全等三角形(1)_初中数学
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一、选择题1.如图,在ABC 和AEF 中,EAC BAF ∠=∠,EA BA =,添加下面的条件:①EAF BAC ∠=∠;②E B ∠=∠;③AF AC =;④EF BC =,其中可以得到ABC AEF ≌△△的有( )个.A .1B .2C .3D .42.如图,在△ABC 中,∠B =∠C =50°,BD =CF ,BE =CD ,则∠EDF 的度数是( )A .40°B .50°C .60°D .30°3.如图,BD 是四边形ABCD 的对角线, AD//BC ,AB AD <,分别过点A ,C 作AE BD ⊥,CF BD ⊥,垂足分别为点E ,F ,若BE DF =,则图中全等的三角形有( )A .1对B .2对C .3对D .4对4.如图,点O 在ABC 内,且到三边的距离相等.若110BOC ∠=°,则A ∠的度数为( )A .40︒B .45︒C .50︒D .55︒5.下列说法正确的是( )①近似数232.610⨯精确到十分位;②在2,()2--,38-,2--中,最小的是38-;③如图所示,在数轴上点P 所表示的数为15-+;④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时,首先应假设“这个三角形中有两个钝角”;⑤如图,在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等,则点P 是三个角平分线的交点.A .1B .2C .3D .46.对于ABC 与DEF ,已知∠A=∠D ,∠B=∠E ,则下列条件:①AB=DE ;②AC=DF ;③BC=DF ;④AB=EF 中,能判定它们全等的有( )A .①②B .①③C .②③D .③④ 7.如图,AB BC ⊥,CD BC ⊥,AC BD =,则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A .SASB .AASC .SSSD .HL8.如图,OB 平分∠MON ,A 为OB 的中点,AE ⊥ON ,EA=3,D 为OM 上的一个动点,C 是DA 延长线与BC 的交点,BC //OM ,则CD 的最小值是( )A .6B .8C .10D .129.如图,在ABC 和△FED 中,AD FC =,AB FE =,下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是( )A .BC ED =B .A F ∠=∠C .B E ∠=∠D .//AB EF 10.下列命题,真命题是( )A .全等三角形的面积相等B .面积相等的两个三角形全等C .两个角对应相等的两个三角形全等D .两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等11.如图,已知AE 平分∠BAC ,BE ⊥AE 于E ,ED ∥AC ,∠BAE =34°,那么∠BED =( )A .134°B .124°C .114°D .104°12.如图,要判定△ABD ≌△ACD ,已知AB =AC ,若再增加下列条件中的一个,仍不能说明全等,则这个条件是( )A .CD ⊥AD ,BD ⊥ADB .CD =BDC .∠1=∠2D .∠CAD =∠B AD二、填空题13.如图,四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,AC 平分DAB ∠,CM AB ⊥于点M ,若4cm AM =, 2.5cm BC =,则四边形ABCD 的周长为______cm .14.如图,已知//AD BC ,点E 为CD 上一点,AE ,BE 分别平分DAB ∠,CBA ∠.若3cm AE =,4cm BE =,则四边形ABCD 的面积是________.15.已知70COB ∠=,30AOB ∠=,OD 平分AOC ∠,则BOD ∠=_________ 16.如图,AD 为∠CAF 的角平分线,BD=CD ,∠DBC=∠DCB ,∠DCA=∠ABD ,过D 作DE ⊥AC 于E ,DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ,则下列结论:①△CDE ≌△BDF ;②CE=AB+AE ;③∠DAF=∠CBD .其中正确的结论有_____.(填序号)17.如图,在四边形ABCD 中,90A ∠=︒,3AD =,连接BD ,BD CD ⊥,ADB C ∠=∠.若P 是BC 边上一动点,则DP 长的最小值为_______.18.如图所示,已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上,∠A=∠F ,AC=FE ,要使△ABC ≌△FDE ,还需添加一个条件,这个条件可以是___________________ .(只需填一个即可)19.如图,已知AB AC =,D 为BAC ∠的角平分线上面一点,连接BD ,CD ;如图,已知AB AC =,D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点,连接BD ,CD ,BE ,CE ;如图,已知AB AC =,D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点,连接BD ,CD ,BE ,CE ,BF ,CF ;…,依此规律,第n 个图形中有全等三角形的对数是______.20.如图,已知点(44)A -,,一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转,角的两边分别交x 轴正半轴,y 轴负半轴于E 、F ,连接EF .当△AEF 直角三角形时,点E 的坐标是________.三、解答题21.如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,点D 在边BC 上(不与点B ,C 重合),过点C 作CE ⊥AD ,垂足为点E ,交AB 于点F ,连接DF .(1)请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系;(2)若点D 是BC 中点,在图2中画出图形,猜想线段AD ,CF ,FD 之间的数量关系,并证明你的猜想.22.如图,在Rt ABC △和Rt DEF △中,90C F ∠=∠=︒,点A 、E 、B 、D 在同一直线上,BC 、EF 交于点M ,AC DF =,AB DE =.求证:(1)CBA FED ∠=∠;(2)AM DM =.23.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,D 是AB 上的一点,过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ,CE=DE .连接CD 交BE 于点F .(1)求证:BC=BD ;(2)若点D 为AB 的中点,求∠AED 的度数.24.OAB 和ODE 均为等腰三角形,且AOB DOE β∠=∠=,OA OB =,OD OE =,连接AD 、BE ,它们所在的直线交于点F .(1)观察发现:如图1,当60β︒=时,线段AD 与BE 的数量关系是______,AFB ∠的度数是______;(2)探究证明:如图2,当90β︒=时,线段AD 与BE 的数量关系是______,AFB ∠的度数是______,根据图2证明你的猜想;(3)拓展推广:当β为任意角时,线段AD 与BE 的数量关系是______,AFB ∠的度数是______.(用含β的式子表示)25.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,D 是BC 的中点,证明:∠B =∠C .26.在数学课本中,有这样一道题:如图1,AB ∥CD ,试用不同的方法证明∠B +∠C =∠BEC(1)某同学写出了该命题的逆命题,请你帮他把逆命题的证明过程补充完整.已知:如图1,∠B +∠C =∠BEC求证:AB ∥CD证明:如图2,过点E ,作EF ∥AB ,∴∠B =∠∵∠B +∠C =∠BEC ,∠BEF +∠FEC =∠BEC (已知)∴∠B +∠C =∠BEF +∠FEC (等量代换)∴∠ =∠ (等式性质)∴EF ∥∵EF ∥AB∴AB ∥CD (平行于同一条直线的两条直线互相平行)(2)如图3,已知AB ∥CD ,在∠BCD 的平分线上取两个点M 、N ,使得∠BMN =∠BNM ,求证:∠CBM =∠ABN .(3)如图4,已知AB ∥CD ,点E 在BC 的左侧,∠ABE ,∠DCE 的平分线相交于点F .请直接写出∠E 与∠F 之间的等量关系.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】根据EAC BAF ∠=∠,EAF EAC CAF ∠=∠+∠,BAC BAF CAF ∠=∠+∠,经推到得EAF BAC ∠=∠;再结合全等三角形判定的性质分析,即可得到答案.【详解】∵EAC BAF ∠=∠,EAF EAC CAF ∠=∠+∠,BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠E B ∠=∠,即E B EAF BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()ASA ,故②符合题意;AF AC =,即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()SAS ,故③符合题意;①和④不构成三角形全等的条件,故错误;故选:B .【点睛】本题考查了全等三角形的知识;解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质,从而完成求解.2.B解析:B【分析】由SAS 证明△BDE ≌△CFD ,得出∠BDE=∠CFD ,∠EDF 可由180°与∠BDE 、∠CDF 的差表示,进而求解即可.【详解】解:在△BDE 与△CFD 中,BD CF B C BE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△BDE ≌△CFD (SAS );∴∠BDE=∠CFD ,∴∠EDF=180°-(∠BDE+∠CDF )=180°-(∠CFD+∠CDF )=180°-(180°-∠C )=50°; 故选:B .【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件. 3.C解析:C【分析】根据AD //BC 证得ADB CBD ∠=∠,由BE DF =得到BF=DE ,由此证明△ADE ≌△CBF ,得到AE=CF ,AD=CB ,由此证得△ABE ≌△CDF ,得到AB=CD ,由此利用SSS 证明△ABD ≌△CDB.【详解】解:∵AD //BC ,∴ADB CBD ∠=∠,BE DF =,BF DE ∴=,AE BD ⊥,CF BD ⊥,AED CFB ∠∠∴=90=,()ADE CBF ASA ∴≅,AE CF ∴=,AD CB =,∵∠AEB=∠CFD 90=,BE=DF ,()ABE CDF SAS ∴≅,AB CD ∴=,BD DB =,AB=CD ,AD CB =,()ABD CDB SSS ∴≅,则图中全等的三角形有:3对,故选:C .【点睛】此题考查三角形全等的判定定理:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ,根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.4.A解析:A【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ,利用三角形内角和可求得∠A .【详解】解:∵点O 到ABC 三边的距离相等,∴BO 平分ABC ∠,CO 平分ACB ∠,∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠()1802OBC OCB =︒-∠+∠()1802180BOC =︒-⨯︒-∠()1802180110︒=︒-⨯-︒40=︒.故选A .【点睛】本题主要考查角平分线的性质,掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键.5.B解析:B【分析】根据近似数的精确度定义,可判断①;根据实数的大小比较,可判断②;根据点在数轴上所对应的实数,即可判断③;根据反证法的概念,可判断④;根据角平分线的性质,可判断⑤.【详解】①近似数232.610⨯精确到十位,故本小题错误;()22--=2=-,-=③在数轴上点P 所表示的数为1-+④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时,首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”,故本小题错误;⑤在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等,则点P 是三个角平分线的交点,故本小题正确.故选B【点睛】本题主要考查近似数的精确度定义,实数的大小比较,点在数轴上所对应的实数,反证法的概念,角平分线的性质,熟练掌握上述知识点,是解题的关键.6.A解析:A【分析】根据已知条件,已知两角对应相等,所以要证两三角形全等,可以根据角边角、角角边、边角边判定定理添加条件,再根据选项选取答案即可;【详解】题意已知:∠A=∠D ,∠B=∠E ,∴①根据“ASA”可添加AB=DE ,故①正确;②根据“AAS” 可添加AC=DF ,故②正确;③根据“AAS” 可添加BC=EF ,故③错误;④根据“ASA”可添加AB=DE ,故④错误;所以补充①②可判定两三角形全等;故选:A .【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定,根据不同的判定方法可选择不同的条件,所以对三角形全等的判定定理要熟练掌握并归纳总结;7.D解析:D【分析】直接证明全等三角形,即可确定判断方法.【详解】解:∵AB BC ⊥,CD BC ⊥,∴ABC 与△DCB 均为直角三角形,又AC DB =,BC CB =, ∴()ABC DCB HL ≅,故选:D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理,属于基础题.8.A解析:A【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时,CD 取最小值,先利用角平分线的性质得出AD =AE =3,利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3,进而解答即可.【详解】解:由题意得,当CD ⊥OM 时,CD 取最小值,∵OB 平分∠MON ,AE ⊥ON 于点E ,CD ⊥OM ,∴AD =AE =3,∵BC ∥OM ,∴∠DOA =∠B ,∵A 为OB 中点,∴AB =AO ,在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3,∴336CD AC AD =+=+=,故选A .【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离,关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3.9.C解析:C【分析】由AD FC =推出AC=FD ,根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定.【详解】∵AD FC =,∴AC=FD ,∵AB FE =,∴当A F ∠=∠(//AB EF 也可得到)或BC ED =时,即可判定F ABC ED ≌△△, 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△,故选:C .【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等,熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键.10.A解析:A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可.【详解】解:A 、全等三角形的面积相等,本选项说法是真命题;B 、面积相等的两个三角形不一定全等,本选项说法是假命题;C 、两个角对应相等的两个三角形相似,但不一定全等,本选项说法是假命题;D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,本选项说法是假命题; 故选:A .【点睛】本题考查全等三角形的应用,熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键. 11.B解析:B【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可;【详解】∵AE 平分∠BAC ,∠BAE =34°,∴34EAC ∠=︒,∵ED ∥AC ,∴18034146AED∠=︒-︒=︒,∵BE⊥AE,∴90AEB=︒∠,∴36090146124BED∠=︒-︒-︒=︒;故答案选B.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质,结合周角的定理计算是解题的关键。
10.1全等三角形(一)教案教学目标:1、了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式.2、能灵活地运用“边角边”基本事实、“角边角”基本事实、“边边边”基本事实和定理“角角边”定理判定两个三角形全等.3、对推理证明的要求,应在学生已有的基础上,进一步熟练和提高.学情分析:这部分知识在七年级上册已经学习过,了解了与全等相关的部分知识,解决问题的方法等,且现阶段的学生的逻辑思维能力已经初步形成,有了系统分析问题的能力,所以学习本章内容相对的来说比较容易.重点难点:1.重点是了解全等三角形的三条基本事实及“角角边”定理,掌握证明两三角形全等的基本步骤和书写格式.2.难点是灵活运用课本知识解决全等的相关问题.教学过程第一学时教学活动一、复习回顾自学课本《三角形的有关证明》第1节《全等三角形》的第1课时内容,完成《学案》中的预习作业:1.能够完全重合的两个图形叫做全等图形;能够_________________叫做全等三角形.2.全等三角形的对应边__________、对应角__________.3.关于三角形全等的基本事实分别是:(1) _________________________________________的两个三角形全等(SSS)(2) _________________________________________的两个三角形全等(SAS)(3) _________________________________________的两个三角形全等(ASA)4. (1)三个角对应相等的两个三角形全等吗?(2)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?(3)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等吗?5.在证明三角形全等的书写格式上应注意什么?二、合作探究探究1关于“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论,你能用有关的基本事实和已经证明过的定理证明它吗?已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B',∠C=∠C',AB=A'B ' .求证:△ABC≌△A'B'C' .归纳总结:推论(AAS)合作探究2.已知:如图,线段AB和CD相交于点O,线段OA=OD,OC=OB.求证:AC=BD,∠A=∠D【思路导析】本题中利用了对等角这一隐含的条件3归纳证明的书写步骤。
全等三角形知识点总结在初中数学学习中,我们学习到了三角形的全等。
全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点,也是基础中的基础。
全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。
本文将对全等三角形的相关知识点进行总结,帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。
一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢?全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下,我们就可以称这两个三角形是全等的。
用符号来表示的话,就是∆ABC≌∆DEF,其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点,D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。
全等三角形的性质1、全等三角形的性质1:对应角相等如果两个三角形是全等的,那么它们的三个对应角分别相等。
也就是说,在全等三角形中,三个对应角是相等的。
2、全等三角形的性质2:对应边相等如果两个三角形是全等的,那么它们的三个对应边分别相等。
也就是说,在全等三角形中,三个对应边是相等的。
3、全等三角形的性质3:对应线段相等如果两个三角形是全等的,那么它们的对应线段(如中线、角平分线等)也相等。
二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法,下面我们分别来看看。
1、全等三角形的判定方法一:SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。
也就是说,如果两个三角形的一个角和两个边分别相等,则这两个三角形是全等的。
判定条件:如果在两个三角形中,一对对应边相等,且夹在中间的对应角也相等,那么这两个三角形是全等的。
2、全等三角形的判定方法二:ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。
也就是说,如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等,则这两个三角形是全等的。
判定条件:如果在两个三角形中,一对对应角相等,且夹在中间的对应边也相等,那么这两个三角形是全等的。
3、全等三角形的判定方法三:SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。
也就是说,如果两个三角形的三条边分别相等,则这两个三角形是全等的。
三角形是初中数学中重要的几何形状,而全等三角形是其中的一个重要概念。
全等三角形具有相同的形状和相同的大小,是重要的几何性质之一。
在本文中,我们将探讨两边及一角的平分线相等的三角形全等的性质和应用。
一、全等三角形的定义1.1 两个三角形全等的定义全等三角形是指在几何形状上,两个三角形的对应边相等,对应角相等的情况下,两个三角形全等。
1.2 全等三角形的符号表示两个全等三角形可以用符号来表示,常用的表示方法是△ABC ≌ △DEF,其中△ABC 代表一个三角形,△DEF 表示另一个三角形。
二、两边及一角的平分线相等的三角形全等的条件2.1 两个三角形的对应边相等当两个三角形的对应边分别相等时,可以推断这两个三角形全等。
2.2 两边及一角的平分线相等若两个三角形的一个角和它们的两边的切线相等,则这两个三角形全等。
2.3 证明方法要证明两边及一角的平分线相等的三角形全等,可以通过 SSS 全等判据(三边对应相等判据)、SAS 全等判据(两边及夹角对应相等判据)、AAS 全等判据(两角及夹边对应相等判据)进行证明。
三、全等三角形的性质和应用3.1 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质:(1)全等三角形的对应边相等(2)全等三角形的对应角相等(3)全等三角形的面积相等3.2 全等三角形的应用全等三角形的性质和条件在几何问题中有着广泛的应用:(1)在证明几何定理时,可以利用全等三角形的性质进行证明。
(2)在计算三角形的面积时,可以利用全等三角形的面积相等性质,简化计算步骤。
(3)在解决实际问题中,可以利用全等三角形的特性,求解未知长度和角度。
四、如何判断两边及一角的平分线相等的三角形全等4.1 观察三角形的给定条件要判断两边及一角的平分线相等的三角形全等,需要观察给定的三角形条件,看是否满足两边及一角的平分线相等的条件。
4.2 应用全等三角形的判定条件根据全等三角形的判定条件,可以利用SSS 全等判据、SAS 全等判据、AAS 全等判据等进行判断。
初中数学全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理:
(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
4、全等变换
只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
证明三角形全等的常见思路全等三角形是初中几何的重要内容之一,全等三角形的学习是几何入门最关键的一步,这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习.而一些初学的同学,虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论,但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等.通过对以下几种证明三角形全的分析,体会常见思路。
知识点睛全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,(对应线段相等)对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.寻找对应边和对应角,常用到以下方法:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法:(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 2.证题的思路:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.一、已知一边与其一邻角对应相等1.证已知角的另一边对应相等,再用SAS证全等.例1 已知:如图1,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C .求证:AF=DE.证明∵BE=CF(已知),∴BE+ EF=CF+EF,即 BF=CE.在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE(SAS).∴ AF=DE(全等三角形对应边相等).2.证已知边的另一邻角对应相等,再用ASA证全等.例2 已知:如图2,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证:AE=CE.证明∵ FC∥AB(已知),∴∠ADE=∠CFE(两直线平行,内错角相等).在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(ASA).∴ AE=CE(全等三角形对应边相等)3.证已知边的对角对应相等,再用AAS证全等.例3 (同例2).证明∵ FC∥AB(已知),∴∠A=∠ECF(两直线平行,内错角相等).在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(AAS).二、已知两边对应相等1.证两已知边的夹角对应相等,再用SAS证等.例4 已知:如图3,AD=AE,点D、E在BC上,BD=CE,∠1=∠2.求证:△ABD≌△ACE证明∵∠1=∠2(已知),∠ADB=180°-∠1,∠AEC=180°-∠2(邻补角定义),∴∠ADB = ∠AEC,在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS).2.证第三边对应相等,再用SSS证全等.例5 已知:如图4,点A、C、B、D在同一直线上,AC=BD,AM=CN, BM=DN.求证: AM∥CN,BM∥DN.证明∵ AC=BD(已知)∴AC+BC=BD+BC,即 AB=CD.在△ABM和△CDN中,∴△ABM≌△CDN(SSS)∴∠A=∠NCD,∠ABM=∠D(全等三角应角相等),∴ AM∥CN,BM∥DN(同位角相等,两直线平行).三、已知两角对应相等1.证两已知角的夹边对应相等,再用ASA证全等.例6 已知:如图5,点B、F、C、E在同一条直线上,FB=CE,∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.求证: AB=DE, AC=DF.证明∵ FB=CE(已知)∴ FB+FC=CE+FC,即 BC=EF,∴ AB=DE,AC=DF(全等三角形对应边相等)2.证一已知角的对边对应相等,再用AAS证全等.例7 已知:如图6,AB、CD交于点O,E、F为AB上两点,OA=OB,OE=OF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF. 求证:△ACE ≌△BDF.证明∵OA=OB,OE=OF已知),∴OA-OE=OB-OF,即 AE=BF,在△ACE和△BDF中,∴△ACE≌△BDF(AAS).四、已知一边与其对角对应相等,则可证另一角对应相等,再利用AAS证全等例8 已知:如图7,在△ABC中,B、D、E、C在一条直线上,AD=AE,∠B=∠C.求证:△ABD≌△ACE.证明∵AD=AE(已知)∴∠1=∠2(等边对等角),∵∠ADB=∠180°-∠1,∠AEC=180°-∠2(邻补角定义),∴∠ADB=∠AEC,在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(AAS).全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法△ABC中,AD是BC边中线方式1:直接倍长(图1):延长AD到E,使DE=AD,连接BEAAB CED F C BAD CB A方式2:间接倍长1) (图2)作CF ⊥AD 于F ,作BE ⊥AD 的延长线于E, 连接BE 2) (图3)延长MD 到N ,使DN=MD ,连接CD【经典例题】1、已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3, 则中线AD 的取值范围是_________.(提示:画出图形,倍长中线AD ,利用三角形两边之和大于第三边)例2:已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上, E 在AC 的延长线上, DE 交BC 于F ,且DF=EF.求证:BD=CE(提示:方法1:过D 作DG ∥AE 交BC 于G ,证明ΔDGF ≌ΔCEF 方法2:过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ,证明ΔEFG ≌ΔDFB方法3:过D 作DG ⊥BC 于G ,过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ,证明ΔBDG ≌ΔECH )例3、如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF ,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.变式:如图,AD 为ABC ∆的中线,DE 平分BDA ∠交AB 于E ,DF 平分ADC ∠交AC 于 F. 求证:EF CF BE >+(提示:方法1: 在DA 上截取DG=BD ,连结EG 、FG , 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三方法2:倍长ED 至H ,连结CH 、FH ,证明FH=EF 、CH=BE ,利用三角形两三边)例4:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF (提示:方法1:倍长AD 至G ,连接BG ,证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。
13.1.1 全等三角形【教材分析】全等三角形是八年级上册人教版数学教材第十一章第一节的教学内容。
本节课是“全等三角形”的开篇,是全等三角形全等的条件的基础,也是进一步学习四边形、圆等图形的基础之一。
全等三角形是研究图形的重要工具,学生只有掌握好全等三角形的内容,并且能灵活的运用他们,本章是在学过了线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识以及在七年级教材中的一些简单的说理内容之后来学习,为学习全等三角形奠定了基础。
通过本章的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识,同时为学生今后学习相似三角形奠定了基础,三角形全等的部分判定定理,可以直接类比到相似三角形的判定中去,因此本章相关知识的学习对于学生初步了解平面图形的运动性质具有重要意义.【课时分配】【教学目标】➢1.知识与技能经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程,掌握全等三角形的概念和性质。
理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。
➢2.过程与方法建立符号意识和空间观念,初步形成几何直观,发展形象思维与抽象思维。
经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角。
在参与观察、猜想数学活动中,发展演绎推理能力,清晰地表达自己的想法。
学会独立思考,体会数学的比较归纳基本思想和思维方式。
➢3.情感、态度与价值观积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲。
在数学学习过程中,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心。
体会数学的特点,了解数学的价值。
养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。
形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。
【重点难点】➢重点:经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程,掌握全等三角形的概念和性质。
理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。
➢难点:建立符号意识和空间观念,初步形成几何直观,发展形象思维与抽象思维。
经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角。
13.1.1 全等三角形【教材分析】全等三角形是八年级上册人教版数学教材第十一章第一节的教学内容。
本节课是“全等三角形”的开篇,是全等三角形全等的条件的基础,也是进一步学习四边形、圆等图形的基础之一。
全等三角形是研究图形的重要工具,学生只有掌握好全等三角形的内容,并且能灵活的运用他们,本章是在学过了线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识以及在七年级教材中的一些简单的说理内容之后来学习,为学习全等三角形奠定了基础。
通过本章的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识,同时为学生今后学习相似三角形奠定了基础,三角形全等的部分判定定理,可以直接类比到相似三角形的判定中去,因此本章相关知识的学习对于学生初步了解平面图形的运动性质具有重要意义.【课时分配】【教学目标】➢1.知识与技能经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程,掌握全等三角形的概念和性质。
理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。
建立符号意识和空间观念,初步形成几何直观,发展形象思维与抽象思维。
经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角。
在参与观察、猜想数学活动中,发展演绎推理能力,清晰地表达自己的想法。
学会独立思考,体会数学的比较归纳基本思想和思维方式。
➢3.情感、态度与价值观积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲。
在数学学习过程中,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心。
体会数学的特点,了解数学的价值。
养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。
形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。
【重点难点】➢重点:经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程,掌握全等三角形的概念和性质。
理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。
➢难点:建立符号意识和空间观念,初步形成几何直观,发展形象思维与抽象思维。
经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角。
初二数学关于全等三角形知识点初二数学全等三角形知识点篇1全等图形、全等三角形1.全等图形:两个可以完全重叠的图形是全等图形。
2.全等图形的性质:全等多边形的对应边、对应角分别相等。
全等多边形的面积相等。
3.全等三角形:三角形是特殊的多边形,因此,全等三角形的对应边、对应角分别相等。
同样,如果两个三角形的边、角分别对应相等,那么这两个三角形全等。
描述:全等三角形对应边的高度和中线相等,对应角的平分线相等;全等三角形的周长和面积也相等。
这里要注意:(1)周长相等的两个三角形,不一定全等;(2)面积相等的两个三角形,也不一定全等。
全等三角形1、全等符号:"≌"。
如图,不是为:△ABC≌△A′B′C′。
读作:三角形ABC全等于三角形A′B′C′。
2、全等三角形的判定定理:(1)有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。
(即SAS,"边角边");(2)有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。
(即ASA,"角边角")(3)有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。
(即AAS,"角角边")(4)有三边对应相等的两三角形全等。
(即SSS,"边边边")(5)有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。
(即HL,"斜边直角边")全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等;(2)全等三角形的周长相等、面积相等;(3)全等三角形对应边上的中线、高,对应角的平分线都相等。
等腰三角形(一)性质定理:1、定理:等腰三角形的两底角相等。
(简称"等边对等角");2.定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。
3、等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
(即"等腰三角形的三线合一")(2)等边三角形各角都相等,并且每个角为60o。
内容基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念,了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质;会应用三角形全等的性质和判定解决简单问题会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系一、全等的概念全等图形:能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形:能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等.如下图,两个全等的五边形,记作:五边形ABC D E ≌五边形'''''A B C D E . 这里符号“≌”表示全等,读作“全等于”.A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形:能够完全重合的三角形就是全等三角形.全等三角形的对应边相等,对应角分别相等;反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为“≌”.全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.寻找对应边和对应角,常用到以下方法:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角.中考要求知识点睛全等三角形的性质及判定(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.二、全等的性质和判定全等三角形的判定方法:(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.奥数赛点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 判定三角形全等的基本思路:SAS H LSSS→⎧⎪→⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边 ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ASAAAS→⎧⎨→⎩ 找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式: ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上. ⑶ 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角). ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合. ⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边). ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.板块一、基本概念及性质判定【例1】 判定两个三角形全等的方法是:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;⑸ ;⑹ .全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 .【例2】 两个三角形具备下列( )条件,则它们一定全等.A .两边和其中一边的对角对应相等B .三个角对应相等C .两角和一组对应边相等D .两边及第三边上的高对应相等【例3】 下列命题错误的是( )A .全等三角形对应边上的高相等B .全等三角形对应边上的中线相等C .全等三角形对应角的角平分线相等D .有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【例4】 考查下列命题:①有两边及一角对应相等的两个三角形全等;②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等;③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等;④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等.其中正确命题的个数有_________个.【例5】 已知A B C ∆中,AB BC AC =≠,作与A B C ∆只有一条公共边,且与A B C ∆全等的三角形,这样的三角形一共能作出 个.【例6】 如右上图所示,AB C D ∥,AC D B ∥,A B C D =,AD 与BC 交于O ,AE BC ⊥于E ,D F BC ⊥于F ,那么图中全等的三角形有哪几对?并简单说明理由.AFEO DC B【例7】 如图所示,AB AD =,BC D C =,E F 、在A C 上,A C 与BD 相交于P .图中有几对全等三角形?请一一找出来,并简述全等的理由.FAE P DCB例题精讲们会全等?(1)阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略). 对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:已知:A B C ∆、111A B C ∆均为锐角三角形,11AB A B =,11BC B C =,1C C ∠=∠.求证:111ABC A B C ∆∆≌.(请你将下列证明过程补充完整.)证明:分别过点B ,1B 作BD AC ⊥于D ,1111B D A C ⊥于1D .则11190BDC B D C ∠=∠=︒, ∵11BC B C =,1C C ∠=∠,∴111BCD B C D ∆∆≌ ∴11BD B D =DCBA D 1C 1B 1A 1(2)归纳与叙述:由⑴可得到一个正确结论,请你写出这个结论.板块一、巩固练习 平移类全等【例1】 已知:如图,AB DE ∥,AC D F ∥,BE C F =. 求证:AB DE =.FEDC B A【例2】 A B C ∆中,,,A B C ∠∠∠的对边长分别为,,a b c .如果1()2b ac <+.求证:1()2B AC ∠<∠+∠.EDCBAABC D AB BC C D E G F EF DG ⊥EF D G =GFEDCBA【巩固】在正方形ABC D 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、C D 、DA 边上的点,且EG FH ⊥,求证:EG FH =.HGF ED CB A【例4】 如图,已知A B C∆⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外),连结AD 、AE ,写出使此图中只存在两对.....面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形; ⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明AB AC AD AE +>+.CBA⑴DE CBA轴对称类全等【例1】 如图所示,O P 是A O C ∠和B O D ∠的平分线,O A O C =,O B O D =.求证:A B C D =.PDBOCA【例2】 如图所示, 已知AB D C =,AE DF =,C E BF =,证明:AF DE =.F DC BA【例3】 如图所示:A B A C =,AD AE =,C D 、BE 相交于点O .求证:O A 平分D AE ∠.AB CDEO【例4】 已知:如图,AD BC =,AC BD =,求证:C D ∠=∠.ODCBA【巩固】如图,已知AC BD =,AD AC ⊥,BC BD ⊥,求证:AD BC =.C BA【例5】 已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB D C =,BE C F =,B C ∠=∠.求证:O A O D =.F E ODCB A【例6】 已知A B C ∆中,A B A C =,BE 、C D 分别是ABC ∠及AC B ∠平分线.求证:C D B E =.ED CB A【巩固】已知,如图,A B A C =,C E A B ⊥,BF AC ⊥,求证:BF C E =.F E CBA【例7】 如图,已知E 是A C 上的一点,又12∠=∠,34∠=∠.求证:ED EB =.E DC B A4321【例8】 已知A B C ∆中,A B A C =,G E 过A 且G E BC ∥,B ∠的平分线与A C 和G E 分别交于D ,E ,C∠的平分线与AB 和G E 分别交于F ,G .求证D E FG =.GFEDCBAC AB CD CE =D C A EC B ∠=∠DAE EBD ∠=∠EDC BA【例9】 如图,在△ABC 中,90BAC ∠=︒,BD 平分ABC ∠交A C 于D ,AE BC ⊥于E 交BD 于G ,F G ∥A C交BC 于F ,连接D F .求证:D F BC ⊥GFEDCBA【例10】 如图,A B C ∆中,A B B C =,90ABC ∠=︒,D 是A C 上一点,且C D C B AB ==,D E AC ⊥交AB 于E 点.求证:AD DE EB ==.CB DEA【例11】 如图,A B C ∆中,A B A C =,D 、E 分别是AB 、A C 的中点,D G BC ⊥于G ,EH BC ⊥于H .求证:D G EH =.HG ED CBA【例12】 在凸五边形中,B E ∠=∠,C D ∠=∠,BC D E =,M 为C D 中点.求证:A M C D ⊥.M EDC B A【巩固】如图,AB AE =,ABC AED ∠=∠,B C E D =,点F 是C D 的中点.求证:AF C D ⊥.F EDC BA【例13】 如图,在等腰A B C ∆中,A B A C =,D 是BC 的中点,过A 作AE DE ⊥,AF DF ⊥,且A E A F =.求证:ED B FD C ∠=∠.DFECBA【例14】 在凸五边形中,B E ∠=∠,C D ∠=∠,BC D E =,M 为C D 中点.求证:A M C D ⊥.M EDC B A中点及中心对称类全等【例5】 如图,AC D E ∥,BC EF ∥,AC D E =.求证:AF BD =.FEDCBA【巩固】如图所示:AB C D ∥,A B C D =.求证:AD BC ∥.DCBA【例6】 如图,已知AB D C =,AD BC =,O 是BD 中点,过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E F ,.求证:E F ∠=∠21OFEDCBA【例7】 如图,AB CD ,相交于点O ,O A O B =,E 、F 为C D 上两点,AE BF ∥,C ED F =.求证:AC BD ∥. OF E DCBA【巩固】如图,在梯形ABC D 中,AD BC ∥,E 为C D 中点,连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F .求FC AD =FEDCBA【例8】 已知:如图,梯形ABC D 中,AD BC ∥,点E 是C D 的中点,BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F .求证:BC E FD E ∆∆≌.DFECBA【例9】 如图,在A B C ∆中,D 是BC 边的中点,F ,E 分别是AD 及其延长线上的点,C F BE ∥.求证:BD E C D F ∆∆≌.FEDCBA【例10】 已知AC B ∆,B AC B ∠=∠,D ,E 分别是AB 及A C 延长线上的一点,且B D C E =,连接D E 交底BC于G ,求证G D G E =.GED C BA旋转类全等【例11】 如图,在R t ABC ∆中,AB AC AD BC =⊥,,垂足为D .E F 、分别是C D AD 、上的点,且C E A F =.如果62AED ∠=︒,那么DBF ∠=__________.FCBA【例12】 E 、F 分别是正方形ABC D 的BC 、C D 边上的点,且BE C F =.求证:AE BF ⊥.PFEDCBA【巩固】E 、F 、G 分别是正方形A B C D 的BC 、C D 、AB 边上的点,G E E F ⊥,G E E F =.求证:B GC F B C +=.GA BC DEF1. 如左下图所示,A B C ∆中,D 、E 分别在A C 、AB 上,BD 与C E 交于点O ,给出下列四个条件:①EBO D C O ∠=∠;②BEO C D O ∠=∠;③B E C D =;④O B O C =上述四个条件中,哪两个条件可判定, A B C ∆是等腰三角形(用序号写出所有情形);A B CDEO2. 在AB 、A C 上各取一点E 、D ,使A E A D =,连接BD 、C E 相交于O 再连结A O 、BC ,若12∠=∠,则图中全等三角形共有哪几对?并简单说明理由.21E ODCBA课后作业。