高二数学期末考试试题

宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。

选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。

2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =± B ．32y x =±C ．y =D ．y = 【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为22132x y -=，所以a b =，所以渐近线方程为b y x a =±=． 故选：D2．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ） A ．cos ||||v v μθμ⋅=B ．||cos ||||v v μθμ⋅=C ．sin |||vv μθμ⋅=∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=【答案】D【分析】由线面角的向量求法判断 【详解】由题意得||sin ||||v v μθμ⋅=， 故选：D3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（ ） A ．22x y =- B ．22x y =C ．24x y =-D ．24x y =【答案】D【分析】由已知条件可得12p=，求出p ，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，所以12p=，得2p =， 所以抛物线方程为24x y =， 故选：D4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （ ）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ， 当1x x <或23x x x <<或4x x >时，0fx，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增， 在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ， 所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C ．5．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．（1B ．（1C ．∞）D ．，＋∞）【答案】C【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由题意得2b a >，所以双曲线的离心率c e a ==故选：C.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是（ ）． A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】D 【分析】记()()(),0f x g x x x=≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式. 【详解】记()()(),0f x g x x x=≠.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -= 因为()()()()f x f x g x g x x x --==-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222f fg g --==-=--. 因为()20f -=，所以()()220g g -==. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以()g x 在()0,∞+上单减.因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减. 不等式()0f x x>即为()0g x >.当0x >时， ()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2； 当0x <时， ()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-. 综上所述：()0f x x>的解集为()(),20,2-∞-.故选：D二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确； 对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确； 对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（ ）． A ．88a = B ．15120S = C ．11a < D ．22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确； 对于B ：()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=.故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-. 因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-. 因为1d >，所以22a <.故D 错误. 故选：ABC11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m+=-的图像，曲线()()2222:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（ ）．ABCD ．3【答案】BD【分析】先将()f x 整理成()nm mf x n x m+=+-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案【详解】因为()nx m nm mf x n x m x m++==+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平移n 个单位长度得到，nm my x+=的所有对称轴都经过()0,0， 所以()nx m nm mf x n x m x m++==+--的所有对称轴都经过(),m n ， 因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ， 所以1,2m n ==，所以()321f x x =+-， 设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，则()()2233121611MP x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当311x x -=-时，取等号， 所以()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离为6， 若1C 与2C 有公共点，则6r ≥ 故选：BD12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1nnC x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正．确．的是（ ）．A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称B ．当0n >时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为22【答案】ABD【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1n nx y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求出最小值.【详解】对于A ：在曲线:1nnC x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成中心对称.故A 正确；对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；对于C ：当01n <<时,由1n nx y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立. ∴||||||||1n n x y x y +>+=.又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222⨯=，且1n nx y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为：11||||1x y --+=.不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭. 令()11x t t -=>-,则2222222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++=++++≥=，当且仅当221t t =且22t t=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C上点到原点距离的最小值为故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为______． 【答案】14##0.25【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，121113411123148124a a a a a a a a a a ++∴===++ 故答案为：14.14．设点P是曲线32y x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】求出23'=y xtan α≥α的范围可得答案. 【详解】∵23y x '=≥∴tan α≥ 又∵0απ≤≤， ∴02πα≤<或23a ππ≤< 则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.15．已知数列{}n a 满足()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．【答案】1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1111m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1117m ->，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，所以()()()()()()222222111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，解得：1111m -<. 因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪+⎨-<⎪--⎩，解得：1117m ->. 所以1111711m <-<，解得：10161117m <<. 所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎬⎩⎭【分析】方程2l en 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根， 则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'= ()222231l e l e n e n x x x x x x x x xx x ----+==-⋅-- 令()()()2211ln e e ln xxx x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <； 当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >； 所以当()0,1x ∈时，0fx，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>， 当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立； 当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e xx a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时， 实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故答案为：(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭四、解答题17．已知函数321()213f x x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 193f x =. 【解析】（1）求出导函数，令0fx，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ， 2()4f x x x '=-+，令()0f x '≥，解得04x ≤≤ 令()0f x '<，解得>4x 或0x <， 所以()f x 的单调递增区间为[]0,4， 单调减区间为(),0∞-和()4,+∞； (2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，在[]0,2单调递增，所以()()min 01f x f ==，而()81928133f =-++=，()11012133f -=++=， 故最大值是()9231f =. 18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）利用准线方程2p x =-求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2p x =-过()1,0M - 故12p -=-，则2p = 抛物线方程为24y x =（2）设切线方程为1x my =-与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

高二数学期末试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知向量,满足,与的夹角为,则的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．2.设为正数，，，，则三数（ ）A ．至少有一个不大于B ．都小于C ．都大于D ．至少有一个不小于3.如下图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB=2，∠BAC="90°." 将△ACD 沿AC 折起，使得BD=. 在三棱锥D-ABC 的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是（ ）A ．面ABD ⊥面BCDB ．面ABD ⊥面ACDC ．面ABC ⊥面ACD D ．面ABC ⊥面BCD4.利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.如果K2≥5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系”的百分比为( ) A．25% B．75%C．2.5% D．97.5%5.A．{1,2,3,4} B．{1,2} C．{1,3} D．{2,4}6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A． B． C． D．7.下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小8.集合的子集的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．10.抛物线截直线所得的弦长等于A． B． C． D．1511.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）12.某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀、并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是（）A． B． C． D．13.双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．14.已知抛物线的焦点弦AB的两端点为，则关系式的值一定等于（）A． B． C． D．15.不等式的解集是（）A． B． C． D．16.已知命题p:3≥3,q:3>4，则下列判断正确的是( )A．p q为真，p q为真，p为假B．p q为真，p q为假，p为真C．p q为假，p q为假，p为假D．p q为真，p q为假，p为假17.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．18.设z=，，则下列命题中正确的是（）A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限C．不是纯虚数D．是虚数19.若集合，集合，则“”是“”成立的（▲）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件20.直线x=1的倾斜角和斜率是（）A．45°,1B．,不存在C．135°, -1D．,不存在二、填空题21.已知复数满足等式（是虚数单位）.则的最小值是__________.22.命题：“对任意实数m ，”的否定是23..已知极限存在，则实数的取值范围是____________.24.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面DBEF 的距离 ． 25.如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________.26.已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则 .27.已知函数在区间上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 28.若随机变量，且，，则当__________．（用数字作答）29.对任意的实数，若恒成立，则m 的取值范围为 ．30.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）.三、解答题31.如图：区域A 是正方形OABC （含边界），区域B 是三角形ABC （含边界）。

金华2023学年高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.空间直角坐标系中，点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影，则OB =（）A.5B.25C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后直接用距离公式计算即可.【详解】由点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影可得()340B ，，，则5OB == .故选：A.2.椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12||||PF P F +的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令椭圆C 的右焦点F '，由已知条件可得四边形12PFP F '为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C 的右焦点F '，依题意，线段12PP 与FF '互相平分，于是得四边形12PFPF '为平行四边形，因此21||||P F PF '=，而椭圆C ：221169x y +=的长半轴长4a =，所以1211||||||||28PF P F PF PF a '+=+==.故选：D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A.8- B.8C.1或8- D.1-或8【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则因为313S a =，所以12313a a a a ++=，即220q q +-=，解得1q =或2q =-，所以3631a q a==或8-.故选：C.4.攒（cuán ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.B.C. D.6π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB =，23ACB π∠=，所以,36CAB AO π∠==，所以3cos6AO AC π===，所以圆锥的侧面积3S rl ππ==⨯=.故选：B5.已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】写出圆C 的圆心和半径，求出AC 距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r，所以AC ===≥所以点A 到圆C上点的最小距离为32222=.故选：C.6.直线12y xt =+与曲线y =相切，且与圆()2220x y r r +=>相切，则r =（）A.15B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】先由直线与曲线y =求出t ，再由直线与圆相切即可求出r【详解】设直线12yx t=+在曲线y=上的切点为(0x ，则()012f x '==，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则55r ==，故选：B7.在数列{}n a 中，11n n na na a +=+，若46n a =，11a =，则n 的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得1n n n a a +-=，利用累加法可得(1)12n n n a -=+，结合46n a =即可求出n 的值.【详解】由11n n na na a +=+，得1n n n a a +-=，所以21321121(2)n n a a a a a a n n --=-=-=-≥ ，，,，所以112(1)n a a n -=+++- ，又11a =，所以(1)1(2)2n n n a n -=+≥，又11a =满足，所以(1)12n n n a -=+由46n a =，解得10n =.故选：B8.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，2F P OP ⊥，OM PM ⊥，所以2F P b =，OP a =因为OA a =，所以PAO APO∠=∠又因为PO 平分APM ∠，所以2APM PAO ∠=∠，由90APM PAO ∠+∠=︒，得30PAO ∠=︒，所以260POM PAO ∠=∠=︒，即tan 60ba=︒=所以2e ==故选：B二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知点M 椭圆22:4936C x y +=上一点，椭圆C 的焦点是12,F F ，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C 的长轴长是9B.椭圆C 焦距是C.存在M 使得1290F MF ∠=D.三角形12MF F 的面积的最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】22224936194x y x y +=⇒+=，所以229,43,2,a b a b c ==⇒===，对于A ：因为3a =，所以长轴为26a =，A 错误；对于B ：因为c =，所以焦距为2c =B 正确；对于C ：当M 取到上顶点时此时12F MF ∠取到最大值，此时123MF MF a ===，122F F c ==所以(22212331cos 02339F MF +-∠==-<⨯⨯，所以此时12F MF ∠为钝角，所以存在M 使得1290F MF ∠= ，C 正确；对于D ：当M 取到上顶点时此时三角形12MF F 的面积取到最大值，此时122S c b =⨯⨯=D 正确，故选：BCD10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.100a =C.9S 是n S 中最小项D.216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：B C11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A.直线1DB 与平面AEF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.三棱锥D AEF -的体积为23D.点D 到平面AEF 的距离为43【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面AEF 的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B ；根据等体积法可求得三棱锥D AEF -的体积，可判断C ；利用空间距离的向量计算公式，可判断D .【详解】如图，以D 点为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,1),(2,0,2),(2,2,1)D B A E F A G ,对于A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,2,1)DB AE AF ==-=-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，可取(2,1,2)n =，而1(2,2,2)DB = ，与(2,1,2)n =不平行，故直线1DB 与平面AEF 不垂直，故A 错；对于B ，1(0,2,1)AG =- ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,()()10,2,12,1,20A G n ⋅=-⋅=,1A G 不在平面AEF 内,故直线1A G 与平面AEF 平行，故B 正确；对于C ，11122213323D AEF F DAE DAE V V S FC --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ,故C 正确；对于D ，(2,0,0)DA = ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,,故点D 到平面AEF 的距离为||23||n DA d n ⋅===，故D 正确，故选：BCD12.已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A.128y y =-B.AB的最小值为C.11AP BP +=D.AMP BMP∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】首先设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得2480y my --=，分别写出12y y +，12y y 式子，然后逐项验证，对于A 直接得出，对于B 利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C ，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D ，利用0AM BM k k +=即可验证.【详解】设直线l 的方程为2x my =+，则由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理，得2480y my --=，因为直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则所以124y y m +=，128y y =-，故A 正确.AB ===≥，m =0时等号成立，故B 正确.AP ==1，同理，可得BP y =2，则AP BP +=11===≠2，故C 不正确.()()()()AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++1221121212212222()()()()()()()y my y my my y y y x x x x +++++==++++12211212121244242222.()()()m mx x -+⨯==++122844022,即AMP BMP ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线l 的方程为2x my =+，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20x y ++=的倾斜角的是______．【答案】3π4【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线20x y ++=的斜率1-，设直线20x y ++=的倾斜角为α，则tan 1α=-，因为[0,π)α∈，所以3π4α=，故答案为：3π4.14.已知函数()()sin 20f x x xf '=-，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】3-【解析】【分析】先求函数()()sin 20f x x xf '=-的导数，利用赋值法求出(0)f '，即可得函数解析式，从而求得π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由于()()2cos 20f x x f ''=-，所以(0)2cos0(0)f f =-''，解得(0)1f '=，所以()sin 2f x x x =-，则()2cos21f x x '=-，所以π32f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故答案为：3-15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m 连环，用n a 表示解下()n n m ≤个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足：11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数n a =___________.（用含n 的式子表示）【答案】121n --【解析】【分析】根据通项公式得到243n n a a -=+，构造出等比数列，进而求出121n n a -=-.【详解】因为n 为偶数，当4n ≥时，()12221222143n n n n a a a a ---=-=+-=+，即()2141n n a a -+=+，又2121211a a =-=-=，所以{}1n a +是以212a +=为首项，4为公比的等比数列，故1121242n n n a -+=⨯=，所以121n n a -=-，故答案为：121n --16.已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，则P 点的轨迹Γ为圆_______，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC CD = ，则CD =______.【答案】①.()22516x y -+=②.【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =【详解】设(),P x y2=，整理得到221090x y x +-+=，即22(5)16x y -+=.因为AC CD = ，故C 为AD 的中点，过圆心()5,0作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD的中点，则32AM CD ==解得CD =故答案为：22(5)16x y -+=，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n -=⋅（2）()121n n S n =-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式可求n a .（2）利用错位相减法可求n S .【小问1详解】因为122(*)n n n a a n N +=+∈，111222n n n n a a ++∴-=∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=，12n n a n -∴=⋅.【小问2详解】0111·22·22n n S n -=+++⋅ ，2n S =()1112122n n n n -⋅++-⋅+⋅ ，12112222n n n S n -∴-=++++-⋅ ()121n n =-⋅-，()121n n S n ∴=-⋅+.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．【答案】（1）6（2）13【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出11,AB DC ,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面1B AD 和平面1ADC 的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，,1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- ,所以111111cos ,6AB DC AB DC AB DC <>== ，所以直线11AB DC ，所成角的余弦值为6；【小问2详解】设(,,)m x y z = 为平面1B AD 的一个法向量，111(,,0),(1,0,1)22AD AB == ,则⋅A =12+12=0 ·B 1 =+=0,∴+=0+=0，1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=-- 令则，，同理111(,,0),(0,1,1)22AD AC == ,则11100,220·0x y n AD x y y z n AC y z ⎧+=⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=+=⎩,可取平面1ADC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，则1cos ,3m n m n m n<>== ,由图可知二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为13.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点21,2M ⎛ ⎪⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB 的面积为23，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =±【解析】【分析】(1)将点M 、N 的坐标代入椭圆方程计算，求出a 、b 的值即可；(2)设l 的方程为：(0)y kx m k =+>，1122,,()()A x y B x y ，，根据直线与圆的位置关系可得2221m k =+，直线方程联立椭圆方程并消去y ，利用韦达定理表示出1212+、x x x x ，根据弦长公式求出AB ，进而列出关于k 的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N ．则221112a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a b ==，2212x C y ∴+=椭圆的方程为【小问2详解】设l 的方程为：(0)y kx m k =+>l 与圆2212x y +=相切22212m k =∴=+，设点1122,,()()A x y B x y ，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由，∴（1+22)2+4B +22−2=0，则Δ>01+2=−4B 1+2212=22−21+22，12223AOB S AB =⨯=，12AB x ∴==-，3，3=，2221m k =+又，425410k k ∴--=，21k =∴，0k > ，1k ∴=，故211m m =⇒=±，1l y x ∴=±的方程为20.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO =13BF FC =uu u r uu u r ，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7（2）存在，M 与S 重合【解析】【分析】（1）分别取AB ，BC 中点M ，N ，易证,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD 的一个法向量(,,)m x y z = ，再由cos ,m EF m EF m EF⋅<>=⋅ 求解；（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ，再求得平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，然后由0m n ⋅= 求解.【小问1详解】解：分别取AB ，BC 中点M ，N ，则OM ON ⊥，又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，1(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)，所以3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==- ，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，22)x z m ==-∴=- 令则cos ,7m EF m EF m EF⋅<>==⋅ ，,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余，直线EF 与平面SBC所成角的正弦值为7.【小问2详解】假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD，(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=- 设，1(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则，设平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z =，()30221312022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅=--+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩则，令1y =，则111(,1,2121z x n λλλλ--==∴=++ ， 平面MEF ⊥平面SCD，22021m n λλ-∴⋅=-=+ ，0λ∴=，∴存在点,M MEF SCD ⊥使得平面平面，此时M 与S 重合.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.（1）证明：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3(1)log 1nn n n b a a =+--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得22024n T >的最小正整数n .【答案】（1）证明见解析，131n n a -=+（2）4【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系式化简出132n n a a -=-，再构造成()1311n n a a -=--即可证明为等比数列同时求出通项公式；（2）化简可得()(1)1n n n b a n =+--，再通过分组求和可得2n T ，判断2n T 的单调性即可求出22024n T >的最小正整数n .【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，()113122n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则()1311n n a a -=--，而110a -≠，所以数列{}1n a -构成以1为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】131n n a -=+，()()13(1)log 131(1)1n n n n n n b a a n -∴=+--=++--，{}n a 的前2n 项和22133122132n n n n --+=+-(){}(1)1nn --的前2n 项和()0123421n -+-+-+⋯+-()()()()01232221n n n⎡⎤=-++-++⋯+--+-=⎣⎦223132n n T n -∴=+2n T 单调递增且66313337320242T -=⨯+=<，883134329220242T -=⨯+=>所以使得22024n T >最小正整数n 为4.22.已知双曲线()2222:100x y a b a b Γ-=>>，过点P ，且Γ的渐近线方程为y =．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧．①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）①[)6+∞，；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得22,a b ，即可得解；（2）①易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k ，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，则0∆>，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据弦长公式可求得AB ，同理可求得2k 的范围及CD ，再根据12ACBD S AB CD =⋅整理即可得出答案；②设直线AD 的方程为y kx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，根据0∆>求得,t m 的关系，利用韦达定理求得5656,x x x x +，再利用弦长公式求得AD ，易求得,M N 的坐标，即可求出MN ，再根据M ，N 为线段AD 的三等分点，可得3AD MN =，结合AB CD ⊥，可得两个等量关系，从而可得出结论.【小问1详解】解：由题意有b a =b =①，将点P 代入双曲线方程得22361a b -=②，联立①②解得2213a b ⎧=⎨=⎩，故Γ的方程为2213y x -=；【小问2详解】解：①，易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()22330k x --=，直线1l 与双曲线Γ交于两点，故230k -≠且()21230k ∆=->，则23k <，则1212230,3x x x x k +==--，则AB ==，联立22113y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()2223130k x k --=，直线2l 与双曲线Γ交于两点，故2310k -≠且()2212310k k ∆=->，解得213k >，则23434230,31k x x x x k +==--，则CD =，根据对称性可知四边形ACBD 为菱形，其面积12ACBD S AB CD =⋅====2133k << ，∴22116243k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，，∴(]222221616341(1)2k k k k =∈+++，，∴(]22216301(1)k k -∈+，，[)6ACBD S ∴∈+∞，；②，假设满足题意的直线AD 存在，易知直线AD 斜率存在，设直线AD 的方程为y tx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2223230t x tmx m ----=，则()230t -≠且()()222244330t m m t ∆=++->，解得23≠t 且223t m <+，由韦达定理有56225622333km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，则AD ===，不妨设M 为直线AD 与渐近线y =的交点，联立y tx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛⎫∴，同理可得N点的坐标为⎛⎫，则MN ==，因为M ，N 为线段AD 的三等分点，3AD MN =，=，整理得22830t m +-=，①AB CD ⊥ ，AO DO ∴⊥，则0AO DO ⋅=，即56560x x y y +=，()()56565656x x y y x x tx m tx m +=+++()()()222225656223211033m tm t x x tm x x m t tm m t t --=++++=++=--，整理得223230t m -+-=,②联立①②得2913t =-，无解，故没有满足条件的直线AD ．。

山东省青岛第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{N |16}A x x =∈<<，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =I （ ） A ．{|16}x x << B ．{|15}x x << C ．{3,4,5}D ．{2,3,4}2．已知复数z 满足()()1i i 3i z --=+（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i --B ．12i -+C ．1i --D ．1i -+3．函数()2()ln 23f x x x =--的单调递减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()3,+∞4．在ABC V 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（ ）A ．14B ．12C ．34D ．15．设直线l 被圆C ：22240x y x y +--=所截得弦AB 的中点为()2,1M ，则直线l 的方程为（ ）A ．30x y ++=B ．30x y -+=C ．30x y +-=D ．10x y --=6．南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该杯盏的高度为（ ）A ．23cm 6B ．13cm 4C ．11cm 3 D ．7cm 27．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法中正确的有（ ）①若3692S S S +=，则q =②4S ，84S S -，128S S -成等比数列； ③若12n n S a -=+，则1a =-；④若{}n a 有偶数项，11a =，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则{}n a 有10项． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时()'f x π>，则不等式()sin f x x π≤在[]3,3-上的解集为（ ） A ．[][]2,02,3-⋃ B ．[]1,3- C ．[]1,2-D ．[][]3,20,2--⋃二、多选题9．在某影评网站上随机选取六位专业影评人给《流浪地球2》的评分，得到一组样本数据如下：9.1，9.2，9.4，9.4，9.6，9.7，则下列关于该样本的说法中正确的有（ ） A ．极差为0.6 B ．均值为9.4C ．方差为0.026D ．第80百分位数为9.610．在11x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．第7项和第8项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为1024C ．含1x项的系数为165D ．展开式中不含常数项11．某地工业化工厂排风扇发生故障，在抢修人员到来前测得工厂内部空气中有毒物质含量达到了危险状态．经过抢修人员的抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得工厂内的有毒物质浓度为128ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为64ppm ．由检验知该工厂内有毒物质浓度y （单位：ppm ）与排气时间t （单位：分）之间满足函数关系()y f t =，其中()()f t R f t ='（R 为常数）．当有毒物质浓度不高于0.5ppm 时称空气质量为合格等次，则下列说法正确的是（ ）A ．0.25e R =B ．4ln 2R =-C ．排气32分钟后，工厂内部空气质量为合格等次D ．排气36分钟后，工厂内部空气质量为合格等次12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，以正方体中心O 为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．球O 的半径R =B ．球O 1-C ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则13,44PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r D ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则17,44PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r三、填空题13．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种． 14．已知一个各侧面均为全等的等腰梯形的正四棱台，其上下底面面积之比为1:4，一个侧面的面积为15．已知,1a x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，()23cos ,cos b x x =r ，0ω>，()f x a b =⋅r r ，1x ，2x 满足()()1212f x f x ωω==，且12min πx x -=，则ω=． 16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且213PF PF =，12PF F △的内切圆圆心为I ，与12F F 切于点A ，直线PI 交x 轴于点Q ，若1294FQ AF =u u u r u u u u r，则双曲线的离心率为．四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记1n n n b a S +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c tan tan B C =+．(1)求角C 的值；(2)若c =D 为AB 的中点，求中线CD 的范围．19．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上，且//OE 平面SAB ，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ．(1)求证：SE DE =；(2)若2SA AD ==，且平面ABE 与平面BEC ，求AB 的值． 20．目前新冠病毒依然危害着人民的生命健康，国家大力研发新冠疫苗，普及接种来降低新冠病毒对人民的危害程度.现有A ，B ，C ，D 四种成熟疫苗且每种都供应充足，某社区组织居民接种新冠疫苗，前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A ，B ，C ，D 四种号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，社区李医生接种A 种疫苗后，再为居民们接种，记第n 位居民（不包含李医生）接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ，()n P D ． (1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)李医生认为，一段时间后接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A ，B ，C ，D 四种的概率，解释李医生观点的合理性． 参考数据：1051 1.7103-⎛⎫-≈⨯ ⎪⎝⎭21．已知函数()()211ln 12f x x x ax =+-+-，(1)若2x =是()f x 的极值点，求()f x 在区间3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；(2)若方程()2131022f x ax ax a -+-+=有两个不同的根1x ，2x ．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若112e x x λ-<恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知定点()2,0F -，关于原点O 对称的动点P ，Q 到定直线l ：8x =-的距离分别为P d ，Q d ，且||||P QPF QF d d λ==，记P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线； (2)当12λ=时，过点F 的两条互相垂直的直线与曲线C 分别交于A ，B ，C ，D 两点，弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点；(3)在（2）条件下，当M ，N ，F 三点可构成三角形时，求MNF S V 的取值范围．。

重庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是函数的导函数，则满足的函数是（ ）A.B.C. D.2.如图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么（）A.两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B.1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C.2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D.“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数，若系数可以发生改变，则改变后对函数的单调性没有影响的是（ ）A.B.C.D.b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高，他父亲身高，则小王身高的残差为（ ）A.B.C.D.()f x '()f x ()()f x f x '=()f x ()2f x x =()exf x =()ln f x x =()tan f x x=()32f x x bx cx d =+++,,b c d ()f x b c d cm y cm x 14ˆ2917yx =+167cm 170cm 3cm -2cm -2cm 3cm5.若函数，在时有极大值，则的极小值为（）A.0B.C.D.6.甲､乙､丙､丁､戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有（ ）A.48种B.96种C.108种D.120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（ ）A.1.2B.2.4C.2.88D.4.88.若样本空间中的事件满足，则（ ）A.B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.若随机变量服从正态分布，已知，则（）A.B. C.D.10.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数的图象关于点对称，为偶函数，则（ ）A. B.C.的图象关于直线对称D.的最小周期是111.设都是不小于3的整数，当时，，设集合，如果与不能同时成立，则（ ）A.若，则或B.若，则的可能取值为3或4或5C.若的值确定，则D.若为奇数，则的最大值为()()21e xf x x bx =++1x =-16e -()f x 3e --e -32e -Ω123,,A A A ()()()()()113223231221|,,|,|4356P A P A A P A P A A P A A =====()13P A A =1141727528X ()21,2N (0)P X p <=(0)1P X p >=-(2)1P X p <=-(02)1P X p <<=-(12)12P X p<<=-()f x ()f x 'R ()f x 31,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x '312f ⎛⎫=⎪⎝⎭'()()12123f x f x -++=()f x '1x =()f x ',M N 1,2,,1i M =⋯+{}1,2,,i x N ∈⋯(){}11,,1,2,,i i i i A x x x x i M ++=≠= ∣(),a b A ∈(),b a A ∈13M N x ===()()(){}3,1,1,2,2,3A =()()(){}3,2,2,1,1,34N =M N ()112M N N =-N M ()112N N -三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为__________.13.已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为，那么在50次运行中，平均准点班次约为__________次.14.已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈.（1）根据上述信息完成下列列联表；疗效疗法痊愈未痊愈合计服用白开水合计（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.附：参考公式：.0.10.050.012.7063.8416.63516.（15分）口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”.（1）求第1次至少抽到一个红球的概率；（2）设“一次抽取”中抽到红球的个数为，求的分布列与数学期望.17.（15分）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.6(1)x -5x 92%12,x x ()4ln a f x x x x=--()()1144f x f x +--…()3f a b a >-b 22⨯0.1α=()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++αx αX X 57.9%C KWh v km /h 40100km /h ~()1012ln 0.540C v v v v=++-/KWh（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？18.（17分）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答：12340.68270.95450.99730.99990.00150.45310.95510.9983（1）记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望；（2）当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？（3）若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示.19.（17分）设为自然对数的底数，已知函数.（1）当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程；（2）当实数满足且，求的最大值.53.35105700v⨯+-100km 94km /h Ga ()1,2,,17i x i = %171117i i x x ==∑s =X %()2,X N μσ~k ()k p P k X k μσμσ=-<<+k p 17k p kkp 17kp Z ()3,3X μσμσ∉-+(0)P Z >Z ()3,3X μσμσ∉-+20,0.82x s ==x s μσ()2,X N μσ~1x σ'1,,x s x σ'e ()2(ln 2)f x x =+()f x m 22eln 0,,,e m m m a b ∞⎛⎫+=∈+ ⎪⎝⎭2a b +=()()f a f b +2024年春高二（下）期末联合检测试卷数学参考答案一､选择题1-8BACB DBDA 第8题提示：，解得二､多选题9.AB10.BC11.ABD第11题提示：对A ，当，则，则，则可取1或2，由于不能同时成立，则或，A 成立，当时，则，设，则可以是或或，所以的值可以是，对于，因为不能同时出现，所以满足条件的数对至多，则，下归纳说明奇数时候能取等，已证，若时候存在一个长为的数列满足题意，不妨首项为1，设数列为，当时，在数列前面添加如下的项，（在中插空，交替插入）则新生成的数列共有项满足条件.则D 正确C 错误.三､填空题12.-613.4614.第14题提示：，由题意，是的根，则有，，有，又，即，()()()()()()()()()()23233233233231,P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+=+-∣∣∣∣()()()()()()()()1331333131115,1117P A A P A P A A P A P A A P A A P A P A ==-=-=-∣∣∣()()()()()()133111133115144714P A A P A A P A P A P A A P A ==-=-⨯=∣∣3N ={}1,2,3,1,2,3,4i x i ∈=()()(){}1223341,,,,,,3A x x x x x x x==2x ()(),,,a b A b a A ∈∈()()(){}3,1,1,2,2,3A =()()(){}3,2,2,1,1,34N ={}1,2,3,4ix ∈11x=A ()()(){}1,2,2,3,3,4()()()(){}1,2,2,3,3,4,4,1()()()()(){}1,2,2,3,3,4,4,1,1,3M 3,4,5D ()(),,,a b b a 2C N 2C N M ≤3N =21N k =-221C 1k -+2212C 11,,,k x x -+ 21N k =+2212C 11,,,k x x -+ 41k -1,2,3,2k 21,2k k +1,21,2,2,3,21,4,2,,2,21,21,2k k k k k k k k ++-+ 22212141C 1C 1k k k -+-++=+()3,e e 5∞-+-()222441(0)a x x a f x x x x x'-+=-+=>12,x x 240x x a -+=124x x +=120,Δ1640x x a a =>=->04a <<()()1144f x f x +≤--()()124f x f x +≤-，即有，又，即，令在是增函数，所以.四､解答题15.（13分）解：（1）根据上述信息完成下列列联表；疗效疗法痊愈未痊愈合计服用姜汤301040服用白开水352560合计6535100（2）零假设为：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1.16.（15分）解：（1）设第1次至少抽到一个红球”，则“第1次抽到2个球都是白球”，第1次抽取的样本空间包括个样本点，即，而，所以，即第1次至少抽到一个红球的概率是；（2）由题意知，且每次抽到红球个数的概率相等，1122124ln 4ln 4,ln 1a ax x x x a x x --+--≤-⇒≥e 4a ≤<()3f a b a >-34ln 1b a a a <+--()()()3244ln 1(e 4),310,g a a a a a g a a g a a=+'--≤<=+->[)e,43e e 5b <+-22⨯0H 220.1100(30251035) 2.93 2.70640606535x χ⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯0.1α=2χ0H “A =A =Ω26C 15=()Ω15n =()24C 6n A ==()63()1(11()155n A P A P A n =-=-=-=Ω350,1,2X =()()()21124242222666C C C C 2810,1,2C 5C 15C 15P X P X P X =========即的分布列为：012所以17.（15分）解：（1）由有，令，得所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低（2）设司机的工资为元，则行车的总费用为，由题意知时，，得，即司机每小时的工资为150元.18.（17分）解：（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973，镓含量的概率为0.0027，；（2）由估计得，，发现最小值，该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进；（3）设余下的数据的平均数，则，X X P25815115()8121215153E X =⨯+⨯=()1012ln 0.540C v v v v=++-()22220242v v C v v+-='()0C v '=44km /h v =44km /h 100av()510121003.3510100ln 0.5405700F v v v a v vv ⨯⎛⎫=++-++- ⎪⎝⎭()()221000.54362v v aF v v '+--=94km /h v =()0F v '=150a =()3,3X μσμσ∈-+()3,3X μσμσ∉-+()17(0)1010.997310.95510.0449P Z P Z ∴>=-==-=-=()()17,0.0027,170.00270.0459Z B E Z ∴~∴=⨯=20,0.82x s ==20,0.82μσ==()()3,317.54,22.46μσμσ∴-+=()173,3μσμσ∉-+∴()173,3μσμσ∉-+1712116i i x μ==∑1117, 16x x σμ'-=∴=即.19.（17分）解：（1），设函数的图象上一点为，则该点处的切线为，即切线为，解得或此时或切线的方程为或；（2）设，则，再设，则，由得在上单调递增，同理得在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，容易得到当时，，当时，，时，的最大值为，即，由，得，而，σ'∴=======σ'=()()2ln 2x f x x+=' ()f x ()()200,ln 2x x +()()()200002ln 2ln 2x y x x x x +-+=-()022000002ln 2ln 2ln ,ln 2ln 0x y x x x x x x +=++∴+=01x =21,e∴()002ln 24x x +=0,∴4y x =0y =()224ln e g x x x =-()22ln 4e x g x x '=-()ln x h x x =()21ln xh x x-='()0h x '>()h x ()0,e ()h x ()e,∞+()g x '()0,e ()e,∞+()2e0,g '=∴()2e,e x ∈()0g x '>()2e ,x ∞∈+()0g x '<[)e,x ∞∴∈+()g x ()2e 0g =()2240,ln e g x x x ≤≤eln 0m m +=ln 0,01m m <∴<<()()()222e 2410,e 0e eg g '-=-<=>'必存在，使得，且当时，，当时，，即在上单减，在上单增，而，当时，，当时，，即，当且仅当时等号成立，，故当时，，即当时，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，的最大值为8.∴()01,e x ∈()00g x '=()20,x m x ∈()0g x '<()0,e x x ∈()0g x '>()g x ()20,m x ()0,e x ()()()22222244ln eln eln 0e eg mm m m m m m =-=+-=∴()2,e x m ∈()0g x <∴()2,x m ∞∈+()0g x ≤224ln ex x ≤2e x =()()222(ln 2)ln e f x x x =+= 22e x m >()22224ln e e 4e x x x ≤=22,e m x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()224e 4e f x x x ≤=1x =()()()22,,,4448e m a b f a f b a b a b ∞⎛⎫∈+∴+≤+=+= ⎪⎝⎭1a b ==()()f a f b ∴+。

高二数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率 为A ．B ．C ．D ．2.在△ABC 中，cosAcosB>sinAsinB ，则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 3.设点P(x,y)(xy≠0)是曲线上的点,下列关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．的值与1的大小关系不确定4.棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点M,N 分别在线段AB 1,BC 1上,且AM=BN,给出以下结论: ①AA 1⊥MN②异面直线AB 1,BC 1所成的角为60° ③四面体B 1 D 1CA 的体积为④A 1C ⊥AB 1,A 1C ⊥BC 1, 其中正确的结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（ ） A ．若，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则6.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ） A ．或 B ．或C ．D ．7.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A．2 B．4 C． D．8.已知集合，则（）A． B． C． D．9. ( )A． B． C． D．10.已知四个实数成等差数列五个实数成等比数列，则的值等于()A． B． C． D．11.若且，则的最小值是（）A．6 B．12 C．16 D．2412.一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．B．C．D．13.下列命题错误的是: （）A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”.B．“”是“”的充分不必要条件.C．若为假命题，则均为假命题.D．对于命题14.一圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径（）A． B． C． D．15.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A． B． C． D．16.已知，则（）A． B． C． D．17.有一匹叫的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天,在30场下雨天的比赛中，赢了15场．如果明天下雨，参加赛马的胜率是( )A． B． C． D．18.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（）A．B．C．D．19.已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，点M，N分别是对角线BD，AC的中点，则MN=" "A．2 B． 5 C． D．20.设为函数的导函数，且则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定二、填空题21.阅读图4的程序框图，若输入m=4,n=3,则输出a=______,i=________。

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ， 则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高二数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上.选择题部分（共58分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量，且，则（ ）A.11B.-11C.D.3.已知是实数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（）A.B. C. D.5.函数的图象为（）A. B.C. D.122i,12i z z =+=-+12z z -()()1,2,3,a b x x ==-()2a a b ⊥+ x =112112-x 152x x +…2x …()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()ln cos x xf x x=6.已知随机变量，且，则（ ）A.0.4B.0.2C.0.8D.0.17.高二某班男生20人，女生30人，男､女生身高平均数分别为，方差分别为170､160，记该班全体同学身高的平均数为，方差为，则（ ）A. B.C.D.8.已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（ ）A.B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.在正方体中，（ ）A.B.直线与所成角为C.平面D.直线与平面所成角为10.投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件，“第二次正面向上”为事件，“至少有一次正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）A.与相互独立B.与互斥C..D.11.在中，已知，则（ ）A.B.C.的外接圆直径为10D.的面积为非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()1,4X N ~()()0.20.1P X a P X ==……19a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭170cm 160cm ､X 2s 2165,165X s >>2165,165X s <>2165,165X s ><2165,165X s <<[)0,1x ∈()33xf x =-()f x R ()1f x +()2f x +()3log 300f (),0∞-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,∞+1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD CD π411A C ∥1AB C1BC 11BB D D π6A B C A B A B ()23P BC =∣()()()()P C P A P B P AB =+-ABC ()4cos 3sin 4sin 9,6B B C A AC ++-==A B >2AB BC=ABC ABC I212.已知集合，集合，则__________.13.若，则__________.14.在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.（本题满分15分）已知分别为三个内角的对边，且.（1）证明：；{}1,2,3,4,5,6A ={14}B x x =∈-<<R∣A B ⋂=5250125(21)x a a x a x a x +=+++⋯+2a =A BCD -,AC AB BD AB ⊥⊥10,3AC BD AB ===A BCD -661π,409π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦A BCD -[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12a [)6,8P ABCD -ABCD PAD 2,AB E F =､AD BC ､EG PF ⊥G EG ⊥PBC 3cos 4PAB ∠=-PAB PCD ,,a b c ABC ,,A B C ()()sin 22cos sin A B a cA B Ab++-+=22b a ac -=（2）求的最小值.18.（本题满分17分）已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值的表达式；（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19.（本题满分17分）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的.（1）若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率；（2）现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，.（i ）求；（ii ）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望.cos aA b+()1eln x f x ax x x -=--2a =()f x ()()1,1M f ()f x []1,3()g a ()f x a (),X B n p ~()C (1)k k n kn P X k p p -==-n m m 12,,,m A A A 12,,,m p p p 120,1i m p p p p +++= …1A 2A 3A 4A 1234,,,p p p p n 123,,p p p 4p 0.15,0.70,0.10n i A ,1,2,3,4i X i ={}11223344,,,B X k X k X k X k =====()1,2,3,4i k i =1233k k k k n +++=()P B 22X k =1X金华十校2023-2024学年第二学期调研考试高二数学卷评分标准与参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案D D B C C A B C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.题号91011答案ACD ACD BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.4014.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1）依题意可得，解得又，即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时.（2）由频率分布直方图可知和三组的频率的比为所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为记中的3人为中的2人为中的2人为，从这6人中随机选出2人，则样本空间共15个样本点；设事件选出的2人都来自，则共3个样本点，所以.16.解：（1）如图，连接，在中，，在正方形中，，又因为平面，所以平面.又因为，所以平面，而平面，所以.因为平面，所以平面.{}1,2,3⎡⎤⎣⎦()0.020.050.10.1821a ++++⨯=0.15a =()30.0250.1870.1590.1110.052 6.92⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=[)[)6,88,10､[]10,120.15:0.1:0.053:2:1=3,2,1,[)6,8[)123,,,8,10a a a []12,,10,12b b 1c {}121311121123212221313231121121Ω,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a a a b a b a c a b a b a c b b b c b c =:A [)6,8{}121323,,A a a a a a a =()31155P A ==,PE EF PAD PE AD ⊥ABCD EF AD ⊥PE EF ⊂､,PEF PE EF E ⋂=AD ⊥PEF BC ∥AD BC ⊥PEF EG ⊂PEF EG BC ⊥BC PF ⊂､,PBC BC PF F ⋂=EG ⊥PBC（2）因为，所以，则，则如图以为原点，分别为轴，过且垂直为轴建系，则，则，设为平面的法向量，则，取，同理平面的法向量.所以，故平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.解：（1）因为所以，即；（2）因为，又，所以，因此，于是，3cos 4PAB ∠=-PB ==PF ==cos PEF ∠==E ,EA EF ,x y E ABCD z ()()1,0,0,1,2,0A B ()()31,0,0,1,2,0,0,2G C P ⎛--- ⎝()30,2,0,1,,2AB PA ⎛== ⎝ ()1111,,n x y z = PAB 11110,230,y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩)12n =PCD )22n =-12341cos ,77n n -==-PAB PCD 17()()sin 22cos sin A B A B A+-+()()()sin 2cos sin sin sin sin A B A A B AB AA++-+==sin sin B b a cA a b+==22b a ac -=222cos 2b c a A bc+-=22b a ac -=cos 2c a A b +=2cos b A a c =+()2sin cos sin sin sin sin B A C A A B A =+=++即，故，因为，所以，即，所以，当且仅当时，“=”成立.故.18.解：（1）易知函数的定义域为.当时，.，所以在点处的切线斜率，又，即点坐标为，所以点处的切线方程为.（2）因为.所以，当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减，故函数在区间上的最大值为.当时，令，则在上单调递增，且当时，，当时，，所以在上有唯一的一个零点.令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得()sin sin B A A -=2B A =ππ3C A B A =--=-π03A <<1cos 12A <<sin 1cos cos cos sin 2cos a A A A A b B A+=+=+…cos A =cos aA b+()f x ()0,∞+2a =()12eln ,0x f x x x x x -=-->()()111112e 2e 112e x x x f x x x x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭'M ()()011112e 21k f ⎛⎫==+-⎝'= ⎪⎭()012e 101f =--=M ()1,1M ()21121y x x =-+=-()1e ln ,0xf x ax x x x -=-->()()11111ee 11e x x xf x a ax x a x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭'0a …()0f x '<()0,∞+()f x ()0,∞+()f x []1,3()01e 101f a a =--=-0a >()11e,0x g x a x x-=->()g x ()0,∞+0x →()g x ∞→-x ∞→+()g x ∞→+()0g x =()0,∞+11e0x a x--=()000x x >-+单调递减单调递增所以函数在区间上的最大值为，由，有：当时，；当时，.故（3）由（2）可知，当时，在上单调递减，故此时函数至多有一个零点，不符合题意.当时，在时，单调递减，在时，单调递增；且，所以，①又时，，当时，为了满足有两个零点，则有.②对①两边取对数可得，③将①③代入②可得，解得.所以实数的取值范围为19.解：（1）记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个为事件，则，（2）（i ），x()00,x ()0,x ∞+()f x '()f x ()f x []1,3()(){}max 1,3f f ()()211,33e 3ln3f a f a =-=--22ln303e 1a +<<-()()11g a f a ==-22ln33e 1a +-…()()233e 3ln3g a f a ==--()2222ln31,3e 12ln33e 3ln3,.3e 1a a g a a a +⎧-<⎪⎪-=⎨+⎪--⎪-⎩…0a …()f x ()0,∞+()f x 0a >()00,x ()f x ()0,x ∞+()f x 0101e0x a x --=0101e x a x -=0x →()f x ∞→+x ∞→+()f x ∞→+()f x ()010000e ln 0x f x ax x x -=--<00ln 1ln a x x =--()010000eln ln 0x f x ax x x a -=--=<1a <a 01a <<M ()12212413213C C C 40.1530.710.10.0882P M p p p ==⨯⨯⨯⨯⨯=(){}()11223344,,,P B PXk X k X k X k =====331122441121231234C C C C k k k k k k k k n n k n k k n k k k p p p p ------=⋅⋅⋅（ii ）若把事件作为一方，则作为另一方，那么随机变量分布列为，即服从二项分布列为，同理可知：.所以.所以在给定的条件下，随机变量服从二项分布，即所以此时，随机变量的数学期望为()()()()()()312411212312341112212334!!!!!!!!!!0!!k k k k n k n k k n k k k n p p p p n k k n k k k n k k k k k ------=⋅⋅⋅⋅-⋅-----⋅331241241234123412341234!111!!!!!!!!!k k k k k k k k n n p p p p p p p p k k k k k k k k =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅1A 1234A A A A =++1X ()112341,P X k X X X n k =++=-1X ()()()1111111!1!!n kk n P X k p p k n k -==⋅-⋅-()()()22222222!1!!n k k n P X k p p k n k -==⋅-⋅-()()()1212112212121212!,1!!!n k k k k n P X k X k p p p p k k n k k --===⋅⋅--⋅⋅--()()()1122112222,P X k X k P X k X k P X k ======∣()()()()122122121222121222!!1/1!!!!!n k k n k k k k n n p p p p p p k k n k k k n k ---=⋅⋅--⋅-⋅--⋅-()()11221111222!1!!11k n k k n k p p k n k k p p ---⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅----⎝⎭⎝⎭22X k =1X 1122,1p X B n k p ⎛⎫~- ⎪-⎝⎭1X ()1221p n k p -⋅-。

高二数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知等比数列的公比为正数，且=，=1，则= （）A． B． C． D．22.已知函数，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是（）A．B．[－1,1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．{2}∪[－1,1]3.的展开式中的一次项系数是（）A．5 B．14 C．20 D．354.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A． B．1 C． D．5.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程是（）A． B． C． D．6.已知正项数列中，,则（）A． B． C． D．7.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是（）A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆8.设直线，，若，则（）A． B．1 C． D．09.李明所在的高二（5）班有51名学生，学校要从该班抽出5人开座谈会，若采用系统抽样法，需先剔除一人，再将留下的50人平均分成5个组，每组各抽一人，则李明参加座谈会的机会为（）A． B． C． D．10.已知数列满足（）A． B． C． D．11.在线性回归模型中，下列说法正确的是( )．A．是一次函数；B．因变量是由自变量唯一确定的；C．因变量除了受自变量的影响外，可能还受到其它因素的影响；这些因素会导致随机误差e的产生；D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生。

12.直线互相垂直，则a=A．0 B． C．或0 D．1或013.下列命题中正确命题的个数为 ( )（1）平面内有且仅有一条直线和这个平面外的一条直线垂直（2）经过一点和已知直线垂直的平面有且仅有一个（3）经过平面外一点和这个平面平行的直线有且仅有一条（4）经过平面外一点有且仅有一条直线和这个平面垂直A．3 B．2 C．1 D．014.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A． B． C． D．15.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面⊥底面，给出下列四个结论：①；②；③直线与平面所成的角为；④．其中正确的结论是A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④16.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为，值域为{1,3}的同族函数有()．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17.已知曲线与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，3）18.设等比数列的公比，前项和为，则的值为（）A． B． C． D．19.已知：，<0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．20.用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数B．假设a，b，c都是偶数C．假设a，b，c至少有两个偶数D ．假设a ，b ，c 都是奇数二、填空题21.过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是__________．22.若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 23.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－a ＋＝0的两个实根，那么的最小值为________，最大值为________．24.已知数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的正整数n ，当n≥2时都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为__________．25.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 种选法（用数字作答）．26.从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和大于l 的概率是 . 27.在直三棱柱中，，延长至点，使，连接交棱于点.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．（1）写出的坐标； （2）求异面直线与所成角的余弦值．28.曲线在点（1，3）处的切线方程为 ．29.（2015秋•温州校级月考）已知一个球的表面积和体积相等，则它的半径为 ．30.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1-0.14．其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．三、解答题31.设函数是定义在R 上的非常值函数，且对任意的有.（1）证明：；（2）设，若在R 上是单调增函数，且，求实数的取值范围.32.已知命题p:方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x 2＋4（m －2）x ＋1＝0无实根．若“p 或q”为真，“p 且q”为假，求m 的取值范围． 33.已知椭圆的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线与椭圆交于两点．问是否存在常数，使得以为直径的圆过坐标原点,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．34.已知，求的最小值.35.已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求c 的取值范围参考答案1 .B【解析】试题分析：根据等比数列的公比为正数，且=，则根据等比中项性质可知,=1，则=，因此可知选B.考点：等比数列点评：主要是考查了等比数列的等比中项的运用，属于基础题。

第 1 页共 4 页莆田一中2022-2023学年第一学期期末试卷高二数学第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知f (x )=alnx −12x 2+x ，且f ′(1)=3，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．直线l 1:ax +y −1=0，l 2:(a −2)x −ay +1=0，则“a =−2”是“12//l l ”的（ ）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．已知圆的方程为2260x y x +−=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的最短弦长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．等差数列{a n }中，公差12d =，且1359960a a a a ++⋅⋅⋅+=，则123100a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．145B ．150C ．170D ．1205．在正项等比数列{a n }中，a 3、a 7是函数f (x )=13x 3−4x 2+4x −1的极值点，则a 5＝（ ） A ．2−或2B ．2−C．D ．26．已知1F 、2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．47．已知8ln 6a =，7ln 7b =，6ln 8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>第 2 页 共 4 页8．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆2222x y a b +=+，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆()22:()()4R C x a y a −+=∈上存在点P ，使得过点P 可作两条互相垂直的直线与椭圆2213x y +=相切，则实数a 的取值范围为（ ）A ． []0,4B ．[]4,4−C ．[]0,2D ． []22−,二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a 的通项公式为a n =(−1)n ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列数列一定成等比的有（ ） A ．数列{}1n n a a ++ B ．数列{}2n a C ．232,,n n n n n S S S S S −−D ．数列{}1n n a a +⋅10．任取一个正整数，若是奇数，将该数乘以3再加上1；若是偶数，将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如：取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：数列{a n }满足：1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时.若a 2=m （m 为正整数），a 6=1，则m 所有可能的取值为（ ） A ．2B ．5C ．16D ．3211．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，则下列说法错误．．的是（ ）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为4 B ．椭圆C 的离心率为12C ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3D ．椭圆C 上不存在点P ，使得120PF PF ⋅=第 3 页共 4 页12．已知函数()2ln 2f x x x mx =−，则下列说法正确．．的是（ ） A ．当0m ≤或12em =时，()f x 有且仅有一个零点 B ．当0m ≤或14m =时，()f x 有且仅有一个极值点 C ．若()f x 为单调递减函数，则14m > D ．若()f x 与x 轴相切，则12em =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点P (2,−2)，其纵截距为正，且纵截距比橫截距大1，则直线l 的方程为 ．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线与过2F 的直线2l 交于P 点，1290F PF ∠=，且点P 在椭圆上．则椭圆C 的离心率=e __________．15．点P 是曲线x x y ln 2−=上任意一点,且点P 到直线y =x +a 的距离的最小值是√2，则实数a 的值是 ．16．已知点(,)P m n 在圆22:(2)(2)9C x y −+−=上运动，则m +n 的最大值为 ，的取值范围为 ．四､解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1) 已知圆22110C x y +=：与圆22222140C x y x y +++−=：．证明圆1C 与圆2C 相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；(2) 求圆心既在第一象限又在直线3x −y =0上，与x 轴相切，且被直线x −y =0截得的弦长为2√7的圆的方程．第 4 页 共 4 页18．(12分) 设函数f(x)=x +ax 2+blnx ，曲线y =f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2．(1) 求a 、b 的值； (2) 证明：f(x)≤2x －2．19．(12分) 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a 、3a 的等差中项．(1) 求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．20． (12分) 设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足_________． 条件①：111n n a a n n +=++； 条件②：23n nn S a +=； 条件③：12n n n n T a T n ++=． 请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列13n n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和34nM <． （参考公式．．．．：22221123(1)(21)6n n n n ++++=++）21．(12分) 已知点A(−2,0)、B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为43−．记M 的轨迹为曲线C ．(1) 求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2) 经过点P(−1,0)的直线l 与曲线C 交于C 、D 两点. 记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1−S 2|的最大值．22．(12分) 已知函数()e 1,R x f x ax a =−−∈． (1)求函数()f x 的极值；(2)若1是关于x 的方程()()2R f x bx b =∈的根，且方程2()f x bx =在(0,1)上有实根，求b 的取值范围．莆田一中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学姓名： 班级： 考场/座位号：正确填涂缺考标记注意事项1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。

禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.1. （5分）已知集合 M={1, 2, 3}, N={2, 3, 4},则下列式子正确的是（ A. M?NB. N?MC. MAN={2, 3} D. M U N={1 , 4}C.向左平移单位B.向右平移单位 ……冗、,D.向右平移亏单位7 .下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出y关于x 的线性回归方程为 ? 0.7x 0.35 ,那么表中t 的值为B. 3.158 .已知 f (x) = (x — m) (x — n) +2,并且 m, n, a, 3的大小关系可能是（2.已知向量 a=(-b l)f 正⑵ -3),则 2%-b 等于（） A. (4, - 5) B. (—4, 5) C. (0, T) D. (0, 1) 3.在区间（1, 7）上任取一个数，这个数在区间 5, 8）上的概率为4.要得到函数B-i7Ty=sin （4x-F-）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象 5.已知两条直线m, n,两个平面鹏 8给出下面四个命题:①m H n, m± a? n± a ② a// & m? a, n?仅 m // n @ aJ & m " n, m± ? n± 3 其中正确命题的序号是 A.①③B.②④C.①④D.②③ 6.执行如图所以的程序框图，如果输入 a=5 ,那么输出 n=（A. 2B. 3C. 4D. 5A.向左平移 ，单位x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 3 a 、 D. 4.53是方程f （x ） =0的两根，则实数A. a< mvnv 3 B- m< a< 3< n C. m< a< n< 3 D. a< mv 3< n 9 .已知某锥体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）10 .在等月ABC 中，/BAC=90°, AB=AC=2,同=2而I,菽=3凝，则前■刘的值为（）Dy11 .已知一个三角形的三边长分别是 5, 5, 6, 一只蚂蚁在其内部爬行， 若不考虑蚂蚁的大小,13.若直线 2X + (m+1) y+4=0 与直线 mX+3y+4=0 平行，则 m=y<l15 .若变量x 、y 满足约束条件 y+y>口 ,则z=x-2y 的最大值为bkx 3,x 016 .已知函数f X 1k，若方程f f X 2 0恰有三个实数根，则实数k 的-,x 02取值范围是三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC. (I) 求B 的大小；(n) 若 b=" A=T\求^ ABC 的面积.r . ..-18 .已知：a 、b 、c是同一平面上的三个向量，其中a=(l, 2).A. 2cm 3B. 4cm 3C. 6cm 3D . 8cm 3B.则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2的概率是（B. 1-C. 1 -12.已知函数f （x ）= ,X 1 , X 2 , X 3, X 4, X 5 是方程 f (x) =m 的五个不等的实数根，则 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5的取值范围是（A. (0,同 B .（一兀，兀） C. (lg ，兀 1) D. ( 为 10)二、填空题（每题 5分，，茜分20分）14.已知sinOL IcosCl①若|C 1=2 j5,且c // a,求C的坐标.… .. 5②右|b |=——,且a +2 b与2 a -b垂直，求a,与b的夹角219.设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知S3=6, a4=4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若bn=3 — 3 %,求证：—+---+ , , •+ ——<—.b L b2 L 420为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15〜65岁的人群抽样了n人，回答问题15 25 35 45 55 e5 学龄(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2, 3, 4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.21.在三柱ABC-A i B i C i中，△ ABC是边长为2的正三角形，侧面BB i C i C是矩形，D、E分别是线段BB i、AC i的中点.(i)求证：DE//平面A i B i C i；(2)若平面ABC，平面BB i C i C, BB i=4 ,求三棱锥A- DCE的体积.22.已知圆C: x2+y2+2x- 3=0.(i)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A (xi, yi)、B (X2, y2)两点, 求证：1 :工为定值;町K2(3)斜率为i的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使^ CDE的面积最大.禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷参考答案选择题（每小题分，共分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCBCBABAACD、填空题（每小题 5分，共12分）,、M A TV - n 2n 兀 兀 n 解：A =——，，C =兀- =———4 q 3 3 2••,|b=V3, B =-^-JbsinC V5 ^/218.解：①设 c (x, y) • •• c // a 且|C |二2 J52x y 0•• 2 2 x 2 y 2 202 c =(2,4)或 c =(-2, -4).13.-3 14. — 15. 3 16.1,17 (I)解：:2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC,由正弦定理得, 2b 2= (2a+c) a+ (2c+a) c, 化简彳导,a 2+c 2B=2TT...sinC=sin (2L 』)=、3 「 JT由正弦定理得,SliTT-COS-^-COS-SLIT^ bI sinC sinBcsinBsin号X 炳乂配yXsin-TT 3^/3b 2+ac=0.・•.△ABC 的面积②「( a+2b ) ± (2a-b)，( a+2b) (2a-b) =0,-r -to- -► —*■• -2a 2+3a b-2 b 2=0• •.2|a |2+3| a | b||cos -2|b |2=02X 5+3X v -'5 X — cos -2X - =0, cos = -1 2 4打九 2k Tt, 长［0,兀］「. 0 =Tt.9 CL— 2520解：（1）由频率表中第 4组数据可知，第 4组总人数为 —再结合频率分布直方图可知n ----------- 1000.025 10a 100 0.01 10 0.5 519.解：（1）设公差为 d,则解得=1-a n =n. (2)证明：b n =3—3 、=3n+1— 3n=2?3n,0.36 (1分)•｝是等比数列.，q1b 100 0.03 10 0.9 2乙x 180.9, y — 0,220 15(2)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，所以利用分层抽样在 54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:(3)设第2组2人为：A 1, A 2；第3组3人为：B 1, B 2, B 3；第4组1人为：C 1 .则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A 2), (A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 1,B 3), (A 1C1),(A 2,B 1), (A 2, B 2), (A 2,B 3), (A2,C I ), (B I ,B2), (B I ,B3), (B 1,C 1), (B 2,B 3), (B2,C I ), (B 3,C I )共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件, ……，一，…— …31，所抽取的人中恰好没有第 3组人的概率是：P - -155贝U 由EF 是△ AA 1C 1的中位线得 EF // AA 1, 又 DB 1//AA 1, DB 1卷AA 1 所以 EF // DB 1, EF = DB 1所以DE //平面A 1B 1C 1(n)解：因为E 是 AC 1 的中点，所以 V A DCE =V D ACE =2过A 作AH ，BC 于H 因为平面平面 ABC ，平面BB 1C 1C,所以AHL 平面BB 1C 1C,所以 V A DCE =V D —ACE =「5二「7 (4)第2组:18 54 2人;第3组:27 54 3人;第4组:9 54…(8分)21. (1)证明：取棱A i C i 的中点F,连接EF 、B 1F…(10分)…(12分)故四边形DEFB 1是平行四边形，从而 DE// B1FEF122.解：（1）圆 C: x 2+y 2+2x-3=0,配方得（x+1） 2+y 2=4,则圆心C 的坐标为（-1,0）,圆的半径长为 2;（2）设直线l 的方程为y=kx,联立方程组工卜了 +2x3=。

高二数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.函数的图像上关于原点对称的点有（ ）对A ．0B ．2C ．3D ．无数个 2.等差数列的前n 项和为S n ，若则（ ）A ．130B ．170C ．210D ．260 3.若命题p假,且命题为假,则( )A ．p 为假B ．q 为真C ．q 为假D ．不能判断q 的真假4.已知，且则一定成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．5.集合A={x|x 2+2x ＞0}，B={x|x 2+2x ﹣3＜0}，则A∩B=（ ）A ．（﹣3，1）B ．（﹣3，﹣2）C ．RD ．（﹣3，﹣2）∪（0，1） 6.一个家庭有两个小孩，则基本事件空间是 （ ） A ．{（男，男），（女，女）}B ．{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}C ．{（男，女），（女，男）}D ．{（男，男），（男，女），（女，女）} 7.复数的虚部为（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA ．1B ．－1C ．D ．8. 已知，猜想的表达式（ ） A ．； B ．； C ．； D ．.9.执行如下图所示的程序框图,输出的结果是( )A．11 B．12 C．13 D．1410.在底面是平行四边形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B． C． D．11.＝( )．A．2－iB．1－2iC．－2＋iD．－1＋2i 12.已知在上的单调递增，则（）A．且B．且C．且D．且13.下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“”的否定是“”C．当时，幂函数上单调递减D．“”是“为偶函数”的充要条件14.下列可以用来分析身高和体重之间的关系的是（）A．残差分析 B．回归分析 C．等高条形图 D．独立性检验15.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．16.在复平面上，复数的对应点所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17.三角形全等是三角形面积相等的A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18.经过点P（4，-2）的抛物线标准方程为（）A．y2=x或x2=-8yB．y2=x或y2=8xC．y2=-8xD．x2=-8y 19.如果执行下面的程序框图3，输入n=6,m=4，则输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．12020.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与圆C相切，则实数的取值个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题21. 是双曲线右支上一点，、分别是左、右焦点，是三角形的内心（三条内角平分线交点），若，则实数的值为22.已知数列｛a n ｝的前n 项和，那么它的通项公式为a n =_________23.若抛物线y 2=4x 上一点P 到焦点F的距离为10，则点P 的横坐标为_________24.如右图所示，执行程序框图，若输入N =99，则输出的_________.25.世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是_________（参考数据：）． 26.已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是_______．27.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生到之间取整数值的随机数, 用表示下雨，用表示不下雨，再以每三个随机数作为一组, 代表这三天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下组随机数:据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.28.已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根．若“∨”为真，“∧”为假，则实数的取值范围是 ．29.随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=_____. 30.已知F 是抛物线的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P （3,1）是一个定点，则的最小值是 ． 三、解答题31.已知函数.（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间.32.已知，设p：函数在上单调递减，q：曲线y＝与x轴交于不同的两点.若“p且q”为假，“q”为假，求的取值范围33.如图，已知圆，点,是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与（1）中轨迹相交两点，直线的斜率分别为（其中），的面积为，以为直径的圆的面积分别为，若依次构成等比数列，求的取值范围.34.已知函数．（1）当在点处的切线方程是y=x+ln2时,求a的值．（2)当的单调递增区间是（1，5）时，求a的取值集合．35.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心、为半径。

一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） (1,3,5)P A ． B ． (1,3,5)--(1,3,5)--C ． D ．()1,3,5--()1,3,5---【答案】C【分析】直接根据空间点关于轴对称的结论即可得到答案.x 【详解】根据空间点关于轴对称，则轴上坐标不变，轴上坐标取相反数， x x ,y z 故点P 关于x 轴的对称点的坐标是. ()1,3,5--故选：C.2．已知直线，且，则实数a 的值为（ ） ()1: 4 10 l x a y +-+=2: 5 50l a x y ++=12//l l A ．5 B ．1 C ．5或 D ．1-1-【答案】D【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.【详解】直线，，由解得或， ()1: 4 10 l x a y +-+=2: 5 50l a x y ++=(4)50a a --=5a =1a =-当时，直线与重合，不符合题意， 5a =1: 10 l x y ++=2: 5 5 50l x y ++=当时，直线与平行， 1a =-1: 5 10 l x y -+=2: 5 50l x y --=所以实数a 的值为. 1-故选：D3．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（ ） A ．42 B ．22 C ．20 D ．15【答案】B【分析】根据给定的信息，利用组合知识分类列式求解作答.【详解】依题意，求电平信号种数可以有3类办法，电平信号的6个数字中有4个0，有种， 46C 电平信号的6个数字中有5个0，有种，电平信号的6个数字中有6个0，有种，56C 66C 由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为.456666C C C 156122++=++=故选：B4．已知P （B ）=0.3，，，则=（ ） ()0.9P BA =∣(0.2PB A =∣()P A A ．B ．C ．D ．671713110【答案】A【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解. ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅()P A 【详解】由全概率公式可得： ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅可得，解得：. ()()()0.30.910.2P A P A =⨯+-⨯()17P A =则. 6()7P A =故选：A.5．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A ；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B ，则A ，B 的值分别为（ ） A ．，5 B ．，10 C ．，5 D ．，10 15128151281525615256【答案】B【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概B 率公式计算值即可.A 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得,X ()1~10,2X B 门大炮总得分的期望值为，10∴1102102B =⨯⨯=， 373101115(3)C 122128A P X ⎛⎫⎛⎫∴===⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.6．羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为34（ ） A ．B ．C ．D ．13252345【答案】A【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可.【详解】由甲获胜的概率为，33133313274444444432⨯+⨯⨯+⨯⨯=而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为，133313944444432⨯⨯+⨯⨯=所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为. 927132323÷=故选：A7．3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm （数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）A B C D 【答案】C【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， C 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， OC x O OC y 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. A B 由题意可知，设，则，3,4,8A B A B x x y y ==-=()3,A m ()4,8B m -设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为22221(0,0)x y a b a b -=>>3=所以，所以方程可化简为，b =()22288*x y a -=将和的坐标代入式可得，解得， A B ()*()222272812888m a m a ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩12m a ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩则笔筒最细处的直径为. 2a =故选：C.8．已知，，满足，则的最小值为（ ） ()0,0O ()3,0A (),P a b2PO PA =214a b +-A B ．C ．D ．4210-【答案】D【分析】由可整理得到点轨迹方程，设，，可将所求式子化2PO PA =P 42cos a θ=+2sin b θ=，由此可得最小值.()10θϕ+-【详解】由得：，整理可得：， 2PO PA =()222243a b a b ⎡⎤+=-+⎣⎦()2244a b -+=则可令，，，42cos a θ=+2sin b θ=[)0,2πθ∈（其中）， ()21442cos 4sin10a b θθθϕ∴+-=+++-1tan 2ϕ=则当时，()sin 1θϕ+=min 21410a b +-=-故选：D.二、多选题9．已知方程，其中，则（ ） 221mx ny +=220m n +≠A ．时，方程表示椭圆 0mn >B ．时，方程表示双曲线 0mn <C ．时，方程表示抛物线0n =D ．时，方程表示焦点在轴上的椭圆 0n m >>x 【答案】BD【解析】当时，表示双曲线，时表示焦点在x 轴上的双曲线，0mn <22+111x y m n =0,0m n ><表示焦点在y 轴上的双曲线；当时表示焦点在y 轴上的椭圆，当时表0,0m n <>0m n >>0n m >>示焦点在x 轴上的椭圆.【详解】若，则不表示椭圆，故A 错误；0,0m n <<221mx ny +=若，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若，则表示焦0,0m n ><22111x y m n -=-0,0m n <>22111y x n m -=-点在y 轴上的双曲线，故B 正确；当时，若，则方程表示两条垂直于x 轴的直线，若则不表示任何图形，故C 错0n =0m ≠0m =误；时，，表示焦点在x 轴上的椭圆，D 正确. 0n m >>110n m<<22111x y m n +=故选：BD【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题. 10．下列四个关系式中，一定成立的是（ ）A ．3477C C =B ．222334100101C C C C ++⋅⋅⋅+=C ．()111A A m m n n n +++=D ．若m ，，且，则 *n ∈N 2023m n <≤20232023C C m n<【答案】AC【分析】根据组合数性质与排列数性质判断.【详解】由组合数性质知一定成立，A 正确；3477C C =，B 错；222222223341003341033041001401+111C C C C C C C C C C C ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=-=-=+=- ，C 正确；()()()()()()()()111A 11111111A m m n n n n n n n m n n n n m ++⎡⎤+=+--+=+-+-++=⎣⎦ 由组合数性质知且，当时，递增，当时，递*n ∈N 2023n ≤11012n ≤≤2023C n 10122023n ≤≤2023C n减，因此D 错． 故选：AC ．11．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与X ()103P X ==()E X ()D X X 方差，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． ()()1P X E X ==()324E X +=C ． D ． ()324D X +=()49D X =【答案】AB【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此X 2(1)3P X ==()E X ()D X 分别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量服从两点分布，其中，，X 1(0)3P X ==2(1)3P X ∴==，122()01333E X =⨯+⨯=，2221222()(0)(1)33339D X =-⨯+-⨯=在A 中，，故A 正确；(1)()P X E X ==在B 中，，故B 正确； 2(32)3()23243E X E X +=+=⨯+=在C 中，，故C 错误； 2(32)9()929D X D X +==⨯=在D 中，，故D 错误． 2()9D X =故选：AB ．12．已知正方体中，AB =2，P 为正方体表面及内部一点，且，1111ABCD A B C D -1AP AB AD λμ=+其中，，则（ ）[0,1]λ∈[0,1]μ∈A ．当时，PD 1λμ+=B ．当时，存在点P ，使得 21λμ+=AP BD ⊥C ．当时，直线AP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围是 12μ=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．当时，三棱锥的体积为定值 12λ=1P BC D -【答案】ABD【分析】当时,点P 在上，求出的最小值判断A ，取的中点，连接1λμ+=1BD PD AB K ，是上的动点，平面，可判断B ，取的中点分别为111,,KD AC AC P 1KD BD ⊥11ACC A11,AD BC ,N M ，当时，点P 的轨迹是NM 上的动点，可求直线AP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围12μ=判断C ，取AB ，的中点G ，H ，当时，点P 的轨迹是GH 上的动点，可证平面11D C 12λ=//GH ，判断D.1BC D 【详解】当时,点P 在上，如图，1λμ+=1BD在中，1BD DA 111sin DD D BD BD ∠===时，取得最小值为A 正确；1PD BD ∴⊥PD 1sin BD D BD ⨯∠==取的中点，连接，，AB K 111,,KD AC AC 2AB AK ∴=112AP AB AD AK AD λμλμ∴=+=+ 当时，是上的动点，在正方体中平面，故存在点为 21λμ+=P1KD BD ⊥11ACC A P 平面与的交点时，使，故B 正确； 11ACC A 1KD AP BD ⊥如图，取的中点分别为，当时，点P 的轨迹是NM 上的动点，易得平面11,AD BC ,N M 12μ=//MN ABCD ，故P 到平面的距离为定值1，设直线AP 与平面ABCD 所成角为，当P 点在N 时AP 的α投影最小，最大，此时，当点P 在N时AP 的投影最大，最小，此时αtan 1NFAFα==αAP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围是，故C tan ME AE α===⎤⎥⎦错误；取AB ，的中点G ，H ，当时，点P 的轨迹是GH 上的动点，易得平面11D C 12λ=1//,GH BC GH ⊄，平面，平面，故点P 到平面的距离为定值，三棱锥1BC D 1BC ⊂1BC D //GH ∴1BC D 1BC D ∴的体积为定值，故D 正确.1P BC D -故选：ABD三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布，且，，则()2,N μσ()200.5P X >=()300.24P X >=______．(1030)P X ≤≤=【答案】0.52##1325【分析】先根据对称性得到，结合求出答案.20μ=()300.24P X >=【详解】由对称性可知，，故. 20μ=(1030)12(30)120.240.52P X P X ≤≤=->=-⨯=故答案为：0.5214．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得2x my =解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 2x my =将代入，得，所以． ()2,2A -2x my =2m =-22x y =-设，代入，得． ()03,B y 092y =-0 4.5y =-所以拱桥到水面的距离为． 4.5m 故答案为：4.5.15．在正六棱柱中，若底面边长为1，高为3，则BC 到平面的距离111111ABCDEF A B C D E F -11ADC B 为______．【分析】取的中点，证明平面，平面平面，再11,,AD BC B C ,,O M N //BC 11ADC B OMN ⊥11ADC B 求出斜边上的高作答.Rt OMN △【详解】在正六棱柱中，取的中点，连接111111ABCDEF A B C D E F -11,,AD BC B C ,,O M N ，如图，,,MN OM ON，平面，平面，则平面， 11////B C BC AD BC ⊄11ADC B AD ⊂11ADC B //BC 11ADC B 平面，则平面，平面， 11//,MN BB BB ⊥ABCDEF MN ⊥ABCDEF AD ⊂ABCDEF 即，而，即有，，平面， MN AD ⊥OM BC ⊥OM AD ⊥OM MN M = ,OM MN ⊂OMN 则平面，又平面，因此平面平面， AD ⊥OMN AD ⊂11ADC B OMN ⊥11ADC B 在平面内过作于，而平面平面， OMN M MH ON ⊥H OMN 11ADC B ON =于是平面，线段长即为BC 到平面的距离，MH ⊥11ADC B MH 11ADC B，中，，1cos30OM =⨯=3MN =Rt OMN △ON ==所以BC 到平面的距离11ADC BOM MN MH ON ⋅===四、双空题16．如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．()2210169y x x +=≤()22102516x y x +=>，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两1F 2F 3F 123F F F A yt =A B 点，且中点为，点的轨迹方程为______．AB M M【答案】8+()221016y x x +=>【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分1F 2F 3F 别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程.A B M M 【详解】由，，是相应半椭圆的焦点， 1F2F 3F 可得，，， (1F (20,F ()33,0F 所以，，，12F F =134F F==234F F ==故所求周长为；448++=+设，(),Mx y 联立直线与，得，y t =()2210169y x x +=≤x =即点，A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立直线与，得 y t =()22102516x y x +=>x 即点，且不重合，即，B t ⎫⎪⎭,A B 4t ≠又为中点，M AB 所以2x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩即，整理可得，，x =0x >22116y x +=0x >故答案为：，.8+()221016y x x +=>五、解答题17．已知的展开式中，所有项的系数之和是512．3nx ⎛ ⎝(1)求展开式中含项的系数；3x (2)求的展开式中的常数项.11(21)nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】(1)27 (2) 17【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n ，然后利用二项式展开式通项公式求解即可；（2）把式子化简为，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可.()()992121x x x--+【详解】（1）因为的展开式中，所有项的系数之和是512．3nx ⎛ ⎝所以令，得，所以， 1x =2512n =9n =所以的展开式通项公式为， 3nx ⎛ ⎝()()13991922199C 3C 31rr rr rr r r T x x x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，所以展开式中含项为， 3932r -=8r =3x ()8813399C 3127T x x =-=所以展开式中含项的系数为27.3x （2）由（1）知，，从而， 9n =()()()9921112121n x x x x x -⎛⎫+-=-+⎪⎝⎭因为的展开式的通项为，()921x -()()919C 21rrrr T x -+=-所以的常数项为，()921x -()()099109C 211T x =-=-又的常数项为，()921x x-()()98889C 2118x x--=所以的展开式中的常数项为.()91121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭11817-+=18．已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且． 2:2(0)C y px p =>(),P a a ()0a >F 5PF =(1)求抛物线的标准方程；C (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点） ()4,0M l C A B ABO A O 【答案】(1) 24y x =(2)16【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，将点坐标代入抛物线方程求出，P 2a p =再根据焦半径公式计算可得；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程AB AB AB 为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据()()40y k x k =-≠()11,A x y ()22,B x y 面积公式计算可得.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-由抛物线经过点，，()2:20C y px p =>(),P a a ()0a >可得，即， 22a pa =2a p =又，可得， 5PF =52pa +=解得，，2p =4a =故抛物线的标准方程为.C 24y x =（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，AB 4x =由，解得，此时，所以的面积．244y x x ⎧=⎨=⎩4y =±8AB =ABO A 184162S =⨯⨯=当直线的斜率存在时，设直线的方程为．AB AB ()()40y k x k =-≠由得，． ()244y k x y x ⎧=-⎨=⎩24160ky y k --=216640k ∆=+>设，，由根与系数的关系得，， ()11,A x y ()22,B x y 124y y k+=1216y y =-所以 1212ABO AOM BOM S S S OM y y =+=⋅-△△△12OM =， 16=>综上所述，面积的最小值为．ABO A 1619．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织2022了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概2312率是.每个人回答是否正确互不影响． 14(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率； 1(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为2515，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率． 25【答案】(1) 1718(2) 1930【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可求得乙、丙回答正确的概率，结合对立事件概率公式可求得结果；（2）根据全概率公式直接计算即可.【详解】（1）记甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，则事件A B C 相互独立； ,,A B C 由题意知：，，，()23P A =()12P AC =()14P BC =，， ()()()132243P AC P C P A === ()()()114334P BC P B P C ∴===则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率.1()213171111133418p P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记该问题回答正确为事件，甲、乙、丙抢到答题机会分别为事件， D 123,,A A A 则，，，，，， ()125P A =()215P A =()325P A =()123P A A =()213P B A =()334P C A =.()()()()()()()112233P D P A A P A P B A P A P C A P A ∴=++2211321935354530=⨯+⨯+⨯=20．如图，已知直角梯形，，，，，四边形ABCD //AB CD AD DC ==2AB DC =90ADC ∠=︒为正方形，且平面⊥平面．AFCE ACFE ABCD(1)求证：⊥平面；BC ACFE (2)点M 为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． EF BF MAB 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由余弦定理得到，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直得到24BC =BC AC ⊥线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】（1）已知直角梯形ABCD ，，，//AB CD AD DC =，所以为等腰直角三角形，90ADC ∠=︒ADC △可得，，，2AC ==45CAB ∠=︒AB =所以在中，由余弦定理得， CAB △28422cos 454BC =+-⨯⋅︒=所以，得．222AB AC BC =+BC AC ⊥因为平面平面ABCD ，平面平面，平面， ACFE ⊥ACFE ⋂ABCD AC =BC ⊂ABCD 所以⊥平面．BC ACFE （2）根据（1）中所证可得：两两垂直，,,CA CB CF 故以C 为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系： ,,CA CB CF ,,x y z 则，，，．()2,0,0A ()0,2,0B ()1,0,2M ()0,0,2F ，，，(2,2,0)AB =- (1,2,2)BM =-(0,2,2)BF =-设为平面MAB 的一个法向量，(),,m x y z =由，取，则， ()()()(),,2,2,0220,,1,2,2220m AB x y z x y m BM x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ 2x =2,1==y z 故，(2,2,1)m =设直线与平面所成角为，BF MAB θ则．||sin cos ,||||m BF m BF m BF θ⋅=〈〉==⋅即直线与平面 BF MAB 21．新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．【答案】(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率 (2)应选择第二种方案，理由见解析【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.【详解】（1）用表示员工所获得的奖励额．X 因为，， ()2325C 3100C 10P X ===()112325C C 63150C 105P X ====所以，()()100150P X P X =<=故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率． （2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为1X 1X 1X 60 160 260P 310 35110所以的数学期望为， 1X ()13316016026014010510E X =⨯+⨯+⨯=的方差为； 1X ()2221331(60140)(160140)(260140)360010510D X =-⨯+-⨯+-⨯=第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为2X 2X 2X 100 150 200P 310 35110所以的数学期望为， 2X ()233110015020014010510E X =⨯+⨯+⨯=的方差为， 2X ()2222331(100140)(150140)(200140)90010510D X =-⨯+-⨯+-⨯=又因为（元），()()1250050070000E X E X ==所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小， 故应选择第二种方案．22．已知椭圆的短轴长为，且过点．()2222:10y x C a b a b+=>>4()1,3A (1)求椭圆的标准方程；C (2)直线与椭圆相交于、两点，以为直径的圆过点，求点到直线距离的最大值．C P Q PQ A A l【答案】(1)221124y x +=【分析】（1）根据椭圆过点，结合短轴长列方程，解方程即可；A （2）法一：当直线斜率不存在时，设点与的坐标，根据，解方程可得直线方程，当P Q AP AQ ⊥斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆，结合韦达定理及，可得y kx m =+AP AQ ⊥，即可得直线过定点，进而确定距离的最值.法二：将椭圆方程转化为322k m =+，设直线方程为，与椭圆联立构造齐()()()()2236331610y y x x -+-+-+-=()()131m x n y -+-=次式得，所以则，是方()()233616663011y y n m m m x x --⎛⎫+++++= ⎪--⎝⎭11131AP y k k x -==-22231AQ y k k x -==-程的两个根，则，即，代入直线方程，可得直线过定点，进而确定1263161m k k n +⋅==-+332m n =--距离的最值.【详解】（1）椭圆的短轴长为，所以，， C 424b =2b =代入点，得，所以 ()1,3A 29114a +=212a =椭圆的方程为；C 221124y x +=（2）法一：当直线斜率不存在时，则有、，直线的方程为：， l ()11,P x y ()11,Q x y -l 1x x =因为以直径的圆过点，所以，PQ A AP AQ ⊥， ()()()()()221111111133190AP AQ x x y y x y ⋅=-⋅-+---=-+-= 又，可得，解得或（舍去），22111124y x +=211210x x --=112x =-11x =当直线斜率存在时，设直线的方程为：，l l y kx m =+设点，()11,P x y ()22,Q x y 联立，得，221124y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22232120k x kmx m +++-=由韦达定理得，，12223km x x k -+=+2122123m x x k -=+()()()()12121133AP AQ x x y y ⋅=-⋅-+--()()()()12121133x x kx m kx m =-⋅-++-+-()()()()22121213113k x x m k x x m =++--+++-⎡⎤⎣⎦()()()222221221311333m km k m k m k k --=++--++-⎡⎤⎣⎦++， ()()()222222992233033k mk m m k m k m k k ---+---++-===++点点不在直线上，所以，则有，经检验，此时，满足题意， ()1,3A l 30k m +-≠230k m -+=0∆>所以直线的方程为，直线过定点l 13132222y kx m kx k k x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，直线恒过定点，记作l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则当时，点到直线距离最大，最大值为AM l ⊥A l AM ==法二：齐次化构造椭圆的标准方程为，即221124y x +=22312y x +=变形为， ()()223331112y x ⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦即， ()()()()2236331610y y x x -+-+-+-=设直线的方程为 l ()()131m x n y -+-=与椭圆方程联立构造齐次式为()()()()()()()()2236313316113y y m x n y x x m x n y ⎡⎤⎡⎤-+--+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()2261366136310n y m n x y m x =+-++--++-=即： ()()233616663011y y n m n m x x --⎛⎫+++++= ⎪--⎝⎭设点，()11,P x y ()22,Q x y则，是方程的两个根， 11131AP y k k x -==-22231AQ y k k x -==-又因为， AP AQ ⊥所以，即 1263161m k k n +⋅==-+332m n =--代入直线方程得：，()()336210n x y x -+--+=故直线过定点，记作记作l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则当时，点到直线距离最大，最大值为AM l ⊥A l AM ==【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

高二数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.抛物线上一点到准线的距离为3，则点的横坐标为（▲）A．1 B．2 C．3 D．42.对任意，函数的值恒大于零，求的取值范围。

3.根据表格中的数据，可以判定函数的一个零点所在的区间为，则的值为（）A．-1 B．0 C．1 D．24.设函数，则是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数5.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是A．B．C．D．6.如图，在中，，，，则等于（）A．B．C．D ．7.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为（如表示身高（单位：cm ）在内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．9.设双曲线 ()的右焦点是，左、右顶点分别是，过作的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ．10.．已知双曲线右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的离心率等于A ．B ．C ．D ．11.棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．12.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率为（ ） A ．0.005 B ．0.004 C ．0.001 D ．0.002 13.已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于（ ）A ．1B ．3C ．6D ．10 14.已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率为( )A 、B 、C 、D 、15.已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为（ ）A ．（1,0）B ．C ．D ．（0,1） 16.对于实数，若，则的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1017.在数列{a n }中，a 1=2,a n+1=2a n +2,则a 100的值为（ ） A ．2100-2 B ．2101-2 C ．2101 D ．215 18.的展开式中，无理数项的个数是（ ）A．84 B．85 C．86 D．8719.复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为 ()．A．2cosB．－2cosC．2sinD．－2sin20.设函数在内不单调，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题21.给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是：22.在极坐标系中，直线被曲线：所截得弦的中点的极坐标为．23.若关于的二次方程的两个互异的实根都小于1，则实数的取值范围是__________.24.是双曲线的焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离是，则点到焦点的距离是 .25.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为；26.在10个球中，有6个红球和4个白球（除编号外其它完全相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为_____27.已知双曲线上一点P到焦点的距离等于9，则点P到的距离等于．28.已知样本的平均数是，标准差是，则29.30.在中，斜边，以的中点为圆心，作半径为2的圆，分别交于两点，令，则的值为__________．三、解答题31.（本小题8分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF//AC，AB=，CE=EF=1，.（1）求证：AF//平面BDE；（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值.32.如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点，三角形外接圆的圆心为．（1）求边所在直线方程；（2）求圆的方程；（3）直线过点且倾斜角为，求该直线被圆截得的弦长．33.（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数（Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）当，时，证明：．34.（本小题满分12分）设椭圆(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，，△DF 1F 2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点，求出这个圆的方程． 35. (1)设集合和，从集合中随机取一个数作为，从中随机取一个数作为.求所取的两数中能使时的概率；(2)设点是区域内的随机点，求能使时的概率.参考答案1 .B【解析】略2 .【解析】设，则的图象为一直线，在上恒大于0，故有， ---------4分即，解得：或 ----------9分∴的取值范围是 ---------10分3 .C【解析】略4 .C【解析】略5 .B【解析】略6 .B【解析】试题分析：由图可知，，又因为，所以，故选B.考点：平面向量的数量积.7 .A【解析】试题分析：双曲线的右焦点为，渐近线为，所以所求圆的圆心为，半径，故圆的方程为，选A.考点：1、双曲线的标准方程；2、圆的方程.8 .C【解析】略9 .C【解析】试题分析：，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.考点：双曲线的性质10 .B【解析】略11 .B【解析】试题分析：正方体的对角线是其外接球的直径，所以,球O的表面积,故选B.考点：球与几何体12 .A【解析】试题分析：记“从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌”为事件A由题意可得，所求的概率属于几何概率由几何概率的计算公式可得P （A ）.考点：几何概率的判断及计算公式的应用. 13 .C【解析】由椭圆方程可得 ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C 。

南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（ ）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（ ）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8 设，，，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（ ）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或 （2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。

高二数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（ ） A ．b=（－1）a B ．b=（+1）a C ．b=D ．b=2.已知集合M ＝{x| x 2－3x －28≤0}, ，则M∩N 为（ ）Ａ．｛ｘ|－4≤x<－２或3＜ｘ≤7｝ B ．｛ｘ｜－4＜ｘ≤－2或3≤ｘ＜7｝ C ．｛ｘ｜ｘ≤－２或ｘ＞３｝ D ．｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ≥３｝ 3.命题“若，则”的逆命题是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4.某工厂生产某种零件，零件质量采用电脑自动化控制，某日生产100个零件，记产生出第n 个零件时电脑显示的前n 个零件的正品率为f （n ），则下列关系式不可能成立的是（ ） A ．f （1）＜f （2）＜ ＜f （100）B ．存在n {1，2， ，99}，使得f （n ）=2f （n+1）C ．存在n {1，2， ，98}，使得f （n ）＜f （n+1），且f （n+1）=f （n+2）D ．f （1）=f （2）= =f （100） 5.圆内接四边形中，、、的度数比是，则（ ）．A ．B ．C ．D ．6.抛物线的焦点坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．7.在中，，，，则边的长为（ ）A ．B ．C ．D ．8.是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，，则C ．若，则共面D ．若共点，则共面9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．10.函数（且）的图象可能为（）11.若直线与圆C：相交，则点的位置是( )A．在圆C外 B．在圆C内 C．在圆C上 D．以上都可能12.设，则方程不能表示的曲线为A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆13.相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的射影所成的角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°14.抛物线的焦点坐标为( ▲ )A． B． C． D．15.是等差数列的前项和，如果，那么的值是（）A．10 B．15 C．25 D．3016.设函数的导数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是A． B． C． D．17.若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝( )．A．1 B．－1 C． D．－18.“双曲线C的方程为”是“双曲线C的渐近线方程为”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件19.曲线 (为参数)与坐标轴的交点是（）A． B． C． D．20.设曲线的方程为，直线的方程为，则曲线上到直线的距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题21.曲线在点处的切线方程为__________．22.是的 _______ 条件.（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）23.如图所示, 底面直径为的圆柱被与底面成的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为．24.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝a ，侧棱AA 1=2a,点D 是AA 1的中点，那么截面DBC 与底面ABC所成二面角的大小是________．25.若，且A 、B 均为钝角，则A+B= 。

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。