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高中数学必修四北师大版 余弦函数的图象与性质ppt课件(共22张PPT)

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1.6余弦函数的图像与性质 课件 高中数学必修四(北师大版)

1.6余弦函数的图像与性质 课件 高中数学必修四(北师大版)


其中单调区间不必死记硬背，只要观察[0,2π]上的图像， 可知[0 ，π]是余弦函数的一个减区间，[π，2π] 是余弦函数的 一个增区间，然后根据余弦函数的周期为 2π 的整数倍，就可 得到一般结果．
●教学流程
演示结束
1.会利用诱导公式，通过图像平移 得到余弦函数的图像． 课标 2．会用五点法画出余弦函数在 解读 [0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．( 重点、难点)
●重点难点 重点：五点法作出余弦函数的图像，并理解图像性质． 难点：余弦函数的对称性．
●教学建议 关于余弦函数 y＝cos x 的性质，教科书写得比较简明， 这是因为学生已经有了研究正弦函数 y＝ sin x 性质的经验． 对 于余弦函数的性质很容易理解，讲课时，让学生观察余弦线 或余弦曲线，逐一说出余弦函数的定义域、值域、最大值和 最小值以及何时取得最大值和最小值，奇偶性，单调区间．
§ 6
余弦函数的图像与性质 6．1 6．2 余弦函数的图像 余弦函数的性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握余弦函数的性质． (2)能正确使用“五点法”“几何法”“图像变换法”画 出余弦函数的简图．
2．过程与方法 通过图像的做法，培养运用数形结合思想分析、解决问 题的能力． 3．情感、态度与价值观 通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般、从具体 到抽象的思维方法， 从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．
图 1－6－1
五点法作余弦函数的图像
【问题导思】 用五点法可以作出正弦函数的图像，利用这个方法作出 余弦函数的图像吗？五个关键点是什么？
π 【提示】 能．五个关键点分别为(0,1)，( ，0)，(π，－ 2 3π 1)，( 2 ，0)，(2π，1)．
高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件2北师大必修4

高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件2北师大必修4


【解析】在同一个坐标系中作出y=sinx,y=cosx在[0,2π]上的图像 如图: 因为sinx<cosx, 故 0＜x＜ 或 5 ＜x＜2,
4 4
所以不等式的解集为
5 (0, ) ( , 2). 4 4 答案: (0, ) ( 5 , 2) 4 4
【延伸探究】 1.(变换条件)若本例中x∈R,试求不等式的解集. 【解析】因为正余弦函数的周期都是2π,由本例的解法可知当x∈R时, 不等式的解集为 (2k 5 , 2k 9 ) ,k∈Z.
1.6
余弦函数的图像与性质
1.余弦函数图像的画法 (1)平移法：
左
2
(2)五点法： ①五个关键点：
x
cos x
0
1 __
2
π
-1 ___
3 2
2π
1 __
0 __
0 __
②函数y=cos x，x∈［0,2π］的简图：
2π 个单 y=cosx(x∈[0,2π])的图像向左、向右平行移动(每次平移____ 位)得到余弦函数y=cosx(x∈R)的图像,此图像叫作余弦曲线.
【知识探究】 知识点 余弦函数的图像和性质
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题:你能类比正弦函数的性质总结出余弦函数的性质吗?
【总结提升】 1.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数,但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性),是求与之相关的值域 (或最值)的关键,通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性,要注意使用复合函数单调性的判断方法.
增加 的 在［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上是_____ 减少 的 在［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上是_____
高中数学《余弦函数的图象和性质》课件1 北师大必修4

高中数学《余弦函数的图象和性质》课件1 北师大必修4


Y 1
-
π 2
O
π 2
-1
π
3π 2
2π
X
Y 1
-
π 2
O
π 2
-1
π
3π 2
2π
X
Y 1
-
π 2
O
π 2
-1
π
3π 2
2π
X
Y 1
-
π 2
O
π 2
-1
π
3π 2
2π
X
结论:余弦函数的图像可由正弦函数的图像向左 平移 个单位得到。
2
一、教材分析 二、学生分析 三、教法分析 四、过程分析 五、评价分析
（一）知识结构 （（三二）学中了所高）具 想 指情生 学 周 一以能导有和在 阶 期 学已感力下一数必 段 函 生经方方能定形修的 数 参具面面力的结1初的与有学目分等概意了合习标析函念识这思了不问数，、节想函难题，正自课已数达,在弦主的经解的到本函探预决略有。章数究备问有关书的意知题了概的图识识的解念第 像 逐。能，，一 和 渐力在以节 性 增,教函及介 质 强师几数绍 ， ，个的思
一、教材分析 二、学生分析 三、教法分析 四、过程分析 五、评价分析
（二）教学目标 :
（1）知识目标： （（23像类））培培得比情养养能到正学学感力余弦生生目目弦函自应函标标数主用数的：：探类的性索比性质与、质，合分，观作类并察学讨掌正习论握弦的、性、能化质余力归的弦，以应函同及用数时数。图也形
让学结生合亲等身数经学历思数想学方的法研在究解过决程问，题体中现的发应现用的能激力情；， 感受数学的魅力；使学生在学习活动中获得成功感， 从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的 热情。
北师大版高中数学必修四《余弦函数图形与性质》课件

北师大版高中数学必修四《余弦函数图形与性质》课件

最低点： ( , 1)
与x轴的交点：
( , 0) (3 , 0)
2
2
观察图像正余弦函数图像上五个关键点，完成下表 y 关键五点 (y=sinx，x[0,2])
1-
-
-1
o
6


3
2
2 3
5

7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
y 关键五点 (y=cosx，x[0,2] )
3、余弦函数的性质
余弦曲线：y=cosx,x∈R
定义域：R 值域：【-1,1】
单调性： [(2k 1)π，2kπ](k Z)，函数是增加的
[2kπ, (2k 1)π](k Z)，函数是减少的
奇偶性：偶函数
周期性： 2
对称轴：y 轴
对称中心：
(
2

k
,0)k

z
提升总结：正弦和余弦函数的性质对比
五点法
y 1

o
2
2

3 2
-1 sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx ， x[0,2]
f(x+2yk)=f(x),利用图像平移
2
x
y=sinx，xR
-4 -3
-2
1
-
o
-1

2
3
4
5 6 x
正弦曲线
二、合作探究
1、余弦函数的图像（图像平移）
由y= sin x
3
5 2
2 3 2
2
2
性质 函数
y=sinx
高中数学北师大版必修4《第1章66.2余弦函数的性质》课件

高中数学北师大版必修4《第1章66.2余弦函数的性质》课件

8
推广到整个定义域可得 当 x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z 时，余弦函数 y＝cos x 是增函数，函 数值由－1 增大到 1； 当 x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z 时，余弦函数 y＝cos x 是减函数， 函数值由 1 减小到－1.
9
1．用五点法作出函数 y＝3－cos x 的图像，下列点中不属于五点
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cos x
1
0 －1
0
1
－cos x －1 0
1
0
－1
14
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如右图． 法二：作函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，然 后将其作关于 x 轴对称的图像，即得 y＝－cos x， x∈[0,2π]的图像．
15
所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最 低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替.五点法是 画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来. 函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点坐标依次为： 0，1，π2，0，π，－1，32π，0，2π，1.
∴当 cos x＝12时，ymax＝14.
当 cos x＝－1 时，ymin＝－2.
∴函数 y＝－cos2x＋cos x 的最大值为14，最小值为－2.
32
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1＝3cos
x－232－13.
∵x∈π3，23π，cos x∈－12，12，
从而当 cos x＝－12，即 x＝23π时，ymax＝145；
作图中的五个关键点的是( )
A．(π，－1)
B．(0,2)
高中数学北师大版必修四 余弦函数的图像与性质ppt课件(38张)

高中数学北师大版必修四 余弦函数的图像与性质ppt课件(38张)


)
[答案] C
[ 解析 ] 最小正周期为 2π ， f( － x) ＝－ cos( － x) ＝－ cosx ＝ f(x)，所以f(x)是偶函数．
1 4．函数 y＝ 的值域是______________． 1－cosx
[答案]
1 ，＋∞ 2
[解析] ∵y－ycosx＝1，
y－1 y－1 ∴y－1＝ycosx，cosx＝ y ，∴ y ≤1， 1 1 解得y≥2，值域为2，＋∞
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
三角函数
第一章
§6 余弦函数的图像与性质
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始 的现象，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼 夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期 性，即朔——上弦——望——下弦——朔；潮汐变化的周期性，即海
课堂典例讲练
用“五点法”作图
用“五点法”画函数 y ＝－ cosx ， x∈[0,2π]的简
图．
[思路分析] 图的关键． 运用“五点法”作图，正确找出五个点是作
[规范解答] 解法一：按五个关键点列表：
x cosx －cosx
0 1 －1
π 2 0 0
π －1 1
3π 2 0 0
2π 1 －1
描点画图(如图所示)．
1 5．当 x＝________时，y＝2－2cosx 取得最大值_____．当 1 x＝______时，y＝2－2cosx 取得最小值________． 5 3 [答案] (2k＋1)π(k∈Z) 2 2kπ(k∈Z) 2
高中数学北师大版必修四课件 §6余弦函数的图像与性质

高中数学北师大版必修四课件 §6余弦函数的图像与性质


1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关
键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像
直观地求得解集． 2．求三角函数的值域，要充分利用sin x和cos x的有界性， 对于x有限制范围的，可结合图像求值域．
2. 求函数 ， 的最值． 3 3
余弦函数的图像与性质
函数 y＝cos x
图像
定义域
值域
最值
R . [－1,1]. 当x＝ 2kπ(k∈Z) 时,ymax＝1; 当x＝ 2kπ+π(k∈Z) ,y ＝－1
min
续表
函数 y＝cos x
图像
周期性
2π . 周期函数，T＝
在 在
奇偶性
单调性
偶函数，图像关于 y轴 对称 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的； [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，
运用整体代换的思想求解．
3．比较下列各组值的大小． 7π 7π (1)cos－ 与 cos ；(2)sin 194° 与 cos 160° . 8 6
7π 解：(1)cos－ ＝cos 8 7π π π ＝cosπ－ ＝－cos . 8 8 8 7π π π π π 而 cos ＝－cos ∵ 0< < < . 6 6 8 6 2 7π π π 7π ∴ cos >cos . ∴ cos－ <cos . 8 6 8 6
π 令 2kπ≤x－ ≤π＋2kπ(k∈Z)， 6 π 7π 得 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ(k∈Z)． 6 6 π －x ∴函数 y＝cos 6 的单调减区间是 π 7π ＋2kπ， ＋2kπ 6 6 k∈Z.
高中数学必修四北师大版 任意角的正弦函数、余弦函数的定义ppt课件(24张)

高中数学必修四北师大版 任意角的正弦函数、余弦函数的定义ppt课件(24张)


知识点 3 正弦函数、余弦函数在各象限的符号 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 三角函数 sinα ＋ ＋ － － cosα ＋ － － ＋
讲重点 对三角函数定义的理解 (1)任意角的三角函数是在平面直角坐标系中定义的， 角的大小(自 变量的取值)可以是任意实数． (2)一个任意角 α 的三角函数值的大小只依赖于角 α 的大小(即只与 这个角的终边的位置有关)．
讲重点 关于周期函数和最小正周期的理解 (1)周期函数的定义是针对定义域中每一个 x 值而言的，只有个别 的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)不能说明 T 是 f(x)的周期． (2)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如果没有特 别指明，一般都指它的最小正周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期． (4)周期函数的周期不唯一， 若 T 是 f(x)的周期， 则 kT(k∈Z， k≠0) 一定也是 f(x)的周期．
课时目标 (1)了解单位圆的概念； (2)理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义； (3)理解三角函数的周期性.
知识点 1 单位圆的定义 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单 位圆.
知识点 2 正弦函数、余弦函数 一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P(u，v)，那么点 P 的纵坐标 v 叫作角 α 的正弦函数，记作 v＝sinα； 点 P 的横坐标 u 叫做角 α 的余弦函数，记作 u＝cosα . 通常，我们用 x 表示自变量，即 x 表示角的大小，用 y 表示函数 值，这样我们就定义了任意角三角函数 y＝sinx 和 y＝cosx.它们的定义 域为全体实数，值域为[－1,1].
高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件

高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件


=
−������(������),
∴
������(������)为奇函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三 余弦函数的单调性的应用
【例3】 求下列函数的单调区间:
(1)y=-2cos x+3;(2)y= cos������.
分析:灵活运用y=cos x的单调性求解. 解:(1)令u=cos x,则y=-2cos x+3是由y=-2u+3和u=cos x复合而成 的,而y=-2u+3在R上是减少的,故y=-2cos x+3的递增区间为 [2kπ,2kπ+π](k∈Z),递减区间为[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z).
2
)
A.0个 B.1个 C.2个D.3个 答案:C
【做一做1-2】 在区间[0,2π]内,函数y=cos x图像的五个关键点 是.
答案:(0,1),
π 2
,0
, (π, −1),
3π 2
,0
, (2π, 1)
12
2.余弦函数的性质
函数 性质 定义域 值域
最值
周期性
单调性
奇偶性
y=cos x
R [-1,1] 当 x=2kπ(k∈Z)时,y 取最大值 1;
������
=
−������ (������),
∴f (x)=c os
3 4
������
+
3π 2
为奇函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思判断函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域的对称性,再化 简,最后根据定义判断.
题型一
题型二
题型三
高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件北师大版必修4

高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件北师大版必修4

•§6 余弦函数的图像与性质
•学习目标 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2. 理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦 函数的图像性质及其运用(难点)．
知识点 1 余弦函数的图像 余弦函数 y＝cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线． 根据诱导公式 sinx＋π2＝cos x，x∈R.只需把正弦函数 y＝sin x， x∈R 的图像向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图像(如 图)．
• 答案 B
• 3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像和直线y＝1围成 一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是 ________．
• 解析 如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影 部分，此时所围面积可变成一个矩形．
• 答案 2π
4．使 cos x＝11－＋mm有意义的实数 m 的取值范围是________． 解析 －1≤11－＋mm≤1；即11＋－mm≤1；|1＋m|≤|1－m|且 m≠1， 得 m≤0.
答案 D
(2)作出函数 y＝1－13cos x 在[－2π，2π]上的图像． 解 ①列表：
x y＝cos x
0
π 2
π
3π 2
2π
1 0 －1 0 1
y＝1－13cos x
2 3
1
4 3
1
2 3
②作出 y＝1－13cos x 在 x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数， 作关于 y 轴对称的图像．从而得出 y＝1－13cos x 在 x∈[－2π，2π] 上的图像．
•规律方法 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函 数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题 规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
【训练 2】 (1)求函数 y＝1－12cos x 的单调区间； (2)比较 cos－π7与 cos187π的大小． 解 (1)∵－12＜0， ∴y＝1－12cos x 的单调性与 y＝cos x 的单调性相反． ∵y＝cos x 的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ， 2kπ＋π](k∈Z)． ∴y＝1－12cos x 的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间 是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
北师大版高中数学必修4课件1.6余弦函数的性质课件

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(2)求函数 y log 1 cos 2 x 的增区间。
2
【解】
23 3π 23π 3π (1)cos － 5 π ＝cos 5 ＝cos 4π＋ 5 ＝cos 5
17 π 17π π cos － 4 π ＝cos 4 ＝cos 4π＋4 ＝cos4
(2)比较大小 cos
【精彩点拨】
；
26 13 ，cos 3 3
1－2cosx 的单调性与 (1) y＝
y＝-cosx 的单调性相同，与 y＝cosx 的单调性相反。
(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较。
【自主解答】 (1)由于 y＝cosx 的 单调减区间为 [2k， 2k＋ ](k Z ) ，
巩固练习：
1 1 3．已知函数 y cos x a cos x a 的最大值为 1，求 a 的值。 2 2
2
【解】
2 1 1 a a a 1 2 y cos x a cos x a cos x 2 2 2 4 2 2
13π 26 即 cos 3 π<cos－ 3
1－2cosx 的 所以函数 y＝
2k＋ ](k Z ) 。 增区间为 [2k，
【答案】
(1)[2kπ，2kπ＋π]k∈Z；(2) < 。
方法归纳：
1．形如 y＝acosx＋b(a 0) 函数的单调区间
(1)当 a
0 时，其单调性同 y＝cosx 的单调性一致；
2π 26 2π (2)由于 cos 3 π＝cos 8π＋ 3 ＝cos 3 ， 13π 13π π π cos－ 3 ＝cos 3 ＝cos4π＋3＝cos3，

高中数学 1.6余弦函数的图像与性质课件 北师大版必修4


所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0)，f(0)=0,
当x＜0时，-x＞0,
所以f(x)=-f(-x)=-［sin 2(-x)+cos(-x)］
=sin 2x-cos x，
所以
sin
f x 0,
2x cos x,
sin 2x cos x,
x＜0， x 0， x＞0.
第三十一页，共50页。
23 的x 可得五点.
第二十六页，共50页。
【解析(jiě xī)】列表可得：
1x 23
0
2
π
3 2
2π
x
2
4
3
3
3
7
10
3
3
y cos( 1 x ) 23
1
0
-1
0
1
即五个点分别(fēnbi(é)为2：，1)，( ,0)，( 4，1)，(7 ,0)，(10 ,1).
33 3
3
3
答案： ( 2，1)，( ,0)，( 4，1)，(7 ,0)，(10 ,1)
第八页，共50页。
2．做一做(请把正确的答案(dá àn)写在横线上) (1)函数y=｜cos x｜的单调增区间是________，单调减区间是________， 最小正周期是________. (2)函数y=2cos x-1的值域是________. (3)函数y=f(x)=-cos x的奇偶性为________.
而函[0,数]的. 周期(zhōuqī)是 2
kπ(k∈Z且k≠0)，因此函数y=｜cos x｜的增区间是
上，
[k (,kk∈]Z)，减区间是
(k∈Z). [k, k
]
答案：2 [k , k]k Z

高中数学北师大版必修四 正弦函数、余弦函数的图像和性质习题课(一)ppt课件(29张)


1．对周期函数的正确理解 (1)关于函数周期的理解应注意以下三点：
①存在一个不等于零的常数T；
②对于定义域内的每一个值 x ，都有 x ＋ T 属于这个定义 域； ③满足f(x＋T)＝f(x)．
(2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性， 则其周期也不一定唯一． (3)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是 f(x2内再求值．
解：∵f(x)的最小正周期为 π，
5π 2π 2π ∴f 3 ＝f 3 ＋π＝f 3 ＝ π π fπ－3＝f－3.
又 f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．
三角函数奇偶性与周期性的简单综合
定义在 R 上的函数 f(x) 既是偶函数又是周期函 数．若 f(x)的最小正周期是 π，且当 则
5π f 3 的值是多少？ π x∈0，2时，f(x)＝sin
1＋sin x－cos2 x (3)f(x)＝ . 1＋sin x
思 路 点 拨 ： 求定义域 → 定义域是否关于原点对称 → 看f－x与fx的关系 → 确定奇偶性
解：(1)函数 f(x)＝|sin x|＋cos x 的定义域为 R. ∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， ∴函数 f(x)是偶函数．
3π x∈Rx≠2kπ＋ ，k∈Z 2 .
显然定义域不关于原点对称， 1＋sin x－cos2 x 故函数 f(x)＝ 为非奇非偶函数． 1＋sin x
判断函数奇偶性应把握好的两个方面
(1)看函数的定义域是否关于原点对称；

「精品」北师大版高中数学必修四课件1.6余弦函数的图像与性质-精品课件

Page 20
典型例题
即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是

｛x｜x＝＋kπ4 ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.

(2)当3x+=2k

+即x=(k
Z2)时k,y的 最 大值为0.
4
2
3 12
点评：求自变量x的取值的集合，关键是运用整体 带入的思想，将wx+φ看成一个整体带入，利用正 弦函数、余弦函数取最大值、最小值时自变量的 取值计算即可.
13
预习测评
2．M和m分别表示函数y＝2cosx－1的最大值 和最小值，则M＋m等于( A)
A.－2B.2C.3D.－3
解析：函数的最大值为M＝2－1＝1，函数的最小
值为m＝－2－1＝－3，M＋m＝－2，故选A.
预习测评
3．当x＝__x___3_2___2_k___(k___z_)____时，函数
例3.函数y＝sinx，x∈的[值, 2域是] ________.
63 错解：[－1,1]．
错因分析：错解没有注意到x的取值范围，当x∈ [ , 2 ]
63
时，y＝sinx最小值取不到－1．
正 在解上：单调∵递函减数y. ＝[sin,x2， x]∈，在[6区, 间23上] 单调递增[6，, 2 ]
y

cos( x


2
)
取得最小值－1.
解析：由，x k∈ Z 2k
2
得：(xk∈3Z). 2k
2
要点阐释
1.正弦函数的最值
正弦函数y=sinx，x R，
当x

2k


2
(k

高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件2北师大版必修4


在x=π+2kπ(k∈Z)和x= +2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值-1,
故①②错误,
由图像知,函数图像关于直线x= +2kπ(k∈Z)对称,
在2kπ<x< 答案:③④
+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ 5,故③④正确.
4
2
2
2
第二十六页，共33页。
【方法技巧】关于余弦函数性质的应用 应用余弦函数的性质时一般要结合余弦函数的图像,特别注意余弦函数单调区间、 最值、对称性等性质在图像中的体现,解题(jiě tí)中要善于利用图像发现函数的性质 用于解题(jiě tí).
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题:你能类比正弦函数(hánshù)的性质总结出余弦函数(hánshù)的性质吗?
第十四页，共33页。
【总结(zǒngjié)提升】 1.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数,但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性),是求与之相关的值域(或最值) 的关键,通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性,要注意使用复合函数单调性的判断方法.
第八页，共33页。
(3)余弦函数是偶函数,图像关于(guānyú)y轴对称,那么余弦函数的对称轴 只有一条吗? 提示:余弦函数的对称轴有无数条.
第九页，共33页。
2.函数(hánshù)y=cosx-2的最小值是 ( )
A.-2
B.-3
C.0
D.-1
【解析】选B.cosx∈[-1,1],故y=cosx-2的最小值为-3.
第十五页，共33页。
2.对余弦函数最值的两点说明 (1)明确余弦函数的有界性:|cosx|≤1. (2)形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数求最值,通常用“整体代换(dài huàn)”令 z=ωx+φ,将函数转化为y=Acosz的形式.
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1 1 解析：(1)y＝ cosx＋ |cosx| 2 2 π π cosx，x∈ 2kπ－ ，2kπ＋ k∈Z 2 2 ＝ 0，x∈2kπ＋π，2kπ＋3πk∈Z. 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
函数图象如图所示：
(2)由图象知该函数的最小正周期是 2π.
π (3)由图象知函数的单调增区间为2kπ－2，2kπ(k∈Z).
类型三 余弦函数的单调性及应用 【例 3】 求下列函数的单调区间： π 1 cosx (1)y＝sinx＋2；(2)y＝( ) . 2 思维启迪：(1)利用诱导公式化简解析式；(2)利用复合函数的单调 性求解．
π 解析：(1)y＝sin(x＋ )＝cosx 2 由余弦函数的性质可知在[2kπ， (2k＋1)π](k∈Z)上是减函数， 在[(2k －1)π，2kπ](k∈Z)上是增函数． 1 1 (2)∵0< <1，∴y＝( )cosx 的增区间为 t＝cosx 的减区间，减区间即 2 2 为 t＝cosx 的增区间． 1 ∴函数 y＝( )cosx 的增区间为 2 [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z) 减区间为[(2k－1)π，2kπ](k∈Z).
类型二 余弦函数奇偶性的判定 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝cosx＋2；(2)y＝sinxcosx. 思维启迪：y＝cosx 是偶函数，y＝sinx 是奇函数是解决本题的关 键．
解析：(1)把函数 y＝cosx＋2 记为 f(x)＝cosx＋2. 因为 f(－x)＝cos(－x)＋2＝cosx＋2＝f(x)，对于 x∈R 该等式都成 立，所以函数 y＝cosx＋2 是偶函数． (2)把函数 y＝sinxcosx 记为 f(x)＝sinxcosx. 因为 f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，对于 x∈R 这 个等式都成立，所以函数 y＝sinxcosx 是奇函数.
知识点 2 余弦函数的性质 函数 y＝cosx 定义域 R 值域 [－1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 以 2kπ 为周期(k∈Z，k≠0)，2π 为最小正周期 当 x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；当 x∈[2kπ， 单调性 2kπ＋π](k∈Z)时，递减 当 x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为 1；当 x＝2kπ＋π(k∈ 最大值与最小值 Z)时，最小值为－1. π 对称性 对称中心kπ＋2，0，k∈Z，对称轴 x＝kπ，k∈Z
.
3 点分别作 x 轴的平行线，从图象中看出它 2 2π 2π 1 1 们分别与余弦曲线交于点－ 3 ＋2kπ，－2，k∈Z， 3 ＋2kπ，－2， π π 3 3 k∈Z 和点－ ＋2kπ， ，k∈Z， ＋2kπ， ，k∈Z，那么曲线上 2 2 6 6 1 夹在对应两直线之间的点的横坐标对应的集合即为所求，即当－ 2 3 ≤y≤ 时 x 的集合为： 2 2π π π 2π x－ ＋2kπ≤x≤－ ＋2kπ 或 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 3 6 6 3
类型一 余弦函数的图象及应用 【例 1】 画出 y＝cosx(x∈R)的简图，并根据图象写出． 1 (1)y≥ 时 x 的集合； 2 1 3 (2)－ ≤y≤ 时 x 的集合． 2 2 思维启迪：用“五点法作出简图，再从图象中观察”．
解析：用“五点法”作出 y＝cosx 简图．
1 (1)过0，2点作 x 轴的平行线，从图象中看出：在[－π，π]区间与 π 1 π 1 1 － ， ， 余弦曲线交于 3 2 ， 3 2 点，在[－π，π]区间内，y≥ 时，x 的集 2 π π 1 － ≤ x ≤ 合为 x 3 3 . 当 x ∈ R 时 ， 若 y≥ 2 ， 则 x 的 集 合 为 π π x－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z 3 3
1 (2)过0，－2、0，
点评： 利用三角函数的图象或三角函数线， 可解简单的三角函数不等式， 但需注意解的完整性.
1 1 已知函数 y＝ cosx＋ |cosx|. 2 2 (1)画出函数图象的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间． 变式训练 1
课时目标 (1)会利用诱导公式、图象的平移得到余弦函数的图象； (2)会用五个关键点画函数 y＝cosx 在 x∈[0,2π]上的简图； (3)掌握余弦函数的性质.
知识点 1 余弦曲线的定义 余弦函数 y＝cosx(x∈R)的图象叫做余弦曲线．y＝cosx，x∈[0,2π] π 3π ，0， 的图象上起关键作用的五个点为(0,1)，2，0， (π， －1)， (2π， 2 1).
讲重点 正(余)弦函数性质的应用 (1)判断函数的奇偶性应坚持 “ 定义域优先 ” 原则，即先求定义 域，看它是否关于原点对称． (2)利用单调性比较两个三角函数值的大小时，应先将异名三角函 数化为同名三角函数，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化为 同一单调区间内的角． (3)三角函数值域或最值的常用方法 ①将 y 表示成以 sinx(或 cosx)为元的一次或二次复合函数， 再利用 换元或配方或利用函数的单调性等来确定 y 的范围． ②将 sinx 或 cosx 用所求变量 y 来表示， 如 sinx＝f(y)， 再由 |sinx|≤1， 构建关于 y 的不等式 |f(y)|≤1，从而求得 y 的取值范围．
点评： 判断函数的奇偶性，首先判断其定义域是否关于原点对 称，再判断 f(－x)与 f(x)的关系，注意已知函数奇偶性的应用．
变式训练 2
判断 f(x)＝sin(cosx)的奇偶性．
解析：f(x)＝sin(cosx)的定义域为 R，关于原点对称． f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)． ∴f(x)＝sin(cosx)为偶函数.