文登考研高质量高水平高信誉2008 年研究生入学考试数学二试题及分析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 f ( x ) = x2( x − 1)( x − 2 ) ，则 f ′ ( x ) 的零点个数为[ ]（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【分析】先求导函数，然后判断. 【详解】 f ′ ( x ) = 2 x ( x − 1)( x − 2 ) + x2( x − 2 ) + x 2 ( x − 1)= 2 x ( 2 x 2 − 3x + 1) = 2 x ( 2 x − 1)( x − 1) ，则 f ′ ( x ) 的零点个数为 3. 故选（D）. 【评注】易看出 f ( x ) 的零点个数为 3，由罗尔定理能得出 f ′ ( x ) 在 ( 0,1) ， (1, 2 ) 两区间内 至少有两个零点，又 x = 0 是 f ( x ) 的二重零点，所以 x = 0 是 f ′ ( x ) 的零点. 故选（D）. 类似例题见文登强化班讲义《高等数学》第 6 讲【例 15】. （2）如图，曲线段的方程为 y = f ( x ) ，函数 f ( x ) 在区间[0, a ] 上有连续的导数，则定积分 ∫0 xf ′ ( x )dx 等于a（A）曲边梯形 ABOD 的面积 （B）梯形 ABOD 的面积 （C）曲边三角形 ACD 的面积 （D）三角形 ACD 的面积 [ ] 【分析】 先利用分部积分法变换积分， 然后结合定积分的几何 意义即可看出. 【详解】∫a0xf ′ ( x )dx = ∫ xdf ( x ) = af ( a ) − ∫ f ( x )dx ，a a 0 0 a a 0 0而∫ f ( x )dx 表示曲边梯形 OBAD 的面积，故可知 ∫ ∫b axf ′ ( x )dx 应为曲边三角形ACD 的面积，故选（C）.【评注】定积分f ( x)dx 表示曲线 y = f ( x) 与直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形 xf ′ ( x )dx = ∫ xdf ( x ) = af ( a ) − ∫ f ( x )dx ，然后才能解出.a a 0 0位于 x 轴上方的图形面积减去位于 x 轴下方的图形面积的差值. 本题必须先利用 分部积分法∫a0本题考查定积分的几何意义和分部积分法，相关结论见 08 版《数学复习指南》 （理—1—文登考研高质量高水平高信誉工类）P77.知识点精讲一（2） 、四（3） ，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P180 精选习题六 1（5）. （3）在下列微分方程中，以 y = C1e + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 是任意常数）为x通解的是 （A） y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 （C） y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 （B） y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 （D） y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 [ ]【分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征 值，然后从特征方程入手. 【详解】因为 y = C1e + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 是任意常数）为通解，x所以微分方程的特征值为 1, ±2i . 于是特征方程为 ( λ − 1)( λ − 2i )( λ + 2i ) = 0 ，即λ 3 − λ 2 + 4λ − 4 = 0 .故微分方程为 y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 ，故选（D）. 【评注】本题考查微分方程解的结构. 因为常系数齐次线性微分方程与其特征方程一一对 应，所以本题的关键是要能够从所给的解中分析出特征方程的根. 完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P144【例 5.17】 ，文登强化班讲 义《高等数学》第 7 讲【例 9】【例 10】. ，（4）设函数 f ( x ) =ln x sin x ，则 f ( x ) 有 x −1（A）有 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 （B）有 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点 （C）有两个无穷间断点 （D）有两个跳跃间断点 【分析】利用间断点的定义. 【详解】 f ( x ) =[]ln x sin x 在 x = 0 ， x = 1 无定义， x −1 ln x sin x = 0 ，所以 x = 0 为可去间断点； x −1而 lim f ( x ) = limx →0 x →0lim f ( x ) = limx →1ln 1 + x − 1 x −1 sin x = lim sin x ， x →1 x →1 x − 1 x −1而 lim +x →1x −1 x −1 sin x = sin1, lim sin x = − sin1 ， x →1− x − 1 x −1—2—文登考研高质量高水平高信誉所以 x = 1 为跳跃间断点，故选（A）. 【评注】首先确定间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断. 第一类间断点： x = x0 为函数 f ( x) 的间断点，且 lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 均存在，则称x → x0 x → x0x = x0 为函数 f ( x) 的第一类间断点. 其中：（1）跳跃型间断点： lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) .x → x0 x → x0（2）可去型间断点： lim− f ( x) = lim+ f ( x) ≠ f ( x0 ) .x → x0 x → x0第二类间断点： x = x0 为函数 f ( x) 的间断点，且 lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 之中至少有一个不x → x0 x → x0存在，则称 x = x0 为函数 f ( x) 的第二类间断点. 其中： （1）无穷型间断点： lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 至少有一个为 ∞ .x → x0 x → x0（2）振荡型间断点： lim f ( x ) 为振荡型，极限不存在.x → x0本题为常规题型，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P31【例 1.42】 ，文登 强化班讲义《高等数学》第 1 讲【例 4】. （5）设函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内单调有界， { xn } 为数列，下列命题正确的是 （A）若 { xn } 收敛，则 f （C） f 若n({ x }) 收敛n n（B）若 { xn } 单调，则 f （D） f 若n({ x }) 收敛n n则 ({ x }) 收敛， { x } 收敛则 ({ x }) 单调， { x } 收敛[]【分析】利用单调有界数列必收敛. 【详解】若{ xn } 单调，而由题设可知函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内单调有界，则 f ({ xn }) 单调有界，故收敛，故选（B） 【评注】本题为基础题型. 定理可见各教材和辅导讲义.（6）设函数 f 连续，若 F ( u , v ) =Duv∫∫f ( x2 + y2 ) x2 + y2dxdy ，其中区域 Duv 为图中阴影不分，则∂F = ∂u—3—文登考研高质量高水平高信誉（A） vf u( )2（B） vf ( u )（C）v v f ( u 2 ) （D） f ( u ) u u[]【分析】本题中二重积分的积分域由图形表示，易联想到需变换为极坐标形式，然后再求偏 导. 【详解】 F ( u , v ) = 所以Duv∫∫2 f ( x2 + y 2 ) v u f (r ) u rdr = v ∫ f ( r 2 ) dr ， dxdy = ∫ dθ ∫ 0 1 1 r x2 + y2∂F = vf ( u 2 ) ，故选（A）. ∂u【评注】本题考查了二重积分的坐标变换，变上限积分的求导. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P310【例 12.11】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 10 讲【例 4】. （7）设 A 为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A = O ，则3（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆 （C） E − A 可逆， E + A 可逆 【分析】从 A = O 入手.3（B） E − A 不可逆， E + A 可逆 （D） E − A 可逆， E + A 不可逆[]【详解】 A = O ⇒ A + E = E ⇒ ( A + E ) A − A + E = E ，所以 A + E 可逆，3 3 2()A3 = O ⇒ A3 − E = − E ⇒ ( E − A ) ( A2 + A + E ) = E ，所以 E − A 可逆，故选（C）. 【评注】也可这么求解：A 是幂零矩阵， 只有零是其特征值， 所以 ±1 不是其特征值， E − A 和 E + A 都可逆 . 故完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P367【例 2.27】 ，文登强化班讲 义《线性代数》第 2 讲【例 4】.—4—文登考研高质量高水平高信誉（8）设 A = ⎢⎡1 2⎤ ⎥ ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 ⎣2 1⎦（B） ⎢（A） ⎢⎡ −2 1 ⎤ ⎥ ⎣ 1 −2 ⎦⎡ 2 −1⎤ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦ ⎡ 1 −2 ⎤ ⎥ ⎣ −2 1 ⎦[ ]（C） ⎢⎡2 1⎤ ⎥ ⎣1 2⎦（D） ⎢【分析】实对称矩阵必可对角化，求出题中每个矩阵的特征值，然后根据实对称矩阵合同的 充要条件是对应的二次型有相同的正负惯性指数进行判断. 【详解】因为 A = ⎢⎡1 2⎤ T 为实对称矩阵， A 的特征值为 −1,3 ， x Ax 的正负惯性指数为 1， 2 1⎥ ⎣ ⎦1； ⎢⎡ 2 −1⎤ ⎡2 1⎤ ⎡ −2 1 ⎤ 的特征值为 −1, −3 ； ⎢ 的特征值为 1,3 ； ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 的特征值为 −1, −3 ， ⎣ 1 −2 ⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣1 2⎦⎡ 1 −2 ⎤ ⎢ −2 1 ⎥ 的特征值为 −1,3 ；故选（D）. ⎣ ⎦【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见《数学复习指南》 （理工类）P454【例 6.1】. 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （9）已知函数 f ( x ) 连续，且 lim1 − cos ⎡ xf ( x ) ⎤ ⎣ ⎦ = 1 ，则 f 0 = __________. ( ) x2 x →0 e −1 f ( x)()【分析】利用等价无穷小代换及函数 f ( x ) 的连续性即可.1 2 2 x f ( x) 1 − cos ⎡ xf ( x ) ⎤ 1 1 ⎣ ⎦ = 1 = lim 2 【详解】 1 = lim = lim f ( x ) = f ( 0 ) ， 2 x2 x →0 x →0 x →0 2 2 x f ( x) e −1 f ( x)()则 f ( 0) = 2 . 【评注】 本题已知极限和函数的连续性，求函数点的值，为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P31【例 1.43】. （10）微分方程 y + x e(2 −x) dx − xdy = 0 的通解是______.【分析】本题变换后可为全微分方程. 【详解】 y + x e(2 −x) dx − xdy = 0 ，即( ydx − xdy ) + x 2e− x dx = 0 ，—5—文登考研高质量高水平高信誉当 x ≠ 0 时，ydx − xdy − x y ⎛ y⎞ + e dx = 0 ⇒ d ⎜ − ⎟ − d ( e− x ) = 0 ⇒ − − e − x = −C 2 x x ⎝ x⎠−x即 y = x C−e(). (−x显然 x = 0, y = 0 满足微分方程，且满足上述解，故所求通解为 y = x C − e 【评注】本题为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P135【例 5.11】. （11）曲线 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 在点 ( 0,1) 的切线方程为__________. 【分析】本题实质上为隐函数方程求导. 【详解】 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 两边对 x 求导得).cos ( xy )( y + xy′ ) +y′ − 1 = 1 ，则 y′ y−x( 0,1)= 1 ，所以切线方程为y − 1 = x ，即 y = x + 1 .【评注】注意隐函数求导时记住 y 是 x 的函数. 类似例题见 08 版《数学复习指南》P48（理工类） 【例 2.20】 ，精选习题二 1（9）. （12）函数 f ( x ) = ( x − 5 ) x 的拐点坐标为________. 【分析】利用判断拐点的充分条件求解. 【详解】 f ′ ( x ) = ( x − 5 ) x 3 =2 2 35 2 10 − 1 x3 − x 3 ， 3 3f ′′ ( x ) =10 − 1 10 − 4 10 − 4 x 3 + x 3 = x 3 ( x + 1) . 9 9 910 − 1 ⎛ 1 ⎞ x 3 ⎜1 + ⎟ = 0 ，得 x = −1 9 ⎝ x⎠令 f ′′ ( x ) =f ′′ ( x )x =0⎛ 10 − 1 10 − 4 ⎞ =⎜ x 3 + x 3⎟ 9 ⎝9 ⎠x =0不存在.f ′′ ( x ) 经过 x = 0 时不变号，而经过 x = −1 时由负变正，且 f ( −1) = −6故拐点坐标为 −1, f ( −1) ，即 ( −1, −6 ) . 【评注】拐点的判别定理 1 若在点 x0 处有 f ′′( x0 ) = 0（或 f ′′( x0 ) 不存在） ，当 x 经过 x0 时，()—6—文登考研高质量高水平高信誉f ′′( x) 变号，则 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的图形的拐点.拐点的判别定理 2 设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内有三阶导数，且 f ′′( x0 ) = 0 ，f ′′′( x0 ) ≠ 0 ，则 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的图形的拐点.本题为基础题型，类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P167【例 6.30】.x∂z ⎛ y ⎞y （13）已知 z = ⎜ ⎟ ，则 ∂x ⎝x⎠x ⎛ y⎞ ln ⎜ ⎟ y ⎝ x⎠(1,2 )=【分析】本题求幂指函数的偏导数，应先对数化处理，然后再求偏导.【详解】∂z ∂x(1,2 )=∂e∂x(1,2 )⎧ ⎡ ⎤⎫ y ⎪ x ln ⎛ x ⎞ ⎢ 1 ⎛ y ⎞ x 1 ⎛ y ⎞ ⎥ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ = ⎨e y ⎝ ⎠ ⋅ ⎢ ln ⎜ ⎟ + ⋅ − y ⎜ x2 ⎟⎥ ⎬ ⎝ ⎠⎥ ⎪ ⎪ ⎢y ⎝ x⎠ y ⎪ x ⎣ ⎦⎪ ⎩ ⎭(1,2 )=2 ( ln 2 − 1) . 2【评注】多元函数对一个变量求偏导时，需将其他变量看作常数. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P236【9.6】 【例 9.10】. （14） 阶矩阵 A 的特征值是 2,3, λ ， 3 其中 λ 未知， 若行列式 2 A = −48 ， λ = 则 【分析】因为 A = 2 ⋅ 3 ⋅ λ ，联合 2 A = −48 可解出. 【详解】 2 A = −48 ⇒ 2 A = 8 ⋅ λ ⋅ 2 ⋅ 3 = −48 ⇒ λ = −1 .3.【评注】本题利用行列式求特征值.. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P446【例 5.25】 ，文登强化班讲义《线 性代数》第 5 讲【例 16】.三、解答题：15～23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） (本题满分 9 分) 求极限 lim⎡sin x − sin ( sin x ) ⎤ sin x ⎣ ⎦ . x →0 x4 ⎡sin x − sin ( sin x ) ⎤ sin x sin x − sin ( sin x ) ⎣ ⎦ = lim x →0 x →0 x4 x3—7—【分析】利用等价无穷小代换和洛必达法则即可. 【详解】 lim文登考研高质量高水平高信誉= limcos x − cos ( sin x ) ⋅ cos x x →0 3x 2cos x ⎡1 − cos ( sin x ) ⎤ ⎣ ⎦ 3x 2= limx →01 2 sin x 1 − cos ( sin x ) 1 = lim = lim 2 2 = . 2 x →0 x →0 3x 3x 6【评注】本题为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P25【例 1.24】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 1 讲【例 17】. （16） (本题满分 10 分)⎧ x = x (t ) ⎪ 设函数 y = y ( x ) 由参数方程 ⎨ 确定，其中 x ( t ) 是初值问题 t2 ⎪ y = ∫0 ln (1 + u ) du ⎩⎧ dx −x d2 y ⎪ − 2te = 0 dt 的解，求 2 . ⎨ dx ⎪ x t =0 = 0 ⎩ ⎧ dx −x ⎪ − 2te = 0 求出 x ( t ) ，然后利用参数方程的求导公式求解. 【分析】先根据 ⎨ dt ⎪ x t =0 = 0 ⎩【详解】由dx − 2te− x = 0 得 e x dx = 2tdt ， 积 分 并 由 条 件 x dtt =0= 0 ， 得 ex = 1 + t 2 ， 即x = ln (1 + t 2 ) .dy 2 dy dt ln (1 + t ) ⋅ 2t = = = (1 + t 2 ) ln (1 + t 2 ) ， 2t dx dx dt 1+ t2 d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ 1 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt ⎝ dx ⎠ dx dt= d ⎡(1 + t 2 ) ln (1 + t 2 ) ⎤ ⎣ ⎦ dx dt—8—文登考研高质量高水平高信誉2t ln (1 + t 2 ) + 2t = = (1 + t 2 ) ⎡ ln (1 + t 2 ) + 1⎤ . ⎣ ⎦ 2t 1+ t2【评注】本题为一道参数方程求导和一阶微分方程求解的综合题. 求d2 y 时要注意 dx 2d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ 1 . = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt ⎝ dx ⎠ dx dt类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P45【例 2.11】 ，文登强化班讲义《高等 数学》第 7 讲【例 15】. （17） (本题满分 9 分) 求积分∫1x 2 arcsin x01 − x2dx .【分析】本题需做变量代换 arcsin x = t . 【详解】由于 lim −x →1x 2 arcsin x1 − x2= +∞ ，故 ∫ ⎡ π⎞ ⎟. ⎣ 2⎠1x 2 arcsin x01 − x2dx 是反常积分.令 arcsin x = t ，有 x = sin t , t ∈ ⎢ 0,∫1x 2 arcsin x01 − x2dx = ∫π2 0t sin 2 t cos tdt cos t1 − cos 2t t2 dt = 2 4 t sin 2t 4π2 0= ∫2t⋅0ππ2 0−1 π ∫02 t ⋅ d sin 2t 4=π216−+1 π 2 sin 2tdt 4 ∫0cos 2t = − 16 8π2π2 0=π216+1 . 4【评注】本题虽然是一道反常积分，但由于无穷间断点在端点，所以可按通常定积分求解. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P80【例 3.27】 ，文登强化班讲义《高等 数学》第 5 讲【例 15】.（18） （本题满分 11 分）—9—文登考研高质量高水平高信誉计算∫∫ max ( xy,1) dxdy ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} .D【分析】被积函数为 max ( xy ,1) ，为非初等函数，实质为求分区域积分. 【详解】曲线 xy = 1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2 .∫∫ max ( xy,1) dxdyD= ∫∫ xydxdy + ∫∫ dxdyD1 D2= ∫1 dx ∫1 xydy + ∫ 2 dx ∫ dy + ∫1 dx ∫ x dy2x2212210020=15 19 − ln 2 + 1 + 2 ln 2 = + ln 2 . 4 4【评注】 对分段函数 max { x, y} , min { x, y} 及带绝对值符号的被积式须将积分域 D 作分析 处理. 完全类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）第一篇第十章【例 10.4】 ，文登强 化班讲义《高等数学》第十讲【例 12】 （19） (本题满分 11 分) 设 f ( x ) 是区间 [ 0, +∞ ) 上具有连续导数的单调增加函数，且 f ( 0 ) = 1 . 对任意的t ∈ [ 0, +∞ ) ，直线 x = 0, x = t ，曲线 y = f ( x ) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( x ) 的表达式. 【分析】 本题为微分方程的应用题， 需先利用平面图形绕坐标轴旋转后所得的旋转体的体积 和表面积公式列出方程，然后求解. 【详解】旋转体的体积 V = π 条件知∫t0f 2 ( x ) dx ，侧面积 S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx ，由题设t0∫t0f 2 ( x ) dx = ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x ，t0上式两端对 t 求导得 f 由分离变量法解得2(t ) = f (t )1 + f ′2 ( t ) ，即 y′ = y 2 − 1 .ln y + y 2 − 1 = t + C1 ，即 y+()y 2 − 1 = Ce t—10—文登考研高质量高水平高信誉将 y ( 0 ) = 1 代入知 C = 1 ，故 y + 于是所求函数为 y = f ( x ) =y 2 − 1 = et ， y =1 t −t (e + e ) ， 21 x −x (e + e ) . 2【评注】由曲线 y = f ( x) > 0 和直线 x = a, x = b 及 x 轴围成的图形 （1） 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： Vx = π∫bbaf 2 ( x)dx ；侧面积公式为S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx .b a（2） 绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： Vy = 2π∫axf ( x)dx .类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P176【例 6.45】 ，精选习题六 3(4)，文 登强化班讲义《高等数学》第 6 讲【例 3】 【例 4】.（20） (本题满分 11 分) （Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续，则至少存在一点ξ ∈ [ a, b ] ，使得∫ f ( x ) dx = f (η )( b − a ) .b a（Ⅱ）若函数 ϕ ( x ) 具有二阶导数，且满足 ϕ ( 2 ) > ϕ (1) ， ϕ ( 2 ) > 一点 ξ ∈ (1,3) 使得 ϕ ′′ (ξ ) < 0 .∫ ϕ ( x )dx ，则至少存在3 2【分析】 （Ⅰ）利用闭区间上连续函数的介值定理； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及拉格朗日中值 定理证明. 【详解】 （Ⅰ）设 M 和 m 分别是 f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的最大值和最小值，则有m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ，b a不等式各除以 b − a ，得m≤1 b f ( x ) dx ≤ M ， b − a ∫a根据闭区间上连续函数的介值定理，在 [ a, b ] 至少存在一点η ，使得f (η ) =1 b f ( x ) dx ，两端各乘以 b − a ，即得 b − a ∫a∫ f ( x ) dx = f (η )( b − a ) .b a（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可知至少存在一点η ∈ [ 2,3] ，使得—11—文登考研高质量高水平高信誉∫ ϕ ( x )dx = ϕ (η )( 3 − 2 ) = ϕ (η ) .3 2又由 ϕ ( 2 ) >∫ ϕ ( x )dx = ϕ (η ) 知， 2 < η ≤ 3 .3 2对 ϕ ( x ) 在 [1, 2] 和 [1, 2] 上 分 别 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 并 注 意 到 ϕ (1) < ϕ ( 2 ) ，ϕ (η ) > ϕ ( 2 ) ，得ϕ ′ (ξ1 ) =ϕ ′ (ξ 2 ) =ϕ ( 2 ) − ϕ (1)2 −1> 0 ， 1 < ξ1 < 2 ，ϕ (η ) − ϕ ( 2 ) < 0 ， 2 < ξ2 < η ≤ 3 . η −1在 [ξ1 , ξ 2 ] 上对导函数 ϕ ′ ( x ) 应用拉格朗日中值定理，有ϕ ′′ (ξ ) =ϕ ′ (ξ 2 ) − ϕ ′ (ξ1 ) < 0 ， ξ ∈ (ξ1 , ξ 2 ) ⊂ (1,3) . ξ 2 − ξ1【评注】 （Ⅰ）为教材中定理，证明教材中均有； （Ⅱ）中证明 ϕ ′′ (ξ ) < 0 需两次运用拉格朗日中值定理. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P317【例 12.26】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 8 讲§2【例 2】.（21） (本题满分 11 分) 求函数 u = x + y + z 在约束条件 z = x + y 和 x + y + z = 4 下的最大值和最小值.2 2 2 2 2【分析】本题求多元函数的条件最值，利用拉格朗日乘数法求解. 【详解】设 F ( x, y, z; λ , µ ) = x + y + z + λ x + y − z + µ ( x + y + z − 4 ) ，2 2 2 2 2()⎧∂F ⎪ ∂x = 2 x + 2λ x + µ = 0 ⎪ ⎪ ∂F 令⎨ = 2 y + 2λ y + µ = 0 联合 z = x 2 + y 2 ， x + y + z = 4 可解得 ⎪ ∂y ⎪ ∂F = 2z − λ + µ = 0 ⎪ ⎩ ∂x—12—文登考研高质量高水平高信誉⎧ x = −2 ⎧ x = 1 ⎪ ⎪ ⎨ y = −2 ， ⎨ y = 1 ⎪z = 8 ⎪z = 2 ⎩ ⎩而 x +y +z2 2(2)(−2, −2,8 )= 72 ， ( x 2 + y 2 + z 2 )(1,1,2 )=6.故所求的最大值为 72，最小值为 6. 【评注】 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P253【例 9.36】 ，文登强化班讲义《高 等数学》第 8 讲【例 17】.（22） (本题满分 12 分) 设 n 元线性方程组 Ax = b ，其中⎡ 2a 1 ⎢ a 2 2a ⎢ 矩阵 A = ⎢ ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎣0⎤ 0 0⎥ ⎥ ⎥ ， x = ( x1 , x2 , ⎥ 2a 1 ⎥ a 2 2a ⎥ n×n ⎦ 0n, xn ) ， b = (1, 0,T, 0) ，（Ⅰ）证明行列式 A = ( n + 1) a ； （Ⅱ）当 a 为何值时，该方程组有惟一解，并求 x1 ； （Ⅲ）当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. 【分析】 （Ⅰ）为 n 阶行列式的求解，可利用递推法； （Ⅱ） （Ⅲ）利用通常的方法.2a 1 a 2 2a【详解】 （Ⅰ） Dn = A =0 00 0 = 2aDn −1 − a 2 Dn − 2 .0 00 02a 1 a 2 2a现用数学归纳法证明.n = 2 时， D2 =2a 1 = 3a 2 = ( 2 + 1) a 2 . 2 a 2ak假设 n ≤ k 时， Dk = ( k + 1) a ， 则 n = k + 1 时，有.Dk +1 = 2aDk − a 2 Dk −1= 2a ( k + 1) a k − a 2 ka k −1 = ( k + 2 ) a k +1 ，综上可得， A = ( n + 1) a .n—13—文登考研高质量高水平高信誉（Ⅱ） A = ( n + 1) a ≠ 0 ，即 a ≠ 0 时，方程组有惟一解，设将 A 的第一列用 b 替换后所n得矩阵为 A1 ，根据克莱姆法则可得A1 Dn −1 na n −1 n . x1 = = = = n n A (n + 1)a (n + 1)a ( n + 1) a（Ⅲ）当 a = 0 时，方程组有无穷多解. 此时⎡0 ⎢0 ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣1 0 0 00 0 0 00⎤ ⎧ x2 = 0 0⎥ ⎪x = 0 ⎥ ⎪ ⎥ ，则 Ax = 0 的同解方程组为 ⎨ 3 . ⎥ ⎪ 1⎥ ⎪ xn = 0 ⎩ 0 ⎥ n×n ⎦ , 0) .T易求得 Ax = 0 的基础解系为 (1, 0,⎡0 1 ⎡0⎤ ⎢ ⎢1 ⎥ ⎢ 0 0 因为 A ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎣0⎦ ⎢ ⎣0 0 从而 Ax = b 的通解为 x = k (1, 0,T0 0 0 0 , 0 ) + ( 0,1,0⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ，所以 ⎢ ⎥ 是 Ax = b 的特解， ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣0⎦ 0 ⎥ n×n ⎦ , 0 ) ，其中 k 为任意常数.T【评注】n 阶方阵的求解见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P346【例 1.18】 ，方程组求解 类似例题见《数学复习指南》 （理工类）P411【例 4.9】 ，文登强化班讲义《线性代数》第 4 讲【例 4】. （23） (本题满分 10 分) 设 A 为 3 阶矩阵，α1 , α 2 为 A 的分别属于特征值 −1,1 的特征向量，向量 α 3 满足Aα 3 = α 2 + α 3 ，（Ⅰ）证明： α1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) ，求 P AP .−1【分析】 （Ⅰ）利用线性无关的定义； （Ⅱ）利用题设条件将 A (α1 , α 2 , α 3 ) 变换成矩阵乘积—14—文登考研高质量高水平高信誉⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 的形式，即 A (α1 , α 2 , α 3 ) = ( Aα1 , Aα 2 , Aα 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 0 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦【详解】 （Ⅰ）由题设可知，向量 α1 , α 2 是属于 A 的特征值 −1,1 的特征向量，则 α1 , α 2 线性 无关， 且 Aα1 = −α1 , Aα 2 = α 2 . 假设存在数 k1 , k2 , k3 ，使得 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0 ， 则等式两边乘以 A ，可得 ①A ( k1α1 + k2α 2 + k3α 3 ) = k1 Aα1 + k2 Aα 2 + k3 Aα 3 = − k1α1 + k2α 2 + k3 (α 2 + α 3 ) = − k1α1 + ( k2 + k3 ) α 2 + k3α 3 = 0②①－② 2k1α1 − k3α 2 = 0 ，因为 α1 , α 2 是 A 的分别属于不同特征值的特征向量，所以 α1 , α 2 线性无关，从而 k1 = k3 = 0 ，代入①式可得 k2α 2 = 0 ，又由于 α 2 ≠ 0 ，所以 k2 = 0 ， 故 α1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) ，则 P = (α1 , α 2 , α 3 ) 可逆.⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 因为 A (α1 , α 2 , α 3 ) = ( Aα1 , Aα 2 , Aα 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 0 1 1 ， ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 所以 P AP = 0 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦−1【评注】抽象的向量线性无关的证明一般用定义. 类似例题见 08 版《数学复习指南》 （理工类）P380【例 3.5】 【例 3.6】 ，文登强化 班讲义《线性代数》第 3 讲【例 4】【例 14】. ，—15—。
