第3课时____点线对称问题

专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1 点关于点的对称问题】【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为（）A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0【变式2-1】（2020·山东·高考真题）直线2x+3y−6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（）A．3x−2y−10=0B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0D．2x+3y−2=0【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9D．a=1，b=9【例3】（2022·全国·高二课时练习）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（）A．(1,−2)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−1,2)【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（）A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2B．3C．5D．7【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点A(1,0)射入，经直线y=−x+3反射到直线y=x+3上的点B，再经直线y=x+3反射后经过点C(−1,0)，则点B的坐标为（）A．(−2,1)B．(0,3)C．(−1,2)D．(−1,1)【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A(2,4)射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−1,−4)，若将军从点A(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（）A．√13B．√17C．2√17D．10【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−4,−4)，若将军从点A(−2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=2，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√13B．5C．2√10D．10【变式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为(x+1)2+(y−1)2≤1，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y−5=0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）A．12x+5y−12=0B．21x+2y−21=0C．4x+y−4=0D．11x+2y−11=0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(13,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√1453B．5C．√1353D．163。

12.1轴对称（第三课时）制定：梅旭贤定标自学1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。

2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。

学习重点：作出轴对称图形的对称轴。

学习难点：在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质。

交流展示想一想：教材P62思考归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?作法：2已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并写出线段的中点O.作法：3，如图，角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴教师点拨作对称轴应注意哪些问题？反馈提升1如图，在五角星上作出一条对称轴2画一画：如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半。

3完成课本P64练习课堂小结：谈谈本节课的收获！12312．2作轴对称图形（一课时） 制定：梅旭贤定标自学1、能够作轴对称图形。

2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。

学习重点：作轴对称图形。

学习难点：用轴对称知识解决相应的数学问题。

交流展示1、思考：如图，C B A 、、 三点都在方格纸的格点位置上。

请你再找一个格点D ，使图中的四·点组成一个轴对称图形。

2、如果直线l 外有一点A ，那么怎样画出点A 关于直线l 的对称点'A ？教师点拨问题一：画点关于直线l 的对称点'A 的方法，并说明道理。

问题二：怎样画已知线段的对称线段？怎样画已知三角形的对称三角形？说说你的想法和依据。

3、分别画出图1-10（1）、(2)、（3）中线段AB 关于直线l 对称的线段''B A 。

4如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。

归纳：反馈提升1 下列数字图象都是由镜中看到的，请分别写出它们所对应的实际数字，并说明数字图象与镜面的位置关系。

直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ；（4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --； （5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。

八年级数学(上)第一章轴对称图形第3课时轴对称的性质(二)1．已知：线段AB和直线l．求作：线段A′B′，使A′B′与AB关于直线l对称．2．作出△ABC关于直线MN对称的图形．3．如图，请在某两个小方格上涂上阴影，使整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．4．如图，△ABC和△A1B1C1关于直线l对称，将△A1B1C1向右平移到△A2B2C2处．下列判断：①AB∥A2B2；②∠A=∠A2；③AB=A2B2．其中正确的是( ) A．①②B．②③C．①③D．①②③5．如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为( ) A．30°B．50°C．90°D．100°6．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是( )lAB C D 7．请画出下列各图以直线l 为对称轴的对称图形．8．如图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．9．如图，梯形ABCD 和梯形A ′B ′C ′D ′关于直线l 对称．(1)写出其中相等的线段和角．(2)若梯形ABCD 的面积为5 cm 2，A ′D ′=2 cm ，B ′C ′=3 cm ，求梯形ABCD 的高．10．在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD （即四边形的顶点都在格点上）（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 向下平移5格后的四边形A 1B 1C 1D 1；（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线l 对称的四边形A 2B 2C 2D 2.参考答案1．略2．略3．略4．B 5．C 6．B 7．略8．如图所示9．(1)略(2)2 cm10．。

第8讲对称问题考点分析考点一：点关于点的对称问题设点11()P x y ，关于点00()Q x y ，的对称点为22()P x y '，，则易知Q 点为P P ',的中点由中点坐标公式得12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得P '的坐标为0101(22)x x y y --，考点二：点关于直线的对称问题设点11()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为22()P x y '，，则易知直线PP '垂直于直线l ，且PP '的中点在直线l 上所以12121022l PP k k x x y y A B C '⋅=-⎧⎪⎨++++=⎪⎩，解出22()x y ，即可求得对成点坐标．考点三：直线关于点的对称直线问题法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可；法二：设直线为ax +by +c =0，直线上一点为P (u,v )关于点(p,q )对称点P '坐标为(x,y )，则有x =(p +u )/2,y =(q +v )/2,得u =2x -p,v =2y -q ，代入直线方程得：a (2x -p )+b (2y -q )+c =0，即ax +by +(c -ap -bq )/2=0，这就是所求的对称直线的方程。

考点四：直线关于直线的对称直线问题法一：特殊点法：在直线上取两点，利用点关于直线的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可；法二：在所求直线上设任意一点()y x ,，设此点关于直线的对称点为()00,y x ，利用点关于直线的对称点问题解出()00,y x ，带入直线即可题型目录题型一：点关于点对称问题题型二：点关于直线对称问题题型三：直线关于点对称问题题型四：直线关于直线对称问题典型例题题型一：点关于点对称问题【例1】（点关于点对称）（全国高二单元测试）若点()1,1+-a a A ，()a a B ,关于直线l 对称，那么直线l的方程为________.【答案】10x y -+=【解析】求得111AB a a k a a+-==---，∵点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，∴直线l 的斜率1，直线l 过AB 的中点2121,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为212122a a y x +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.【题型专练】1.（全国高二课时练习）一条光线从点()1,1A -出发射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后经过点()2,5B ，则点P 的坐标为______.【答案】10x y -+=【解析】根据题意：()1,1A -关于x 轴的对称点为()1,1--而反射光线直线又过()2,5B ∴其直线为：()512521y x +=-++即：21y x =+，当0y =时，12x =-，即点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.题型二：点关于直线对称问题【例1】（点关于线对称）（全国高二课时练习）点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是______.【答案】()2,2-【解析】设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ）则MN 中点的坐标为（12x -，12y +），利用对称的性质得：K MN =11y x -+=﹣1，且12x -﹣12y +﹣1=0，解得：x =2，y =﹣2，∴点N 的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．【例2】（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线230x y +=－射向直线l y x =：，被l 反射后的光线所在直线的方程是_____．【答案】230x y --=【分析】在入射光线上取点()12，，它关于直线y x =的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线l 的交点【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知ABC 的顶点()1，2A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为210x y +-=，∠ABC 的平分线BH 所在直线方程为y x =，则直线BC 的方程为_____．【题型专练】1.（2022·全国·高二单元测试）点()3,4关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为______．【答案】()5,4--2.（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____．3．（全国高二课时练习点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005(1)1225122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩，所以所求对称点的坐标为(4,1)--．4.（2022·全国·高二课时练习）已知直线:280l x y -+=和点(2,0)A ，(2,4)B --．(1)在直线l 上求一点P ，使||||PA PB +的值最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||||||PB PA -的值最大．。

专题01 直线的对称问题【知识点梳理】 知识点一：点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()P x y ，关于点00()Q x y ，的对称点为22()P x y '，，则根据中点坐标公式，有12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 可得对称点22()P x y '，的坐标为0101(22)x x y y --，知识点二：点关于直线对称点11()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为22()P x y '，，连接PP '，交l 于M 点，则l 垂直平分PP '，所以PP l '⊥，且M 为PP '中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022l PP k k x x y y A B C '⋅=-⎧⎪⎨++++=⎪⎩，解出22()x y ，即可．知识点三：直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 知识点四：直线关于直线对称求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ， 第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程 知识点五：常见的一些特殊的对称点()x y ，关于x 轴的对称点为()x y -，，关于y 轴的对称点为()x y -，． 点()x y ，关于直线y x =的对称点为()y x ，，关于直线y x =-的对称点为()y x --，． 点()x y ，关于直线x a =的对称点为(2)a x y -，，关于直线y b =的对称点为(2)x b y -，．点()x y ，关于点()a b ，的对称点为(22)a x b y --， ． 点()x y ，关于直线x y k +=的对称点为()k y k x --，，关于直线x y =k -的对称点为()k y x k +-， ． 【题型归纳目录】 题型一：点点对称 题型二：点线对称 题型三：线点对称 题型四：线线对称 【典型例题】 题型一：点点对称例1．点(1,2)A 关于点(3,4)P 对称的点的坐标为 ． 例2．求点(4,5)P 关于(3,2)M -对称的点Q 的坐标 ．例3．（2022·全国·高二课时练习）直线l 经过已知点(2,3)P -，且被两条已知直线320,5100x y x y +-=++=截得的线段恰以P 为中点，求直线l 的方程．例4．（2022·江苏·高二课时练习）已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是()2,1-，求线段AB 的长．例5．（2022·江苏·高二课时练习）若点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点为P （2， －1），求AB 的长度．题型二：点线对称例6．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）点()2,0P 关于直线:10l x y ++=的对称点Q 的坐标为（ ） A ．()1,3--B ．()1,4--C ．()4,1D ．()2,3例7．（2022·江苏·高二）已知入射光线经过点4()3,M -，被直线:30l x y -+=反射，反射光线经过点(2,6)N ，求反射光线所在直线的方程．例8．（2022·江苏·高二）点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是______． 例9．（2022·全国·高二单元测试）点(2,2)A 关于直线2y x =+的对称点的坐标为______．例10．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）一条光线经过点()A 3,5射到直线10x y ++=上，被反射后经过点()2,1B ，则入射光线所在直线的方程为______例11．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在等腰直角△ABC 中，2AB AC ==，点P 是边AB 上异于A ､B 的一点，光线从点P 出发，经BC ､CA 反射后又回到原点P ．若光线QR 经过△ABC 的内心，则AP =___________．例12．（2022·江苏·高二）已知ABC 的顶点()5,1B ，AB 边上的高所在的直线方程为250x y --=．（1）求直线AB 的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中． △角A 的平分线所在直线方程为2130x y +-= △BC 边上的中线所在的直线方程为250x y --= ______，求直线AC 的方程．例13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线:3410l x y +-=和点)(1,1P ． （1）求经过点P ，且与直线l 平行的直线的方程；（2）求经过点P ，且与直线l 垂直的直线的方程；（3）求点P 关于直线l 对称的点的坐标；（4）若正方形ABCD 的边AB 在直线l 上，且点P 为正方形ABCD 的中心，求直线AD 和DC 的方程． 例14．（2022·全国·高二课时练习）证明下述命题，并给出结论的几何解释： （1）如果()00,A x y 关于直线:l y x b =+的对称点为B ，则B 的坐标为()00,y b x b -+； （2）如果()00,A x y 关于直线:l y x b =-+的对称点为B ，则B 的坐标为()00,y b x b -+-+．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A （－1，－2），求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．题型三：线点对称例16．（2022·全国·高二课时练习）直线2530x y +-=关于点2()1,M -对称的直线方程是______．例17．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）直线230x y --=关于定点()21M -，对称的直线方程是_________．例18．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）直线310ax y a ++-=恒过定点M ，则直线2360x y +-=关于M 点对称的直线方程为_________．例19．（2022·江苏·高二）直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ）A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2340x y +-=例20．（2022·全国·高三专题练习）直线320x y -=关于点1,03⎛⎫⎪⎝⎭对称的直线方程（ ）A ．230x y -=B ．3220x y --=C ．0x y -=D ．2320x y --=例21．（2022·四川省绵阳江油中学高二阶段练习（理））直线:23l y x =+关于点P （2，3）对称的直线l '的方程是（ ） A ．250x y --= B ．250x y +-= C ．250x y -+=D ．250x y ++=例22．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知点M 是直线10x y --=和直线250x y +-=的交点． （1）求过点M 且与两坐标轴截距相等的直线l 的方程；（2）直线l '与直线310x y ++=关于点M 对称，求直线l '的方程．题型四：线线对称例23．（2022·全国·高三专题练习）已知直线1:30l x y -+=，直线:10l x y --=，若直线1l 关于直线l 的对称直线为2l ，则直线2l 的方程为_______________．例24．（2022·全国·高二课时练习）已知直线:0l x y -=，1:220--=l x y ，则1l 关于l 对称的直线方程为_____．例25．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）直线y =关于1x =对称直线l ，直线l 的方程是（ ）A 20y +-=B 20y ++=C ．20x +-=D ．20x +=例26．（2022·江苏·无锡市第一女子中学高二期中）两直线12:210,:l x y l y x -+==，则直线1l 关于直线2l 对称的直线方程为（ ） A ．210x y -+=B ．310x y -+=C ．2320x y -+=D ．210x y --=例27．（2022·浙江·兰溪市第一中学高二阶段练习）求直线x ＋2y －1＝0关于直线x ＋2y ＋1＝0对称的直线方程（ ） A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y ＋3＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x ＋2y ＋2＝0例28．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））直线21y x =+关于直线y x =对称的直线方程为（ ） A ．310x y -+=B ．310--=x yC ．210x y --=D ．210x y -+=例29．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l 1： x ＋y －1＝0，直线l 2： 2x －y ＋3＝0，求直线l 2关于直线l 1对称的直线l 的方程．例30．（2022·全国·高二课时练习）已知直线:10l x y --=，1:30l x y -+=，2:210l x y --=．（1）求直线1l 关于直线l 的对称直线1l '的方程；（2）求直线2l 关于直线l 的对称直线2l '的方程．例31．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：120()kx y k k R -++=∈， 当k 为1时，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m '的方程；例32．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线l ：220x y +-=和直线1l ：2y x =-． （1）求直线l 关于点()1,1A 对称的直线2l 的方程；（2）求直线l 关于直线1l对称的直线3l 的方程．。

专题一：对称问题【目标引领】1.学会解决点点、点线、线点、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题．【探究新知】一、几类常见的对称问题1．点关于点对称例1 已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称，则ab= ( )A.-5B.14C.-14D.52.点关于直线对称例2 点(-2,0)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为( )A.(2,0)B.(0,2)C.(1,1)D.(-1,-1)跟踪训练1点A(1,2)关于直线l:2x+y-3=0对称的点的坐标为________3.直线关于点对称例3 直线l:2x+y-3=0关于点A(1,2)对称的方程为__________4.直线关于直线对称例4 已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程为________跟踪训练2已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．二、光的反射问题例2一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程．跟踪训练2如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是()A．210 B．6 C．3 3 D．25三、利用对称解决有关最值问题例3在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小．跟踪训练3已知两点A(1,3)，B(4,5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为________．2.3.5对称问题课时训练1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是()A．(－1，－3) B．(17，－9)C．(－1,3) D．(－17,9)2．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝03．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则()A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝24．已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为()A．210 B．6 C．3 3 D.265. 已知直线l1:kx+2y-k-4=0横过点M，直线l2：y=x-1上有一动点P,点N的坐标为(4,6)，当|PM|+|PN|取得最小值时，点P的坐标为_________6. 设点A(3,5),点B和C分别为直线l：x-2y+2=0和y轴上的两个动点，则△ABC的周长的最小值为_________7. 已知直线l经过两条直线l1：x+y-1=0与l2:x-y+5=0的交点P且与直线√3x−y+3=0的夹角为π，求直线l的方程.68. 已知△ABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y-1=0,∠ABC的平分线BH所在的直线方程为y=x,求直线BC的方程.。

专题 对称问题【典型例题】题型一：点关于点对称问题【例1】（点关于点对称）（全国高二单元测试）若点()1,1+-a a A ，()a a B ,关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________. 【答案】10x y -+=【解析】求得111AB a a k a a+-==---， ∵点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，∵直线l 的斜率1，直线l 过AB 的中点2121,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵直线l 的方程为212122a a y x +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.【题型专练】1.（全国高二课时练习）一条光线从点()1,1A -出发射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后经过点()2,5B ，则点P 的坐标为______.【答案】10x y -+=【解析】根据题意：()1,1A -关于x 轴的对称点为()1,1--而反射光线直线又过()2,5B ∵其直线为：()512521y x +=-++即：21y x =+， 当0y =时，12x =-，即点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 题型二：点关于直线对称问题【例1】（点关于线对称）（全国高二课时练习）点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是______.【答案】()2,2-【解析】设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ）则MN 中点的坐标为（12x -，12y +），利用对称的性质得：K MN =11y x -+=﹣1，且 12x -﹣12y +﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2，∵点N 的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．【例2】（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线230x y +=－射向直线l y x =：，被l 反射后的光线所在直线的方程是_____． 【答案】230x y --=【分析】在入射光线上取点()12，，它关于直线y x =的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线l 的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程．【详解】在入射光线上取点()12，，则关于y x =的对称点()21，在反射光线上， 又由230x y y x -+=⎧⎨=⎩得33x y =⎧⎨=⎩， 31232k -==-， 所以反射光线所在直线方程为32(3)y x -=-，即230x y =－－．故答案为：230x y --=．【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知ABC 的顶点()1，2A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为210x y +-=，∵ABC 的平分线BH 所在直线方程为y x =，则直线BC 的方程为_____． 【答案】2310x y --=【分析】由题意可知，点B 在角平分线y x =上，可设点B 的坐标是()m m ，，利用AB 的中点在直线CM 上，可解出点B 的坐标，再求出A 关于y x =的对称点为'A ，且'A 在直线BC 上，利用两点式方程可得答案．【详解】由题意可知，点B 在角平分线y x =上，可设点B 的坐标是()m m ，，则AB 的中点1(2m +，2)2m +在直线CM 上，1221022m m ++∴+-=， 解得：1m =－，故点()1,1B --． 设A 关于y x =的对称点为()00'A x y ，，则有 00002112122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩，0021x y =⎧⎨=⎩， 即()'21A ， 则由'A 在直线BC 上，可得BC 的方程为111121y x ++=++， 即()()3121y x +=+，即2310x y --=，故答案为：2310x y --=．【题型专练】1.（2022·全国·高二单元测试）点()3,4关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为______． 【答案】()5,4--【分析】设点(3,4)关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标是(),m n ，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点()3,4关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(),m n ，则413341022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，解得54m n =-⎧⎨=-⎩， 所以点（3，4）关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为()5,4--．故答案为：()5,4--2.（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____． 【答案】2455⎛⎫ ⎪⎝⎭－， 【分析】设所求对称点的坐标为()x y ，，由两对称点连线与对称轴垂直，两对称点连线段中点在对称轴上列方程组，解之可得．【详解】设原点关于210x y +=－的对称点的坐标为()x y ，，则11221022y x x y ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得2545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴要求的点(2455－，)． 故答案为：24(,)55-． 3．（全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005(1)1225122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩， 所以所求对称点的坐标为(4,1)--．4.（2022·全国·高二课时练习）已知直线:280l x y -+=和点(2,0)A ，(2,4)B --．(1)在直线l 上求一点P ，使||||PA PB +的值最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||||||PB PA -的值最大． 【答案】(1)(2,3)-，(2)(12,10)．【分析】（1）通过找出点A 关于直线l 的对称点为A '，将||||PA PB +的最小值转化为||||PA PB '+的最小值，利用三角形三边的关系可知||||||PA PB A B ''+≥，即可求点P 的坐标;（2）利用三角形的三边关系可知||||||||PB PA AB -≤，再求出直线AB 的方程，即可求出点P 的坐标. （1）设A 关于直线l 的对称点为(,)A m n '，则0222028022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩， 解得28m n =-⎧⎨=⎩，故(2,8)A '-， 又∵P 为直线l 上的一点，则||||||||||PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当B ，P ，A '三点共线时等号成立，此时||||PA PB +取得最小值||A B '，点P 即是直线A B '与直线l 的交点．由2280x x y =-⎧⎨-+=⎩ ，解得23x y =-⎧⎨=⎩， 故所求的点P 的坐标为(2,3)-．（2）由题意，知A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||||||||PB PA AB -≤，当且仅当A ，B ，P 三点共线时等号成立，此时||||||PB PA -取得最大值||AB ，点P 即是直线AB 与直线l 的交点,又∵直线AB 的方程为2y x =-，∵由2280y x x y =-⎧⎨-+=⎩ ，解得1210x y =⎧⎨=⎩， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．5.（浙江高二期末）已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.【答案】()1,1- ()1,3【解析】由():10l mx y m m R ++-=∈，则()()110m x y m R ++-=∈，令10x +=，则1x =-，1y =，所以点P ()1,1-，设Q 的坐标是()00,x y ，则0000111112022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪+-=⎪⎩，解得01x =，03y =，所以点Q 的坐标是()1,3.故答案为：()1,1-；()1,36．（全国高二专题练习）已知直线10kx y k -++=过定点A ，则点A 关于30x y +-=对称点的坐标为（ ）A ．(2,4)B ．(4,2)C ．(2,2)D ．(4,4)【答案】A【解析】直线10kx y k -++=即(1)1y k x =++，故(1,1)A -，设点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(,)P x y ． 则113022111x y y x -++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩． ∴点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(2,4)．故选：A ．题型三：直线关于点对称问题【例1】（浙江）直线21y x =+关于原点对称的直线方程是（ ）A ．21y x =-B ．21y x =--C ．21y x =-+D ．2y x =【答案】A【解析】点(0,1),(1,3)在直线21y x =+上，则(0,1),(1,3)---在所求直线上所求直线的斜率3(1)210k ---==--，则所求直线方程为2(0)121y x x =--=-故选：A 【例2】（·四川省泸县第二中学高二月考（文））直线l 与1l 关于点(11)，－成中心对称，若l 的方程是2360x y +-＝，则1l 的方程是__________【答案】2380x y +=＋【解析】在直线1l 上任取一点(,)A x y ，则A 关于点(1,1)-对称点(2,2)B x y ---一定在直线:2360l x y +-=上，故有2(2)3(2)60x y -+---=，即2380x y ++=．故直线l 的方程为2380x y ++=．故答案为：2380x y ++=．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 经过两条直线2380x y ++=和10x y --=的交点，且________，若直线m 与直线l 关于点(1,0)对称，求直线m 的方程．试从∵与直线3280x y ++=垂直，∵在y 轴上的截距为12，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答． 【答案】答案见解析【分析】先求出两直线的交点坐标，若选∵，可设直线l 的方程为230x y c -+=，然后将交点坐标代入可求出c ，可得直线l 的方程，在直线l 上任取两个点，求出这两点关于点(1,0)的对称点，从而可求出直线m 的方程，若选∵，则直线l 过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可求出直线l 的方程，在直线l 上任取两个点，求出这两点关于点(1,0)的对称点，从而可求出直线m 的方程，【详解】由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以交点坐标为(1,2)--． 若选∵，可设直线l 的方程为230x y c -+=，将点(1,2)--代入可得4c =-，即:2340l x y --=．在直线l 上取两点(1,2)--和(2,0)，点(1,2)--关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2)，点(2,0)关于点(1,0)对称的点的坐标为(0,0)，所以直线m 的方程为230x y -=．若选∵，可得直线l 的斜率1(2)520(1)2k --==--，所以直线l 的方程为5122y x =+． 在直线l 上取两点(1,3)和(1,2)--，点(1,3)关于点(1,0)对称的点的坐标为(1,3)-，点(1,2)--关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2)，所以直线m 的方程为232(3)31y x +-=⋅--，即52110x y --=． 【题型专练】1．（2019·全国·高三专题练习（理））若直线1:2l y kx k =-+与直线2l 关于点(2,1)对称，则直线2l 恒过定点 A ．(3,1)B ．(3,0)C ．(0,1)D ．(2,1) 【答案】B【分析】由题意，设直线2l 上的任意一点(,)A x y ，则点A 关于点(2,1)的对称点为(4,2)B x y --， 又由点B 在直线1:2l y kx k =-+上，代入求得直线2l 的方程，即可求解答案.【详解】由题意，设直线2l 上的任意一点(,)A x y ，则点A 关于点(2,1)的对称点为(4,2)B x y --， 又由点B 在直线1:2l y kx k =-+上，即2(4)2y k x k -=--+，整理得(3)y k x =-，令30x -=，即3x =时，0y =，可得直线2l 过定点(3,0)，故选B.【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线关于点的对称问题，其中解答中根据对称性求得直线2l 的方程，进而判定直线过定点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．（2022·全国·高二课时练习）直线:10l x y -+=关于点3(2,)A -的对称直线的方程为________． 【答案】110x y --=【分析】方法一：设对称直线上一点(,)x y ，则将点(,)x y 关于A 点的对称点在直线l 上，代入即可. 方法二：显然点A 不在直线l 上，设对称直线方程为0x y C -+=，利用点A 到这两条直线的距离相等解出C 即可.方法三：在l 上任取两点，解出这两点关于A 的对称点，利用两点式即可得到直线方程.【详解】方法一 ：设对称直线上一点(,)x y ，则点(,)x y 关于3(2,)A -的对称点为(4,6)x y ---，所以点(4,6)x y ---在直线l 上，代入得110x y --=．方法二 ：易知直线l 关于点A 的对称直线与直线l 平行，故设为0x y C -+=．由点3(2,)A -到这两条直线的距离相等，得2222|2(3)1||2(3)|1(1)1(1)C --+--+=+-+-，解得1=C （舍去）或－11，即所求直线方程为110x y --=．方法三 ：易知点(1,0)-，(0,1)在直线l 上，且它们关于点A 的对称点分别为(5,6)-，(4,7)-，则所求直线的方程为746754y x +-=-+-，即110x y --=． 故答案为：110x y --=.3.（·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________.【答案】210x y --=【解析】设直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为l '，在l '上任取一点(),P x y ，则点P 关于点(1,1)对称的点P '的坐标为()2,2x y --，由题意可知点P '在直线230x y -+=上，故()()22230x y ---+=，整理可得210x y --=.故答案为：210x y --=4.（全国高二课时练习）已知直线1:220l x y ++=与2:40l x by c ++=关于点(1,0)P 对称，则b c +=______.【答案】-10【解析】在直线1:220l x y ++=上取点(1,0)M -，(0,2)N -，M ，N 关于点(1,0)P 对称的点分别为11(3,0),(2,2)M N .点11(3,0),(2,2)M N 在直线2:40l x by c ++=上，120,820c b c ∴+=++=，解得12,2c b =-=， 10∴+=-b c .故答案为：10-题型四：直线关于直线对称问题【例1】（全国高二专题练习）直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（ ）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-= 【答案】A【解析】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则00001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=， 即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=.故选：A.【例2】（2021·全国·高二专题练习）直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是（ ） A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-= 【答案】A【解析】设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，根据对称关系求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩,代入直线210y x -+=的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，则111113022y y x x y y x x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩, 由对称性得Q 在直线210y x -+=上，()()23310x y ∴--++=,即280x y --=,故选：A.【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.【例3】（广东湛江）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；（2）直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；（3）直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．【答案】（1）A ′334(,)1313-；（2）9x －46y ＋102＝0；（3）2x －3y －9＝0.【解析】（1）设A ′(x ，y )，则221,13122310,22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得33,134,13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A ′334(,)1313-. （2）在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则202310,22021,23a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得6,1330,13a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M ′630(,)1313. 设m 与l 的交点为N ，则由2310,3260,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得N (4，3)． 又m ′经过点N (4，3)，∵由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3）法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∵2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.【题型专练】1.（2022·陕西·长安一中高一期末）直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线方程为__________． 【答案】710x y --=【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在1:10l x y +-=任取一点，求得其关于直线2:330l x y --=的对称点，即可求得答案.【详解】联立1:10l x y +-=和直线2:330l x y --=，求得它们的交点为0(1)A ，, 在直线1:10l x y +-=取点(0,1)B ，设其关于2:330l x y --=的对称点为(,)C a b ，则113133022b a a b -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩ ，解得121(,)55C ， 故直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称的直线为AC ,其斜率为11512715=- ，直线方程为1(1)7y x =-，即710x y --=， 故答案为：710x y --=2.（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）直线10x y +-=关于直线20x -=对称的直线方程为___________.【答案】30x y --=【分析】结合点斜式求得直线方程.【详解】直线10x y +-=的斜率为1-，直线10x y +-=关于直线2x =对称的直线的斜率为1，点()0,1是直线10x y +-=上一点，点()0,1关于直线2x =对称点为()4,1，所以直线10x y +-=关于直线20x -=对称的直线方程为()114,30y x x y -=⨯---=. 故答案为：30x y --=3．（全国高二单元测试）已知点()3,8A -和()2,2B ，在x 轴上求一点M ，使得AM BM +最小，则点M 的坐标为（ ）A ．()1,0-B ．220,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．22,05⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,0 【答案】D【解析】找出点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交于M 点，连接BM ，此时||||AM BM +为最短，由B 与B ′关于x 轴对称，(2,2)B ，所以(2,2)B '-，又(3,8)A -，则直线AB '的方程为822(2)32y x ++=--- 化简得：22y x =-+，令0y =，解得1x =，所以(1,0)M 故选：D ．。

第3课时 二次函数的对称性与增减性【知识概述】1. 抛物线2y ax bx c =++是以直线2bx a=-为对称轴的轴对称图形，由此可以进一步得到如下性质： (1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点（特例：如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点）； (2)抛物线上对称两点的纵坐标相等；(3)抛物线线上有两点12x m x m （，），（，），则抛物线的对称轴方程为直线12+2x x x =，进一步可推得1212++22b ba x x x ax =-⇒=-； 2. 对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ， (1) a ＞0时，当2b x a ≥-，y 随x 的增大而增大；当2bx a ≤-时，y 随x 的增大而减小； (2) a ＜0时，当2b x a ≥-，y 随x 的增大而减小；当2bx a≤-时，y 随x 的增大而增大. 【例题精选】例1 抛物线c bx ax y ++=2上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应如下，从表可知：下列说法: ①抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；②函数的最大值为6 ；③抛物线的对称轴是直线12x =，④在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，正确的有____________________.(填序号) 思路点拨：根据表格先找出抛物线上的一对对称点，从而确定抛物线的对称轴位置.例2 已知二次函数2(2)y a x c =-+，图象过点（x 1， y 1），（x 2，y 2），若|x 1-2|＞|x 2-2|，则下列解析式中正确的是（ ）A ． y 1+y 2＞0B ． y 1-y 2＞0C ． a （y 1-y 2）＞0D ． a （y 1+y 2）＞0例3 二次函数221y x x =-+ 在3≤x ≤5范围内的最小值为________ .【配套练习】1. 若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠ 0)过点A (2，m )， B (4，m )，则对称轴是直线 ．2. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：则下列判断:①抛物线开口向上； ②抛物线与轴交于负半轴； ③当＝4时，＞0 ；④方程的正根在3与4之间. 其中判断正确的序号是___.3. 已知抛物线2222y ax ax a =+++（a 为常数）与x 轴交于点(-3，0)，那么该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为 ．4. 已知二次函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，对应的函数值依次为123y y y ，，，当1233x x x -<<<时，123y y y ，，的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．132 y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y <<5. 已知抛物线236y x x k =-+ （k 为常数）经过点A (0.85，y 1)，B (1.1，y 2), C (2，y 3),则有( ) A . y 1＜y 2＜y 3 B . y 1＞y 2＞y 3 C. y 3＞y 1＞y 2 D . y 1＞y 3＞y 26. 若二次函数2y ax bx c =++，当x 取x x x x ≠1212，（） 时，函数值相等，则当12+x x x =时，函数值为（ ） A ．a +c B ．a -c C ． -c D ．c7. 已知关于x 的二次函数 y =a （x -h ）2+k (a ，h ，k 为常数)的图象经过（0，5)，（8，8)两点．若 a ＜0，0＜h ＜8，则下列值中 h 可能取的值是（）A ．1B ．3C ． 4D ．58. 已知一个二次函数图象经过P 1（-3，y 1），P 2（-1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点， 若y 3＜y 2＜y 4，则y 1，y 2，y 3，y 4的最值情况是（ ）A ．y 3最小，y 1最大B ．y 3最小，y 4最大C ．y 1最小，y 4最大D ．无法确定 9. 已知二次函数221y x mx =-+ （m 为常数），当自变量x 的值满足-1≤x ≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为-2，则m 的值为 ． 10. 已知二次函数y ＝a （x +a ）（x +a -1）．（1）当a ＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a ＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由． （3）当0＜x ＜3时，y 随着x 增大而增大，求a 的取值范围．c bx ax y ++=2y x y x y 02=++c bx ax第3课时 二次函数的对称性与增减性参考答案例1 ①③④例2 若a ＞0时，则二次函数图象开口向上，∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，∴y 1＞y 2，∴a （y 1﹣y 2）＞0，但无法确定y 1+y 2的正负情况；若a ＜0时，则二次函数图象开口向下，∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，∴y 1＜y 2，∴a （y 1﹣y 2）＞0，但无法确定y 1+y 2的正负情况，综上所述，解析式正确的是a （y 1﹣y 2）＞0，故选C ．例3 抛物线221y x x =-+开口向上，对称轴是直线x =1，故当3≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，x =3时，y 有最小值4． 【练习】1．x =3 2．④ 3．(1，0) 4．D 5．C 6．D 7．D 8．A 9．-2或 310．(1) 当a ＝2时，y ＝2（x +2）（x +1），∴二次函数的对称轴为直线x ＝-2-12＝－ 32(2) 由题知二次函数与x 轴的交点坐标为（﹣a ，0），（1﹣a ，0），∵a ＜0，∴﹣a ＞0，1﹣a ＞0，∴顶点横坐标112022a a a x -+--==>，当122a x -=时，=04a y >-，∴顶点坐标12)24a a--（，在第一象限． (3) 由(2) 知，二次函数的对称轴为直线x ＝1-2a2，∵当0＜x ＜3时，y 随着x 增大而增大， ∴当a ＞0时，1-2a 2≤0，a ≥12；当a ＜0时，1-2a 2≥3，a ≤－52． ∴a 的取值范围为a ≥12或a ≤－52．。

第3课时画图形的对称轴
教学目的
使学生掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”验证一个图形是不是轴对称图形，并请熟练画出轴对称图形的对称轴。

重点、难点
重点：画轴对称图形的对称轴。

难点：归纳总结画轴对称图形对称轴的方法。

教学过程
一、复习
1.轴对称图形以及它的对称点是怎么定义的?
2．看以下两个图形是否是轴对称图形?你能否画出它的对称轴?
二、新课
1．试着画出下边两个图形的对称轴。

用折叠的方法检验所画的对称轴是否准确，如果准确的话，请你总结方法，并说出如何判断对称轴的位置。

2．对称轴的画法
首先找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点，其次画对称点所连线段的垂直平分线，就得到该图形的对称轴。

3．画轴对称图形的对称轴举例
例1：画出以下图形的对称轴
例2：下面的虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是?
4．如果图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段被对称轴垂直平分。

三、课堂练习
课本P88练习第1、2题。

四、课堂小结
要能熟练地画出轴对称图形的对称轴，知道如果图形关于某条直线对称，那么连结对称点的线段被对称轴垂直平分。

五、作业
课本P93习题10.2第1题。