3.1.1方程的根和函数的零点讲义李春林

§3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．知识点一函数的零点的概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．梳理对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点二零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1．f(x)＝x2的零点是0.(√)2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(×)3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(√) 4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(×)类型一求函数的零点例1函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．考点函数零点的概念题点求函数的零点答案x＝1或x＝10解析由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．跟踪训练1函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．考点函数零点的概念题点求函数的零点答案 4解析f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．可知零点为±1，－2,3，共4个．类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)考点函数零点存在性定理题点判断函数零点所在的区间答案 C解析令f(x)＝e x－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程e x－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．反思与感悟在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．跟踪训练2若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________. 考点函数零点存在性定理题点判断函数零点所在区间答案 2解析∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.类型三函数零点个数问题命题角度1判断函数零点个数例3求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数解方法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．故函数f(x)有且只有一个零点．方法二在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．跟踪训练3 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的个数． 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数解 方法一 由于f (2)＝ln 2＋4－6<0，f (3)＝ln 3＋6－6>0，即f (2)·f (3)<0，说明函数f (x )在区间(2,3)内有零点．又因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点． 方法二 通过作出函数y ＝ln x ，y ＝－2x ＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数转化为函数y ＝ln x 与y ＝－2x ＋6的图象交点的个数．由图象可知两函数有一个交点，即函数f (x )有一个零点． 命题角度2 根据零点情况求参数范围例4 f (x )＝2x ·(x －a )－1在(0，＋∞)内有零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)考点 函数零点存在性定理 题点 函数零点有关的参数取值范围 答案 D解析 由题意可得a ＝x －⎝⎛⎭⎫12x (x ＞0)．令g (x )＝x －⎝⎛⎭⎫12x ，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g (x )的值域为(－1，＋∞)，故当a ＞－1时，f (x )在(0，＋∞)内有零点．反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．跟踪训练4 若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)B ．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－56，－12D.⎝⎛⎭⎫－56，－12 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 两根分别属于两区间 答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2＞0，f (0)＝2m ＋1＜0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0，解得⎩⎨⎧m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.1．函数y ＝ln x 的零点是( )A ．(0,0)B ．x ＝0C ．x ＝1D ．不存在 考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 答案 C2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )考点 函数零点的概念 题点 判断函数有无零点 答案 D3．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 考点 函数零点存在性定理 题点 判断函数在区间上是否有零点 答案 C4．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x的零点有______个． 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数 答案 1 5．若函数y ＝2－|x |－k 有零点，则实数k 的取值范围是________．考点 函数零点存在性定理 题点 函数零点有关的参数取值范围 答案 (0,1]解析 y ＝2－|x |－k 有零点，即k ∈y ＝2－|x |的值域． 而－|x |≤0,0<2－|x |≤20＝1，∴y ＝2－|x |的值域为(0,1]．1．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象． 4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )考点 函数零点的概念 题点 判断函数有无零点 答案 A解析 B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f (x )＝ln x ＋x －1x 的零点为( )A ．1 B.12 C ．e D.1e考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 答案 A解析 依次检验，使f (x )＝0的即为零点．3．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且图象是连续不断的，若f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根D ．必有唯一的实数根考点 函数零点存在性定理 题点 判断函数在区间上是否有零点 答案 D解析 由题意知函数f (x )为连续函数．∵f (a )·f (b )＜0，∴函数f (x )在区间[a ，b ]上至少有一个零点．又∵函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，∴函数f (x )在区间[a ，b ]上至多有一个零点．故函数f (x )在区间[a ，b ]上有且只有一个零点，即方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内必有唯一的实数根．故选D.4．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞) 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 函数的零点与方程根的关系 答案 C解析 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．f (1)＝6－0＝6＞0，f (2)＝3－1＝2＞0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12＜0.由零点存在性定理可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点． 5．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( ) A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至少有一个零点考点 函数零点存在性定理 题点 判断函数在区间上是否有零点 答案 C解析 若函数f (x )的图象及给定的区间(a ，b )，如图(1)或图(2)所示，可知A ，D 错，若如图(3)所示，可知B 错．6．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0考点 函数零点存在性定理 题点 函数零点与方程根的关系 答案 B解析 方法一 由f (x )＝0，得2x ＋11－x＝0，∴2x＝1x－1.在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝1x－1的图象(图略)，观察图象可知，当x1∈(1，x0)时，y1<y2；当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.方法二∵函数y＝2x，y＝11－x在(1，＋∞)上均为增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0，得f(x1)<f(x0)＝0，由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0，得f(x2)>f(x0)＝0.7．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有()A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案 B解析f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.因此函数f(x)有两个零点－2与2.8．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案 B解析 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.二、填空题9．若函数f (x )＝mx －1在(0,1)内有零点，则实数m 的取值范围是________．考点 函数零点存在性定理题点 函数零点有关的参数取值范围答案 m >1解析 f (0)＝－1，要使函数f (x )＝mx －1在(0,1)内有零点，需f (1)＝m －1>0，即m >1.10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 考点 函数零点的概念题点 求函数的零点答案 －3解析 设函数f (x )的两个零点为x 1，x 2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2a a＝－2.又因为x 1＝1，所以x 2＝－3. 11．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是__________． 考点 函数的零点与方程根的关系题点 由函数零点个数求参数的取值范围答案 (1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象的交点的个数，如图，当a >1时，两函数图象有两个交点；当0<a <1时，两函数图象有一个交点．故a >1.三、解答题12．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －4，x ≤0，lg x ，x ＞0的零点． 考点 函数零点的概念题点 求函数的零点解 当x ≤0时，令2－x －4＝0，得x ＝－2，满足要求；当x ＞0时，令lg x ＝0，得x ＝1，满足要求．所以函数f (x )的零点是－2,1.13．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．考点 函数的零点与方程根的关系题点 由函数零点个数求参数的取值范围解 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0. (2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．四、探究与拓展14．若函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是________．考点 函数的零点与方程根的关系题点 两根分别属于两区间答案 (－12,0)解析 根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．由图可知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋10＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，27－15＋a ＞0， 解得－12＜a ＜0.15．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．考点 函数的零点与方程根的关系题点 由函数零点个数求参数的取值范围答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 画出函数f (x )的图象，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )，g (x )的图象有两个交点，由图可知k ＞12，且k ＜1.。

3.1.1《方程的根与函数的零点》说课稿（第一课时）说课人：各位评委老师，各位同事，下午好！今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》第一课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。

下面我将从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法与学法分析、教学过程设计、教学反思六个方面来进行阐述。

一、教材分析函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个连接点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．二、教学目标分析根据本节课的教学内容以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：知识与技能目标：理解方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：经历“类比-归纳-应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

能力与情感目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。

三、重难点分析教学重点：判定函数零点的存在及其个数的方法。

教学难点：探究发现函数零点的存在性，及利用函数的图像和性质判别函数零点的个数。

四、教法分析和学法指导结合本节课的教学内容和学生的认知水平：在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式。

充分发挥教师的主导作用，引导、启发、充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。

在学法上，我体会到“授人以鱼，不如授人以渔”，因此我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。

3.1 函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学习目标核心素养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，提升直观想象的数学素养.1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是()A B C DD[结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]2．函数y＝2x－1的零点是()A.12 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.2A [由2x －1＝0得x ＝12.]3．函数f (x )＝3x －4的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(2,3)D ．(1,2)D [由f (－1)＝－113<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，得f (x )的零点所在区间为(1,2)．]4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数有________个零点． 2 [由Δ＝b 2－4ac >0得二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．]求函数的零点【例1】 (1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点． [解] (1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a . 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)． 令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0， 解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13.函数零点的求法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来.图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.[跟进训练]1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由． (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3； (4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.[解] (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0， 得x ＝－1或x ＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1. (3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26. (4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.判断函数零点所在的区间【例2】 (教材改编题)(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(3,4)B ．(2，e)C ．(1,2)D ．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程e x －x －3＝0的一个根所在区间是( )x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.08 x ＋3234 56A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)(1)C (2)C [(1)因为f (1)＝ln 2－21<0，f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f (x )＝e x －x －3，由上表可得f (－1)＝0.37－2＝－1.63<0， f (0)＝1－3＝－2<0， f (1)＝2.72－4＝－1.28<0， f (2)＝7.39－5＝2.39>0， f (3)＝20.08－6＝14.08>0，f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.[跟进训练]2．若函数f (x )＝x ＋ax (a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( )A ．－2B ．0C ．1D ．3A [f (x )＝x ＋ax (a ∈R )的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a ＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0.故f (x )在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]函数零点的个数1．方程f (x )＝a 的根的个数与函数y ＝f (x )及y ＝a 的图象交点个数什么关系？ 提示：相等．2．若函数g (x )＝f (x )－a 有零点，如何求实数a 的范围？提示：法一：g (x )＝f (x )－a 有零点可知方程f (x )－a ＝0有解，即a ＝f (x )有解． 故a 的范围为y ＝f (x )的值域．法二：g (x )＝f (x )－a 有零点，等价于函数y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．【例3】 已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 思路点拨：构造函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)→画出f (x )与g (x )的图象→观察图象得零点的个数B [函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数．画出函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，观察可得函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数为2，从而函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为2.]1．把本例函数“y ＝a |x |－|log a x |”改为“y ＝2x |log a x |－1”，再判断其零点个数． [解] 由2x |log a x |－1＝0得|log a x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝|log a x |(0<a <1)的图象如图所示． 由图可知，两函数的图象有两个交点， 所以函数y ＝2x |log a x |－1有两个零点．2．若把本例条件换成“函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点”，求实数b 的取值范围． [解] 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b . 在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．1．核心要点：(1)在函数零点存在性定理中，要注意三点：①函数是连续的；②定理不可逆；③至少存在一个零点．(2)方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．数学思想：函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x)＝x2的零点是0. ()(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．()(3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. ()[答案](1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)B[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解D[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]4．已知函数f (x )＝x 2－x －2a . (1)若a ＝1，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －2. 令f (x )＝x 2－x －2＝0，得x ＝－1或x ＝2. 即函数f (x )的零点为－1和2.(2)要使f (x )有零点，则Δ＝1＋8a ≥0，解得a ≥－18，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－18，＋∞.。

教学内容解析《方程的根与函数的零点》是人教A版必修一第三章《函数的应用》第一节的内容.必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数.本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间.零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的应用.通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性.本节课根据学生已经掌握的函数的内容，从初中二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念.进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课.本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用.二、教学目标设置1．知识与技能：（1）理解函数零点的定义；（2）掌握零点存在区间的判断方法.2. 过程与方法：（1）由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数的关系，推广到一般方程与函数的关系；（2）由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况；（3）由学生自主探究得到零点存在区间的判断方法.3. 情感、态度、价值观：（1）在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；（2）感受学习、探索、发现的乐趣.教学重点：函数零点与方程根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识.教学难点：理解函数零点存在的判定条件.三、学生学情分析：通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，它的证明需要用到《数学分析》中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二y f x在区间[],a b上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端是如何想得到：当函数=()f a f b点的曲线经过x轴（次数不限），即曲线与x轴一定有公共点（个数不限），可以用()()<0来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点.所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程.四、教学策略分析在教学中，这节课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，充分利用了多媒体及实物投影，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体.在零点概念的教学上，我充分利用了“由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广.而在零点存在性定理的教学中，我主要采用了“启发－探究－讨论”的模式，找到问题讨论的切入点后，将学生分成小组充分进行讨论，在思维上通过学生之间的质疑，产生火花，进而生成了定理的内容.这样的讲解，自然且易于理解.2.突破重、难点的策略对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，为新知识提供“停靠点”.把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分.探究函数零点存在性定理是本课的难点.为突破这一难点，本节先利用例1（4）1（4）的解决方法，由特殊到一般，过渡到对于一般的函数)(=x f y ，],[∈b a x ，若在开区间(,)a b 内一定存在零点，应满足什么条件？学生很容易找到切入点，即讨论端点函数值的符号.之后通过分组讨论获得定理，这个过程体现了定理的合理性.这样的引入，会让学生感觉更加的自然，由此产生的讨论，使定理的生成过程更加的水到渠成.五、教学过程六、板书设计。

3.1.1 方程的根与函数的零点教案1. 教学目标本课程旨在使学生了解方程的根与函数的零点的概念，并能够灵活运用相关知识解决实际问题。

具体目标如下：•了解方程的根与函数的零点的定义；•能够找到方程的根与函数的零点；•能够应用方程的根与函数的零点解决实际问题；•培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

2. 教学内容2.1 方程的根与函数的零点的定义•方程的根：对于方程f(f) = 0，f是方程的根是指当f = f时，方程成立。

•函数的零点：对于函数f(f)，f是函数的零点是指当f(f) = 0，即函数在f = f处取得零值。

2.2 方程的根的求解•方程的根的存在性：介绍方程根的存在性判断方法，例如奇偶效应等。

•方程的根的求解方法：介绍常见的求根方法，如因式分解、配方法、公式法等。

•方程根的重数：定义方程根的重数，了解重根的概念。

2.3 函数的零点的求解•函数的零点的求解方法：介绍几种常见的求零点的方法，如图像法、几何意义法、代数法等。

•函数零点的性质：介绍零点的性质，如唯一性、存在性和多个零点等。

3. 教学过程3.1 导入与提问通过展示一道实际问题，引出方程的根与函数的零点的概念，并提问学生是否了解这些概念。

3.2 概念讲解分别介绍方程的根与函数的零点的定义，并与实际问题进行对比，使学生更好地理解。

3.3 方程的根的求解通过实例演示和练习题的讲解，引导学生掌握方程根的存在性判断方法和求解方法，并加深对重根概念的理解。

3.4 函数的零点的求解介绍函数零点的求解方法，并通过实例演示和练习题的讲解，让学生熟练运用求零点的方法。

3.5 实际问题的应用通过一个或多个实际问题的案例分析，引导学生应用所学的方程的根与函数的零点的知识解决实际问题，培养学生的问题解决能力。

4. 教学评价4.1 课堂练习在课堂上进行几道练习题，既可以检验学生的掌握程度，又可以帮助学生巩固所学知识。

4.2 作业布置布置一些作业题，要求学生独立完成，并在下节课前交回，以检验学生对方程的根与函数的零点的理解情况。

3.1.1方程的根与函数的零点教学设计课题：3.1.1方程的根与函数的零点教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修1（人民教育出版社A版）第三章函数的应用一、教学目标二、教学重点与难点三、教学的方法与手段四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。

通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。

为此，我们还要做一些基本的知识储备。

方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。

教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。

【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230--=；（2）0x x-+xx.ln=62学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。

对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数223=--的图象。

y x x学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。

用屏幕显示表格，让学生填写2230--=的实数根和函数图象与x轴的交点。

x x学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

§3.1.1方程的根与函数的零点教案一．教材分析：函数的应用是学习函数的一个重要方面，与其他数学知识有着广泛的联系。

学生学习函数的应用，目的是利用已有的知识分析问题和解决问题。

本节内容是函数应用的第一节课。

课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节的入口，其目的是让学生从熟悉的知识发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。

教材内容由易到难，循序渐进，符合学生的认知心理和认知规律。

二．学情分析：在初中学生已经学习了二次方程和二次函数的有关内容，已经具备了判断根的个数以及求根的知识能力，本节课从学生熟悉的知识入手，符合学生的认知规律。

但在学习中学生较多对知识的理解不够深刻，而且缺乏对探究问题的描述以及对知识的总结能力。

三 .教学目标：1.知识与技能（1）结合二次函数图像，使学生准确判断出一元二次方程根的存在性及个数；（2）通过探究让学生准确说出函数的零点与方程根的联系；（3）通过实例探究使学生能够完整说出零点存在性定理。

2.过程与方法通过观察二次函数图像，并由函数在区间端点上的函数值之积的特点，让学生能够找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法，进一步体会数形结合思想的应用。

3.情感、态度与价值观通过本节课的学习，使学生体会数形结合的数学思想，从一般到特殊的思想，化归与转化的思想。

从直观感受、师生合作交流、自主探索使学生体会到学会数学所带来的成功的喜悦。

四 .教学重点.难点：重点：函数的零点与方程根之间的关系，连续函数零点的存在性定理。

难点：零点存在性的判定及数形结合的思想﹑转化思想在数学中的应用。

五、教学方法主要采用引导探究的教学方式，运用观察、引导、多媒体辅助教学等形式展开教学，让学生在“探究问题——尝试练习——探索研究——总结归纳”的过程中，体会数学基本思想的应用，从探究的过程中获取知识。

六、教具准备：三角板多媒体七、教学过程即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．尝 试 练 习 （1）试试： （1）函数y ＝x+1的零点是 （ ） A(-1,0) B ．(0,-1) C ．0 D ．-1 （2）函数243y x x =-+的零点为 .师：给出问题，提示学生用代数法来解决问题。