8.4.2三元一次方程组的解法

《8.4三元一次方程组的解法》教学设计一、教学目标（一）知识技能：了解三元一次方程组及其解法，进一步体会消元思想，能根据三元一次方程组的具体形式，选择适当的解法.（二）数学思考：在运用三元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，感受方程对解决实际问题的作用.（三）问题解决：能根据具体问题列出三元一次方程组，并顺利运用三元一次方程组解决实际问题，能够对三元一次方程组的解法进行归纳和总结.（四）情感态度：渗透方程思想，培养学生的方程意识，在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣，在探索解决问题的过程中，敢于发表自己的见解.二、教学重点让学生经历和体验，把实际问题转化成三元一次方程组的过程，用三元一次方程组解决实际问题，进一步体会消元的基本思想.三、教学难点针对方程组的特点，灵活使用代入法，加减法等重要方法四、教法与学法分析教法：情境教学法、比较教学法，讲练结合法学法：比较，小组合作，自主探究的学习方式.五、教学过程（一）情境引入创设情境，引入课题.问题：2022年，北京成功举办了第24届冬季奥运会，中国健儿顽强拼搏，奋勇争先，取得了非常亮眼的“中国成绩”，中国共获得15奖牌，其中银牌数量是铜牌数量的2倍，银牌数量的2倍与铜牌数量的和比金牌的数量还多了1枚，你知道中国获得金牌、银牌、铜牌的数量各是多少吗？师：冬奥会上，中国运动健儿取得了亮眼的成绩，那么中国分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌呢？（1）题目中有几个未知量？师：可以设3个未知数吗？（2）题目中有哪些等量关系？师：这个问题能用一元一次方程，二元一次方程解决吗？（3）如何用方程表示这些等量关系？解：设中国获得金牌、银牌、铜牌分别为x枚、y枚和z枚．可列出方程_______________________________________________________师：对于所列出来的三个方程，前面两个你觉的是二元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？从而揭示课题.（二）探究新知1、概念思辩，认识三元一次方程组师：观察这个方程组有什么特点？（学生思考后回答）①含有三个未知数②含未知数的项的次数都是1③一共有三个整式方程归纳总结：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1， 并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．师：组成三元一次方程组的某个方程一定是三元一次方程吗？（学生通过观察已经列出的方程组，交流讨论，得出结论）注意：组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可.师：你认识三元一次方程组了吗？即学即练：下列方程组是三元一次方程组的是( )（设计意图：通过观察列出的的3个方程，寻找共同特点，在已经学过二元一次方程的概念的基础上，引导学生类比给出三元一次方程和三元一次方程组的概念.即学即练着重引导学生正确辨析概念，加深对概念的理解.）2、类比迁移，探究三元一次方程组解法师：二元一次方程组是如何来解的？（学生独立思考，回答问题）师:那么能否用同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数，把它转化成二元一次方程组或一元一次方程来解呢？（学生独立分析、思考，回答思路）仿照前面学过的代入法，可以把③分别带入①②，得到两个只含x ，z 的方程：得到二元一次方程组之后，就不难求出x 和z ，进而可求出y .师：解三元一次方程组的基本思路是什么？（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下进行小组讨论.在此基础上，由学生代表回答教师适时的引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点）归纳总结： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.）（设计意图：结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路——消元，并找到相应的消元方法——代入法，让学生充分理解解三元一次方程组的思想与方法.）3、典例精析，解三元一次方程组例1 解三元一次方程组 三元一次方程组组二元一次方程组一元一次方程消元 消元⎪⎩⎪⎨⎧8795932743=+-=++=+z y x z y x z x ③②①师：对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？（学生小组讨论，代表发言）方程①只含 x 、z ，因此，可以由②③消去 y ，得到的方程可与①组成一个二元一次方程组.教师板书加减法消元的求解过程，强调解题的格式. 师：你能总结一下解三元一次方程组的一般步骤吗？（学生交流讨论，代表发言，教师加以规范） 归纳总结：解三元一次方程组的一般步骤：（1）消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值；（5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起.(设计意图：一是引导学生发现这一类方程组的一般解法：例1方程组的特点是方程①中不含y ，②③中y 的系数为整数倍数关系，因此用加减法从②③中消去y 后，再与①组成二元一次方程组最为合理，简言之，可以总结为“缺谁消谁”；二是通过例题的示范作用，归纳解三元一次方程组的一般步骤，培养学生举一反三的数学品质)例2 在等式c bx ax y ++=2中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a ，b ，c 的值. 师：分析已知条件，你能得到什么？把c b a ,,看作三个未知数，分别把已知的y x ,值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-605253240c b a c b a c b a教师带领学生列出方程组，分析如何学生独立完成解方程组，学生板演.师：（1）可以消去a 吗？如何操作？（2）可以消去b 吗？如何操作？教师选择几名消“元”不同的同学的过程给大家展示.归纳总结：解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.4.巩固练习，深化解方程组的方法与技巧即学即练：解下列三元一次方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-472392x z z y y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-6123243z y x z y x z y x（设计意图：通过练习，可以使同学们进一步体会消元的思想，通过观察方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”，从而降低运算的难度，提高准确性）（三）课堂小结本节课你有收获吗？能和大家说说你的感想吗？（四）随堂检测1.对于方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++=+22362532z y x z y x y x ， 此二元一次方程组的最优的解法是先消去（ ）转化为二元一次方程组.A.xB.yC.zD.都一样2.若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值为（ ）A.2B.3C.4D.53.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的31等于丙数的21，求这三个数. (设计意图：通过进一步的练习，达到检测学生掌握情况的目的.针对三元一次方程组的解法进一步加强练习.不仅可以开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且通过类比，让学生在解题时归纳题目的特点，找到最基本解题方法，更有助于学生探索方法，掌握解题技巧.)（五）作业布置必做题：课本作业题2、3、4选做题：请同学们发挥想象，编辑一道与我们生活息息相关的应用题，其中x,y,z 满足下列条件：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+201610z y z x y x ，并解答出来.。

*8.4 三元一次方程组的解法【教学目标】1．理解三元一次方程组的含义．2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．【教学重点与难点】1．使学生会解简单的三元一次方程组．2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．3. 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．【教学过程】一、导入新课前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题．二、推进新课出示引入问题小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．1．题目中有几个未知数，你如何去设？2．根据题意你能找到等量关系吗？3．根据等量关系你能列出方程组吗？请大家分组讨论上述问题．（教师对学生进行巡回指导）学生成果展示：1．设1元，2元，5元各x 张，y 张，z 张．（共三个未知数）2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组12,2522,4.x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？（学生小组交流，探索如何消元．）可以把③分别代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了：8,412,512,2,42522,6522. 2.x y y z y z y y y z y z z =⎧++=+=⎧⎧⎪=⎨⎨⎨++=+=⎩⎩⎪=⎩即解得解此二元一次方程组得出y 、z ，进而代回原方程组可求x ．教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．即三元一次方程组 u u u u u u u u u ur 消元 二元一次方程组 u u u u u u u u u u r 消元一元一次方程 三、例题讲解 例1：解三元一次方程组347,239,5978.x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩（让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．）解：②×3+③，得11x+10z=35．①与④组成方程组347,5,111035. 2.x z x x z z +==⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得 把x=5，z=-2代入②，得y=13．因此，三元一次方程组的解为5,1,32.x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩归纳：此方程组的特点是①不含y ，而②③中y 的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y 后，再与①组成关于x 和z 的二元一次方程组的解法最合理．•反之用代入法运算较烦琐．例2：在等式y=ax2+bx+c 中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a ，b ，•c 的值．（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．）解：由题意，得三元一次方程组0,423,25560.a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩②-①，得a+b=1， ④③-①，得4a+b=10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组1,410.a b a b +=⎧⎨+=⎩． 解得3,2a b =⎧⎨=-⎩把a=3，b=-2代入①，得c=-5．因此3,2,5.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，答：a=3，b=-2，c=-5．四、知能训练1．解下列三元一次方程组：29,34,(1)3,(2)2312,247; 6.22,2,:(1)15.5,(2)3,12.5; 1.x y x y z y z x y z z x x y z x x y y z z -=--+=⎧⎧⎪⎪-=+-=⎨⎨⎪⎪+=++=⎩⎩==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的13等于丙数的12，求这三个数．解：设甲、乙、丙三个数分别为x 、y 、z ，则35,10,25,15,10.,32x y z x x y y y z z ⎧⎪++==⎧⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎩解得 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．五、课堂小结1．学会三元一次方程组的基本解法．2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想．六、布置作业七、活动与探究拓广探索解：由已知，得2,20,93.4293a b c a b c a b a b c c ⎧⎪-=++⎪=-+⎨⎪⎪++=++⎩②－①，得b=-11， ④由③得777366a b +=0， ⑤ ④代入⑤，得a=6． ⑥把6,11a b =⎧⎨=-⎩代入①，得c=3，因此，6,11,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 答：a=6，b=-11，c=3．。

*8.4 三元一次方程组的解法【学习目标】1、知道解三元一次方程组的基本思想方法是消元，即化“三元”为“二元”。

2、会用加减法和代入法解简单的三元一次方程组。

【学习重点与难点】1.学习重点：掌握三元一次方程组的解法。

2.学习难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组。

【学习过程】一、自主学习（一）预习自我检测（阅读课本，完成下列各题）1、温故而知新：解下列方程组：⎩⎨⎧+=-=-536553)1(x y y x （2）2、阅读课本：了解三元一次方程组的概念。

3、在下列方程中，是三元一次方程的在括号内打“√”，否则打“×”。

（1）2x+3y=12－z ( ) (2) xy －z=14 （ ）（3）13361-=+-z y x ( ) (4)4243+=-z y x ( )4、在等式中c bx ax y ++=2中，当x=-1，y=0时; 当x=2，y=3时; 当x=5，y=60时;求a 、b 、c 的值二、合作探究1、三元一次方程组的解法：二元一次方程组解法思路是先用加减法或代入法消去一个未知数，化____元为_____元，那么，三元一次方程组的解法是否类似地将“三元”化为“二元”呢？解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++③②①182126z y x y x z y x解法一：（消x ）由②得 x=___________ ④ 把④代入①，得：___________________ 用④代入③消去x 得：__________________⎩⎨⎧=--=-+07650132y x y x整理得 解以上二元一次方程组得:把 代入④得x=解法二:(观察②缺z,考虑消z)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++③②①182126z y x y x z y x ③－①得：__________ ④ 解方程组⎩⎨⎧④②_____________________________得x= ________y= __________ 把x= ______y= ________ 代入 ①, 得z= ⎪⎩⎪⎨⎧===∴z y x解法三：（先消去y 行吗？） ①+②，得：_____________④ ③－②，得：_____________⑤解方程组⎩⎨⎧⑤④____________________________ 得x=_______z= ______ 把x 的值代入 ②得y=_________⎪⎩⎪⎨⎧===∴z y x由上可知，三元一次方程组的思路也是先消元，但方法灵活，应选择简便方法。