专题七——圆锥曲线

高中数学新课标人教A版高中数学知识点总结专题7解析几何之圆锥曲线本文介绍了圆锥曲线的概念、标准方程和几何性质。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆是指到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹，其中2a>2c；双曲线是指到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点的轨迹，其中2a<2c；抛物线是指到一个定点F和一条定直线l的距离相等（F不在l上）的点的轨迹。

椭圆和双曲线的标准方程分别为：①焦点在x轴上，开口向右：y^2=2px；②焦点在x轴上，开口向左：y^2=-2px；③焦点在y轴上，开口向上：x^2=2py；④焦点在y轴上，开口向下：x^2=-2py。

抛物线的标准方程有两种：①焦点在x轴上：y^2=2px；②焦点在y轴上：x^2=2py。

椭圆的焦点在x轴上时，准线为x=±a；焦点在y轴上时，准线为y=±b。

双曲线的焦点在x轴上时，准线为y=±a；焦点在y轴上时，准线为x=±b。

抛物线的焦点在x轴上时，准线为y=0；焦点在y轴上时，准线为x=0.椭圆和双曲线都有两条渐近线，分别为y=±(c/a)x和y=±(a/c)x。

抛物线有一条对称轴，与x轴平行或与y轴平行，且过焦点和顶点。

椭圆和双曲线的离心率分别为e=c/a和e=c/a，其中c为焦点到准线的距离。

抛物线的离心率为e=1.是其两个焦点，且x2y2XXX1PF2则 F1PF2的面积S bXXXθ21．椭圆和双曲线是二次曲线的两种基本类型，它们的图形特点可以通过其标准方程进行描述。

对于椭圆，当焦点与准线配对使用时，其标准方程为x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

当离心率e满足0.1时，轨迹变为双曲线。

对于双曲线，其标准方程为x/a)² - (y/b)² = 1，当离心率e满足e。

数学定义几何学基本概念：从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行；有无穷多解时，二直线重合；只有一解时，二直线相交于一点.常用直线与X轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切(称直线的斜率）来表示平面上直线（对于X轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定.在空间,两个平面相交时,交线为一条直线.因此,在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

空间直线的方向空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。

直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。

在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象.在建立欧几里得几何学的公理体系时,直线与点、平面等都是不加定义的,它们之间的关系则由所给公理刻画。

关系式◆直线的斜率：k=（y2-y1）/（x2—x1)（x1≠x2)（1)一般式：适用于所有直线Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2两直线垂直时：A1A2+B1B2=0两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2两直线相交时：A1/A2≠B1/B2（2）点斜式:知道直线上一点(x0,y0）,并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k（x-x0）当k不存在时,直线可表示为x=x0（3）截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线知道直线与x轴交于（a,0),与y轴交于(0,b），则直线可表示为x/a+y/b=1（4)斜截式:Y=KX+B(K≠0）当k>0时，y随x的增大而增大；当k〈0时，y随x的增大而减小.两直线平行时K1=K2两直线垂直时K1XK2=-1（5)两点式x1不等于x2y1不等于y2(y-y1）/(y2-y1）=(x—x1）/（x2—x1)（6）法线式x·cosα+ysinα-p=0（7）点到直线方程注意：各种不同形式的直线方程的局限性：①点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线；②两点式不能表示与坐标轴平行的直线；③截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线；④直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零．（8）两平行直线间的距离IC1-C2I/根号下A的平方加上B的平方椭圆椭圆作图范例椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。

圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一类重要的曲线，它们是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。

这些曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。

以下是圆锥曲线的知识点总结：1. 椭圆：椭圆是平面上所有与两个焦点距离之和等于常数的点的集合。

这个常数大于两个焦点之间的距离。

椭圆的标准方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，\( a \) 是椭圆的半长轴，\( b \) 是椭圆的半短轴。

2. 抛物线：抛物线是平面上所有与一个焦点和一个定点（顶点）距离相等的点的集合。

抛物线的标准方程可以表示为：\[ y^2 = 4ax \]或者\[ x^2 = 4ay \]其中，\( a \) 是抛物线的参数，表示顶点到焦点的距离。

3. 双曲线：双曲线是平面上所有与两个焦点距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

这个常数小于两个焦点之间的距离。

双曲线的标准方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]或者\[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \]其中，\( a \) 是双曲线的实半轴，\( b \) 是双曲线的虚半轴。

4. 圆锥曲线的性质：- 椭圆具有两个焦点，所有点到两个焦点的距离之和是常数。

- 抛物线具有一个焦点和一个顶点，所有点到焦点的距离等于到顶点的距离。

- 双曲线具有两个焦点，所有点到两个焦点的距离之差的绝对值是常数。

- 圆锥曲线的焦点可以通过方程的参数确定。

5. 圆锥曲线的应用：- 椭圆在天文学中描述行星的轨道。

- 抛物线在光学中描述光线通过抛物面反射后的路径。

- 双曲线在工程学中用于设计某些类型的天线。

6. 圆锥曲线的参数化：- 椭圆的参数方程可以表示为：\[ x = a \cos(t) \]\[ y = b \sin(t) \]- 抛物线的参数方程可以表示为：\[ x = at^2 \]\[ y = 2at \]- 双曲线的参数方程可以表示为：\[ x = a \sec(t) \]\[ y = b \tan(t) \]7. 圆锥曲线的几何特征：- 椭圆的长轴和短轴是对称的，且椭圆是封闭的。

第1节 椭圆【知识梳理】1．椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(12122PF PF a F F +=>)，这个动点P 的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形．2．椭圆的标准方程与几何性质 3．椭圆的通径以及有关最值过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a ．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c −．[使用点到点的距离公式证明] 4．点与椭圆的位置关系对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点00()P x y ，在椭圆内部，等价于2200221x y a b +<，点00()P x y ，在椭圆外部，等价于2200221x y a b+>．5．椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）1(0)F c −，，2(0F证明：设12,PF m PF n ==()()()()()()122222221222cos 2121cos 1sin 32F PF m n a b c m n mn mn S mn θθθ+==+−−= + = ，： 1222222sin cossin 22tan 1cos 22cos 2F PF S b b b θθθθθθ⇒=⋅=⋅=+ ．6．椭圆的切线（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00()P x y ，处的切线方程是00221x x y y a b+=； （2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00()P x y ，，所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=； （3）椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++= 相切的条件是22222A a B b c +=.第二讲 双曲线【知识梳理】1．双曲线定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线．这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲1(0)F c −，，2(0)F c ，1(0)F c −，，F 2|2(F c c a b ==+12||2(F F c c =={y y a y a 或≤−≥轴和原点对称2．双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22ba ．3．点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)x y a b a b −=>>，点00()P x y ，在双曲线内部，等价于2200221x y a b−>．点00()P x y ，在双曲线外部，等价于2200221x y a b −<结合线性规划的知识点来分析．4．双曲线常考性质性质一 双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c; [使用点到直线的距离公式即可证明]性质二 双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；证明 设11()P x y ，是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是0ay bx −=和0ay bx +=，点11()P x y ，和222a b c =． 5. 双曲线焦点三角形面积为2tan 2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）6. 双曲线的切线点00()M x y ，在双曲线22221x y a b−=(00)a b ，>>上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b−=．若点00()M x y ，在双曲线22221x y a b −=(00)a b ，>>外，则点M 对应切点弦方程为00221x x y ya b −=第3节 抛物线【知识梳理】1．抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 22(0)y px p =>22(0)y px p =−>22(0)x py p =>22(0)x py p =−>0)，0y ≥，x R ∈0y ≤，x R ∈ 所以p 的值永远大于0．另外，焦半径使用定义即可证明．3．抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由()2pA p ，，()2p B p −，，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．4．弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0p y k =证明（点差法）：设11()A x y ，，22()B x y ，为抛物线22(0)y px p =>上两点，则2112y px =，2222y px =作差得21211202y y p px x y y y −==−+,其中00()M x y ，是AB 中点．或者说，若设AB 的斜率为k ，则AB 中点纵坐标0py k=．[焦点在y 轴上的抛物线，同理]111||[||||][||||]||222MN AC BD AF BF AB =+=+=，90ANB ∠=°，故以AB 为直径的圆与准线l 相切．设E 是AF 的中点，则E 的坐标为11222p x y +（，），则点E 到y 轴的距离为12221AF p x d ＝+= 故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.（2）在ACN △与AFN △中，||||||||AN AN AC AF ==，；在Rt ABN △中，NAM ANM ∠=∠90CAN ANM ACN AFN AFN ACN FN AB ∠=∠∠=∠=°⊥，△≌△，因为2()D p y F −＝，，1()C p y F −＝，，所以212+=0DF CF p y y =，所以FC FD ⊥．（3）设直线AB 的方程为2p x ty =+与抛物线22y px =联立得：22()2py p ty =+，即2220y pty p −−=，故212y y p =−，2221212224y y p x x p p ==． （4）11211122OA y y p k y x y p===，2222212122222OD y y py py pk p p p y y y ==−=−==−，则A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、C 三点共线．上述证明方式并非唯一，多种方法均可证明，不再赘述．6．抛物线的切线问题点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >上，过点M 作抛物线的切线方程为00()y yp x x =+．点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >外，过点M 对应切点弦方程为00()y yp x x =+． 点00()M x y ，在抛物线22x py =(0)p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过A B 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00()x xp y y =+．第4节 焦长与焦半径体系【知识梳理—椭圆篇】1．焦半径公式设椭圆22221(00)x y a b a b +=>>，的右焦点为2(0)F c ，，11()A x y ，是椭圆上任意一点，则21212222121222221221212121222)1(2)(a cx x ac c b cx x a b a ax b c cx x y c x AF +−=++−−=−++−=+−=11cax a ex a=−=−．其中e 为椭圆的离心率，焦半径公式也可由第二定义快速得到2211()a AF e x a ex c=−=−,同理可以推出其他焦半径公式．焦点在y 轴上的椭圆和双曲线的时候，同理也可推出焦半径公式．总结：在椭圆和双曲线中，11()A x y ，到焦点的距离为1AF a ex =±（焦点在x 轴上） 1AF a ey =±（焦点在y 轴上）[长短记忆法：画图看长短来判断谁加谁减．] [口诀记忆法: 左加右减，上加下减，长正短负]焦半径范围：根据公式21AF a ex =−里面坐标x 1的范围，可得2AF 的范围为2a c AF a c −≤≤+． 2．焦点弦长公式椭圆焦点弦长公式．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，结合椭圆的焦点弦公式，过右焦点F的弦长为221212 ||()()2()a aMN e x e x a e x x c c =−+−=−+．3．椭圆焦长以及焦比问题焦长公式：A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 是左、右焦点，12AF F ∠为α，AB过1F ，c 是椭圆半焦距，则：（1）21||cos b AF a c α=−；（2）21||cos b BF a c α=+；（3）2222222222||cos sin ab ab AB a c b c αα==−+．图1-1-1证明 （1）如图1-1-1所示，12||||2AF AF a +=；12||||2BF BF a +=，故22||||||4AB AF BF a ++=； （2）设1||AF m =，1||BF n =，2||2AF a m =-，2||2BF a n =-，由余弦定理得 222(2)(2)2(2)cos m c a m m c α+--=⋅；整理得21||cos b AF a c α=-① 同理：222(2)(2)2(2)cos(180)n c a n n c α︒+--=⋅-；整理得21||cos b BF a c α=+②①+②得，则过焦点的弦长：2222222222||cos sin ab ab AB m n a c b c αα=+==-+③焦比定理 过椭圆22221x y a b +=的左焦点1F 的弦21||cos b AF a c α=−，21||cos b BF a c α=+，令11||||AF F B λ=，即221cos cos cos 1b b e ac a c λλαααλ-=⇒=-++④，代入焦长公式①可得21(1)||2b AF aλ+=⑤．推论 根据公式1cos 1e λαλ-=+，利用tan k α=把角度替换掉可以得到e =注意：1．整个焦长体系只需要记住上面~①⑤的公式，其他要熟悉推导，涉及到的面积问题记住是焦长当底即可；当直线过右焦点，或者上焦点、下焦点时，要熟悉此时的公式会如何变化，详见后面记忆方法处．2．学习焦长焦比体系要非常熟悉推导过程[定义+余弦定理+abc 的平方关系]，在处理解答题的时候，若用本模块公式到必须给出必要证明．3．公式1cos 1e λαλ-=+和21(1)||2b AF a λ+=这两个公式属于结论公式，一般用上能很快解题，所以在解小题的时候要优先考虑这两个公式．和角度相关优先想第一个，只和长度相关优先想第二个．4．焦长公式利用极坐标或第二定义都能更快证明，这个问题大家可以自己去掌握，解答题中的证明建议以余弦定理的方式为主；其他证法本文不在阐述，读者可以自己去掌握．[长短记忆法: 画图，看长短来记忆．当焦点在x 轴上的时候，焦长为2cos b a c α±，其中α为焦长所在直线的倾斜角或者其补角，为方便判断，一般选用锐角记为α．例如上图，如果记12AF F ∠为α,那么根据草图1||AF 为长边，则分母小即可得到21||cos b AF a c α=-,不管交于左右都是如此，交于y 轴的话需要把cos α换成sin α．焦比公式，如果1cos 1e λαλ-=+,λ为两个焦长之比，可以选=λ长短也可以=λ短长,但是公式里面要正负对齐，如果α选的是锐角，那么左侧是正的，右侧也要为正的，此时=λ长短;反之α选钝角，右侧=λ短长最后一个公式一样的，2(1)2b a λ+，代入的=λ长短算出来的就是长边，如果代入的=λ短长,算出来就是短边]1．双曲线焦长以及焦比问题周长问题：双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>，的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 过左焦点1F （A 、B 都在左支上），||AB l =，则2ABF △的周长为42a l +（如图）图1-2-1 图1-2-2 图1-2-3 设A 是双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>上一点，设12AF F ∠为α，直线AB 过点1F ．(1)直线和渐近线平行时，此时1cos e α=． (2)当AB 交双曲线于一支时，则21cos b AF a c α=+；21cos b BF a c α=−．2222222222||cos sin ab ab AB a c b c αα==−+，22222||cos ab AB a c α=-，2221cos 01cos a c e αα->⇒<< 令11||||BF F A λ=，即221cos cos cos 1b b e a c a c λλαααλ-=⇒=-++，代入弦长公式可得21(1)||2b AF aλ+=． 当AB 交双曲线于两支时，21cos b AF a c α=+；21cos b BF a c α=−；22222||cos ab AB c a α=-，2221cos 0cos a c e αα-<⇒>（图1-2-3），令11||||BF F A λ=，221cos (1)cos cos 1b b e c a a c λλαλααλ+=⇒=>-+-，代入弦长公式可得21(1)||2b BF aλ-=．=λ长（其中）短 [总结：焦点在x 轴上的时候，直线和双曲线交于单支的时候，公式形式和椭圆完全一样； 直线和双曲线交于双支的时候，公式形式有所变化，具体参考上面书写] 因为双曲线的部分考题会涉及渐近线，不过焦点的时候要注意，注意鉴别．1．||||1cos 1cos p pAF BF αα==−+；． 2．1222||sin p AB x x p α=++=． 3．22sin AOBp S △α=． 4．设||||AF BF λ=，则11cos ;||12AF p λλαλ−+==+． 5．设AB 交准线于点P ，则||cos ||AF PA α=；||cos ||BF PB α=． 证明1．||||||||||||cos 1cos AC AF p AF p FD AC AF θθ= ⇒===−−，同理||1cos pBF α=+． 2．22||||||1cos 1cos sin p p pAB AF BF ααα=+=+=-+． 3．设O 到AB 的距离为d ，则 sin 2pd α=，故22112||sin 22sin 22sin AOB p p p S AB d ααα===△． 4．||1cos 1cos ||1cos 1AF BF αλλλααλ+−=⇒=⇒=−+，1||1cos 2p AF p λα+==−． 5．||2A p AF x =+，||2B p BF x =+，||cos ||AF PA α=，||cos ||BF PB α=． 关于抛物线22x py =的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，90 α<为AB 倾斜角）1．||1sin p AF α=−；||1sin pBF α=+．2．1222||cos pAB y y p α=++=． 3．22cos AOBp S α=△．4．设||||AF BF λ=，则1sin 1λαλ−=+；1||2AF p λ+=．5．设AB 交准线于点P ，||||sin ;sin ||||AF BF PA PB αα==． [总结：抛物线焦点在x 轴的时候的，焦长为1cos p α±，1cos 1λαλ−=+，焦长为12p λ+，记忆方法参考椭圆模块；当焦点在y 轴上的时候cos 换成sin]。

圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．1.设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0. 由Ax+0(,)0{By c f x y +==，消元。

如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2.“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为kP 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2| |P 1P 2|(2)当斜率k (利用轴上两点间距离公式)．4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k＝p y 0. 题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．[思维启迪](1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． 解析：(1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)解 由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16，∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.[探究提高]圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．变式训练1 (2012·四川)如图，动点M 与两定点 A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程．(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |<|PR |.求|PR ||PQ |的取值范围．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；此时，MA 的斜率为yx ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0. 故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0， 而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1. 设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m 2＋121＋3m 2－1＝1＋221＋3m 2－1. 此时1＋3m2>1，且1＋3m 2≠2，所以1<1＋221＋3m 2－1<3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q <3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】 已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．[思维启迪]可设直线AE 的斜率来计算直线EF 的斜率，通过推理计算消参． 解析(1)解 由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1.得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ，所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x E ＋x F ＋2k x F －x E ＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.[探究提高]求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．变式训练2 椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32且离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，将其代入求得c 2＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－163＋4k 2m 2－3>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，由①，得3＋4k 2－m 2>0，当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾． 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.题型三 圆锥曲线中的探索性问题【例3】 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[思维启迪]可先假设l 存在，然后根据与C 有公共点和与OA 距离等于4两个条件探求． 解析解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且有⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一． [探究提高]解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．变式训练3 (2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2. (1)求曲线C 的方程；(2)动点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t <0)，使得l 与PA ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，|MA →＋MB →|＝－2x2＋2－2y2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得－2x2＋2－2y2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y . (2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件， 则直线PA 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)，使得x 02＝t －12，即l 与直线PA 平行，故当－1<t <0时不符合题意． ②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线PA ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x24，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 24，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t2x 0＋1－t，x E ＝x 20＋4t2x 0＋t －1，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－t －12.又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t8·x 20＋4t 2t －12－x 20，又S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·x 20－4[x 20－t －12]x 20＋4t2＝41－t ·x 40－[4＋t －12]x 20＋4t －12x 40＋8tx 20＋16t2.对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QAB S △PDE为常数，即只需t 满足⎩⎨⎧－4－t －12＝8t ，4t －12＝16t 2. 解得t ＝－1.此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2. 该直线恒过一个定点A (12，0)．19.圆锥曲线中的函数思想 思想与方法典例：(12分)已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标． 审 题 视 角(1)引入参数PQ 中点的纵坐标，先求k PQ ，利用直线PQ 的方程求解． (2)建立|PB |关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．规 范 解 答(1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎨⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n， ∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A (12，0)．当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A (12，0)．综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (12，0)．(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称， 故点B (－12，0)．∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]， |PB |2＝(x 1＋12)2＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.温 馨 提 醒(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值．(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ 的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ 的中点．第二个易错点是，易忽视P 点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围.思想方法·感悟提高 方 法 与 技 巧1．解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，可将直线方程y ＝kx＋c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1整理出关于x (或y )的一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，Δ＝B 2－4AC >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为1＋k 2Δ|A |)．2．圆锥曲线综合问题要四重视： (1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用； (3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．失 误 与 防 范 1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．练出高分A 组 专项基础训练1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ( ) A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．1或0解 析由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.2．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面积为( ) A ．b 2 B ．ab C ．acD ．bc解 析设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)， 则S △FAB ＝12|OF ||2y 1|＝c |y 1|≤bc .3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2解 析记抛物线y 2＝2px 的准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，BC ⊥AA 1，垂足分别是A 1、B 1、C ，则有cos 60°＝|AC ||AB |＝|AA 1|－|BB 1||AF |＋|BF |＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝3，选C.4．(2011·山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解 析∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.5．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.解 析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知x 1＋x 2＝2，且x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减整理得，y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝12，所以直线AB 的方程为x －2y ＋7＝0.将x ＝2y －7代入 x 2＝4y 整理得4y 2－32y ＋49＝0，所以y 1＋y 2＝8，又由抛物线定义得|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋2＝10.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝______.将x ＝－3代入椭圆方程得y p ＝12，由|PF 1|＋|PF 2|＝4⇒|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.7．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于不同两点A 、B ，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4k ＋2]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4k ＋2k 2＝2×2，∴⎩⎨⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2， 即k ＝2.8．(10分)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ>0， 即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)>0 ⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0， ∵a >b >0，∴a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两实根． ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 21－b 2a 2＋b 2.由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0. 式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2. ④∴1a 2＋1b2＝2. (2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数由e ＝c a⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 221－e 2＝12＋121－e 2.∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a >0，∴52≤a ≤62.∴长轴长的取值范围为[5，6]．9．(12分)给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程； (3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0.(2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy， ①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线，得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，②由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y ＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1，x 2－y22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．练出高分B 组 专项能力提升1．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为 ( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解 析∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得 (b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.2．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 ( ) A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解 析设直线AB 的方程为y ＝x ＋b .由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b .又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b 在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1，∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12·－12－4×－2＝3 2.3．如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解 析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是______________．∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m ≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >1，b >0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(－1,0)与(1,0)到直线x a －yb＝1的距离之和s ≥45c ，则e 的取值范围是__________．解 析由题意知s ＝|－b －ab |a 2＋b 2＋|b －ab |a 2＋b 2＝2ab c ≥45c ， ∴2c 2≤5ab ，∴2c 2a 2≤5b a.又b a ＝c 2－a 2a2＝e 2－1，∴2e 2≤5e 2－1，∴4e 4≤25(e 2－1)，∴4e 4－25e 2＋25≤0， ∴54≤e 2≤5，∴52≤e ≤ 5. 6．若过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为____________．如图，过A 、B 分别作AD 、BE 垂直于准线，垂足分别为D 、E .由|BC |＝2|BF |，即|BC |＝2|BE |，则∠BCE ＝30°，又|AF |＝3，即|AD |＝3，|AC |＝6， ∴F 为AC 的中点，KF 为△ACD 的中位线， ∴p ＝|FK |＝12|AD |＝32，所求抛物线方程为y 2＝3x .7．(13分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b .因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |>22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．。

最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。

这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。

注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。

2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。

如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。

3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。

5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。

如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。

如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。

6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。

1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

掌握圆锥曲线的知识点对于解决相关的数学问题至关重要。

下面我们来详细总结一下圆锥曲线的相关知识。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a＞b＞0\））焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a＞b＞0\））其中，＼（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）为椭圆的半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

3、椭圆的性质（1）范围：焦点在 x 轴上时，＼（a ≤ x ≤ a\），＼（b ≤ y ≤ b\）；焦点在 y 轴上时，＼（b ≤ x ≤ b\），＼（a ≤ y ≤ a\）。

（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（3）顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（±a, 0)＼），＼（（0, ±b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ±a)＼），＼（（±b, 0)＼）。

（4）离心率：＼（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）其中，＼（a\）为双曲线的实半轴长，＼（b\）为双曲线的虚半轴长，＼（c\）为双曲线的半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。

用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。

用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。

用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。

用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。

用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。

则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。

当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。

方法技巧专题7 圆锥曲线的概念及其几何性质 解析版一、 圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架二、圆锥曲线的定义、方程【一】圆锥曲线的定义1、椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为2c )距离之和为定值(2a )的点的轨迹；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB ,与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于a 4。

（3） ①当c a 22>时，表示椭圆；②当c a 22=时，表示两定点确定的线段；③当c a 22<时，表示无轨迹。

2、双曲线（1）秒杀思路： ①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a ;②注意定义中两个加强条件:（I ）绝对值; （II ）22a c <； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);（2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于AB a 24+。

（3） ①当22a c <时，表示双曲线； ②当22a c =时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当22a c >时，无轨迹； ④当20a =时表示两定点的中垂线。

3、抛物线（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。

所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。

（2）秒杀公式一：焦点在x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。

（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为︒60或︒120的弦,两段焦半径分别为:32,2pp .1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( )A.4B.5C.8D.10【解析】利用椭圆的定义得12PF PF +=102=a ,选D 。

【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【解析】如图,22QF BN =,12QF AN =,||||AN BN +=124)(221==+a QF QF .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【解析】,8,2222121=+=-r r r r 得21PF PF +=32. 【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【解析】由双曲线定义得4=a ，5=c ，3=b ，选A 。

圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课 椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1422=+y x 的离心率为______3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为______ 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

方法技巧专题07圆锥曲线的概念及其几何性质圆锥曲线是平面几何中的一个重要概念，是指由一个动点P在平面上，以一个定点F为焦点和一个定直线L为准线，满足动点P到焦点F的距离与动点P到准线L的距离的比值始终保持不变的轨迹。

根据这个定义可以推导出圆锥曲线的几何性质。

一、圆锥曲线的种类根据焦点和准线的位置不同，圆锥曲线分为三种：1.当焦点F在线上准线L上时，得到的是一个圆。

2.当焦点F在准线L上方时，得到的是一个椭圆。

3.当焦点F在准线L下方时，得到的是一个双曲线。

二、圆锥曲线的性质1.定义性质：圆锥曲线上的任意一点P到焦点F的距离与点P到准线L的距离的比值始终保持不变。

这个比值称为离心率，用e表示。

2.焦点和准线之间的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离是有限的。

对于双曲线，焦点到准线的距离大于焦点到曲线上任意一点的距离。

对于椭圆，焦点到准线的距离小于焦点到曲线上任意一点的距离。

3.长轴和短轴：对于椭圆，长轴是两个焦点之间的距离的2倍，而短轴是两个准线之间的距离的2倍。

长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

4.焦点和准线的关系：焦点位于准线的内部，且焦点到准线的距离等于焦点到曲线上最远的点的距离。

每条曲线上都存在两个焦点，两个焦点是关于准线的镜像。

5.对称性：圆锥曲线具有轴对称性。

对于椭圆和双曲线，轴是通过两个焦点的直线，称为主轴。

对于圆和抛物线，轴是和准线平行的直线，称为准轴。

6.双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线无限延伸的两个分支趋于平行。

渐近线的斜率是曲线离心率e的倒数。

7.抛物线的焦点性质：抛物线的焦点是准线上的一个点，且抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

三、圆锥曲线的应用圆锥曲线广泛应用于科学和工程中的各个领域，如天文学、物理学、航天工程、建筑设计等。

其中一些应用包括：1.天体运动：天体运动中的椭圆轨道和抛物线轨道可以用圆锥曲线来描述。

2.反射器：抛物线可以用于设计反射器，如车灯和卫星碟天线。

高考数学专题七解析几何之圆锥曲线【知识概要】●1．圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质壹贰●2．椭圆与双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依椐和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础。

在许多实际问题中正确使用这一定义可以使问题的解决更加灵活。

另外当焦点位置不确定时，椭圆的标准方程可以统一设成221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，双曲线的标准方程可以统一设成221(0)mx ny mn +=<。

●3．椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度以及双曲线开口大小的一个量，其取值范围分别是01e <<和1e >．离心率的求解问题是本单元的一个重点，也是高考的热点内容，在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值去计算，而是根椐题目给出的椭圆与双曲线的几何特征，建立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式求得离心率的值或范围。

椭圆的离心率e 与c 、a 、b 的关系：22222221()c a b b e aa a-===-；叁双曲线的离心率e 与c 、a 、b 的关系：22222221()c a b b e aa a+===+。

●4．双曲线的特殊性质（1）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x =±，离心率2=e 。

（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线。

2222y x a b λ-=与2222y x a b λ-=-互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：22220y x a b-=。

（3）渐近线是双曲线的特有标致，它反映了双曲线的变化范围和趋势。

如果双曲线的渐近线为b y x a =±，则它的双曲线方程可设为2222y x a b λ-=(0λ≠)；要求双曲线2222y x a bλ-=(0λ≠)的渐近线，只需令0λ=即可。

圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。

定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。

定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

数学圆锥曲线有关知识点1. 引言数学中的圆锥曲线是研究曲线的一个重要分支，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

本文将逐步介绍圆锥曲线的基本概念、方程和特性。

2. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和到该点的距离之比（离心率）的定义而得到的曲线。

根据焦点和离心率的不同取值，可以得到椭圆、双曲线和抛物线三种类型的圆锥曲线。

3. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它具有以下特点： - 焦点：椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的两个焦点上； - 离心率：椭圆的离心率范围在0到1之间； - 主轴和副轴：椭圆的主轴是通过两个焦点的直线，副轴是与主轴垂直的直线； - 方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

4. 双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种类型，具有以下特点： - 焦点：双曲线有两个焦点，分别位于双曲线的两个焦点上； - 离心率：双曲线的离心率大于1； - 主轴和副轴：双曲线的主轴是通过两个焦点的直线，副轴是与主轴垂直的直线； - 方程：双曲线的标准方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1。

5. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的第三种类型，具有以下特点： - 焦点：抛物线有一个焦点，位于抛物线的焦点上； - 离心率：抛物线的离心率等于1； - 对称轴：抛物线的对称轴是垂直于焦点的直线； - 方程：抛物线的标准方程为(y-k)² = 4a(x-h)。

6. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在现实生活中有许多应用，下面列举几个例子： - 天体力学：行星运动的轨迹可以用椭圆描述； - 电子设备：抛物面反射器常用于卫星天线和摄像机镜头； - 工程设计：双曲线的特性可用于设计反射面天线； - 光学：抛物面反射镜用于聚焦光线。

7. 总结本文介绍了圆锥曲线的基本概念、特性和应用。