2013年高三文科数学一模试卷(东城区含答案)

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷高三数学（文科）命题校：北京市崇文门中学 2012年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设集合{x x U =}3<， {}1<=x x A ，则A C U = （ ）A ．{}31<≤x xB ．{}31≤<x xC ．}{31<<x x D ．{}1x x ≥2. 下列函数中在区间)(0,+∞上单调递增的是 （ ）A. sinx y =B. 2-x y =C. x y 3log =D. x)21(y =3. 设⎩⎨⎧<>=)0(,3)0(log )(3x x x x f x ，则)]3([-f f等于 ( )A. 3B. 3-C.31D. 1- 4. 已知二次函数()x f 的图象如图1所示 , 则其导函数()x f '的图象大致形状是（ ）5.“3=a ”是“函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数2)(-+=x e x f x的零点所在的区间是 （ ）A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （1,2）D. （0,1）7. 将函数x y 2cos =的图象先向左平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是 ( ) A. x y 2sin -= B. x y 2cos -= C. x y 2sin 2= D. 22cos y x =-8. 某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ ）年后需要更新设备. A. 10 B. 11 C. 13 D. 21第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知),2(,135sin ππαα∈=，则=αtan . 10. 若数列{}n a 满足11=a ，)(2*1N n a a n n ∈=+，则3a = ；前5项的和5S = . 11. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，并满足)()4(x f x f =+，当21≤≤x 时，2)(-=x x f ，则=)5.6(f .12. 设2log 31=a ，3log 2=b ，3.0)21(=c ，则a 、b 、c 从小到大的顺序是 .13. 已知命题021,:0200≤++∈∃x ax R x p . 若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 .14. 已知函数)(x f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间．若x m x x f ln )(-+=的保值区间是[,)e +∞，则m 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin cA a =(Ⅰ) 确定角C 的大小；（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为233，求22b a +的值. 16. (本小题满分13分)已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（Ⅰ）若角α的终边与单位圆交于点)54,53(p ，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 最小正周期和值域.17. (本小题满分13分)已知等差数列{}n a 满足：25a =，4622a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）若21()1f x x =- ,()n n b f a =（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. （本小题满分14分）已知函数)1,0)(1(log )(),1(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a 且其中 （Ⅰ）求函数)()(x g x f +的定义域；（Ⅱ）判断函数)()(x g x f -的奇偶性，并予以证明；（Ⅲ）求使0)()(<+x g x f 成立的x 的集合.19. （本小题满分14分）已知322()2f x x ax a x =+-+．（Ⅰ）若1a =，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若0,a ≠ 求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若不等式22ln ()1x x f x a '≤++恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分).数列}{n a 的前n 项和为3,1=a S n 若，n S 和1+n S 满足等式,111+++=+n S nn S n n （Ⅰ）求2S 的值；（Ⅱ）求证：数列}{nS n是等差数列； （Ⅲ）若数列}{n b 满足n a n n a b 2⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（Ⅳ）设322+=n n n T C ，求证：.272021>+⋅⋅⋅++n C C C东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷高三数学（文科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）15.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）解：∵ 32sin c A a = 由正弦定理得C c c A a sin 23sin == ………2分 ∴23sin =C ………………4分 ∵ ABC ∆是锐角三角形， ∴ 3π=C ………………6分（Ⅱ）解: 7=c , 3π=C 由面积公式得2333sin 21=πab ………………8分 ∴ 6ab = ………………9分由余弦定理得73cos222=-+πab b a ……………11分∴ 1322=+b a ………………12分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵ 角α的终边与单位圆交于点)54,53(p∴ 54sin =α，53cos =α， ………………2分 ∴2()cos 2sin f αααα=-24342()555=⨯-⨯=. ………………4分（Ⅱ）2()cos 2sin f x x x x =-cos 21x x =+-2sin(2)16x π=+- ………………8分∴最小正周期T=π ………………9分∵ [,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ……………10分 ∴ 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………12分 ∴ ()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 17．（本小题满分13分）解. （Ⅰ）设等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d∵ 25a =，4622a a +=∴ 2282,511=+=+d a d a ………………2分 解得 2,31==d a ………………4分 ∴ 12+=n a n n n S n 22+=, ………………6分 （Ⅱ）∵ 21()1f x x =-,()n n b f a = ∴ 211n n b a =- ………………7分 ∵12+=n a n ∴ )1(412+=-n n a n ∴ )1(41+=n n b n 111()41n n =-+ ………………9分n n b b b b T +⋅⋅⋅+++=321=14(1- 12+ 12- 13+…+1n -11n +) ………………11分=14(1-11n +) =4(1)n n +所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + . ………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）)()(x g x f +)1(log )1(log x x a a -++=由⎩⎨⎧>->+0101x x 11x -<<得………………2分所求定义域为{}R x x x ∈<<-,11| ………………3分 （Ⅱ）令)()()(x g x f x h -=1log (1)log (1)log 1a a ax x x x+=+--=- ………………4分 定义域为{}R x x x ∈<<-,11|()()x h xx a x x x x a x h -=-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-=-11log111log 11log∴ ()()f x g x -为奇函数 ……………8分 （Ⅲ）()1log 01log )1)(1(log )()(2a a a x x x x g x f =<-=-+=+……………9分 2101-x 1,-1001a x x ∴><<<<<<当时，得或当2011a <<>时，1-x . 不等式解集为空集综上： {}1101a x x >-<<<<当时，不等式的解集为或0 当01a <<时， 不等式的解集为空集 ……………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ） ∵ 1=a ∴2)(23+-+=x x x x f ∴ 123)(2-+='x x x f …………1分∴ =k 4)1(='f ， 又3)1(=f ，所以切点坐标为)3,1( ∴ 所求切线方程为)1(43-=-x y ，即014=--y x . …………4分（Ⅱ）22()32()(3)f x x ax a x a x a '=+-=+-由()0f x '= 得x a =- 或3ax =…………5分 (1)当0a >时，由()0f x '<， 得3aa x -<<．由()0f x '>， 得x a <-或3ax >此时()f x 的单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)a -∞-和(,)3a+∞.…………7分 (2)当0a <时，由()0f x '<，得3ax a <<-． 由()0f x '>，得3ax <或x a >-此时()f x 的单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)3a -∞和(,)a -+∞. 综上：当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)a -∞-和(,)3a+∞当0a <时，()f x 的单调递减区间为(,)3aa -单调递增区间为(,)3a-∞和(,)a -+∞.…………9分 （Ⅲ）依题意),0(+∞∈x ，不等式22ln ()1x x f x a '≤++恒成立, 等价于123ln 22++≤ax x x x 在(0,)+∞上恒成立可得xx x a 2123ln --≥在(0,)+∞上恒成立 ………………11分 设()x x x x h 2123ln --=, 则()()()22'213121231x x x x x x h +--=+-=………………12分令0)(='x h ，得11,-3x x ==（舍）当10<<x 时，0)(>'x h ；当1>x 时，0)(<'x h当x 变化时，)(),(x h x h '变化情况如下表：∴ 当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =-2 2-≥∴a∴ a 的取值范围是[)+∞-,2. ………14分 20．（本小题满分14分）解：（I ）由已知:21122228S S a =+=+= …………2分 （II ）∵111n n n S S n n++=++ 同除以11:,11=-+++nS n S n nn 则有 …………4分}{nS n数列∴是以3为首项，1为公差的等差数列. …………6分（III ）由（II ）可知, 2*2()n S n n n =+∈N ……………7分113n a ∴==当时， 当12,21n n n n a S S n -≥=-=+时经检验，当n=1时也成立 ∴21(*)n a n n N =+∈ ………………9分211213521212(21)2,3252(21)2(21)2na n n n n n n nn n n b a b n T b b b b T n n +--+=⋅∴=+⋅=++⋅⋅⋅++∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅32121252)12(2)12(2)32(234++-⋅++⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅=n n n n n n n T …………10分解得：.982)9132(32-⋅+=+n n n T…………11分（Ⅳ）∵232111()23994n n n n T n C +==+-⋅ 411])41(1[4191912)1(3221--⋅-⋅++⋅=+⋅⋅⋅++∴n n n n n C C C n n n )41(2712719432⋅+-+=.2720271972719432=-≥-+>n n…………14分。

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U A B I ð等于 (A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} (D) {1,5} （2）复数21i-等于 （A ）1i -- (B) 1i -+ ( C) 1i - ( D) 1i + （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5（C ）6 （D ）7（5）“2230x x -->成立”是“3x >成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组28,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 则目标函数3z x y =+的最大值为(A)332 (B)12 (C)8 (D)24（7）已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）4（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-, 3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④若函数()323xf x x =--，则方程()0f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U A B ð等于 (A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} (D) {1,5}【答案】B【解析】因为{2,3}A B = ，所以(){1,4,5}U A B = ð，选B. （2）复数21i-等于（A ）1i -- (B) 1i -+ ( C) 1i - ( D) 1i + 【答案】D 【解析】22(1)11(1)(1)i iii i +==+-+-，选D.（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3【答案】C【解析】因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4（B ）5 （C ）6（D ）7【答案】A【解析】第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==；第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <,不满足条件，输出4k =，所以选A.（5）“2230x x -->成立”是“3x >成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由2230x x -->得3x >或1x <-。

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷高三数学（文科）命题校：北京市崇文门中学2012年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．1. 设集合{x x U =}3<, {}1<=x x A ，则A C U =（ )A ．{}31<≤x xB ．{}31≤<x xC ．}{31<<x xD ．{}1x x ≥【答案】A【解析】因为{x x U =}3<， {}1<=x x A ，则{13}U C A x x =≤<,选A 。

2. 下列函数中在区间)(0,+∞上单调递增的是( ）A.sinx y = B 。

2-xy = C 。

x y 3log = D.x )21(y =【答案】C【解析】根据函数的单调性可知对数函数3log y x =在)(0,+∞上单调递增，选C.3. 设⎩⎨⎧<>=)0(,3)0(log )(3x x x x f x，则)]3([-f f 等于 ( )A 。

3B 。

3- C. 31 D.1-【答案】B 【解析】3(3)30f --=>，所以333[(3)][3]log 33f f f ---===-,选B.4. 已知二次函数()x f 的图象如图1所示 ， 则其导函数()x f '的图象大致形状是（ )【答案】B【解析】设二次函数为2()f x axbx c =++，由图象可知，0a <，对称轴02bx a=-=，所以0b =，'()2f x ax =，选B.5.“3=a ”是“函数22)(2+-=ax xx f 在区间[)+∞,3内单调递增”的(）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 w.w. 。

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三数学（文科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）22π2π2π2π()sin cos 3333f =+==. ……………4分（Ⅱ）1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-） ……………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,， ……………9分 当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f………… 11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为1-. …………13分 1错误！未指定书签。

6． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为55sin ,43==A C π所以552sin 1cos 2=-=A A ， ………………2分 由已知得A B -=4π………………3分所以A A A B sin 4coscos 4sin)4sin(sin πππ-=-=1010552225222=⋅-⋅=. ………………5分 （Ⅱ）由（1）知43π=C 所以22sin =C ………………6分 由正弦定理得510sin sin ==C A c a , ………………8分 又因为105-=-a c ，所以10,5==a c ……………11分 所以25101051021sin 21=⋅⋅==∆B ac S ABC . ……………13分 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 6435+=a S所以6)2(4245511++=⨯+d a d a 621=+d a , ………………2分 又因为931,,a a a 成等比数列，所以2391a a a =，即 2111)2()8(d a d a a +=+ 21d d a =因为0≠d ，所以d a =1 ………………4分从而21==d a即数列{}n a 的通项公式为：n a n 2=. ………………6分 （Ⅱ）由n a n 2=，可知n n S n +=2………………8分 所以()111111+-=+=n n n n S n , ……………10分所以nn S S S S 11......11121++++- )111()111(.........)3121()2111+-+--++-+-=n n n n （ 111+-=n1+=n n所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为 1+n n. ………………13分 18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）)]2([)2()()('2--=-++-=a x x e a x e a ax x e x f xx x∴0)0('=f . ………………3分 （Ⅱ）令0)('=x f ，得2,021-==a x x ………………4分函数)(x f 定义域为R ，且对任意∈x R ，0>xe ， 当02=-a ，即2=a 时，0)('2≥=x e x f x ，)(x f 的单调递增区间是),(+∞-∞. ……………6分当02>-a ，即2>a 时，所以 )(x f 的单调递增区间是)0,(-∞，),2(+∞-a ，单调递减区间是)2,0(-a .……………9分当02<-a ，即2<a 时，所以 )(x f 的单调递增区间是)2,(--∞a ，),0(+∞，单调递减区间是)0,2(-a . ……………12分 综上，2=a 时，)(x f 的单调递增区间是),(+∞-∞.2>a 时，)(x f 的单调递增区间是)0,(-∞，),2(+∞-a ，单调递减区间是)2,0(-a .2<a 时，)(x f 的单调递增区间是)2,(--∞a ，),0(+∞，单调递减区间是)0,2(-a . ……………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数的定义域为),0(+∞， ……………1分xx f 11)('-=， ……………2分 21)2('=f ，2ln 1)2(-=f ， ……………3分 ∴曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为)2(21)2ln 1(-=--x y ，即02ln 22=--y x , ……………4分（Ⅱ）令0)('=x f ，得1=x ， ……………5分列表：……………7分∴函数)(x f y =的极小值为0)1(=f , ……………8分 （Ⅲ）依题意对(0,),()2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立等价于2ln 1-≥--bx x x 在(0,)+∞上恒成立可得x x x b ln 11-+≤在(0,)+∞上恒成立， ……………10分 令=)(x g x x x ln 11-+ 22ln )('x x x g -= ……………11分令0)('=x g ，得2e x =列表：∴函数)(x g y =的最小值为221)(ee g -=, ……………13分根据题意，211eb -≤. ……………14分20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知可得，n n n qa a )41(11==-，n b n n 3)41(log 3241==+ 23-=∴n b n,31=-+n n b b}{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==. ……………5分（Ⅱ）1(32)()4nn n n c a b n ==- n n n S )41()23()41(7)41(441132⋅-++⋅+⋅+⋅= ①1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ② ① - ② 得1432)41()23(])41()41()41()41[(34143+⋅--+++++=n n n n S 112)41)(23(411])41(1[)41(341+-----⋅+=n n n1)41()23(21+⋅+-=n n 1)41(381232+⋅+-=∴n n n S ……………9分 （Ⅲ）nn n c )41()23(⋅-=n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++11311()[(32)]9()(1)444nn n n n ++=--=-⋅- 当1n =时，n n c c =+1，当2n ≥时，1n n c c +<121()4n max c c c ∴===， 若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，则211144m m +-≥即可 2450m m ∴+-≥，即5-≤m 或1≥m . ……………14分。

2013年北京市各区高三一模试题编--数列一填空选择(2013年东城一模文科)（7）对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列}{n x 满足21=x ，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）9400 （2013年东城一模文科理科）（14）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若n n a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）（2013年东城一模理科）（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50(2013西城一模文科理科)4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（A ）1(1,0)(0,)2- （B ）1(,0)(0,1)2-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）1(,)(1,)2-∞-+∞(2013西城一模文科)14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231,,nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，则1a =______；3n S =______. (2013西城一模理科)10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．(2013海淀一模文科)2.等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为 A. 14 B. 18 C. 21 D.2(2013海淀一模理科)10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = (2013丰台一模文科理科)3. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5（2013年石景山一模文科理科）11．在等差数列{a n }中，a l =-2013，其前n 项和为S n ，若10121210S S -=2，则2013S 的值等于 。

2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•东城区一模）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁U A=﹣3．（5分）（2013•东城区一模）已知ABCD为平行四边形，若向量，，则向量﹣B+﹣﹣=4．（5分）（2013•东城区一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）++S=++﹣，=5．（5分）（2013•东城区一模）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），那么这个几何体的侧面积是（）BS==4+6．（5分）（2013•东城区一模）已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存的横坐标为数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则8．（5分）（2013•菏泽二模）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3 x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•东城区一模）已知i是虚数单位，那么i（1+i）等于﹣1+i．10．（5分）（2013•东城区一模）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是84，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2．==84==8411．（5分）（2013•东城区一模）不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为2，z=x+y的最大值为2．×12．（5分）（2013•东城区一模）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为．=．故答案为：．13．（5分）（2013•东城区一模）函数的图象为C，有如下结论：①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③函数f（x）在区间内是增函数，其中正确的结论序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）=k+，x=+x=﹣≤得﹣，[，真包含于[]所以函数在上单调递增，故14．（5分）（2013•东城区一模）数列{a n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若（a≠0），则位于第10行的第8列的项等于a89，a2013在图中位于第45行的第77列．（填第几行的第几列）=，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•东城区一模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求ac的最大值．Ⅰ）因为，由正弦定理求得，由正弦定理可得，所以，所以．，因为，当且仅当16．（14分）（2013•东城区一模）如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．17．（13分）（2013•东城区一模）为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（Ⅱ）若x≥245，y≥245，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．因此，所求概率为人数比女生人数多的概率为18．（14分）（2013•东城区一模）已知函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（III）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．．知知，得在区间在区间在区间在区间．，所以有，解之得的取值范围是19．（13分）（2013•东城区一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．由离心率为：再把点的方程为（Ⅰ）解：由已知，得，即过点，所以的方程为．的方程为由方程组==．=20．（13分）（2013•东城区一模）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，a n）为B=（b1，b2，…b n）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+a n b n．（Ⅰ）若，B=（﹣1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值．．，且达到最大值．时，计算取得最大值，此时。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ）{3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3}【答案】B【解析】因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.（2） “1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】因为两直线平行，则有1112a +=，解得1a =。

所以1a =是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的充要条件，选C 。

（3）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB = a ，AC = b ，则向量BC为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b 【答案】C【解析】因为=BC AC AB - ，所以=BC b a -，选C.（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是56，则判断框内应填入的条件是（A ）5?n ≤ （B ）5?n <（C ）5?n > （D ）5?n ≥ 【答案】A 【解析】本程序计算的是1111223(1)S n n =+++⨯⨯+ ，因为1111111=122311S n n n =-+-++--++ ，由15116S n =-=+，解得5n =。

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U A B ð等于 (A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} (D) {1,5}【答案】B解：因为{2,3}A B = ，所以(){1,4,5}U A B = ð，选B. （2）复数21i-等于 （A ）1i -- (B) 1i -+ ( C) 1i - ( D) 1i +【答案】D 解：22(1)11(1)(1)i ii i i +==+-+-，选D.（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 【答案】C解：因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】A解：第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==；第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <,不满足条件，输出4k =，所以选A.（5）“2230x x -->成立”是“3x >成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B解：由2230x x -->得3x >或1x <-。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合{1,2,3,4},{|||2,}P Q x x x ==≤∈R ，则P Q 等于（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{2,1,0,1,2}--【答案】B【解析】{2}{22}Q x x x x =≤=-≤≤,所以{1234}{22}{1,2}P Q x x =-≤≤= ，，，,所以选B.2．复数81i ()1i-+的值是（ ） A ．2i B ．1i -+ C ．1i + D ．1【答案】D【解析】22(1)2,(1)2i i i i -=-+=，所以82444112()[()]()(1)1112i i i i i i---===-=++，选D. 3．下面四个条件中，使a b >成立的充分不必要条件为（ ） A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b >【答案】A【解析】因为1a b b >+>，所以1a b >+是a b >成立的一个充分不必要条件，选A.4．已知向量(1,)x =a ，(1,)x =-b ，若2-a b 与b 垂直，则||=a ( )A ．2B ．3C ．2D ．4【答案】C【解析】由题意知22(1,)(1,)(3,)a b x x x -=--= ，因为2a b - 与b 垂直，所以(2)0a b b -= ，即(3,)(1,)x x -= ，所以230x -+=，解得23x =，所以211342a x =+=+== ，选C.5．某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为( )。

河北省石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟考试数学文科（A 卷）(时间120分钟，满分150分)第I 卷(选择题,共60分）2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为 A. O B. 1 C. 2 D. 33. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐 与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是A. 1,2,3,4,5,6B. 6，16，26，36，46，56C. 1,2，4，8，16，32 D. 3,9,13 ,27,36,544 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为5.设l 、m 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题： ①l//m,m ⊂a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m ③a 丄β，l ⊂a ，则l 丄β ④l 丄a ，m 丄a,则l//m 其中正确的命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 执行右面的程序框图，输出的S 值为 A. 1 B. 9 C. 17 D. 207. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值为 A. 4 B. 6 C. 8 D. -98. 现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的 概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表 示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数 为一组，代表射击4,次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 469812. [x]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]=2，[-4.1]=-5，已知f(x)=x-[x](x ∈R),g(x)=log 4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a 13.已知向量 a =(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且u//v，则实数x 的值是______三、解答题:本大题共6小通，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步職‘ 17. (本小题满分12分）(I)求角A 的大小；18. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 丄平面ABCD ，ABC ∠=ADC ∠=90°BAD ∠=1200,AD=AB=1,AC 交 BD 于 O 点. (I)求证:平面PBD 丄平面PAC;(II )求三棱锥D-ABP 和三棱锥P-PCD 的体积之比.19. (本小题满分12分）为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对1OO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果： 表1:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；(II)完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性 别有关”？ 表3 ：20. (本小題满分12分）重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的离心率；21(本小题满分12分）已知函数f(x)=e x+ax-1(e 为自然对数的底数).(I)当a=1时,求过点（1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(II)若f(x)≥x 2在(0,1 )上恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-l:几何证明选讲如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点，割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ，点M 在EF上，且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB=PM·PQ(II)求证：BOD BMD ∠=∠23. (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系.x0y 中，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线l的直角坐标方程；点求|AB|的值24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当a=1时，解不等式f(x)>3;(II)不等式1)(≥x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围2013年高中毕业班第一次模拟考试（数学文科答案）一、选择题 A 卷答案1-5 DCBCA 6-10 CACAB 11-12 DB B 卷答案1-5 DBCBA 6-10 BABAC 11-12 DC 二、填空题13．12 14．363515. 2 16 .3724二 解答题17.解：(Ⅰ)法一：由B a A b c cos cos )2(=-及正弦定理得： B A A B C cos sin cos )sin sin 2(=-……………2分 则B A A B A C cos sin cos sin cos sin 2+=sin()B A =+,sin()sin A B C A B C π++=∴+=C A C sin cos sin 2=由于sin 0C ≠，所以，22cos =A ……………… 4分 又0A π<<，故4π=A . …………………… 6分或解：(Ⅰ)由B a A b c cos cos )2(=-及余弦定理得：ac b c a abc a c b b c 22)2(222222-+=-+- ……………………… 2分整理得：bc a c b 2222=-+222cos 222=-+=bc a c b A …………………… 4分又0A π<<，故4π=A . ……………………… 6分(Ⅱ) ABC ∆的面积S =1sin 2bc A=1,故bc =22 ① ………………… 8分根据余弦定理 2222cos a b c bc A =+- 和a， 可得22c b +=6…… ② ………………… 10分 解①②得2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩. …………………… 12分 18．解：证明：(Ⅰ)90ABC ADC ∠=∠=,,AD AB =AC 为公共边，Rt ABC Rt ADC ∴∆≅∆ ，………………… 2分则BO=DO,又在ABD ∆中，AB AD =,所以ABD ∆为等腰三角形.AC BD ∴⊥ ,…………………… 4分而⊥PA 面ABCD ，BD PA ⊥， 又⊥∴=BD A AC PA , 面PAC ，又⊂BD 面PBD ，∴平面⊥PAC 平面PBD .…………………… 6分(Ⅱ) 在R t ABC ∆中，1AB =，60BAC ∠=，则BC =,01sin1202ABD S AB AD ∆=⋅111=224=⨯⨯⨯，……………………8分01sin 602BCD S BC CD ∆=⋅1=224=,…………………10分PA BDCO113=133ABD D ABP P ABDABD B PCD P BCDBCD BCD S PAV V S V V S S PA ∆--∆--∆∆⋅===⋅ . …………………12分19.解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数x ,依据题意有30750100x =，…………………4分解得：225x = ，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人.………………… 6分 （Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：其中22200(60304070)200 2.198 2.7061001001307091K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯………………10分因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.…………………12分20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知12122AF AF BF BF a +=+=，ABC ∴∆周长为4a ， 因为2ABF ∆为正三角形，所以22AF BF =，11AF BF =，12F F 为边AB 上的高线，…………………………2分02cos3043ca ∴=，∴椭圆的离心率c e a ==.………………… 4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为0e <<，1c =，所以a >…………6分①当直线AB x 与轴垂直时，22211y a b +=，422b y a =，4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=- , 42231a a a -+-=22235()24a a --+， 因为2532+>a ，所以0OA OB ⋅< ， AOB ∴∠为钝角.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b +=，整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=， 22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k a b x x b a k -=+1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k -+-++=+2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………10分令42()31m a a a =-+-， 由 ①可知 ()0m a <， AOB ∴∠恒为钝角.………………12分21．解：（Ⅰ）当1a =时，e ()1x f x x =+-，(1)e f =，e ()1x f x '=+，e (1)1f '=+，函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为e (e 1)(1)y x -=+- 即(e 1)1yx =+- ……………… 2分设切线与x 、y 轴的交点分别为A ，B ．令0x =得1y =-，令0y =得1e 1x =+，∴1(,0)e 1A +，(0,1)B -11112e 12(e 1)S =⨯⨯=++△OAB ．在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为12(e 1)+ …………………4分（Ⅱ）由2()f x x ≥得2e 1x x a x +-≥， 令2e e 11()x xx h x x x x x +-==+-， 222e e (1)(1)(1)1()1x x x x x h x x x x --+-'=--= 令e ()1xk x x =+-，…………………… 6分 e ()1x k x '=-，∵(0,1)x ∈，∴e ()10xk x '=-<，()k x 在(0,1)x ∈为减函数∴()(0)0k x k <= ，……………………8分又∵10x -<，20x >∴2e (1)(1)()0x x x h x x -+-'=>∴()h x 在(0,1)x ∈为增函数，…………………………10分 e ()(1)2h x h <=-，因此只需2e a -≥． …………………………………12分 22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD ＝∠BMF ，所以A,Q,M,B 四点共圆，……………3分 所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分 (Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ , ∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ，又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆，……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,则DCB FMD ∠=∠,………………8分∵BAD BCD ∠=∠，∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分 得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 22222代入x y =2整理得： 0422=-+t t ………………7分0>∆总成立，221-=+t t ，421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2，把x y -=2代入x y =2得： 0452=+-x x ………………7分0>∆总成立，521=+x x ，421=x x23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞ ………………5分 (Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x ax a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩； 时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x ax a x x f ；∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。

2013年北京市各区高三一模试题汇编--立体几何一填空选择（2013年东城一模文科）（5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个几何体的侧．面积是 （A）2（B）2（C）2(4 （D）2(2013年西城一模文科理科)5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主） 视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表 面积是（A）6 （B）12（C）12+ （D）24+(2013年西城一模文科理科)8．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱11B C的中点，动点P 在底面ABCD 内，且11PA A E =，则 点P 运动形成的图形是 （A ）线段 （B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分（2013年海淀一模文科）11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______.（2013年海淀一模理科）8. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①，使得是直角三角形； ②，使得是等边三角形；③三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是123,,ll l i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆(1,2,3,4)i A i =1234A A A A 侧视图A. ①B.①②C. ①③D. ②③（2013年丰台一模文科）7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是 (A) 2 (B) 4(C) 2(D) 4+（2013年丰台一模理科）13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.（2013年石景山一模文科理科）7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（ ）A．B．C ．5D（2013年大兴一模文科理科）(5)已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （A ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （B ）若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n （C ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （D ）若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．（2013年延庆一模文科理科）7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是A ．2 B. 22 C ．3 D. 32（7题图）（2013年门头沟一模文科）5．如图所示，为一几何体的三视图， 则该几何体的体积是（A ）1（B ）21 （C ）13（D ）65（2013年门头沟一模理科）7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 (A) 21(B)13(C) 65 (D) 1（2013年房山一模文科）7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是A. B. 8C.D.左视图主视图左视图俯视图二 解答题（2013年东城一模文科）（16）（本小题共14分）如图，已知AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，若12AB AC AD CE ===．（Ⅰ）求证：//AF 平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCE ．（2013年东城一模理科）（16）（本小题共14分）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，AB AC AE ==2=，12ED AB =， P 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．(2013年西城一模文科)16．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC =22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ； （Ⅱ）求四面体FBCD 的体积；（Ⅲ）线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ？ 证明你的结论．A BCDEF(2013年西城一模理科)17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论．（2013年海淀一模文科）17. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又30CAD ∠=，4PA AB ==，点N 在线段PB 上，且13PN NB =． （Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ；（Ⅲ）设平面PAB 平面PCD =l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由.（2013年海淀一模理科）17.（本小题满分14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面; （Ⅲ）求二面角的余弦值．P ABCD -PA ⊥ABCD ABC ∆AC BD M AC 4PA AB ==120CDA ∠=N PB PN =BD PC ⊥//MN PDC A PC B --（2013年丰台一模文科）16． 如图，四棱锥P -ABCD 中， BC ∥AD ，BC =1，AD =3，AC ⊥CD ,且平面PCD ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：AC ⊥PD ；（Ⅱ）在线段PA 上,是否存在点E ，使BE ∥平面PCD ？若存在，（2013年丰台一模理科）16．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN; （Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求ME MN的值.（2013年石景山一模文科）17．（本小题满分14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90o ，PD ⊥平面ABCD ，AD =1，BC =4。

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）2013.01 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U A B ð等于 (A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} (D) {1,5} （2）复数21i-等于（A ）1i -- (B) 1i -+ ( C) 1i - ( D) 1i +（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4（B ）5 （C ）6（D ）7（5）“2230x x -->成立”是“3x >成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组28,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 则目标函数3z x y =+的最大值为(A)332 (B)12 (C)8 (D)24（7）已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）4（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-, 3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④若函数()323xf x x =--，则方程()0f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013年北京市各区高三一模试题汇编--数列一填空选择(2013年东城一模文科)（7）对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 7 4 5 8 1 3 5 2 6数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数)(x f y =的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++Λ的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）9400 （2013年东城一模文科理科）（14）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若nn a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）（2013年东城一模理科）（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50(2013西城一模文科理科)4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（A ）1(1,0)(0,)2-U（B ）1(,0)(0,1)2-U （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞U（D ）1(,)(1,)2-∞-+∞U(2013西城一模文科)14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231, ,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，则1a =______；3n S =______. (2013西城一模理科)10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．(2013海淀一模文科)2.等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为 A. 14 B. 18 C. 21 D.2(2013海淀一模理科)10.等差数列中,, 则(2013丰台一模文科理科)3. 设为等比数列的前项和，3420a a +=，则31S a （ ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5（2013年石景山一模文科理科）11．在等差数列{a n }中，a l =-2013，其前n 项和为S n ，若10121210S S -=2，则2013S 的值等于 。

2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4}，集合A ={1, 2}，那么集合∁U A 为（ ） A.{3} B.{3, 4} C.{1, 2} D.{2, 3}2. “a =1”是“直线x +2y =0与直线x +(a +1)y +4=0平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知ABCD 为平行四边形，若向量AB →=a →，AC →=b →，则向量BC →为（ ） A.a →−b →B.a →+b →C.b →−a →D.−a →−b →4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是56，则判断框内应填入的条件是（ ）A.n ≤5？B.n <5？C.n >5？D.n ≥5？5. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），那么这个几何体的侧面积是（ ）A.(1+√2)cm 2B.(3+√2)cm 2C.(4+√2)cm 2D.(5+√2)cm 26. 已知点A(2, 1)，抛物线y 2=4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA|+|PF|最小，则P 点的坐标为（ ） A.(2, 1) B.(1, 1)C.(12，1)D.(14，1)7.对于函数y =f(x)，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n 1(x n , x n+1)都在函数y =f(x)的图象上，则x 1+x 2+x 3+x 4+...+x 2012+x 2013的值为（ ） A.9394 B.9380C.9396D.94008. 已知定义在R 上的函数f(x)的对称轴为x =−3，且当x ≥−3时，f(x)=2x −3．若函数f(x)在区间(k −1, k)(k ∈Z)上有零点，则k 的值为（ ） A.2或−7B.2或−8C.1或−7D.1或−8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．已知i 是虚数单位，那么i(1+i)等于________．如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是________，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是________．不等式组{x −2≤0y ≤0x +y ≥0表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________，z =x +y 的最大值为________．从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为________．函数f(x)=sin (x −π3)的图象为C ，有如下结论：①图象C 关于直线x =5π6对称；②图象C 关于点(4π3，0)对称；③函数f(x)在区间[π3，5π6]内是增函数，其中正确的结论序号是________．（写出所有正确结论的序号）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若a n =a n(a ≠0)，则位于第10行的第8列的项等于________，a 2013在图中位于________．（填第几行的第几列）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A =√3a cos B ． (Ⅰ)求角B ；(Ⅱ)若b =2√3，求ac 的最大值．如图，已知AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，若AB =AC =AD =12CE ．（1）求证：AF // 平面BDE ；（2）求证：平面BDE ⊥平面BCE ．为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：（1）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（2）若x ≥245，y ≥245，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．已知函数f(x)=m ln x +(m −1)x(m ∈R)．（1）当m =2时，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）讨论f(x)的单调性；（3）若f(x)存在最大值M ，且M >0，求m 的取值范围．已知椭圆C:x 2a+y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，且过点(2,√2)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点F 1，F 2，且这两条直线互相垂直，求证：1|MN|+1|PQ|为定值．设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：A =(a 1, a 2,…,a i ,…,a n )．其中a i (i =1, 2,…,n)称为数组A 的“元”，S 称为A 的下标．如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组A 中不同下标的“元”，则称A =(a 1, a 2,…,a n )为B =(b 1, b 2,…b n )的子数组．定义两个数组A =(a 1, a 2,…,a n )，B =(b 1, b 2,…,b n )的关系数为C(A, B)=a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n ．（1）若A =(−12，12)，B =(−1, 1, 2, 3)，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求C(A, S)的最大值；（2）若A =(√33，√33，√33)，B =(0, a, b, c)，且a 2+b 2+c 2=1，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求C(A, S)的最大值．参考答案与试题解析2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 B【考点】 补集及其运算 【解析】直接利用补集的定义，求出A 的补集即可． 【解答】解：因为全集U ={1, 2, 3, 4}，集合A ={1, 2}，那么集合∁U A ={3, 4}． 故选B ． 2.【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】当a =1 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a =1，故必要性也成立． 【解答】解：当a =1 时，直线x +(a +1)y +4=0即x +2y +4=0，显然两直线平行，故充分性成立． 当直线x +2y =0与直线x +(a +1)y +4=0平行，由斜率相等得−12=−1a+1，a =1， 故由直线x +2y =0与直线x +(a +1)y +4=0平行，能推出a =1，故必要性成立． 综上，“aa =1”是“直线x +2y =0与直线x +(a +1)y +4=0平行”的充分必要条件， 故选C ． 3.【答案】 C【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】如图所示，利用向量的减法法则即可得出． 【解答】解：如图所示，由向量的减法法则可得： BC →=AC →−AB →=b →−a →．故选C ．4. 【答案】 A 【考点】 程序框图 【解析】本循环结构是经过n 次循环，计算S =11×2+12×3+...+1n(n+1)，由此能求出结果．【解答】解：经过n 次循环， 计算S =11×2+12×3+...+1n(n+1)=1−1n+1=nn+1，∵ 程序框图输出的结果是56， ∴ nn+1=56，∴ n =5．∴ n =6时，跳出循环． 故选A ． 5.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】由题可知，图形是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱的三视图，求出表面积即可． 【解答】解：由题可知，三视图复原的几何体是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱， 所以几何体的侧面积S =(1+1+2+√2)×1=4+√2 (cm 2)． 故选C ． 6.【答案】 D【考点】 抛物线的求解 【解析】利用抛物线的定义，得|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|．因此问题转化为求|PA|+|PQ|取最小值时P 点的坐标，再利用P 、A 、Q 三点共线时距离最小，即可求出满足条件的P 点坐标．【解答】解：根据抛物线的定义，点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离设点P 到准线l:x =−1的距离为PQ ，则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P 、A 、Q 三点共线时|PA|+|PQ|最小， ∴ |PA|+|PQ|的最小值为A 到准线l 的距离；此时P 的纵坐标为1，代入抛物线方程得P 的横坐标为14，得P(14，1)故选：D 7. 【答案】A【考点】数列的求和【解析】利用已知函数的关系求出数列的前几项，得到数列是周期数列，然后求出通过周期数列的和，即可求解本题．【解答】解：因为数列{x n }满足x 1=2，且对任意n ∈N*，点(x n , x n+1)都在函数y =f(x)的图象上，x n+1=f(x n )，所以x 1=2，x 2=4，x 3=8，x 4=2，x 5=4，x 6=8，x 7=2，x 8=4…所以数列是周期数列，周期为3，一个周期内的和为14，所以x 1+x 2+x 3+x 4+...+x 2012+x 2013=671×(x 1+x 2+x 3)=9394． 故选A ． 8. 【答案】A【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】先作出当x ≥−3时函数f(x)=2x −3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可．【解答】解：作出当x ≥−3时函数f(x)=2x −3的图象，观察图象的交点所在区间在(1, 2)．∵ f(1)=21−3=−1<0，f(2)=22−3=1>0，∴ f(1)⋅f(2)<0，∴ 有零点的区间是(1, 2)，因定义在R 上的函数f(x)的对称轴为x =−3，故另一个零点的区间是(−8, −7)，则k 的值为2或−7．故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】−1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：i(1+i)=i −1=−1+i ．故答案为−1+i ．【答案】84,2【考点】茎叶图众数、中位数、平均数【解析】 先从茎叶图中分析出甲、乙两人的成绩数据，再根据中位数和平均数的求法进行运算即得．【解答】解：由图可知，甲，乙两人共有5次测试成绩，分别是：甲：76、83、84、87、90乙：79、80、82、88、91则甲、乙两人5次体育测试成绩的中位数分别为84、82，平均数分别为 甲¯=76+83+84+87+905=84，乙¯=79+80+82+88+915=84 故乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 2．故答案为：84，2．【答案】2,2【考点】简单线性规划【解析】先画出可行域，再利用三角形面积公式求第一问；第二问需由z =x +y ，再变形为y =−x +z ，则过点B 时z最大． 【解答】解：不等式组所表示的平面区域如图所示 解得A(2, −2)、B(2, 0)、C(0, 0)， 所以S △ABC=12×2×2=2；由z =x +y ，则y =−x +z ，所以直线经过点B 时x +y 取得最大值，最大值为2+0=2．故答案为：2，2．【答案】1 【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】根据所抽取的数据拼成两位数，得出总数及是5的倍数的数，求概率． 【解答】解：如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共12种情况，其中是5的倍数的有15，35，75三种， ∴ 组成两位数能被3整除的概率为312=14．故答案为：14．【答案】 ①②③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由题意可解出该函数的所有对称轴，对称区间和单调递增区间，取整数k 的特殊值，比较选项即可得答案． 【解答】解：由x −π3=kπ+π2，可得x =kπ+5π6，k ∈Z ， 当k =0时，可得其中一条对称轴为x =5π6，故①正确；由x −π3=kπ，可得x =kπ+π3，k ∈Z ， 当k =1时，可得其中一个对称点的横坐标为x =4π3，故②正确；由2kπ−π2≤x −π3≤2kπ+π2得2kπ−π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，当k =0时，可得其中一个单调递增区间为[−π6, 5π6]， 因为[π3，5π6]真包含于[−π6, 5π6]，所以函数在[π3，5π6]上单调递增，故③正确．故答案为：①②③ 【答案】a 89,第45行的第77列 【考点】数列的函数特性 等比数列的通项公式【解析】①由于每行的所有数的个数形成等差数列，故可得到前9行的数的个数，从而得出答案；②由①可知前k 行所有a i 的个数为b 1+b 2+...b k =1+3+…(2k −1)=k 2．解出(k −1)2≤2013即可得出答案． 【解答】解：①设每行的数的个数为数列{b n }，则此数列为首项为1，公差为2的等差数列，∴ b n =1+(n −1)×2=2n −1．于是前9行所有a n 的个数为b 1+b 2+...+b 9=9(1+2×9−1)2=81．∴ 位于第10行的第8列的项等于a 81+8=a 89=a 89．②由①可知：前k 行所有a i 的个数为b 1+b 2+...b k =1+3+…(2k −1)=k 2．由(k −1)2<2013，解得k <1+√2013， 而442<2013<452，∴ k <1+44=45． ∴ 前44行的所有数a i 的个数为442=1936． 而1936+77=2013，∴ a 2013在图中位于第45行的第77列． 故答案为：a 89，第45行的第77列．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【答案】（1）因为b sin A =√3a cos B ，由正弦定理可得sin B sin A =√3sin A cos B ． 因为在△ABC 中，sin A ≠0，所以tan B =√3． 又0<B <π，所以B =π3．（2）由余弦定理b2＝a2+c2−2ac cos B，因为B=π3，b=2√3，所以12＝a2+c2−ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当a=c=2√3时，ac取得最大值12．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)因为b sin A=√3a cos B，由正弦定理求得tan B=√3，从而求得B的值．(Ⅱ)由余弦定理求得12＝a2+c2−ac，再利用基本不等式求得ac的最大值．【解答】（1）因为b sin A=√3a cos B，由正弦定理可得sin B sin A=√3sin A cos B．因为在△ABC中，sin A≠0，所以tan B=√3．又0<B<π，所以B=π3．（2）由余弦定理b2＝a2+c2−2ac cos B，因为B=π3，b=2√3，所以12＝a2+c2−ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当a=c=2√3时，ac取得最大值12．【答案】证明：（1）取BE的中点G，连接GF，GD．∵F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．∴GF // EC，GF=12CE．∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴GF // EC // AD．又∵AD=12CE，∴GF=AD．∴四边形GFAD为平行四边形．∴AF // DG．∵DG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF // 平面BDE．（2）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．∵EC // GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．又AF⊂平面ABC，∴GF⊥AF．∵GF∩BC=F，∴AF⊥平面BCE．∵AF // DG，∴DG⊥平面BCE．又DG⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）取BE的中点G，连接GF，GD．利用三角形的中位线定理即可得到GF // EC，GF=12CE．由AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，利用线面垂直的性质定理即可得到AD // EC，进而即可判断四边形AFGD为平行四边形，得到AF // DG，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等腰三角形的性质即可得到AF⊥BC，再利用线面垂直的性质得到GF⊥AF，利用线面垂直的判定定理即可证明AF⊥平面BEC，而DG // AF，得到DG⊥平面BEC，利用面面垂直的定理即可证明结论．【解答】证明：（1）取BE的中点G，连接GF，GD．∵F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．∴GF // EC，GF=12CE．∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴GF // EC // AD．又∵AD=12CE，∴GF=AD．∴四边形GFAD为平行四边形．∴AF // DG．∵DG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF // 平面BDE．（2）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．∵EC // GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．又AF⊂平面ABC，∴GF⊥AF．∵GF∩BC=F，∴AF⊥平面BCE．∵AF // DG，∴DG⊥平面BCE．又DG⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．【答案】（1）应抽取综合素质测评结果是优秀等级的20份；（2）优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为511．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率分层抽样方法【解析】（1）根据样本容量为2000，运用减法算出优秀等级的学生人数为500，再由分层抽样的公式即可算出应抽取综合素质测评结果是优秀等级的份数；（2）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A，分别列举出(x, y)的所有可能情况和满足x>y 的数组(x, y)的情况，再用随机事件的概率公式即可算出优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．【解答】解：（1）由表可知，优秀等级的学生人数为x+y=2000−(380+373+370+377)=500．因此，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的份数为500×802000=20，即在优秀等级的学生中应抽取20份．（2）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A．∵x+y=500，x≥245，y≥245，且x，y为正整数，∴数组(x, y)的可能取值为：(245, 255)，(246, 254)，(247, 253)，…，(255, 245)，共11个．其中满足x>y的数组(x, y)的所有可能取值为：(255, 245)，(254, 246)，(253, 247)，(252, 248)，(251, 249)共5个，即事件A包含的基本事件数为5．因此，所求概率为P(A)=511．答：（1）应抽取综合素质测评结果是优秀等级的20份；（2）优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为511．【答案】解：（1）当m=2时，f(x)=2ln x+x．f′(x)=2x +1=x+2x．所以f′(1)=3．又f(1)=1，所以曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．（2）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=mx +m−1=(m−1)x+mx．当m≤0时，由x>0知f′(x)=mx+m−1<0恒成立，此时f(x)在区间(0, +∞)上单调递减．当m≥1时，由x>0知f′(x)=mx+m−1>0恒成立，此时f(x)在区间(0, +∞)上单调递增．当0<m<1时，由f′(x)>0，得x<m1−m，由f′(x)<0，得x>m1−m，此时f(x)在区间(0,m1−m)内单调递增，在区间(m1−m，+∞)内单调递减．( III)由（2）知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，当m≤0或m≥1时，f(x)在区间(0, +∞)上单调，此时函数f(x)无最大值．当0<m<1时，f(x)在区间(0,m1−m)内单调递增，在区间(m1−m，+∞)内单调递减，所以当0<m<1时函数f(x)有最大值，最大值M=f(m1−m)=m ln m1−m−m．因为M>0，所以有m ln m1−m−m>0，解之得m>e1+e．所以m的取值范围是(e1+e，1)．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）当m=2时求出导数f′(x)，则切线斜率k=f′(1)，f(1)=1，利用点斜式即可求得切线方程；（2）先求出函数定义域，在定义域内分m≤0，m≥1，0<m<1三种情况解不等式f′(x)>0，f′(x)<0即可；( III)分情况进行讨论：当m≤0或m≥1时f(x)单调，最值情况易判断；当0<m<1时，由单调性易求得其最大值，令其大于0，解出即可；【解答】解：（1）当m=2时，f(x)=2ln x+x．f′(x)=2x+1=x+2x．所以f′(1)=3．又f(1)=1，所以曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．（2）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=mx+m−1=(m−1)x+mx．当m≤0时，由x>0知f′(x)=mx+m−1<0恒成立，此时f(x)在区间(0, +∞)上单调递减．当m≥1时，由x>0知f′(x)=mx+m−1>0恒成立，此时f(x)在区间(0, +∞)上单调递增．当0<m <1时，由f ′(x)>0，得x <m1−m ，由f ′(x)<0，得x >m1−m ， 此时f(x)在区间(0,m 1−m)内单调递增，在区间(m 1−m，+∞)内单调递减．( III)由（2）知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，当m ≤0或m ≥1时，f(x)在区间(0, +∞)上单调，此时函数f(x)无最大值． 当0<m <1时，f(x)在区间(0,m1−m )内单调递增，在区间(m1−m ，+∞)内单调递减， 所以当0<m <1时函数f(x)有最大值，最大值M =f(m1−m )=m ln m1−m −m ． 因为M >0，所以有m ln m1−m −m >0，解之得m >e1+e ． 所以m 的取值范围是(e 1+e，1)．【答案】（1）解：由已知e =ca =√22，得b 2a 2=a 2−c 2a 2=1−e 2=12．所以a 2=2b 2．所以C:x 22b 2+y 2b 2=1，即x 2+2y 2=2b 2． 因为椭圆C 过点(2,√2)，所以22+2(√2)2=2b 2， 得b 2=4，a 2=8． 所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．（2）证明：由（1）知椭圆C 的焦点坐标为F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)．根据题意，可设直线MN 的方程为y =k(x +2)，由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为y =−1k (x −2)． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．由方程组{y =k(x +2)x 28+y 24=1消y 得(2k 2+1)x 2+8k 2x +8k 2−8=0．则 x 1+x 2=−8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2−82k 2+1． 所以|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)2k 2+1． 同理可得|PQ|=4√2(1+k 2)k 2+2． 所以1|MN|+1|PQ|=24√2(1+k 2)24√2(1+k 2)=24√2(1+k 2)=3√28． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）由离心率为√22，即c a=√22可得a 2=2b 2，从而C:x 22b 2+y 2b 2=1，再把点(2,√2)代入椭圆方程即可求得b 2，进而得到a 2．（2）由（1）写出焦点F 1，F 2的坐标，设直线MN 的方程为y =k(x +2)，由直线MN 与直线PQ 互相垂直得直线PQ 的方程为y =−1k (x −2)，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联立直线MN 与椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k 表示|MN|，同理可表示出|PQ|，计算即可得到1|MN|+1|PQ|为定值． 【解答】（1）解：由已知e =c a=√22，得b 2a2=a 2−c 2a 2=1−e 2=12．所以a 2=2b 2． 所以C:x 22b2+y 2b 2=1，即x 2+2y 2=2b 2．因为椭圆C 过点(2,√2)，所以22+2(√2)2=2b 2，得b 2=4，a 2=8． 所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．（2）证明：由（1）知椭圆C 的焦点坐标为F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)． 根据题意，可设直线MN 的方程为y =k(x +2)，由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为y =−1k (x −2)．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．由方程组{y =k(x +2)x 28+y 24=1消y 得(2k 2+1)x 2+8k 2x +8k 2−8=0．则 x 1+x 2=−8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2−82k 2+1． 所以|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)2k 2+1． 同理可得|PQ|=4√2(1+k 2)k 2+2． 所以1|MN|+1|PQ|=24√2(1+k 2)24√2(1+k 2)=24√2(1+k 2)=3√28． 【答案】 解：（1）依据题意，当S =(−1, 3)时，C(A, S)取得最大值为2．（2）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中a ，b ，c 三个“元”的对称性，可以只计算C(A,S)=√33(a +b)的最大值，其中a 2+b 2+c 2=1．由(a +b)2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)≤2(a 2+b 2+c 2)=2， 得 −√2≤a +b ≤√2． 当且仅当c =0，且a =b =√22时，a +b 达到最大值√2，于是C(A,S)=√33(a +b)=√63．②当0不是S 中的“元”时，计算C(A,S)=√33(a +b +c)的最大值，由于a 2+b 2+c 2=1，所以(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤3(a 2+b 2+c 2)=3， 当且仅当a =b =c 时，等号成立． 即当a =b =c =√33时，a +b +c 取得最大值√3，此时C(A,S)=√33(a +b +c)=1．综上所述，C(A, S)的最大值为1． 【考点】平均值不等式在函数极值中的应用 排序不等式及应用【解析】（1）依据题意中“元”的含义，可知当S =(−1, 3)时，C(A, S)取得最大值为2．（2）对0是不是S 中的“元”进行分类讨论：①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中a ，b ，c 三个“元”的对称性，利用平均值不等式计算C(A,S)=√33(a +b)的最大值，②当0不是S 中的“元”时，只须计算C(A,S)=√33(a +b +c)的最大值即可，最后综上即可得出C(A, S)的最大值．【解答】解：（1）依据题意，当S =(−1, 3)时，C(A, S)取得最大值为2．（2）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中a ，b ，c 三个“元”的对称性，可以只计算C(A,S)=√33(a +b)的最大值，其中a 2+b 2+c 2=1．由(a +b)2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)≤2(a 2+b 2+c 2)=2， 得 −√2≤a +b ≤√2． 当且仅当c =0，且a =b =√22时，a +b 达到最大值√2，于是C(A,S)=√33(a +b)=√63． ②当0不是S 中的“元”时，计算C(A,S)=√33(a +b +c)的最大值，由于a 2+b 2+c 2=1，所以(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤3(a 2+b 2+c 2)=3， 当且仅当a =b =c 时，等号成立． 即当a =b =c =√33时，a +b +c 取得最大值√3，此时C(A,S)=√33(a +b +c)=1．综上所述，C(A, S)的最大值为1．。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1i -+ （10）84 2 （11）2，2 （12）14（13）①②③ （14）89a 第45行的第77列 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =， 因为在△ABC 中，sin 0A ≠，所以tan B =又0B <<π， 所以3B π=. （Ⅱ）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，因为3B π=，b =， 所以2212a c ac =+-. 因为222a c ac +≥， 所以12ac ≤.当且仅当a c ==ac 取得最大值12. （16）（共14分）证明：（Ⅰ）取BE 的中点G ，连结GF ，GD . 因为F 是BC 的中点，则GF 为△BCE 的中位线． 所以//GF EC ，12GF CE =．因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ， 所以////GF EC AD ．又因为12AD CE =，所以GF AD =．所以四边形GFAD 为平行四边形． 所以//AF DG ．因为DG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以//AF 平面BDE ．（Ⅱ）因为AB AC =，F 为BC 的中点， 所以AF BC ⊥．因为//EC GF ，EC ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ． 又AF ⊂平面ABC ， 所以GF AF ⊥． 因为GF BC F =I ， 所以AF ⊥平面BCE ． 因为//AF DG ， 所以DG ⊥平面BCE ． 又DG ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面BCE ． （17）（共13分）解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为： 2000(380373370377)500x y +=-+++=． 因为80500202000⨯=， 故在优秀等级的学生中应抽取20份．（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A ． 因为500x y +=，245x ≥，245y ≥，且x ，y 为正整数， 所以数组(,)x y 的可能取值为：(245,255)，(246,254)，(247,253)，…，(255,245)，共11个． 其中满足x y >的数组(,)x y 的所有可能取值为：(255,245)，(254,246)，(253,247)，(252,248)，(251,249)共5个，即事件AABCDEFG包含的基本事件数为5． 所以5()11P A =． 故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为511． （18）（共14分）解：（Ⅰ）当2m =时，()2ln f x x x =+．22()1x f x x x+'=+=． 所以(1)3f '=． 又(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-， 即320x y --=．（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)()1m m x mf x m x x-+'=+-=． 当0m ≤时，由0x >知()10mf x m x '=+-<恒成立，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递减． 当m ≥1时，由0x >知()10mf x m x'=+->恒成立， 此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．当01m <<时，由()0f x '>，得1m x m <-，由()0f x '<，得1mx m>-， 此时()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1mm+∞-内单调递减．（III ）由（Ⅱ）知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当0m ≤或m ≥1时，()f x 在区间(0,)+∞上单调，此时函数()f x 无最大值． 当01m <<时，()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1mm+∞-内单调递减， 所以当01m <<时函数()f x 有最大值． 最大值()ln 11m mM f m m m m==---．因为0M >，所以有ln 01m m m m ->-，解之得e1em >+． 所以m 的取值范围是e(,1)1e+． （19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知2c e a ==， 所以222222112b ac e a a -==-=.所以222a b =.所以C ：222212x y b b+=，即22222x y b +=.因为椭圆C过点， 得24b =， 28a =.所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C 的焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F . 根据题意， 可设直线MN 的方程为(2)y k x =+，由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为1(2)y x k=--. 设11(,)M x y ，22(,)N x y .由方程组22(2),184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222(21)8880k x k x k +++-=.则 21228,21k x x k -+=+21228821k x x k -=+. 所以MN=22)21k k ++.同理可得PQ =22)2k k ++.所以11||||MN PQ +2=228==. （20）（共13分）解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2．（Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中c b a ,,三个“元”的对称性，可以只计算(,))3C A S a b =+的最大值，其中1222=++c b a ． 由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=，得 a b ≤+≤当且仅当0c =，且a b =b a +，于是(,)()33C A S a b =+=．②当0不是S 中的“元”时，计算(,)()3C A S a b c =++的最大值， 由于1222=++c b a ，所以bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++． 3)(3222=++≤c b a ， 当且仅当c b a ==时，等号成立．即当33===c b a 时，c b a ++(,))13C A S a b c =++=． 综上所述，(,)C A S 的最大值为1．。