初二数学勾股定理5[人教版]

初二数学勾股定理知识点(9篇)初二数学勾股定理知识点1逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的`三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

初二数学勾股定理知识点2一、勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：(1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的`一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

数学初二勾股定理公式嘿，大家好，今天咱们聊聊一个很有意思的数学定理，没错，就是那条传说中的勾股定理。

想象一下，在一个阳光明媚的下午，你和小伙伴们在公园里玩飞盘，突然有个朋友问：“嘿，飞盘的最短路径是什么？”你一边扔着飞盘，一边灵机一动，想起了勾股定理，心里暗自得意，心想这可是数学界的一块宝石啊。

勾股定理嘛，说白了就是在直角三角形里，两个直角边的平方和等于斜边的平方。

听起来有点复杂对吧？别急，咱慢慢来。

想象一个直角三角形，左边的边叫做“a”，底下的边叫做“b”，而对角的边，大家都知道的，叫做“c”。

现在，如果你把“a”先平方，也就是“a”乘以“a”，再把“b”也平方，最后把这两个结果加起来，就会得到“c”的平方。

就这样，a² + b² = c²，简单又好记。

说到这，很多小伙伴可能会想：“这和我有什么关系呢？”嘿，别着急，这个定理可不是只在课堂上用的哦！想想你在生活中遇到的那些三角形，比如在家里测量桌子，或者在公园测量一棵树的高度。

这些都能用到勾股定理，真的是不虚此行啊。

再说说它的应用吧，想象一下，假设你正在规划一个花园。

你想要种几棵树，间距得合适，那你就需要测量一下距离。

用勾股定理，能够帮你算出树与树之间的直线距离，省时又省力，简直就是种树神器！想象一下，邻居们看到你花园里那些整齐的树，肯定会夸你有眼光。

还记得小时候玩过的那个“九宫格”吗？它其实也是个三角形的变形。

你可以通过勾股定理来找到对角线的长度。

比如说，九宫格的每一边都是1厘米，那对角线的长度就是√2厘米，哇，听起来高大上吧？这样你就能在玩的时候，顺便锻炼一下自己的数学思维，双赢呀！这个定理可不仅仅是用在直角三角形上。

你还可以把它用在任何需要测量的地方，甚至在建筑工程上，设计师们也常常用它来确保建筑的精确度。

想象一下，建房子的时候要是没用勾股定理，房子歪了，那可就惨了。

你一定不想住在一个像歪脖子鸟的房子里，对吧？说到这里，很多人可能会感慨：“这勾股定理真的无处不在呢！”没错，这就像是一把万能钥匙，帮你打开各种生活中的难题。

勾股定理（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.【典型例题】类型一、勾股定理的应用1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．【答案与解析】解：延长AD、BC相交于点E∵∠B＝90°，∠A＝45°∴∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2∵∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∴ CD＝DE＝1∴12222ABES=⨯⨯=△，111122DCES=⨯⨯=△．∴13222ABE DCEABCDS S S=-=-=△△四边形．【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．举一反三：【变式】（2015•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．【答案】解：如图，过点A 作AD⊥BC 交CB 的延长线于D ，在△ABC 中，∵S △ABC =3，BC=2， ∴AD===3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°， ∴AB=AD=3， BD=AD=3，在Rt△ADC 中，CD=2+3=5， 由勾股定理得，AC===．2、已知直角三角形斜边长为2，周长为26+，求此三角形的面积．【思路点拨】欲求Rt △的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为6，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解． 【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则2222262a b a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 即2264a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③③－②，得22ab =，所以1122ab = 因此这个直角三角形的面积为12．【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、 的值．本题运用了方程思想解决问题．3、（2015春•黔南州期末）长方形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE ．从而设BE 即可表示AE ．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解． 【答案与解析】解：设DE=xcm ，则BE=DE=x ，AE=AB ﹣BE=10﹣x ，△ADE 中，DE 2=AE 2+AD 2，即x 2=（10﹣x ）2+16． ∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．类型二、利用勾股定理解决实际问题4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决． 【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解． 举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得： 12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+= 则AB ＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是15cm ．附录资料：菱形（基础）=【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 知识要点】 要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°， CD=CB ，∠BCO=∠DCO ， ∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ）， ∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可． 【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下： ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形． ∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF ∥BC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3． ∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形． 【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形． 举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。

勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

a . 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法b .若222a bc +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；c .定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时， 称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

第一章勾股定理【知识点归纳】考点一：勾股定理（ 1）对于任意的直角三角形，若是它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么必然有a 2 b 2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（ 2）结论：①有一个角是 30°的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是 45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的考据例题：例 1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在 Rt △ABC中，∠ C=90°①若 a=5，b=12，则 c=___________；②若 a=15， c=25，则 b=___________；③若 c=61， b=60，则 a=__________；④若 a∶b=3∶4，c=10 则 Rt△ABC的面积是 =________。

（ 2）若是直角三角形的两直角边长分别为n 21，（），那么它的斜边长是（）2n n>1A 、 2n B、 n+1C、n2－1D、n21（ 3）在 Rt △ABC中， a,b,c为三边长，则以下关系中正确的选项是（）A. a2b2c2B.a2c2b2C. c2b2a2D.以上都有可能（ 4）已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25B、 14C、7D、7 或 25例2：已知直角三角形的一边以及别的两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（ 1）直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 __________。

（ 2）已知 Rt△ABC中，∠ C=90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则 Rt△ABC的面积是（）A 、 24 cm2、36cm 2C、48cm 2D、60cm 2B（3）已知 x、 y 为正数，且│ x2 -4 │+（y2-3 ）2=0，若是以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、 25C、7D、15例 3：研究勾股定理的证明有四个斜 c、两直角 a,b 的全等三角形，拼成如所示的五形，利用个形明勾股定理。

勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长． 【答案与解析】 解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268x =+． 所以2268366410010x =++==． 当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=． 所以228664362827x =--== 所以这个三角形的第三边为10或7【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长． 【答案】 解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=． ∴ 819BD ==．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 255CD ==．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32． ②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42． 综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点． 求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ． 【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ． ∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ， ∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°， ∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=， ∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证． 举一反三：【变式】已知，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【答案与解析】解：△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3， ∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25，∴BE 2+EF 2=BF 2， ∴∠BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE 2+EF 2=BF 2. 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝62，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．【答案】解：连接AD ．∵ DF 是线段AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝62，∴ ∠BAD ＝∠B ＝22.5° 又∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝45°，AE ⊥BC ， ∴ ∠DAE ＝45°，∴ AE ＝DE 由勾股定理得：222AE DE AD +=，∴ 222(62)AE =，∴ 6262AE ==． 4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123S S S 、、表示，则不难证明123S S S =+．(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123S S S 、、表示，那么123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123S S S 、、表示，请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明．【答案与解析】解：设Rt △ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a b c 、、，则222a b c +=． (1) 123S S S =+；(2) 123S S S =+．证明如下：显然，2134S c =，2234S a =，2334S b =， 所以22223133()44S S a b c S +=+==． 【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等． 5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状. 【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ： 2226981610250a a b b c c -++-++-+= ∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c === ∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况． 【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度． 在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=． 在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ． 【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解． 举一反三： 【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中， ∵BC=20尺，AC=5×3=15尺， ∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．附录资料：菱形（基础）=【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE=FC ，∠CFD=∠CEB=90°． 在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ）， ∴DF=BE ．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质． 举一反三： 【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 上的一点，连接DE 交AC 于点O ，连接BO ，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°， CD=CB ，∠BCO=∠DCO ， ∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ）， ∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1.类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。

初二数学勾股定理的简单应用数学是一门非常重要的学科，在我们的日常生活中，数学无处不在。

而勾股定理则是数学中的一个重要理论。

在初二数学课程中，我们需要学习如何应用勾股定理来解决一些简单的问题。

下面，我将介绍勾股定理的基本原理以及其在初二数学中的简单应用。

一、勾股定理的基本原理勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用数学符号表示为：a^2+b^2=c^2。

其中a、b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。

这是一个非常重要的数学公式，它是很多数学问题的基础。

二、勾股定理在初二数学中的简单应用1. 求斜边当我们已知一个直角三角形的两条直角边的长度时，我们可以用勾股定理求出斜边的长度。

具体方法是，将已知的两条直角边的平方和相加，再开平方根即可。

2. 判断一个三角形是否为直角三角形如果一个三角形的三条边的长度满足勾股定理，那么它就是一个直角三角形。

如果三角形不是直角三角形，那么它的三条边的长度就不满足勾股定理。

3. 求两点间的距离我们可以将两点看作平面直角坐标系中的两个坐标点，然后用勾股定理求出这两个点之间的距离。

具体方法是，将两个点的坐标差的平方和相加，再开平方根即可。

4. 确定角度当我们已知直角三角形的两条直角边的长度时，我们可以用勾股定理求出斜边与某一直角边的夹角的正弦、余弦和正切值。

具体方法是，对于正弦、余弦和正切，分别用一个已知边的长度除以斜边的长度即可。

总结：初学勾股定理时，应该首先掌握它的基本原理，例如勾股定理公式的含义和用法。

随后，需要了解勾股定理在初二数学中的简单应用，比如求斜边、判断一个三角形是否为直角三角形、求两点间的距离和确定角度等。

只有掌握了勾股定理的基本原理，并能熟练应用其简单的应用，才能在以后的学习和应用中更加轻松自如。

人教版初二下册勾股定理教学设计一、课题：勾股定理二、课型：新授课三、课时：一课时四、课本剖析：（一）主要内容本章是人教版《数学》八年级下册第17章第一节，本节的主要内容是勾股定理的探究，课本从实践探索入手，给学生创设学习情境。

（二）相关要求掌握勾股定理的证明要领，会初步运用勾股定理举行简略的谋略和实际运用（三）课本的身分和作用在本节课以前，学生学习了一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的鉴定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab+b2。

学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。

这一定理展现了直角三角形三边之间的数量干系，为以后学习怎样解直角三角形和二次根式做铺垫。

议决探索还掌握新的数学证明方法——等面积法。

（四）数学思想和要领掌握等面积要领和数形连合的数学思想。

五、学情剖析：由于该堂课采取了“等面积”要领来证明勾股定理，这种要领在以前的学习中不常用，要是只是老师讲授，学生不会留住深刻印像。

因此，我们采取分组探索的方法。

又思虑到学生的环境不同，将学生举行合理分派，在活动前对学生举行勉励，告诉他们该节课的学与以前的基础知识关联不大，而且要修业生多动口、动手、动脑，以学生自主探究为主。

六、传授目标：（一）知识与技术：明白勾股定理的面积证法和数形连合的思想，理解和掌握勾股定理内容及简略应用；培育学生动口、动手、动脑和合作探究的综合能力，提拔学生自主学习能力、思考能力和创新能力。

（二）情绪与代价：学生动手探究出数学的玄妙，感受到数形连合的美，抵达学生爱学、会学、学会的目标。

七、传授重点和难点：（一）传授重点：勾股定理的在办理数学标题中的灵敏应用（二）传授难点：勾股定理的证明八、传授要领：学生自己探究，将讲堂以学生为主，举行分组讨论。

学生利用新的数学思想来证明本节课的定理。

学生能够灵敏的掌握勾股定理的应用，感受等面积法和数形连合的美。

初二数学下册勾股定理知识点及常考题型初二数学下册：勾股定理知识点及常考题型_三角形_关系_方法《勾股定理》知识点1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

即：a²+b²＝c²要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一。

其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。

2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。

运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。