(完整版)高中数学 必修二 立体几何常考证明题汇总,推荐文档

1.如图，三棱柱 ABC — A i B i C i 中，侧棱垂直底面， 1/ ACB=90 , AC=BC= gAA i , D 是棱 AA i 的中点 (I )证明：平面 BDC i 丄平面BDC(n)平面BDC i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的 比•2•如图5所示，在四棱锥 P ABCD 中，AB 平面 PAD , AB//CD , PD AD , E 是1PB 的中点，F 是CD 上的点且 DF —AB ,2PH PAD 中AD 边上的高•(1) 证明：PH 平面ABCD ;(2) 若 PH i , AD 2, FC i ，求三 (3)证明：EF 平面PAB .3.如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AB i AC i , D ,E 分 别是棱BC , CC i 上的点(点D 不同于点C )，且AD DE , F 为B,G 的中点.求证：(i )平面ADE 平面BCGB,；(2)直线AF 〃平面ADE .棱锥E BCF 的体积;妥5小4. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角形，/ APD=90面PAD丄面ABCD，且AB=1 , AD=2 , E、F分别为PC和BD的中点.(1) 证明：EF//面PAD ;(2) 证明：面PDC丄面PAD ;(3) 求四棱锥P—ABCD的体积.5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA 平面ABCD , PD//MA , E、G、F 分别为MB、PB、PC 的中点，且AD PD 2MA.(I)求证：平面EFG 平面PDC ;(II )求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比. B6. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC , AB=「2 ,CE=EF=1(I)求证：AF//平面BDE(H)求证：CF丄平面BDF;7. 女口图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2EF// AB,EF 丄FB, / BFC=90° , BF=FC,H 为BC 的中点, (I )求证：FH //平面EDB;(H)求证：AC丄平面EDB;(川)求四面体B—DEF的体积；8.如图，在直二棱柱ABC Ai B1C1中，E、F分别是A i B、A1C的中点，点D在B J G上，A D BQo求证：(1) EF//平面ABC ;(2)平面AFD 平面BB i C i C .BE FB9•如图4,在边长为1的等边三角形ABC中，D, E分别是AB, AC边上的点,AD AE , FG ,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥BCF ,其中BC10.如图，在四棱锥P ABCD中，AB//CD , AB AD , CD 2AB ,平面PAD 底面ABCD , PA AD , E和F分别是CD和PC的中点，求证：⑴ PA 底面ABCD ;(2) BE//平面PAD ;(3)平面BEF 平面PCD证明：DE //平面BCF ;证明：CF平面ABF ;2当AD 时,求三棱锥F3DEG的体积V图4是BC的中点,AF与DE交于点C11. （2013年山东卷）如图，四棱锥P ABCD中, AB AC,AB PA , AB// CD,AB 2CDE,F,G,M ,N分别为PB, AB,BC,PD,PC 的中点(I)求证:CE /平面PAD .(n )求证：平面EFG 平面EMN12立体几何经典试题参考答案1.【解析】(I)由题设知BC 丄CC 1 ,BC 丄AC CC 1 AC•••面 BDC 丄面 BDC 1 ;(n)设棱锥 B DACC i 的体积为 V , AC =1，由题意得, 由三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V =1，•- (V V : V | =1:1,•平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】(1)证明：因为 AB 平面PAD , 所以PHAB 。

必修2立体几何证明题详解（五篇）第一篇：必修2 立体几何证明题详解迎接新的挑战!必修2 证明题一．解答题（共3小题）1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。

分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB ∴PB∥平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．考点：三垂线定理。

专题：作图题；证明题。

分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．欢迎加入高一数学组联系电话:***迎接新的挑战!必修2 证明题在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．（I）求证：A1C⊥BD；（II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；（III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值．考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。

必修二立体几何知识点与复习题一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为90︒2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面1、异面直线所成的角的取值范围是：0︒<≤ 90︒2、直线与平面所成的角的取值范围是：0︒≤≤90︒3、斜线与平面所成的角的取值范围是：0︒<≤90︒(0︒,90︒][0︒,90︒](0︒,90︒]4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：0︒<≤180︒十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点考点一,几何体的概念与性质【基础训练】1.判定下面的说法是否正确:(1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱.(2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台.2.下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。

1.正方形ABCD交正方形ABEF于AB，M、N在对角线AC、FB上，且FNAM，求证：//MN 平面BCE
2 .已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH、
7 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点. 求证：MN∥平面AA1C1.
8 已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心. （1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；
9 .如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A 的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.
10 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.
11 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥平面BCE.。

必修二立体几何经典证明试题1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．B 1C BADC 1A 14. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比. ADPMFGE6. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥。

新课标立体几何常考证实题汇总1、四边形 ABCD 是空间四边形,E,F,G,H 分别是边AB, BC,CD, DA 的中点 (1) 求证：EFGK 平行四边形(2)假设BD=2掷,AC=2 EG=2求异面直线 AC BD 所成的角和EG BD 所成的角.1证实：在 ABD 中,: E, H 分别是 AB, AD 的中点,EH //BD ,EH - BD21同理,FG//BD,FG — BD EH //FG,EH FG .♦・四边形 EFGH 是平行四边形. 2(2) 90 °30°考点：证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角2、如图,空间四边形 ABCD 中,BC AC,AD BD , E 是AB 的中点. (2)由(1)有AB 平面CDE考点：线面垂直,面面垂直的判定求证：(1) AB 平面CDE;(2)平面CDE 平面ABC .证实：(1) B C AC CE AB AE BE同理,AD BD AE BEDE AB又「 CE DE E••• AB 平面 CDE又••• AB平面ABC,・•・平面CDE 平面ABCA3、如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是AA1的中点,求证：AC//平面BDE.证实：连接AC交BD于O ,连接EO ,••• E为AA i的中点,.为AC的中点•• EO为三角形AAC的中位线EO//AC又EO在平面BDE内,AC在平面BDE外•• AC //平面BDE.考点：线面平行的判定4、ABC 中ACB 90o,SA 面ABC, AD SC,求证：AD 面SBC. 证实：: ACB90BC AC又SA 面ABC SA BCBC 面SACBC ADX SC AD,SC BC C AD 面SBC考点：线面垂直的判定5、正方体ABCD AB1C1D1, O是底ABCD对角线的交点求证：(1 ) C i O // 面AB1D1 ; (2) AC 面AB1D1 .证实：(1)连结AC1 ,设A1C1B1D1 01, 连结AO1••• ABCD AB1c l D1是正方体AACC1是平行四边形,AiCi//AC 且A1c l AC又O1,O 分别是AC〔,AC 的中点,,O i C i//AO 且01c l AO AOC i O i是平行四边形CiO// AO1, AO1面AB1D1 , C1O 面AB[D〔 . . C iO//面ABR(2) QCC1面A^CR CC1 B1D!又'A1.1 BiDi, B1D1面AC1C 即AC B i D1同理可证AC AD、又DC AD i D iAC 面ABR考点：线面平行的判定〔利用平行四边形〕,线面垂直的判定6、正方体ABCD A'B'C'D'中,求证：⑴ AC 平面B'D'DB；〔2〕BD1平面ACB’考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD—A i B i C i D i 中.〔1〕求证：平面A i BD//平面B i D i C;〔2〕假设E、F分别是AA i, CC i的中点,求证：平面EB i D i//平面FBD .证实：〔i〕由B i B// DD i,得四边形BB i D i D是平行四边形,, B i D i // BD ,又BD 平面B i D i C, B i D i 平面B i D i C,BD //平面B i D i C.同理A i D //平面B i D i C.而A i DABD=D,平面A i BD//平面B i CD.(2)由BD// B i D i,得BD//平面EB i D i.取BB i 中点G, AE//B i G.从而得B i E // AG,同理GF//AD. ,AG// DF. ,B i E// DF. DF //平面EB i D i, 平面EB i D i//平面FBD.考点：线面平行的判定〔利用平行四边形〕8、四面体ABCD中,AC BD,E, F分别为AD,BC的中点,.且EF ——AC, 2BDC 900,求证：BD 平面ACD i 证实：取CD的中点G ,连结EG,FG,; E,F分别为AD, BC的中点,,EG //-AC 2i i_ _ _2_21_22FG 〃一BD,又.AC BD,,FG —AC,...在EFG 中,EG FG -AC EF2 2 2EG FG, •. BD AC,又BDC 900,即BD CD , AC CD CBD 平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形9、如图P是ABC所在平面外一点, PA PB,CB 平面PAB, M.是PC的中点,N是AB上的点,AN 3NB(i)求证：MN AB; (2)当APB 90°, AB 2BC 4时,求MN 的长.证实：(i)取PA的中点Q ,连结MQ,NQ , •「M是PB的中点,M MQ // BC , ••• CB 平面PAB ,, MQ 平面PAB・♦.QN是MN在平面PAB内的射影,取AB的中点D,连结PD , . PA PB,..PD AB ,又AN 3NB, .. BN NDB NQN //PD,.二QN AB ,由三垂线定理得MN ABo 1(2) ••• APB 90°, PA PB, PD -AB 2 , QN 1 , 「MQ2MQ -BC 1, MN .2 2考点：三垂线定理考点：线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定12、ABCD 是矩形,PA 平面ABCD, AB 2, PA AD 为BC的中点.(1)求证：DE 平面PAE; (2)求直线DP与平面PAE所成的角.证实：在ADE 中,AD2 AE2 DE2, AE DEPA 平面ABCD, DE 平面ABCD, PA DE又PA AE A, DE 平面PAE(2) DPE为DP与平面PAE所成的角在Rt PAD, PD 4垃,在Rt DCE 中,DE 2%/2在Rt DEP 中,PD 2DE , DPE 30°考点：线面垂直的判定,构造直角三角形平面PAB./. MQ10、如图,在正方体ABCD AB i C i D i中,E、F G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面DEF //平面BDG .证实：••• E、F分别是AB、AD的中点, EF // BD又EF 平面BDG , BD 平面BDG EF //平面BDGD1G旦EB 四边形D1GBE为平行四边形, D1E // GB又D1E 平面BDG , GB 平面BDG D1E //平面BDGEF DE E 平面D1EF //平面BDG考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)11、如图,在正方体ABCD AB1c〔D^(中,E是AA的中点.(1)求证：AC 〃平面BDE ;(2)求证：平面A AC 平面BDE .证实：(1)设AC BD O,••• E、O分别是AA、AC的中点, AC // EO又AC 平面BDE , EO 平面BDE , A1C //平面BDE(2) ••• AA1 平面ABCD , BD 平面ABCD , AA1 BD又BD AC , ACAA1A BD平面AAC , BD 平面BDE , 平面BDE 平面AAC13、如图,在四^B 隹P ABCD 中,底面ABCD 是 DAB 且平面PAD 垂直于底面 ABCD.(1)假设G 为AD 的中点,求证：BG 平面PAD ; (2)求证：AD PB;(3)求二面角A BC P 的大小.证实：(1) ABD 为等边三角形且 G 为AD 的中点, BG AD又平面PAD 平面ABCD , BG 平面PAD(2) PAD 是等边三角形且 G 为AD 的中点,AD PG且 AD BG, PGBG G , AD 平面 PBG ,PB 平面 PBG , AD PB(3)由 AD PB , AD // BC, BC PB又 BG AD , AD // BC , BG BCPBG 为二面角A BC P 的平面角在 Rt PBG 中,PG BG, PBG 450,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)14、如图1,在正方体 ABCD AB 1c l D 1中,M 为CC 1的中点,AC 交BD 于点O,求证：A 1O 平面MBD .证实：连结 MO , AM ,DB± A 1A , DB ±AC,A 1AAC A••• DB ,平面 A ACC 1 ,而 A 1O 平面 A 1ACC 1DB ± A 1O .................................................... c3 cc 3 c设正方体梭长为 a ,那么A 1O—a , MO —a .2 4 29 2222在 RtA A 1C 1M AM -a • . AO MO A 〔M , . . AO OM4•. OMnDB=O,A1OL 平面 MBD.考点：线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图 2,在三棱锥 A —BCD 3, BC= AG AD= BD作BE! CD E 为垂足,作 AHL BE 于H .求证：AHL 平面BCD 证实：取 AB的中点F,连结 CF DF.. AC BC , CF AB .. AD BD , DF AB .又 CF I DF F , AB 平面 CDF. CD 平面 CDF CD AB .又 CD BE , BE AB B,CD 平面 ABE CD AH . .AH CD , AH BE , CD BE E ,••• AH 平面 BCD考点：线面垂直的判定16、证实：在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中,A I C,平面 BC I D考点：线面垂直的判定600且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,证实：连结AC 「 BDXACAC 为A i C 在平面AC 上的射影考点：线面垂直的判定,三垂线定理17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC,且/ ASB=/ASC=60°平面ABC ,平面BSC.证实••• SB=SA=SC , / ASB= / ASC=60 ° . . AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO 、SO, 那么 AO ± BC , SO ± BC,工丁./AOS 为二面角的平面角, 设 SA=SB=SC=a ,又/ BSC=90° ,BC= V2 a, SO = 2 a,1 1AO 2=AC 2 —OC 2=a 2— 2a 2= 2 a 2, .•.SA 2=AO 2+OS 2, .•./ AOS=90 ° ,从而平面 ABC ± 平面BSC.考点：面面垂直的判定〔证二面角是直二面角〕BD AC同理可证A 1c BC 1AC 平面BC 1DDi Ci,/ BSC=90 ° ,求证:。

立体几何选择题：一、三视图考点透视：① 能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ② 通过三视图计算空间几何体的体积或表面积•③ 解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 1. 一空间几何体的三视图如图 2所示, 该几何体的体积为AJ ，3则正视图中X 的值为（ ）A. 5B.4C. 3D. 22. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为3. _________________________________ 如图4,已知一个锥体的正视图（也称主视图） 别为3, 4, 6,则该锥体的体积是 4 _____________________ .4•某四棱锥的三视图如图 1 — 1所示，该四棱锥的表面积是 （B ） A . 32 B . 16+ 16 .2 C. 48 D . 16 + 32 2二、直观图掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变；② 平行于y 轴的长度为原来的一半， X 轴不变； ③ 新坐标轴夹角为 45°或135 °。

1、禾U 用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（）不要求记忆，但要会使用公式。

审题时分清“表面积”和“侧面积” 。

（1） 圆柱、圆锥、圆台的侧面积，球的表面积公式。

（2） 柱、锥、台体，球体的体积公式。

（3） 正方体的内切球和外接球：内切球半径？ 外接球直径？ （4） 扇形的面积公式 S =1Ir =丄十弧长公式IXr2 21、一个直角三角形的两条直角边分别是3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的表面积为（）A. 84-B. 144 - C . 36 二D. 24 二Q ∖ [ħΔ ΛABC D 正视图 左视图正视图俯视图4 =►,左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分 A .正三角形的直观图仍然是正三角形. B. 平行四边形的直观图一定是平行四边形. C. 正方形的直观图是正方形.D .圆的直观图是圆 2、如图，梯形 A I BCD 是一平面图形=1 ,则梯形ABC 啲面积是（）ABC [的直观图（斜二测），若 AD // Oy 1, AB // CD , AB = 2, GD = 3 D . 10 I 2二、表面积和体积 AD俯视图2、 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥” 。

1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．B 1C BADC 1A 14. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.ABDPMFGE6. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥。

新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点ABCD ,,,E F G H ,,,AB BC CD DA 1　求证：EFGH 是平行四边形　2　若BD=，AC=2，EG=2。

求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD所成的角。

证明：在中，∵分别是的中点∴ABD ∆,E H ,AB AD 1//,2EH BD EH BD =同理，∴∴四边形是平行四边形。

1//,2FG BD FG BD =//,EH FG EH FG =EFGH (2) 90° 30 °考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形中，，是的中点。

ABCD ,BC AC AD BD ==E AB 求证：（1）平面CDE;⊥AB （2）平面平面。

CDE ⊥ABC 证明：（1）BC AC CE ABAE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE ABAE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵∴平面CE DE E ⋂=AB ⊥CDE（2）由（1）有平面AB ⊥CDE 又∵平面，∴平面平面AB ⊆ABC CDE ⊥ABC考点：线面垂直，面面垂直的判定D CB3、如图，在正方体中，是的中点，1111ABCD A B C D -E 1AA 求证： 平面。

1//A C BDE 证明：连接交于，连接，AC BD O EO∵为的中点，为的中点E 1AA O AC ∴为三角形的中位线 ∴EO 1A AC 1//EO A C 又在平面内，在平面外EO BDE 1A C BDE ∴平面。

1//A C BDE 考点：线面平行的判定4、已知中,面,,求证：面．ABC ∆90ACB ∠=SA ⊥ABC AD SC ⊥AD ⊥SBC 证明：°90ACB ∠=∵BC AC ∴⊥ 又面SA ⊥ABC SA BC ∴⊥ 面BC ∴⊥SACBC AD ∴⊥又面 ,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥SBC 考点：线面垂直的判定5、已知正方体，是底对角线的交点.1111ABCD A B C D -O ABCD 求证：(１) C 1O ∥面；(2)面． 11AB D 1AC ⊥11AB D 证明：（1）连结，设，连结11A C 11111A C B D O ⋂=1AO∵ 是正方体 是平行四边形1111ABCD A B C D -11A ACC ∴∴A 1C 1∥AC 且11A C AC =又分别是的中点，∴O 1C 1∥AO 且1,O O 11,A C AC 11O C AO=是平行四边形11AOC O ∴面，面 ∴C 1O ∥面111,C O AO AO ∴⊂∥11AB D 1C O ⊄11AB D 11AB D （2）面1CC ⊥ 1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又， 1111A C B D ⊥∵1111B D AC C ∴⊥面111AC B D ⊥即同理可证， 又11A C AD ⊥1111D B AD D ⋂=面∴1A C ⊥11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定1SDCB AD 1ODB AC 1B 1A 1CMP6、正方体中，求证：（1）；（2）.''''ABCD A B C D -''AC B D DB ⊥平面''BD ACB ⊥平面考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1平面B 1D 1C ，⊂∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体中，分别为的中点，且，ABCD ,,AC BD EF =,AD BC EF AC =，求证：平面90BDC ∠= BD ⊥ACD 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴CD G ,EG FG ,E F ,AD BC EG12//AC =，又∴，∴在中，12//FG BD =,AC BD =12FG AC =EFG ∆222212EG FG AC EF +==∴，∴，又，即，EG FG ⊥BD AC ⊥90BDC ∠=BD CD ⊥AC CD C ⋂=∴平面BD ⊥ACD 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是P ABC ∆,PA PB CB =⊥PAB M PC N 上的AB 点，3AN NB =（1）求证：；（2）当，时，求的长。

2、如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面BDE 。

A E D 1 CB 1 DC B A8、如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .15．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ；(2)求MN 的长．16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．生物练习1．由细胞膜的成分推知，构成细胞膜所必须的化学元素是（）A．C、H、O、N B．C、H、O、N、PC．C、H、O、S、P D．C、H、O、Mg、Fe2．在制备细胞膜的实验中常用新鲜成熟的哺乳动物的红细胞作材料是因为（）A．哺乳动物红细胞在水中容易胀破B．哺乳动物红细胞容易收集C．哺乳动物红细胞内没有核膜、线粒体膜等细胞器膜D．哺乳动物红细胞的细胞膜在分离时容易沉淀在下面3．任何系统都有边界，边界对系统的稳定至关重要。

细胞作为一个基本的生命系统，它的边界是（）A．细胞壁B．细胞膜C．细胞核D．细胞膜表面的蛋白质4．科学上鉴别死细胞和活细胞，常用“染色排除法”，例如，用台盼蓝染色，死的动物细胞会被染成蓝色，而活的动物细胞不着色，从而判断细胞是否死亡。

所利用的是细胞膜的哪种功能（）A．保护细胞内部结构的功能B．进行细胞间的信息交流C．控制物质进出功能D．免疫功能5．经研究发现，动物的唾液腺细胞内高尔基体含量较多。

立体几何常考证明题1、已知四边形ABCD 是空间四边形，E, F,G, H 分别是边AB,BC,CD , DA 的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）若BD=2 3 ，AC=2，EG=2。

求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

AEHB DF GC2、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC, AD BD ，E 是AB 的中点。

求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC 。

AEB CD3、如图，在正方体A BCD ABC D 中，E 是AA1 的中点，1 1 1 1求证：A1C // 平面BDE 。

A D1B1 CEADBC 14、已知ABC 中ACB 90 , SA 面ABC , AD SC ,求证：AD 面SBC ．SDBAC5、已知正方体ABCD A1B1C1D1，O是底ABCD 对角线的交点. D1C1B1求证：(１) C1O∥面AB1D1 ；(2) A1C 面AB1D1 ．A1DCOA B6、正方体ABCD A'B'C 'D'中，求证：（1）AC 平面B'D 'DB ；（2）BD ' 平面ACB '.27、正方体ABCD —A1B1C1D1 中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；D 1C1 (2)若E、F 分别是AA1，CC1 的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ．A1B1FEGCDAB8、四面体ABCD 中，AC BD,E, F 分别为AD, BC 的中点，且BDC 90 ，求证：BD 平面ACD2EF AC ，29、如图P 是ABC 所在平面外一点，PA PB, CB 平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，AN 3NBP（1）求证：MN AB ；（2）当APB 90 ，AB 2BC 4 时，求MN 的长。

MCANB310、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C1D1 的中点. 求证：平面D1EF ∥平面BDG .11、如图，在正方体A BCD ABC D 中，E 是1 1 1 1 AA 的中点.1（1）求证：A1C // 平面BDE ；（2）求证：平面A AC 平面BDE .112、已知ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ，AB 2 ，PA AD 4 ，E 为BC 的中点．（1）求证：DE 平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．413 、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是DAB 600 且边长为a的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG 平面PAD ；（2）求证：AD PB ；（3）求二面角 A BC P 的大小．14、如图1,在正方体ABCD A1B1C1D1 中，M 为CC1 的中点，AC 交BD 于点O，求证：A1O 平面MBD ．15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．516、证明：在正方体ABCD －A1B1C1D1 中，A 1C⊥平面BC1DD1 C1A 1B 1D CA B17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB= ∠ASC=60 °，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC．WORD文档6专业资料。

学习资料1、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( )A ．a ⊂α，b ⊂αB ．a ⊂α，b ∥αC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α 4．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④ 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.学习资料2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．4. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.B 1C BADC 1A 1ADP MFGE图 5DGBFCAE图 4GEF ABCD5.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；6.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中22BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.7.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCDHDF1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ，∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。