造的操作时间6分钟；（3）当y＝800时，即＝800，∴x＝6，从400升到800需要min，再加上两次6分钟的锻造，加上煅烧的时间，一共是min，∴锻造每个零件需要煅烧两次共12分钟，∴加工第一个零件一共需要min．7．解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，∴，即可得：k＝x A•y A＝﹣8，令x＝2，得：m＝4；（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，令x＝1，得：y＝﹣8；令x＝4，得：y＝﹣2，所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．8．解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4），将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数（k≠0）中得：k＝4，∴反比例函数的表达式为；（2）解得或，∴点A（4，1），∴从图象看，不等式＞x﹣3的解集为0＜x＜4或x＜﹣1．9．解：（1）∵OA＝2，OD＝1.5OA，CD＝2OA．∴OD＝3，C＝4，∴C（3，4），∵点C反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝3×4＝12，∴反比例函数为y＝；（2）∵CD⊥x轴于D点．∴CD∥OB，∴＝，即＝，∴OB＝，∴△OAB的面积为2×＝，故答案为．10．解：（1）把P（﹣3，1）代入y＝得m＝﹣3×1＝﹣3，所以反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）∵直线y＝kx与双曲线y＝的两个交点分别为P和P′，P（﹣3，1），∴P′的坐标为（3，﹣1），当＞kx时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞3．。