2019版数学高考大一轮复习备考讲义(浙江专用)第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4Word版含答案

§2.1函数及其表示1.函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域. (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点.( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × ) 题组二 教材改编2.[P74T7(2)]函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________. 答案 [－3,6)3.[P25B 组T1]函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________.答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4.(2017·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，－x 2＋3，x <0，若f (a )＝2，则a的值为( )A.2B.－1或2C.±1或2D.1或2 答案 B解析 当a ≥0时，2a －2＝2，解得a ＝2；当a <0时，－a 2＋3＝2，解得a ＝－1.综上，a 的值为－1或2.故选B.5.已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______. 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.6.已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.2.有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________. 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确. 综上可知，正确的判断是②.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域典例 (1)(2017·杭州期末)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A.(0,1)B.[0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 由x 2－x ＞0，解得x <0或x >1，∴f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A.[－1,2 017]B.[－1,1)∪(1,2 017]C.[0,2 018]D.[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017].所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0， 解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]. 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________________.答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]. 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]. 命题点2 已知函数的定义域求参数范围典例 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎝⎛⎭⎫0，34C.⎣⎡⎦⎤0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34 答案 D解析 要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________. 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集.不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解. 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A.(－1,3)B.(－1,3]C.(－1,0)∪(0,3)D.(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3].(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________. 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2].(3)(2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0， 得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4].题型三 求函数解析式1.已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________. 答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2) 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 又| x ＋1x| ≥2，∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).2.已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1， 由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式.(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为( ) A.12 B.－12 C.－1 D.1 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫－43＋1 ＝cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＋1＝1. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( ) A.－74B.－54C.－34D.－14答案 A解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1且f (a )＝－3，若a ≤1，则2a －1－2＝－3，即有2a －1＝－1<0，方程无解；若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7， 则f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.(2)(2017·广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5，若f (g (a ))≤2，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1]∪[0,22－1] B.[－1,22－1] C.(－∞，－1]∪(0,3] D.[－1,3] 答案 A解析 ∵g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0，若x >0，则－x <0，g (－x )＝x 2＋2x －5， ∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )＝－x 2－2x ＋5，x >0， 由题意，知f (－2)＝2， ∴f (g (a ))≤2即为f (g (a ))≤f (－2).又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， ∴a ≤－1或0≤a ≤22－1.故选A.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.跟踪训练 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得122x =或122x -=.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B.[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________.思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t ＜1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )＞0， ∴g (t )＜g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解. 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得： 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x -＞2x ＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1；当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1.下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确.2.函数f (x )＝ln x x －1＋12x 的定义域为( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞).3.(2018·嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的一组是( ) A.f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB.f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1C.f (x )＝x 0，g (x )＝1D.f (x )＝2－x ，g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t 答案 D解析 A ，B ，C 中函数的定义域不同，故选D. 4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( )A.－2B.－3C.9D.－9 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5.已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A.(x ＋1)2(x ≠1) B.(x －1)2(x ≠1) C.x 2－x ＋1(x ≠1) D.x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1， 即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1).6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快.(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢.分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件，故选A.7.(2017·山东)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a 等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C解析 由当x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知， 若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0＜a ＜1， 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3)B.(1，＋∞)C.(－3,1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析 若a <0，则f (a )<1等价于⎝⎛⎭⎫12a－7<1等价于⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1等价于a <1， 解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1.故选C.9.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).10.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝(x )的定义域是__________.答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________.答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1).12.定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________. 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]， 故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60].13.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3]B.[－3，＋∞)C.[－3，3]D.(－∞，3]答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14.已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15.已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________.答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16.如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y 1＝kx ＋b 的图象和反比例函数y 2＝mx 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积.解 (1)因为B (1,4)在反比例函数y 2＝m x 上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y 2＝mx ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y 1＝kx ＋b 上的点， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以反比例函数和一次函数的解析式分别为y 2＝4x，y 1＝2x ＋2. (2)因为y 1＝2x ＋2，令x ＝0，得y 1＝2，所以C (0,2)， 所以△AOC 的面积为S ＝12×2×2＝2.。

§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一 判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二 零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________． 解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2， 即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三 已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33， 则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点， 故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2， 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ， 所以g (x )＝12(e x －e －x )．。

第二章 函 数 §2.1 函数及其表示考纲解读分析解读 1.考查重点仍为函数的表示法,分段函数等基本知识点,考查形式有两种,一种是给出分段函数表达式,求相应的函数值或相应的参数值(例:2014浙江15题);另一种是定义一种运算,给出函数关系式考查相关数学知识(例:2015浙江7题).2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,能运用求值域的方法解决最值问题.3.函数值域和最值是高考考查的重点,常以本节内容为背景结合其他知识进行考查,如解析式与函数最值相结合(例:2015浙江10题),函数最值与向量相结合(例:2013浙江17题).4.预计2019年高考中,考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大,特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查,复习时应引起重视.五年高考考点一 函数的概念及其表示1.(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x ∈R 都有( )A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x 2+xC.f(x 2+1)=|x+1|D.f(x 2+2x)=|x+1| 答案 D2.(2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞) 答案 C3.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R).若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1 答案 A4.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为( )A.B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)答案 C5.(2013浙江文,11,4分)已知函数f(x)=.若f(a)=3,则实数a= .答案106.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是.答案[-3,1]教师用书专用(7—8)7.(2013江西,2,5分)函数y=ln(1-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]答案 B8.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案①③④考点二分段函数及其应用1.(2017山东文,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( )A.2B.4C.6D.8答案 C2.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)= 则f(-2)+f(log212)=( )A.3B.6C.9D.12答案 C3.(2015山东,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )A. B.[0,1] C.D.[1,+∞)答案 C4.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是. 答案0;2-35.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.答案(-∞,]6.(2014浙江文,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= .答案7.(2017课标全国Ⅲ文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.答案8.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解析(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=9.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.教师用书专用(10—12)10.(2015湖北,6,5分)已知符号函数sgnx=f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则( )A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]答案 B11.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案 D12.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=则f(f(-2))= ,f(x)的最小值是. 答案-;2-6三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的概念及其表示1.(2018浙江名校协作体期初,9)函数y=x+的值域为( )A.[1+,+∞)B.(,+∞)C.[,+∞)D.(1,+∞)答案 D考点二分段函数及其应用2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,10)已知函数f(x)=函数g(x)=asin-2a+3(a>0).若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.(0,2]答案 A3.(2017浙江宁波期末,3)函数f(x)=则f[f(2)]=( )A.-2B.-1C.-2D.0答案 B4.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义max{a,b}=已知函数f(x)=max{|2x-1|,ax2+b},其中a<0,b∈R.若f(0)=b,则实数b的范围为;若f(x)的最小值为1,则a+b= .答案[1,+∞);15.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,16)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a 的取值范围是.答案[0,2)6.(2016浙江镇海中学测试(六),9)已知函数f(x)=则f= ;若f(f(t))∈[-1,0],则t的取值范围是.答案0;∪[-1,0]∪∪[,2]B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2017浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x+1)=+,则f(0)+f(2017)的最大值为( )A.1-B.1+C.D.答案 B2.(2017浙江湖州期末调研,1)已知f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=则函数y=f(x)+的所有零点之和是( )A.1-B.-1C.5-D.-5答案 B二、填空题3.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,16)若函数f(x)=(-x2-2x+3)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的值域为.答案(-∞,16]4.(2018浙江重点中学12月联考,17)已知a∈R,函数f(x)=若存在三个互不相等的实数x1,x2,x3,使得===-e成立,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)5.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R的函数f(x)满足f[f(x)+f(y)]=2f(x)+4y-3,则当x>0时,函数f(x)的取值范围是.答案(-1,+∞)6.(2016浙江宁波一模,12)对于定义在R上的函数f(x),若存在实数a,使得f(a+x)·f(a-x)=1对任意实数恒成立,则称f(x)为关于a的“倒函数”.已知定义在R上的函数f(x)是关于0和1的“倒函数”,且当x ∈[0,1]时,f(x)的取值范围为[1,2],则当x∈[1,2]时,f(x)的取值范围为,当x∈[-2016,2016]时,f(x)的取值范围为.答案;C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数定义域的解题策略1.求下列函数的定义域:(1)y=+;(2)y=+(5x-4)0.解析(1)由得所以函数的定义域为{x|x<-2或-2<x≤-1或1≤x<2或x>2}.(2)由得所以函数的定义域为.2.若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求函数f(log2x)的定义域.解析由函数f(2x)的定义域是[-1,1]得-1≤x≤1,所以≤2x≤2,即函数f(x)的定义域为.令≤log2x≤2,解得≤x≤4,所以函数f(log2x)的定义域为[,4].方法2 求函数解析式的解题策略3.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,16)f(x)是定义在R上的函数,若f(1)=504,对任意的x∈R,满足f(x+4)-f(x)≤2(x+1)及f(x+12)-f(x)≥6(x+5),则= .答案20174.已知函数f(x)满足:当x≠0时,都有f=x3-,求f(x)的解析式.解析∵x3-==,∴f=,∴f(x)=x(x2+3)=x3+3x.又函数y=x-的值域为R,故f(x)的解析式为f(x)=x3+3x(x∈R).5.已知定义在R上的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y,都有(x-1)f(y)+(y-1)f(x)=2f(x)f(y)-2x-2y-4,求函数f(x)的解析式.解析令y=x,得2(x-1)f(x)=2f2(x)-4x-4,即f2(x)-(x-1)f(x)-2(x+1)=0.解关于f(x)的一元二次方程,得f(x)=x+1或f(x)=-2.6.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数f(x)=(1)求f及x∈[2,3]时函数f(x)的解析式;(2)若f(x)≤对任意x∈(0,3]恒成立,求实数k的最小值.解析(1)f=-f=f=×=.当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],所以f(x)=[(x-2)-(x-2)2]=(x-2)(3-x).(2)要使f(x)≤,x∈(0,3]恒成立,只需k≥[xf(x)]max,x∈(0,3]即可.①当x∈(0,1]时,f(x)=x-x2,则对任意x∈(0,1],xf(x)=x2-x3.令h(x)=x2-x3,则h(x)max=h=;②当x∈(1,2]时,xf(x)=-x[(x-1)-(x-1)2]=x(x-1)(x-2)≤0;③当x∈(2,3]时,xf(x)=x[(x-2)-(x-2)2],令x-2=t∈(0,1],记g(t)=(t+2)(t-t2),t∈(0,1].则g'(t)=-(3t2+2t-2),令g'(t)=0,得t0=(负值舍去),故存在t0=,使得函数g(t)在t=t0处取得最大值.又>,所以当k≥时,f(x)≤对任意x∈(0,3]恒成立,故k的最小值为.方法3 分段函数的解题策略7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,11)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则b+c= ;方程f(x)=x的所有实根的和为.答案6;-1。

浙江2019年高考数学一轮基础复习讲义2目录第16讲三角恒等变换 (3)第17讲正弦定理、余弦定理 (11)第18讲数列的概念、等差数列 (23)第19讲等比数列及数列的综合应用 (35)第20讲不等式的性质及一元二次不等式的解法 (43)第21讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 (51)第22讲基本不等式与绝对值不等式 (62)第23讲命题及其关系、充要条件 (74)第24讲曲线与方程 (86)第25讲椭圆 (102)第26讲双曲线 (111)第27讲抛物线 (122)第28讲立体几何中的向量方法 (132)第29讲仿真模拟卷一（必修1） (144)第30讲仿真模拟卷二（必修2） (154)第31讲仿真模拟卷三（必修4） (132)第32讲仿真模拟卷四（必修5） (144)第33讲仿真模拟卷五（选修2-1） (154)知识点一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝________________________ (C (α＋β))sin(α－β)＝________________________ (S (α－β))sin(α＋β)＝________________________ (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 知识点二 二倍角公式sin 2α＝________________；(S 2α)cos 2α＝__________＝__________＝__________；(C 2α)tan 2α＝________________.(T 2α)知识点三 公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(________________)；(2)cos 2α＝______________，sin 2α＝______________；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.知识点四 辅助角公式(1)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中a >0，tan φ＝b a ，－π2<φ<π2)； (2)a cos α－b sin α＝a 2＋b 2cos(α＋φ)(其中a ，b >0，tan φ＝b a ，0<φ<π2)． 特别提醒：常用的6个式子：①sin α±cos α＝2sin(α±π4)； ②3sin α±cos α＝2sin(α±π6)；③sin α±3cos α＝2sin(α±π3)； ④cos α－sin α＝2cos(α＋π4)； ⑤3cos α－sin α＝2cos(α＋π6)； ⑥cos α－3sin α＝2cos(α＋π3)． 知识点五 简单的三角恒等变换(1)变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形式，不变其性质．(2)变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的．(3)变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式．(4)变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径．例1tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°等于( ) A.33B. 3 C ．－1 D ．1 例2 函数f (x )＝1－2sin 22x 是( )A ．偶函数且最小正周期为π2B ．奇函数且最小正周期为π2C ．偶函数且最小正周期为πD ．奇函数且最小正周期为π例3 在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A 的值为________． 例4 已知α，β∈(0，π)，tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．例5 求下列各式的值： (1)(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)； (2)2cos 105°cos 15°；(3)tan 15°1－tan 215°； (4)12－cos 2π8.例6 已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋76π)＝________.例7 已知函数f (x )＝2sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (π4)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期；(3)求函数g (x )＝f (x )＋f (π4＋x )的最大值．例8 已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；(2)函数f (x )的单调递增区间．一、选择题1．计算sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°的结果等于( )A ．－12 B.32 C.22 D.122．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝35，sin α＝513，则cos β的值为() A.5665 B.3365 C.1665 D.63653．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形4．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－15．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( ) A.π4 B.3π4 C.π3 D.π66．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 等于( ) A.725 B.1625 C.1425 D.19257．已知向量a ＝(cos θ，12)的模为22，则cos 2θ等于( ) A.2－32B ．－14C ．－12 D.128．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 二、填空题9．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝110，则tan αtan β＝________. 10．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)＝______. 11．若cos 2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α＝________. 12．已知0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)的值为________． 13．设函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ，当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值和最小值的差为________．答案精析知识条目排查知识点一cos αcos β－sin αsin βsin αcos β－cos αsin βsin αcos β＋cos αsin β知识点二2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－11－2sin 2α 2tan α1－tan 2α知识点三(1)1∓tan αtan β(2)1＋cos 2α2 1－cos 2α2题型分类示例例1 D [原式＝tan(20°＋25°)＝1.]例2 A例3 27＋3512解析 在△ABC 中，∵cos B ＝－34<0， sin(A ＋B )＝23，∴π2<B <π，π2<A ＋B <π.∴sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(－34)2＝74，cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－ 1－(23)2＝－53.∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝(－53)×(－34)＋23×74 ＝27＋3512.例4 解 ∵tan(α－β)＝12，tan β＝－17， ∴tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12＋(－17)1－12×(－17) ＝13<1. ∵α∈(0，π)，∴0<α<π4，0<2α<π2. 又tan β＝－17<0，β∈(0，π)， ∴π2<β<π， ∴－π<－β<－π2，∴－π<2α－β<0. 又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝12＋131－12×13＝1， ∴2α－β＝－3π4. 例5 解 (1)(cosπ12－sin π12)(cos π12＋sin π12) ＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)2cos 105°cos 15°＝2cos(90°＋15°)cos 15°＝2(－sin 15°)cos 15°＝－2sin 15°cos 15°＝－sin 30°＝－12. (3)tan 15°1－tan 215°＝12×2tan 15°1－tan 215°＝12×tan 30°＝36. (4)12－cos 2π8＝－12(2cos 2π8－1) ＝－12cos π4＝－24. 例6 －45解析 ∵cos(α－π6)＋sin α ＝32cos α＋12sin α＋sin α ＝32cos α＋32sin α ＝3(12cos α＋32sin α) ＝3sin(α＋π6)＝435， ∴sin(α＋π6)＝45. ∴sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45. 例7 解 (1)由题意得f (π4) ＝2sin π4cos π4＝1. (2)因为f (x )＝sin 2x ，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.(3)因为g (x )＝sin 2x ＋sin(2x ＋π2) ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)． 所以当x ＝k π＋π8，k ∈Z 时，函数g (x )的最大值为 2. 例8 解 (1)∵f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x ＋2cos 2x＝2sin x cos x ＋1＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2＋2sin(2x ＋π4)，∴当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2. 此时函数f (x )取得最大值的自变量x 的集合为{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z }．(2)由(1)得f (x )＝2＋2sin(2x ＋π4)，∴2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，因此函数f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．考点专项训练1．D2．A [根据题意，α，β为锐角，若sin α＝513，则cos α＝1213，若cos(α＋β)＝35，则(α＋β)也为锐角，则sin(α＋β)＝45，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×1213＋45×513＝5665.]3．B [由题意，cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∴－cos C >0，得cos C <0，则C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．]4．D [∵f (x )＝sin x ＋3cos x＝2(12sin x ＋32cos x )＝2sin(x ＋π3)，∵x ∈[－π2，π2]，∴x ＋π3∈[－π6，56π]，∴f (x )∈[－1,2]，故选D.] 5．A [∵在△ABC 中， tan B ＝－2，tan C ＝13，∴tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C ) ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1，又A ∈(0，π)，∴A ＝π4.]6．A [由sin(π4－x )＝22(cos x －sin x )＝35，∴cos x －sin x ＝325，两边平方得1－2sin x cos x ＝1825，∴sin 2x ＝725.]7．C [|a |＝ cos 2θ＋14＝22，即cos 2θ＝14，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×14－1＝－12.]8．B [f (x )＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝22sin(2x ＋π4)＋12∴T ＝2π2＝π.]9.73 解析 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝14， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝110，∴sin αcos β＝740，cos αsin β＝340.∴sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝73.10．－1解析 ∵cos(x －π6)＝－33，∴cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.故答案为－1. 11.12解析 cos 2αsin (α－π4)＝－cos 2α－sin 2α22(cos α－sin α)＝－2(cos α＋sin α)＝－22. cos α＋sin α＝12.12.539解析 ∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<π4＋α<34π， π4<π4－β2<π2， ∴sin(π4＋α)＝1－cos 2(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝ 1－cos 2(π4－β2)＝63.∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539. 13．2＋ 3解析 f (x )＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－3sin 2x ＋sin x cos x＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x ) ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)．∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π3∈[π3，4π3]，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1， 从而－3≤f (x )≤2.故当x ∈[0，π2]时，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－3，∴f (x )max －f (x )min ＝2＋ 3.知识点一 正弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则特别关注：利用正弦定理可以解决的两类三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 知识点二 余弦定理特别关注：利用余弦定理可以解决的两类三角形问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．知识点三 三角形面积公式S △ABC ＝________________＝________________＝________________. 知识点四 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线________叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从________方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．例1 任给△ABC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列等式成立的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2＋2ab cos C B ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C C ．c 2＝a 2＋b 2＋2ab sin C D ．c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C例2 在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A.322 B.322 C.32 D.62例3 已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( ) A.332B ．3 3C ．2＋ 3D ．3＋ 3例4 在△ABC 中，已知A ＝30°，AB ＝3，BC ＝2，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定例5 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝________. 例6 △ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．例7 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为______海里/时． 例8在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2C ＝3cos C ，C 为锐角． (1)求角C 的大小；(2)若a ＝1，b ＝4，求边c 的长．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则sin B 等于( ) A.33 B.63 C.22 D.322．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513 C ．0 D.233．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π34．△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( ) A ．20 6 B ．25 C ．55 D ．495．如图所示，为测一树的高度，在地面选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m6．在△ABC 中，已知sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7．在△ABC 中，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( ) A ．－12 B ．12C ．－1D ．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A ．1＋ 3B ．1＋32C ．2＋32D ．2＋ 3二、填空题9．在△ABC 中，已知b ＝503，c ＝150，B ＝30°，则边长a ＝________.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，C 为钝角，则x 的取值范围是________． 12．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________ m.答案精析知识条目排查 知识点一b sin Bc sin C 2R sin B 2R sin C b 2R c 2R sin A ∶sin B ∶sin C 知识点二b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22aca 2＋b 2－c 22ab 知识点三12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B 知识点四(1)上方 下方 (3)正北 题型分类示例例1 B [式子c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 符合余弦定理，正确，故选B.] 例2 A [∵A ＝75°，B ＝60°，∴C ＝180°－75°－60°＝45°， ∵c ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴b ＝c sin B sin C＝3×3222＝322.]例3 D [由题意，可得12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝32，即12AB ·BC ·32＝32， 所以AB ·BC ＝2.再由余弦定理可得3＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3＝AB 2＋BC 2－2，即AB 2＋BC 2＝5， 得(AB ＋BC )2＝AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＝5＋4＝9， 所以AB ＋BC ＝3.所以△ABC 的周长等于AB ＋BC ＋AC ＝3＋3，故选D.]例4 A [由正弦定理BC sin A ＝ABsin C ，得sin C ＝AB ·sin A BC ＝3sin 30°2＝34，cos C ＝± 1－(34)2＝±74，当cos C ＝－74时，C 为钝角， 则△ABC 为钝角三角形． 当cos C ＝74时， cos B ＝cos [180°－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )＝－[cos A cos C －sin A sin C ] ＝－(32×74－12×34) ＝－21－38<0， ∴B 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．] 例52解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即(sin 2A ＋cos 2A )sin B ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A, ∴b a ＝sin B sin A ＝ 2. 例6928解析 设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴a ＝3，又sin A ＝1－cos 2A ＝1－(13)2＝223，∴外接圆的半径R ＝a 2sin A ＝3423＝928.例71762解析 如图所示，在△PNM 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，所以MN ＝68×3222＝346，速度v ＝MN 4＝1762(海里/时)．例8 解 (1)由sin 2C ＝3cos C ， 得2sin C cos C ＝3cos C ， 因为C 为锐角，所以cos C ≠0， 从而sin C ＝32. 故角C 的大小是π3.(2)由a ＝1，b ＝4，根据余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝13，所以边c 的长为13.考点专项训练 1．A 2.C3．C [由a 2＝b 2＋bc ＋c 2， 得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，∴A ＝2π3.]4．D5．A [由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB ·sin 45°＝30sin 15°·sin 45°＝(30＋303)(m)．] 6．B [因为sin 2A 2＝c －b2c ，所以1－cos A 2＝c －b2c.利用正弦定理知1－cos A 2＝sin C －sin B2sin C ，化简得sin C －sin C cos A ＝sin C －sin B ， 所以sin C cos A ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝0.又因为sin A ≠0，所以cos C ＝0， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．] 7．D8．A [由12ac ·sin 30°＝32，得ac ＝6，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30° ＝(a ＋c )2－2ac －3ac＝4b 2－12－63，∴b ＝3＋1.] 9．1003或50 3 解析 由余弦定理得， a 2＋c 2－2ac cos 30°＝b 2， ∴a 2－1503a ＋15 000＝0， 解得a ＝1003或50 3. 10.π6解析 由sin B ＋cos B ＝2，B ∈(0，π)， 可得sin(B ＋π4)＝1，B ＝π4，由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝12.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.11．(5,7)解析 由已知条件可知x <3＋4且32＋42<x 2， ∴5<x <7. 12．60解析 如图，作CD ⊥AB 于点D ， tan 30°＝CD AD ，tan 75°＝CDDB， 又 AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60.知识点一数列的相关概念1．数列的定义按照________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．2．数列的分类知识点二数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是________、________和________．1．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．知识点三 S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)，(n ≥2).知识点四 等差数列的定义一般地，如果一个数列________________________________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示． 知识点五 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________________． 知识点六 等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项．知识点七 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则________________． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为________的等差数列．知识点八 等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝________________或S n ＝________________. 知识点九 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)． 知识点十 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最________值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最________值．例1 已知数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为奇数，a n ＋1，n 为偶数，设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 5＝－20，则a 1的值为( ) A ．2 B ．0 C ．1 D ．－2例2 已知{a n }(n ∈N *)是以1为首项，2为公差的等差数列，设S n 是{a n }的前n 项和，且S n＝25，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 4＝8，S 4＝20，则a 3等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例4 已知{a n }为等差数列，前10项的和为S 10＝100，前100项的和S 100＝10，则前110项的和S 110为________．例5 在数列{a n }(n ∈N *)中，设a 1＝a 2＝1，a 3＝2，若数列{a n ＋1a n }是等差数列，则a 6＝________.例6 已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .例7 已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)． (1)求证：{1S n }是等差数列，并求公差；(2)求数列{a n }的通项公式．例8 已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，求a n .例9 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值．一、选择题1．设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项2．在数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31153．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．74．在数列{a n }中，已知a 61＝2 000，且a n ＋1＝a n ＋n ，则a 1等于( ) A ．168 B ．169 C ．170 D ．1715．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．3606．已知数列{a n }是通项a n 和公差都不为零的等差数列，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1，则S n 等于( )A.n a 1a n ＋1B.na 1a n C.n －1a 1a n D.n －1a 1a n ＋17．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19等于( ) A ．55 B ．95 C ．100 D ．1908．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．300 二、填空题9．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11为________．10．对于两个等差数列{a n }和{b n }，有a 1＋b 100＝100，b 1＋a 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项之和S 100为________．11．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R 且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则m ＋n 的值为________．12．设数列的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|为________．13．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0，当n ＝______时，前n 项和取得最大值．答案精析知识条目排查 知识点一 1．一定顺序 项 2．有限 无限 > < 知识点二列表法 图象法 解析法 1．序号n 知识点三 S 1 S n －S n －1 知识点四从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 公差 d 知识点五 a n ＝a 1＋(n －1)d 知识点七(1)(n －m )d (2)a k ＋a l ＝a m ＋a n (3)2d (5)md 知识点八n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 知识点十 大 小 题型分类示例例1 D [由题意知，a 2＝2a 1，a 3＝a 2＋1＝2a 1＋1， a 4＝2a 3＝2(2a 1＋1)＝4a 1＋2， a 5＝a 4＋1＝4a 1＋3，∴S 5＝a 1＋2a 1＋(2a 1＋1)＋(4a 1＋2)＋(4a 1＋3) ＝13a 1＋6＝－20， ∴a 1＝－2.]例2 C [由等差数列的前n 项和公式得 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2＝25，解得n ＝5，故选C.]例3 C 例4 －110解析 方法一 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，⎩⎨⎧10a 1＋12×10×9d ＝100，100a 1＋12×100×99d ＝10，解得a 1＝10.99，d ＝－0.22.故S 110＝110a 1＋12×110×109d ＝－110.方法二 设{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧100A ＋10B ＝100，10 000A ＋100B ＝10， 解得A ＝－11100，B ＝11110.所以S 110＝12 100A ＋110B ＝110(110A ＋B )＝－110.方法三 因S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝－90， ∴a 1＋a 110＝a 11＋a 100＝－2. 所以S 110＝110(a 1＋a 110)2＝110×(－2)2＝－110. 方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列， 设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10⇒D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110. 例5 120解析 由题意得a 2a 1＝1，a 3a 2＝2，所以数列{a n ＋1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1a n＝n ，所以a 6＝5a 5＝5×4a 4 ＝5×4×3a 3＝120.例6 解 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ＋1， 所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14(1n －1n ＋1)． 所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1). 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).例7 (1)证明 由2a n ＝2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1(n ≥2)， 得1S n －1S n －1＝－12(n ≥2)． ∴{1S n }是等差数列，且公差为－12. (2)解 由1S n ＝13＋(n －1)(－12)，得S n ＝65－3n .当n ＝1时，a 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(3n －5)(3n －8).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(n ＝1)，18(3n －5)(3n －8)(n ≥2). 例8 解 ∵a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝6，…，a n －a n －1＝2(n －1)(n ≥2)，∴各式相加，得a n －a 1＝2n (n －1)2＝n (n －1)(n ≥2)．∵a 1＝0也满足a n ＝n (n －1)， ∴a n ＝n (n －1)．例9 解 方法一 ∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ，解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 同方法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0， 得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三 ∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法四 设S n ＝An 2＋Bn . ∵S 9＝S 17，∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169. 考点专项训练1．B [数列可变为2，5，8，11，…， 故通项公式a n ＝3n －1，令25＝3n －1，得n ＝7.]2．C [a 1·a 2＝4，∴a 2＝4，a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝94， a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴42·a 5＝52，∴a 5＝2516， ∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.] 3．B [由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋6d ＝105，3a 1＋9d ＝99，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝35，a 1＋3d ＝33， 解得d ＝－2，a 1＝39，∴a 20＝39＋19×(－2)＝1.]4．C [∵a n ＋1－a n ＝n ，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a 61－a 60＝60，∴a 61－a 1＝1＋2＋ (60)∴a 1＝170.]5．C [a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450⇒5a 5＝450⇒a 5＝90，∵a 2＋a 8＝2a 5，∴a 2＋a 8＝180.]6．A [∵{a n }是等差数列，公差d ≠0，∴1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)． ∴S n ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1) ＝1d (1a 1－1a n ＋1) ＝n a 1a n ＋1.] 7．B8．C [方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝30， ①S2m ＝2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100， ②②－①得ma 1＋3m 2－m 2d ＝70， ∴S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d ＝3(ma 1＋3m 2－m 2)d ＝3×70＝210.方法二 ∵数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.]9.12解析 由1a 3＋1＝12＋1＝13，1a 7＋1＝11＋1＝12，设{1a n ＋1}的公差为d ，则4d ＝12－13＝16，1a 11＋1＝1a 7＋1＋4d ＝12＋16＝23，即a 11＝12.10．10 000解析 S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝100[(a 1＋b 100)＋(b 1＋a 100)]2＝100(100＋100)2＝10 000.11.3172解析 设x 2－x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，x 2－x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.不妨设数列的首项为x 1，则数列的第4项为x 2，所以x 1＝14，x 2＝34. 公差d ＝34－143＝16， 所以中间两项分别是14＋16，14＋16×2， 所以x 1x 2＝316，x 3x 4＝512×712， 所以m ＋n ＝316＋512×712＝3172. 12．153解析 由a n ＝2n －7>0，得n >72， ∴从第4项开始均为正项，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝S 15－2S 3＝15(－5＋23)2－2×3(－5－1)2＝153.13．5解析 由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得9＋3d ＋9＋6d ＝0，得d ＝－2，∴a n ＝9－2(n －1)＝11－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ≥0，11－2(n ＋1)≤0， 得92≤n ≤112，又n ∈N *， ∴n ＝5.即前5项和最大．知识点一 等比数列的定义一般地，如果一个数列________________________________________________，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示． 知识点二 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝________________.知识点三 等比中项如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________． 知识点四 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则________________．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．知识点五 等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 知识点六 等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为________．例1 (2015年10月学考)下列数列，能构成等比数列的是( )A ．2,3,4,5B ．1，－2，－4,8C ．0,1,2,4D ．16，－8,4，－2例2 已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243例3 数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．若a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，则S 5＝________. 例4 在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6·a 10＋a 3·a 5＝41，a 4·a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.例5 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6的值为________． 例6 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3.(1)求证：{a n ＋3}是等比数列，并指明首项；(2)求{a n }的通项公式．例7 求数列112，214，318，…，(n ＋12n )的前n 项和S n .例8 设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n 项和S n .一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D.142．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12B.22C. 2 D ．23．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于( )A.218 B ．－218 C.178 D ．－1784．一个等比数列的前7 项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )A ．180B ．108C ．75D ．635．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1＋a ，则a 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．任意实数6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2a 9＝9，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{b n }前10项和为( )A ．10B ．12C ．8D ．2＋log 357．已知等比数列{a n }的公比q <0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则数列{a n }的前2 016项的和为( )A ．2 015B ．1C ．0D ．－18．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C ．5D.3116二、填空题9．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．10．等比数列{a n }中，a 2 009a 2 010a 2 011＝8，则a 2 010＝________.11．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.三、解答题12．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．答案精析知识条目排查知识点一从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零) 公比 q 知识点二a 1·q n －1 知识点三等比中项知识点四(1)q n －m (2)a k ·a l ＝a m ·a n 知识点六q n题型分类示例例1 D解析[ 由等比数列的定义以及性质可知，A ，B ，C 都不是等比数列，故选D.]例2 A [∵q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，∴a 1＋a 1q ＝3， 得a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64. 所以选A.]例3 121例4 51解析 ∵a 6·a 10＝a 28，a 3·a 5＝a 24，∴a 28＋a 24＝41.又∵a 4·a 8＝5，a n >0，∴a 4＋a 8＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝41＋10＝51.例5 73解析 方法一 若q ＝1，则S 6＝6a 1，S 3＝3a 1，∴S 6S 3＝2，这与已知矛盾，∴q ≠1. ∴由题设知a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝3，即1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－231－22＝73. 方法二 若q ＝－1，则S 6＝0，S 3＝a 1，∴S 6S 3＝0，这与已知矛盾，∴q ≠1. S 6＝3S 3.由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列．即S 3,2S 3，S 9－3S 3成等比数列，∴S 9－3S 3＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 例6 (1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴(a n ＋1＋3)＝2(a n ＋3)，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2， ∴数列{a n ＋3}是等比数列，且首项为a 1＋3＝1＋3＝4.(2)解 由(1)可知数列{a n ＋3}的通项公式为a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝4·2n －1＝2n ＋1.∴a n ＝2n ＋1－3. 例7 解 S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋14＋18＋…＋12n ) ＝12n (n ＋1)＋12(1－12n )1－12＝12n (n ＋1)＋1－12n . 例8 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .由题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n b n ＝2n －12n －1， S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①12S n ＝121＋322＋…＋2n －52n －2＋2n －32n －1＋2n －12n ，② ①－②得12S n ＝1＋22＋222＋…＋22n －2＋22n －1－2n －12n ＝1＋2(12＋122＋…＋12n －2＋12n －1)－2n －12n ＝1＋2×12[1－(12)n －1]1－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， ∴S n ＝6－2n ＋32n －1. 考点专项训练1．A2．C [由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q ＝2，故选C.] 3．A [∵a 8a 5＝q 3＝－8，∴q ＝－2， 由a 5＝－2＝a 1×(－2)4得a 1＝－18. ∴S 6＝－18[1－(－2)6]1－(－2)＝218.] 4．D [由条件得q ≠1，且a 1(1－q 7)1－q＝48，① a 1(1－q 14)1－q＝60.② ②①得1＋q 7＝54， ∴q 7＝14，a 11－q＝64， ∴S 21＝a 1(1－q 21)1－q＝64[1－(14)3]＝63.] 5．B [∵S n ＝3n ＋1＋a ， ∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n ＝2·3n .n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋9.∵{a n }为等比数列，∴a ＋9＝2×31，解得a ＝－3.]6．A [b 1＋b 2＋…＋b 10＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 2a 9)5＝5log 39＝10.]7．C [由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得a n q 2＝a n q ＋2a n .即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1或q ＝2(舍去)．∴a 1＝－1，∴S 2 016＝0.]8．D [由题意可知q ≠1.∵9(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6，8(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2＋a 3)q 3，∴q ＝2，a n ＝2n －1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝120＋121＋…＋124＝3116.] 9．192解析 由条件得，768＝6×q 7，解得q ＝2.∴a 6＝6×25＝192.10．2解析 等比数列{a n }中，a 2 009a 2 011＝a 22 010，∴a 32 010＝8，∴a 2 010＝2.11．4n －1 解析 ∵{a n }是等比数列，q ＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝21， ∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1. 12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n .② 所以当n ＞1时，①－②得S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1(n >1)，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.知识点一 不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 知识点二 两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a b a －b ＝0⇔a ba －b <0⇔a b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a b ab ＝1⇔a ba b<1⇔a b (a ∈R ，b >0)．知识点三 不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒________； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c ________b ＋c ， a >b ，c >d ⇒a ＋c ________b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac ________bc ， a >b >0，c >d >0⇒ac ________bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n ________b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒n a ________nb (n ∈N ，n ≥2)．知识点四 “三个二次”的关系例1 下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d例2 不等式3x 2－x －2>0的解集是( ) A ．(－23，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－23)∪(1，＋∞)D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)例3 设a ，b ，c ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若|a |<|b |，则|a ＋c |<|b ＋c | B ．若|a |<|b |，则|a －c |<|b －c | C ．若|a |<|b －c |，则|a |<|b |－|c | D ．若|a |<|b －c |，则|a |－|c |<|b |例4 一个城市计划今后每年使工业废气排放量比前一年降低10%.按此计划，若经过n 年，工业废气排放量低于现在的一半，则n 应当满足的不等关系为________． 例5 函数f (x )＝x ＋3＋1ax ＋2(a ∈R )，若其定义域内不存在实数x ，使得f (x )≤0，则a 的取值范围是________________．例6 解关于x 的不等式：ax 2＋(1－a )x －1>0.例7 某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．一、选择题1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <ND ．与x 有关2．若集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x －2x >0}，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |x <0，或x >2}C ．{x |－1<x <0，或2<x <3}。

第3节函数的奇偶性与周期性考试要求1。

结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2。

会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1。

函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x)的定义域内任意一个x,都有f（－x)＝f（x），那么函数f(x）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x）的定义域内任意一个x，都有f(－x）＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2。

函数的周期性（1）周期函数：对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x），那么就称函数y＝f（x)为周期函数,称T为这个函数的周期。

（2)最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。

[常用结论与微点提醒]1。

(1)如果一个奇函数f(x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0)＝0.(2）如果函数f（x）是偶函数，那么f(x)＝f（|x|).2。

奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3。

函数周期性常用结论对f（x）定义域内任一自变量的值x：(1)若f（x＋a)＝－f（x），则T＝2a（a>0）.(2)若f（x＋a)＝错误!，则T＝2a（a>0)。

（3)若f（x＋a)＝－错误!，则T＝2a（a〉0）.(4)若f(x＋a）＋f(x）＝c,则T＝2a(a〉0，c为常数).4。

对称性的三个常用结论（1)若函数y＝f（x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x)＝f(2a ＋x)，则y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f(x）的图象关于点(b,0）中心对称.诊断自测1。

第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。

第5讲指数与指数函数最新考纲1。

了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3。

了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.知识梳理1。

根式(1）概念：式子错误!叫做根式,其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质:（n，a）n＝a(a使错误!有意义)；当n为奇数时，错误!＝a，当n为偶数时，错误!＝|a|＝错误!2。

分数指数幂（1）规定：正数的正分数指数幂的意义是a错误!＝错误!（a>0，m，n∈N ＊，且n〉1)；正数的负分数指数幂的意义是a－错误!＝错误!(a〉0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.（2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r）s＝a rs；（ab)r＝a r b r，其中a〉0，b>0,r,s∈Q。

3。

指数函数及其性质(1)概念；函数y＝a x(a〉0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是变量,函数的定义域是R，a是底数。

（2）指数函数的图象与性质a>10〈a<1图象定义域R值域（0，＋∞)性质过定点（0，1)，即x＝0时，y＝1当x〉0时，y〉1；当x〈0时，0<y<1当x〈0时，y〉1；当x〉0时,0<y〈1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞,＋∞）上是减函数1。

判断正误（在括号内打“√"或“×”)(1）错误!＝－4。

( ）(2)（－1）错误!＝（－1)错误!＝错误!。

（）（3)函数y＝2x－1是指数函数.（）（4)函数y＝a x2＋1(a〉1）的值域是(0，＋∞).（)解析(1)由于错误!＝错误!＝4，故（1)错.(2）（－1）错误!＝错误!＝1，故(2）错.（3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1),故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1,又a＞1,∴a x2＋1≥a。

第二章函数§2.2函数及其表示考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计20142O1S20171.函数的概念及其表示1.了解函数、映射的概念'会求一些简单的函数定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.3.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求函数的最大（小）值.理解17,4分21（2）〃分22（2）〃分11（文）*分17（文）*分21（文）'约4分22（文）'约S分8Q分22（2）丹分6S分Z6S分22,14分辺（文）丿S分7S分Z2S分亦約S 分2.分段函数及其应用了解简单的分段函数'并能简单了解辽,4分1S（文）艸分辺仏分22（文）" 分边3分分17,4 分分析解读1•考査重点仍为函数的表示法‘分段函数等基本知识点'考查形式有两种L种是给岀分段函数表达式丿求相应的函数值或相应的参数值（例：2Q14浙江1S题）;另一种是定义一种运算，给出函数关系式考查相关数学知识（例：2QZS浙江7题）.2•了解构成函数的要素'会求一些简单函数的定义域和值域‘能运用求值域的方法解决最值问题.3•函数值域和最值是高考考查的重点，常以本节内容为背景结合其他知识进行考查’如解析式与函数最值相结合（例：2ES 浙江丄。

题）'函数最值与向量相结合（例浙江丄7题）.4•预计20讣年高考中'考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大’特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查，复习时应弓I起重视.五年高考J.（2OZS浙江？S分）存在函数f（X）满足:对于任意炸R都有（）A.f（s加2x）=sb X I3.F（S认2.x）=x2+xC.f（x2+1）=卜旳P.f（x24-2.x）=|x+x|答案P2.（2014江西2S分）函数f（x）二张（炉一X）的定义域为（）A.（OJ）C.（-gQ） U（X+8）U [4+8）答案c3.（2014 江西3S 分）已知函数f（x）=5Hg（x）wx2-X@WR）.若则a=（）A.lB.2 C3 P.-l答案A4.（2014山东3S分）函数f（x）==的定义域为（）J（iog2x）2-i考点—函数的概念及其表示A.（0,i）B.（2严）C（0,》U（2严）0.（0,扣[2严）答案CS.(2O匹浙江文£44分)已知函数f(X)=JZl.若f⑷二知则实数加_____________ .答案辺0.(20述江苏SS分)函数护』3・2g啲定义域是_____________ .答案[-3.XJ教师用书专用(7-8)7.(2013江西,2$分)函数y二仮仏(2 -X)的定义域为()A.(")B.[6Z)C.(O^] P.[<9,1]答案B8.(2014四川分)以A表示值域为R的函数组成的集合”表示具有如下性质的函数软X)组成的集合:对于函数4>(x)存在一个正数M,使得函数0>)的值域包含于区间例如，当如(x)二疋®2(x)二s认x时咖(x)uA妙2(x)uB•现有如下命题: ®iS函数f(x)的定义域为A则“偸疋A”的充要条件是;②函数f(x) e B的充要条彳牛是f(x)有最大值和最小值；③若函数fgg3的定义域相同'且f(x)cA,g(x)u 5则f(x)+g(x)6B;④若函数f(x)=a仏(灯2)+坛沿> -2仏e R)有最大值'则f(x) e B.其中的真命题有_______ .(写出所有真命题的序号)答案①③④考点二分段函数及其应用4(2017山东文9S分)设衣)彳器當;;:'若3才(吐1)，则£(沪()A.2 8.4 C6 P.8答案C2.(2015 课标II"分)设函数偸)二『：Sg2(2・x),x < 1,则f(_2)+f((°g212)=()(2X-I;x > 1,A.3 3.6 C3 D・12答案c3(2ES山东nes分)设函数F(X)J鴛“ :1'则满足俗⑷)二2认的°的取值范围是()I2=x > 1.A.[|,l]B.[O刃C.[|, + 8)D.[4*)答案C4.(2O1S浙江以0"分)已知函数fW=(X + B'X - 1'则*X)的最小值是(lg(x2 + l),x < 1,答案02返75.(2E4浙江X4分)设函数衣)屮:* 丫：①若f(f@))W2贝」实数a的取值范围是_______________ .|X N U・答案Q.(2E4浙江文3片分)设函数f(x)£；+驚2，x < 0,若肝⑷)二2,则X _________________ .I ‘X A u.答案V27.(2017课标全国III文",S分)设函数欣)二则满足f(X)+f (x-|)>X的X的取值范围是_________________________ ・答案(冷,+ °°)浙江33 分)已知函数尸(心呦认{2卜-2快2-2衣卜和-2}丿其中必认{阳珂需三:(1)求使得等式F(x)二炉-2农+和-2成立的X的取值范围；(2)(。