【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第4章 第4节 三角函数的图像与性质

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理 北师大版一、选择题1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C ． 3 D ．32[答案] B[解析] 本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形，由正弦定理得：32sin60°＝ACsin45°，即AC ＝2 3.2．(2014·广东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件[答案] A[解析] 本题考查三角形内角和，诱导公式及充要条件．由a ≤b 得A ≤B ．当B 为锐角时，sin A ≤sin B ；当B 为直角时，sin A ≤sin B ；当B 为钝角时，π－B ＝A ＋C >A ，此时π－B 为锐角，所以sin(π－B )>sin A ，即sin B >sin A ，综上：sin A ≤sin B ．反之亦成立，选A ．3．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C ． 2 D ．1[答案] B[解析] 本题考查正弦定理、二倍角公式等． 由正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin2A ＝32sin A cos A ，即2sin A cos A ＝3sin A ， 又sin A >0，∴cos A ＝32，A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2， ∴c ＝2.4．(文)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)[答案] C[解析] 本题主要考查正余弦定理， ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3，故选C ．(理)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A ．32B ．22C ．12D ．－12[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、基本不等式等知识． 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∵a 2＋b 2＝2c 2， ∴c 2＝2ab cos C ，又由2c 2＝a 2＋b 2≥2ab 得c 2≥ab ，∴cos C ＝c 22ab ≥12，故选C ．5．(2014·新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12·2·1·sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． ∴B ＝3π4，根据余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．6．△ABC 中，a 2tan B ＝b 2tan A ，则三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] 由正弦定理得sin 2A tanB ＝sin 2B tan A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ． 又因为A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B 或A ＋B ＝90°. 二、填空题7．(文)(2014·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.[答案]π3或2π3[解析] 本题考查正弦定理．由正弦定理得3sin B ＝1sinπ6，所以sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.(理)(2014·天津高考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． [答案] －14[解析] ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ， 又∵b －c ＝14a ，∴b ＝34a ，c ＝12a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝916a 2＋14a 2－a22×34a ×12a ＝－14.8．(文)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．[答案]π2[解析] 本题考查已知两边及其一边的对角解三角形，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sinπ3＝3sin B ， ∴sin B ＝12，又∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝π6.又A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2.(理)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为________． [答案] 钝角三角形[解析] ∵△ABC 中，c b<cos A ，∴c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ， ∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ，∴sin A cos B <0. 又sin A >0，∴cos B <0.故B 为钝角． ∴△ABC 为钝角三角形．9．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，则AB ＝________.[答案]10[解析] 设AB ＝c ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，cos A ＋B ＝12，∴cos C ＝－12.又∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ a ＋b 2－2ab －c 22ab＝8－c 24＝－12，∴c 2＝10，∴c ＝10，即AB ＝10. 三、解答题10．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 和C ．[分析] 已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出边c 后，再求出角C 与角A ．[解析] 解法1：∵B ＝45°<90°，且b <a ， ∴问题有两解． 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝3sin45°2＝32， ∴A ＝60°或A ＝120°.(1)当A ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝75°， ∴c ＝b sin C sin B ＝2sin75°sin45°＝6＋22. (2)当A ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝15°， ∴c ＝b sin C sin B ＝2sin15°sin45°＝6－22. 故A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°， c ＝6－22. 解法2：由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即(2)2＝(3)2＋c 2－23c cos45°， 整理得c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，①当a ＝3，b ＝2，c ＝6－22时，由①可得 cos A ＝－12，故A ＝120°；当a ＝3，b ＝2，c ＝6＋22时，由①可得 cos A ＝12，故A ＝60°.故A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°， c ＝6－22.一、选择题1．(文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且a ＋c ＝3，tan B ＝73，则△ABC 的面积为( ) A ．74 B ．54 C ．72D ．52[答案] A[解析] 因为a 、b 、c 成等比数列，所以b 2＝aC ． 又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a ＋c ＝3，tan B ＝73， 故得sin B ＝74，cos B ＝34，ac ＝2. 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×74＝74.(理)设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对边的长分别为a ，b ，c 若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π6[答案] B[解析] 本题考查了三角形的余弦定理、正弦定理． 由3sin A ＝5sin B 得3a ＝5b ，又已知b ＋c ＝2A ． ∴a ＝53b ，c ＝73b ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ 53b 2＋b 2－ 73b 22·53b ·b ＝－12.又∵0<c <π，∴C ＝23π.2．(文)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(1,2)[答案] C[解析] 由正弦定理得：AB sin C ＝BCsin A，∴a ＝2sin A ． ∵C ＝60°，∴0°<A <120°. 又∵△ABC 有两个，∴a sin60°<3<a ，即3<a <2.(理)锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则ba的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)[答案] D[解析] ∵b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A ＝2cos A ，又△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A <90°A ＋2A >90°∴30°<A <45°，则b a＝2cos A ∈(2，3)，故选D ．二、填空题3．(2014·北京高考)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.[答案] 2158[解析] 本题考查了余弦定理，同角基本关系式及正弦定理．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，∵cos C ＝14，∴sin C ＝154，由正弦定理得1sin A ＝2154，∴sin A ＝158.4．在△ABC 中，已知(b ＋c ) (c ＋a ) (a ＋b )＝4 5 6，给出下列结论： ①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A sin B sin C ＝7 5 3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积为1532.其中正确结论的序号是________．[答案] ②③[解析] 由条件可设⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .故①不正确；由余弦定理可得cos A ＝－12，A ＝120°，故②正确；由正弦定理得sin A sin B sin C ＝a b c ＝7 5 3，故③正确；当b ＋c ＝4k ＝8时，则k ＝2，故三角形三边分别为7,5,3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×sin120°＝1534，故④不正确．三、解答题5．(文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ． (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C 知3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， 3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，又A ＋B ＋C ＝π，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由0<A <π及cos A ＝13知sin A ＝223，又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，∴bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6b 2＋c 2＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.(理)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ． 已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝A ．(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[解析] (1)由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22. 整理得 sin B cos C －cos B sin C ＝1.即sin(B －C )＝1. 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝2sin 5π8·sin π8＝2cos π8sin π8＝12.6．(文)(2014·山东高考)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C ． 已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积． [解析] (1)∵cos A ＝63.0<A <π.∴sin A ＝33. 又B ＝A ＋π2.∴sin B ＝sin(A ＋π2)＝cos A ＝63.又a ＝3.∴由正弦定理得．asin A＝bsin B，即333＝b63∴b ＝3 2.(2)∵cos B ＝cos(A ＋π2)＝－sin A ＝－33，∴在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×(－33)＋63×63＝13∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.(理)(2014·辽宁高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ． 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－ 13 2＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－ 429 2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327.。

基础达标检测一、选择题1．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π2＝π， 且f (x )是奇函数．(理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是增加的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B[解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z )排除A.2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，－1] C ．[－54，1] D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.3．(文)(2013·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2[答案] A[解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)，周期T ＝π，振幅为1，故选A.(理)(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若f (x )是奇函数，则f (x )＋f (－x )＝0，即A cos(ωx ＋φ)＋A cos(－ωx ＋φ)＝0，整理得cos ωx cos φ＝0恒成立，故cos φ＝0，φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．4．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z } B ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z } C ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z } D ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z } [答案] B[解析] ∵f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)， ∴f (x )≥1，即2sin(x －π6)≥1，∴sin(x －π6)≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .5．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m <－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m >3D ．3<m <7＋43或m <－1[答案] C[解析] 由－π6≤x <π3，12<cos x ≤1， ∴12<m －1m ＋1≤1，∴m >3.6．(文)sin1，sin2，sin3的大小关系为( ) A ．sin1<sin2<sin3 B ．sin2<sin1<sin3 C ．sin3<sin1<sin2 D ．sin3<sin2<sin1 [答案] C[解析] sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．因为0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.(理)已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2) [答案] D[解析] 由f (x )＝f (π－x )知：f (x )的图像关于直线x ＝π2对称， ∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)．当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x 是增加的． 又－π2<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2)． 二、填空题7．比较大小：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5________cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.[答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π5＝cos 3π5， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x 在[0，π]上是减少的，∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.8．(2014·开封质检)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)(θ∈[－π2，π2])是偶函数，则θ的值为________．[答案] π6[解析] 据已知可得f (x )＝2sin(x ＋θ＋π3)，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈[－π2，π2]，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．9．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3) [解析]f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎨⎧3sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图像可知1<k <3.三、解答题10．已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图像上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)， 求tan(α＋β)的值．[解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得 k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )， 即x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴f (x )图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. (3)由f (α)＝f (β)得：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6， 又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3.能力强化训练一、选择题1．(文)(2013·山东高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图像大致为( )[答案] D[解析]令f(x)＝x cos x＋sin x，f(－x)＝－x cos x－sin x＝－f(x)且x ∈R，∴y＝f(x)为奇函数，排除B；当x∈(0，π2)时显然有f(x)>0，排除C；再取x＝π，则f(x)＝－π<0，选D.此类题目宜用排除法．(理)(2013·新课标Ⅰ)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为()[答案] C[解析]在x∈[－π，π]上，∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，排除B.取x ＝π2，则f (π2)＝(1－cos π2)sin π2＝1>0，排除A. ∵f (x )＝(1－cos x )sin x∴f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )cos x ＝1－cos 2x ＋cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1令f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12.结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，选C.2．函数y ＝2sin(π6x －π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3[答案] A[解析] 本题考查三角函数最值求法． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴y ＝sin(π6x －π3)的范围是[－32，1]，∴y ∈[－3，2]，∴最大值与最小值之和为2－ 3. 此类求最值题应借助y ＝sin x 的有界性． 二、填空题3．若直线y ＝a 与函数y ＝sin x ，x ∈[－2π，2π)的图像有4个交点，则a的取值范围是________．[答案](－1,1)[解析]如图所示：y＝sin x，x∈[－2π，2π)有两个周期，故若y＝sin x与y＝a有4个交点，则－1<a<1.4．已知函数f(x)＝A tan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y＝f(x)的部分图像如图，则f(π24)＝______.[答案] 3[解析]本小题考查内容为正切函数的图像与解析式．∵T ＝π2＝πω，∴ω＝2.当x ＝0时，f (0)＝A tan φ＝1，当x ＝3π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0，∴φ＝π4，A ＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.三、解答题5．(2013·陕西高考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π(2)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x －π6)∈[－12，1]故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.6．(文)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递减区间．[解析] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2x sin x ＝(sin x －cos x )·2sin x cos x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．(理)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．[解析] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π)和(k π，k π＋3π8](k ∈Z )．。

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第4章 第3节 三角恒等变形 北师大版一、选择题1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( ) A ．－1B ．－22C ．22D ．1[答案] A[解析] 将sin α－cos α＝2两端同时平方得，(sin α－cos α)2＝2， 整理得1－2sin αcos α＝2，于是sin2α＝2sin αcos α＝－1，故选A ．2．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( ) A ．－a2B ．a2 C ．－a D ．a[答案] C[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－A ． 3．已知tan α＝12，则cos2α＋sin2α＋1cos 2α等于( ) A ．3 B ．6 C ．12 D ．32[答案] A[解析] cos2α＋sin2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3.故选A ． 4．(文)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210B ．7210C ．－210D ．210[答案] A[解析] 由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(－45－35)＝－7102. (理)若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝( )A ．－7210B ．－210C ．210D ．210[答案] B[解析] 由α∈(－π2，π2)，sin α＝35可得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210，故选B ．5．4cos50°－tan40°＝( ) A ． 2 B ．2＋32C ． 3D ．22－1[答案] C[解析] 本题考查非特殊角三角函数的求值问题． 4cos50°－tan40°＝4cos50°cos40°－sin40°cos40°＝4cos50°sin50°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40°＝＋－sin40°cos40°＝2sin60°cos40°＋2cos60°sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝ 3.6．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( )A ．1B ．1＋32C ．32D ．1＋ 3[答案] C[解析] f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，f (x )max ＝1＋12＝32，故选C ．二、填空题7．(2014·陕西高考)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b＝0，则tan θ＝________.[答案] 12[解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等．∵a ·b ＝0，∴sin2θ－cos 2θ＝0，即cos θ(2sin θ－cos θ)＝0. 又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.8．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝________. [答案]π3[解析] ∵α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，∵0<β<π2，∴β＝π3.9．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．[答案] π[解析] f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x＝sin(2x －π4)－2(1－cos2x )＝sin(2x －π4)＋2cos2x － 2＝sin2x cos π4－cos2x sin π4＋2cos2x － 2＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， 所以T ＝2πω＝2π2＝π.三、解答题10．(文)(2014·江西高考)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f (π4)＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f (α4)＝－25，α∈(π2，π)，求sin(α＋π3)的值．[解析] (1)∵f (x )＝(a ＋2cos 2x )·cos(2x ＋θ)为奇函数 ∴f (0)＝0，即(a ＋2)·cos θ＝0①又∵f (π4)＝0，∴(a ＋2·12)·cos(π2＋θ)＝0，即－(a ＋1)sin θ＝0②.∵θ∈(0，π)，∴sin θ≠0 由②可知，a ＝－1，代入①得cos θ＝0.∴θ＝π2.∴a ＝－1，θ＝π2.(2)∵a ＝－1，θ＝π2，∴f (x )＝(－1＋2cos 2x )cos(2x ＋π2)＝(－1＋2cos 2x )(－sin2x ) ＝－cos2x ·sin2x ＝－12sin4x .∵f (α4)＝－25，∴－12·sin(4·α4)＝－25，∴sin α＝45.∵α∈(π2，π)，∴cos α<0，∴cos α＝－35，∴sin(α＋π3)＝sin α·cos π3＋cos α·sin π3＝45·12－35·32＝4－3310. (理)(2014·广东高考)已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)．[解析] (1)f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝32，∴A ×32＝32， ∴A ＝ 3.(2)f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(－sin θ＋cos θ)]＝32. ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64，又∵θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f (34π－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.一、选择题1．(文)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．53[答案] B[解析] tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B ＝ 3.解得tan A tan B ＝13，故选B ．(理)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32 [答案] B[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π4 ∴α2－β＝－π6① ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴α－β2＝－π6或π6②由①②有⎩⎪⎨⎪⎧α＝π3β＝π3或⎩⎪⎨⎪⎧α＝－π9β＝π9(舍去)，∴cos(α＋β)＝cos 2π3＝－12.2．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)＝( )A ．－34B ．－14C ．34D ．14[答案] B[解析] a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0， ∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.故选B ．二、填空题3．(2014·全国大纲卷)函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为________． [答案] 32[解析] 本题考查三角函数的性质及三角恒变换．y ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin x －12)2＋32，当sin x ＝12时，y max ＝32.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期T ＝______.[答案] π[解析] 解法1：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋34.∴T ＝π.解法2：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x cos x＝14sin2x ＋34cos2x ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34，∴T ＝π.三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R .(1)求f (π3)的值；(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (θ－π6)．[解析] (1)f (π3)＝2cos(π3－π12)＝2cos π4＝1.(2)∵cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－45.∴f (θ－π6)＝2cos(θ－π4)＝2(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝－15.(理)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．[解析] (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.6．已知34π<α<π，tan α＋1tan α＝－103.求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82α－π2的值．[解析] ∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0， 解得tan α＝－3或tan α＝－13.又∵3π4<α<π，∴tan α＝－13.∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82α－π2＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526.。